Παραδείγματα Γραμμικοί Μετασχηματισμοί

Παραδείγματα Γραμμικοί Μετασχηματισμοί Παράδειγμα Να εξετασθεί αν είναι γραμμικές οι ακόλουθες συναρτήσεις: a) f : R R με f + 4 4+ b) f : R R με f + a+ b ac c) f : P M με f ( a + b + c + d ) d b d f : P P f p ( ) ( ) p ( ) d) 4 5 e) με ( ) 4 f : R R με f ( ) A όπου Αρκεί να δείξουμε ότι f( + y) f( ) + f( y) f ( a) af ( ) για κάθε,y,α a) y + y f( y) f y f y A ( + y ) + ( + y ) + + + 4( y) + y + y ( + ) + ( y + y ) + y + y f 4 ( 4) y 4 + 4y + y f y + f( ) + f( y) y a f ( a) f a f a ( a ) + a 4( a) a a( + ) + a af af ( ) a( 4 ) 4 Επομένως είναι γραμμική

b) Δεν είναι γραμμική, γιατί για παράδειγμα 4 f f 6 9 8 8 4 f 8 4 δηλ. f f c) f( u+ v) f a + b+ c + d + a + b + c + d (( ) ( )) (( + ) + ( + ) + ( + ) + ( + ) ) f a a b b c c d d ( a+ a) + ( b+ b) ( a+ a) ( c+ c) d+ d ( b+ b) ( d+ d) ( a+ b) + ( a + b) ( a c) + ( a c) d + d ( b d ) + ( b d ) a+ b a c a + b a c + d b d d b d f a + b+ c + d + f a + b + c + d ( ) ( ) f() u + f() v ( ) ( ( )) ( + + + ) f ku f k a + b + c + d f ka kb kc kd ka + kb ka kc k( a + b) k( a ) c kd kb kd kd k( b d) a+ b ac k kf ( a + b + c + d ) kf ( u) d b d Επομένως είναι γραμμική d) f( p ( ) + q ( )) ( ) ( p ( ) + q ( )) ( ) p ( ) + ( ) q ( ) f( p ( )) + f( py ( )) f kp ( ) ( )( kp ( )) k ( ) p ( ) kf( p ( )) ( ) Επομένως είναι γραμμική

e) f A + + + 4 4 4 4 + + + 4 + + 4 + + + 4 f ( + y) A( + y) A + Ay f ( ) + f ( y) f ( k) A( k) ka kf ( ) Επομένως είναι γραμμική Παράδειγμα Βρείτε τους πίνακες των γραμμικών μετασχηματισμών: 4 + 4 α) f : R R με f + + 8 + 4 a+ b ac β) T : P M με T ( a + b + c + d ) d b d α) Επειδή δεν αναφέρεται συγκεκριμένη βάση, εννοείται η κανονική και για τον 4 τον R. Για τον R η κανονική βάση είναι η: e, e, e 4 Για τον R η κανονική βάση είναι η: ε, ε, ε, ε4 Βρίσκουμε τις εικόνες των διανυσμάτων της βάσης του R R και για

C f( e) f 8 4 C f( e) f 4 C f( e) f Θα πρέπει στη συνέχεια να βρούμε τις συντεταγμένες των παραπάνω διανυσμάτων ως 4 4 προς τη βάση του R. Επειδή όμως χρησιμοποιούμε την κανονική βάση του R οι συντεταγμένες ταυτίζονται με τις συνιστώσες των διανυσμάτων, επομένως: 4 [ f] [ C C C] 8 4 β) Επειδή δεν αναφέρεται συγκεκριμένη βάση, εννοείται η κανονική και για τον P και για τον M. Για τον e, e, e, e. P η κανονική βάση είναι η: { 4 } Για τον M η κανονική βάση είναι η: ε, ε, ε, ε4 Βρίσκουμε τις εικόνες των διανυσμάτων της βάσης του P Te ( ) Te ( ) Te ( ) Te ( 4) Θα πρέπει στη συνέχεια να βρούμε τις συντεταγμένες των παραπάνω διανυσμάτων ως προς τη βάση του M. Επειδή όμως χρησιμοποιούμε την κανονική βάση του M οι 4

