Βαςικι Θεωρία των Δομικϊν υςτθμάτων

2016 Βαςικι Θεωρία των Δομικϊν υςτθμάτων 3.01

Περιεχόμενα 3.01.1 ΜΕΡΟ Α... 2 3.01.1.1 Εκπαιδευτικόσ ςτόχοσ/ Επικυμθτά Αποτελζςματα... 2 3.01.1.2 Θεμελιϊδεισ Αρχζσ τθσ Δομικισ τατικισ... 3 3.01.1.3 Θεωρία των δυνάμεων... 5 3.01.1.4 υνδυαςμόσ και ανάλυςθ των δυνάμεων... 6 3.01.1.5 Ιςορροπία και φνκεςθ δυνάμεων... 6 3.01.1.6 Ιςορροπία περιςςότερων από δφο δυνάμεων... 7 3.01.1.7 τιριξθ μιασ δοκοφ... 7 3.01.1.8 Ροπι, Ροπι ςτρζψθσ... 8 3.01.1.9 υνκικεσ ιςορροπίασ ςτο επίπεδο... 8 3.01.1.10 Αναπαράςταςθ εδράςεων... 9 3.01.1.11 Αναπαράςταςθ ςφνδεςθσ ςτοιχείων... 10 3.01.1.12 τοιχειϊδεισ μορφζσ φορζων ςτιριξθσ... 12 3.01.1.13 Βακμόσ ςτατικοφ προςδιοριςμοφ... 13 3.01.1.14 Τπερςτατικά ςυςτιματα... 15 3.01.1.15 Παραδείγματα (1)... 16 3.01.1.16 Παραδείγματα (2)... 18 3.01.1.17 Ερωτιςεισ κατανόθςθσ... 21 3.01.2 ΜΕΡΟ Β... 23 3.01.2.1 Εςωτερικζσ δυνάμεισ και Ροπζσ... 23 3.01.2.2 Κακοριςμόσ των Αντιδράςεων τιριξθσ και των Εςωτερικϊν Δυνάμεων 24 3.01.2.3 Δοκόσ μονοφ-ανοίγματοσ με κεκλιμζνο ςυγκεντρωμζνο φορτίο... 24 3.01.2.4 Δοκόσ με κατακόρυφο ςυγκεντρωμζνο φορτίο ςτθ κζςθ του κζντρου 25 3.01.2.5 Δοκόσ με 2 ςυμμετρικά διατεταγμζνα κατακόρυφα φορτία ίδιου μεγζκουσ... 25 3.01.2.6 Δοκόσ με ομοιόμορφα κατανεμθμζνο κατακόρυφο φορτίο... 26 3.01.2.7 Πρόβολοσ με κεκλιμζνο ςυγκεντρωμζνο φορτίο... 26 3.01.2.8 Παραδείγματα... 27 3.01.2.9 Ερωτιςεισ κατανόθςθσ... 33 1

3.01.1 ΜΕΡΟ Α 3.01.1.1 Εκπαιδευτικόσ ςτόχοσ/ Επιθυμητά Αποτελζςματα τόχοσ Κατανόθςθ τθσ επίδραςθσ εξωτερικϊν φορτίων ςτισ καταςκευζσ, οι τφποι των δομικϊν ςυςτθμάτων και θ ςχζςθ μεταξφ εξωτερικϊν φορτίων και εςωτερικϊν δυνάμεων. Περιοχι μελζτθσ Δομικά ςτοιχεία (καλϊδια, ράβδοι, δοκάρια, ελάςματα, πλάκεσ, κελφφθ) Θεωρία των δυνάμεων υνδυαςμόσ και ανάλυςθ των δυνάμεων Ιςορροπία δυνάμεων και ροπϊν Εδράςεισ, περιοριςμοί και βαςικοί τφποι των ςυνδζςεων Ιςορροπία και δομικά ςυςτιματα τατικά κακοριςμζνα και απροςδιόριςτα ςυςτιματα Σάςθ ςε δομικά ςυςτιματα που προκφπτοει από εξωτερικζσ ενζργειεσ χζςθ ανάμεςα ςε εξωτερικά φορτία και εςωτερικζσ δυνάμεισ Τπολογιςμόσ και κακοριςμόσ των εςωτερικϊν δυνάμεων και ροπϊν των απλά κακοριςμζνων δομικά ςυςτθμάτων. Επικυμθτά Αποτελζςματα Εξιγθςθ τθσ ςφνκεςθσ των δυνάμεων. Εξιγθςθ τθσ ανάλυςθσ των δυνάμεων. Οριςμόσ των ςυνκθκϊν ιςορροπίασ. Εξιγθςθ τθσ ιςορροπίασ των δομικϊν ςυςτθμάτων. Εξιγθςθ των εδράςεων, των περιοριςμϊν και των βαςικϊν τφπων ςφνδεςθσ. Εξιγθςθ τθσ διαφοράσ μεταξφ ενόσ ςτατικά κακοριςμζνου και ενόσ ςτατικά απροςδιόριςτου ςυςτιματοσ. Κακοριςμόσ των εςωτερικϊν δυνάμεων και των ροπϊν των απλά κακοριςμζνων ςυςτθμάτων. Εξιγθςθ και ςκαρίφθμα τθσ διατμθτικισ δφναμθσ και του διαγράματοσ κάμψθσ ροπϊν απλά κακοριςμζνων ςτατικά ςυςτθμάτων. 2

