ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ. Γραμμική Άλγεβρα. Δημήτρης Σουρλάς Αναπλ. Καθηγητής. uv, u v ΠΑΤΡΑ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Γραμμική Άλγεβρα Δημήτρης Σουρλάς Αναπλ. Καθηγητής 00 uv, u v ( ) ΠΑΤΡΑ

dsourlas@physics.upatras.gr www.physics.upatras.gr II

ΠΕΡΙΕΧΌΜΕΝΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ... V ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ι... ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΔΟΜΕΣ.... ΟΡΙΣΜΟΣ ΤΩΝ ΠΡΑΞΕΩΝ.... ΑΛΓΕΒΡΙΚΗ ΔΟΜΗ....3 ΗΜΙΟΜΑΔΑ ΜΟΝΟΕΙΔΕΣ... 3.4 ΟΜΑΔΑ... 3.5 Η ΟΜΑΔΑ ΤΩΝ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ... 9.6 ΥΠΟΟΜΑΔΑ... 3.7 ΔΑΚΤΥΛΙΟΣ... 3.8 ΣΩΜΑ... 4 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΙΙ... 9... 9. ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΣ ΧΩΡΟΣ... 9. ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΣ ΥΠΟΧΩΡΟΣ....3 ΑΛΓΕΒΡΑ... 3.4 ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΣΥΝΔΥΑΣΜΟΣ... 4.5 ΑΘΡΟΙΣΜΑ ΚΑΙ ΕΥΘΥ ΑΘΡΟΙΣΜΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΩΝ ΥΠΟΧΩΡΩΝ... 5.6 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΕΞΑΡΤΗΜΕΝΑ ΚΑΙ ΑΝΕΞΑΡΤΗΤΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ... 6.7 ΓΕΝΝΗΤΟΡΕΣ ΕΝΟΣ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΥ ΧΩΡΟΥ... 9.8 ΒΑΣΗ ΚΑΙ ΔΙΑΣΤΑΣΗ ΕΝΟΣ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΥ ΧΩΡΟΥ... 9.9 ΔΙΑΣΤΑΣΗ ΚΑΙ ΥΠΟΧΩΡΟΙ... 3.0 ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ... 3. ΟΡΘΟΚΑΝΟΝΙΚΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΤΗΤΑ... 39. ΜΕΘΟΔΟΣ ΟΡΘΟΚΑΝΟΝΙΚΟΠΟΙΗΣΗΣ (GRAM SCHMIDT)... 4.3 ΣΤΑΘΜΗΤΟΙ ΚΑΙ ΜΕΤΡΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ... 47 Ι) ΓΡΑΜΜΙΚΟΙ ΣΥΝΔYΑΣΜΟΙ, ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΝΕΞΑΡΤΗΣΙΑ... 5 ΙΙ) ΒΑΣΗ ΚΑΙ ΔΙΑΣΤΑΣΗ... 5 ΙΙΙ) ΧΩΡΟΙ ΕΣΩΤΕΡΙΚΟΥ ΓΙΝΟΜΕΝΟΥ... 53 Κ Ε Φ Α Λ Α Ι Ο ΙΙΙ.... 55... 55 3. ΟΡΙΣΜΟΣ ΤΟΥ ΠΙΝΑΚΑ... 55 3. ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΠΙΝΑΚΩΝ ΚΑΙ ΒΑΘΜΩΤΟΣ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ... 56 3.3 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΠΙΝΑΚΩΝ... 57 3.4 ΕΙΔΗ ΠΙΝΑΚΩΝ... 59 3.5 ΕΙΔΗ ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΚΩΝ ΠΙΝΑΚΩΝ... 60 3.6 ΜΕΤΑΘΕΤΕΣ ΚΑΙ ΑΝΤΙΜΕΤΑΘΕΤΕΣ ΠΙΝΑΚΩΝ... 6 3.7 ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ... 63 3.8 ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΩΝ ΟΡΙΖΟΥΣΩΝ... 65 3.9 ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΟΡΙΖΟΥΣΑΣ... 66 3.0 ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΤΟΥ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΟΥ ΕΝΟΣ ΠΙΝΑΚΑ... 68 I

Κ Ε Φ Α Λ Α Ι Ο IV... 8... 8 ΕΙΣΑΓΩΓΗ... 8 4. ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ... 8 4. ΠΥΡΗΝΑΣ ΚΑΙ ΕΙΚΟΝΑ ΕΝΟΣ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥ... 84 4.3 ΙΔΙΑΖΟΝΤΕΣ ΚΑΙ ΜΗ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ... 86 4.4 ΙΣΟΜΟΡΦΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΙΣΟΜΟΡΦΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ... 86 4.5 ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕΤΑΞΥ ΤΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ... 89 4.6 ΓΡΑΜΜΙΚΟΙ ΤΕΛΕΣΤΕΣ... 89 4.7 ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΟΣ ΕΝΟΣ ΤΕΛΕΣΤΗ... 90 Κ Ε Φ Α Λ Α Ι Ο V... 93... 93 5. ΕΙΣΑΓΩΓΗ... 93 5. ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΕΝΟΣ ΤΕΛΕΣΤΗ ΥΠΟ ΜΟΡΦΗ ΠΙΝΑΚΑ ΩΣ ΠΡΟΣ ΜΙΑ ΒΑΣΗ... 93 5.3 ΕΙΔΗ ΤΕΛΕΣΤΩΝ... 97 5.3 ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ ΒΑΣΗΣ... 99 5.4 ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ ΣΥΝΙΣΤΩΣΩΝ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ... 00 5.5 ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ... 04 5.6 Γενική περίπτωση... 05 Κ Ε Φ Α Λ Α Ι Ο VI...... 6.. ΕΙΣΑΓΩΓΗ... 6. ΕΥΡΕΣΗ ΤΩΝ ΙΔΙΟΤΙΜΩΝ ΚΑΙ ΙΔΙΟΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ ΕΝΟΣ ΤΕΛΕΣΤΗ... 6.3 ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΑ ΙΔΙΟΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΚΑΙ ΙΔΙΟΤΙΜΕΣ... 8 6.4 ΑΥΤΟΣΥΝΑΦΕΙΣ ( HERMITIAN) ΚΑΙ ΣΥΜΜΕΤΡΙΚΟΙ ΤΕΛΕΣΤΕΣ... 9 6.5 ΙΣΟΜΕΤΡΙΚΟΙ UNITARY ΚΑΙ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟΙ ΤΕΛΕΣΤΕΣ... 3 6.6 ΙΔΙΟΤΙΜΕΣ ΚΑΙ ΙΔΙΟΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΤΩΝ ΑΥΤΟΣΥΝΑΦΩΝ ΚΑΙ ΙΣΟΜΕΤΡΙΚΩΝ ΤΕΛΕΣΤΩΝ... 5 6.7 ΔΙΑΓΩΝΟΠΟΙΗΣΗ ΚΑΙ ΙΔΙΟΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ... 30 6.8 ΔΙΑΓΩΝΟΠΟΙΗΣΗ HERMITIAN ΚΑΙ UNITARY ΠΙΝΑΚΩΝ... 34 Κ Ε Φ Α Λ Α Ι Ο VII... 4... 4... 4 7. ΕΙΣΑΓΩΓΗ... 4 7. ΣΥΝΑΡΤΗΣΙΑΚΟΣ ΧΩΡΟΣ ΚΑΙ HILBERT ΧΩΡΟΣ... 4 7.3 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΑΝΕΞΑΡΤΗΤΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ, ΔΙΑΣΤΑΣΗ ΚΑΙ ΒΑΣΗ ΕΝΟΣ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΥ ΧΩΡΟΥ... 47 7.4 ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΠΟΛΛΑΠΛΟΤΗΤΕΣ ΚΑΙ ΥΠΟΧΩΡΟΙ... 48 7.5 ΟΡΘΟΚΑΝΟΝΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΕ ΧΩΡΟ HILBERT... 49 ΑΣΚΗΣΕΙΣ... 56 ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ... 56 ) ΓΡΑΜΜΙΚΟΙ ΣΥΝΔΙΑΣΜΟΙ, ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΝΕΞΑΡΤΗΣΙΑ... 56 ΙΙ ΒΑΣΗ ΚΑΙ ΔΙΑΣΤΑΣΗ... 57 ΧΩΡΟΙ ΕΣΩΤΕΡΙΚΟΥ ΓΙΝΟΜΕΝΟΥ... 58 II

ΓΡΑΜΜΙΚΟΙ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ... 58 ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΤΕΛΕΣΤΩΝ... 58 ΠΙΝΑΚΕΣ ΚΑΙ ΤΕΛΕΣΤΕΣ... 59 ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΑΣΚΗΣΕΩΝ... 60 ΙΙ ΒΑΣΗ ΚΑΙ ΔΙΑΣΤΑΣΗ... 65 ΙΙΙ ΧΩΡΟΙ ΕΣΩΤΕΡΙΚΟΥ ΧΩΡΟΥ... 69 ΓΡΑΜΜΙΚΟΙ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ... 70 ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΤΕΛΕΣΤΩΝ... 7 ΠΙΝΑΚΕΣ... 7 ΠΙΝΑΚΕΣ ΚΑΙ ΤΕΛΕΣΤΕΣ... 73 III

