1985-1986 ΘΜΤ ΠΝΛΛΗΝΙΩΝ ΙΩΝΙΣΜΩΝ Μ ' ΥΜΝΣΙΟΥ - ΘΛΗΣ 1 Να βξείηε ην κηθξόηεξν θπζηθό αξηζκό λ πνπ είλαη πνιιαπιάζην ηνπ 1985 θαη αλ ην δηαηξέζνπκε κε ην 1981 δίλεη ππόινηπν 1 Πόζα ηξίγσλα έρνπκε ζην ζρήκα; 1986-1987 1 Ηζόπιεπξν ηξίγσλν θαη ηεηξάγσλν έρνπλ ηελ ίδηα πεξίκεηξν Μπνξεί λα έρνπλ ην ίδην εκβαδόλ; Σην επίπεδν ζεσξνύκε ηξία ζεκεία,, Να βξεζεί ην ζύλνιν ησλ ζεκείσλ ηνπ επηπέδνπ γηα ηα νπνία ηζρύεη: Μ>Μ>Μ 1987-1988 1 ίλεηαη ην πνιπώλπκν θ(x)=x 1 α) Να ιπζεί ε εμίζσζε: θ(0)+θ( 1)+θ(1)+θ( x)=x β) Nα ππνινγηζηεί ν αξηζκόο ι όηαλ είλαη γλσζηό όηη: ιθ( 1 ) θ( )= Σ' έλα ηζνζθειέο ηξίγσλν (κε =), θέξλνπκε ην ύςνο 1 50 ν 1 1 πί ηεο παίξλνπκε ζεκείν έηζη ώζηε = Φέξλνπκε θαη ην επζύγξακκν ηκήκα λ ˆ =50 o, λα ππνινγηζηνύλ νη γσλίεο ˆ, ˆ 1, ˆ, ˆ 1, ˆ, ˆ, ˆ 1, ˆ πνπ θαίλνληαη ζην ζρήκα
ΘΜΤ ΠΝΛΛΖΝΗΩΝ ΗΩΝΗΣΜΩΝ Μ ' ΥΜΝΣΗΟΥ α) λ α= 4 15 θαη β= 6 10 Να ππνινγίζεηε ηε δηαθνξά =α β Τη ζρέζε έρνπλ κεηαμύ ηνπο ηα α, β; β) λ α, β είλαη πξαγκαηηθνί αξηζκνί κε α β θαη α(β +1)=β(α +1) Να ππνινγίζεηε ην γηλόκελν α β 4 πό ηηο παξαθάησ ηέζζεξηο πξνηάζεηο κία είλαη ςεπδήο θαη νη ππόινηπεο είλαη αιεζείο (α) Ο ληώλεο είλαη κεγαιύηεξνο από ηνλ αζίιε (β) Ο αζίιεο είλαη κεγαιύηεξνο από ηε εσξγία (γ) Ζ εσξγία είλαη κεγαιύηεξε από ηνλ ληώλε (δ) Ζ ειηθία ηνπ αζίιε πξνζηηζέκελε ζηελ ειηθία ηεο εσξγίαο ηζνύηαη κε ην δηπιάζην ηεο ειηθίαο ηνπ ληώλε i) Nα βξείηε πνηα είλαη ε ςεπδήο πξόηαζε ii) Πνηνο είλαη ν κηθξόηεξνο θαη πνηνο ν κεγαιύηεξνο; 1988-1989 1 Να απνδεηρηεί όηη α) 1 100 1 101 + 1 10 1 10 ++ 1 1000 1 1001 + 1 100 < 1 100 β) 1 51 + 1 5 ++ 1 100 > 1 Οη εμσηεξηθέο γσλίεο ελόο ηξηγώλνπ είλαη αλάινγεο πξνο ηνπο αξηζκνύο,, 4 Να ππνινγηζηνύλ νη γσλίεο ηνπ ηξηγώλνπ 1989-1990 1 Να απινπνηεζεί ε παξάζηαζε: = x x : x 4x 5 16x 40x 5 ίλεηαη έλα εκηθύθιην κε δηάκεηξν =50cm Έζησ έλα ζεκείν ηνπ εκηθπθιίνπ πνπ απέρεη από ην 40cm θαη ε πξνβνιή