ΛΥΣΕΙΣ ΕΞΕΤΑΣΗΣ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ «ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ ΜΕΤΡΗΣΕΩΝ» ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 8//5 ΘΕΜΑ ο (.5 μονάδες) Η έξοδος του αισθητήρα του παρακάτω σχήματος είναι γραμμικό σήμα τάσης, το οποίο εφαρμόζεται για χρονικό διάστημα έξι δευτερολέπτων, είναι μηδενικό στο χρονικό σημείο t = και στη συνέχεια μεταβάλλεται κατά m κάθε δευτερόλεπτο. Δίνεται ότι = kω, = 5 kω και = μf, καθώς και ότι ο τελεστικός ενισχυτής που περιλαμβάνεται στο κύκλωμα είναι ιδανικός. (α) Να προσδιορίσετε την τάση εξόδου του κυκλώματος ως συνάρτηση του χρόνου. (.5 μ.) (β) Να χαράξετε με ακρίβεια στους ίδιους άξονες, τις γραφικές παραστάσεις της τάσης εξόδου του αισθητήρα και της τάσης εξόδου του κυκλώματος ως προς το χρόνο, για το χρονικό διάστημα κατά το οποίο εφαρμόζεται στο κύκλωμα η έξοδος του αισθητήρα. ( μ.) (α) Έστω i το σήμα εξόδου του αισθητήρα, για το οποίο ισχύει ότι: i =. t (σε ). Το ρεύμα που εισέρχεται στην αντιστρέφουσα είσοδο του ιδανικού τελεστικού ενισχυτή είναι μηδενικό, λόγω της άπειρης αντίστασης εισόδου του ιδανικού τελεστικού ενισχυτή. Η τάση της αντιστρέφουσας εισόδου είναι ίση με την τάση της μη αντιστρέφουσας εισόδου του τελεστικού ενισχυτή, δηλαδή είναι μηδενική. Με βάση τα δεδομένα αυτά, εφαρμόζουμε τον ο κανόνα του Kirchhoff στον κόμβο της αντιστρέφουσας εισόδου του τελεστικού ενισχυτή. Αισθητήρας = d = d(i ) (i ) ( = ) di i = di = i = di i = 6 5 di 5 i d(. t) =.5.5 (. t) =.5.. t =. t. (σε ). Εναλλακτικά, μπορούμε να εφαρμόσουμε τη μέθοδο ανάλυσης των κόμβων στην αντιστρέφουσα είσοδο του τελεστικού ενισχυτή, δηλαδή, να εφαρμόσουμε το ο κανόνα του Kirchhoff εξισώνοντας το άθροισμα των αγωγιμοτήτων που ξεκινούν από αυτή, πολλαπλασιασμένο με την τάση της, με το άθροισμα των γινομένων των αγωγιμοτήτων αυτών με τις τάσεις των κόμβων στους οποίους καταλήγουν. Λόγω της παρουσίας του πυκνωτή, για τον οποίο ισχύει: Ζ = / jω = / (όπου = jω), χρησιμοποιούμε τους φάσορες των τάσεων των κόμβων του κυκλώματος, δηλαδή, λειτουργούμε στο πεδίο της συχνότητας. Για τη μετάβαση από το πεδίο του χρόνου στο πεδίο της συχνότητας και αντιστρόφως, χρησιμοποιούμε τις ιδιότητες του μετασχηματισμού Laplace και του αντίστροφου μετασχηματισμού Laplace, αντίστοιχα. Έτσι, στην αντιστρέφουσα είσοδο του τελεστικού ενισχυτή, στην οποία η τάση είναι μηδενική, έχουμε:
ΛΥΣΕΙΣ ΕΞΕΤΑΣΗΣ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ «ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ ΜΕΤΡΗΣΕΩΝ» ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 8//5 Z i() i() () = Z i() () = Z i() () = i(). Εφαρμόζοντας το μετασχηματισμό Laplace στη συνάρτηση της τάσης εισόδου, έχουμε: (t) =. t () = L{. t} () i i i = Με βάση τις παραπάνω σχέσεις, η τάση εξόδου του κυκλώματος, έχει ως εξής:. () =.. () = 6 5... 5 i().. () =. Για να προσδιορίσουμε την τάση εξόδου του κυκλώματος ως συνάρτηση του χρόνου, εφαρμόζουμε στην παραπάνω σχέση τον αντίστροφο μετασχηματισμό Laplace:.. (t) = L { } (t) =. t. (σε ). (β) H γραφική παράσταση των σημάτων εξόδου του αισθητήρα και του κυκλώματος ως προς το χρόνο, για το χρονικό διάστημα των έξι δευτερολέπτων δίνεται στο παρακάτω διάγραμμα. Λόγω του ότι πρόκειται για γραμμικές συναρτήσεις του χρόνου, για το σχεδιασμό των ζητούμενων γραφικών παραστάσεων αρκεί ο υπολογισμός των τάσεων για t = και t = 6 ec. ΘΕΜΑ ο ( μονάδες) Στη γέφυρα Wheattone του διπλανού σχήματος συνδέονται δύο αισθητήρες: ένα θερμίστορ νικελίου τύπου ΝΤ με σταθερά 8 ο Κ, το οποίο σε θερμοκρασία ο παρουσιάζει αντίσταση Τ = kω, καθώς και ένας μετρητής μηχανικής τάσης με παράγοντα G =., ο οποίος όταν δεν υφίσταται εφελκυσμό ή συμπίεση παρουσιάζει αντίσταση = 4 kω. Η τάση εισόδου ( in ) της γέφυρας είναι και οι αντιστάσεις και είναι 8 Ω. Να προσδιορίσετε την τάση εξόδου ( ) της γέφυρας, όταν o μετρητής μηχανικής τάσης υφίσταται τάση εφελκυσμού 6 με (microtrain) και το θερμίστορ νικελίου βρίσκεται σε θερμοκρασία 5 ο. Η τιμή της σταθεράς e (βάση των φυσικών λογαρίθμων) είναι.78.
ΛΥΣΕΙΣ ΕΞΕΤΑΣΗΣ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ «ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ ΜΕΤΡΗΣΕΩΝ» ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 8//5 in Εφαρμόζουμε τον ο κανόνα Kirchhoff στον αριστερό βρόχο της γέφυρας: Υπολογίζουμε στη συνέχεια τα ρεύματα Ι και Ι : = =. () in = και in =. Αντικαθιστούμε στην εξίσωση () τις παραπάνω σχέσεις που δίνουν τα ρεύματα: Για το θερμίστορ ΝΤ ισχύει: in in = = in () β Τ Τ = e, Τ όπου Τ η αντίσταση (Ω) σε θερμοκρασία αναφοράς Τ ο Κ, Τ η αντίσταση (Ω) σε θερμοκρασία Τ ο Κ και β η σταθερά του θερμίστορ. Οι θερμοκρασίες στην παραπάνω σχέση πρέπει να τεθούν σε ο Κ. Συνεπώς, λόγω του ότι ο K = 7, θα πρέπει στην παραπάνω σχέση να τεθούν οι θερμοκρασίες Τ = 7 = 7 ο Κ και Τ = 5 7 = ο Κ. Σε θερμοκρασία Τ = 7 ο Κ δίνεται ότι η αντίσταση του θερμίστορ είναι kω, ενώ στη θερμοκρασία Τ = ο Κ η αντίσταση του θερμίστορ υπολογίζεται ως εξής: β = e = kω e 8 K K 7 K (.556.56).. = kω e = kω e kω.78 = 9.97kΩ. Για το μετρητή μηχανικής τάσης υφίσταται τάση εφελκυσμού ε = 6 με, ισχύει η παρακάτω σχέση: Δ G = ε Δ G ε = Δ = G ε Δ =. 6 6 4 Ω Δ 5Ω. Συνεπώς, για μηχανική τάση εφελκυσμού 6 με, η αντίσταση του μετρητή μηχανικής τάσης γίνεται: = (4 5) Ω = 45Ω = 4.5kΩ. Τέλος, αντικαθιστούμε τις τιμές των και που υπολογίσαμε στη σχέση () και προσδιορίζουμε τη ζητούμενη τάση εξόδου της γέφυρας: 9.97.8 = = (.96.65) = 9.97.8.8 4.5 9..
