Η Κβαντική Μηχανική σε λειτουργία

Γεώργιος Κουτσούµπας ΕΜΠ Κέρκυρα, Σεπτέµβρης 014 1 Σεπτεµβρίου 014

Θεωρούµε δύο µάζες m που κινούνται στην ίδια ευθεία και οι αποµακρύνσεις τους από τη ϑέση ισορροπίας είναι οι x 1 και x. Μπορεί να δεί κανείς ότι οι εξισώσεις του Νεύτωνα για τις δύο µάζες είναι : mx 1 = kx 1 + k(x x 1 ) = kx 1 + kx, mx = kx k(x x 1 ) = kx 1 kx

Παρατηρούµε ότι οι εξισώσεις είναι πεπλεγµένες, µε την έννοια ότι στην εξίσωση για την επιτάχυνση του x 1 συµµετέχει στο δεξιό µέλος και το x και αντιστρόφως. Οµως, αν προσθέσουµε και αφαιρέσουµε τις εξισώσεις κατά µέλη, ϑα προκύψουν οι : m(x 1 + x ) = k(x 1 + x ), m(x 1 x ) = 3k(x 1 x ).

Αν ορίσουµε x A 1 (x 1 + x ), x B 1 (x 1 x ), οπότε και : x 1 = 1 (x A + x B ), x = 1 (x A x B ), προκύπτουν οι δύο εξισώσεις : x A + k m x A = 0, x B + 3k m x B = 0, που είναι ασύζευκτες µεταξύ τους και οι λύσεις τους είναι γνωστές :

είναι εξισώσεις αρµονικού ταλαντωτή µε συχνότητες οπότε και : ω A = k m, ω B = 3k m, x A = c A cos(ω A t) + d A sin(ω A t), x B = c B cos(ω B t) + d B sin(ω B t), όπου τα c A, d A, c B, d B είναι σταθερές ολοκλήρωσης, που προσδιορίζονται από τις αρχικές συνθήκες.

Αν c B = d B = 0, δηλαδή x B = 0, ϑα έχουµε µια λύση µε τη µοναδική συχνότητα ω A. Τότε x 1 = x = 1 [c A cos(ω A t) + d A sin(ω A t)]. ηλαδή οι δύο µάζες κινούνται οµόρροπα µε την ίδια συχνότητα ω A. Αντίστοιχα, αν c A = d A = 0, δηλαδή x A = 0, ϑα έχουµε µια λύση µε τη µοναδική συχνότητα ω B : x 1 = x = 1 [c B cos(ω B t) + d B sin(ω B t)]. ηλαδή οι δύο µάζες κινούνται αντίρροπα µε την ίδια συχνότητα ω B.

Οµως οι τύποι κίνησης που µόλις περιγράψαµε είναι εξαιρετικά ειδικές περιπτώσεις. Στη γενική περίπτωση και οι δύο συχνότητες συνεισφέρουν στην κίνηση, δίνοντάς της έναν περίπλοκο χαρακτήρα. Παράδειγµα : Αν c A = c B = F και d A = d B = 0, οι λύσεις απλοποιούνται στις : x A = F cos(ω A t), x B = F cos(ω B t). Αυτές µε τη σειρά τους συνεπάγονται ότι : x 1 = F {cos(ω At) + cos(ω B t)}, x = F {cos(ω At) cos(ω B t)}.

Το σχήµα δείχνει µια ενδεικτική εικόνα της κίνησης των δύο µαζών. x1/f,x/f 1 0.8 0.6 0.4 0. 0-0. -0.4-0.6-0.8-1 0 5 10 15 0 t

Η Κβαντοµηχανική µπορεί να διατυπωθεί στη ϐάση µιάς εξίσωσης (του Schrödinger) της µορφής : i ψ t = Hψ. Το είναι η σταθερά του Planck, το ψ είναι η λεγόµενη κυµατοσυνάρτηση, που µας δίνει όποια πληροφορία είναι δυνατή σχετικά µε το σύστηµα και το H λέγεται Χαµιλτονιανή.

