Γραμμικές στάσιμες διαδικασίες Γραμμική χρονοσειρά (στοχαστική διαδικασία) ~ WN(, ) i i i E[ ] είναι στάσιμη? i () Θεωρούμε μ= i i i Χρονοσειρές Μάθημα 3 i Θεωρώντας τον τελεστή υστέρησης: ( B) ( B) ib i i Γραμμικό φίλτρο ( B) Αν για i< i Γραμμική χρονοσειρά ως i i i i i i i i ( B) ( B) κινούμενου μέσου MA( ) [moving average rocess] αυτοπαλινδρόμησης AR( ) [auoregressive rocess] είναι αντιστρέψιμη το τυχαίο στοιχείο μπορεί να εκφρασθεί ως προς την ( B) παρούσα και τις προηγούμενες ( B) παρατηρήσεις
Αυτοπαλινδρομούμενες διαδικασίες αυτοπαλινδρόμηση AR( ) i i i Περιορίζουμε την αυτοπαλινδρόμηση στους πιο πρόσφατους όρους ( B B B ) Συνθήκη στασιμότητας ~ WN(, ) ( B) Αυτοπαλινδρομούμενη διαδικασία τάξης, AR() i ( B) B B B ( B) B χαρακτηριστικό πολυώνυμο Ρίζες του ( ) να είναι έξω από το μοναδιαίο κύκλο ή Ρίζες του να είναι εντός του μοναδιαίου κύκλου i i
Αυτοπαλινδρομούμενη διαδικασία τάξης, AR() Διαδοχικές προς τα πίσω αντικαταστάσεις: 4 i i Var[ ] ( ) Αυτοσυσχέτιση? (υποθέτουμε στασιμότητα) i i i E[ ] E[ ] E[ ] ( ) ( ) E[ ] E[ ] E[ ] ( ) ( ) () Συνθήκη στασιμότητας: ~ WN(, ) () ().5.5 () () -.5 -.5-4 6 8-4 6 8.8.8
Αυτοπαλινδρομούμενη διαδικασία τάξης, AR() ~ WN(, ) Συνθήκη στασιμότητας Ρίζες του ( B) B B να είναι εκτός του μοναδιαίου κύκλου ή εναλλακτικά οι ρίζες του Ρίζες: B, 4 B, να είναι εντός του μοναδιαίου κύκλου? 3 Saionariy condiion for AR() real disinc roos comlex roos real single roo δύο πραγματικές ρίζες: 4 μία διπλή πραγματική ρίζα: 4 - - -3-3 - - 3 8 συζυγείς μιγαδικές ρίζες: 4 Συζυγείς μιγαδικές ρίζες σε AR() ορίζουν ψευδο-περιοδικότητα στην αυτοσυσχέτιση
Αυτοπαλινδρομούμενη διαδικασία τάξης, AR() Αυτοσυσχέτιση? (υποθέτουμε στασιμότητα) E[ ] E[ ] E[ ] E[ ] () () () () E[ ] E[ ] E[ ] E[ ] () () () () Για υστέρηση τ: ( ) ( ) ( ) μπορεί να υπολογιστεί επαναληπτικά ( B B ) χαρακτηριστικό πολυώνυμο ( ) πραγματικές ρίζες: εκθετική πτώση μιγαδικές ρίζες: φθίνουσα ημιτονοειδή συνάρτηση διασπορά () ()
Αυτοσυσχέτιση.5 (α) λ =.8+.5i λ =.8-.5i () =.6 =-.89.5 (γ) λ =.8 λ =.8 () =.6 =-.64.5 (ε) λ =.8 λ =.95 () =.75 =-.76.5 (ζ) λ =-.8 λ =.95 () =.5 =.76 () () -.5 -.5 -.5-5 5-5 5-5 5 (β) λ =-.8+.5i λ =-.8-.5i (δ) λ =-.8 λ =-.8.5 () =-.6 =-.89.5 () =-.6 =-.64 () () () () -.5-5 5 (στ) λ =.8 λ =-.95 (η) λ =-.8 λ =-.95.5 () =-.5 =.76.5 () =-.75 =-.76 () () -.5 -.5 -.5 -.5-5 5-5 5-5 5-5 5
Συνθήκη στασιμότητας Αυτοπαλινδρομούμενη διαδικασία τάξης, AR() ( B B B ) ~ WN(, ) Ρίζες του ( B) B B B να είναι εκτός του μοναδιαίου κύκλου Αυτοσυσχέτιση? (υποθέτουμε στασιμότητα) Για υστέρηση τ: E[ ] E[ ] E[ ] E[ ] E[ ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) B πραγματικές ρίζες: εκθετική πτώση μιγαδικές ρίζες: φθίνουσα ημιτονοειδή συνάρτηση 9 Συνθήκες στασιμότητας για τους συντελεστές φ, φ, φ 3, της διαδικασίας AR(3)
Αυτοπαλινδρομούμενη διαδικασία τάξης, AR() Εξισώσεις Yule-Walker 3 Διασπορά () () ( )
