Εύρεση των ιδιοτιμών της στροφορμής Χρησιμοποιώντας την άλγεβρα της στροφορμής, θα υπολογίσουμε τις ιδιοτιμές του τετραγώνου της και της -συνιστώσας της. Μπορούμε, ωστόσο, να θέσουμε το πρόβλημα γενικότερα, για έναν τελεστή Ĵ με συνιστώσες ˆ, ˆ, ˆ, που ικανοποιούν της άλγεβρα της στροφορμής, δηλαδή ˆ, ˆ i ˆ i j ijk k (1) Θα αναφερόμαστε στον τελεστή Ĵ ως στροφορμή, χωρίς όμως να εννοούμε αποκλειστικά την τροχιακή στροφορμή. Η τροχιακή στροφορμή ικανοποιεί την άλγεβρα της στροφορμής (1), αλλά ενδέχεται να υπάρχει και άλλο παρατηρήσιμο μέγεθος που να ικανοποιεί την ίδια άλγεβρα. Πράγματι, υπάρχει ένα τέτοιο παρατηρήσιμο μέγεθος, και αυτό είναι το σπιν, μια κβαντική στροφορμή χωρίς κλασικό ανάλογο. Αν Ĵ είναι το τετράγωνο της στροφορμής Ĵ, δηλαδή αν ˆ ˆ ˆ ˆ, τότε όπως και στην περίπτωση της τροχιακής στροφορμής, ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ,,, ˆ 0. Η απόδειξη είναι ίδια, δηλαδή χρησιμοποιούμε την άλγεβρα (1). Εφόσον θεωρούμε ότι η στροφορμή Ĵ, όπως και η τροχιακή στροφορμή, είναι παρατηρήσιμο μέγεθος, οι συνιστώσες της, δηλαδή οι τελεστές ˆ, ˆ, ˆ είναι ερμιτιανοί τελεστές. Επίσης, το τετράγωνο της στροφορμής Ĵ είναι και αυτό ερμιτιανός τελεστής, ως άθροισμα τετραγώνων ερμιτιανών τελεστών. Επομένως, έχει πραγματικές ιδιοτιμές, με διαστάσεις στροφορμής στο τετράγωνο. Η συνιστώσα ˆ, ως επίσης ερμιτιανός τελεστής, έχει κι αυτή πραγματικές ιδιοτιμές, με διαστάσεις στροφορμής. Ας συμβολίσουμε με την τυχαία ιδιοτιμή του Ĵ και με την τυχαία ιδιοτιμή του ˆ, όπου το και το είναι αδιάστατοι πραγματικοί αριθμοί. Σημείωση p p L. Μάλιστα, Το έχει διαστάσεις στροφορμής, αφού μπορούμε να το θεωρήσουμε ως τη φυσική μονάδα στροφορμής των μικροσυστημάτων, ή αλλιώς ως την κλίμακα στροφορμής στην κβαντική μηχανική. Αυτό ισχύει τόσο για την τροχιακή στροφορμή όσο και για το σπιν. Έτσι, λοιπόν, έχουμε τις ακόλουθες εξισώσεις ιδιοτιμών: ˆ,, () ˆ,, (3) όπου, είναι η τυχαία κοινή ιδιοκατάσταση των δύο τελεστών. Στη συνέχεια, κάνοντας χρήση της άλγεβρας της στροφορμής, θα λύσουμε τις εξισώσεις ιδιοτιμών () και (3). Παρατηρούμε ότι