ΕΙΣΑΓΩΓΗ Στα Μαθηματικά και στις εφαρμογές τους, πολύ συχνά χρειάζεται κανείς να ασχοληθεί με συγκεκριμένα σύνολα, στα στοιχεία των οποίων έχουν ορισθεί κάποιες πράξεις, που ονομάζονται γραμμικές πράξεις. Π.χ στην Μηχανική μπορούμε να προσθέσουμε δυο δυνάμεις F, F, που εφαρμόζονται σ ένα σημείο, δηλαδή να αντικαταστήσουμε τις δυνάμεις αυτές από μια άλλη δύναμη που εφαρμόζεται στο ίδιο σημείο και να γράψουμε F= F+ F. Μια δύναμη F μπορεί να πολλαπλασιαστεί με έναν αριθμό λ και να γράψουμε λf. Το τελευταίο σύμβολο σημαίνει μια δύναμη αυξημένη κατά λ σε σχέση με την F και κατά την διεύθυνση της εάν λ>0 ή κατά την αντίθετη διεύθυνση εάν λ<0. Στην Μηχανική επίσης θεωρούμε την σύνθεση των ταχυτήτων και τον πολλαπλασιασμό μιας ταχύτητας με έναν αριθμό, όπως επίσης την σύνθεση των επιταχύνσεων και τον πολλαπλασιασμό μιας επιτάχυνσης με έναν αριθμό. Οι δυνάμεις, οι ταχύτητες και οι επιταχύνσεις είναι διαφορετικά φυσικά μεγέθη, αλλά από γεωμετρικής πλευράς έχουν την ίδια συμπεριφορά ως προς τις (γραμμικές) πράξεις, που ορίζονται σ αυτά. Αυτός είναι ο λόγος που στην Μηχανική έχουμε έναν γενικό ενοποιημένο τρόπο περιγραφής αυτών των μεγεθών με την μορφή προσανατολισμένων ευθυγράμμων τμημάτων. Έτσι τα μεγέθη αυτά αντιμετωπίζονται από τους γενικούς κανόνες της πρόσθεσης και του βαθμωτού πολλαπλασιασμού των γεωμετρικών διανυσμάτων. Όμως αυτή η γενίκευση προχωρεί ακόμα παραπέρα. Ας θεωρήσουμε, για παράδειγμα, το σύνολο όλων των πραγματικών συνεχών συναρτήσεων, ή των περιοδικών συναρτήσεων με συγκεκριμένη περίοδο ή το σύνολο όλων των αλγεβρικών πολυωνύμων. Στα παραπάνω σύνολα μπορούμε να ορίσουμε γραμμικές πράξεις, όπως είναι π.χ. το άθροισμα δυο συναρτήσεων και ο πολλαπλασιασμός ενός αριθμού με μια συνάρτηση, κάτι που συνήθως συμβαίνει στην Ανάλυση. Τα αντικείμενα με τα οποία έχουμε να κάνουμε τώρα, δεν είναι όπως οι δυνάμεις, οι ταχύτητες ή οι επιταχύνσεις ή τα (γεωμετρικά) διανύσματα. Επίσης οι (γραμμικές) πράξεις που εκτελούμε σ αυτά διαφέρουν από τις γραμμικές πράξεις που εκτελούμε στα διανυσματικά φυσικά μεγέθη της Μηχανικής. Π.χ. Για να προσθέσουμε δυο δυνάμεις εφαρμόζουμε τον κανόνα του παραλληλογράμμου, ενώ η πρόσθεση δυο συναρτήσεων ανάγεται στην πρόσθεση δυο αριθμών. Όμως υπάρχει κάτι κοινό στα παραπάνω σύνολα, που μας επιτρέπει να μελετήσουμε τις γραμμικές πράξεις σε αφηρημένο επίπεδο, ανεξάρτητα από την φύση των στοιχείων αυτών των συνόλων. Πρώτα απ όλα παρατηρούμε ότι σε όλα τα παραδείγματα μας οι πράξεις που ορίστηκαν είναι κλειστές. Με την έκφραση κλειστή πράξη εννοούμε ότι το αποτέλεσμα της πράξεως δίνει ένα στοιχείο που ανήκει στο ίδιο σύνολο. Συγκεκριμένα προσθέτοντας διανύσματα ή πολλαπλασιάζοντας ένα διάνυσμα με έναν αριθμό προκύπτει πάλι διάνυσμα. Το άθροισμα δυο συνεχών συναρτήσεων είναι συνεχής συνάρτηση και το αποτέλεσμα του πολλαπλασιασμού μιας συνεχούς συνάρτησης με έναν αριθμό είναι V

συνεχής συνάρτηση. Το ίδιο συμβαίνει και με το σύνολο των περιοδικών συναρτήσεων και των αλγεβρικών πολυωνύμων. Οι γραμμικές πράξεις που ορίζονται σε διάφορα σύνολα, αν και είναι εντελώς διαφορετικές μεταξύ τους, (η πρόσθεση δυο γεωμετρικών διανυσμάτων είναι μια «διαδικασία» εντελώς διαφορετική και ξένη με την πρόσθεση δυο συναρτήσεων), έχουν κοινές ιδιότητες. Η μελέτη συνόλων, στα οποία έχουν ορισθεί συγκεκριμένες γραμμικές πράξεις, οδηγεί στην έννοια του γραμμικού χώρου ή όπως συνηθέστερα λέγεται του διανυσματικού χώρου. Η θεωρία των διανυσματικών χώρων έχει ευρύ πεδίο εφαρμογών όχι μόνο στα μαθηματικά αλλά και σε όλες τις θετικές επιστήμες. Τους διανυσματικούς χώρους τους διακρίνουμε σε δυο μεγάλες κατηγορίες: α) Στους διανυσματικούς χώρους πεπερασμένης διάστασης. Παραδείγματα τέτοιων χώρων είναι π.χ. η ευθεία, η οποία είναι διανυσματικός χώρος μιας διαστάσεως, το επίπεδο, το οποίο είναι διανυσματικός χώρος δυο διαστάσεων, ο χώρος, ο οποίος είναι διανυσματικός χώρος τριών διαστάσεων, το σύνολο των τετραγωνικών πινάκων τύπου είναι διανυσματικός χώρος διαστάσεων, κ.α. Τους χώρους των πεπερασμένων διαστάσεων τους μελετά η Γραμμική Άλγεβρα. β) Στους διανυσματικούς χώρους άπειρης διάστασης. Παραδείγματα τέτοιων χώρων είναι τα σύνολα των συναρτήσεων, οι οποίες έχουν κάποιες ιδιότητες (να είναι συνεχείς ή παραγωγίσιμες ή τετραγωνικά ολοκληρώσιμες κ.α.). Οι χώροι αυτοί ονομάζονται συναρτησιακοί χώροι, και η μελέτη τους είναι αντικείμενο της Συναρτησιακής Ανάλυσης. Κλασικό παράδειγμα διανυσματικού χώρου πεπερασμένης διαστάσεως είναι ο γνωστός τριδιάστατος χώρος, που αποτελείται από τα γεωμετρικά (ελεύθερα) διανύσματα. Ο χώρος αυτός περιέχει άπειρους σε πλήθος διανυσματικούς χώρους μιας και δυο διαστάσεων, που ονομάζονται υπόχωροι του αρχικού τριδιάστατου χώρου. Κάθε υπόχωρος μιας διάστασης αποτελείται από διανύσματα που βρίσκονται πάνω σε μια ευθεία και κάθε υπόχωρος δυο διαστάσεων αποτελείται από διανύσματα που βρίσκονται πάνω σ' ένα επίπεδο Έτσι για διανυσματικούς χώρους μιας, δυο και τριών διαστάσεων έχουμε γεωμετρικά πρότυπα, (μοντέλα), που αντιστοιχούν στα γνωστά μας διανύσματα, που μπορούμε να τα δούμε σαν προσανατολισμένα ευθύγραμμα τμήματα. Όταν όμως περάσουμε σε διανυσματικούς χώρους διαστάσεων μεγαλύτερων του 3, τότε η γεωμετρική εικόνα δεν υπάρχει, αλλά η θεωρία αυτών των χώρων διατηρεί τον γεωμετρικό τους χαρακτήρα. Οι βασικές έννοιες σε αυτούς τους χώρους προέρχονται από τις αντίστοιχες γεωμετρικές έννοιες του τριδιάστατου διανυσματικού χώρου γενικεύοντας τις κατάλληλα. Αν και ο κύριος σκοπός της Γραμμικής Άλγεβρας είναι η μελέτη των διανυσματικών χώρων, είμαστε υποχρεωμένοι να ασχοληθούμε στην αρχή με την έννοια της αλγεβρικής δομής. Στη συνέχεια θα ασχοληθούμε με τις δομές της ομάδας, του δακτυλίου και του σώματος. Για την δομή της ομάδας θα ασχοληθούμε εκτενέστερα στο τέλος των σημειώσεων αυτών. VI

ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ι ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΔΟΜΕΣ. ΟΡΙΣΜΟΣ ΤΩΝ ΠΡΑΞΕΩΝ Διακρίνουμε τα εξής είδη πράξεων. Εσωτερική πράξη ή εσωτερικός νόμος συνθέσεως : Έστω ένα σύνολο Α. Κάθε απεικόνιση της μορφής : f : A A A f:( αβ, ) f( αβ, ) =γ με α, β, γ Α που σε δυο στοιχεία του Α, αντιστοιχεί ένα τρίτο στοιχείο του Α, ονομάζεται εσωτερική πράξη ή εσωτερικός νόμος συνθέσεως στο σύνολο Α.. Εξωτερική πράξη ή εξωτερικός νόμος συνθέσεως : Υπάρχουν δυο είδη εξωτερικών πράξεων : α) Εξωτερική πράξη πρώτου είδους : Έστω δυο σύνολα Α,Β. Κάθε απεικόνιση της μορφής : f:b A A με α Β και β, γ Α f :( α, β) f( α, β ) = γ ονομάζεται εξωτερική πράξη πρώτου είδους από το σύνολο Β στο σύνολο Α. β) Εξωτερική πράξη δευτέρου είδους : Έστω δυο σύνολα A,B. Κάθε απεικόνιση της μορφής : f:a A B με α, β Α και γ Β f:( α, β) f( α, β ) =γ ονομάζεται εξωτερική πράξη δευτέρου είδους στο σύνολο Α. Παράδειγμα : Στο σύνολο R των πραγματικών αριθμών, οι αντιστοιχίες : + : R R R + :( αβ, ) α+β : R R R : ( αβ, ) α β δηλαδή η πρόσθεση και ο πολλαπλασιασμός των πραγματικών αριθμών, είναι εσωτερικές πράξεις, (ή εσωτερικοί νόμοι συνθέσεως). Παράδειγμα : Αν V είναι το σύνολο των διανυσμάτων των τριών διαστάσεων, δηλ. V= { v/ v= xi+ yj+ zkxyz,,, R} τότε το εξωτερικό γινόμενο :

ΚΕΦΑΛΑΙΟ i j k v u = x y z = iyz ( yz) + jzx ( zx) + kxy ( yx) x y z είναι μια εσωτερική πράξη στο V. Παράδειγμα 3 : Θεωρούμε ένα σύνολο Χ και το δυναμοσύνολο του Ρ(Χ), δηλ. το σύνολο των υποσυνόλων του Χ. Στο σύνολο Ρ(Χ) η ένωση συνόλων : (Α,Β) Ρ(Χ) Ρ(Χ) Α Β Ρ(Χ) και η τομή συνόλων : (Α,Β) Ρ(Χ) Ρ(Χ) Α Β Ρ(Χ) είναι πράξεις εσωτερικής συνθέσεως. Παράδειγμα 4: Στο σύνολο L A ={f / f : A A} των συναρτήσεων με πεδίο ορισμού και πεδίο τιμών το σύνολο Α, η σύνθεση των συναρτήσεων (f,g) L A L A f g L A είναι πράξη εσωτερικής συνθέσεως. Παράδειγμα 5 : Αν V είναι το προηγούμενο σύνολο των διανυσμάτων των τριών διαστάσεων και R το σύνολο των πραγματικών αριθμών, τότε η αντιστοιχία : :R V V :( α,v) α v=α xi +α yj+αzk είναι μια εξωτερική πράξη πρώτου είδους από το σύνολο R στο σύνολο V και ονομάζεται βαθμωτός πολλαπλασιασμός. Παράδειγμα 6 : Στο σύνολο V των διανυσμάτων των τριών διαστάσεων, η αντιστοιχία : f: V V R f:( v, v ) f( v, v ) = xx + yy + zz με v = xi + yj + zk και v = xi + yj + zk είναι μια εξωτερική πράξη δευτέρου είδους στο σύνολο V. Η πράξη αυτή είναι γνωστή σαν εσωτερικό γινόμενο και είναι ειδική περίπτωση της έννοιας του εσωτερικού γινομένου, που θα δοθεί στο κεφάλαιο των διανυσματικών χώρων.. ΑΛΓΕΒΡΙΚΗ ΔΟΜΗ Ορισμός : Ένα σύνολο Α εφοδιασμένο με ένα πεπερασμένο πλήθος εσωτερικών πράξεων, (ή και εξωτερικών με την χρήση ενός δεύτερου συνόλου Β), με ορισμένες ιδιότητες, ονομάζεται αλγεβρική δομή, (algebraic structure). Η πιο απλή αλγεβρική δομή, είναι εκείνη που περιέχει μια μόνο εσωτερική πράξη. Τέτοια δομή είναι η δομή της