.1.2 Θεμελιϊδεισ Αρχζσ τησ Δομικήσ τατικήσ 3.01 Η ςτατικι ςε γενικζσ γραμμζσ είναι θ κεωρία τθσ ιςορροπίασ δυνάμεων. ε ςχζςθ με δομικά ζργα όπωσ π.χ. ςυγκολλθμζνοσ χάλυβασ και καταςκευζσ αλουμινίου αναφερόμαςτε για "δομικι ςτατικι". Η ςτατικι των καταςκευϊν χρθςιμοποιείται για οικονομικι διαςταςιολόγθςθ των καταςκευϊν ςτιριξθσ και για τον κακοριςμό των παραμορφϊςεων. Η ςτατικι των καταςκευϊν και ο ςχεδιαςμόσ κα πρζπει να είναι ςτενά ςυνυφαςμζνα. Η ςτιριξθ των καταςκευϊν διαχωρίηεται ςε καταςκευζσ δοκϊν και καταςκευζσ πλάκασ. Ζτςι, υπάρχουν δφο ομάδεσ ςτθ ςτατικι των καταςκευϊν: ςτατικι δομισ δοκϊν και ςτατικι δομισ πλακϊν. Δομι δοκϊν Μεγάλεσ διαςτάςεσ ςτθ μία διεφκυνςθ και αναλογικά μικρζσ ςτισ άλλεσ δφο διευκφνςεισ. Δομι πλάκασ Μεγάλεσ διαςτάςεσ ςτισ δφο διεφκφνςεισ και αναλογικά μικρι ςτθν τρίτθ διεφκυνςθ. Παραδείγματα για ςτοιχεία ςτιριξθσ καταςκευϊν Κατά τθν επίλυςθ ςτατικϊν προβλθμάτων διαφοροποιοφμαςτε μεταξφ: γραφικισ ςτατικισ αρικμθτικισ ςτατικισ θ χριςθ ςυνδυαςμοφ γραφικισ και αρικμθτικισ ςτατικισ πειραματικι ςτατικι 3

Παράδειγμα μιασ καταςκευισ από χάλυβα: Wuppertaler Schwebebahn Οι εικόνεσ δείχνουν το προθγοφμενο υπόςτεγο τθσ εταιρείασ Cargolifter AG. Αποτελεί το χϊρο με το μεγαλφτερο πλάτοσ ανοίγματοσ ςτθν Ευρϊπθ. Ο χϊροσ με τα 360 m ςε μικοσ, 210 m ςε πλάτοσ και 107 m ςε φψοσ ζχει όγκο 5.5 εκατομμφρια m³ και επιφάνεια κάλυψθσ 63,000 m². 4

3.01.1.3 Θεωρία των δυνάμεων φμφωνα με το Νεφτωνα, μια δφναμθ είναι υπεφκυνθ για τθν επιτάχυνςθ μιασ μάηασ. Δφναμθ = Μάηα Επιτάχυνςθ F [ N ] = m * kg + a * m/s² + Η δφναμθ κακορίηεται από το μζτρο και τθν κατεφκυνςι τθσ. Μια δφναμθ μπορεί να μετακινθκεί ςτθν ευκεία εφαρμογισ τθσ χωρίσ να αλλάξει θ εφαρμογι τθσ. Επομζνωσ, δφναμθ είναι ζνα μζγεκοσ με κατεφκυνςθ και μπορεί να αναπαραςτακεί μακθματικά και να χειριςτεί ωσ ζνα διάνυςμα. 5