ˆ, ˆ,, ˆ ˆ ˆ,, ˆ ˆ ˆ,,,,,, ˆ ˆ ˆ,,, ˆ ˆ ˆ ˆ (4),,,, Όμως ˆ και, ˆ, Επομένως, η (4) γράφεται ˆ ˆ 1 ˆ ˆ (5),,,, Οι τελεστές ˆ και ˆ είναι ερμιτιανοί, επομένως έχουν κι αυτοί πραγματικές ιδιοτιμές. Αυτό σημαίνει ότι οι ιδιοτιμές των, επίσης ερμιτιανών, τελεστών ˆ είναι μη αρνητικές. Άρα ˆ 0, και ˆ 0,. Έτσι, από την (5) ˆ και συμπεραίνουμε ότι 0. Εφόσον το είναι πραγματικός αριθμός, το είναι μη αρνητικός πραγματικός αριθμός, άρα το είναι επίσης μη αρνητικός πραγματικός αριθμός. Έτσι, από την τελευταία ανισότητα, παίρνουμε, άρα (6) Βλέπουμε λοιπόν ότι οι ιδιοτιμές του ˆ είναι φραγμένες (πάνω και κάτω). Με βάση τα προηγούμενα, μπορούμε να αναδιατυπώσουμε το πρόβλημα των ιδιοτιμών της στροφορμής ως το πρόβλημα της εύρεσης όλων των δυνατών ιδιοτιμών του ˆ, ισοδύναμα όλων των δυνατών τιμών του, για μια δεδομένη ιδιοτιμή του Ĵ, ισοδύναμα για μια δεδομένη τιμή του. Για να προχωρήσουμε, θα χρησιμοποιήσουμε τη σχέση ˆ ˆ ˆ ˆ (7) Οι τελεστές Ĵ και ˆ είναι οι τελεστές με τους οποίους επιθυμούμε να δουλέψουμε. Το υπόλοιπο, δηλαδή το άθροισμα ˆ ˆ, είναι μια τετραγωνική μορφή, ένα άθροισμα τετραγώνων τελεστών, το οποίο θα παραγοντοποιήσουμε χρησιμοποιώντας το αντίστοιχο της σχέσης a iba ib a b, που ισχύει στους μιγαδικούς αριθμούς. Θα πρέπει, ωστόσο, να θυμόμαστε ότι όταν μετατρέπουμε μια σχέση μιγαδικών αριθμών σε σχέση τελεστών, χάνεται η αντιμεταθετικότητα, και
εμφανίζονται πρόσθετοι όροι που είναι ανάλογοι των μεταθετών των εμπλεκόμενων τελεστών. Για την περίπτωσή μας, θα έχουμε, ˆ iˆ ˆ iˆ ˆ iˆ ˆ iˆ ˆ ˆ ˆ ˆ i ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ i i Αντικαθιστούμε την προηγούμενη σχέση στην (7) και παίρνουμε ˆ ˆ iˆ ˆ iˆ ˆ ˆ (8) Οι τελεστές ˆ i ˆ και ˆ i ˆ είναι ερμιτιανοί συζυγείς ο ένας του άλλου. Έτσι, αν τους συμβολίσουμε, αντίστοιχα, με Ĵ και Ĵ, τότε ˆ ˆ, και η (8) γράφεται ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ (9) Ας υπολογίσουμε τώρα τους μεταθέτες των τελεστών Ĵ και Ĵ τελεστές που μας ενδιαφέρουν, δηλαδή με τον ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ,, i, i, 0 ˆ, ˆ 0 (10) 0 0 i ˆ Ĵ και με τον ˆ. με τους δύο Αν πάρουμε τους ερμιτιανούς συζυγείς των τελεστών του αριστερού και του δεξιού μέλους της (10), θα έχουμε ˆ ˆ ˆ, ˆ 0 ˆ ˆ ˆ ˆ 0 ˆ ˆ ˆ ˆ 0 ˆ, ˆ 0 (11) Επίσης, είναι ˆ, ˆ ˆ, ˆ ˆ, ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ i i i i i ˆ ˆ ˆ i ˆ, ˆ ˆ (1) Αν πάρουμε τους ερμιτιανούς συζυγείς των τελεστών του αριστερού και του δεξιού μέλους της (1), θα έχουμε
