Ακολουθίες & Σειρές Κώστας Γλυκός Ασκήσεις για ΑΕΙ και ΤΕΙ σε Ακολουθίες, Σειρές, Δυναμοσειρές τεχνικές 0 ασκήσεις Ι δ ι α ί τ ε ρ α μ α θ ή μ α τ α 6 9 7. 0 0. 8 8. 8 8 Kglykos.gr / / 0 7 εκδόσεις Καλό πήξιμο
τηλ. Οικίας : 0-60.78 κινητό : 697-00.88.88 Τα πάντα για τις Ακολουθίες και Σειρές γνησίως αύξουσα : αν Μία ακολουθία λέγεται :, γνησίως φθίνουσα : αν, άνω φραγμένη : αν υπάρχει Μ ώστε κάτω φραγμένη : αν υπάρχει Μ ώστε M M φραγμένη : αν υπάρχουν m,μ ώστε m M supa : το ελάχιστο άνω φράγμα ifa : το μέγιστο κάτω φράγμα Τεχνικές για μονοτονία : Υπολόγισε την ποσότητα και σύγκρινε με το 0 ή την ποσότητα με το (στο πηλίκο ιδιαίτερη προσοχή θέλει αν οι όροι είναι αρνητικοί γιατί τότε και για Ενδιαφέρον παρουσιάζει η περίπτωση όπου η ακολουθία μας επιτρέπει να θεωρήσουμε συνάρτηση στη l v l θέση της και να βρούμε τη μονοτονία. Π.χ. για v f (),, v v Προσοχή, σε περίπτωση αναδρομικού τύπου, ακολούθησε μέθοδο μαθηματικής επαγωγής, δηλαδή : για αύξουσα Βρίσκεις Δέχεσαι ότι Δείχνεις ότι
τηλ. Οικίας : 0-60.78 κινητό : 697-00.88.88 Ασκήσεις :. Να βρεις την μονοτονία των ακολουθιών :,,....! 5...( ) Να βρεις την μονοτονία των ακολουθιών :,, 46.... ( ),,, 4 4 4. Να βρεις τη μονοτονία της : 0, 4 5. Να βρεις τη μονοτονία της : 5, 4 Τεχνικές για φραγμένη : Ο καλύτερος τρόπος είναι να καταφέρεις... M οπότε θα έχεις βρει κάτω φράγμα το Μ και άνω φράγμα το Μ. Έξυπνο είναι να παρατηρείς μονοτονία και τιμές της ακολουθίας ώστε να βγάζεις συμπεράσματα για φράγματα. Η αύξουσα έχει τον πρώτο της όρο κάτω φράγμα, ενώ η φθίνουσα άνω φράγμα Κάθε απολύτως φραγμένη ακολουθία είναι φραγμένη και αντίστροφα 5,, 6. Ν.δ.ο. είναι φραγμένες οι ακολουθίες :, 5 8 4,,, 7 Υπόδ :Στις δύο τελευταίες θα χρειαστείς ανίσωση Beroulli:Αν α>-,, δηλαδή, 7. Ν.δ.ο. δεν είναι φραγμένες οι ακολουθίες : 5,,, 5 (υπόδ: έστω ότι είναι και θα καταλήγεις σε άτοπο) 8. Ν.δ.ο. είναι φραγμένη η ακολουθία : 0, 9. Ομοίως : 5, 4 4 Λέμε ότι η ακολουθία Το όριο της είναι μοναδικό Σύγκλιση ακολουθίας συγκλίνει στον πραγματικό αριθμό α : lim lim 0