ηνπ ζηελ Πάλσ ζηελ θάζεηε επζεία από ην ζην επίπεδν ηνπ εκηθπθιίνπ λα πάξεηε ηκήκα = θαη λα θαηαζθεπάζεηε ην ηεηξάεδξν α) Να ππνινγηζηνύλ νη αθκέο ηνπ ηεηξαέδξνπ β) Πόζνο είλαη ν όγθνο απηνύ ηνπ ηεηξαέδξνπ; γ) Μπνξείηε λα ζπγθξίλεηε ην άζξνηζκα ησλ ηεηξαγώλσλ ησλ δύν απέλαληη αθκώλ κε ην άζξνηζκα ησλ ηεηξαγώλσλ ησλ δύν άιισλ απέλαληη αθκώλ (, θαη, θαη, ) λ ππνζέζνπκε όηη: β=, x=, y=, z= Να απνδεηρηεί όηη: y= xz x z
ΘΜΤ ΠΝΛΛΖΝΗΩΝ ΗΩΝΗΣΜΩΝ Μ ' ΥΜΝΣΗΟΥ 4 Οη πόιεηο θαη ζπλδένληαη κε γξακκή ιεσθνξείνπ πό θάζε πόιε μεθηλνύλ ιεσθνξεία θάζε κία ώξα, νιόθιεξν ην 4σξν θαη ην ηαμίδη αλάκεζα ζηηο δύν πόιεηο δηαξθεί 8 ώξεο αθξηβώο Έλα ιεσθνξείν πνπ μεθηλά από ηελ πόιε, πόζα ιεσθνξεία ηεο ίδηαο γξακκήο ζα ζπλαληήζεη κέρξη λα θηάζεη ζηελ πόιε ; 1990-1991 1 Έζησ νξζνγώλην ηξίγσλν θαη ', ', ' ηα κέζα ησλ πιεπξώλ ηνπ,, αληίζηνηρα Να γξαθεί θύθινο πνπ πεξλά από ηα ', ' ' Να απνδεηρηεί όηη: α) Ο θύθινο ηέκλεη ηε θαη ζην ίρλνο Ζ ηνπ ύςνπο Ζ ηνπ β) Τα ηόμα '= ' γ) ' = ' ' α) Να αλαιπζεί ζε γηλόκελν ε παξάζηαζε =α α β) λ ν α είλαη θπζηθόο αξηζκόο λα δεηρηεί όηη ε παξάζηαζε είλαη πάληνηε κε ην 4 Υπάξρνπλ άλζξσπνη πάλσ ζηε ε πνπ έρνπλ γελλεζεί ην ίδην αθξηβώο ιεπηό; Να εμεηαζηεί αλ ηζρύεη ην ίδην θαη γηα ηνπο θαηνίθνπο ηεο ιιάδαο 4 Να παξαγνληνπνηεζνύλ ηα πνιπώλπκα: =x 4 x +16 θαη =x 4 7x +10 1994-1995 Μέρος 1ο 1 Σην ζρήκα ε γσλία ˆ = α) 180 o α+γ, β) 180 o δ+γ, γ) 180 o β+γ, δ) β+δ, ε) α+δ Τα ηξίγσλα ζην ζρήκα είλαη α) 8, β) 1, γ) 16, δ) 0, ε) 4
ΘΜΤ ΠΝΛΛΖΝΗΩΝ ΗΩΝΗΣΜΩΝ Μ ' ΥΜΝΣΗΟΥ 4 λ α,β,γ,δ>0 θαη =, ηόηε α) 1 1 =, β) 1 1 =, γ) =, δ) =, 1 1 1 1 ε) θαλέλα από ηα α δ 4 λ α, β, γ, δ αθέξαηνη ηέηνηνη ώζηε = 7, = 7, ηόηε α) αγ=βδ, β) α=, β=7, γ) α<γ, δ) α 0, ε) αβ=γδ 5 λ α,β,γ>0 θαη α 5 β 4 γ 1, ηόηε = 8 10 6 8 4 6 5 4 = α) 1, β) αβγ, γ) 1 1, δ) 1, ε) 6 λ α>0 θαη (α+ 1 ) =7, ηόηε =(α + 1 )= α) 7, β) 4 7, γ) 7 7, δ) 7, ε) 