συντεταγμένες ταυτίζονται με τα στοιχεία των πινάκων (γραμμένα με προτεραιότητα γραμμής), επομένως: [ T ] Παράδειγμα Έστω ένας γραμμικός μετασχηματισμός T : R R. Δίνεται ότι T(,,) (,), T(,,) (, 4), T(,,) (6,) Να υπολογίσετε τα T (,,) και T (5,, ) Επειδή τα διανύσματα (,,), (,,), (,,) αποτελούν βάση του R και (,,) (,, ) (,, ) + (,,) (5,, ) 5(,, ) + (,, ) (,,) θα έχουμε: T(,,) T(,, ) T(,, ) + T(,,) (,) (, 4) + (6, ) (, ) T(5,, ) 5 T(,, ) + T(,, ) T(,,) 5(,) + (, 4) (6, ) (,) Παράδειγμα 4 Έστω ο γραμμικός μετασχηματισμός T : R M με a b a+ b+ c T( ab,,c) a+ b+ c a6bc Να υπολογιστεί η αντίστροφη εικόνα του πίνακα v, δηλ. το T () v Ζητείται το υποσύνολο του Πρέπει να υπολογίσουμε τα a,b,c ώστε Tu (, u, u) v Έχουμε u u u+ u + u u u u u 6u u + + u u u+ u + u u+ u + u u6u u Λύνουμε το σύστημα: R του οποίου κάθε στοιχείο έχει εικόνα τον v 5

5 4 4 Gauss 4 4 6 Άρα u 5 T () v { u R: Tu () v} u : u u, u u 4 4 4 4 u 5 5 t 4 4 4 4 t: t R t + : t R 4 4 4 4 t Παράδειγμα 5 Να υπολογισθεί η σύνθεση T των Γραμμικών Μετασχηματισμών T : R 4 : R R με T(, ) ( +, 4,5 +,6 ) και R και 4 (,,, 4) ( + 4,5 + 8 4, 4+ 4 + 5 4) Επίσης να υπολογισθούν οι πίνακες αναπαράστασης των T,, T και να δειχθεί ότι [ T] [ ][ T] T : R R + 4 ( T) T 5 + 6 ( + ) ( 4 ) + (5+ ) (6 ) 5( + ) ( 4 ) + 8(5+ ) (6 ) 4( + ) + (4 ) 4(5+ ) + 5(6 ) + 4 44 + 5 4 6

Για τους πίνακες αναπαράστασης θα χρησιμοποιήσουμε τις κανονικές βάσεις των 4 R, R, R αφού δεν καθορίζεται η βάση στην εκφώνηση. Για τον υπολογισμό του [ T ] T (,) (,,5,6) (,,,) + (,,,) + 5(,,,) + 6(,,,) T (,) (, 4,, ) (,,, ) 4(,,, ) + (,,, ) (,,,) Επομένως γράφοντας τις συνιστώσες των εικόνων ως στήλες παίρνουμε: 4 [ T ] 5 6 Για τον υπολογισμό του [ ] αντίστοιχα θα έχουμε: (,,, ) (,5, 4) (,,, ) (,,) (,,, ) (,8, 4) (,,,) (,,5) [ ] 5 8 4 4 5 Τέλος για τον υπολογισμό του [ T] θα είναι: T(, ) (, 4,5) T(,) (, 44, 4) Επομένως [ T] 4 44 5 4 Επίσης 4 [ ][ T] 5 8 4 44 5 4 4 5 5 4 6 Άρα δείξαμε ότι T T [ ] [ ][ ] 7

Παράδειγμα 6 5 Να βρεθεί ο πυρήνας του ακόλουθου Γραμμικού Μετασχηματισμού: T : R R με + 4 + T + +. Επίσης να υπολογισθεί η διάστασή του και να βρεθεί μία + + + βάση του. Tu ( ) u+ u u u + u 4u u+ u + u u+ u + u u+ u u+ u u u + u 4u u + u + u u u u + + u + u 4 Gauss Καταλήγουμε λοιπόν στο ισοδύναμο σύστημα u+ u u u Έχουμε ελεύθερη μεταβλητή. Επομένως η διάσταση του πυρήνα είναι: dim KerT t Η γενική λύση είναι η t : t R t Δηλαδή t Ker T t : t R span. Άρα το διάνυσμα αποτελεί βάση του t πυρήνα. 8

