PAU XUÑO 2012 Código: 25 FÍSICA Puntuación máxima: Cuestións 4 puntos (1 cada cuestión, teórica ou práctica). Problemas 6 puntos (1 cada apartado). Non se valorará a simple anotación dun ítem como solución ás cuestións; han de ser razoadas. Pódese usar calculadora sempre que non sexa programable nin memorice texto. O alumno elixirá unha das dúas opcións. OPCIÓN A C.1.- No movemento dos planetas en órbitas elípticas e planas ao redor do Sol mantense constante: A) A enerxía cinética. B) O momento angular. C) O momento lineal. C.2.- Nun oscilador harmónico cúmprese que: A) A velocidade v e a elongación x son máximas simultaneamente. B) O período de oscilación T depende da amplitude A. C) A enerxía total E T se cuadriplica cando se duplica a frecuencia. C.3.- Se un núcleo atómico emite unha partícula α e dúas partículas β, o seu números atómico Z e másico A: A) Z aumenta en dúas unidades e A diminúe en dúas. B) Z non varía e A diminúe en catro. C) Z diminúe en dous e A non varía. C.4.- Disponse dun péndulo simple de 1,5 m de lonxitude. Mídese no laboratorio o tempo de 3 series de 10 oscilacións obtendo 24,56 s, 24,58 s, 24,55 s. Cal é o valor de g coa súa incerteza? P.1.- Tres cargas de +3 μc están situadas equidistantes entre si sobre unha circunferencia de radio 2 m. Calcula: a) O potencial eléctrico no centro da circunferencia. b) O vector campo eléctrico no mesmo punto. c) O traballo para traer unha carga q' 1 μc desde o infinito ao centro da circunferencia. (Dato: K 9 10 9 N m 2 C -2 ) P.2.- Un obxecto de 3 cm sitúase a 20 cm dunha lente cuxa distancia focal é 10 cm: a) Debuxa a marcha dos raios si a lente é converxente. b) Debuxa a marcha dos raios si a lente é diverxente. c) En ambos os dous casos calcula a posición e o tamaño da imaxe. OPCIÓN B C.1.- Dúas esferas de radio R con cargas +Q e -Q, teñen os seus centros separados unha distancia d. A unha distancia d/2 (sendo d/2 >> R); cúmprese: A) O potencial é cero e o campo electrostático 4 k Q d -2. B) O potencial é cero e o campo electrostático 8 k Q d -2. C) O potencial é 4 k Q d -1 e o campo cero. C.2.- A ecuación dunha onda é y 0,02 sen (50 t 3 x); isto significa que: A) ω 50 rad s -1 e λ 3 m. B) A velocidade de propagación u 16,67 m s -1 e a frecuencia f 7,96 s -1. C) T 50 s e o número de onda k 3 m -1. C.3.- Se un espello forma unha imaxe real investida e de maior tamaño que o obxecto, trátase dun espello: A) Cóncavo e o obxecto está situado entre o foco e o centro da curvatura. B) Cóncavo e o obxecto está situado entre o foco e o espello. C) Convexo co obxecto en calquera posición. C.4.- Na determinación da constante elástica dun resorte podemos utilizar dous tipos de procedementos. En ambos os dous casos, obtense unha recta a partir da cal calcúlase a constante elástica. Explica como se determina o valor da constante a partir de dita gráfica para cada un dos dous procedementos, indicando que tipo de magnitudes hai que representar nos eixes de abscisas e de ordenadas. P.1.- Unha mostra de carbono 14 ten unha actividade de 2,8 10 8 desintegracións s -1 ; o período de semidesintegración é T 5 730 anos, calcula: a) A masa da mostra no instante inicial. b) A actividade ao cabo de 2 000 anos. c) A masa de mostra nese instante. (Datos: N A 6,02 10 23 mol -1 ; masa atómica do 14 C 14 g mol -1 ; 1 ano 3,16 10 7 s) P.2.- Se a masa da Lúa é 0,012 veces a da Terra e o seu radio é 0,27 o terrestre, acha: a) O campo gravitatorio na Lúa. b) A velocidade de escape na Lúa. c) O período de oscilación, na superficie lunar, dun péndulo cuxo período na Terra é 2 s. (Datos: g 0T 9,8 m s -2 ; R L 1,7 10 6 m)