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΔΟΜΕΣ ημιομάδας..3 ΗΜΙΟΜΑΔΑ ΜΟΝΟΕΙΔΕΣ Ορισμός : Ένα σύνολο G, έχει την δομή ημιομάδας, (semigroup), όταν είναι εφοδιασμένο με μια εσωτερική πράξη που θα την συμβολίζουμε με και που ικανοποιεί την προσεταιριστική ιδιότητα : ( α,, β, γ G) [( α β) γ=α ( β γ )] Το ζεύγος (G, ) ονομάζεται ημιομάδα. Η χρησιμότητα της προσεταιριστικής ιδιότητας βρίσκεται στο γεγονός ότι από όπου και αν αρχίσουμε τις πράξεις, είτε από τα αριστερά, είτε από τα δεξιά, το αποτέλεσμα είναι το ίδιο. Ορισμός : Μια ημιομάδα ονομάζεται μονοειδές, (mooid), εάν το G περιέχει ένα στοιχείο e τέτοιο ώστε: ( α G)[α e=e α=α] Το στοιχείο e ονομάζεται ουδέτερο στοιχείο, (idetity elemet). Παράδειγμα : Οι φυσικοί αριθμοί Ν με εσωτερική πράξη την πρόσθεση, (ή τον πολλαπλασιασμό), αποτελούν ημιομάδα, διότι η πρόσθεση, (και ο πολλαπλασιασμός), ικανοποιεί την προσεταιριστική ιδιότητα. Επίσης η ημιομάδα αυτή αποτελεί μονοειδές με ουδέτερο στοιχείο το 0 ως προς την πρόσθεση, (και το ως προς τον πολλαπλασιασμό). Παράδειγμα : Το σύνολο V των διανυσμάτων με εσωτερική πράξη το εξωτερικό γινόμενο δεν αποτελεί ημιομάδα διότι δεν ισχύει η προσεταιριστική ιδιότητα. Πράγματι είναι γνωστό ότι : v ( u w) = u( v w) w( v u) και ( v u ) w = u ( v w ) v ( u w ) εκ των οποίων έχουμε ότι : v ( u w) ( v u) w.4 ΟΜΑΔΑ Ορισμός : Ονομάζουμε ομάδα, (group), ένα ζεύγος (G, ) με G και μια εσωτερική πράξη στο G, που έχει τις εξής ιδιότητες : ( α, β, γ G) ( α β) γ =α ( β γ ) Προσεταιριστική ιδιότητα. [ ]. ( e G)( α G) [ α e= e α=α ] Ύπαρξη ουδετέρου στοιχείου 3. ( G)( G) [ e] α α α α = α α = Ύπαρξη συμμετρικού στοιχείου -3-

ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ορισμός : Αν η εσωτερική πράξη έχει επί πλέον την ιδιότητα : 4. ( α, β G) [ α β = β α ] Αντιμεταθετική ιδιότητα τότε η ομάδα (G,*) λέγεται αντιμεταθετική ή Αβελιανή. Παρατήρηση : Αντί για την έκφραση το ζεύγος (G, ) αποτελεί ομάδα χρησιμοποιείται συχνά η έκφραση το σύνολο G είναι ομάδα ως προς την πράξη. Αν η εσωτερική πράξη έχει την μορφή της πρόσθεσης, τότε η ομάδα λέγεται προσθετική και το συμμετρικό στοιχείο αντίθετο, ενώ αν έχει την μορφή του πολλαπλασιασμού, η ομάδα λέγεται πολλαπλασιαστική και το συμμετρικό στοιχείο αντίστροφο. Θεώρημα : Το ουδέτερο στοιχείο e μιας ομάδας G είναι μοναδικό. Απόδειξη: Για κάθε α G θα ισχύει η σχέση: α + e = e + α = α ( ) Αν e ένα δεύτερο ουδέτερο στοιχείο της ομάδος, τότε αυτό θα ικανοποιεί την σχέση β + e = e + β = β β G () Επειδή οι σχέσεις () και () ισχύουν για κάθε α και β, θέτουμε α = e και β = e και έχουμε e + e = e + e = e και e + e = e + e = e από τις οποίες προκύπτει ότι e = e. Θεώρημα : Το συμμετρικό α κάθε στοιχείου α μιας ομάδας G είναι μοναδικό. Απόδειξη: Αν υπάρχει ένα δεύτερο συμμετρικό στοιχείο α του α τότε α + α = α + α = e και α + α = α + α = e. Με την βοήθεια των σχέσεων αυτών έχουμε α = α + e = α + (α + α ) = (α + α) + α = e + α = α. Θεώρημα 3: Αν α,β,γ στοιχεία μιας ομάδας G τότε α + β = α + γ β = γ. Απόδειξη: α + β = α + γ α + α + β = α + α + γ e + β = e + γ β = γ. Παράδειγμα : Τα σύνολα Ζ των ακεραίων, Q των ρητών, R των πραγματικών και C των μιγαδικών αριθμών, εύκολα αποδεικνύεται ότι αποτελούν αβελιανές ομάδες ως προς την πρόσθεση, δηλ. εδώ έχουμε =+, ενώ οι φυσικοί αριθμοί Ν δεν αποτελούν ομάδα. Παράδειγμα : Το σύνολο των τετραγωνικών πινάκων με στοιχεία από την αβελιανή ομάδα C των μιγαδικών αριθμών αποτελεί αβελιανή ομάδα με εσωτερική πράξη την πρόσθεση των πινάκων. Το ουδέτερο στοιχείο εδώ είναι ο μηδενικός πίνακας : e= 0 0 0 0 0 0 0 0 0 4

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΔΟΜΕΣ α α α α α α και για κάθε πίνακα : A= α α α ο αντίθετος του είναι ο πίνακας : α α α α α α A = α α α Παράδειγμα 3 : Επίσης το σύνολο των τετραγωνικών πινάκων τύπου με στοιχεία από την αβελιανή ομάδα C των μιγαδικών αριθμών και ορίζουσα 0 αποτελεί ομάδα, με εσωτερική πράξη τον πολλαπλασιασμό των πινάκων. Κατ αρχήν υπενθυμίζουμε ότι το γινόμενο δυο πινάκων Α τύπου k και Β τύπου l m ορίζεται μόνο όταν k=l δηλαδή όταν ο αριθμός των στηλών του Α συμπίπτει με τον αριθμό των γραμμών του Β. Ο πίνακας Γ=A B είναι τότε τύπου m, το δε στοιχείο γ ij, (δηλ. το στοιχείο που βρίσκεται στη i-γραμμή και j-στήλη), δίνεται από την σχέση : γ = k α β ij ip pj p= η οποία προκύπτει από τον ορισμό του πολλαπλασιασμού μεταξύ των πινάκων. Στην περίπτωση των τετραγωνικών πινάκων, ο πολλαπλασιασμός ορίζεται πάντα και δίνει πάλι τετραγωνικό πίνακα τύπου. Για να αποδείξουμε ότι οι τετραγωνικοί πίνακες αποτελούν ομάδα, αρκεί να αποδείξουμε τις τρεις γνωστές ιδιότητες :. Προσεταιριστική ιδιότητα : (Α Β) Γ=A (B Γ) () Θέτουμε Δ=A B και E=B Γ και έχουμε για απόδειξη την Δ Γ=A E δηλ. (Δ Γ) ij =(A E) ij αλλά : και επομένως Επίσης και επομένως ( Δ Γ ) = δ γ και ij ik kj k= ij il lk kj k= l= δ = α β ik il lk l= ( Δ Γ ) = α β γ () (A E) = α e και ij il lj lj lk kj l= k= e = β γ (3) (A E) = α β γ = α β γ ij il lk kj il lk kj l= k= k= l= Από τις σχέσεις () και (3) έχουμε την σχέση ().. Προφανώς το ουδέτερο στοιχείο είναι ο ταυτοτικός πίνακας : -5-

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 0 0 0 0 I= 0 0 3. Για κάθε πίνακα Α με deta 0, ορίζεται ο αντίστροφος Α - ώστε : A A - =A - A=I Παρατήρηση : Η αντιμεταθετική ιδιότητα Α Β=Β Α δεν ισχύει διότι ( Α Β ) = α β και ij ik kj k= 6 ( Β Α ) = β α ( Α Β) (B A) ij ik kj ij ij k= Παράδειγμα 4 : Το σύνολο των περιστροφών στο επίπεδο, αποτελεί ομάδα με εσωτερική πράξη την σύνθεση δυο περιστροφών. Είναι γνωστό ότι μια περιστροφή κατά γωνία φ γύρω από την αρχή των αξόνων ενός καρτεσιανού συστήματος αναφοράς XOY, δίνεται από τον τετραγωνικό πίνακα R φ τύπου : cosϕ siϕ Rϕ = siϕ cosϕ Η σύνθεση δυο περιστροφών R φ και R θ παριστάνει μια περιστροφή R ω η οποία προκύπτει από το γινόμενο των αντιστοίχων πινάκων : cosϕ siϕ cosθ si θ Rω = Rϕ Rθ = si ϕ cosϕ si θ cosθ = cosϕcos θ siϕsi θ cosϕsi θ siϕcosθ = = si ϕcosθ+ cosϕsi θ siϕsi θ+ cosϕcosθ cos( ϕ+θ) si( ϕ+θ) cosω si ω = = si( ϕ+θ) cos( ϕ+θ) si ω cosω με ω=φ+θ. Η σύνθεση R ω =R φ R θ των περιστροφών σαν εσωτερική πράξη έχει την ιδιότητα της προσεταιριστικότητας, διότι : R R R = R R = R ( ω ϕ ) θ ω+ϕ θ ( ω+ϕ ) +θ Rω ( Rϕ Rθ) = Rω Rϕ+θ = Rω+ ( ϕ+θ) άρα : ( Rω Rϕ) Rθ Rω Rϕ Rθ = διότι (ω+φ)+θ=ω+(φ+θ) Το ουδέτερο στοιχείο είναι η μηδενική περιστροφή, δηλ. : cos 0 si 0 0 R 0 = = si 0 cos 0 0 που συμπίπτει με τον ταυτοτικό, πίνακα, και για κάθε περιστροφή R φ υπάρχει η αντίθετη περιστροφή R φ με φ =-φ. Πράγματι :