ˆ ˆ, ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ, ˆ ˆ (13) Ας υπολογίσουμε και τον μεταθέτη των τελεστών Ĵ και Ĵ (θα τον χρειαστούμε παρακάτω). ˆ, ˆ ˆ ˆ, ˆ ˆ ˆ, ˆ ˆ ˆ, ˆ ˆ i i i i i ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ,,, ˆ, ˆ ˆ, ˆ ˆ, ˆ i i i i i 0 0 i ˆ, ˆ ˆ ˆ, ˆ ˆ (14) Από τη (10), συμπεραίνουμε ότι αν ο τελεστής Ĵ,, μάς δίνει ιδιοκατάσταση του δράσει σε μια ιδιοκατάσταση Ĵ με την ίδια ιδιοτιμή. ο Ĵ δεν αλλάζει το. Πράγματι, χρησιμοποιώντας τη (10), δηλαδή το ότι παίρνουμε ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ,,, η κατάσταση ˆ, είναι ιδιοκατάσταση του. Με τη βοήθεια της (11), αποδεικνύουμε το ίδιο και για τον Ĵ. Από τη (1) συμπεραίνουμε ότι αν ο τελεστής Ĵ ˆ ˆ ˆ ˆ, Ĵ με την ίδια ιδιοτιμή, δράσει σε μια ιδιοκατάσταση του ˆ, μάς δίνει μια νέα ιδιοκατάσταση του ˆ με ιδιοτιμή μειωμένη κατά είναι. Πράγματι, ˆ ˆ, ˆ ˆ, ˆ ˆ, ˆ ˆ, ˆ, ˆ, ˆ, ˆ, ˆ, 1 ˆ, η κατάσταση ˆ, είναι ιδιοκατάσταση του ˆ με ιδιοτιμή 1 δράση του τελεστή Ĵ μειώνει το κατά 1. Με τον ίδιο τρόπο, από τη (13) συμπεραίνουμε ότι αν ο τελεστής Ĵ δράσει σε μια ιδιοκατάσταση του ˆ, μάς δίνει μια νέα ιδιοκατάσταση του ˆ με ιδιοτιμή αυξημένη κατά, δηλαδή αυξάνει το κατά 1. Δείξαμε, λοιπόν, ότι οι τελεστές Ĵ, δρώντας στις κοινές ιδιοκαταστάσεις, των τελεστών Ĵ και ˆ, δεν αλλάζουν το, ενώ αλλάζουν, κατά 1 αντίστοιχα, το.. Η
Επομένως, ο Ĵ δημιουργίας του ˆ. είναι τελεστής καταστροφής του ˆ και ο Ĵ είναι τελεστής Επειδή το φάσμα του ˆ είναι φραγμένο (σχέση (6)) και το βήμα αύξησης/μείωσης των ιδιοτιμών του είναι σταθερό, αντίστοιχα, ο τελεστής καταστροφής θα πρέπει να «σκοτώνει» την ιδιοκατάσταση ελάχιστης ιδιοτιμής,,, ενώ ο τελεστής δημιουργίας θα πρέπει να «σκοτώνει» την ιδιοκατάσταση μέγιστης ιδιοτιμής,. θα πρέπει, a ˆ, 0 i (15) ˆ, 0 a (16) Θα χρησιμοποιήσουμε τώρα τη σχέση (9) για να δράσουμε με τον τελεστή ιδιοκατάσταση ελάχιστης ιδιοτιμής,,i. Όπως βλέπουμε στην (9), ο εκφρασμένος συναρτήσει του γινομένου ˆ ˆ, επομένως μπορούμε να αξιοποιήσουμε τη συνθήκη (15). ˆ, ˆ ˆ ˆ ˆ, i, ˆ ˆ, ˆ, ˆ, i i i i, 0 i i i i 0 i, i i, i i Ĵ στην Ĵ είναι Εφόσον η,i είναι ιδιοκατάσταση, είναι εξ ορισμού γραμμικά ανεξάρτητη, επομένως δεν μπορεί να είναι μηδέν. Έτσι, από την τελευταία εξίσωση παίρνουμε 0 1 (17) i i i i Θα κάνουμε τώρα το ίδιο για την ιδιοκατάσταση μέγιστης ιδιοτιμής, αξιοποιήσουμε τη συνθήκη (16), πρέπει να εκφράσουμε τον τελεστή του γινομένου ˆ ˆ. Από τη (14) έχουμε ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ Επομένως, η (9) γράφεται ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ (18) Αν τώρα δράσουμε στην,a a, θα πάρουμε ˆ, ˆ ˆ ˆ ˆ,, ˆ ˆ, ˆ, ˆ, a a a a, 0 a a a a 0 a, a a, a,a. Για να Ĵ συναρτήσει
