Σώµα µάζας m σχήµατος ορθογώνιου κιβωτίου, ισορροπεί πάνω σε τραχύ οριζόντιο επίπεδο και στην άνω επιφάνειά του έχει τοποθετηθεί σώµα µάζας m/. Κάποια στιγµή που λαµβάνε ται ως αρχή µέτρησης του χρόνου εφαρµόζουµε στο σώµα οριζόντια δύναµη F, σταθερής κατεύθυνσης, της οποίας το µέτρο µεταβάλλεται µε τον χρόνο t, σύµφωνα µε την σχέση: F = kt όπου k θετική και σταθερή ποσότητα. Εάν σε όλες τις επαφές ο συντε λεστής οριακής τριβής είναι n s =, και ο συντελεστής τριβής ολισθή σεως n κ =,15, να βρείτε τις επιταχύνσεις του κιβωτίου και του σώµα τος, σε συνάρτηση µε τον χρόνο και να σχεδιάσετε τις γραφικές τους παραστάσεις. Δίνεται η επιτάχυνση g της βαρύτητας και ότι αποκλείε ται η ανατροπή του κιβωτίου και του σώµατος. ΛΥΣΗ: Δεχόµαστε σε πρώτο στάδιο ότι από τη στιγµή t= έως τη στιγµή t 1 το σύστηµα κιβώτιο σώµα ισορροπεί και ότι την στιγµή t 1 επίκειται η ολίσθηση του κιβωτίου πάνω στο οριζόντιο έδαφος χωρίς το σώµα να ολισθαίνει στην άνω επιφάνεια του κιβωτίου. Κατά το χρονικό αυτό διάστηµα το σύστηµα δέχε ται την οριζόντια δύναµη F, το βάρος του (m+m/ g και την πλάγια δύναµη από το οριζόντιο έδαφος, που αναλύεται στην τριβή T και στην κάθετη αντίδ ραση N (σχήµα 1. Λόγω της ισορροπίας του συστήµατος θα ισχύει: F = T και N = 3mg/ (1 Σχήµα 1 Eπειδή η τριβή T είναι στατική, θα ισχύει η σχέση: (1 T n s N F 3n s mg/ kt 3n s mg/ (
Για t=t 1 η σχέση ( ισχύει µε το ίσον και δίνει: kt 1 = 3n s mg mg t 1 = 3n s k t = 3 mg 1 1 k = 3mg 1k (3 Σε δεύτερο στάδιο δεχόµαστε ότι το κιβώτιο ολισθαίνει πάνω στο οριζόντιο έδα φος και το σώµα παρακολουθεί την κίνηση αυτή, δηλαδή ηρεµεί ως προς το κιβώτιο, που σηµαίνει ότι θα έχει την ίδια επιτάχυνση µε αυτό στο σύστηµα αναφοράς του εδάφους. Κατά το στάδιο αυτό η τριβή T θα είναι τριβή ολισθή σεως, οπότε θα ισχύει: T = m + m $ # gn " ' = 3mg 15 % 1 = 9mg 4 (4 Εφαρµόζοντας εξάλλου για το σύστηµα τον δεύτερο νόµο κίνησης του Νεύτωνα παίρνουµε την σχέση: F- T = m + m (4 $ # a " % kt - 9mg 4 = 3ma a = 4kt - 9mg 6m = kt 3m - 3g µε t > t 1 (5 όπου a η κοινή επιτάχυνση κιβωτίου και σώµατος. Aπό την (5 προκύπτει ότι: lim a = kt 1 + t t 1 3m - 3g (3 lim a = k 3mg + t t 1 3m 1k - 3g = g Δηλαδή αµέσως µετά την χρονική στιγµή t 1 η επιτάχυνση του κιβωτίου και του σώµατος αυξάνεται απότοµα από την τιµή µηδέν στην τιµή g/. Τέλος ας δεχ θούµε ότι την χρονική στιγµή t επίκειται η ολίσθηση του σώµατος στην άνω Σχήµα επιφάνεια του κιβωτίου. Την στιγµή αυτή η τριβή T που δέχεται το σώµα από το κιβώτιο είναι στατική τριβή µε µέτρο n s mg/ και αποτελεί οριακά την δύναµη που επιταχύνει το σώµα στο σύστηµα αναφοράς του εδάφους, οπότε για την επιτάχυνση a του σώµατος θα ισχύει: mg n s = m a g (5 1 = lim a " t t g 1 = kt 3m - 3g