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΔΟΜΕΣ R R = R R = R = R 0 ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ Επίσης ισχύει και η αντιμεταθετική ιδιότητα Rϕ Rθ = Rθ Rϕ Άρα το σύνολο των περιστροφών στο επίπεδο αποτελεί αβελιανή ομάδα. Παράδειγμα 5 : Θεωρούμε το σύνολο των διαφορίσιμων πραγματικών συναρτήσεων άπειρης τάξης : Σ(f)={f:R R / f=διαφορίσιμη άπειρης τάξης} Τότε μια συνάρτηση f(x) δέχεται το εξής ανάπτυγμα κατά Τaylor γύρω από τον πραγματικό αριθμό α : f( α) f ( α) f ( α) 3 f(x +α ) = f( α ) + x+ x + x +...!! 3! ή αλλάζοντας το α με το x : f (x) f (x) f (x) 3 f(x +α ) = f(x) + α+ α + α +... =!! 3! 3 α α α = f(x) + f (x) + f (x) + f (x) +... =!! 3! 3 3 d α d α d α d α dx = + + + +... f (x) e f (x) 3 = δηλαδή! dx! dx 3! dx d α dx e f(x) = f(x +α ) Αν τώρα θεωρήσουμε το σύνολο : d α dx J = T α/τα = e, α R τότε το σύνολο J αποτελεί αβελιανή ομάδα με εσωτερική πράξη : d d d b ( α+ b) α dx dx dx α b = = = α+ b T T e e e T Πράγματι : T (Τ T ) = T (T ) = T = T = T T = (T T ) T. α b c α b+ c α+ (b+ c) ( α+ b) + c α+ b c α b c. To ουδέτερο στοιχείο είναι το T T = T = Τ = Τ Τ = Τ 0 α 0+α α+ 0 α 0 α d 0 Τ dx 0 = e = διότι : 3. Για κάθε στοιχείο Τ α το αντίστροφο του είναι το Τ -α, διότι : T α Τ -α =Τ α-α =Τ 0 = και T -α Τ α =Τ -α+α =Τ 0 = άρα T α Τ -α =T -α Τ α =Τ 0 = Τ Τ = T = T = Τ Τ 4. α b α+ b b+α b α η έκφραση Τ α = d dx e α ονομάζεται τελεστής μετατοπίσεως, (displacemet operator). -7-

ΚΕΦΑΛΑΙΟ Στα προηγούμενα παραδείγματα το πλήθος των στοιχείων των αντιστοίχων ομάδων ήταν άπειρο. Υπάρχουν όμως και ομάδες με πεπερασμένο πλήθος στοιχείων. Ορισμός 3 : Το πλήθος των στοιχείων μιας ομάδας ονομάζεται τάξη της ομάδας. Μια ομάδα που περιέχει πεπερασμένο πλήθος στοιχείων ονομάζεται πεπερασμένη ομάδα, ενώ αν περιέχει άπειρο πλήθος στοιχείων ονομάζεται άπειρη ομάδα. Μια άπειρη ομάδα ονομάζεται διακεκριμένη ή συνεχής ανάλογα εάν το πλήθος των στοιχείων είναι αριθμήσιμο ή συνεχές. Παράδειγμα 6: Θεωρούμε το σύνολο G των παρακάτω έξι συναρτήσεων : f (x)=x, f (x)=-x, f 3 (x)= x x, f 4(x)= x, f 5(x)= x, f 6(x)= x x με κοινό πεδίου ορισμού το R \ {0,} και με νόμο εσωτερικής συνθέσεως, την σύνθεση των συναρτήσεων, π.χ. x x (f 5 f 3 )(x)=f 5 (f 3 (x))= f5 = = x x x = =f (x) x Το σύνολο αυτό αποτελεί ομάδα ως προς την σύνθεση των συναρτήσεων. Για να το διαπιστώσουμε αυτό υπολογίζουμε όλες τις δυνατές συνθέσεις των στοιχείων του G ανά δύο π.χ. η σύνθεση των συναρτήσεων f 5 και f 3 είναι η συνάρτηση f 5 f 3 η οποία ορίζεται ως εξής x x (f 5 f 3 )(x) = f 5 (f 3 (x)) = f 5 = = = x = f (x) έτσι έχουμε f 5 f 3 = f. x x x Εργαζόμενοι με αυτό τον τρόπο κατασκευάζουμε τον πίνακα: f f f 3 f 4 f 5 f 6 f f f f 3 f 4 f 5 f 6 f f f f 5 f 6 f 3 f 4 f 3 f 3 f 6 f f 5 f 4 f f 4 f 4 f 3 f 6 f f f 3 f 5 f 5 f 4 f f 3 f 6 f f 6 f 6 f 3 f 4 f f f 5 Ένα άπειρο σύνολο Α λέγεται αριθμήσιμο εάν μπορούμε να βρούμε μια απεικόνιση f μεταξύ των φυσικών αριθμών Ν και των στοιχείων του συνόλου Α, δηλαδή να έχουμε f : N A, f : f() A. Συνήθως την εικόνα f() την συμβολίζουμε με α και έτσι μπορούμε να πούμε ότι ένα αριθμήσιμο σύνολο αποτελείται από τα στοιχεία μιας ακολουθίας α. 8

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΔΟΜΕΣ Τα στοιχεία του πίνακα κατασκευάζονται από την σύνθεση f i f j όπου f i τα στοιχεία της πρώτης στήλης και f j τα στοιχεία της πρώτης γραμμής. Παρατηρώντας τον πίνακα αυτόν συμπεραίνουμε ότι: Α) Η πράξη της σύνθεσης είναι εσωτερική. Και αυτό γιατί όλα τα αποτελέσματα της σύνθεσης των συναρτήσεων ανά δύο είναι επίσης συναρτήσεις του συνόλου G. Β) Η συνάρτηση f είναι το ουδέτερο στοιχείο της σύνθεσης. (Παρατηρήστε ότι τα στοιχεία της πρώτης γραμμής και στήλης του πίνακα είναι τα ίδια με τα αντίστοιχα της σκιασμένης γραμμής και στήλης). Γ) Για κάθε στοιχείο f i υπάρχει το αντίστοιχο συμμετρικό του. (Παρατηρήστε ότι το ουδέτερο στοιχείο υπάρχει σε όλες της γραμμές του πίνακα). Για να συμπληρωθεί η απόδειξη πρέπει να αποδειχθεί και η προσεταιριστική ιδιότητα της πράξης. Η ιδιότητα αυτή δεν προκύπτει άμεσα από τον πίνακα αλλά πρέπει να αποδείξουμε για κάθε τριάδα (i,j,k ) με i=,...,6, j=,...,6 και k=,...,6 ότι ισχύει η σχέση f f f = f f f. i ( j k ) ( i j ) k.5 Η ΟΜΑΔΑ ΤΩΝ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ Από ιστορικής πλευράς η έννοια της δομής της ομάδας πρωτοεμφανίστηκε στις αρχές του 9 ου αιώνα από την μελέτη του συνόλου των μετασχηματισμών που μπορούμε να ορίσουμε σ ένα σύνολο. Επειδή ένα τέτοιο σύνολο μετασχηματισμών παρουσιάζει μεγάλο ενδιαφέρον τόσο από μαθηματικής πλευράς όσο και από φυσικής πλευράς, είναι ωφέλιμο, αν όχι απαραίτητο, να αναφερθούμε σ αυτό. Ορισμός : Μια αμφιμονοσήμαντη και επί αντιστοιχία f : S S με πεδίο ορισμού και τιμών το σύνολο S λέγεται μετασχηματισμός του S. Παρατήρηση : Το σύνολο των μετασχηματισμών του S συμβολίζεται με M(S). Η ταυτοτική απεικόνιση I : S x x S είναι μετασχηματισμός του S, δηλ. Ι Μ(S). Εύκολα μπορεί κανείς να δείξει ότι το σύνολο M(S) αποτελεί ομάδα ως προς την σύνθεση των απεικονίσεων. Πρώτα παρατηρούμε ότι εάν εκτελέσουμε διαδοχικά δυο μετασχηματισμούς, το αποτέλεσμα είναι ένας νέος μετασχηματισμός. Έτσι η σύνθεση δυο οποιωνδήποτε μετασχηματισμών είναι πάλι ένας μετασχηματισμός και επομένως το σύνολο των μετασχηματισμών είναι κλειστό ως προς την σύνθεση των μετασχηματισμών. Μπορούμε να ορίσουμε το ταυτοτικό στοιχείο να είναι ο ταυτοτικός μετασχηματισμός, και προφανώς ανήκει στο σύνολο. Για κάθε μετασχηματισμό υπάρχει ο αντίστροφος του με την έννοια ότι ο αρχικός μετασχηματισμός και ο αντίστοφος του μας δίνει τον ταυτοτικό μετασχηματισμό. Τέλος η διαδοχική εφαρμογή των μετασχηματισμών συμμετρίας υπακούει την προσεταιριστική ιδιότητα. -9-

ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ορισμός : Η ομάδα μετασχηματισμών του συνόλου S={,,, }, N *, λέγεται συμμετρική ομάδα βαθμού και συμβολίζεται με S. Τα στοιχεία της λέγονται μεταθέσεις βαθμού. Παρατήρηση : α) Επειδή μια μετάθεση s S είναι αμφιμονοσήμαντη συνάρτηση: s : {,,, } {,,, } οι τιμές της s()=, s()=,, s()= είναι πάλι οι δείκτες,,, με διαφορετική γενικά διάταξη β) Η μετάθεση s S συμβολίζεται με 3 s = () 3 3 4 π. χ. η μετάθεση s = είναι η συνάρτηση s: {,, 3, 4} {,, 3, 4} όπου 4 3 s()=, s()=4, s(3)=, s(4)=3. γ) Στον παραπάνω συμβολισμό () μπορούμε να αλλάξουμε τη διάταξη των στοιχείων της πάνω γραμμής, αρκεί να γράψουμε την εικόνα k =s(k) κάτω από το πρότυπο k, για κάθε k. 3 4 3 4 4 3 Έτσι s = = = = 4 3 4 3 3 4 δ) Η σύνθεση s t των συναρτήσεων t, s S συμβολίζεται με st και λέγεται γινόμενο των t, s. ε) Τα γινόμενα st και ts των μεταθέσεων s= 3 4 5 3 4 5 και t= 3 5 4 3 4 5 βρίσκονται ως εξής: t s st t s st 3 5 5 3 4 5 = 5 4 3 t s st 3 4 3 st t s st 4 5 4 4 4 t s st 5 3 5 3 s t ts 3 4 4 s t ts 3 3 3 4 5 = 4 3 5 s t ts 3 5 3 ts s t ts 4 4 s t ts 5 4 5 5 5 στ) Τα παραπάνω στοιχεία t και s της S 5 δεν αντιμετατίθενται αφού ts st. Γενικά η συμμετρική ομάδα S δεν είναι αντιμεταθετική. ζ) Το γινόμενο st δυο μεταθέσεων βρίσκεται πιο σύντομα ως εξής: Γράφουμε σαν πάνω 0

