ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΑΣΥΜΠΤΩΤΕΣ - ΚΑΝΟΝΕΣ DE L HOSPITAL - ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ [Κεφ..9: Ασύμτωτες Κανόνες de l Hospital Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΑΣΚΗΣΕΙΣ Άσκηση. ΘΕΜΑ Β Να βρείτε τις ασύμτωτες της συνάρτησης +, e () = >, Το εδίο ορισμού της είναι το D =. Εξετάζουμε τη συνέχεια της στο =. + lim e = = και Εειδή. + + lim = άρα η δεν είναι συνεχής στο =. lim () + = άρα η ευθεία = είναι κατακόρυφη ασύμτωτη της C Πλάγια-οριζόντια ασύμτωτη στο. + ( ) () e + + lim lim lim lim e = = = = + = + e γιατί: + lim = lim = και lim e = +. Άρα δεν έχουμε λάγια-οριζόντια ασύμτωτη στο Πλάγια-οριζόντια ασύμτωτη στο + () λ= lim = lim = lim = lim = + + + +
β= lim = lim = + + + άρα η ευθεία y = είναι λάγια ασύμτωτη στο Σημείωση: Στο σχήμα αεικονίζεται η γραφική αράσταση της C και οι ασύμτωτες της.
Άσκηση. Αν για την συνάρτηση : (, + ) ισχύουν i. () = ii. lim e = e και iii. + lim =. A. Να βρείτε τον τύο της συνάρτησης. B. Να κάνετε τη γραφική της αράσταση της συνάρτησης. A. = = = + = + () ( ()) () c () ( ln c ) () = ln+ c+ c lim() = e lne+ ce+ c = e + ce+ c = e () e () ln+ c + c ln c lim = lim = lim + c + = c = + ln + αφού lim = lim =. + + + + + Αό την () για c = έχουμε: e+ c = e c = και εομένως: () = ln. B. Το εδίο ορισμού της είναι D = (, + ) Έχουμε = = και η εξίσωση = έχει ρίζα τον αριθμό =. = <. Έχουμε
ln = = = + = lim lim ( ln ) lim + + + lim () lim( ln ) = =, άρα η ευθεία = είναι κατακόρυφη ασύμτωτη. λ= lim = και + β = lim () ( ) = lim ln + = lim ln = +, άρα η C δεν + + + έχει λάγια ασύμτωτη. Ο ίνακας μεταβολών της και η γραφική αράσταση της είναι 4
ΘΕΜΑ Γ Άσκηση. +, () για κάθε {} να δείξετε ότι η γραφική της αράσταση έχει κατακόρυφη ασύμτωτη. Αν για τη συνάρτηση ισχύει η σχέση 5 () Θεωρούμε ότι (, ) (,) οότε: + 5> + 5> > + 5 Έχουμε: () >. + 5 και εειδή ( ) lim = + 5 αίρνουμε: lim = (κριτήριο αρεμβολής). () Άρα lim lim = + = + και εομένως η ευθεία = είναι κατακόρυφη ασύμτωτη της C. 5
Άσκηση. Να βρείτε το όριο lim () + με = ( εφ ) ηµ. Η ορίζεται στο A= { : εϕ > } Είναι: + ηµ και εειδή +, θεωρούμε ότι, lim εφ = (αροσδιόριστη μορφή), οότε γράφουμε ηµ ηµ ln( εϕ) () = εφ = e και βρίσκουμε το όριο: ( ) ( ) ( ln ) ln εφ εφ + εφ εφ ( ηµ ) lim ηµ ln εφ = lim = lim = lim = ηµ ηµ ηµ + + + + συν ηµ lim = lim = lim = = εφ συν ηµ συν + + + συν συν συν ηµ ηµ Άρα: + + ηµ ηµ ln εφ lim εφ = lim e = e =. 6
Άσκηση. Να βρείτε το σύνολο τιμών της συνάρτησης = ln. Το εδίο ορισμού της ( ) είναι το D (, ) = +. Η συνάρτηση είναι συνεχής στο εδίο ορισμού της. Η = ( ln + ) έχει ρίζα τον αριθμό e =. ln ln lim = lim = lim = lim = lim + + + + + =, και lim = lim ln = +. Είσης ( ) + + + Ο ίνακας μεταβολών της είναι ο αρακάτω ίνακας Άρα το σύνολο τιμών της συνάρτησης είναι το (D ) =, + e. 7
Άσκηση 4. Δίνεται η συνάρτηση () = ln ln + i. Να δείξετε ότι η εξίσωση () = έχει μοναδική ρίζα στο διάστημα (, e ). ii. Να μελετήσετε το ρόσημο της συνάρτησης (). iii. Να κάνετε κατά ροσέγγιση τη γραφική αράσταση της. άσκησης 9 i. Το εδίο ορισμού της είναι D (, ) ln = ln = Έχουμε: = + και η είναι αραγωγίσιμη στο (, + ) με Η είναι συνεχής σαν ηλίκο συνεχών συναρτήσεων στο [, e ]. = ln = >, e = <. e Άρα ισχύουν οι υοθέσεις του Θ. Bolzano για την στο [, e ] και εομένως η εξίσωση () = έχει τουλάχιστον μια ρίζα στο διάστημα (, e ). Εξάλλου: (), +. = < για κάθε (, ) γνησίως φθίνουσα στο Άρα η εξίσωση () + οότε η συνάρτηση είναι = έχει μοναδική ρίζα τον αριθμό (, e). ii. Εειδή: () < στο (, + ) η είναι γνησίως φθίνουσα (, + ). = και εομένως Είναι όμως, ( ), (, e) Για Για < < έχουμε > >. > έχουμε < <. iii. Το εδίο ορισμού της είναι D (, ) = +. 8