τηλ. Οικίας : 0-60.78 κινητό : 697-00.88.88 Κάθε συγκλίνουσα ακολουθία είναι φραγμένη Μηδενική ακολουθία : 0. Προσοχή : 0 0 Το γινόμενο μηδενικής ακολουθίας επί φραγμένη είναι μηδενική : 0, b M b 0 Αν, b b k mb k mb Προφανώς : τότε δεν είναι άνω φραγμένη Προφανώς : b, b Αν η ακολουθία Υπακολουθία συγκλίνει στο α τότε κάθε υπακολουθία της συγκλίνει στο α Κάθε φραγμένη ακολουθία έχει συγκλίνουσα υπακολουθία Αν για την ακολουθία αποκλίνει βρεις δύο υπακολουθίες της που συγκλίνουν σε διαφορετικό αριθμό τότε η Η διαφορά δύο όρων της ακολουθίας 0,,, m o o m Βασική ακολουθία Cuchy και μετά είναι μηδενική, δηλαδή Μία ακολουθία λέγεται συστολική αν c, c Τεχνικές για όρια : Μάθε ότι : lim, lim, lim. Προσοχή, αν η ακολουθία έχει όριο καλείται συγκλίνουσα, ενώ αν το όριο είναι 0, καλείται μηδενική ακολουθία Υπολόγισε τα όρια των ακολουθιών : 0.... lim,lim,lim lim,lim,lim 4 lim,lim,lim lim
τηλ. Οικίας : 0-60.78 κινητό : 697-00.88.88 Υπολόγισε τα όρια των ακολουθιών : 4.,,, 5. 4 5, 4 6. 7. 54, 5 9 4, 4 4 0.5,, 4 5 8. 9. 0. 4,, 7,, 0.9 5.. 5. Αν lim k, lim b m lim b ; Τεχνικές για μηδενική : Μάθε ότι : αν... b και καταφέρεις ν.δ.ο. η b 0 0 ή Δείξε ότι είναι φθίνουσα οπότε φραγμένη, άρα συγκλίνουσα. Για το όριο π.χ.... οπότε με όριο και στα δύο μέλη θα το βρεις 0 4. Ν.δ.ο. η ακολουθία (Υπόδ: Πάρε το... 5 είναι μηδενική. 4 b οπότε δείξε ότι το δεύτερο μέλος είναι μηδενική. Για την θα χρειαστείς Beroulli) 5. Ν.δ.ο. είναι μηδενικές οι ακολουθίες :,,!! 6. Ν.δ.ο. είναι μηδενικές οι ακολουθίες :,! Με η τεχνική λύνονται οι ασκήσεις,
τηλ. Οικίας : 0-60.78 κινητό : 697-00.88.88 7. Να βρεις το όριο της ακολουθίας με, 4 5, ; και ν.δ.ο. είναι μηδενική 8. Αν 9. Αν (Υπόδ : δες πρόσημο όρων, βρες μονοτονία, δείξε ότι είναι φραγμένη άρα συγκλίνουσα και για να βρεις όριο : παντού lim και επιπλέον ισχύει : lim lim ) (Υπόδ: Φτιάξε τις σχέσεις για η=,η=,...,η και πολ/σε κατά μέλη), ; και ν.δ.ο. είναι μηδενική (Υπόδ: Φτιάξε τις σχέσεις για η=,η=,...,η και πολ/σε κατά μέλη) 0. Αν, lim ;, lim ;. Αν. Αν, lim ;. 9 Αν ακολουθία :, και ακολουθία b : b 8 4. Αν ακολουθία (Υπόδ: όπως 6) (Υπόδ: όπως 6) (Υπόδ: όπως 6), ν.δ.ο. η β είναι αριθμητική πρόοδος, να βρεις την α και να βρεις το όριό της :, 5 και ακολουθία b : b, ν.δ.ο. η β είναι γεωμετρική πρόοδος, να βρεις την α και να βρεις το όριό της Πιθανά θέματα ακολουθιών : 5. Έστω η ακολουθία :,. Ν.δ.ο. 0. Ν.δ.ο. 0. Να βρεις το όριο αυτής, αν αυτή συγκλίνει 5 6. Έστω ακολουθία :, βρεις και το όριο της ακολουθίας 7. Να βρεις το όριο των ακολουθιών :. Ν.δ.ο. και ότι είναι γνησίως αύξουσα. Να 5!,,! 7! 8. Να μελετήσεις ως προς την σύγκλιση τις ακολουθίες : k 5, k k 9. Να βρεις το όριο της 4 7 5