Solucións OPCIÓN A C.1.- No movemento dos planetas en órbitas elípticas e planas ao redor do Sol mantense constante: A) A enerxía cinética. B) O momento angular. C) O momento lineal Solución: B O campo gravitatorio é un campo de forzas centrais, nas que a forza gravitatoria que exerce o Sol sobre un planeta ten a mesma dirección (e sentido contrario) que o vector de posición do planeta colocando a orixe de coordenadas no Sol. Nas forzas centrais o momento cinético (ou angular) L O dun obxecto de masa m que se move a unha velocidade v L O r m v respecto ao punto O onde se atopa a masa M que crea o campo gravitatorio é un vector constante. Se derivamos L O respecto ao tempo, d L O d t d( r m v) dt d r dt d m v m v + r v m v + r F 0+ 0 0 d t o resultado é o vector 0 (cero) xa que o vector velocidade v e o vector momento lineal m v son paralelos e tamén o son o vector de posición r e o vector forza F. As outras opcións: A. Falsa. Nunha órbita elíptica, co Sol situado nun dos focos, a distancia do planeta ao Sol non é constante. O campo gravitatorio é un campo de forzas conservativo, xa que é un campo de forzas centrais, nas que a forza gravitatoria que exerce o Sol sobre un planeta ten a mesma dirección (e sentido contrario) que o vector de posición do planeta colocando a orixe de coordenadas no Sol. A enerxía potencial gravitatoria, tomando como orixe de enerxía o infinito, vén dada pola expresión: E p G M m r na que M é a masa que orixina o campo gravitatorio, (neste caso a do Sol), m é a masa do obxecto situado nel (o planeta), r a distancia entre ambas as dúas masas e G a constante da gravitación universal. A enerxía potencial é negativa e será tanto maior canto maior sexa a distancia r. Como a enerxía mecánica consérvase, pero a enerxía potencial gravitatoria depende da distancia, a enerxía cinética varía coa distancia e non se mantén constante. C. Falsa. O momento lineal p dun obxecto de masa m que se move a unha velocidade v vale: pm v Como vimos no apartado A, a rapidez varía coa posición do planeta. Ademais, a dirección cambia a medida que o planeta desprázase ao redor do Sol. C.2.- Nun oscilador harmónico cúmprese que: A) A velocidade v e a elongación x son máximas simultaneamente. B) O período de oscilación T depende da amplitude A. C) A enerxía total E T se cuadriplica cando se duplica a frecuencia. Solución: C A forza recuperadora é unha forza conservativa (o traballo que realiza entre dous puntos é independente do camiño seguido) e dá lugar a unha enerxía potencial en cada punto de elongación x cuxa expresión é: E p ½ k x 2
Ao ser unha forza conservativa, a enerxía mecánica valerá o mesmo para calquera elongación: é constante. Para o punto de equilibrio: E E c + E p ½ m v 2 + ½ k x 2 E T E c + E p ½ m v 2 máx + ½ k 0 2 ½ m v 2 máx E T ½ m v 2 máx Por definición, un obxecto realiza un movemento harmónico simple cando a aceleración recuperadora é proporcional á separación da posición de equilibrio. a - ω 2 x Isto é equivalente a dicir que a ecuación de movemento é de tipo senoidal ou cosenoidal. Derivando. A velocidade é máxima cando o cos( ω t + φ 0 ) 1 x A sen(ω t + φ 0 ) v d x d t d Asen(ω t +ϕ ) 0 Aω cos(ω t +ϕ dt 0 ) v máx A ω A pulsación ou fase angular, ω está relacionada coa frecuencia f pola expresión Substituíndo na ecuación da enerxía total ω 2 π f E T ½ m v 2 máx m (A 2 π f) 2 / 2 2 π m A 2 f 2 vese que é directamente proporcional ao cadrado da frecuencia. Si a frecuencia faise o