Η Χαµιλτονιανή εκφράζει την ενέργεια του συστήµατος. Αν ένα ελεύθερο σωµατίδιο έχει ενέργεια E = p m, η εξίσωση i ψ t = Eψ λύνεται από την ψ = Ne iet. (Το N είναι µια σταθερά κανονικοποίησης).

Εστω τώρα ότι εξετάζουµε ένα σωµατίδιο µε πιθανές ενέργειες E 1, E. Η εξίσωσή του ϑα γραφτεί ως Για E = E 1 η εξίσωση γράφεται : i ψ t = Eψ. i ψ 1 t = E 1 ψ 1, ενώ για E = E προκύπτει : i ψ t = E ψ.

Εποµένως η κυµατοσυνάρτηση ϑα παίρνει τις µορφές : ψ 1 = N 1 e ie 1 t, ψ = N e ie t. Ολ αυτά τα συνοψίζει κανείς χρησιµοποιώντας πίνακες. Γράφει τη Χαµιλτονιανή µε τη µορφή [ ] E1 0 H =. 0 E Φυσικά, µια τέτοια Χαµιλτονιανή πρέπει να δράσει σαν πίνακας πάνω σε µια στήλη. Η κυµατοσυνάρτηση, λοπόν, γίνεται σπίνορας : [ ] ψ1 ψ. ψ

Οι εξισώσεις γράφονται, λοιπόν, σε µια πιο συµπαγή γραφή, µε τη µορφή : i [ ] [ ] [ ] ψ1 E1 0 ψ1 =. t ψ 0 E ψ

Παρατηρούµε ότι υπάρχουν δύο ειδικοί σπίνορες που η δράση της Χαµιλτονιανής πάνω τους είναι ιδιαίτερα απλή : [ E1 0 0 E [ E1 0 0 E δηλαδή οι σπίνορες [ 1 0 ] [ 1 0 ] [ 0 1 ], ] [ 1 = E 1 0 ] [ 0 = E 1 [ 0 1 αναπαράγουν τον εαυτό τους όταν δράσει επάνω τους η Χαµιλτονιανή. ], ], ],

Οµως για έναν γενικό σπίνορα αυτό δεν ισχύει : [ ] [ ] [ ] E1 0 ψ1 E1 ψ = 1. 0 E ψ E ψ Αφού η Χαµιλτονιανή καθορίζει τη χρονική εξέλιξη, περιµένουµε ότι το σύστηµα ϑα εξελίσσεται χρονικά µ έναν περίπλοκο τρόπο. Πράγµατι : [ ] N 1 e ie 1 t N e ie, t συµπεριφορά που ϑυµίζει κάπως τους συζευγµένους ταλαντωτές.

Πάντως ένας αυθαίρετος σπίνορας µπορεί να αναπτυχθεί στη ϐάση των [ ] [ ] 1 0,. 0 1 Πράγµατι : όπως, π.χ., [ ψ1 ψ ] [ 1 = ψ 1 0 στους συζευγµένους ταλαντωτές. ] + ψ [ 0 1 x 1 = 1 x A + 1 x B ],

Το µέγεθος ψ 1 δίνει την πιθανότητα µια µέτρηση ενέργειας να δώσει την E 1. Αντίστοιχα, το µέγεθος ψ δίνει την πιθανότητα µια µέτρηση ενέργειας να δώσει την E. Οι E 1, E είναι τα µόνα δυνατά αποτελέσµατα που µπορεί να προκύψουν από µιά µέτρηση της ενέργειας, οπότε υποχρεωτικά : ψ 1 + ψ = 1. Αυτή η σχέση λέγεται συνθήκη κανονικοποίησης.