.1.4 υνδυαςμόσ και ανάλυςη των δυνάμεων το ςχιμα, μπορείτε να μετακινιςετε τισ άκρεσ των βζλων των δυνάμεων. τα δεξιά, δθμιουργείται το αντίςτοιχο δυναμοπολφγωνο, και κακορίηεται θ τελικι δφναμθ (κόκκινο βζλοσ). 3.01 3.01.1.5 Ιςορροπία και φνθεςη δυνάμεων φνκεςθ δυνάμεων ε ζνα επίπεδο, μια δφναμθ μπορεί να αναλυκεί μοναδικά ςε δφο διευκφνςεισ. Οι δφο φορείσ που διατρζχουν το ςθμείο εφαρμογισ κινοφνται παράλλθλα ςτα τελικά ςθμεία των δυνάμεων. Ιςορροπία δυνάμεων Μαηί με το ηιτθμα κακοριςμοφ των τελικϊν δυνάμεων, το ηιτθμα τθσ ιςορροπίασ των δυνάμεων είναι εξίςου ςθμαντικό. Αν δρουν δυο δυνάμεισ, ιςορροπία υπάρχει μόνο αν οι δφο δυνάμεισ είναι αντίκετεσ, με ίδιο μζτρο και τοποκετθκοφν ςε μια κοινό φορζα. Κατά τθν ανάλυςθ δυνάμεων ςε οριηόντιεσ και κάκετεσ ςυνιςτϊςεσ, είναι ξεκάκαρο ότι είναι φαινομενικά ζνα αντίκετο ηεφγοσ με το ίδιο μζτρο. Οι δυνάμεισ αντιςτακμίηουν θ μία τθν άλλθ. 6

3.01.1.6 Ιςορροπία περιςςότερων από δφο δυνάμεων Μια ιςορροπία τριϊν και περιςςότερων δυνάμεων με κοινό ςθμείο τομισ υπάρχει αν μπορεί να ςχεδιαςτεί ζνα κλειςτό δυναμοπολφγωνο. 3.01.1.7 τήριξη μιασ δοκοφ φγκριςθ μιασ δφναμθσ ςυρματόςχοινου και κλιπτικισ δφναμεισ με διαφορετικζσ γωνίεσ ςτερζωςθσ. Νεκρό(μόνιμο) φορτίο μιασ δοκοφ G = 1,000 N. Αυτό αντιςτοιχεί ςε 2 x 500 N ανά ςθμείο ςτερζωςθσ Γωνία ςτερζωςθσ 1 = 65 Γωνία ςτερζωςθσ 2 = 40 7

.1.8 Ροπή, Ροπή ςτρζψησ Δφο δυνάμεισ που είναι αντίκετεσ, ζχουν το ίδιο μζτρο και δεν ζχουν κοινό φορζα ςχθματίηουν ζνα ηεφγοσ δυνάμεων. Η ςυνιςταμζνθ είναι FR = 0. Κάκε ηεφγοσ δυνάμεων παράγει μια ροπι. Κάκε δφναμθ τθσ οποίασ ο φορζασ δε διαπερνά το ςθμείο Μ δθμιουργεί ροπι. Η ροπι τότε είναι το αποτζλεςμα τθσ δφναμθσ και τθσ πιο ςφντομθσ απόςταςισ τθσ ωσ το Μ. 3.01 3.01.1.9 υνθήκεσ ιςορροπίασ ςτο επίπεδο Μία πλάκα δφο διαςτάςεων βρίςκεται ςε κατάςταςθ ιςορροπίασ, αν τα ακροίςματα των δυνάμεων που δρουν, αντιςτοιχοφν ςε δφο διαφορετικοφσ άξονεσ και είναι μθδζν και αν το άκροιςμα των ροπϊν που αντιςτοιχεί ςε κάκε κζντρο περιςτροφισ είναι επίςθσ μθδζν. Από αυτζσ τισ τρεισ εξιςϊςεισ, προκφπτει για μια πλάκα δφο διαςτάςεων: SH = 0 SV = 0 SM = 0 8

3.01.1.10 Αναπαράςταςη εδράςεων Τπάρχουν τρεισ τφποι τεχνικϊν εδράςεων ςτο πεδίο τθσ ςτατικισ των καταςκευϊν: Η τιμι αντιπροςωπεφει τον αρικμό των μεταδοτικων αντιδράςεων (ςτερεϊςεισ) transmissible reactions (fixings). 9

3.01.1.11 Αναπαράςταςη ςφνδεςησ ςτοιχείων Σα ακόλουκα ςτοιχεία ςφνδεςθσ μποροφν να χρθςιμοποιθκοφν: 10