dobre, a enerxía total se cuadriplica. As outras opcións: A: falsa. Como se dixo antes, a velocidade o máxima cando o coseno da fase é 1 (φ 0 ó φ π). Da expresión da elongación x, vese que a amplitude é máxima cando o seo da fase é 1 (φ π/2 ó φ 3π/2) B: falsa. A forza recuperadora elástica é: Si só actúa esta forza elástica, pola 2ª lei de Newton: F -k x -k x m a Para obter a expresión da aceleración derívanse a expresión da velocidade: Substituíndo na expresión anterior: queda a d v d t d Aω cos(ω t +ϕ ) 0 Aω 2 sen(ω t +ϕ d t 0 ) ω 2 x -k x m a m (-ω 2 x) k m ω 2 A pulsación ou fase angular, ω está relacionada co período T pola expresión Substituíndo queda Despexando o período: ω 2π T km ω 2 4 π2 m T 2
T 2 m k O período depende da masa e da constante elástica do resorte, pero non da amplitude. C.3.- Si un núcleo atómico emite unha partícula α e dúas partículas β, o seu número atómico Z e másico A: A) Z aumenta en dúas unidades e A diminúe en dúas. B) Z non varía e A diminúe en catro. C) Z diminúe en dous e A non varía. Solución: B As propiedades do núcleo resultante logo dunha emisión alfa ou beta poden deducirse pola natureza destas radiacións e as leis de conservación do número másico e da carga eléctrica nos procesos nucleares. 4 Unha partícula alfa é un núcleo de helio-4 (α 2He ) e unha partícula beta(-) é un electrón (β 0 1e ) Escribindo as reaccións do enunciado e aplicando as leis de conservación mencionadas A X Z 4 2He +2 e 1 0 A 4 + Y Z C.4.- Disponse dun péndulo simple de 1,5 m de lonxitude. Mídese no laboratorio o tempo de 3 series de 10 oscilacións obtendo 24,56 s, 24,58 s, 24,55 s. Cal é o valor de g coa súa incerteza? Solución: Como só hai datos para unha lonxitude de péndulo só se pode calcular o valor medio do período e aplicar a ecuación do período do péndulo: Experiencia 1 2 3 Tempo(s) empregado en 10 oscilacións 24,56 24,58 24,55 Período 2,456 2,458 2,455 O valor medio do período é: T T i N [ s] 7,369 2,456 s 3 A incerteza na medida é a diferenza entre a medida e o valor medio. A diferenza máxima entre os períodos calculados e a súa media é de 0,002 s, polo que o período coa súa incerteza é: T 2,456 ± 0,002 s e o valor da aceleración g da gravidade despexada da ecuación do período do péndulo: e o valor da aceleración g da gravidade T 2 l g g4π 2 l 1,5 [ m] T 24π2 (2,456 [s]) 29,8 m/ s2 Tendo en conta que a incerteza da lonxitude, tal como dáse o dato, é 0,1 m a incerteza do valor da gravidade é: l 1,5 ± 0,1 m g 9,8 ± 0,1 m/s 2 Análise: Non é moi coherente dar a medida dos tempos con 4 cifras significativas e a lonxitude de péndulo con só 2. Si supoñemos que a lonxitude do péndulo tomouse cunha regra milimetrada L 1,500 ± 0,001 m
e temos en conta que neste nivel*, o cálculo de incertezas indirectas limítase ao uso apropiado das cifras significativas, o valor da gravidade quedaría: * O cálculo correcto da incerteza de g sería: Δ g g l Δ l + g g 9,815 ± 0,001 m/s 2 T ΔT 4π2 T 2 Δ l + 2 4π2 l T Δ T 0,02 3 P.1.- Tres cargas de +3 μc están situadas equidistantes entre si sobre unha circunferencia de radio 2 m. Calcula: a) O potencial eléctrico no centro da circunferencia. b) O vector campo eléctrico no mesmo punto. c) O traballo para traer unha carga q' 1 μc desde o infinito ao centro da circunferencia. Dato: K 9 10 9-2 N m2 C Rta.: a) V 4,05 10 4 V; b) E O 0; c) W ext 4,05 10-2 J Datos Cifras significativas: 3 Valor de cada carga Q 3,00 μc 3,00 10-6 C Radio da circunferencia R 2,00 m Valor da carga que se traslada q -1,00 μc 1,00 10-6 C Constante eléctrica K 9,00 