τηλ. Οικίας : 0-60.78 κινητό : 697-00.88.88 40. Ν.δ.ο.... 4. Ν.δ.ο.... 6 Επαγωγική μέθοδος : Εξετάζεις αν η σχέση ισχύει για συγκεκριμένο η Δέχεσαι ότι ισχύει για η Εξετάζεις αν ισχύει για η+ 4. Ν.δ.ο.... 4 4. Ν.δ.ο.... 44. Ν.δ.ο.... 45. Ν.δ.ο....,, 46. Να αποδείξεις την ανισότητα Beroulli : Αν πάρεις το μερικό άθροισμα Υπολογισμός Σειράς : S i i συγκλίνει στο S και θα λέμε το S:άθροισμα, Η σειρά αποκλίνει όταν lim S και αυτό συγκλίνει στο S τότε όλη η σειρά θα S ή ή όταν δεν υπάρχει το όριο Όταν η σειρά συγκλίνει απόλυτα τότε η σειρά συγκλίνει Αν S s S s & S S 0 Το νου σου : αν το έχει μορφή κλάσματος μπορείς να εφαρμόσεις τεχνική Α,Β (όπως Γ Λυκείου) και να βρεις το άθροισμα Γεωμετρική σειρά : r, r τότε συγκλίνει : 0 Θυμίζω τυπολόγιο Γ.Π. από Λύκειο : 0 r r, S, S 6
τηλ. Οικίας : 0-60.78 κινητό : 697-00.88.88 Τηλεσκοπική σειρά :, b b b lim b Αρμονική σειρά : Αν η σειρά, συγκλίνει για ρ>, αποκλίνει για ρ< και για ρ= συγκλίνει τότε η ακολουθία είναι μηδενική Αν η ακολουθία δεν είναι μηδενική τότε η σειρά Π.χ. Θυμίζω : αποκλίνει αποκλίνει αφού. Προσοχή, αν 0 δε σημαίνει ότι συγκλίνει αποκλίνει ενώ 0 47. Υπολόγισε τη σειρά(γεωμετρική) : 48. Υπολόγισε τη σειρά(τηλεσκοπική) : 49. Υπολόγισε τη σειρά (τηλεσκοπική) : 50. Υπολόγισε τη σειρά ( γεωμετρικές αν σπάσεις το κλάσμα) : 5. Υπολόγισε τη σειρά :, 5. Ν.δ.ο. η σειρά απειρίζεται αρνητικά : (Υπόδ: θα χρειαστεί η 5) 5. Να βρεις τα αθροίσματα των σειρών :,,, e 0 (Απάν:,0,, e ) 9 e Κριτήρια σύγκλισης σειράς : Γενικό κριτήριο σύγκλισης Cuchy : Αν μία σειρά συγκλίνει τότε lim 0 Π.χ. η σειρά αποκλίνει S S... 0 Κριτήριο Cuchy : Αν lim k, k τότε συγκλίνει (κ> : αποκλίνει) 7
τηλ. Οικίας : 0-60.78 κινητό : 697-00.88.88 Π.χ. συγκλίνει Κριτήριο D Alembert : Αν Π.χ. συγκλίνει,lim e,lim 0! lim k, k 8 τότε συγκλίνει (κ> : αποκλίνει) Κριτήριο σύγκρισης : Αν 0 b και συγκλίνει η η τότε συγκλίνει και η η, ενώ αν αποκλίνει η η θα αποκλίνει και η η Κριτήριο Leibiz : η εναλλάσουσα σειρά συγκλίνει όταν 0,, 0 Κριτήριο σύγκρισης στο όριο : Έστω δύο ακολουθίες, 0,lim b c όπου διακρίνω b τις εξής περιπτώσεις : Αν c 0, b συγκλίνει τότε συγκλίνει και η Αν c 0, b συγκλίνει τότε συγκλίνει και η ενώ αν αποκλίνει τότε αποκλίνει και η b Αν c, συγκλίνει τότε συγκλίνει και η b αποκλίνει και η Π.χ. 4 5 αποκλίνει η σειρά αφού για Κριτήριο του Rbe : Έστω σειρά αποκλίνει για κ< Π.χ. συγκλίνει ενώ αν b b lim b αποκλίνει τότε και lim k συγκλίνει για κ> και 5... 9,lim 46...() 6 Κριτήριο του ολοκληρώματος : Έστω συνάρτηση f οι ακολουθίες Π.χ. αποκλίνει f (),() k b f d :,, θετική και φθίνουσα τότε συγκλίνουν ή αποκλίνουν μαζί k,()() f f d l l Το νου σου(): 0 αποκλίνει (το αντίστροφο δεν ισχύει) Το νου σου(): Γραμμικός συνδυασμός σειρών.αν δύο σειρές συγκλίνουν τότε συγκλίνει οποιοσδήποτε γραμμικός συνδυασμός τους. Δηλαδή : k b k b i i i i i i i