11

3.01.1.12 τοιχειϊδεισ μορφζσ φορζων ςτήριξησ Αν οι αντιδράςεισ ςτιριξθσ μιασ διςδιάςτατθσ δομισ μποροφν να κακοριςτοφν πλιρωσ από τισ τρεισ ςυνκικεσ ιςορροπίασ που ζχουν ιδθ αναφερκεί, θ δομι προςδιορίηεται ωσ "ςτατικά κακοριςμζνθ". ε άλλθ περίπτωςθ, θ δομι προςδιορίηεται ωσ "ςτατικά απροςδιόριςτθ". Για να απλοποιθκεί ο υπολογιςμόσ, οι ςυνιςτϊςεσ χωρίηονται ςε μεμονωμζνουσ, ιδανικοφσ φορείσ ςτιριξθσ, ζδραςθσ και ςτοιχεία ςφνδεςθσ και αναπαρίςτανται με ςφμβολα. Οι φορείσ ςτιριξθσ που αναπαρίςτανται από ςφμβολα ονομάηονται "ςτατικά ςυςτιματα". Ζνα ςτατικό ςφςτθμα μπορεί να περιζχει από μία ι αρκετζσ ξεχωριςτζσ ςυνιςτϊςεσ φορζων ςτιριξθσ που δε ςυνδζονται μεταξφ τουσ. Αν ο φορζασ ςτιριξθσ είναι διςδιάςτατοσ και οι εξωτερικζσ δυνάμεισ είναι επίςθσ διςδιάςτατεσ, τότε αναφερόμαςτε ςε "διςδιάςτατο ςφςτθμα". Δοκόσ ενόσ ανοίγματοσ με ςυγκεντρωμζνο φορτίο 12

.1.13 Βαθμόσ ςτατικοφ προςδιοριςμοφ 3.01 Για να προςδιοριςτοφν οι τάςεισ ενόσ ςτατικοφ ςυςτιματοσ, πρϊτα είναι απαραίτθτο να γνωρίηουμε το βακμό ςτατικοφ προςδιοριςμοφ του ςυςτιματοσ. Γενικά οι φορείσ ςτιριξθσ μποροφν να είναι ιςοςτατικοί, υπερςτατικοί, ανεπαρκείσ/χαλαροί. Ο βακμόσ ςτατικοφ προςδιοριςμοφ κακορίηεται με τθ βοικεια του "κριτθρίου μζτρθςθσ". a = αρικμόσ αντιδράςεων ςτιριξθσ z = αρικμόσ τυχόν ενδιάμεςων δυνάμεων n = a + z - 3 s s = αρικμόσ των φορζων του δομικοφ ςτοιχείου Ιςχφει το ακόλουκο: n > 0 n = 0 n < 0 n-φορζσ υπερςτατικά ςυςτιματα ιςοςτατικά ςυςτιματα χαλαρά ςυςτιματα Ιςοςτατικά ςυςτιματα είναι ςυςτιματα, για τα οποία οι αντιδράςεισ ςτιριξθσ μποροφν να κακοριςτοφν με τθ βοικεια των ςυνκθκϊν ιςορροπίασ. Τπολογιςμόσ του βακμοφ ςτατικοφ προςδιοριςμοφ φςτθμα 1 Αρικμόσ αντιδράςεων ςτιριξθσ: a = 3 Αρικμόσ τυχόν ενδιάμεςων δυνάμεων: z = 0 Αρικμόσ των φορζων του δομικοφ ςτοιχείου: s = 1 n = a + z - 3 s => n = 3 + 0-3 1 = 0 13

φςτθμα 2 Αρικμόσ αντιδράςεων ςτιριξθσ: a = 3 Αρικμόσ τυχόν ενδιάμεςων δυνάμεων: z = 0 Αρικμόσ των φορζων του δομικοφ ςτοιχείου: s = 1 n = a + z - 3 s => n = 3 + 0-3 1 = 0 14

.1.14 Υπερςτατικά ςυςτήματα 3.01 Σα υπερςτατικά ςυςτιματα είναι ςυςτιματα, για τα οποία οι αντιδράςεισ ςτιριξθσ δεν μποροφν να κακοριςτοφν μόνο με τθ βοικεια των ςυνκθκϊν ιςορροπίασ. φςτθμα 1 Αρικμόσ αντιδράςεων ςτιριξθσ: a = 4 Αρικμόσ τυχόν ενδιάμεςων δυνάμεων: z = 0 Αρικμόσ των φορζων του δομικοφ ςτοιχείου: s = 1 n = a + z - 3 s => n = 4 + 0-3 1 = 1 φςτθμα 2 Αρικμόσ αντιδράςεων ςτιριξθσ: a = 5 Αρικμόσ ενδιάμεςων τυχόν ενδιάμεςων δυνάμεων: z = 0 Αρικμόσ των φορζων του δομικοφ ςτοιχείου: s = 1 n = a + z - 3 s => n = 5 + 0-3 1 = 2 15