10 9-2 N m2 C Incógnitas Potencial electrostático no centro da circunferencia V O Intensidade do campo electrostático no centro da circunferencia E O Traballo para trasladar unha carga de 1 μc desde o infinito ao centro W O Outros símbolos Distancia entre dous puntos A e B r AB Ecuacións Intensidade do campo electrostático nun punto creado por unha carga puntual Q situada a unha distancia r EK Q r u 2 r Principio de superposición E A E A i Traballo que fai a forza do campo cando se move unha carga q desde un punto A ata outro punto B W A B q (V A V B ) Potencial electrostático nun punto creado por unha carga puntual Q situada a V K Q unha distancia r r Potencial electrostático de varias cargas V V i Solución: a) Os potenciais no centro O da circunferencia, debidos a cada carga son iguais porque tanto a carga como a distancia ao centro son iguais. Valen: V C O V B O V A O 9,00 10 9 [N m 2 C 2 ] 3,00 10 6 [C] 1,35 10 4 V (2,00 [ m]) O potencial electrostático dun punto debido á presenza de varias cargas, é a suma alxébrica dos potenciais debidos a cada carga. V O V A O + V B O + V C O 3 1,35 10 4 [V] 4,05 10 4 V b) Faise un debuxo cos vectores intensidade de campo electrostático creado por cada carga e a suma vectorial que é o vector campo E resultante. Ao ser as tres cargas iguais e estar á mesma distancia do centro da circunferencia, os tres vectores intensidade de campo electrostático son simétricos e o seu resultante é nula: E O 0 B C A
Si queres realizar os cálculos: A intensidade de campo electrostático no centro O da circunferencia, debida á carga de 3 μc situada no punto A é: E A O 9,00 10 9 [N m 2 C 2 ] 3,00 10 6 [C] (2,00 [ m]) 2 ( i ) 6,75 10 3 i N /C A intensidade de campo electrostático no centro O da circunferencia, debida á carga de 3 μc situada no punto B é: E B O 9,00 10 9 [N m 2 C 2 ] 3,00 10 6 [C] (2,00 [m]) 2 (cos( 60 º) i +sen ( 60 º) j )(3,38 10 3 i 5,85 10 3 j ) N/ C Por simetría, a intensidade de campo electrostático no centro O da circunferencia, debida á carga de 3 μc situada no punto C é: E C O 3,38 10 3 i + 5,85 10 3 j N/C Polo principio de superposición, a intensidade de campo electrostático resultante no punto O é a suma vectorial das intensidades de campo de cada carga: E O E A O + E B O + E C O (-6,75 10 3 i) + (3,38 10 3 i 5,85 10 3 j) + (3,38 10 3 i + 5,85 10 3 j) 0 i + 0 j c) O traballo que fai a forza do campo é W O q (V V O ) 1,00 10-6 [C] (0 4,05 10 4 ) [V] -4,05 10-2 J Supoñendo que salga e chegue con velocidade nula, o traballo que hai que facer é: W exterior -W campo 4,05 10-2 J P.2.- Un obxecto de 3 cm sitúase a 20 cm dunha lente cuxa distancia focal é 10 cm: a) Debuxa a marcha dos raios si a lente é converxente. b) Debuxa a marcha dos raios si a lente é diverxente. c) En ambos os dous casos calcula a posición e o tamaño da imaxe. Rta.: c) (c) s' 0,20 m; y' -3,0 cm; (d) s' -0,067 m; y' 1,0 cm Datos (convenio de signos DIN) Cifras significativas: 2 Tamaño do obxecto y 3,0 cm 0,030 m Posición do obxecto s -20 cm -0,20 m Distancia focal da lente f 10 cm 0,10 m Incógnitas Posición da imaxe en ambas lentes s 1 ', s 2 ' Tamaño da imaxe en ambas lentes y 1 ', y 2 ' Outros símbolos Aumento lateral A L Ecuacións Relación entre a posición da imaxe e a do obxecto nas lentes 1 s' 1 s 1 f ' Aumento lateral nas lentes A L y' y s' s Solución: a)