Ενα ϐασικό ϕυσικό µέγεθος που µπορεί να υπολογιστεί µ αυτά τα δεδοµένα είναι η µέση τιµή της ενέργειας : < E >= E 1N 1 + E N N 1 + N = E 1 P 1 + E P = E 1 ψ 1 + E ψ. Η ίδια σχέση µπορεί να γραφτεί σε µια µορφή πιό εύκολα γενικεύσιµη : < E >= [ ψ 1 ψ ] [ ] [ ] E 1 0 ψ1. 0 E ψ

Η διαδικασία ανάπτυξης στη ϐάση των ιδιοδιανυσµάτων είναι γενική και ισχύει και όταν, για παράδειγµα, η Χαµιλτονιανή δεν είναι διαγώνια, αλλά έχει τη γενικότερη µορφή : [ ] E1 F H =. F E Η συνταγή για τον υπολογισµό της µέσης τιµής της ενέργειας ϑα ισχύει και σ αυτήν την περίπτωση : < E >= [ ψ 1 ψ ] [ ] [ ] E 1 F ψ1. F E ψ

Μεταπτωτική κίνηση Ας ϑεωρήσουµε κλασικό σωµατίδιο µε µαγνητική ϱοπή µ = γ s, όπου s η στροφορµή του και γ µια σταθερά, σε µαγνητικό πεδίο B 0 κατά τον άξονα των z. Στην κλασική Μηχανική η λύση της εξίσωσης d < s > dt = γ < s > B0 παριστάνει µια µετάπτωση περί τον z µε συχνότητα ω 0 = γb 0.

Στην περίπτωση της Κβαντοµηχανικής ϑεωρούµε ότι η στροφορµή είναι το σπιν του σωµατιδίου. Ξέρουµε ότι το σπιν µπορεί να πάρει τις τιµές ±.Αυτό σηµαίνει ότι ϑα υπάρχει κάποιος πίνακας, ο s z = σ z = [ ] +1 0, 0 1 µε τις ιδιότητες : [ ] 1 s z = + 0 [ 1 0 ], s z [ 0 1 ] = [ 0 1 ].

Ο s z πρέπει να συµπληρωθεί µε άλλους δύο, ώστε να καλύψουµε και τις τρεις διαστάσεις, οπότε : s = σ, όπου το διάνυσµα σ έχει ως συνιστώσες τους πίνακες του Pauli: [ ] [ ] [ ] 0 1 0 i +1 0 σ x =, σ y =, σ z =. 1 0 +i 0 0 1 Τότε, για B0 = B 0 ẑ, µ = γ s, η Χαµιλτονιανή γράφεται : Εχουµε ϑέσει H 0 = µ B0 = γb 0 s z = ω 0 = γb 0. [ ω 0 0 0 + ω0 ].

Το γ λέγεται γυροµαγνητικός λόγος. Ο γυροµαγνητικός λόγος είναι πολύ ενδιαφέρον µέγεθος στη Χηµεία και στην Ιατρική Φυσική. Σε απλές περιπτώσεις µπορεί κανείς να τον υπολογίσει. Επί παραδείγµατι, στην περίπτωση της τροχιακής στροφορµής ηλεκτρονίου µάζας m, µπορεί κανείς να δείξει ότι : µ L = e L. mc Αν και αυτή η σχέση είναι πολύ ειδική, ορισµένα ποιοτικά χαρακτηριστικά της εξακολουθούν να ισχύουν. Ενα ενδιαφέρον χαρακτηριστικό που επιζεί σε γενικότερες περιπτώσεις είναι ότι ο λόγος είναι αντιστρόφως ανάλογος της µάζας.

Οι εξισώσεις σε κβαντοµηχανική εκδοχή είναι οι : i [ ] [ ] [ ψ1 ψ1 ω 0 ] [ 0 ψ1 = H t ψ 0 = ψ 0 + ω0 ψ Από κβαντοµηχανικής πλευράς οι λύσεις των αντίστοιχων εξισώσεων ] είναι προφανώς οι : ( ψ 1 = c 1 exp i t ψ 1 = ω 0 ψ 1, i t ψ = ω 0 ψ. + iω 0t ) (, ψ = c exp iω 0t και παριστάνουν την µεταπτωτική κίνηση περί τον άξονα των z σε κβαντοµηχανική διατύπωση. ),