.1.15 Παραδείγματα (1) Για τθν επόμενθ δοκό δικτυϊματοσ, το μζγεκοσ, θ κατεφκυνςθ και το είδοσ τθσ δφναμθσ κα πρζπει να ςχεδιαςτοφν. Η λφςθ κα πρζπει να γίνει για το άνω δοκάρι και για το διαγϊνιο που βρίςκεται γραφικά ςτθν αριςτερι ζδραςθ. 3.01 Λφςθ: Βήμα 1: Κακοριςμόσ των δυνάμεων αντίδραςθσ AH και AV ςτθν αριςτερι ζδραςθ. Κακϊσ το ςτατικό ςφςτθμα είναι ςυμμετρικό, οι κατακόρυφεσ δυνάμεισ F1 κατανζμονται ομοιόμορφα ςτθν αριςτερι και δεξιά ςτιριξθ. Η κατεφκυνςθ τθσ δφναμθσ αντίδραςθσ είναι αντίκετθ με τθν κατεφκυνςθ των δυνάμεων που ενεργοφν και δίδονται ςωςτά ςτο ςχζδιο. Οι οριηόντιεσ δυνάμεισ μποροφν να παραλθφκοφν μόνο από τθν αριςτερι ςτιριξθ (άρκρωςθ) διότι θ δεξιά ςτιριξθ αποτελεί κφλιςθ. Η κφλιςθ ςτο ςχζδιο μπορεί να παραλάβει δυνάμεισ ςε κατακόρυφθ διεφκυνςθ. AH => F2 = 50 kn 16

Βήμα 2: Γραφικι επίλυςθ τθσ ςυνιςταμζνθσ δφναμθσ αντίδραςθσ ςτθν ζδραςθ A. Βήμα 3: Γραφικόσ κακοριςμόσ τθσ δφναμθσ του άνω δοκαριοφ και τθσ δφναμθσ ςτθ διαγϊνιο τθσ αριςτερισ ζδραςθσ ςφμφωνα με το μζγεκοσ, τθν κατεφκυνςθ και το είδοσ. 17

.1.16 Παραδείγματα (2) 3.01 Για τα ακόλουκα ςτατικά ςυςτιματα, ζχει κακοριςτεί ο βακμόσ του ςτατικοφ προςδιοριςμοφ και μθ. 18

19

20

3.01.1.17 Ερωτήςεισ κατανόηςησ 21

22

3.01.2 ΜΕΡΟ Β 3.01.2.1 Εςωτερικζσ δυνάμεισ και Ροπζσ Οι εςωτερικζσ δυνάμεισ και οι ροπζσ είναι διατυπωμζνεσ μεταβλθτζσ ςε ζνα φορζα ςτιριξθσ που προκαλοφνται από τισ τιμζσ μελζτθσ των ενεργειϊν. Διαχωρίηονται όπωσ ακολουκεί: Αξονικι Δφναμθ N Η αξονικι δφναμθ N ορίηεται ωσ το ςφνολο των ςυνιςτωςϊν όλων των ενεργειϊν που δρουν παράλλθλα ςτον άξονα του ςτοιχείου ςτθν αριςτερι ι τθ δεξιά πλευρά τθσ αντίςτοιχθσ τομισ. Διατμθτικι δφναμθ V Η διατμθτικι δφναμθ V ορίηεται ωσ το ςφνολο των ςυνιςτωςϊν όλων των ενεργειϊν που δρουν κατακόρυφα ςτον άξονα του ςτοιχείου ςτθν αριςτερι ι τθ δεξιά πλευρά τθσ αντίςτοιχθσ τομισ. Ροπι κάμψθσ M Η ροπι κάμψθσ M ορίηεται ωσ το ςφνολο όλων των ροπϊν που προκφπτουν από όλεσ τισ ενζργειεσ ςτθν αριςτερι ι τθ δεξιά πλευρά τθσ αντίςτοιχθσ τομισ ςε ςχζςθ με το κεντροειδζσ τθσ τομισ. Σα πρόςθμα των εςωτερικϊν δυνάμεων μποροφν να βρεκοφν από τισ προδιαγραφζσ ςτο DIN 18800-1, χιμα 1. 23

.2.2 Καθοριςμόσ των Αντιδράςεων τήριξησ και των Εςωτερικϊν Δυνάμεων 3.01 Για τον κακοριςμό των εςωτερικϊν δυνάμεων ςε ζνα ςτοιχείο, εφαρμόηουμε τθν αρχι τθσ τομισ. Η αρχι τθσ τομισ βαςίηεται ςτθν υπόκεςθ ότι ζνα ςτοιχείο βρίςκεται ςε κατάςταςθ ιςορροπίασ αν κάκε μζροσ του, που μπορεί να ςχθματιςτεί με φανταςτικζσ τομζσ, βρίςκεται επίςθσ ςε κατάςταςθ ιςορροπίασ. Αυτό ςθμαίνει ότι οι δυνάμεισ και ροπζσ που ενεργοφν ςε κάκε τμιμα κα πρζπει επίςθσ να είναι ςε κατάςταςθ ιςορροπίασ. 3.01.2.3 Δοκόσ μονοφ-ανοίγματοσ με κεκλιμζνο ςυγκεντρωμζνο φορτίο 24

3.01.2.4 Δοκόσ με κατακόρυφο ςυγκεντρωμζνο φορτίο ςτη θζςη του κζντρου 3.01.2.5 Δοκόσ με 2 ςυμμετρικά διατεταγμζνα κατακόρυφα φορτία ίδιου μεγζθουσ 25

3.01.2.6 Δοκόσ με ομοιόμορφα κατανεμημζνο κατακόρυφο φορτίο 3.01.2.7 Πρόβολοσ με κεκλιμζνο ςυγκεντρωμζνο φορτίο 26

3.01.2.8 Παραδείγματα Παράδειγμα 1 Τπολογίςτε για το κατακόρυφο ςφςτθμα το μζγεκοσ και τθν κατεφκυνςθ των δυνάμεων ςτιριξθσ. Σο πρϊτο βιμα είναι ο ζλεγχοσ για το αν το ςφςτθμα είναι ιςοςτατικό. Κριτιριο μζτρθςθσ n = a + z - 3 s Περίπτωςη 1: a = 3, z = 3, s = 2 n = 0 = ιςοςτατικό Περίπτωςη 2: a = 3, z = 0, s = 1 n = 0 = ιςοςτατικό Σο ςφςτθμα είναι ιςοςτατικό. Οι δυνάμεισ ςτιριξθσ μποροφν να υπολογιςτοφν με τισ εξιςϊςεισ ιςορροπίασ. H = 0 AH - 50 kn = 0 AH = 50 kn Σο αποτζλεςμα ζχει κετικό πρόςθμο, το οποίο ςθμαίνει ότι θ κατεφκυνςθ του βζλουσ είναι ςωςτι. M A = 0 BV l + 50 kn (l / 2) = 0 BV= -25 kn Σο αποτζλεςμα ζχει αρνθτικό πρόςθμο, το οποίο ςθμαίνει ότι θ κατεφκυνςθ του βζλουσ είναι λάκοσ. (Σο βζλοσ κα πρζπει να ςτραφεί κατά 180 ). V = 0 AV + BV = 0 AV = -BV AV = -(-25 kn) = 25 kn Σο αποτζλεςμα ζχει κετικό πρόςθμο. Η κατεφκυνςθ του βζλουσ είναι ςωςτι. 27

Παράδειγμα 2 Τπολογίςτε για το κατακόρυφο ςφςτθμα το μζγεκοσ και τθν κατεφκυνςθ των δυνάμεων ςτιριξθσ. Σο πρϊτο βιμα είναι ο ζλεγχοσ για το αν το ςφςτθμα είναι ιςοςτατικό. Κριτιριο μζτρθςθσ n = a + z - 3 s a = 4, z = 2, s = 2 n = 0 = ιςοςτατικό V = 0 A V + B V = 0 A V = -B V με AV = -BV A V = -(-25 kn) = 25 kn M A = 0 B V l + 50 kn (l / 2) = 0 B V = -25 kn Σο αποτζλεςμα για τθν κατακόρυφθ δφναμθ ςτιριξθσ AV ζχει κετικό πρόςθμο, το οποίο ςθμαίνει ότι θ κατεφκυνςθ του βζλουσ είναι ςωςτι. Σο αποτζλεςμα για τθν κατακόρυφθ δφναμθ ςτιριξθσ BV ζχει αρνθτικό πρόςθμο, το οποίο ςθμαίνει ότι θ κατεφκυνςθ του βζλουσ είναι λάκοσ. H = 0 A H - B H - 50 kn = 0 A H = B H + 50 kn Για να ζχουμε ακόμα μια ανεξάρτθτθ εξίςωςθ για τθν εφρεςθ τθσ τζταρτθσ άγνωςτθσ αντίδραςθσ ςτιριξθσ, είναι απαραίτθτθ θ χριςθ των εξιςϊςεων ιςορροπίασ ςε μερικό ςφςτθμα. ε αυτι τθν περίπτωςθ είναι προφανζσ ότι κα πρζπει να χρθςιμοποιθκεί το άκροιςμα των ροπϊν γφρω από μια ενδιάμεςθ άρκρωςθ. Σο άκροιςμα των ροπϊν μπορεί να χρθςιμοποιθκεί από το μερικό ςφςτθμα I κακϊσ και από το II. 28