F s F' s' Análise: A imaxe é real xa que s é positiva, é dicir á dereita da lente que é a zona onde se forman as imaxes reais nas lentes. O signo negativo do tamaño indícanos que a imaxe é investida. Os resultados numéricos están en consonancia co debuxo. b) Análise: A imaxe é virtual xa que s é negativa, é dicir á esquerda de lente que é a zona onde se forman as imaxes virtuais nas lentes. O signo positivo do tamaño indícanos que a imaxe é dereita. Os resultados numéricos están en consonancia co debuxo. F s s' F' c) Para a lente converxente, f +0,10 m: 1 s ' 1 0,20 [ m] 1 0,10 [m] s 0,20 m y ' 0,20 [m] 0,030 [m] 0,20 [m] y 0,030 m -3,0 cm Para a lente diverxente, f 0,10 m: 1 s ' 1 0,20 [ m] 1 0,10 [ m] s 0,067 m y ' [ m] 0,067 0,030 [m] 0,20 [ m] y 0,010 m 1,0 cm OPCIÓN B C.1.- Dúas esferas de radio R con cargas +Q y -Q, teñen os seus centros separados unha distancia d. A unha distancia d/2 (siendo d/2 >> R) cúmprese: A) O potencial é cero e o campo electrostático 4 k Q d -2 B) O potencial é cero e o campo electrostático 8 k Q d -2 C) O potencial é 4 k Q d -1 e o campo cero. Solución: B Si d/2 >> R, as esferas poden considerarse como cargas puntuais. O potencial nun punto debido a dúas cargas puntuais é a suma alxébrica dos potenciais que cada carga crea nese punto sen ser afectada pola presenza da outra. O potencial V electrostático nun punto creado por unha carga Q puntual (ou esférica) situada a unha distancia R é: V K Q R onde K é a constante electrostática. Xa que logo o potencial electrostático no punto medio creado por ambas cargas é cero: V V + +V - K +Q d / 2 + K Q d /2 0 Polo principio de superposición, a intensidade do campo electrostático nun punto creado por un conxunto de
cargas puntuais é a suma vectorial das intensidades de campo electrostático debidas a cada unha delas coma se o resto das cargas non estivese presente. A expresión da intensidade E do campo electrostático creado por unha carga Q puntual nun punto a unha distancia r d/2 sendo u r o vector unitario na di EK Q r 2 u r rección do punto tomando como orixe a carga. Polo principio de superposición E E + + E - K +Q (d /2) 2 i +K Q (d / 2) 2 ( i )2( 4 K Q d 2) i 8 K Q d 2 i E + +Q E - -Q E 8 K Q d 2 C.2.- A ecuación dunha onda é y 0,02 sen (50 t 3 x); isto significa que: A) ω 50 rad s -1 e λ 3 m B) A velocidade de propagación u 16,67 m s -1 e a frecuencia f 7,96 s -1 C) T 50 s e o número de onda k 3 m -1 Solución: B A ecuación dunha onda harmónica unidimensional pode escribirse como: y A sen(ω t ± k x) Na que y é a elongación do punto que oscila (separación da posición de equilibrio) A é a amplitude (elongación máxima) ω é a frecuencia angular que está relacionada coa frecuencia f por ω 2 π f. t é o tempo k é o número de onda, a cantidade de ondas que entran nunha lonxitude de 2 π metros. Está relacionada coa lonxitude de onda λ por k 2 π / λ x é a distancia do punto ao foco emisor. O signo ± entre ω t e k x é negativo si a onda propágase en sentido positivo do eixe X, e positivo si faio en sentido contrario. A velocidade u de propagación dunha onda é u λ f Comparando a ecuación xeral coa do problema obtemos: A 0,02 m ω 50 rad/s k 3 rad/m Para elixir a opción correcta calculamos algúns dos parámetros da ecuación (usando 2 cifras significativas) que nos permite descartar a opción A. λ 2π 2π [ rad ] k 3,0 [ rad / m] 2,1 m f ω 50 [rad /s] 2π 2π [ rad ] 8,0 s 1 8,0 Hz u λ f 2,1 [m] 8,0 [s -1 ] 17 m/s que coincide coa opción B (si redondeamos os valores que aparecen en devandita opción ás cifras significativas que hai que usar) A opción C non é correcta porque a frecuencia é a inversa do período: T 1 f 1 8,0 [s 1 ] 0,13 s