Εστω τώρα ότι, εκτός από το πεδίο B0, κατά τον άξονα των z, εφαρµόζεται ένα περιστρεφόµενο µαγνητικό πεδίο στο επίπεδο xy, πράγµα που γεννάει έναν πρόσθετο όρο στη Χαµιλτονιανή : H = µ B = γ S B = γb [σ x cos(ωt) σ y sin(ωt)] = γb Άρα η ολική Χαµιλτονιανή ϑα είναι : [ 0 e +iωt e iωt 0 ]

[ H = H 0 + H = και οι αντίστοιχες εξισώσεις ϑα είναι : i t [ ψ1 ψ ] = H [ ψ1 ψ ] [ = ω0 γb e+iωt γb e iωt + ω0 ω0 γb e+iωt γb e iωt + ω0 ] ] [ ψ1 ψ ], δηλαδή : i t ψ 1 = ω 0 ψ 1 γb e+iωt ψ i t ψ = γb e iωt ψ 1 + ω 0 ψ.

Τώρα µπορούµε να κάνουµε µια αλλαγή µεταβλητών, ώστε να απαλλαγούµε από τα εκθετικά : ( ψ 1 = exp + iω 0t ) χ 1, ( ψ = exp iω 0t ) χ Επί πλέον, στο εξής υποθέτουµε ότι η συχνότητα ω του περιστρεφόµενου µαγνητικού πεδίου ισούται µε τη συχνότητα Larmor, δηλαδή την ω 0. Είναι µια κατάσταση συντονισµού, που απλοποιεί τις πράξεις. Ανάλογα πράγµατα µπορούν να γίνουν, αν ω ω 0.

Με όλ αυτά υπ όψιν, οι δύο εξισώσεις απλοποιούνται και γίνονται : i t χ 1 = γb χ, i t χ = γb χ 1 Παραγωγίζοντας την πρώτη και χρησιµοποιώντας τη δεύτερη καταλήγουµε στην : χ 1 + ( ) γb χ 1 = 0 Η λύση της είναι γνωστή : ( ) γbt χ 1 = α cos + β sin ( γbt ).

Αν οι αρχικές συνθήκες είναι τέτοιες ώστε : α = 1, β = 0, προκύπτει ότι : P 1 = ψ 1 = χ 1 = cos ( γbt ) ( ) γbt, P = 1 P 1 = sin. Υπολογίσαµε δηλαδή τις πιθανότητες να εξακολουθήσει το σπιν να ϐρίσκεται στην αρχική ή να µεταβεί στην άλλη κατάσταση.

NMR Το σηµαντικό είναι ότι, ξέροντας τα ω 0 και B 0 µπορούµε να υπολογίσουµε τον γυροµαγνητικό λόγο : γ = ω 0 B 0. Πειραµατικά, αυτό γίνεται πολύ εύκολα : Μεταβάλλουµε την συχνότητα ω του περιστρεφόµενου µαγνητικού πεδίου και κάποια στιγµή παρατηρούµε µια απότοµη µεταβολή στην ισχύ τροφοδοσίας. Εκεί ϑα ισχύει η συνθήκη ω = ω 0 κι έτσι προσδιορίζεται η ω 0. Το B 0 είναι γνωστό, οπότε προκύπτει το γ.

Αν επιλέξουµε να εξετάσουµε τους πυρήνες του υδρογόνου, επιλέγουµε την αντίστοιχη περιοχή συχνοτήτων ω, που είναι µεγαλύτερη από τις αντίστοιχες των ϐαρύτερων πυρήνων : υπενθυµίζουµε τη σχέση για την τροχιακή στροφορµή µ L = e L, η οποία δείχνει ότι, σ αυτήν την περίπτωση, το mc γ = e, άρα και η αντίστοιχη συχνότητα, είναι ποσότητες mc αντιστρόφως ανάλογες της µάζας.