7g = kt 3m t = 1mg 4k > t 1 (6 Για t>t η τριβή T επί του σώµατος είναι τριβή ολίσθησης έχει φορά εκείνη που φαίνεται στο σχήµα ( και αποτελεί την µοναδική δύναµη που επιταχύνει το σώµα. Έτσι για την επιτάχυνση a του σώµατος θα ισχύει, σύµφωνα µε τον δεύτερο νόµο κίνησης του Νεύτωνα η σχέση: T = m a n N " = m a " 15 mg 1 = m a a = 15g 1 = 3g Εξάλλου για t t + η σχέση (5 δίνει: lim a = kt + t t 3m - 3g (6 lim a = k 1mg + t t 3m 4k - 3g = g 5 δηλαδή αµέσως µετά την χρονική στιγµή t η επιτάχυνση του σώµατος µειώ νεται απότοµα από την τιµή g/4 στην τιµή g/5, την οποία και διατηρεί για t>t. Όσον αφορά το κιβώτιο η επιτάχυνσή του a για t>t, σύµφωνα µε τον δεύτερο νόµο κίνησης του Νεύτωνα, θα ικανοποιεί την σχέση: F - T' - T = ma " kt - T - T = ma " kt - n mg " - n m + m % $ ' g = ma # kt - mg 15 1 = ma a = kt m - 3g 1 µε t > t (7 Για t t + η σχέση (7 δίνει: Σχήµα 3 Σχήµα 4 lim a " = kt m - 3g (6 1 t t + lim a " + t t = k m 1mg 4k - 3g 1 = 9g 4 δηλαδή αµέσως µετά την χρονική στιγµή t η επιτάχυνση του κιβωτίου υφίστα
ται απότοµη µείωση από την τιµή g/4 στην τιµή,9g/4 και στην συνέχεια αυξάνεται γραµµικά µε τον χρόνο, αλλά µε ρυθµό k/m που είναι µεγαλύτερος του ρυθµού αύξησης k/3m της επιτάχυνσής του για t<t. Όλα όσα αφορούν την επιτάχυνση του κιβωτίου και του σώµατος αποδίδονται γραφικώς στα σχήµατα (3 και (4. P.M. fysikos Στην διάταξη του σχήµατος το πάνω µέρος της ατέρµονης ταινίας κινείται προς τα δεξιά µε σταθερή ταχύτητα v ως προς το ακίνητο έδαφος και κάποια στιγµή το άκρο Α του οριζόντιου ελατηρίου αγκιστρώνεται, το δε σώµα τη στιγµή αυτή ηρεµεί ως προς την ταινία. Το ελατήριο θεωρείται ιδανικό µε σταθερά k, µεταξύ δε του σώµατος και της ταινίας υπάρχει τριβή µε συντελεστή οριακής τριβής n S και συντελεστή τριβής ολισθήσεως n K, µε n K <n S. i Να εξετάσετε ποιοτικά πως διαµορφώνεται η τριβή επί του σώµα τος, στην διάρκεια της κίνησής του. ii Nα βρείτε την διαφόρική εξίσωση κίνησης του σώµατος και από την λύση της να καθορίσετε την θέση του και την ταχύτητά του σε συνάρτηση µε τον χρόνο, λαµβάνοντας ως αρχή µέτρησης της µετα τόπισής του την θέση του Ο, όταν αγκιστρώνεται το ελατήριο και ως αρχή µέτρησης του χρόνου τη στιγµή που αρχίζει η ολίσθησή του επί της ταινίας. iii Nα σχεδιάσετε την γραφική παράσταση της ταχύτητας του σώ µατος σε συνάρτηση µε τον χρόνο. Δίνεται η µάζα m του σώµατος και η επιτάχυνση g της βαρύτητας. ΛΥΣΗ: i Tην στιγµή που αγκιστρώνεται το άκρο Α του ελατηρίου η τριβή επί του σώµατος είναι µηδενική, διότι το σώµα δεν δέχεται δύναµη που τείνει να προκαλέσει την ολίσθησή του επί της ταινίας. Όµως αµέσως µετά το ελατήριο επιµηκύνεται εξασκώντας στο σώµα δύναµη F ", η οποία αυξάνεται µε αποτέ Σχήµα 5 λεσµα να εµφανίζεται επί του σώµατος στατική τριβή T S αντίθετη της F " και κάποια στιγµή θα ξεκινήσει η ολίσθησή του επί της ταινίας. Την στιγµή αυτή το ελατήριο θα έχει επιµηκυνθεί από τη φυσική του κατάσταση κατά x και θα ισχύει η σχέση: kx = n S mg x = n S mg/k = n S g/ µε ω =k/m (1