C.3.- Se un espello forma unha imaxe real investida e de maior tamaño que o obxecto, trátase dun espello: A) Cóncavo e o obxecto está situado entre o foco e o centro da curvatura. B) Cóncavo e o obxecto está situado entre o foco e o espello. C) Convexo co obxecto en calquera posición. Solución: A Nos espellos convexos o tamaño da imaxe é sempre menor. Haberá que usar un espello cóncavo e situar o obxecto entre o centro de curvatura e o foco tao como se ve na figura. R C.4.- Na determinación da constante elástica dun resorte podemos utilizar dous tipos de procedementos. s' En ambos os dous casos, obtense unha recta a partir da cal calcúlase a constante elástica. Explica como se determina o valor da constante a partir de dita gráfica para cada un dos dous procedementos, indicando que tipo de magnitudes hai que representar nos eixes de abscisas e de ordenadas. Solución: No estudo estático úsase a lei de Hooke: F k Δl na que F representa os peso das masas colgadas e Δl os alongamentos producidos no peirao. Si na gráfica colócanse os alongamentos Δl no eixe de ordenadas, e as forzas F no eixe de abscisas, a pendente da recta será: pendente estudo estático p e Δl / ΔF 1 / k igual ao inverso da constante elástica do resorte. O valor da constante será o inverso da pendente do estudo estático. No estudo dinámico, a ecuación empregada é a relación entre a constante elástica k e a constante harmónica ω k m ω 2 4 π 2 m / T 2 Na representación, as masas están no eixe de ordenadas e os cadrados dos períodos no de abscisas. Entón: pendente estudio dinámico p d Δm / ΔT 2 k / (4 π 2 ) O valor da constante será 4 π 2 veces a pendente do estudo dinámico. k 4 π 2 p d I C F f O s P.1.- Unha mostra de carbono 14 ten unha actividade de 2,8 10 8 desintegracións s -1 ; o período de semidesintegración é T 5 730 anos, calcula: a) A masa da mostra no instante inicial. b) A actividade ao cabo de 2000 anos. c) A masa de mostra nese instante. (Datos: N A 6,02 10 23 mol -1 ; masa atómica del 14 C 14 g mol -1 ; 1 año 3,16 10 7 s) Rta.: a) m 0 1,7 mg; b) A 2,2 10 8 Bq; c) m 1,3 mg Datos Cifras significativas: 3 Período de semidesintegración T 1/2 5 730 anos 1,81 10 11 s Actividade da mostra A 0 2,80 10 8 Bq Tempo para calcular a actividade t 2 000 anos 6,31 10 10 s Masa atómica do 14 C m 14,0 g/mol
Datos Cifras significativas: 3 Número de Avogadro N A 6,02 10 23 mol -1 Incógnitas Masa inicial da mostra m 0 Actividade radioactiva aos 2000 anos A Masa da mostra aos 2000 anos m Outros símbolos Constante de desintegración radioactiva λ Ecuacións Lei da desintegración radioactiva Actividade radioactiva Solución: N N 0 e λ t λ ln (N 0 / N) / t Cando t T 1/2, N N 0 / 2T 1/2 ln 2 / λ A dn / dt λ N a) Da expresión da actividade radioactiva: A λ N, pódese calcular o número de átomos cando calculemos a constante λ de desintegración radioactiva. λ ln 2 0,693 T 1 /2 1,81 10 11 [s] 3,83 10 12 s 1 0,000175 anos N 0 A 0 λ 2,80 108 [Bq ] 3,83 10 12 [s 1 ] 7,30 1019 átomos m 0 N 0 M 7,30 1019 [átomos] N A 6,02 10 23 [átomos/ mol] 14 [g/ mol]1,7 10 3 g1,7 mg b) A actividade ao cabo de 2 000 anos será: A A 0 e λ t 1,00 10 7 [Bq] e 0,000175 [1/ano] 2 000 [ano] 2,20 10 8 Bq c) E a masa: m m 0 e λ t 1,7 [mg] e 0,000175 [1/ano] 2 000 [ano] 1,33 mg P.2.