Αν, τώρα έχουµε µια περίπλοκη χηµική ένωση µε διάφορα πρωτόνια (πυρήνες υδρογόνου), το κάθε πρωτόνιο συντονίζεται σε κάπως διαφορετική συχνότητα από τα υπόλοιπα. Ο λόγος είναι ότι το πεδίο που επικρατεί στην περιοχή του δεν είναι ακριβώς το B 0, αλλά κάποιο τοπικό πεδίο που επηρεάζεται π.χ. από τα ηλεκτρόνια, οπότε η συχνότητα συντονισµού είναι ελαφρώς διαφορετική από το ω 0. Αν, λοιπόν, ξέρουµε από πριν τη συχνότητα συντονισµού του υδρογόνου µέσα σε µια οµάδα (π.χ. COOH) και ανακαλύψουµε αυτήν τη συχνότητα συντονισµού στις µετρήσεις µας, µπορούµε να είµαστε ϐέβαιοι ότι µέσα στο δείγµα µας εµφανίζεται η συγκεκριµένη οµάδα ( COOH).

Μαγνητική τοµογραφία (MRI) Στη µετάπτωση των σπιν ϐασίζεται και η απεικονιστική µέθοδος της µαγνητικής τοµογραφίας. Ο εξεταζόµενος τοποθετείται σε µαγνητικό πεδίο B 0 µε µεταβλητή ένταση (συνήθως µε σταθερή ϐαθµίδα), ώστε οι συχνότητες συντονισµού να είναι διαφορετικές από τοµή σε τοµή. Ο στόχος είναι να παίρνει κανείς χωριστή εικόνα για κάθε τοµή αναφορικά µε το περιβάλλον των πρωτονίων του νερού, που κυριαρχεί µέσα στον οργανισµό. Το ενδιαφέρον είναι ότι η συµπεριφορά του σπιν των πρωτονίων, εκτός από το ηλεκτρονιακό περιβάλλον τους, εξαρτάται και από τους γειτονικούς πυρήνες. Αυτοί µε τη σειρά τους εξαρτώνται από την ϕυσιολογική κατάσταση του ιστού, µε αποτέλεσµα να γίνονται αντιληπτές και απειροελάχιστες αλλαγές στους ιστούς, που αξιοποιούνται µετά από τους αρµόδιους γιατρούς.

Ταλάντωση του ατόµου NH 3 : Το N µπορεί να είναι είτε στην πάνω πλευρά του επιπέδου των τριών υδρογόνων (κυµατοσυνάρτηση ψ 1 ) είτε στην κάτω πλευρά (κυµατοσυνάρτηση ψ ). Αν δεν υπάρχει δυνατότητα να επικοινωνήσουν οι δύο καταστάσεις, οι κυµατοσυναρτήσεις ικανοποιούν τις εξισώσεις : i t ψ 1 = E 0 ψ 1, i t ψ = E 0 ψ που έχουν τις αντίστοιχες λύσεις : [ ψ 1 = c 1 exp ie 0t ], ψ = c exp [ ie ] 0t.

Εστω τώρα ότι υπάρχει µια (µικρή) δυνατότητα να επικοινωνούν οι δύο καταστάσεις. Αυτό, σε επίπεδο εξισώσεων, εκφράζεται ως : i t ψ 1 = E 0 ψ 1 ω ψ, i t ψ = ω ψ 1 + E 0 ψ. Οι εξισώσεις είναι πεπλεγµένες. Για να τις απεµπλέξει κανείς, προσθέτει και αφαιρεί : i t (ψ 1 ± ψ ) = (E 0 ω )(ψ 1 ± ψ ). Ορίζοντας : ψ A 1 (ψ 1 + ψ ), E A E 0 ω, ψ B 1 (ψ 1 ψ ), E B E 0 + ω

καταλήγουµε στις εξισώσεις : i t ψ A = E A ψ A, i t ψ B = E B ψ B, που έχουν τις αντίστοιχες λύσεις : [ ψ A = c A exp ie At ], ψ B = c B exp [ ie ] Bt.

Αντικαθιστώντας ϐρίσκουµε : ψ 1 = 1 (ψ A + ψ B ) [ ] = {c 1 A exp i(e 0 ω )t = 1 [ exp ie 0t ] { c A exp ( ψ = 1 [ exp ie ] { ( 0t c A exp + c B exp + iωt + iωt [ i(e 0 + ω )t ) ( + c B exp ) ( c B exp iωt iωt )} ]} )}.