Στην συνέχεια το σώµα θ αποκτήσει σχετική κίνηση ως προς την ταινία, µε αποτέλεσµα να δέχεται από αυτήν τριβή ολίσθησης T K αντίρροπη της σχετικής του ταχύτητας ως προς την ταινία. Όµως η ταχύτητα του σώµατος στο σύστηµα αναφοράς του εδάφους είναι µικρότερη σε µέτρο από την ταχύτητα v της ταινίας, λόγω της επιβράδυνσης που επιφέρει σ αυτό το ελατήριο, µε αποτέλεσµα η σχετική ταχύτητα του σώµατος ως προς την ταινία να είναι αντίρροπη της v, οπότε η T K θα είναι οµόρροπη της v. Καθώς η επιµήκυνση του ελατηρίου αυξάνεται θα συνεχίζεται η επιβράδυνση του σώµατος και κάποια στιγµή θα µηδειστεί η ταχύτητά του ως προς το έδαφος, ενώ η αντί στοιχη σχετική του ταχύτητα ως προς την ταινία θα είναι - v, µε αποτέλεσµα να εξακολουθεί η τριβή να είναι τριβή ολισθήσεως οµόρροπη της v, η οποία όµως έχει µικρότερο µέτρο από την τάση του ελατηρίου και έτσι αναστρέφεται η κίνηση του σώµατος το οποίο επιταχύνεται µε κατεύθυνση προς την αρχική του θέση Ο. Κατά το στάδιο αυτό η σχετική του ταχύτητα ως προς την ταινία θα είναι σίγουρα αντίρροπη της - v και εποµένως η τριβή θα παραµένει τριβή ολισθήσεως οµόρροπη της v, ενώ η τάση του ελατηρίου θα µειώνεται κατά µέτρο και κάποια στιγµή θα γίνει αντίθετη της T K. Την στιγµή αυτή το µέτρο της ταχύτητας του σώµατος θα µεγιστοποιηθεί και στην συνέχεια θα µειώνεται µεχρις µηδενισµού, διότι θα ισχύει Τ K >F ελ. Όµως την στιγµή µηδενισµού της ταχύτητας του σώµατος η σχετική του ταχύτητα ως προς την ταινία είναι - v, οπότε η τριβή θα είναι πάλι τριβή ολισθήσεως οµόρροπη της v, που σηµαίνει ότι το σώµα υπό την επίδραση των οµορρόπων δυνάµεων T K και F " θ αρχίσει να επιταχύνεται εκ της ηρεµίας αλλάζοντας φορά κίνησης. Όταν η ταχύτητά του γίνει v η σχετική του ταχύτητα ως προς την ταινία θα µηδενιστεί και η τριβή θα µετατραπεί απότοµα σε στατική τριβή T S που είναι αντίθετη της δύναµης F ", µεχρις ότου αρχίσει πάλι η ολίσθησή του όταν το επιτρέψει η F ". Από την παρα πάνω ποιοτική περιγραφή της κίνησης του σώµατος προκύπτει ως συµπέρασµα ότι, κατά τον χρόνο που η τριβή είναι τριβή ολίσθησης, αυτή είναι µια σταθερή δύναµη οµόρροπη της v. ii Eφαρµόζοντας για το σώµα τον δεύτερο νόµο κίνησης του Νεύτωνα κάποια στιγµή που ολισθαίνει επί της ταινίας, παίρνουµε την σχέση: m d x dt = F " + T K m d x dt = -kx + n K mg d x dt + k m x = n K g d x dt + x = n K g ( Η ( αποτελεί µια µη οµογενή γραµµική διαφορική εξίσωση δευτέρας τάξεως µε σταθερούς συντελεστές και δέχεται µερική λύση της µορφής: x 1 (t = n K g/ (3 H αντίστοιχη οµογενής εξίσωση δέχεται λύση της µορφής: x (t = Aµ ("t + # (4