MGII = 0 B V (l / 2) - BH (l / 2) = 0 B H = BV = -25 KN με A H = B H + 50 kn Σο αποτζλεςμα ζχει αρνθτικό πρόςθμο, το οποίο ςθμαίνει ότι θ κατεφκυνςθ του βζλουσ είναι λάκοσ. A H = -25 kn + 50 kn = 25 kn Παράδειγμα 3 Τπολογίςτε τισ αντιδράςεισ ςτιριξθσ ςτο ςτατικό ςφςτθμα που φαίνεται με το μζγεκοσ και τθν κατεφκυνςι τουσ. Κριτιριο μζτρθςθσ Περιπτωςη 1: a = 3, z = 3, s = 2 Þ n = 0 Περιπτωςη 2: a = 3, z = 0, s = 1 Þ n = 0 H = 0 A H - 40 kn = 0 A H = 40 kn M A = 0 B V 8.0 m - 40 kn 2.0 m = 0 B V =(40 kn 2.0 m)/( 8.0 m) = 10.0 kn M B = 0 A V 8.0 m + 40 kn 2.0 m = 0 A V = -(40 kn 2.0 m)/ (8.0 m) = -10.0 kn 29

Παράδειγμα 4 Ποιο από τα διαγράμματα δείχνει τθ ςωςτι μεταβολι a) τθσ ροπισ κάμψθσ My b) τθσ διατμθτικισ δφναμθσ Vz για τισ δυνάμεισ F που φαίνονται; Παράδειγμα 5 Ποια είναι θ μζγιςτο ροπι κάμψθσ My ςτο ςφςτθμα που φαίνεται; Σι πρόςθμο ζχει θ ροπι κάμψθσ; Η μεταβολι τθσ διατμθτικισ δφναμθσ ςε ζνα δοκάρι είναι πανομοιότυπθ με τθν παραγωγι τθσ μεταβολισ τθσ ροπισ κάμψθσ. Για τον υπολογιςμό τθσ διατμθτικισ δφναμθσ χρειάηονται πρϊτα οι δυνάμεισ ςτιριξθσ. 30

M B = 0 A H 8 m + q l 1/2 = 0 A H = -15 kn/m (8 m)/2 = -60 kn X = 0 A H + B H + q l = 0 B H = -A H - 15 kn/m 8 m B H = -(-60 kn) - 120 kn = -60 kn Η κατεφκυνςθ των βελϊν ςτισ δυνάμεισ ςτιριξθσ AH και BH κα πρζπει να ςτραφοφν κατά 180 (Εικόνα). Η μεταβολι τθσ διατμθτικισ δφναμθσ ζχει μθδενικό ςθμείο ςτθ μζςθ του δοκαριοφ. φμφωνα με τθν προαναφερκείςα ςυνκικθ, κα πρζπει να υπάρχει μια μζγιςτθ ροπι κάμψθσ ςε αυτό το ςθμείο. Για τον υπολογιςμό τθσ μζγιςτθσ ροπισ κάμψθσ, το δοκάρι κα πρζπει να κοπεί ςτο μζςο του. Η ιςορροπία των ροπϊν κάμψθσ μπορεί να υπολογιςτεί τόςο με το άνω μιςό όςο και με το κάτω μιςό τθσ δοκοφ. Και οι δφο τρόποι οδθγοφν ςτο ίδιο αποτζλεςμα (Εικόνα). M 1 = 0 M Y + (q l) /2 1/2 - (q l) /2 ¼ M Y = - + (q l 2 ) /8 = -( 15 kn/m (8 m)²) / 8 = -120 knm Παράδειγμα 6 Ποιεσ από τισ μεταβολζσ εςωτερικϊν δυνάμεων που φαίνονται είναι ςφμφωνα με τθ ροπι κάμψθσ για τισ δυνάμεισ F που ενεργοφν; 31

Παράδειγμα 7 Ποιο από τα διαγράμματα απεικονίηει τθ ςωςτι μεταβολι a) τθσ ροπισ κάμψθσ M Y b) τθσ διατμθτικισ δφναμθσ Vz για τισ δυνάμεισ F που φαίνονται; 32