Παράδειγμα 7 Έστω ο γραμμικός μετασχηματισμός T : R R με Ty (, ) ( 5 y, + 7 y) a) Να βρεθεί ο πίνακας αναπαράστασης [ T ] ως προς τη βάση { v (,), v (,5)} b) Δείξτε πως από τον πίνακα [ T ] προκύπτει ο τύπος του μετασχηματισμού a) Μέθοδος Αρχικά Βρίσκουμε τις συντεταγμένες του τυχαίου διανύσματος ( y, ) του R ως προς τη βάση { v, v } : (, y) av+ bv (, y) a(,) + b(,5) a+ b y a + 5b Λύνουμε το σύστημα ως προς ab, και παίρνουμε: α 5+ y b y Άρα (, y) ( 5+ y) v+ ( y) v για κάθε,y () Στη συνέχεια βρίσκουμε τις εικόνες των διανυσμάτων βάσης από τον τύπο του μετασχηματισμού: Tv ( ) T(,) (, ) () Tv ( ) T(,5) ( 9,9) () Εφαρμόζοντας στις σχέσεις () και () την (), γράφουμε τις εικόνες των v,v ως γραμμικό συνδυασμό της βάσης : Tv ( ) 6v 59v Tv ( ) 7v 96v Γράφουμε τις συντεταγμένες του κάθε διανύσματος ως στήλες του πίνακα αναπαράστασης και παίρνουμε: 6 7 [ T ] 59 96 Μέθοδος Αρχικά βρίσκουμε τις εικόνες των διανυσμάτων βάσης από τον τύπο του μετασχηματισμού: Tv ( ) T(,) (, ) Tv ( ) T(,5) ( 9,9) Στη συνέχεια από τα διανύσματα της βάσης και τις εικόνες των διανυσμάτων αυτών δημιουργούμε τoν επαυξημένο πίνακα: 9 A 5 9 Εφαρμόζουμε την απαλοιφή Gauss-Jordan στον A και παίρνουμε τελικά τον πίνακα: 9

6 7 B 59 96 απ' όπου προκύπτει πως 6 7 [ T ] 59 96 Μέθοδος Εφαρμόζουμε τον τύπο ομοιότητας: [ T] P E[ T] EP E (4) όπου E { e, e} η κανονική βάση του R Για τον υπολογισμό του [ T ] E έχουμε: Te ( ) T(, ) (, ) (, ) + (,) e+ e Te ( ) T(,) ( 5,7) 5e+ 7e Επομένως 5 [ T ] E 7 Για τον πίνακα αλλαγής βάσης P Eέχουμε: v (, ) e+ e v (,5) e+ 5e Έτσι P E 5 Υπολογίζουμε επίσης τον αντίστροφο πίνακα: 5 5 P E 5 5 6 Επομένως από (4) θα έχουμε 5 5 9 6 7 [ T ] 7 5 7 5 59 96 b) Μέθοδος Γενικά ισχύει ότι [ Tv ()] [ T] [ ] B B, B v B Στην περίπτωσή μας B B οπότε είναι [ Tv ()] [ T] [ v] Για το τυχαίο v ( y, ) R η () δίνει 5+ y [ v] [( y, )] y Πολλαπλασιάζοντας με τον πίνακα αναπαράστασης παίρνουμε:

[ T] [ v] 6 7 5+ y 6( 5+ y) + 7( y) + 9y 59 96 y 59( 5+ y) 96( y) 7y To αποτέλεσμα αυτό είναι το [ Tv ()], δηλαδή οι συντεταγμένες του Tv () ως προς τη βάση Έτσι τελικά θα έχουμε: Tv ( ) T( y, ) ( + 9 yv ) + (7 yv ) ( + 9 y) (, ) + (7 y)(,5) Ty (, ) ( 5 y, + 7 y) Μέθοδος Θα είναι Tv () [ T] E v Δεδομένου ότι δεν γνωρίζουμε τον [ T ] E, παρά μόνο τον [ T ], μπορούμε να τον υπολογίσουμε από τον τύπο ομοιότητας: [ T] P E[ T] EP E [ T] E P E[ T] P E Έτσι με δεδομένο τον πίνακα [ T ] και υπολογίζοντας τους πίνακες αλλαγής βάσης P E, P (το έχουμε κάνει σε προηγούμενο υποερώτημα) παίρνουμε τον πίνακα [ ] E T E 6 7 5 5 [ T ] E 5 59 96 7 Άρα Tv () [ T] E v 5 5y Ty (, ) 7 y + 7y Παράδειγμα 8 Έστω η γραμμική συνάρτηση f : R R με f( y, ) ( + y, + 4 y) και έστω οι βάσεις του R : {(,), (,)}, {(,), (, ) } Να υπολογιστούν οι πίνακες μετάβασης a) P και b) P a) Για τον πρώτο πίνακα μετάβασης θα έχουμε η Μέθοδος Βάση του ορισμού, αναλύουμε τα διανύσματα της ως προς τα διανύσματα της : a+ b v (,) a(,) + b(, ) a, b a b a+ b v (,) a(,) + b(, ) a, b a b Δηλ. v (,) + (, ) v (,) + (, )