όπου Α, φ σταθερές ποσότητες που εξαρτώνται από τις αρχικές συνθήκες κίνησης του σώµατος. Η γενική λύση x(t της ( προκύπτει ως αθροισµα των x 1 (t και x (t, δηλαδή ισχύει: (3,(4 x(t = x 1 (t + x (t x(t = Aµ ("t + # + n K g/" (5 Παραγωγίζοντας ως προς τον χρόνο την (5 παίρνουµε την αλγεβρική τιµή v(t της ταχύτητας του σώµατος, δηλαδή ισχύει: v(t = dx(t/dt = A"#$(t + % (6 H (5 για t= δίνει: (1 x = Aµ" + n K g/# n S g/ = A"µ# + n K g/ (n S g/ = A"µ# (7 Eξάλλου η (6 για t= δίνει: v = A"#$% v / = A"#$% (8 Συνδυάζοντας τις σχέσεις (7 και (8 παίρνουµε: (n S g / 4 + v / = A ("µ # + $% # A = 1 (n S g + v (9 Διαιρώντας κατά µέλη τις (7 και (8 παίρνουµε: "# = (n S g/$ v /$ = (n S g $v (1 Oι ζητούµενες λοιπόν εξισώσεις της µετατόπισης και της ταχύτητας του σώµα τος σε συνάρτηση µε τον χρόνο έχουν την µορφή: και x(t = 1 (n S g + v "µ (t + # + n g K (11 v(t = 1 (n S g + v "#$(t + % (1 µε "# = (n S g $v iii Tην χρονική στιγµή t 1 για την οποία ισχύει ωt 1 +φ=π/ η µετατόπιση του σώµατος είναι:
( > x x 1 = 1 (n S g + v + n K g η δε ταχύτητά του είναι v 1 =. Την χρονική στιγµή t για την οποία ισχύει ωt +φ=π η µετατόπιση του σώµατος είναι x =n S g/ω =x, η δε ταχύτητά του εί ναι: v = - 1 (n S g + v < δηλαδή την στιγµή t το σώµα κινείται κατα την αρνητική φορά και βρίσκεται στην θέση στην οποία άρχισε να ολισθαίνει επί της ταινίας. Την χρονική στιγµή t 3 για την οποία ισχύει ωt 3 +φ=3π/, η µετατόπιση του σώµατος είναι: ( x = 1 - (n S g + v + n K g η δε ταχύτητά του είναι v 3 =. Στην συνέχεια η ταχύτητα του σώµατος γίνεται θετική και το µέτρο της αυξάνεται και κάποια στιγµή t 4 θα συµβεί v=v και θα ισχύει: Σχήµα 6 v = 1 (n S g + v "#$(t 4 + % "#($t 4 + % = v $ (n S g + v $ = 1 (n S g /v $ + 1 "#($t 4 + % = 1 ' % + 1 = "#(( - % t 4 = (" - # t 4 = ( - "/# t 4 = ( " - #$%' (n S g+ * - (13 v, H αντίστοιχη µετατόπιση x 4 του σώµατος είναι: ( x 4 = 1 (n S g + v "µ (# - $ + n K g
( x 4 = 1 (n S g + v (-"µ# + n K g x 4 = 1 % ' -v "# $ + 1 x 4 = 1 " -v (n - n g S K $ # v "#$ ( + n K g* "# $ + 1 % + n K g' x 4 = 1 ( n K - n S g (14 Την χρονική στιγµή t 4 η τριβή θα µετατραπεί από τριβή ολισθήσεως σε στατική τριβή και η ταχύτητα του σώµατος θα διατηρείται σταθερή και ίση µε v µέχρις ότου η µετατόπιση του σώµατος γίνει x, δηλαδή επί χρονικό διάστηµα που δίνεται από την σχέση: t * = x (1,(14 - x 4 v t * = n S g/ - (n K - n S / v = g(n S v (15 Tην χρονική