- Se a masa da Lúa é 0,012 veces a da Terra e o seu radio é 0,27 o terrestre, acha: a) O campo gravitatorio na Lúa. b) A velocidade de escape na Lúa. c) O período de oscilación, na superficie lunar, dun péndulo cuxo período na Terra é 2 s. Datos: g 0T 9,8 m s -2 ; R L 1,7 10 6 m Rta.: a) g L 1,6 m/s 2 ; b) v o 2,3 km/s; c) T L 4,9 s Datos Cifras significativas: 2 Relación entre as masas da Lúa e da Terra M L / M T 0,012 Relación entre os radios da Lúa e da Terra R L / R T 0,27 Aceleración da gravidade na superficie da Terra g T 9,8 m/s 2 Radio da Lúa R L 1,7 10 6 m Período do péndulo na Terra T T 2,0 s Incógnitas Campo gravitatorio na Lúa g L Velocidade de escape na Lúa v el Período de oscilación na Lúa dun péndulo cuxo T T 2 s T L Outros símbolos Constante da gravitación universal G Ecuacións Lei de Newton da gravitación universal (forza que exerce a Lúa esférica sobre un F obxecto puntual de masa m situado a unha distancia r do seu centro) G G M m L r 2 Peso dun obxecto sobre a superficie da Terra P T m g T
Ecuacións Enerxía cinética dun obxecto de masa m que se move á velocidade «v» E c ½ m v 2 Enerxía potencial gravitatoria dunha obxecto de masa m situado a unha distancia r E do centro da Lúa (referida ao infinito) p G M m L r Enerxía mecánica E E c + E p Período dun péndulo simple de lonxitude L nun punto de gravidade g T 2 L g Solución: a) O peso dun obxecto preto da superficie da Terra é a forza coa que a Terra atráeo: m g T G M T m R T 2 Analogamente, o peso dun obxecto preto da superficie da Lúa é a forza coa que a Lúa atráeo: m g L G M L m R L 2 Dividindo a segunda ecuación entre a primeira, queda: Despexando m g L m g T G M L m R L 2 G M T m R T 2 g L g T M L / M T ( R L / R T ) 20,012 0,27 2 0,16 g L 0,16 9,8 [m/s 2 ] 1,6 m/s 2 Análise: O resultado é razoable, porque sabemos que a gravidade na superficie da Lúa é unhas 6 veces menor que na superficie da Terra. b) A velocidade de escape é a velocidade mínima que hai que comunicarlle a un obxecto en repouso sobre a superficie da Lúa para que chegue a unha distancia «infinita» do centro da Lúa. Desprezando as interaccións dos demais obxectos celestes e tendo en conta que a forza gravitatoria é unha forza conservativa, aplícase o principio de conservación da enerxía mecánica entre a superficie da Lúa e o infinito. (E c + E p ) L (E c + E p ) Ao ser a velocidade de escape unha velocidade mínima, tómase que o obxecto chega ao infinito con velocidade nula. Como a orixe de enerxía potencial gravitatoria está no infinito, a enerxía potencial gravitatoria dun obxecto no infinito é nula. 1 2 m v 2 e L+( G M m L R L ) 0 Despexando a velocidade de escape v e v e L 2G M L R L Ao non dispoñer do dato da constante G da gravitación universal nin a masa M L da Lúa, podemos usar a expresión do peso dun obxecto na Lúa m g L G M L m R L 2
para establecer a igualdade co que a velocidade de escape na Lúa quedaría: v 2G M L e L R L g L R L 2 G M L 2 g 2 L R L 2 g R L R L 2 1,6 [m/ s 2 ] 1,7 10 6 [ m]2,3 10 3 m/s2,3 km/ s L c) O período T dun péndulo de lonxitude L nun lugar onde a gravidade sexa g vén dado pola ecuación: T 2 L g Dividindo as expresións correspondentes á Terra e a Lúa 2π T L T T L g L 2π L g T g T g L 9,8 1,6 2,5 e substituíndo o dato T T 2,0 s T L 2,5 2,0 [s] 4,9 s Análise: O resultado é razoable. A gravidade na superficie da Lúa é menor que na superficie da Terra, e canto máis pequena, máis lentamente móvese o péndulo e maior é o seu período. Cuestións e problemas das Probas de Acceso á Universidade (P.A.U.) en Galicia. Respostas e composición de Alfonso J. Barbadillo Marán, alfbar@bigfoot.com Algunhas ecuacións construíronse coas macros da extensión CLC09 de Charles Lalanne-Cassou. A tradución ao/desde o galego realizouse coa axuda de traducindote, de Óscar Hermida López. Algúns cálculos fixéronse cunha folla de cálculo OpenOffice (ou LibreOffice) feita por Alfonso J. Barbadillo Marán.