ln Η είναι συνεχής και η () = όως είδαμε στο (ii) ερώτημα μηδενίζεται στο D. Είσης < για >. lim = lim ln + = lim ln + = + + + + ( )( + ) + =. ( ) lim lim( ln ln ) ( ) = + = + = γιατί: ln (ln ) lim ln = lim = lim = lim = lim =. Άρα η ευθεία = είναι κατακόρυφη ασύμτωτη. Φτιάχνουμε τον ίνακα μεταβολών για τη συνάρτηση (). Στο σημείο η αρουσιάζει μέγιστο. Η γραφική αράσταση της είναι: 9
Άσκηση 5. Να μελετήσετε και να κάνετε τη γραφική αράσταση της συνάρτησης () = + +. Είναι: α= > και = < οότε D =. Η είναι συνεχής στο D =. + () =, η οοία έχει ρίζα τον αριθμό =. + + () = >. 4( + + ) + + Συμεριφορά στα άκρα + + >, Άρα το εδίο ορισμού της είναι = + + = + + = + + = + ( + + ) = + lim () lim lim lim ± ± ± ± Ασύμτωτες + + + + () + + λ= lim = lim = lim = lim + + + + = lim + + = και + β= lim ( () ) = lim ( + + ) = lim + + + ( ) + + + + + + + + + + + + = lim lim lim = = + + + = + + + + + + + + +
lim + + =. + + + Άρα η ευθεία y= + είναι λάγια ασύμτωτη της () στο +. Ομοίως η ευθεία y= είναι λάγια ασύμτωτη της () στο. Ο ίνακας μεταβολών της είναι και η γραφική αράσταση της είναι
ΘΕΜΑ Δ Άσκηση. Αν η ευθεία y = 5 4 είναι ασύμτωτη της γραφικής αράστασης C της συνάρτησης () () να βρείτε τα όρια lim, lim ( () 5 ) και στη συνέχεια να βρείτε τον αριθμό α + + α + 6 έτσι ώστε lim =. + 5 + 7 Εειδή η ευθεία y = 5 4 είναι ασύμτωτη της γραφικής αράστασης C της () συνάρτησης () θα έχουμε ότι λ= 5 = lim και lim (() λ ) =β ή + + lim (() 5) = 4. + Για >, έχουμε: α () + 6 α () + 6 lim = lim = + + () 5 + 7 () α + 6 α 5+ 6 lim = = + () 5 + 7 4 + 7 + () 5 7 α=
Άσκηση. Δίνεται η δύο φορές αραγωγίσιμη συνάρτηση : με ( ) = ( ) =. Αν ισχύει ( + ) + ( ) h h lim h h = (), να βρείτε τον τύο της συνάρτησης (). Η συνάρτηση είναι δύο φορές αραγωγίσιμη, οότε + h () lim = () () h h Θέτουμε: h = u, οότε u όταν h και εομένως: u () ( u) () lim = () lim = () u u u u Αό την υόθεση έχουμε ή ( ) h () lim = () () h h ( + ) + ( ) ( ( + h) + ( h) ) h h lim = () lim = () h h l'ηospital h ( + h)( + h) + h h lim = () h h (Η μεταβλητή ως ρος την οοία αραγωγίζουμε είναι η h ) ( h ) ( + h) ( h) + h h lim = () lim = () h h h h ( + ) ( ) ( h h ) lim = () ( ( )) = () h h h () = () () = () () = ce, c () Για =, αό την () έχουμε: () = c c = και εομένως: () () e () (e ) () e c, c = = = + (4) Για =, αό την (4) έχουμε: () = + c = + c c = και εομένως: (4) e, () =.
Άσκηση. Να βρείτε τους ραγματικούς αριθμούς αβ, αν η συνάρτηση αραγωγίσιμη στο =. + ασυν, () = β + ηµ, > είναι Εειδή η συνάρτηση ( ) είναι αραγωγίσιμη, θα είναι και συνεχής στο lim β+ηµ = lim ( +ασυν ) = + β+ηµ = +ασυν β+ = +α β= α+ () 6 Εειδή η συνάρτηση () είναι αραγωγίσιμη στο lim = lim + + = έχουμε: β+ηµ +ασυν +ασυν +ασυν () lim = lim = οότε: α+ +ηµ +α +ασυν +α lim = lim + ηµ α συν ηµ α συν lim = lim lim = lim + + 4
συν α( ηµ ) lim = lim = α α = 4 + Τέλος, αό την () για α= αίρνουμε: β=. 4 Ημερομηνία τροοοίησης: /9/ 5