τηλ. Οικίας : 0-60.78 κινητό : 697-00.88.88 Το νου σου() : Αν μία τουλάχιστον από τις, b αποκλίνει τότε αποκλίνει και οποιαδήποτε σειρά της μορφής k mb 54. Ν.δ.ο. η αρμονική σειρά ισχύει το αντίστροφο του «το νου σου ()») 55. Ν.δ.ο. η σειρά αποκλίνει (υπόδ : παρατήρησε το όριο της 56. Ν.δ.ο. η σειρά συγκλίνει (υπόδ: κριτήριο D Alembert)! 57. Ν.δ.ο. η σειρά 58. Ν.δ.ο. η σειρά 59. Ν.δ.ο. η σειρά και η σειρά ( ) αποκλίνει (Υπόδ: χρησιμοποίησε το γενικό κριτήριο σύγκλισης,επιπλέον παρατήρησε ότι δεν συγκλίνει (υπόδ: κριτήριο D Alembert) ) αποκλίνουν(υπόδ: παρατήρησε ότι log συγκλίνει (υπόδ: παρατήρησε ότι log 60. Να εξετάσεις ως προς τη σύγκλιση τις σειρές : 6. Να εξετάσεις ως προς σύγκλιση τις σειρές : 6. Ν.δ.ο. η σειρά 4!, )!!!,, ()!, συγκλίνει (Υπόδ: κριτήριο ολοκληρώματος) e ( ) (υπόδ: κριτήριο Cuchy) 6. Να εξετάσεις ως προς τη σύγκλιση με το κριτήριο του ολοκληρώματος τις σειρές : p,,, si,, log e p 64. Να εξετάσεις ως προς τη σύγκλιση τις σειρές με το κριτήριο της σύγκρισης :,,,,,! 65. Να εξετάσεις ως προς τη σύγκλιση τις σειρές με το κριτήριο D Alembert: 5,,,,, 4! 66. Να εξετάσεις με το κριτήριο Cuchy ως προς τη σύγκλιση τις σειρές : log si,,, e 4 67. Να εξετάσεις με το κριτήριο σύγκρισης στο όριο της σειρές : cos rct, rct,, si, si log 0si ) (υπόδ: κριτήριο D Alembert) 9
τηλ. Οικίας : 0-60.78 κινητό : 697-00.88.88 68. Ν.δ.ο. η σειρά 69. Ν.δ.ο. η σειρά 70. Ν.δ.ο. η σειρά log συγκλίνει συγκλίνει 7. Να εξετάσεις ως προς τη σύγκλιση τις σειρές : 7. Ομοίως : 7. Ομοίως : 74. Ομοίως : 75. Ομοίως :!,,, 5,!, 5 7 5, 76. Ομοίως :,, 0 0, συγκλίνει 0 77. Να ελεγχθεί η σύγκλιση της σειράς,,, 0 e, 5! 5, e Κριτήριο λόγου: lim... lim... άρα συγκλίνει e 78. Να ελεγχθεί ως προς σύγκλιση η σειρά (και με τι ισούται) (τηλεσκοπική σειρά) Μπορείς να αποδείξεις ότι άθροισμα απλών κλασμάτων. Οπότε S... άρα η σειρά συγκλίνει 4 4 στον αριθμό 4 4..., δηλαδή ότι αναλύεται σε 4 4 4 4 4 0