στιγµή t 4 +t * η τριβή θα γίνει πάλι τριβή ολισθήσεως και η κίνηση του σώµατος θα αρχίσει να επαναλαµβάνεται εξ αρχής. Με βάση τα παραπάνω η γραφική παράσταση της συνάρτησης v=f(t θα έχει την µορφή του σχήµατος (6. P.M. fysikos Οµογενής κύβος ακµής α και µάζας m, εφάπτεται µε µια έδρα του οριζόντιου εδάφους µε το οποίο παρουσιάζει συντε λεστή τριβής ολίσθησης n. Επί του κύβου ενεργεί οριζόντια δύναµη F, της οποίας ο φορέας είναι κάθετος σε µια έδρα του και διέρχεται από το κέντρο του. i Με την προυπόθεση ότι ο κύβος ανατρέπεται περί την κατώτερη ακµή του και ταυτόχρονα ολισθαίνει, να βρεθεί η γωνιακή του επι τάχυνση και η επιτάχυνση ολίσθησης της κατώτερης ακµής του κατα την έναρξη της κίνησής του. ii Nα βρεθούν οι συνθήκες, ώστε ο κύβος να ανατρέπεται και να ολισθαίνει ταυτόχρονα. Δίνεται η επιτάχυνση g της βαρύτητας και η ροπή αδράνειας Ι =mα /6 του κύβου ως προς άξονα που διέρχεται από το κέντρο µάζας του και είναι παράλληλος προς µια ακµή του. ΛΥΣΗ: i Έστω ότι τη στιγµή t= που ενεργεί η οριζόντια δύναµη F ο κύβος αρχίζει να περιστρέφεται περί την ακµή του Γ και ταυτόχρονα να ολισθαίνει. Την στιγµή αυτή ο κύβος δέχεται το βάρος του w και τη δύναµη επαφής από το κεκλιµένο επίπεδο, της οποίας ο φορέας διέρχεται από την κατώτερη ακµή
του Γ αναλύεται δε στην κάθετη αντίδραση N και την τριβή ολισθήσεως T (σχήµα 7. Εάν ' είναι η γωνιακή επιτάχυνση του κύβου περί το κέντρο µάζας του κατά την έναρξη της κίνησης του, τότε σύµφωνα µε τον θεµελιώδη νόµο της στροφικής κίνησης θα ισχύει η σχέση: I '= N" - T" m 6 "'= N - T '= 3(N - T m" '= 3(N - nn = m" 3N(1 - n m" (1 Σχήµα 7 Η αντίστοιχη επιτάχυνση a της ακµής Γ στο σύστηµα αναφοράς του εδάφους υπολογίζεται µέσω της σχέσεως: a = a + (" '# r + (" # d r /dt a = a + (" '# r ( όπου a η επιτάχυνση του κεντρου µάζας του κύβου, r η επιβατική ακτίνα της ακµής Γ ως προς το κέντρο µάζας του και η γωνιακή ταχύτητα του κύβου την στιγµή t=, η οποία είναι µηδενική. Αναλύοντας την διανυσµατική σχέση ( κατά τις διευθύνσεις των ορθογώνιων αξόνων Οx, Oy παίρνουµε για τις προβολές a x, a y της επιτάχυνσης a τις σχέσεις: a x i + a y j = ax i + a y j + "' k # $ i - $ + % j ( - ' *, a x i + "#' j = a x i + a y j + ( k $ i - ( k $ j "#' a x i = a x i + a y j + j + i. / [ ] ( ή a x i = $ a x + "#' ' $ i + a % y + "#' ' ( % ( j
