ΜΕΡΟΣ Α! Κινηµατική άποψη

ΜΕΡΟΣ Α Κινηµατική άποψη Θεωρούµε στερεό σώµα που κινείται στον χώρο, ενώ ένα σηµείο του Ο είναι διαρκώς ακίνητο ως προς το αδρανειακό σύττηµα από το οποίο εξετάζεται. Η θέση του στερεού καθορίζεται κάθε στιγµή από τις θέσεις δύο ορισµένων σηµείων του Α, Β ενώ η θέση του σηµείου Ο παραµένει αναλλοίωτη στον χρόνο. Ας δεχθούµε ότι το σηµείο Α είναι αυθαίρετο, ενώ το Β έχει επιλεγεί ώστε η θέση του την χρονική στιγµή t να συµπίπτει µε την θέση Α του Α την χρονική στιγµή t+δt. Όταν εποµένως το στερεό στον χρόνο Δt µετατο πιστεί από την θέση Σ 1 στην θεση Σ 2 το Α θα βρεθεί στην θέση Β και το Β στην θέση Β. Επειδή οι αποστάσεις των σηµείων Α και Β από το Ο είναι χρονικά αµετάβλητες, θα έχουµε τις σχέσεις: OA=OA =OB και AB=A B Φέρουµε από το Ο την ευθεία (α) κάθετη στο επίπεδο ΑΒΒ και έστω C το σηµείο τοµής της (α) µε το επίπεδο αυτό. Τα ορθογώνια τρίγωνα ΟCA, OCB και ΟCB είναι ίσα διότι έχουν την ΟC κοινή και τις υποτείνουσες πλευρές ίσες, που σηµαένει ότι: CA=CB=CB Εξάλλου τα τρίγωνα ΑCB και BCB είναι ίσα, διότι έχουν όλες τους τις πλευ ρές ίσες, που σηµαίνει ότι οι γωνίες ΑCB και ΒCB είναι ίσες. Αν λοιπόν το Σχήµα 1 σώµα στραφεί περι την ευθεία Ο(α) κατά γωνία φ=αcb τα σηµεία Α, Β θα συµπέσουν µε τα Α, Β αντιστοίχως και επειδή η θέση στερεού στον χώρο καθορίζεται από τρία σηµεία του το στερεό θα µετατοπιστεί από τη θέση Σ 1

στη θέση Σ 2. Από τα παραπάνω συµπεραίνουµε ότι η µετατόπιση σώµατος έχοντος ένα σηµείο ακίνητο, από µια θέση σε άλλη µπορεί να πραγµατοποιη θεί µε µια περιστροφή γύρω από κατάλληλο άξονα που διέρχεται από το ακίνητο σηµείο και µε κατάλληλη γωνία στροφής. Μπορούµε εποµένως κάθε στιγµή να ορίσουµε για το σώµα γωνιακή ταχύτητα, της οποίας ο φορέας βρίσκεται στον αντίστοιχο άξονα περιστροφής, η φορά της ανταποκρίνεται στον κανόνα του δεξιού χεριού και το µέτρο της δίνεται από τη σχέση: = d" / (1) όπου dφ η γωνία στροφής του στερεού µεταξύ των χρονικών στιγµών t και t+. Μια πεπερασµένη συνεχής κίνηση του στερεού µπορεί να θεωρηθεί ως επαλληλία στοιχειωδών περιστροφών που πραγµατοποιούνται περί στιγµιαί ους άξονες που διέρχονται από το ακίνητο σηµείο Ο, αλλά η διεύθυνσή τους µεταβάλλεται χρονικά, δηλαδή η γωνιακή του ταχύτητα έχει µεταβλητή διεύθυνση και µέτρο. Εάν µεταξύ των χρονικών στιγµών t και t+ η γωνια κή ταχύτητα του στερεου µεταβάλλεται κατά d, τότε το διανυσµατικό µέγεθος d / ορίζεται ως γωνιακή επιτάχυνση του στερεού κατα την χρονική στιγµή t και συµβολίζεται µε, δηλαδή ισχύει: = d / (2) Η γωνιακή επιτάχυνση δεν είναι εν γένει διάνυσµα µε φορέα τον στιγµιαίο άξονα περιστροφής του στερεού, δηλαδή τα διανύσµατα και δεν είναι Σχήµα 2 συγγραµµικά όπως συµβαίνει κατά την περιστροφή στερεού στον χώρο, περί σταθερό άξονα. Εάν r είναι το διάνυσµα θέσεως του τυχαίου σηµείου Μ του στερεού κατά την χρονική στιγµή t ως προς το Ο, τότε η ταχύτητα v του σηµείου την στιγµή αυτή θα είναι: v = d r " / = " r ( ) (3) όπου η αντίστοιχη γωνιακή ταχύτητα περιστροφής του στερεού µε φορέα τον αντίστοιχο στιγµιαίο άξονα περιστροφής Ο(α) του στερεού. Προφανώς το διάνυσµα v είναι κάθετο στο επίπεδο M MO και έχει µέτρο v=ω(mm ), όπου Μ η προβολή του Μ στον στιγµιαίο άξονα Ο(α) Εξάλλου η αντίστοιχη επι τάχυνση a του σηµείου Μ θα είναι:

a = d v = d a = " r " r ( ) # a = d " r # ( + " d r ( ( ) + ( " v ) (4) Η συνιστώσα ( " r ) της a έχει φορέα την ευθεία ΜΜ µε φορά προς το Μ και αποτελεί την κεντροµόλο επιτάχυνση του σηµείου Μ την χρονική στιγ µή t. Kινητική ενέργεια στερεού έχοντος ένα ακίνητο σηµείο Θεωρούµε τρισορθογώνιο σύστηµα αξόνων Οz µε αρχή το σταθερό σηµείο Ο του στερεού σώµατος, το οποίο συµπαρασύρεται µε αυτό, δηλαδή είναι ακλόνητα συνδεδεµένο µε το σώµα, οπότε ο προσανατολισµός του ως προς το αδρανειακό σύστηµα αναφοράς ΟΧΥΖ καθορίζει και τον προσανατολισµό του σώµατος ως προς το αδρανειακό σύστηµα. Η κινητική ενέργεια Κ του σώµατος θεωρούµενη στο αδρανειακό σύστηµα δίνεται κάθε στιγµή t από τη σχέση: K = (m v 2 / 2) = 1 2 m ( " # r ) 2 (1) Σχήµα 3 όπου m η µάζα του τυχαίου υλικού σηµείου του σώµατος, v η ταχύτητά του, r η επιβατική του ακτίνα ως προς το Ο και η γωνιακή του ταχύτητα ως προς τον στιγµιαίο άξονα περιστροφής που διέρχεται από το σταθερό σηµείο Ο. Εξάλλου εάν e, e, e z είναι τα µοναδιαία* διανύσµατα των αξό νων Ο, O, Oz αντιστοίχως και ω, ω, ω z οι προβολές της στους άξονες αυτούς, θα ισχύουν οι σχέσεις: = + + z και r = + + z ----------------------------------- * Tα µοναδιαία διανύσµατα e, e, µεταβάλλονται χρονικά, διότι το Οz στρέφεται σε σχέση µε το αδρανειακό σύστηµα αναφοράς ΟΧΥΖ.

όπου,, z οι συντεταγµένες του του υλικού σηµείου στο Οz. Έτσι θα έχουµε: " r ) = z = ( z - z ) + z + ( z - z ) + ( - ) (2) Συνδυάζοντας τις σχέσεις (1), (2) βρίσκουµε µετά από αρκετές πράξεις την σχέση: [ K = 1 2 m ( 2 + z 2 )" 2 + m (z 2 + 2 )" 2 + m ( 2 + 2 )" z 2 - - " m - z " m z - z " m z ] K = I 2 2 + I 2 2 2 2 z + I 2 + I z 2 z + I z 2 z (3) όπου Ι, I, I zz oι ροπές αδράνειας του σώµατος ως προς τους άξονες Ο, Ο, Oz αντιστοίχως και Ι, I z, I z τα λεγόµενα γινόµενα αδράνειας του σώµατος ως προς τα επίπεδα Ο, Οz, Οz αντιστοίχως, τα οποία ορίζονται µέσω των σχέσεων: I = - m, I z = - m z, I z = - m z Έχει αποδειχθεί ότι για κάθε σηµείο Ο του στερεού µπορούµε να επιλέ ξουµε τους άξονες του Οz. έτσι που τα γινόµενα αδράνειας να µηδενίζον ται. Τοτε οι άξονες αυτοί αποτελούν τους λεγόµενους κύριους άξονες αδράνειας του σώµατος και η σχέση (9) στην περίπτωση αυτή παίρνει την µορφή: K = I 2 2 + I 2 2 2 2 z (4) Πρέπει να τονισθεί ότι κάθε άξονας συµµετρίας του σώµατος αποτελεί κύριο άξονα αδράνειας αυτού. Στροφορµή στερεού έχοντος ένα σηµείο ακίνητο Η στροφορµή στερεού περί το ακίνητο σηµείο του Ο δίνεται εξ ορισµού από τη σχέση: L = ( r " m v ) = m [ r " (# " r )] (1) Όµως ισχύει η διανυσµατική ταυτότητα: [ " (# " )] = ( )# - ( # ) oπότε η σχέση (1) γράφεται:

L = m [( r " r )# -( r "# ) r 2 ] = m (r #) - m ( r L = m ( 2 + 2 + z 2 )(" + " + " z ) - - m ( " + " + z " z )( + + z ) L = + + [ " m ( 2 + z 2 )- " m - z " m z ] + [ " m (z 2 + 2 ) - z " m z - " m ] + [ z " m ( 2 + z 2 ) - " m z - " m z ] "# ) r L = ( I + I + z I z )+ ( I + I + z I z )+ ( I z + I z + z I zz ) Εάν οι άξονες Ο, O, Oz εκλεγούν ώστε να είναι κύριοι άξονες αδράνειας του σώµατος, τότε τα γινόµενα αδράνειας του σώµατος είναι µηδενικά και η προηγούµενη σχέση παίρνει την µορφή: L = I + I z (2) Aπό την (2) παρατηρούµε ότι τα διανύσµατα L και εν γένει δεν είναι συγγραµµικά. Αν όµως ο στιγµιαίος άξονας περιστροφής συµπίπτει µε ένα κύριο άξονα αδράνειας, λογουχάρη τον Ο, τότε ω =ω z =0, ω =ω 0 και η (2) στην περίπτωση αυτή γράφεται: L = I = I που σηµαίνει ότι τα διανύσµατα L και είναι συγγραµµικά και οµόρροπα. Αν δεχθούµε τώρα το σηµείο Ο ως αρχή ενός αδρανειακού συστήµατος αναφοράς ΟΧYZ και ότι είναι η συνολική ροπή περί το Ο όλων των εξωτε ρικών δυνάµεων που δέχεται το στερεό θεωρουµένων στο σύστηµα αυτό, τότε κάθε στιγµή θα ισχύει ο νόµος µεταβολής της στροφορµής, δηλαδή η σχέση: d L / = Εάν οι άξονες του συµπαρασυρόµενου µε το σώµα συστήµατος αναφοράς Οz είναι κύριοι άξονες αδράνειας του στερεού, θα έχουµε: d L = d I + I z (3) ( ) (3) d" = I d" e + I d e +I + I d e d" z d e z z + (4)

Eπειδή το περιστρεφόµενο ως προς το ΟΧYZ µοναδιαίο διάνυσµα έχει σταθερό µέτρο, µπορούµε να γράψουµε τη σχέση: d e = " ( ) = και µε τον ίδιο τρόπο: z 1 0 0 = z - d e = - z, d = - οπότε η σχέση (4) παίρνει την µορφή: d" = I d" e + I +I z - d" z ( ) + I + ( - z ) e z - ( ) # d" = I - I " " + I " " z zz z( # d" + I - I " " + I " " zz z z ( e + " d + I zz - I + I z z e z (5) # Εάν τ, τ, τ z είναι οι προβολές του διανύσµατος στους κινητούς άξονες Ο, O, Oz θα έχουµε: = + + z η οποία συνδυαζόµενη µε την (5) δίνει: I d - (I - I zz ) z = " (6) I d - (I zz - I ) z = " (7) I zz d - (I - I ) z = " z (8) Οι σχέσεις (6), (7), (8) αποτελούν τις εξισώσεις κίνησης στερεού µε ένα ακί νητο σηµείο και ισχύουν όταν οι άξονες του περιστρεφόµενου συστήµατος Οz είναι κύριοι άξονες αδράνειας του στερεού. Οι εξισώσεις αυτές είναι γνωστές ως εξισώσεις του Εuler.