3.01.2.9 Ερωτήςεισ κατανόηςησ Οι ερωτιςεισ πολλαπλισ επιλογισ ζχουν μία ζωσ τρεισ ςωςτζσ απαντιςεισ. 1. Ποια είναι ςωςτά ςφμφωνα με το πρόςθμο τθσ εςωτερικισ δφναμθσ για τθν αντίςτοιχθ ενζργεια; A: Μια αξονικι δφναμθ είναι κετικι, όταν προκαλεί εφελκυςμό ςτθ κετικι όψθ τθσ τομισ. B: Οι εςωτερικζσ δυνάμεισ είναι αρνθτικζσ, αν δείχνουν προσ τθν αρνθτικι όψθ τθσ τομισ ςτθν κατεφκυνςθ του κετικοφ άξονα και αν δείχνουν προσ τθν κατεφκυνςθ του κετικοφ άξονα ςτθν αρνθτικι όψθ τθσ τομισ. C: Μια ροπι κάμψθσ είναι κετικι ςτθν αρνθτικι όψθ τθσ τομισ αν προκαλεί εφελκυςμό ςτθ διακεκομμζνθ γραμμι. D: Οι εςωτερικζσ δυνάμεισ είναι κετικζσ ςτθ κετικι όψθ τθσ τομισ και αρνθτικζσ ςτθ κετικι όψθ τθσ τομισ. E: Μια διατμθτικι δφναμθ ενεργεί ςε αρνθτικι όψθ τομισ, αν θ κατεφκυνςι τθσ είναι προσ τα πάνω. 2. Ποια/εσ από τισ προτάςεισ που ακολουκοφν όςον αφορά τισ εςωτερικζσ δυνάμεισ και τισ ροπζσ είναι ςωςτζσ; A: Οι εςωτερικζσ δυνάμεισ και οι ροπζσ είναι μεταβλθτζσ/ ποςότθτεσ που προκφπτουν από τισ δυνάμεισ που ενεργοφν ςε ζνα ςυςτατικό (=ενζργειεσ) και κακορίηονται με τθ χριςθ των τιμϊν μελζτθσ αυτϊν των ενεργειϊν.state variables/quantities B: Οι εςωτερικζσ δυνάμεισ και οι ροπζσ είναι ορκζσ (αξονικζσ) και διατμθτικζσ τάςεισ. C: Η ορκι (αξονικι) δφναμθ N μζςα ςτισ εςωτερικζσ δυνάμεισ και ροπζσ ορίηεται ωσ το άκροιςμα των ςυνιςτωςϊν δφναμθσ όλων των ενεργειϊν που δρουν κανονικά ςτον άξονα του ςτοιχείου ςτθν αριςτερι ι τθ δεξιά πλευρά τθσ αντίςτοιχθσ τομισ. D: Με τθ χριςθ των εςωτερικϊν δυνάμεων και ροπϊν, μποροφν να κακοριςτοφν οι τάςεισ ςε ζνα ςυςτατικό τμιμα. E: Οι ςτρζψεισ και οι κάμψεισ δεν είναι εςωτερικζσ δυνάμεισ και ροπζσ, αλλά μεταβολζσ. 3. τθ κετικι όψθ τθσ τομισ υπολογίηονται οι εςωτερικζσ δυνάμεισ που φαίνονται. Ποια είναι θ τιμι μιασ αξονικισ δφναμθσ και τθσ διατμθτικισ δφναμθσ ςτθν αρνθτικι όψθ τθσ τομισ; 33

A: V = 19 kn B: N = 8.2 kn C: V = 11 kn D: N = 7 kn E: V = 12.6 kn 4. τθν αρνθτικι όψθ τθσ τομισ υπολογίηονται οι εςωτερικζσ δυνάμεισ που ακολουκοφν. Ποια είναι θ τιμι τθσ ροπισ κάμψθσ ςτθ κετικι όψθ τθσ τομισ; A: -50 knm B: -46 knm C: 46 knm D: -12 knm E: 50 knm 5. Για το ακόλουκο ςτατικό ςφςτθμα, πρζπει να υπολογιςτοφν οι εςωτερικζσ δυνάμεισ ςτθν τομι τθσ δεξιάσ όψθσ τθσ τομισ, ποια είναι θ ςωςτι απάντθςθ; A: N = 7.07 kn B: V = -7.07 kn C: M = 15 knm D: M = -5 knm E: V = 5 kn 34

6. Τπολογίςτε τισ αντιδράςεισ ςτιριξθσ για το ςφςτθμα. A: A H = 25 kn A V = 25 kn B H = -25 kn B V = -25 Kn B: A H = 35 kn A V = 15 kn B H = -15 kn B V = -35 kn C: A H = 10 kn A V = 40 kn B H = 25 kn B V = -25 kn D: A H = 25 kn A V = 10 kn B H = -35 kn B V = -25 kn E: A H = 25 kn A V = 10 kn B H = 35 kn B V = 25 kn 35