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΔΟΜΕΣ γραμμή της s την κάτω γραμμή της t και το γινόμενο st έχει πάνω γραμμή εκείνη της t και κάτω γραμμή εκείνη, (τη νέα), της s. Έτσι στο προηγούμενο παράδειγμα: st= 3 4 5 3 4 5 3 5 4 3 4 5 = 3 4 5 3 4 5 5 4 3 3 4 5 = = 3 4 5 5 4 3 η) Η αντίστροφη s - μιας μετάθεσης s S προκύπτει από την s με αμοιβαία αλλαγή των θέσεων των γραμμών της. Έτσι εάν 3 3 s = τότε s = 3 3 π. χ. εάν s= 3 4 5 5 4 3 τότε s- = 5 4 3 3 4 5 = 3 4 5 3 5 4 θ) Το πλήθος των στοιχείων της συμμετρικής ομάδας S είναι ίσο με 3 (-)=! Ορισμός 3: Μια μετάθεση της μορφής: x x x3 xk xk x x3 x4 xk x λέγεται κυκλική μετάθεση ή κύκλος μήκους k και συμβολίζεται με (x, x, x 3,, x k ) Παρατήρηση : α) Είναι (5 4 3 )= 5 4 3 3 4 5 = 4 3 5 5 3 4 β) Τα στοιχεία ενός κύκλου μπορούν να εναλλαχθούν κυκλικά, δηλ. (x, x, x 3,, x k )=(x, x 3,, x k, x )=(x 3, x 4,, x k, x, x )= γ) Δεχόμεστε ότι κύκλος μήκους παριστάνει τη μονάδα της S, ότι δηλ. ()=()= =()= Ορισμός 4: Ένας κύκλος μήκους λέγεται αντιμετάθεση ή μετάβαση. Παρατήρηση 3: α) Η μετάθεση 3 4 5 5 = = 5 3 4 5 είναι αντιμετάθεση. β) Για κάθε αντιμετάθεση s έχουμε s - =s, αφού γ) Από την ισότητα -- ( 5) ( pq) = = = ( qp) = ( pq) p q q p q p p q

ΚΕΦΑΛΑΙΟ (x x x 3 x k )=(x x k )(x x k- ) (x x ) η οποία αποδεικνύεται πολύ εύκολα, προκύπτει ότι: «κύκλος μήκους k> αναλύεται σε γινόμενο k- αντιμεταθέσεων». δ) Η ανάλυση κύκλου σε γινόμενο αντιμεταθέσεων δεν είναι μοναδική, π. χ. (3)=(3)()=(4)(3)(43)() Θεώρημα : Κάθε μετάθεση s αναλύεται κατά μοναδικό τρόπο σε γινόμενο πεπερασμένου πλήθους κύκλων μήκους μεγαλύτερου του, οι οποίοι δεν έχουν ανά δυο κοινά στοιχεία. Παρατήρηση 4: Επειδή και κάθε κύκλος αναλύεται σε γινόμενο πεπερασμένου πλήθους αντιμεταθέσεων, κάθε μετάθεση αναλύεται σε γινόμενο πεπερασμένου πλήθους αντιμεταθέσεων. Η ανάλυση όμως αυτή δεν είναι μοναδική, π.χ. για την μετάθεση 3 4 5 6 7 8 9 0 s = 5 3 4 8 7 6 0 9 έχουμε: και άρα s=( 5 3 4)(6 8)(7)(9 0)=( 5 3 4)(6 8)(9 0) s s s s s s s s s s 5 3 4, 6 8 6, 7 7, 9 0 9 Ορισμός 5: Μια μετάθεση λέγεται άρτια, (ή περιττή), αν αναλύεται σε γινόμενο αρτίου, (ή περιττού), πλήθους αντιμεταθέσεων. Παρατήρηση 5: α) Η μονάδα είναι άρτια μετάθεση, αφού =(pq)(pq) και κάθε αντιμετάθεση είναι περιττή. β) Επειδή ένας κύκλος μήκους p> αναλύεται σε γινόμενο p- αντιμεταθέσεων, ένας κύκλος μήκους p είναι αρτία, (αντίστοιχα περιττή), μετάθεση όταν ο p είναι περιττός, (αντίστοιχα άρτιος). Ορισμός 6: Θεωρούμε μια μετάθεση s. Ονομάζουμε σημείο της μετάθεσης και θα το συμβολίζουμε με ε(s), το + ή το εάν η μετάθεση είναι άρτια ή περιττή. Συγκεκριμένα θα έχουμε:, αν ηs ειναιαρτια ε (s) =, αν η s ειναι περιττη Παρατήρηση 6: Επειδή η μονάδα, (ταυτοτική συνάρτηση), είναι άρτια μετάθεση και κάθε αντιμετάθεση (pq) είναι περιττή, έχουμε ε()=+, ε(pq)=-. Πρόταση : α) Εάν s=c c c p είναι μια ανάλυση της μετάθεσης s σε γινόμενο p αντιμεταθέσεων, τότε είναι: ε(s)=(-) p. β) ε(st)=ε(s)ε(t), ε(s - )=ε(s) για όλες τις μεταθέσεις s, t S.

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΔΟΜΕΣ.6 ΥΠΟΟΜΑΔΑ Ορισμός : Αν (G, *) είναι μια ομάδα, τότε το ζεύγος (G,*) με G G λέγεται υποομάδα, (subgroup), της ομάδας (G, *), όταν είναι ομάδα με την ίδια εσωτερική πράξη, η οποία θα πρέπει φυσικά να είναι κλειστή στο G, δηλαδή : [ ] ( α, β G ) α β G Παρατήρηση : Γενικά ένα υποσύνολο Η Α μιας αλγεβρικής δομής Α είναι υποδομή όταν αποτελεί την ίδια δομή με τις ίδιες πράξεις σύνθεσης Παράδειγμα : Το σύνολο Ζ των ακεραίων αριθμών, αποτελεί υποομάδα της ομάδας R των πραγματικών αριθμών, αν σαν εσωτερική πράξη θεωρήσουμε την πρόσθεση..7 ΔΑΚΤΥΛΙΟΣ Ορισμός : Έστω ( G, ) μια αβελιανή ομάδα. Ορίζουμε τώρα μια δεύτερη εσωτερική πράξη, που την συμβολίζουμε με με τις εξής ιδιότητες : [ ] [ ] [ ] ( α, β, γ G) ( α β) γ = α ( β γ) προσεταιριστική ( α, β, γ G) α ( β γ ) = ( α β) ( α γ) επιμεριστική εξ αριστερών ( α, β, γ G) ( β γ) α = ( β α) ( γ α) επιμεριστική εκ δεξιών Η ομάδα ( G, ) με την δεύτερη εσωτερική πράξη, λέγεται δακτύλιος, (rig), και συμβολίζεται με την τριάδα ( G,, ). Παρατήρηση : Ένα σύνολο G δέχεται την δομή δακτυλίου, αν έχουν ορισθεί δυο εσωτερικές πράξεις με τις ιδιότητες : α) Η πρώτη πράξη ορίζει στο G την δομή της αβελιανής ομάδας. β) Η δεύτερη πράξη ορίζει στο G την δομή της ημιομάδας. γ) Η δεύτερη πράξη είναι επιμεριστική ως προς την πρώτη. Παράδειγμα : Το σύνολο R των πραγματικών αριθμών με εσωτερικές πράξεις την πρόσθεση και τον πολλαπλασιασμό, δέχεται την δομή δακτυλίου διότι : α) Το ζεύγος (R,+) είναι αβελιανή ομάδα. β) Το ζεύγος (R, ) είναι ημιομάδα. 3) Ισχύει : ( α,β,γ)[ α (β+γ)=α β+α γ ] και ( α,β,γ)[ (β+γ) α=β α+γ α ] Ορισμός : Αν σ ένα δακτύλιο ( G,, ) ισχύει : ( α, β G) [ α β=β α] τότε ο δακτύλιος λέγεται αντιμεταθετικός. -3-

ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ορισμός 3: Ένας δακτύλιος ( G,, ) λέγεται δακτύλιος με μοναδιαίο στοιχείο, (ή με μονάδα), αν υπάρχει ένα στοιχείο, που ας το συμβολίσουμε με Ι με την ιδιότητα : ( α G)[ α Ι = Ι α = α] δηλαδή να υπάρχει ουδέτερο στοιχείο ως προς την δεύτερη εσωτερική πράξη. Παράδειγμα : Ο δακτύλιος (R,+, ) είναι αντιμεταθετικός με μοναδιαίο στοιχείο. Στα επόμενα με 0 θα συμβολίζουμε το ουδέτερο στοιχείο της πρώτης πράξης, (που συνήθως είναι η γνωστή πρόσθεση), και με το ουδέτερο στοιχείο της δεύτερης πράξης, (που συνήθως είναι ο γνωστός πολλαπλασιασμός). Ορισμός 4: Σ ένα δακτύλιο είναι δυνατόν να υπάρχουν στοιχεία α 0 και b 0, με την ιδιότητα α b =0. Τα στοιχεία του δακτυλίου με αυτή την ιδιότητα, λέγονται μηδενοδιαιρέτες, (divisors of zero). Ένας δακτύλιος χωρίς μηδενοδιαιρέτες, λέγεται ακέραια περιοχή, (itegral domai). Παράδειγμα 3 : Το σύνολο των τετραγωνικών πινάκων τύπου αποτελεί δακτύλιο με εσωτερικές πράξεις την πρόσθεση και τον πολλαπλασιασμό των πινάκων. Αν θεωρήσουμε τους πίνακες : A = 0 0 και B = 0 0 που είναι διάφοροι του μηδενικού πίνακα : O = 0 0 τότε το γινόμενο Α.Β είναι : 0 0 A B= 0 0 = = 0 0 0 0 Άρα ο δακτύλιος των τετραγωνικών πινάκων τύπου δεν είναι ακέραια περιοχή..8 ΣΩΜΑ Στον δακτύλιο (R,+,.) μπορούμε να κάνουμε την εξής παρατήρηση : Οι πραγματικοί αριθμοί R αποτελούν ομάδα ως προς την πρόσθεση. Για να αποτελούν ομάδα και ως προς τον πολλαπλασιασμό, θα πρέπει να ισχύει η ιδιότητα του συμμετρικού στοιχείου, δηλαδή : α R α R α α = α α = ( )( )[ ] Αλλά αν σαν α θεωρήσουμε το 0, τότε δεν ισχύει η παραπάνω ιδιότητα γιατί δεν ορίζεται το αντίστροφο στοιχείο του μηδενός. Αν δεν λάβουμε υπ όψη μας το 0, τότε το σύνολο R-{0} δέχεται την δομή της ομάδας ως προς τον πολλαπλασιασμό. Έτσι φθάνουμε στον ορισμό του σώματος. 4