Εξισώσεις Yule-Walker k k k 3 Μερική αυτοσυσχέτιση k k k k k 3 k k 33 3 kk Για κάθε k υπολογίζουμε τον συντελεστή k kk k k3 k k k3 k k k k3 k k k k3 μερική αυτοσυσχέτιση για υστέρηση (τάξη) k Επαναληπτικός αλγόριθμος των Durbin-Levinson οι συντελεστές του AR(),,,, υπολογίζονται επαναληπτικά, όπου για κάθε τάξη k οι συντελεστές υπολογίζονται από τους συντελεστές τάξης k-
(,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) Μερική αυτοσυσχέτιση (α) λ =.8+.5i λ =.8-.5i (γ) λ =.8 λ =.8 (ε) λ =.8 λ =.95 (ζ) λ =-.8 λ =.95 () =.6 () =.6 () =.75 () =.5.5 =-.89.5 =-.64.5 =-.76.5 =.76 -.5 -.5 -.5 -.5-5 5-5 5-5 5-5 5 (β) λ =-.8+.5i λ =-.8-.5i (δ) λ =-.8 λ =-.8 (στ) λ =.8 λ =-.95 (η) λ =-.8 λ =-.95.5 () =-.6 =-.89.5 () =-.6 =-.64.5 () =-.5 =.76.5 () =-.75 =-.76 -.5 -.5 -.5 -.5-5 5-5 5-5 5-5 5
Διαδικασίες κινούμενου μέσου ii κινούμενου μέσου MA( ) i Περιορίζουμε του όρους του λευκού θορύβου στους q πιο πρόσφατους όρους ~ WN(, ) i i q q B B B ( B) ( q q ) Διαδικασία κινούμενου μέσου τάξης q, ΜΑ(q) ( ) B B B B χαρακτηριστικό πολυώνυμο ΜΑ(q) είναι στάσιμη? q q ΜΑ(q) είναι αντιστρέψιμη αν ( B) Συνθήκη αντιστρεψιμότητας Ρίζες του ( ) να είναι έξω από το μοναδιαίο κύκλο
Διαδικασία κινούμενου μέσου τάξης, MA() Συνθήκη αντιστρεψιμότητας: ~ WN(, )... ( )... () 3... ()? / Για κάποιο υπάρχουν δύο λύσεις για θ? και μόνο η μία θα πληρεί τη συνθήκη αντιστρεψιμότητας Παράδειγμα.4.5.9 και / έχουν την ίδια αυτοσυσχέτιση Αν η ρίζα του B είναι έξω από το μοναδιαίο κύκλο η ρίζα του / B είναι μέσα στο μοναδιαίο κύκλο
Διαδικασία κινούμενου μέσου τάξης, MA() (,) (,) Μερική αυτοσυσχέτιση.8 () (), 4 ().5.5 3 3 3,3 4 6 ( ), ( ), -.5-4 6 8 () -.5.8-4 6 8 () - ϕ ττ του ΜΑ() φθίνει όπως ρ τ του AR() ().5.5 - ρ τ του ΜΑ() φθίνει όπως ϕ ττ του AR() - αλλά για MA(), ρ τ και ϕ ττ είναι πάντα.5 -.5-4 6 8 -.5-4 6 8
Διαδικασία κινούμενου μέσου τάξης, MA() B ( ), ~ WN(, ) ( B) B B χαρακτηριστικό πολυώνυμο MA() είναι πάντα στάσιμη MA() είναι αντιστρέψιμη αν οι ρίζες του θ(β) είναι εκτός του μοναδιαίου κύκλου Διασπορά ( ) Αυτοσυσχέτιση ( ) Συνθήκες αντιστρεψιμότητας για τους συντελεστές θ, θ, καθώς και για τις αυτοσυσχετίσεις ρ, ρ, της διαδικασίας MA() Μερική αυτοσυσχέτιση, 3 ( ) 3,3 ( ),... πολύπλοκη έκφραση
λ =.8+.5i λ =.8-.5i Αυτοσυσχέτιση.8.6.4 () =.6 =-.89. () (,) λ =-.8+.5i λ =-.8-.5i.8.6.4 () =-.6 =-.89. -. -. -.4 -.4 -.6 () (,) λ =.8 λ =.95.8.6.4. -.6 () (,) (,) λ =.8 λ =-.95 () =.75 =-.76.8.6.4 () =-.5 =.76. () -. -. -.4 -.4 -.6 -.6 -.8 5 5 -.8 5 5 -.8 5 5 -.8 5 5 Μερική αυτοσυσχέτιση.8.6.4 () =.6 =-.89.8.6.4 () =-.6 =-.89.8.6.4 () =.75 =-.76.8.6.4 () =-.5 =.76.... -. -. -. -. -.4 -.4 -.4 -.4 -.6 -.6 -.6 -.6 -.8 5 5 -.8 5 5 -.8 5 5 -.8 5 5 - ϕ ττ του ΜΑ() φθίνει όπως ρ τ του AR() - ρ τ του ΜΑ() φθίνει όπως ϕ ττ του AR() - αλλά για MA(), ρ τ και ϕ ττ είναι πάντα.5
Διαδικασία κινούμενου μέσου τάξης q, MA(q) ( B) q q ~ WN(, ) ( ) χαρακτηριστικό πολυώνυμο q B B B qb Διασπορά ( ) q Αυτοδιασπορά q ( q q),,, q Αυτοσυσχέτιση q q q,,, q q Η μερική αυτοσυσχέτιση φθίνει με μορφή που καθορίζεται από τις ρίζες του χαρακτηριστικού πολυωνύμου Οι εκφράσεις των ϕ ττ ως προς τους συντελεστές θ, θ,..., θ q είναι πολύπλοκες