ΛΥΣΕΙΣ ΕΞΕΤΑΣΗΣ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ «ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ ΜΕΤΡΗΣΕΩΝ» ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 8//5 ΘΕΜΑ ο (.5 μονάδες) Για το μετατροπέα ψηφιακού σήματος σε αναλογικό (DA) του παρακάτω σχήματος, που περιλαμβάνει ιδανικό τελεστικό ενισχυτή και δικτύωμα αντιστάσεων τύπου, δίνεται ότι = f = 6 kω και ότι η τάση αναφοράς του είναι ref =. (α) Να προσδιορίσετε την τάση εξόδου ( ) που παράγεται όταν τεθεί στο μετατροπέα ψηφιακή είσοδος S S S S =. Θεωρήστε ότι, όταν ένας από τους διακόπτες S, S, S, S είναι κλειστός αντιστοιχεί σε ψηφιακή είσοδο, ενώ όταν είναι ανοικτός αντιστοιχεί σε ψηφιακή είσοδο. (.5 μ.) (β) Ποια είναι η διακριτική ικανότητα και ποια η ανάλυση του μετατροπέα. ( μ.) (α) Στο κύκλωμα του μετατροπέα που δίνεται παρακάτω, σημειώνουμε τις θέσεις των διακοπτών που αντιστοιχούν στη ψηφιακή είσοδο που δίνεται (). Εφαρμόζουμε τον ο κανόνα Kirchhoff στους κόμβους, και, ώστε να υπολογίσουμε τις τάσεις στους κόμβους,, και στη συνέχεια τα ρεύματα στους κόμβους,,, του DA. Η τάση στην είσοδο () του ιδανικού τελεστικού ενισχυτή είναι, αφού είναι ίση με την τάση στην είσοδο (). Συνεπώς, για οποιαδήποτε θέση των διακοπτών, η τάση στο κάτω άκρο τους είναι μηδενική. Στον κόμβο : Στον κόμβο : Στον κόμβο : = = () = = () () ref 4 () = = = Η τάση στον κόμβο είναι ίση με (αφού η τάση αναφοράς είναι ) και μετακινούμενοι προς τα δεξιά, οι τάσεις στους κόμβους, και λαμβάνουν διαδοχικά τη μισή τιμή της τάσης κάθε προηγούμενου κόμβου. Τα ρεύματα στους κόμβους,,,, είναι:
ΛΥΣΕΙΣ ΕΞΕΤΑΣΗΣ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ «ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ ΜΕΤΡΗΣΕΩΝ» ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 8//5 = ref = = = ma kω, ref = = = =.5 4 4kΩ ma ref = = = =.5mA 8 48kΩ, ref = = = =.5 6 96kΩ ma Ωστόσο, επειδή η ψηφιακή είσοδος είναι οι διακόπτες S και S είναι ανοικτοί, τα ρεύματα και ρέουν προς τη γη. Συνεπώς, το συνολικό ρεύμα που διαρρέει την αντίσταση ανατροφοδότησης ( f ) είναι: f = = (.5.5 )ma f =.75mA Επισημαίνεται ότι, το ρεύμα που εισέρχεται στον ιδανικό τελεστικό ενισχυτή είναι μηδενικό λόγω της άπειρης αντίστασης εισόδου, συνεπώς το ρεύμα που φθάνει στην αντιστρέφουσα είσοδό του τελεστικού ενισχυτή διέρχεται εξολοκλήρου από την f. Η τάση εξόδου στο μετατροπέα ρεύματος σε τάση είναι: = =.75mA 6kΩ 4.5. f f = (β) Η διακριτική ικανότητα ενός μετατροπέα ψηφιακού σήματος σε αναλογικό (DA) που χρησιμοποιεί n bit, δίνεται από τη σχέση: ref / n. Επομένως, η διακριτική ικανότητα του μετατροπέα που εξετάζουμε είναι: / 4 = / 6 =.75. H ψηφιακή είσοδος αντιστοιχεί σε αναλογική έξοδο και η ψηφιακή είσοδος αντιστοιχεί σε αναλογική έξοδο.5. H ανάλυση του μετατροπέα είναι ο αριθμός των διαφορετικών ψηφιακών συνδυασμών που χρησιμοποιούνται για την αναπαράσταση της τιμής ενός αναλογικού σήματος και καθορίζεται από τον αριθμό των bit του μετατροπέα. Επομένως, η ανάλυση του μετατροπέα που εξετάζουμε είναι 4 = 6, αφού ο αριθμός των bit που χρησιμοποιούνται είναι 4. Όσο περισσότερα είναι τα bit του μετατροπέα, τόσο μεγαλύτερη είναι η ανάλυσή του και τελικά η ακρίβεια μετατροπής. ====================================== 5