Γωνίες του Εuler Κατά την κίνηση στερεού σώµατος περί ένα σταθερό του σηµείο Ο η θέση του ως προς ένα δεδοµένο αδρανειακό σύστηµα αναφοράς ΟΧYZ καθορίζεται κάθε στιγµή από την αντίστοιχη θέση του τρισορθογώνιου συστήµατος Οz κύριων αξόνων αδράνειας, το οποίο είναι ακλόνητα συνδεδεµένο µε το στερεό. Ο σπουδαίος Ελβετός µαθηµατικός Leonard Euler σκέφθηκε να θεωρήσει ότι η κίνηση του στερεού περί το Ο µπορεί να πραγµατοποιηθεί δια µιας αλληλουχίας τριών επιµέρους περιστροφών κατα τον εξής τρόπο: α. Μιας στροφής κατα γωνία φ περί τον άξονα ΟΖ του αδρανειακού συστή µατος αναφοράς ΟΧYZ, η οποία φέρει το κινητό σύστηµα στη θέση Ο 1 1 z (σχήµα 4.α) από την αρχική του θέση, η οποία χωρίς να βλάπτει την γενικό τητα είναι η θέση του αδρανειακού συστήµατος ΟΧYZ. β. Μιας στροφής κατά γωνία θ περί τον άξονα Ο 1, η οποία φέρει το κινητό σύστηµα στην θέση Ο 1 2 z (σχήµα 4.β) και γ. Μιας στροφής κατά γωνία ψ περί τον άξονα Οz, η οποία φέρει το κινητό σύστηµα στην τελική του θέση Οz (σχήµα 4.γ). Σχήµα 4.α Σχήµα 4.β Σχήµα 4.γ Πρέπει να παρατηρήσουµε ότι τα επίπεδα ΟΧY και Ο τέµνονται κατά την ευθεία ΟΙ που αποτελεί τον άξονα Ο 1 της δεύτερης στροφής και ότι οι γωνίες φ, θ, ψ καθορίζουν κάθε στιγµή την θέση του στερεού ως προς το αδρανειακό σύστηµα αναφοράς ΟΧYZ. Οι τρεις αυτές γωνίες ονοµάζονται γωνίες Euler και αποτελούν στοιχεία ικανά να περιγράψουν την κίνηση του στερεού περί το σταθερό σηµείο Ο. Θα δείξουµε ότι η γνώση των συναρ τήσεων φ=φ(t), θ=θ(t) και ψ=ψ(t) µας επιτρέπει να καθορίζουµε κάθε στιγµή t την γωνιακή ταχύτητα του στερεού. Εάν ω, ω, ω z είναι οι προβολές του διανύσµατος στους άξονες Ο, O, Oz αντιστοίχως κατά µια τυχαία χρονική στιγµή t, θα ισχύει: = + + z (1) Όµως κάθε µια από τις τρείς αυτές προβολές σχετίζεται µε τις γωνιακές ταχύτητες ", ", " περιστροφής περί τους άξονες ΟY, OI, Oz αντιστοί χως και µάλιστα είναι ίση µε το αλγεβρικό άθροισµα των προβολών τους στον αντίστοιχο άξονα. Έτσι λογουχάρη για την προβολή ω θα έχουµε: = " + # + (2)

Εάν ε είναι η ευθεία του επιπέδου Ο πάνω στην οποία προβάλλεται το διά νυσµα ", τότε η γωνία των ευθειών Οε και Ο είναι ίση µε ψ, διότι οι ευθείες αυτές ανήκουν στο ίδιο επίπεδο και είναι κάθετες προς τις ευθείες Ο και ΟΙ, που επίσης ανήκουν στο επίπεδο αυτό. Από την γεωµετρία του σχήµατος (5) έχουµε: " = # µ = (d# / )µ (3) Σχήµα 5 Σχήµα 6 Όµως (3) " = # ( / 2 - ( ) " = (d" / )#µ #µ Ακόµη έχουµε: " = " # = (d" / )# και " = 0 Άρα = (d" / )#µ #µ + (d / )( Για την προβολή ω έχουµε: = " + # + = (dφ/)ηµθσυνψ-(dθ/)ηµψ+0 Τέλος για την προβολή ω z έχουµε: z = z" + z# + z = ω φ συνθ+0+ω ψ ω z =(dφ/)συνθ - dψ/ Έτσι η σχέση (1) γράφεται: ) = + d" * d #µ #µ + (,. ) + + d" - * d #µ ( - #µ,. e + -