Αν, τώρα, ξέρουµε ότι, για t = 0, το σύστηµα ϐρίσκεται στην κατάσταση ψ 1, τότε : c A = c B = 1, και ψ 1 = 1 [ exp ie ] { ( 0t exp + iωt ) ( + exp [ = exp ie ] ( 0t ωt ) cos iωt )} Παρόµοια : ψ = i exp [ ie ] 0t sin ( ωt ). Γεώργιος Κουτσούµπας

ηλαδή η πιθανότητα της κατάστασης ψ 1 σε οποιονδήποτε χρόνο είναι : ( ωt ) P 1 = ψ 1 = cos, ενώ της κατάστασης ψ : P = ψ = sin ( ωt ).

Η γραφική παράσταση δείχνει την διακύµανση του συστήµατος µεταξύ των δύο καταστάσεων. 1 0.8 P_1, P_ 0.6 0.4 0. 0 0 0.5 1 1.5.5 3 omega t/

Περιοδικό ηλεκτρικό πεδίο Θεωρούµε το εξής σύστηµα : i t ψ 1 = [E 0 + pe 0 cos(ωt)]ψ 1 ω 0 ψ, i t ψ = ω 0 ψ 1 + [E 0 pe 0 cos(ωt)]ψ. Για µικρά E 0 και ω = ω 0 µπορούµε να ϐρούµε µια προσεγγιστική λύση : ψ A = ψ B = { α cos { iβ cos ( ) pe0 t + β sin ( ) pe0 t iα sin ( )} [ pe0 t exp [ ( )} pe0 t exp i(e0 + ] ω0 )t ] i(e 0 ω0 )t

Αν υποθέσουµε ότι για t = 0 τα µόρια της αµµωνίας ϐρίσκονται στην κατάσταση ψ A (µε την υψηλότερη ενέργεια, δηλαδή την E 0 + ω0 ). Τότε α = 1, β = 0 και οι πιθανότητες συναρτήσει του χρόνου ϑα είναι : ( ) ( ) P A = ψ A = cos pe0 t, P B = ψ B = sin pe0 t.

Το σχήµα είναι παρόµοιο µε το προηγούµενο : 1 0.8 P_A, P_B 0.6 0.4 0. 0 0 0.5 1 1.5.5 3 p Epsilon_0 t/( hbar)

MASER αµµωνίας Τα µόρια αερίου NH 3 που ϐρίσκονται στην υψηλή ενεργειακή στάθµη, την E 0 + ω0, µπαίνουν σε µια κοιλότητα, όπου επικρατεί χρονικά εξαρτηµένο ηλεκτρικό πεδίο µε την κατάλληλη συχνότητα : αυτήν που αντιστοιχεί στην ενεργειακή διαφορά ( E 0 + ω 0 ) ( E 0 ω 0 ) = ω 0.

Αν τα µόρια χρειάζονται χρόνο T για να διασχίσουν την κοιλότητα, µπορεί κανείς να κανονίσει ώστε : pe 0 T = π. Τότε τα µόρια ϑα ϐγούν από την κοιλότητα έχοντας µεταπέσει στην κατάσταση µε την χαµηλή ενέργεια, την E 0 ω0. ηλαδή το σύστηµα των µορίων έχει χάσει ενέργεια, η οποία µεταφέρθηκε στον µηχανισµό παραγωγής του ηλεκτρικού πεδίου.

Συνοψίζοντας, καταλήγουµε στο συµπέρασµα ότι το αέριο, αν διαβιβαστεί σε ηλεκτρικό πεδίο µε την κατάλληλη συχνότητα, επάγονται µεταβάσεις από την υψηλότερη προς τη χαµηλότερη ενέργεια και η ενέργεια διαβιβάζεται στο ταλαντευόµενο πεδίο. Η αντιστροφή πληθυσµών µπορεί να επιτυγχάνεται µε διάφορους τρόπους. Επίσης, στα LASER, τη ϑέση της κοιλότητας την παίρνουν δύο επίπεδοι καθρέφτες, που δηµιουργούν στάσιµα κύµατα.