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΔΟΜΕΣ Ορισμός : Σώμα ή πεδίο, (field), ονομάζεται ένας αντιμεταθετικός δακτύλιος ( G,, ) με μοναδιαίο στοιχείο, τέτοιος ώστε το σύνολο G-{e} να δέχεται την δομή ομάδας ως προς την δεύτερη πράξη. Παράδειγμα : Εκτός από το σύνολο R, και τα σύνολα Q των ρητών αριθμών και C των μιγαδικών αριθμών είναι σώματα, δηλαδή δέχονται την δομή σώματος. Σ ένα σώμα, π.χ. στο R, ορίζονται και οι τέσσερις γνωστές πράξεις (+), (.), (-), (:). Οι δυο πρώτες από τον ορισμό του σώματος, η τρίτη, (αφαίρεση), από την ύπαρξη για κάθε στοιχείο του αντιθέτου και η τέταρτη, (η διαίρεση), από την ύπαρξη για κάθε μη μηδενικό στοιχείο του αντιστρόφου. Έτσι σ ένα σώμα ( G,, ) πάντα έχουν μονοσήμαντη λύση οι εξισώσεις : α x=β α,β G, α x=β με α,β G με α,β G και α 0 Στα επόμενα θα χρησιμοποιούμε τους εξής συμβολισμούς : ) ( G, ) για την αλγεβρική δομή της ομάδας G group=ομάδα ) ( R,, ) για την αλγεβρική δομή του δακτυλίου R rig=δακτύλιος 3) ( F,, ) για την αλγεβρική δομή του σώματος ή πεδίου F field=πεδίο Τελειώνουμε το κεφάλαιο αυτό με ένα διάγραμμα ροής, το οποίο περιλαμβάνει τις αλγεβρικές δομές που μελετήσαμε μέχρι τώρα. Ημιομάδα Μονοειδές Ομάδα Αβελιανή ομάδα Ακαραία περιοχή Δακτύλιος Mη Ακαραία περιοχή Δακτύλιος με μονάδα Αντιμεταθετικός δακτύλιος Σώμα -5-

ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ) Να ελέγξτε εάν τα παρακάτω ζεύγη αποτελούν ομάδες: α) (G, ),όπου G =Ζ οι ακέραιοι αριθμοί και η πράξη της αφαιρέσεως, β) (G, ),όπου G ={,-} και η πράξη του πολλαπλασιασμού, γ) (G, ),όπου G =Q-{0} το σύνολο των μη μηδενικών ρητών αριθμών και η πράξη της διαιρέσεως, δ) (G, ),όπου G ={α+iβ / α,β Ζ} οι μιγαδικοί αριθμοί με πραγματικό και φανταστικό μέρος ακέραιους αριθμούς και η πράξη της προσθέσεως. (Απ. α) ναι, β) ναι, γ) όχι, δεν ισχύει η προσεταιριστική ιδιότητα, δ) ναι) ) Σε μια ομάδα (G, ) οι δυνάμεις ορίζονται ως εξής: α 0 =e, α =α α -, α - =(α ) -, όπου N. και το α - σημαίνει το συμμετρικό στοιχείο του α. Να δείξετε ότι ισχύουν οι σχέσεις: α) α r α s =α r+s β) (α r ) s =α rs γ) (α r+s ) t =α rt+st. 3) Δείξτε ότι εάν (G, ) είναι μια αβελιανή ομάδα, τότε ισχύει: (α β) =α β α,β G και Z. 4) Έστω (G, ) μια ομάδα τέτοια ώστε (α β) =α β α,β G. Να δειχθεί ότι η ομάδα (G, ) είναι αβελιανή. 5) Εάν Η είναι ένα υποσύνολο μιας ομάδας (G, ), να δειχθεί ότι το Η είναι υποομάδα εάν και μόνο εάν α) το Η και β) α,β Η α β - Η. 6) Να δειχθεί ότι η τομή πεπερασμένου πλήθους υποομάδων μιας ομάδας, είναι ομάδα 7) Δείξτε ότι το σύνολο όλων των δυνάμεων ενός στοιχείου α μιας ομάδας (G, ) είναι υποομάδα. Η υποομάδα αυτή ονομάζεται κυκλική ομάδα που παράγεται από το στοιχείο α. 8) Δείξτε ότι σ ένα δακτύλιο (R,+, ) ισχύουν οι σχέσεις: α) α 0=0 α=0 β) α (-β)=(-α) β=-α β γ) (-α) (-β)=α β 9) Δείξτε ότι σ ένα δακτύλιο (R,+, ) με μονάδα ισχύουν οι σχέσεις: α) (-) α=-α, β) (-) (-)=. 0) Έστω ότι α =α α R. Να δειχθεί ότι ο δακτύλιος R είναι αντιμεταθετικός. (Ένας τέτοιος δακτύλιος ονομάζεται δακτύλιος Bool) Λύση: Έχουμε αβ=(α )(β ) και (αβ)=(αβ). Επομένως (α )(β )= (αβ) (αα)(ββ)=(αβ)(αβ) ααββ=αβαβ αβ=βα ) Έστω (R,+, ) ένας δακτύλιος με μονάδα. Κατασκευάζουμε το σύστημα: ( ˆR,, ) 6

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΔΟΜΕΣ όπου ˆR =R, α β α+β+, α β α β+α+β. Να δείξετε ότι το ( ˆR,, ) είναι δακτύλιος. Να ορισθούν τα ουδέτερα στοιχεία ως προς τις νέες πράξεις. ) Να αποδειχθεί ότι το σύνολο F={α+β / α,β Q } είναι σώμα. 3) Να δειχθεί ότι το σύνολο D={α+β / α,β Z } είναι ακέραια περιοχή αλλά όχι σώμα. -7-

ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΙΙ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ. ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΣ ΧΩΡΟΣ Θεωρούμε ένα σώμα (F, *, ), (όπου με * συμβολίζουμε την πρώτη εσωτερική πράξη του F και με την δεύτερη), και ένα σύνολο V, (τα στοιχεία του οποίου θα τα συμβολίζουμε με v ), στο οποίο έχει ορισθεί μια εσωτερική πράξη, που την συμβολίζουμε με +, (συνήθως ονομάζεται διανυσματική πρόσθεση), και για την οποία το ζεύγος (V,+) είναι αβελιανή ομάδα. Επίσης θεωρούμε μια εξωτερική πράξη που την συμβολίζουμε με ( ): : F V V με τις ιδιότητες:. ( α F)( v,w V) α ( v+ w) = α v+ α w. ( α, β F)( v V) ( α β) v = α v+ β v 3. ( α, β F)( v V) ( α β) v = α ( β v) v V v = v 4. ( )[ ] Η τετράδα ( VF,,,) + ονομάζεται διανυσματικός χώρος επί του σώματος F (, (vector space over the field F). Τα στοιχεία του V θα τα συμβολίζουμε με τα τελευταία γράμματα του Λατινικού αλφάβητου v, u, w, x, y, z κ.λ.π., με διανυσματική μορφή v, u, w, x, y, z ή με έντονη γραφή v, u, w, x, y, z, ενώ τα στοιχεία του σώματος F, (συντελεστές), με τα πρώτα γράμματα του Λατινικού ή Ελληνικού αλφάβητου α, a, β, b, κ.λ.π.. Οι παραπάνω 4 σχέσεις παίρνουν μια πιο οικεία μορφή εάν χρησιμοποιήσουμε το σύμβολο + και για τον πρώτο νόμο εσωτερικής συνθέσεως του σώματος F αντί για το και την τελεία αντί για το σύμβολο, (συνήθως παραλείπουμε την τελεία). Έτσι οι 4 αυτές σχέσεις γράφονται:. ( α F)( v,w V) α ( v+ w) = α v+ α w. ( α, β F)( v V) ( α+β) v=α v+β v 3. ( α, β F)( v V) ( αβ) v= α ( β v) v V v = v 4. ( )[ ] Θα πρέπει όμως από εδώ και πέρα αν μην γίνεται σύγχυση σχετικά με το σύμβολο + όταν αυτό χρησιμοποιείται μεταξύ αριθμών α+β και μεταξύ διανυσμάτων v + w. ( Τον διανυσματικό χώρο ( VF,,,) + θα τον συμβολίζουμε και με V[F] ή πιο απλά με V.

ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΙΙ Στη Φυσική το σώμα F μπορεί να είναι το σώμα R των πραγματικών αριθμών ή το σώμα C των μιγαδικών αριθμών. Στην περίπτωση που F=R ο διανυσματικός χώρος V ονομάζεται πραγματικός χώρος, (liear space), ενώ όταν F=C, ο διανυσματικός χώρος V ονομάζεται μιγαδικός χώρος, (complex space) Μια από τις αρχές της φυσικής, είναι η αρχή της επαλληλίας, (superpositio priciple). Η διαδικασία της επαλληλίας είναι ένα είδος προσθετικής διαδικασίας κατά την οποία διάφορες καταστάσεις ενός φυσικού συστήματος μπορούν κατά κάποιον τρόπο να προστεθούν και να δώσουν μια νέα κατάσταση ή αν μια κατάσταση την πολλαπλασιάσουμε με έναν αριθμό, να έχουμε μια νέα κατάσταση. Επομένως οι καταστάσεις πρέπει να συνδυαστούν με μαθηματικά μεγέθη που να μπορούν να προστεθούν και να δώσουν ένα νέο μέγεθος του ίδιου είδους, ή αν τα πολλαπλασιάσουμε με έναν αριθμό να δίνουν μαθηματικά μεγέθη του ίδιου είδους. Τέτοια μαθηματικά μεγέθη είναι τα διανύσματα. Η χρησιμοποίηση του διανυσματικού χώρου σαν μαθηματική δομή για την φυσική, οφείλεται στην αρχή της επαλληλίας. Θεώρημα : Σ ένα διανυσματικό χώρο V επί του σώματος F ισχύουν οι σχέσεις:. ( α F) α 0= 0. ( v V)[ e v = 0 ] 3. ( α F)( v V) α v = 0 α = e ή v = 0 ] α F v V ( α) v = α( v) = α v 4. ( )( )[ ] όπου 0 το ουδέτερο στοιχείο του V ως προς την εσωτερική πράξη και e το ουδέτερο στοιχείο του F ως προς την πρώτη εσωτερική πράξη. Απόδειξη:. Από τον ορισμό του μηδενικού διανύσματος σαν ουδέτερου στοιχείου ως προς την εσωτερική πράξη του V έχουμε 0 + 0 = 0. Πολλαπλασιάζουμε από αριστερά με α F: α 0+ 0 =α 0 α 0+α 0=α 0 ( ) Προσθέτοντας το ( α0) που είναι το συμμετρικό του α0 ως προς την εσωτερική πράξη του V, έχουμε: α 0+α 0 + α 0 =α 0+ α0 α 0+ α 0 + ( α 0) = 0 α 0+ 0= 0 α 0= 0 ( ) ( ) ( ) ( ). Επειδή το e είναι το ουδέτερο στοιχείο του F ως προς την πρώτη εσωτερική πράξη, θα έχουμε: e e = e ( e e) v = e v e v + e v = e v Προσθέτοντας το ev, (συμμετρικό του e v ως προς την εσωτερική πράξη του V), και στα δυο μέλη, έχουμε: ( e v+ e v) + ( e v) = e v+ ( e v) e v+ ( e v e v) = 0 e v + 0 = 0 e v = 0-0 -