+ d d * ) "# -, ( + Παρατήρηση 1η: Για να διατηρηθεί η περιστροφή στερεού σώµατος περί άξονα που δεν είναι κύριος άξονας αδράνειας µε σταθερή γωνιακή ταχύτητα απαιτείται να ενεργεί στο σώµα συνολική εξωτερική ροπή περί τον άξονα, διάφορη του µηδενός. Πράγµατι για την ροπή περί ένα σηµείο Ο του άξονα, όταν η περιστροφή του σώµατος εξετάζεται από ένα αδρανειακό σύστηµα µε αρχή το Ο ισχύει, συµφωνα µε τον νόµο µεταβολής της στροφορµής η σχέση: = d L / όπου d L / ο ρυθµός µεταβολής της στροφορµής περί το Ο κατά την στιγ µή που εξετάζεται το σώµα. Όµως ο ρυθµός αυτός συνδέεται µε τον αντί στοιχο ρυθµό (d L /) µεταβολής της στροφορµής θεωρούµενο από το µη αδρανειακό σύστηµα Οz κύριων αξόνων αδράνειας του σώµατος, που συµπαρασύρεται µε αυτό, µέσω της σχέσεως: d L = d L # " ( ) + ( ) L " = d L # Όµως ισχύει για την στροφορµή L η σχέση: L = I + I z η οποία µε παραγώγιση ως προς τον χρόνο t δίνει: # " d L = I d( + I d( ( d( z + ) * L (α) ( ) ( (β) = 0 διότι η γωνιακή ταχύτητα είναι σταθερή. Άρα η (β) γράφεται: ( ) 0 = " # L Αν το σώµα στρέφεται περί κύριο άξονα αδράνειας µε σταθερή γωνιακή τα χύτητα, τότε λαµβάνοντας τον άξονα αυτόν ως άξονα Οz του κινητού συστή µατος, θα έχουµε: = " e z # I zz " ( ) = I zz " 2 ( # e z ) δηλαδή το σώµα δεν δέχεται εξωτερική ροπή περί το Ο, εποµένως και περί τον άξονα Οz. Παρατήρηση 2η: Η συνολική ροπή περί το σταθερό σηµείο Ο ένός στερεού σώµατος µπορεί να αναλυθεί κάθε στιγµή σε δύο επιµέρους ροπές " και ", εκ των οποίων η " είναι συγγραµµική της στροφορµής του L

περι το Ο και η " είναι κά θετη προς την στροφορµή. Η πρώτη συνιστώσα " προκαλεί µεταβολή στο µέτρο της στροφορµής, ενώ η δεύτερη " προκαλεί µεταβολή στην διεύθυν ση της στροφορµής. Πράγµατι για την συνολική ροπή περί το Ο ισχύει η σχέση: " = d L # ( ( ) ( + ) * L Προφανώς η συνιστώσα ( " L ) # της στροφορµής είναι κάθετη προς αυτήν και αποµένει να δείξουµε ότι το διάνυσµα (d L /) είναι συγγραµµικό της στροφορµής. Όµως είναι γνωστή η σχέση: L = I + I z # " d L = I d( + I d( d( z οπότε το εξωτερικό γινόµενο των διανυσµάτων L και (d L /) δίνει: ) + # * + " d L ( L,. = -. (µετά από πράξεις) I d/ / I d/ / I zz d/ z / = 0 I / I / I zz / z Άρα τα διανύσµατα L και (d L /) είναι συγγραµµικά. Παρατηρούµε λοι πόν ότι το διάνυσµα (d L /) εκφράζει την συνιστώσα της ροπής που ευθύνεται για την µεταβολή του µέτρου της στροφορµής του στερεού, ενώ το διάνυσµα ( " L ) # εκφράζει την συνισώσα της που ευθύνεται για την µεταβολή της διευθύνσεως της στροφορµής. P.M. fskos