Εφόσον η,a είναι ιδιοκατάσταση, είναι εξ ορισμού γραμμικά ανεξάρτητη, επομένως δεν μπορεί να είναι μηδέν. Έτσι, από την τελευταία εξίσωση παίρνουμε 0 1 (19) a a a a Από τις (17) και (19) παίρνουμε 1 1 (0) i i a a Όπως δείξαμε, ο Ĵ μειώνει το κατά 1 ενώ ο Ĵ το αυξάνει κατά ένα. Επομένως πρέπει να υπάρχει ένας φυσικός αριθμός έτσι ώστε (1) a i Με τη βοήθεια της (1), η (0) γράφεται 1 1 i i i 1 i i 1 1 1 1 1 i i i i i i i i Έτσι, από την (1) παίρνουμε a 1 3 Εφόσον 0,1,,..., 0,,1,,..., δηλαδή το είναι μη αρνητικός ακέραιος ή ημιακέραιος, τον οποίο ας συμβολίσουμε με j, δηλαδή j, όπου. Επομένως, ο παίρνει τιμές από j έως j, με βήμα 1, δηλαδή j, j 1,..., j 1, j () Από τη (19), ή τη (17), παίρνουμε j j 1 Έτσι, μπορούμε να γράψουμε τις αρχικές εξισώσεις ιδιοτιμών () και (3) ως ˆ, 1, j j j j (3) ˆ j, j, (4) όπου το j είναι μη αρνητικός ακέραιος ή ημιακέραιος, και για κάθε τιμή του j, το δίνεται από την (). Για την περίπτωση της τροχιακής στροφορμής, το j συμβολίζεται με l και μπορεί να πάρει μόνο ακέραιες τιμές, ενώ για την περίπτωση του σπιν, το j συμβολίζεται με s και μπορεί να πάρει, θεωρητικά, και ακέραιες και ημιακέραιες τιμές.
Ωστόσο, όλα τα φερμιόνια του Καθιερωμένου Προτύπου (Stadard Model), δηλαδή τα έξι κουάρκ και τα έξι λεπτόνια, έχουν σπιν 1 1 s, ενώ όσον αφορά τα μποζόνια, το μποζόνιο Higgs έχει σπιν μηδέν, ενώ τα υπόλοιπα, δηλαδή το γκλουόνιο, το φωτόνιο, και τα μποζόνια W και Z, έχουν όλα σπιν 1. Για περισσότερες πληροφορίες, https://e.wikipedia.org/wiki/stadard_model Σημείωση Μπορούμε εύκολα να δείξουμε ότι ανάμεσα στις ιδιοκαταστάσεις j, και j, 1 δεν υπάρχει «ενδιάμεση» ιδιοκατάσταση. Με άλλα λόγια, η δράση των τελεστών δημιουργίας και καταστροφής, Ĵ, παράγει όλο το φάσμα του ˆ. Πράγματι, αν υπήρχε ιδιοκατάσταση jq,, με 1 q, τότε δρώντας επαναληπτικά με τον Ĵ, όσες φορές χρειάζεται, παίρνουμε την ιδιοκατάσταση jq,, με j q j 1. Αν δράσουμε άλλη μία φορά με τον Ĵ, θα πάρουμε ιδιοκατάσταση με τιμή μικρότερη από j. Αυτό όμως είναι αδύνατο, αφού το j είναι η ελάχιστη τιμή του. Επομένως, ο ιδιοκατάσταση jq,. Αυτό όμως σημαίνει ότι Ĵ πρέπει να «σκοτώνει» την q j, το οποίο με τη σειρά του σημαίνει ότι q 1, δηλαδή η αρχική ιδιοκατάσταση jq, δεν είναι «ενδιάμεση», όπως υποθέσαμε. Επομένως, δεν υπάρχουν «ενδιάμεσες» ιδιοκαταστάσεις. Σπύρος Κωνσταντογιάννης Φυσικός, M.Sc. skosta@hotail.co i