3. Έστω α v = 0 και α e. Τότε υπάρχει α - τέτοιο ώστε α α= Άρα v = v = ( α α) v =α ( α v) =α 0= 0 v = 0 αν α=e τότε προφανώς α v= e v= 0. 4. Έχουμε: 0= v + ( v) 0=α 0=α ( v+ ( v) ) =α v+α ( v) Προσθέτουμε και στα δυο μέλη το α v ( α v) + 0 = ( α v) +α v +α( v) α v =α( v) ( ) ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ επίσης έχουμε: e =α α ( ) 0= e v = ( α α ( )) v =α v + α ( ) v Προσθέτουμε και στα δυο μέλη το ( α v) α ( v) + 0 = ( α ( v) +α v ) + α ( ) v α v= 0 + α ( ) v α v = α ( ) v Άρα ( α) v = α( v) = α v Παράδειγμα : Το σύνολο R 3 των διανυσμάτων του τρισδιάστατου πραγματικού χώρου με εσωτερική πράξη την πρόσθεση των διανυσμάτων, που ορίζεται με τον κανόνα του παραλληλογράμμου και με εξωτερική πράξη τον πολλαπλασιασμό διανύσματος επί αριθμό, είναι ένας διανυσματικός χώρος επί του σώματος R. Παράδειγμα : Αν στο καρτεσιανό γινόμενο R = R... R όπου R οι πραγματικοί αριθμοί, ορίσουμε σαν εσωτερική πράξη μεταξύ δυο τυχόντων στοιχείων: (x,x,,x ) και (y,y,,y ) το άθροισμα (x +y,x +y,,x +y ) και σαν εξωτερική πράξη το γινόμενο ενός αριθμού λ R επί το στοιχείο (x,x,,x ) του R, δηλαδή (λx,λx,,λx ), τότε το σύνολο R με τις δυο αυτές πράξεις αποτελεί διανυσματικό χώρο επί του σώματος R. Είναι εύκολο να δούμε ότι το στοιχείο (0,0,,0) είναι το ουδέτερο στοιχείο της εσωτερικής πράξης και ότι το (-x,-x,,-x ) είναι το αντίθετο στοιχείο του (x,x,,x ). Με παρόμοιο τρόπο και το C γίνεται διανυσματικός χώρος επί του σώματος C. Παράδειγμα 3: Το σύνολο V των πολυωνύμων α 0 +α x+ +α x, βαθμού με συντελεστές α i, i=0,,, από ένα σώμα F αποτελεί διανυσματικό χώρο επί του σώματος F με εσωτερική πράξη την πρόσθεση των πολυωνύμων και εξωτερική πράξη τον πολλαπλασιασμό πολυωνύμου με ένα στοιχείο του σώματος F. Παράδειγμα 4: Ας θεωρήσουμε το σύνολο V= { f /f :( α, β) R} των πραγματικών συναρτήσεων που ορίζονται στο, (πεπερασμένο ή άπειρο), διάστημα (α,β). Στο σύνολο αυτό ορίζουμε σαν εσωτερική πράξη το άθροισμα των συναρτήσεων και σαν εξωτερική πράξη τον πολλαπλασιασμό ενός αριθμού επί μια συνάρτηση. Μ αυτές τις πράξεις το σύνολο V γίνεται διανυσματικός χώρος επί του σώματος R. - -

ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΙΙ Παράδειγμα 5: Έστω L= { f /f :( α, β) R με την ιδιότητα f(x) dx < } το σύνολο των τετραγωνικά ολοκληρωσίμων κατά Lebesque πραγματικών συναρτήσεων. Αν ορίσουμε σαν εσωτερική και εξωτερική πράξη όπως στο προηγούμενο παράδειγμα, τότε το σύνολο L αποτελεί διανυσματικό χώρο επί του σώματος R, και παρίσταται με το σύμβολο L (α,β). Οι διανυσματικοί χώροι με στοιχεία συναρτήσεις ονομάζονται συναρτησιακοί χώροι, (fuctio spaces). Παράδειγμα 6: Αν F είναι σώμα, τότε το σύνολο V=F είναι διανυσματικός χώρος επί του σώματος F με εσωτερική πράξη: v + u = v, v,..., v + u, u,..., u = v + u, v + u,..., v + u όπου v i, u i F i=,, ( ) ( ) ( ) Στα επόμενα τα στοιχεία ενός διανυσματικού χώρου θα τα συμβολίζουμε με έντονα γράμματα π.χ. v, u, κ.λ.π. β α. ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΣ ΥΠΟΧΩΡΟΣ Ένα μη κενό υποσύνολο W ενός διανυσματικού χώρου V επί του σώματος F ονομάζεται διανυσματικός υπόχωρος του V, (ή απλώς υπόχωρος), (vector subspace), αν από μόνο του το W με τις ίδιες πράξεις είναι διανυσματικός χώρος. Αποδεικνύεται ότι το W είναι διανυσματικός υπόχωρος αν είναι κλειστό ως προς τις δυο πράξεις: α) ( v,u W)[v+u W] β) ( α F) ( v W)[α v W] Οι σχέσεις α) και β) διατυπώνονται κατά ενιαίο τρόπο από την σχέση: ( α, β F) ( v,u W)[αv+βu W] () Απόδειξη: Αν το W είναι διανυσματικός υπόχωρος τότε προφανώς ισχύει η σχέση (). Αντιστρόφως: Υποθέτουμε ότι ισχύει η (), τότε επειδή W V ισχύουν όλες οι ιδιότητες οι σχετικές με τον ορισμό του διανυσματικού χώρου εκτός του ότι: α) η πρόσθεση και ο βαθμωτός πολλαπλασιασμός δίνουν στοιχεία τα οποία ανήκουν στον W β) το ουδέτερο και το συμμετρικό κάθε στοιχείου του W ανήκουν επίσης στον W. Πράγματι: α) αν α=β= v+u W αν β=0 ή u=0 τότε αv W β) αν α =, β=- και v=u τότε αv+βu=v-v=0 W και τέλος αν α=- και u=0 τότε -v W - -

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ Παράδειγμα : Έστω V ο διανυσματικός χώρος R 3 και W το σύνολο των διανυσμάτων των οποίων η τρίτη συνιστώσα είναι μηδέν, (προφανώς τα διανύσματα του W κείνται στο επίπεδο XOY), δηλ. W={ (x,y,0) / x, y R }. Τότε το W είναι ένας διανυσματικός υπόχωρος του V. Παράδειγμα : Αν V είναι ο διανυσματικός χώρος των τετραγωνικών πινάκων επί του σώματος R, τότε το σύνολο W των πινάκων Α=(α ij ) με α ij =α ji, (συμμετρικοί πίνακες), είναι ένας υπόχωρος του V. Παράδειγμα 3: Έστω V ο διανυσματικός χώρος των πολυωνύμων βαθμού. Τότε το σύνολο W των πολυωνύμων βαθμού k< είναι υπόχωρος του V. Παράδειγμα 4: Θεωρούμε το ομογενές γραμμικό σύστημα m εξισώσεων με αγνώστους x,,x από το σώμα F=R ή C: α x + α x + + α x =0 α x + α x + + α x =0... α m x + α m x + + α m x =0 Το σύνολο W των λύσεων αποτελεί ένα διανυσματικό υπόχωρο του διανυσματικού χώρου V=F. Απόδειξη: Κατ αρχάς W διότι 0=(0,0,,0) W επειδή είναι η τετριμμένη μηδενική λύση. Τώρα θα αποδείξουμε ότι αν u=(u,,u ) και v=(v,,v ) ανήκουν στο σύνολο W, δηλ. α i u + α i u + + α i u =0 α i v + α i v + + α i v =0 για i=,, m και α,β F τότε και το αu+βv W. Πράγματι αu+βv=(αu +βv, αu +βv,, αu +βv ) και για i=,,,m έχουμε: α i (αu +βv )+ α i (αu +βv )+ + α i (αu +βv )= α(α i u + α i u + + α i u )+β(α i v + α i v + + α i v )=α0+β0=0 Άρα το αu+βv είναι λύση του συστήματος, δηλ. ανήκει στο W και επομένως το W είναι υπόχωρος του F..3 ΑΛΓΕΒΡΑ Σ ένα διανυσματικό χώρο (V,F,+, ) θεωρούμε μια δεύτερη πράξη εσωτερικής σύνθεσης, που την συμβολίζουμε με δηλ.: : V V V Αν η εσωτερική αυτή πράξη έχει τις εξής ιδιότητες: - 3 -

ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΙΙ. ( vuw,, )[ v ( u+ w) = v u+ v w]. ( vuw,, )[( u+ w) v= u v+ w v] 3. ( uv, V)( λ F )[ λ ( v ˆ u) = ( λ v)ˆ u= v ˆ( λ u) ] V επιμεριστική εξ' αριστερών V επιμεριστική εκ δεξιών Τότε ο διανυσματικός χώρος V ονομάζεται άλγεβρα επί του σώματος F, (algebra over the field F). Από τις επί πλέον ιδιότητες που μπορεί να έχει η δεύτερη πράξη, χαρακτηρίζεται και η άλγεβρα, π.χ. α) ( v u) w = v ( u w) Προσεταιριστική Ιδιότητα Προσεταιριστική Άλγεβρα β) v u = u v Αντιμεταθετική ιδιότητα Αντιμεταθετική Άλγεβρα V v V v = v = v Ύπαρξη ουδετέρου στοιχείου Άλγεβρα με γ) ( )( )[ ] ουδέτερο στοιχείο. Παράδειγμα : Το σύνολο των τετραγωνικών πινάκων με πραγματικά στοιχεία, σχηματίζει έναν διανυσματικό χώρο με πράξεις την πρόσθεση των πινάκων και τον βαθμωτό πολλαπλασιασμό. Ο διανυσματικός αυτός χώρος μαζί με τον πολλαπλασιασμό των πινάκων, εύκολα μπορούμε να δούμε ότι αποτελεί άλγεβρα, η οποία είναι προσεταιριστική και έχει ουδέτερο στοιχείο, που είναι ο ταυτοτικός πίνακας..4 ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΣΥΝΔΥΑΣΜΟΣ Έστω V διανυσματικός χώρος επί του σώματος F και έστω v,v,,v m V. Κάθε διάνυσμα του V της μορφής: w=α v +α v + +α m v m όπου α i F ονομάζεται γραμμικός συνδυασμός, (liear combiatio), των διανυσμάτων v,v,,v m. Θεώρημα : Αν S V με S και V ένας διανυσματικός χώρος επί του σώματος F, τότε το σύνολο: m L(S)= αivi / αi F, v i S i= όλων των γραμμικών συνδυασμών των διανυσμάτων του S, είναι ένας υπόχωρος του V. Για κάθε δε άλλον υπόχωρο W του V, που περιέχει το S, τότε L(S) W, δηλ. το L(S) είναι ο μικρότερος υπόχωρος του V, που περιέχει το S. Γι αυτό το L(S) ονομάζεται υπόχωρος που γεννάται από το S και τα στοιχεία του S ονομάζονται γεννήτορες, (geerators). Επίσης λέμε ότι το S αποτελεί ένα σύστημα γεννητόρων του υποχώρου L(S). Απόδειξη: Εάν v i S, τότε v i =v i L(S), άρα το S είναι ένα υποσύνολο του L(S). Για να αποδείξουμε τώρα ότι το σύνολο L(S) είναι διανυσματικός υπόχωρος του V, θεωρούμε δυο διανύσματα u, w L(S) και θα αποδείξουμε ότι ένας τυχαίος γραμμικός συνδυασμός τους ανήκει στο L(S). Έστω u=α v + +α v L(S) και w=β v + +β v L(S) - 4 -

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ τότε λu+μw=(λα +μβ )v + +(λα +μβ )v L(S) εφ' όσον το διάνυσμα λu+μw είναι ένας γραμμικός συνδυασμός των διανυσμάτων v i. Άρα το σύνολο L(S) είναι ένας διανυσματικός υπόχωρος του V. Στη συνέχεια ας υποθέσουμε ότι ο W είναι ένας διανυσματικός υπόχωρος του V που περιέχει το σύνολο S, δηλ. S W. Εάν θεωρήσουμε τα διανύσματα v,v,,v m του S, τότε τα διανύσματα αυτά ανήκουν και στον W, ο οποίος, επειδή είναι διαν. υπόχωρος, θα περιέχει και όλους τους γραμμικούς συνδυασμούς αυτών, δηλ. c v + +c m v m άρα L(S) W. Παράδειγμα : Αν V=R 3 και S={v,v }, όπου τα διανύσματα v, v κείνται στο επίπεδο XOY, τότε το L(S)=R, συγκεκριμένα είναι ο διανυσματικός υπόχωρος που αποτελείται από το επίπεδο XOY..5 ΑΘΡΟΙΣΜΑ ΚΑΙ ΕΥΘΥ ΑΘΡΟΙΣΜΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΩΝ ΥΠΟΧΩΡΩΝ Έστω U και W δυο υπόχωροι ενός διαν. χώρου V επί του σώματος F. Ορισμός : Το σύνολο U+W={ v=u+w / u U, w W } ορίζεται σαν άθροισμα, (sum), των U και W (3. Θεώρημα : Το σύνολο U+W είναι επίσης ένας υπόχωρος του V. Απόδειξη: Επειδή 0 U και 0 W τότε 0=0+0 U+W. Εάν υποθέσουμε ότι v=u+w U+W και v =u +w U+W με u, u U και w, w W, τότε λv+μv =λ(u+w)+μ(u +w )=(λu+μu )+(λw+μw ) U+W Ορισμός : Ο διανυσματικός χώρος V θα λέγεται ευθύ άθροισμα, (direct sum), των U και W και θα συμβολίζεται V=U W αν κάθε διάνυσμα v V μπορεί να γραφεί κατά μοναδικό τρόπο σαν v=u+w, όπου u U και w W. Ο διανυσματικός υπόχωρος U θα λέγεται συμπληρωματικός του W υπόχωρος και ο W συμπληρωματικός του U υπόχωρος. Θεώρημα : Ο διαν. χώρος V είναι ευθύ άθροισμα των υποχώρων U και W αν και μόνο αν: α) V=U+W β) U W={0}, 0=μηδενικό διάνυσμα Απόδειξη: Έστω ότι V=U W τότε κάθε διάνυσμα v V μπορεί να γραφεί κατά μοναδικό τρόπο υπο την μορφή: v=u+w, όπου u U και w W. Επομένως V=U+W. Υποθέτουμε τώρα ότι v U W, τότε: i) v U v=v+0 όπου v U και 0 W και ii) v W v=0+v όπου 0 U και v W Επειδή ένα τέτοιο άθροισμα για το v πρέπει να είναι μοναδικό καταλήγουμε στο ότι v=0. Άρα U W={0}. (3 Ο αναγνώστης πρέπει να προσέξει την διαφορά μεταξύ των συνόλων U+W και U W. - 5 -

ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΙΙ Αντιστρόφως, ας υποθέσουμε ότι V=U+W και U W={0}. Εστω v V. Επειδή V=U+W, υπάρχουν διανύσματα u U και w W τέτοια ώστε v=u+w. Το μόνο που χρειαζόμαστε τώρα είναι να δείξουμε ότι ένα τέτοιο άθροισμα είναι μοναδικό. Ας υποθέσουμε ότι v=u +w όπου u U, w W. Τότε: u+w=u +w u-u =w-w αλλά u-u U και w-w W και επειδή U W={0} θα έχουμε: u-u =0, w-w =0 u=u, w=w Επομένως ένα τέτοιο άθροισμα για το v είναι μοναδικό και τελικά V=U W. Παράδειγμα : Έστω V=R 3, U το επίπεδο XOY και W το επίπεδο YOZ: = {( α β ) α β } και ( ) U,,0 /, R { } W = 0, β, γ / β, γ R Τότε R 3 =U+W εφ όσον κάθε διάνυσμα του R 3 μπορεί να γραφεί σαν άθροισμα ενός διανύσματος του U και ενός διανύσματος του W. Όμως το R 3 δεν είναι ευθύ άθροισμα των U και W εφ όσον τέτοια αθροίσματα δεν είναι μοναδικά, π.χ. (3,5,7)=(3,,0)+(0,4,7) όπως (3,5,7)=(3,-4,0)+(0,9,7). (Αλλά και U W= {άξονας OY} {0}. Πιο γενικά μπορούμε να γράψουμε (α,β,γ)=(α,β +β,γ)=(α,β,0)+(0,β,γ) όπου (α,β,0) U και (0,β,γ) W. Παράδειγμα : Στο προηγούμενο παράδειγμα, αν U είναι το επίπεδο XOY και W o άξονας ΟΖ, δηλ. = {( α β ) α β } και ( ) U,,0 /, R { } W = 0,0, γ / γ R τότε κάθε διάνυσμα (α,β,γ) R 3 μπορεί να γραφεί σαν άθροισμα ενός διανύσματος του U και ενός διανύσματος του W κατά μοναδικό τρόπο: (α,β,γ)=(α,β,0)+(0,0,γ) Επομένως το R 3 είναι ευθύ άθροισμα των U και W: R 3 =U W, (U W={0}).6 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΕΞΑΡΤΗΜΕΝΑ ΚΑΙ ΑΝΕΞΑΡΤΗΤΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Έστω V διαν. χώρος επί του σώματος F. Τα μη μηδενικά διανύσματα v,v,,v m V λέγονται γραμμικά εξαρτημένα, (liear depeted), αν υπάρχουν αριθμοί α i i=,,. m από το σώμα F, όχι όλοι μηδέν, (τουλάχιστον δυο από τους α i πρέπει να είναι 0), τέτοιοι ώστε: α v + α v + + α m v m =0 Σε αντίθετη περίπτωση τα διανύσματα λέγονται γραμμικά ανεξάρτητα, (liear idepeted), δηλ. όταν η σχέση: α v + α v + + α m v m =0 συνεπάγεται την σχέση: α =0, α =0,,α m =0 Παρατήρηση : Αν ένα από τα διανύσματα v,v,,v m είναι το μηδενικό διάνυσμα, έστω το v =0, τότε τα διανύσματα είναι γραμμικά εξαρτημένα διότι ισχύει - 6 -

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ v +0v + +0v m =0+0+ +0=0 και ο συντελεστής του v είναι 0. Επίσης κάθε μη μηδενικό διάνυσμα v είναι από μόνο του γραμμικά ανεξάρτητο διότι: αv=0 με v 0 α=0 Θεώρημα : Τα μη μηδενικά διανύσματα v,v,,v m είναι γραμμικά εξαρτημένα αν και μόνο αν ένα από αυτά, έστω το v i είναι γραμμικός συνδυασμός των προηγουμένων v i =α v + +α i- v i-. Απόδειξη: Έστω v i =α v + +α i- v i-, τότε α v + +α i- v i- -v i +0v i+ + +0v m =0 και ο συντελεστής του v i είναι διάφορος του μηδενός. Άρα τα v i i=,,m είναι γραμμικώς εξαρτημένα. Αντιστρόφως: Υποθέτουμε ότι τα v i, i=,,m είναι γραμμικά εξαρτημένα. Τότε υπάρχουν αριθμοί α,α,α m όχι όλοι μηδέν ώστε: α v + +α m v m =0 Έστω k ο μεγαλύτερος ακέραιος, τέτοιος ώστε α k 0. Τότε: α v + +α k v k +0v k+ + +0v m =0 ή α v + +α k v k =0 Αν k=, τότε α v =0 με α 0 v =0 αλλά τα v i 0, i=,,m. επομένως k> και v k =- α - k α v - -α - k α k- v k- v k- δηλαδή το v k είναι γραμμικός συνδυασμός των προηγουμένων διανυσμάτων. Παράδειγμα : Έστω ο διανυσματικός χώρος V=R επί του σώματος R. Δύο διανύσματα v και v που δεν είναι συνευθειακά, Σχ., είναι y γραμμικά ανεξάρτητα. Πράγματι η σχέση α v +α v =0 είναι δυνατή μόνο v αν α =α =0 διότι διαφορετικά μεταφέροντας το α v στο δεύτερο μέλος θα έχουμε α v =-α v δηλ. τα διανύσματα α v και α v θα έπρεπε να είναι v αντίθετα και επομένως να έχουν την ίδια διεύθυνση και αντίθετη φορά. Αυτό όμως είναι O x αδύνατο γιατί το α v έχει την διεύθυνση του v Σχ. και το α v την διεύθυνση του v. Στον χώρο R τρία οποιαδήποτε διανύσματα v, v, v 3 είναι γραμμικά εξαρτημένα, διότι μπορούμε να βρούμε μη μηδενικούς αριθμούς α, α, α 3 τέτοιους ώστε να ισχύει : - 7 -