Θεωρούµε τώρα τα παράξενα µεσόνια K : Το K 0, που σχετίζεται µε τα quark d και s, καθώς και το K0, που σχετίζεται µε τα quark d και s. Τα µεσόνια αυτά µετατρέπονται το ένα στο άλλο, άρα η Χαµιλτονιανή που τα χαρακτηρίζει είναι της µορφής : [ ] E0 F H = F E 0 Οι εξισώσεις γράφονται : i t K 0 = E 0 K 0 + F K0, i t K 0 = E 0 K0 + FK 0.

Αν µετράµε τις ενέργειές µας από το E 0, δηλαδή αν ϑέσουµε : [ K 0 K 0 exp ie ] [ 0t, K0 K0 exp ie ] 0t, οι εξισώσεις απλοποιούνται στις : i t K 0 = F K0, i t K 0 = FK 0. Προσθαφαιρώντας κατά τα γνωστά και ορίζοντας τις νέες κυµατοσυναρτήσεις : K S 1 (K 0 + K0 ), K L 1 (K 0 K0 ), ϐρίσκουµε τις καινούργιες εξισώσεις : i t K S = FK S, i t K L = 0.

Οι λύσεις των εξισώσεων είναι, ϐέβαια οι εξής : [ K S = N S exp ift ], K L = N L. ηλαδή το K L είναι αθάνατο! Το K S διασπάται και χάνεται, γιατί το F είναι µιγαδικό : [ F = α iβ K S = N S exp iαt ] [ exp βt ]

Εστω τώρα ότι ξεκινάµε, για t = 0, µ ένα K 0, οπότε N S = 1, N L = 1. Αυτό σηµαίνει ότι K S = 1 [ exp iαt ] [ exp βt ], K L = 1. Από τις σχέσεις ορισµού των K L, K S µπορούµε να επιλύσουµε ως προς την K0 : K 0 = 1 (K S K L ) = 1 ( [ exp iαt ] [ exp βt ] ) 1

Άρα το µεσόνιο που ξεκίνησε ως K 0 µπορεί µετά από χρόνο t να ανιχνευθεί ως K0 µε πιθανότητα : K0 = 1 (1 exp[ βt] cos(αt) + exp[ βt]) 4 Το πείραµα δίνει την τιµή β = 10 10 sec, αλλά δεν λέει τίποτε σχετικά µε την τιµή του α. Στα επόµενα δύο σχήµατα, ακολουθώντας τον Feynman, δίνουµε τη γραφική παράσταση για τις δύο επιλογές : α = 4πβ και α = πβ.

Σχήµα : Πιθανότητα µετατροπής σε K0, αν β = 10 10 sec, α = 4πβ 0.8 0.7 0.6 P_A, P_B 0.5 0.4 0.3 0. 0.1 0 0 0. 0.4 0.6 0.8 1 t (10^-10 sec)

Σχήµα : Πιθανότητα µετατροπής σε K0, αν β = 10 10 sec, α = πβ 0.5 0.45 0.4 0.35 P_A, P_B 0.3 0.5 0. 0.15 0.1 0.05 0 0 1 3 4 5 t (10^-10 sec)

Να σηµειώσουµε ότι η παραπάνω ανάλυση έγινε µε την υπόθεση ότι η Χαµιλτονιανή είχε τα δύο µη διαγώνια στοιχεία ίσα. Αν τώρα ήταν της µορφής : [ ] E0 F H =, G E 0 πράγµα που ϑα σηµατοδοτούσε παραβίαση της συµµετρίας CP, οι σχέσεις για τα K S και K L ϑα τροποποιούνταν στις :

K S K L 1 (1 + ɛ ) [(1 + ɛ)k 0 + (1 ɛ) K0 ], 1 (1 + ɛ ) [(1 + ɛ)k 0 (1 ɛ) K0 ], όπου : ɛ F G F + G Το επισηµαίνουµε, γιατί στην πραγµατικότητα υπάρχει πράγµατι παραβίαση της συµµετρίας CP και ο ακριβής ορισµός των K S και K L είναι ο προηγούµενος και όχι αυτός που χρησιµοποιήσαµε στην προσεγγιστική µας ανάλυση.