τηλ. Οικίας : 0-60.78 κινητό : 697-00.88.88 79. Να αποδείξετε ότι: (τηλεσκοπική σειρά) 4 Προφανώς μπορείς να αναλύσεις σε άθροισμα απλών κλασμάτων : 4... Οπότε S... άρα η σειρά συγκλίνει στον αριθμό 80. Να εξεταστεί ως προς την σύγκλιση κάθε μια από τις παρακάτω σειρές:!,, 5 η με κριτήριο λόγου : lim... lim άρα αποκλίνει 5 η με κριτήριο ρίζας : lim 7 η με σύγκριση : 7 άρα συγκλίνει αφού συγκλίνει η 4 8. Να υπολογισθούν τα αθροίσματα:, (τηλεσκοπικ κές σειρές) lim lim....άρα συγκλίνει e η :... ( ) άρα S... η : 4... 8. Nα μελετήσετε ως προς τη σύγκλιση τις σειρές: η : με κριτήριο λόγου : lim... lim 0 άρα συγκλίνει ( )( )( ) η : με κριτήριο ρίζας : lim lim άρα συγκλίνει 8. Nα μελετήσετε ως προς τη άρα S...!,! σύγκλιση τις σειρές:,,
τηλ. Οικίας : 0-60.78 κινητό : 697-00.88.88 84. άρα συγκλίνει lim lim 0 άρα αποκλίνει η : με σύγκριση : η : με όριο : η : με ρίζα : lim lim lim 4 άρα αποκλίνει Δυναμοσειρές : με κέντρο το 0 : Με κέντρο το : o o 0 Ακτίνα σύγκλισης: για τις σειρές :, 0 o είναι 0 0 διάστημα σύγκλισης το διάστημα R, Rή R, R και τη σύγκλιση στα άκρα Ιδιότητες : Δύο δυναμοσειρές 0 b R mi R, R o o R lim με lim.χρήσιμο θα είναι να εξετάζεις, b με ακτίνες σύγκλισης, 0 0 R R τότε Κάθε δυναμοσειρά που συγκλίνει : μπορεί να παραγωγιθεί όρο προς όρο ή να ολοκληρωθεί όρο προς όρο : ' & 0 0 t dt 0 0 0 85. Να βρεις το διάστημα σύγκλισης των δυναμοσειρών :,, ( ) 86. Ομοίως : 87. Ομοίως : 0 5, 0 88. Ομοίως : 0,, 4! 4, 0
τηλ. Οικίας : 0-60.78 κινητό : 697-00.88.88 89. Να βρεις το διάστημα σύγκλισης και ακτίνα των δυναμοσειρών,,,!( ) η : κριτήριο της ρίζας : R lim lim έχει άπειρη ακτίνα σύγκλισης και συγκλίνει για 90.. η : κριτήριο λόγου : R lim... lim άρα έχει άπειρη ακτίνα σύγκλισης και συγκλίνει. η : κριτήριο λόγου : R lim... lim άρα έχει ακτίνα σύγκλισης το και συγκλίνει,. 4 η : κριτήριο λόγου : R lim... lim άρα έχει ακτίνα σύγκλισης το και συγκλίνει :,. Tylor: f ()() McLuri: f ()(0) f f '() f''() '''() f!!!... f f '(0) f ''(0) f '''(0)...!!! 5 7 si...! 5! 7!! 4 6 cos...! 4! 6!! 5 7 7 t... 5 5 Tylor - McLuri 0 0 5 7 rc t... 5 7 0 5 7 sih...! 5! 7!! 0 4 6 cosh...! 4! 6!! 0
τηλ. Οικίας : 0-60.78 κινητό : 697-00.88.88 l 4...!! 4! 4 e...!! 4!! 4 e...!! 4!, 0 0 l l 0 0,, 0, 9. Με τη βοήθεια του αναπτύγματος Mcluri της συνάρτησης f () cos, να υπολογιστεί το όριο cos lim 0. Επομένως το ανάπτυγμα Mcluri της f έως και όρους τέταρτης τάξης : f () 4 cos lim lim... 0 4 άρα 9. Να υπολογισθεί προσεγγιστικά το ολοκλήρωμα Με ανάπτυγμα Mc Luri θα έχεις si I e d 0 f ()... I si e d d... 0 0 6 4