Έτσι P η Μέθοδος Δημιουργούμε τους πίνακες που περιέχουν τα διανύσματα των βάσεων ως στήλες: P P Τότε θα είναι P P P b) Για τον άλλο πίνακα μετάβασης θα έχουμε P P Παράδειγμα 9 Έστω η γραμμική συνάρτηση f : R R τέτοια ώστε να ισχύει f (,) (, ) και f (,) (, ). Δίνονται δύο βάσεις του R : {(,),(,)} και {(,5),(, )} a) Να βρεθεί ο τύπος της f( y, ) b) Να υπολογισθούν οι πίνακες αναπαράστασης [ f], [ f], [ f ] c) Αν η f αντιστρέφεται να βρεθεί ο τύπος της f, a) Τα διανύσματα (,) και (,) είναι γραμμικά ανεξάρτητα (αφού το ένα δεν είναι πολλαπλάσιο του άλλου), επομένως αποτελούν βάση του R Εκφράζουμε το τυχαίο διάνυσμα ( y, ) R ως προς αυτή τη βάση: a ( y, ) a(,) + b(,) y a + b Λύνουμε ως προς ab, και παίρνουμε: a, b y δηλ. ( y, ) (,) + ( y )(,) Έχουμε λοιπόν f(, y) f(,) + ( y ) f(,) (, ) + ( y)(, ) f( y, ) ( + y,4 y) b) Αναλύουμε τις εικόνες των διανυσμάτων της ως προς τα διανύσματα της

a+ b a f(, ) (, 4) a(, 5) + b(, ) 5a+ b b δηλ. f (, ) (, 4) (,5) (, ) Με ανάλογο τρόπο παίρνουμε τελικά f (,) (, ) (,5) + 7(, ) Άρα [ f ], 7 Αντιστοίχως θα έχουμε f (, ) (, 4) (, ) + 4(,) f (,) (, ) (, ) (,) Άρα [ f ] 4 Τέλος f (,5) (7,) (,5) + 9(, ) f (, ) (, ) 4(,5) + (, ) Άρα [ f ] 4 9 c) ος τρόπος Επιλέγουμε την κανονική βάση E για απλούστευση των υπολογισμών Είναι [ f] [ f] det ([ f] ) 5 4 Άρα υπάρχει ο αντίστροφος πίνακας ([ f ]). Αυτό συνεπάγεται ότι η γραμμική συνάρτηση f έχει αντίστροφη με πίνακα αναπαράστασης τον ([ f ]), ο τύπος της οποίας θα δίνεται από τη σχέση: [ Tv ()] [ T] B B [ v] που για την περίπτωσή μας θα είναι: B, B ( ) [ ] f () v [ f] v ή πιο απλά ( ) f () v [ f] v, αφού χρησιμοποιούμε την κανονική βάση του Έτσι f ( y, ) ( y,4 y) 4 + y 5 ος τρόπος R

Αν αρχικά είχαμε επιλέξει π.χ. την βάση θα καταλήγαμε στο ίδιο αποτέλεσμα (αφού η αντίστροφη συνάρτηση ορίζεται μοναδικά), αλλά θα απαιτούνταν περισσότερες πράξεις. Συγκεκριμένα θα είχαμε: 4 [ f] det ([ f] ) 5 ([ ] ) f f 9 Για τον υπολογισμό του τύπου της ( ) [ ] f θα είναι: f () v [ f] v Αρχικά εκφράζουμε το τυχαίο v ( y, ) ως προς τη βάση : a+ b a + y ( y, ) a(,5) + b(, ) y 5a+ b b 5y Έτσι ( y, ) ( + y)(,5) + (5 y)(, ) και επομένως + y [ v] 5 y Είναι 4 4 5 5 ([ f ] ) 9 9 5 5 Άρα οι συντεταγμένες ως προς την της f θα είναι: 4 5 5 + y y ([ f] ) [ v] 9 5 y 5 7 y + 5 5 Και τελικά: f ( y, ) ( y)(,5) + ( + 7 y)(, ) ( + y, 4 y) 5 5 5 ος τρόπος Προφανώς στον ίδιο τύπο καταλήγουμε και αν θέσουμε a+ b fab (, ) ( y, ) ( a+ b,4 a b) ( y, ) 4a b y στη συνέχεια επιλύσουμε το σύστημα ως προς a και b. y, R και για ένα τυχαίο ( ) Παράδειγμα Έστω η γραμμική συνάρτηση f : M( R) M( R) με τύπο f ( X ) AX XA όπου A 4