a x = a x - "#' i, και a y = - "' όπου j τα µοναδιαία διανύσµατα των αξόνων Οx και Οy αντιστοίχως και k το κάθετο προς το επίπεδο Oxy µοναδιαίο διάνυσµα. Εφάρµόζοντας για την κίνηση του κέντρου µάζας του κύβου τον δεύτερο νόµο κίνησης του Νεύτωνα κατά τις διευθύνσεις των αξόνων Οx, Oy παίρνουµε τις σχέσεις: (3 ma x = F - T ma y = N - mg " # (3 m(a x - "#'/ = F - nn -m"#'/ = N - mg $ % (4 Συνδυάζοντας την δεύτερη εκ των (4 µε την (1 παίρνουµε: m 3N(n - 1 m = N - mg 3N(n - 1= N - mg N(5-3n = mg N = mg 5-3n (5 οπότε η (1 γράφεται: ' = 3(1 - n m" mg 5-3n ' = 6(1 - ng "(5-3n (6 Συνδυάζοντας µεταξύ τους τις σχέσεις (4 παίρνουµε: (5 ma x + N - mg = F - nn ma x = mg + F - (n + 1N ma x = mg + F - (n + 1 mg 5-3n a = g + F g(n + 1 x - m 5-3n a = F m + g(3-5n 5-3n (7 (διότι a Γx =a Γ, αφού a Γy =. ii Επειδή πρέπει Ν> από την (5 προκύπτει 5-3n>, δηλαδη n<5/3. Aπό την (3 προκύπτει ότι πρέπει ω <, διότι a ψ >, οπότε η (6 δίνει n>1. Ακόµη πρέπει a Γ >, οπότε από την (7 προκύπτει: F g(3-5n + > m 5-3n F mg > 5n - 3 5-3n Oι ζητούµενες λοιπόν συνθήκες συνοψίζονται στις σχέσεις:
1 < n < 5 / 3 και F mg > 5n - 3 5-3n P.M. fysikos Δύο µικρές σφαίρες Σ 1, Σ µε αντίστοιχα βάρη w 1, w συνδέονται µεταξύ τους µε αβαρή ράβδο στηριζόµενες επί λείας και κοίλης επιφάνειας, η οποία είναι ακλόνητη σε οριζόντιο έδαφος (σχήµα 8. Η ράβδος φαίνεται από το κέντρο Ο της σφαιρικής επιφά νειας υπό γωνία π/. Να καθορισθεί η θέση ισορροπίας του συστή µατος και να δείξετε ότι η ισορροπία αυτή είναι ευσταθής. ΛΥΣΗ: Το σύστηµα των δύο σφαιριδίων και της ράβδου δέχεται τα βάρη w 1, w των σφαιριδίων και τις αντιδράσεις F 1, F της σφαιρικής επιφάνειας στα σηµεία επαφής της µε τα σφαιρίδια, των οποίων οι φορείς διέρχονται από το κέντρο Ο, επειδή η επιφάνεια είναι λεία. Όταν το σύστηµα ισορροπεί πρέπει ο φορέας της δύναµης w 1 + w να διέρχεται από το σηµείο τοµής Ο των F 1, F. Αυτό σηµαίνει ότι, αν φέρουµε από το Ο µια κατακόρυφη ευθεία αυτή θα τµήσει τη ράβδο στο κέντρο µάζας των δύο σφαιριδίων. Εφαρµόζοντας στα τρίγωνα Σ 1 Ο και Σ Ο το νόµο των ηµιτόνων παίρνουµε τις σχέσεις: Σχήµα 8 και O µ" /4 = # 1 µ (" /4 + $ O µ" /4 = # µ (" /4 - $ O = 1"µ# /4 "µ(# /4 + $ = O = "µ# /4 "µ(# /4 - $ = 1 "µ (# /4 + $ "µ (# /4 - $ (1 ( όπου φ η γωνία που σχηµατίζει η ράβδος µε την οριζόντια διεύθυνση, η οποία είναι ίση µε την γωνία που σχηµατίζει η ευθεία Ο και η διάµεσος ΟΜ του τριγώνου ΟΣ 1 Σ. Συνδυάζοντας τις σχέσεις (1 και ( παίρνουµε:
1 "µ (# /4 + $ = "µ(# /4 - $ 1 = "µ (# /4 + $ "µ (# /4 - $ w w 1 = µ (" /4#$% + #$%(" /4µ µ (" /4#$% - #$%(" /4µ w w 1 = ( / ("#$ + %µ$ ( / ("#$ - %µ$ w w 1 = "" + 1 "" - 1 w "" - w = w 1 "" + w 1 ""(w - w 1 = w 1 + w "" = w 1 + w w - w 1 "" = m - m 1 m + m 1 (3 Εάν (x, y είναι οι συντεταγµένες του κέντρου µάζας του συστήµατος, ως προς το ορθογώνιο σύστηµα αξόνων Οx, Οy θα ισχύουν οι σχέσεις: x = 1 "µ# y = $%# ' ( (x/ 1 = "µ # ' ( (y/ = $% # (+ x ( 1 + y ( = 1 (4 Σχήµα 9 όπου τα µήκη Σ 1 και Σ αποτελούν σταθερές ποσότητες, που υπολογίζονται απο τις σχέσεις: 1 + = R και w 1 ( 1 = w ( Η σχέση (4 εκφράζει ότι το κέντρο µάζας κινείται σε τόξο έλλειψης, όταν το σύστηµα µετατοπίζεται από την θέση ισορροπίας του παραµένοντας σε κατακό ρυφο επίπεδο. Το τόξο αυτό στρέφει το κυρτό µέρος του προς την ράβδο, εφάπτεται δε της οριζόντιας διεύθυνσης (ε που διέρχεται από το κέντρο µάζας, όταν το σύστηµα ισορροπεί, διότι αυτό απαιτεί η κατάσταση ισορροπίας του. Τα παραπάνω σηµαίνουν ότι κατά την µετακίνηση του συστήµατος από την θέση ισορροπίας το κέντρο µάζας του ανέρχεται,
δηλαδή η ισορροπία του είναι ευσταθής. Παρατήρηση: Θα αποδείξουµε ότι στην θέση ισορροπίας του συστήµατος η βαρυτική του δυναµική ενέργεια, ως προς ένα οποιοδήποτε επίπεδο αναφοράς παρουσιάζει ελάχιστη τιµή και το γεγονός αυτό εγγυάται ότι η ισορροπία του είναι ευστα θής. Θεωρώντας ως επίπεδο αναφοράς της βαρυτικής δυναµικής ενέργειας το οριζόντιο επίπεδο που διέρχεται από το κέντρο Ο της κοίλης σφαιρικής επιφάνειας, η βαρυτική δυναµική ενέργεια U του συστήµατος είναι: U = -m 1 gh 1 - m gh = -m 1 grσυν(π/4 + φ - m grσυν(π/4 - φ U =- gr[m 1 συν(π/4 + φ + m συν(π/4 - φ] U = -gr[m 1 συν(π/4συνφ - m 1 ηµ(π/4ηµφ + + m συν(π/4συνφ + m ηµ(π/4ηµφ] U = -gr( /[(m 1 + m συνφ - (m 1 - m ηµφ] U = -gr(m 1 + m, "#$ - % m 1 - m ( /. ' * +µ$ 1 - m 1 + m U=-gR(m 1 +m ("#$ -%$'µ$= = -gr(m 1 +m U= -gr(m 1 +m "#$ ' %µ "#$ - ( "# %µ$ *, + ("#%"#$ - µ$µ% U= -gr(m 1 +m "#($ +% "#$ (5 όπου τέθηκε εφω=(m 1 -m /(m 1 +m. Παρατηρούµε από την (5 ότι για φ=-ω είναι συν(φ+ω=1, δηλαδή η U παίρνει την µικρότερη τιµή της που είναι: U mim = - gr(m 1 +m "#$ Τότε όµως θα έχουµε: "" = -"# = m - m 1 m 1 + m δηλαδή επανευρίσκουµε τη συνθήκη ισορροπίας του συστήµατος.
Άλλος τρόπος: Προηγουµένως αποδείχθηκε η σχέση: U = -gr [ (m 1 + m "#$ - (m 1 - m %µ$] Παραγωγίζοντας τη σχέση αυτή ως προς φ παίρνουµε: du d = -gr [ -(m + m "µ - (m - m #$% 1 1 ] H γωνία φ για την οποία µηδενίζεται η πρώτη παράγωγος du/dφ, προκύπτει από την σχέση: (m 1 + m µ" + (m 1 - m #$%" = "" = m - m 1 m + m 1 δηλαδή προκύπτει εκ νέου η συνθήκη ισορροπίας του συστήµατος από τον µηδενισµό της πρώτης παραγώγου της συνάρτησης U=f(φ, που αποτελεί ικανή συνθήκη για ισορροπία. Παραγωγίζοντας την σχέση (5 ως προς φ παίρνουµε: d U d = -gr [ -(m 1 + m "#$ + (m 1 - m %µ] d U d = - gr [ "#$ -(m 1 + m + (m 1 - m %] (6 H (6 στη θέση ισορροπίας του συστήµατος γράφεται: d U d = gr % "#$ (m 1 + m + (m - m 1 m - m 1 ' m 1 + m ( * d U d = gr "#$(m 1 + m [ (m 1 + m + (m - m 1 ] > δηλαδή η δεύτερη παράγωγος της U=f(φ είναι θετική στη θέση ισορροπίας του συστήµατος και αυτό σηµαίνει ότι η ισορροπία είναι ευσταθής. P.M. fysikos Ένας τροχός ακτίνας R και µάζας m κυλίεται επί οριζόντιου εδάφους, ώστε το κέντρο µάζας του να διαγράφει οριζόν τια περιφέρεια ακτίνας α, το δε επίπεδό του να σχηµατίζει µε την κατακόρυφη διεύθυνση σταθερή γωνία φ. i Εαν v είναι η ταχύτητα του κέντρου του τροχού, να δείξετε ότι η κινητική του ενέργεια Κ ικανοποιεί την σχέση:
K = mv 4 $ % 3-3Rµ" # ( + R # 1 + µ " ' ( ii Nα βρείτε το µέτρο της δύναµης που δέχεται ο δίσκος από το ορι ζόντιο έδαφος. Δίνεται η ροπή αδράνειας Ι=mR / του δίσκου ως προς άξονα που διέρχεται από το κέντρο του και είναι κάθετος στο επίπεδό του και η επιτάχυνση g της βαρύτητας. ΛΥΣΗ: i Θεωρούµε τρισορθογώνιο σύστηµα Οxyz κύριων αξόνων αδράνειας του δίσκου, ακλόνητα συνδεδεµένο µε αυτόν, του οποίου η αρχή είναι το κέντρο O του δίσκου, ο άξονας Οx είναι κάθετος στο επίπεδό του, ο άξονας Οy έχει την διεύθυνση της ευθείας που συνδέει το Ο µε το σηµείο επαφής Α του δίσκου µε το έδαφος, οπότε ο άξονας Οz θα έχει την διεύθυνση της ταχύτητας v του κέντρου του δίσκου (σχήµα 1. Οι προβολές ω x, ω y, ω z της γωνιακής ταχύτητας του δίσκου στους τρεις αυτούς άξονες είναι: x = s - " x = v R - v # $µ%, y = -" y = - v # $%', ω z = (1 Σχήµα 1 όπου s η γωνιακή ταχύτητα του δίσκου η οφειλόµενη στην κύλισή του µε µέτρο v/r και Ω x, Ω y οι προβολές στους άξονες Οx και Οy αντιστοίχως της γωνιακής ταχύτητας, της οφειλόµενης στην κυκλική κίνηση του κέντρου µάζας του δίσκου µε µέτρο v/α. Άρα η γωνιακή ταχύτητα εκφραζόµενη µε όρους του συστήµατος Οxyz δίνεται από την σχέση: = % v ' R - v " #µ$ ( * % v e x - ' " +,-$ ( * e y ( όπου e x, e y τα µοναδιαία διανύσµατα των αξόνων Οx και Οy αντιστοίχως. Η κινητική ενέργεια Κ του δίσκου δίνεται από την σχέση: K = mv + I x x + I y y + I z z (3 όπου Ι x, Ι y, Ι z οι ροπές αδράνειας του δίσκου ως προς τους κύριους άξονες αδράνειας Οx, Oy, Oz αντιστοίχως, για τις οποίες ισχύουν οι σχέσεις:
I x = mr, I y = I z = mr 4 (4 Συνδυάζοντας τις σχέσεις (3, (4 και (1 παίρνουµε: K = mv + mr 4 $ v R - v % "µ# ' ( + mr 8 $ v % *+,# ' ( K = mv + mv R 4 $ % 1 R + 1 "µ # - "µ# R K= mv R µ " +mv 4 +mv - mv 4# 4 K = mv 4 $ % ( 3 - µ" R# + R # 1 + µ " ' + mv R *+, # ( 8 Rµ" # +mv R 8# - mv R µ " 8# ' (5 ( ii O δίσκος κινείται υπό την επίδραση του βάρους του w και της δύναµης επαφής F από το οριζόντιο έδαφος η οποία αναλύεται στην οριζόντια στατική τριβή T και στην κάθετη αντίδραση N που είναι κατακόρυφη, Σύµφωνα µε το θεώρηµα κίνησης του κέντρου µάζας, η T αποτελεί για το κέντρο µάζας κεντρο µόλο δύναµη, ενώ η N εξουδετερώνει το βάρος του δίσκου αφού το κέντρο µάζας κινείται σε οριζόντια τροχιά. Έτσι θα έχουµε τις σχέσεις: T = mv /α και Ν = mg (6 To µέτρο της F είναι: (6 F = T + N F = ( mv / + m g F = m v4 + g P.M. fysikos