a) Να βρεθεί η διάσταση και μία βάση του Kerf b) Να βρεθεί η διάσταση και μία βάση του Imf Έστω a b X c d τότε ο τύπος της f γράφεται: a b a b a b bc abd f... c d c d c d a+ c d b+ c a b a) Θέλουμε να βρούμε τα X c d για τα οποία f( X) O4 bc abd f( X) O4 a c d b c + + b c a b d a+ c d b+ c Ο πίνακας συντελεστών του ομογενούς συστήματος είναι ο B Με απαλοιφή Gauss o Β γίνεται: Επομένως rank(b) Έτσι dimker f dim N( B) dim M rank( B) 4 d a b H γενική λύση του συστήματος μπορεί να δοθεί ως ab, R c b Έτσι κάθε στοιχείο του πυρήνα γράφεται ως: a b X a + b, ab, R b ab Δηλαδή Ker f span{ E, E} με E, E Ο τρόπος που υπολογίσαμε τους E, E εξασφαλίζει ότι είναι γραμμικά ανεξάρτητοι. Επομένως οι E, Eαποτελούν βάση του Kerf b) Επειδή πρέπει dimim f + dimker f dim M dimim f 4 Για να βρούμε μία βάση του Im f εργαζόμαστε ως εξής: 5

Γνωρίζουμε γενικά ότι αν ένας χώρος γίνεται span από κάποια διανύσματα τότε και η εικόνα του γίνεται span από τις εικόνες των διανυσμάτων αυτών, δεν γνωρίζουμε όμως αν οι εικόνες αυτές είναι γραμμικά ανεξάρτητες (εκτός αν πρόκειται για μονομορφισμό, δηλ. αν dim ker( f ) και τα αρχικά διανύσματα είναι κι αυτά γραμμικά ανεξάρτητα). Διαλέγουμε, επομένως, ένα σύνολο διανυσμάτων που κάνει span τον χώρο μας δηλ. τον M. Επειδή μία βάση σίγουρα κάνει span τον χώρο, επιλέγουμε για ευκολία την απλούστερη, δηλαδή την κανονική, οπότε οι εικόνες της σίγουρα κάνουν span το Im f. Επειδή στο προηγούμενο υποερώτημα βρήκαμε ότι dim ker( f ), θα πρέπει να ελέγξουμε το σύνολο των εικόνων της κανονικής βάσης για γραμμική ανεξαρτησία ώστε αν χρειαστεί να αφαιρέσουμε τα γραμμικά εξαρτημένα διανύσματα από το τελικό σύνολο για να πάρουμε μια βάση του Im f. Έχουμε f G και f G Επειδή η διάσταση του Im f είναι, δεν χρειαζόμαστε άλλους πίνακες. Ελέγχουμε αν οι G, G είναι γραμμικά ανεξάρτητοι: a αg+ ag O α α... + a Άρα οι G, G είναι γραμμικά ανεξάρτητοι και επομένως αποτελούν βάση του Im f Παρατήρηση Όλη η άσκηση θα μπορούσε να επιλυθεί με χρήση του πίνακα αναπαράστασης. Μπορούμε να παρατηρήσουμε ότι ο πίνακας B στο (a) υποερώτημα είναι στην πραγματικότητα ο πίνακας αναπαράστασης [ f ] της f ως προς την κανονική βάση του M. Έτσι για το υποερώτημα (a) δουλεύουμε με τον μηδενοχώρο του B, γιατί γνωρίζουμε από τη θεωρία ότι Kerf N([ f ]) ενώ για το υποερώτημα (b) δουλεύουμε με το χώρο στηλών του B, γιατί γνωρίζουμε από τη θεωρία ότι Im f R([ f]) π.χ. H βάση του R( Β ) αποτελείται από τις στήλες του πίνακα Β που είναι γραμμικά ανεξάρτητες, δηλαδή τις στήλες που έχουν οδηγό μετά την απαλοιφή Gauss. Αυτές είναι οι στήλες και του πίνακα Β, δηλ οι (,,,) και (,,, ), οι οποίες αν γραφούν ως πίνακες (με προτεραιότητα γραμμής) δίνουν και 6