67 7 Ο κέγηζηνο αξηζκόο ζεκείσλ ζηα νπνία ηέκλνληαη έλαο θύθινο θαη έλα νξζνγώλην είλαη α), β) 8, γ) 5, δ) 6, ε) 8 8 Έλα ηξηγσληθό γπαιί ΕΖ ηνπνζεηείηαη πάλσ από έλα νξζνγώλην ην νπνίν είλαη επίζεο θηηαγκέλν από γπαιί Πνην πνζνζηό ηεο θαιπκκέλεο κε γπαιί έθηαζεο είλαη δηπινθαιπκκέλε ; α) 5%, β) 100 %, γ) 6%, δ) 450 17, ε) 45 9 λ ν αξηζκόο λ+18 δηαηξεί ηνλ αξηζκό λ+5, λ θπζηθόο, ηόηε λ= α), β) 7, γ) 8, δ) 1, ε) θαλέλα από ηα α δ 10 λ ν πεληαςήθηνο αξηζκόο 1αβ δηαηξείηαη κε ηνπο αξηζκνύο 4 θαη 9, ε κηθξόηεξε ηηκή ηνπ ςεθίνπ α είλαη α) 0, β) 1, γ), δ) 8, ε) 9 Μέρος ο 1 Aλ α, β ζεηηθνί αθέξαηνη θαη α+4β=10, λα απνδείμεηε όηη 0<α+β<40 ίλαη δπλαηό έλα νξζνγώλην παξαιιειόγξακκν κε δηαζηάζεηο 9cm θαη 1cm λα δηαηξεζεί: α) Σε δύν ηεηξάγσλα κε πιεπξά cm, έλα ηεηξάγσλν κε πιεπξά cm, έλα ηεηξάγσλν κε πιεπξά 6cm, έλα ηεηξάγσλν κε πιεπξά 7cm έλα νξζνγώλην κε πιεπξέο cm θαη 5cm β) Σε έλα ηεηξάγσλν κε πιεπξά cm, θαη
ΘΜΤ ΠΝΛΛΖΝΗΩΝ ΗΩΝΗΣΜΩΝ Μ ' ΥΜΝΣΗΟΥ 5 έλα ηεηξάγσλν κε πιεπξά cm, έλα ηεηξάγσλν κε πιεπξά 4cm, έλα ηεηξάγσλν κε πιεπξά 5cm θαη έλα ηεηξάγσλν κε πιεπξά 8cm Οη αξηζκνί 1,,, 4, 5 ρσξίδνληαη ζε δύν νκάδεο, ίλαη αιεζέο όηη ππάξρνπλ δύν αξηζκνί πάληα πνπ αλήθνπλ ζηελ ίδηα νκάδα θαη ε δηαθνξά ηνπο αλήθεη ζηελ ίδηα νκάδα; 1995-1996 1 ύν καζεηέο, ρξεζηκνπνηνύλ έλα πίλαθα x, όπσο ζην ζρήκα, γηα λα παίμνπλ "ηξίιηδα" Καζέλαο γξάθεη ζ' έλα ηεηξαγσλάθη ηεο εθινγήο ηνπ έλα ζηαπξό ή έλαλ θύθιν (Καη νη δύν έρνπλ δπλαηόηεηα λα ρξεζηκνπνηήζνπλ θαη ην ζηαπξό θαη ηνλ θύθιν όπνην ζέινπλ ζε θάζε ηνπ θίλεζε αλεμάξηεηα κε ηη ρξεζηκνπνίεζαλ λσξίηεξα) Θα ληθήζεη απηόο, ν νπνίνο πξώηνο γξάθεη έλα ζύκβνιν πνπ είλαη ην ίδην ζηα ηξία ηεηξάγσλα κηαο γξακκήο ή κηαο ζηήιεο ή κηαο δηαγσλίνπ ηνπ πίλαθα ηα πνηνλ παίθηε ππάξρεη ζίγνπξε ζηξαηεγηθή λα θεξδίζεη θαη πνηα είλαη απηή ; Σε πόζεο θηλήζεηο θεξδίδεη; Να βξεζεί ην πιήζνο ησλ αξηζκώλ ηνπ ζπλόινπ ={1, 11, 111, 1111,, 11 1 }, νη νπνίνη είλαη πνιιαπιάζηα ηνπ 7 1995 Έζησ ηξίγσλν κε εκβαδόλ ηα ηα κήθε ησλ πιεπξώλ ηνπ ηζρύεη: α β γ Να δεηρηεί όηη β Πόηε ηζρύεη ην ίζνλ; 4 Να ππνινγηζηνύλ νη αξηζκνί α, β, γ γηα ηνπο νπνίνπο ηζρύεη: α +β +γ α 4β 6γ+14=0 1996-1997 1 Έζησ = 81 + 8 : +8 : 1 Να ππνινγηζηεί ε ηηκή ηνπ =( 1) +( 1) +1 Έζησ παξαιιειόγξακκν θαη από ηελ θνξπθή θέξλνπκε κηα ηπρνύζα επζεία πνπ ηέκλεη ηελ ζην πό ην θέξλνπκε κηα επζεία παξάιιειε πξνο ηελ θαη επ' απηήο παίξλνπκε έλα ζεκείν Ε
ΘΜΤ ΠΝΛΛΖΝΗΩΝ ΗΩΝΗΣΜΩΝ Μ ' ΥΜΝΣΗΟΥ 6 Να δεηρηεί όηη ην παξαιιειόγξακκν κε πιεπξέο θαη Ε έρεη εκβαδόλ ίζν κε ην εκβαδόλ ηνπ παξαιιεινγξάκκνπ Να δεηρηεί όηη δεν ππάξρεη αθέξαηνο λ πνπ λα ηθαλνπνηεί ηε ζρέζε: λ(λ 1)+(λ 1)(λ+1)+λ(λ+1)+λ 5 =000000 4 Ζ Άλλα έρεη 48 ζπίξηα θαη ηα ρώξηζε ζε ζσξνύο Μεηά πήξε ηόζα ζπίξηα από ηνλ πξώην ζσξό όζα ππήξραλ ζηνλ δεύηεξν θαη ηα έβαιε ζηνλ δεύηεξν Καηόπηλ πήξε ηόζα ζπίξηα από ηνλ δεύηεξν ζσξό όζα ππήξραλ ζηνλ η ξίην θαη ηα έβαιε ζηνλ ηξίην Τέινο πήξε ηόζα ζπίξηα από ηνλ ηξίην ζσξό όζα ππήξραλ ζηνλ πξώην θαη ηα έβαιε ζηνλ πξώην Τόηε παξαηήξεζε όηη νη ηξεηο ζσξνί είραλ ίζν αξηζκό ζπίξησλ Πόζα ζπίξηα είρε αξρηθά ν θάζε ζσξόο; 1997-1998 1 ηα ηνπο κε κεδεληθνύο αξηζκνύο α, β, x, y ηζρύεη αx=βy Nα ππνινγηζηεί ε ηηκή ηεο παξάζηαζεο = x x y + Έζησ ΕΖΘ θύβνο κε αθκή α Να ππνινγίζεηε ηνλ όγθν ηεο ππξακίδαο ΕΘ Έζησ ηξίγσλν κε κήθε πιεπξώλ α=6 400, β=8 00 θαη γ κηθξόηεξν από ην κεγαιύηεξν ησλ α, β Να πξνζδηνξηζηεί ην γ, ώζηε ην ηξίγσλν λα είλαη νξζνγώλην 4 Σην ηέινο ηνπ ' Παγθόζκηνπ Πνιέκνπ ζε έλα ζηξαηόπεδν βξίζθνληαη 1997 αηρκάισηνη: 998 Ηηαινί θαη 999 εξκαλνί Ο δηνηθεηήο ηνπ ζηξαηνπέδνπ απνθαζίδεη λα απειεπζεξώζεη ζηαδηαθά ηνπο θξαηνύκελνπο, εθηόο από έλαλ ηνλ νπνίν ζα θξαηήζεη γηα ιίγν θαηξό αθόκα ζην ζηξαηόπεδν Ζ δηαδηθαζία απόιπζεο ησλ θξαηνπκέλσλ είλαη ε εμήο: πηιέγνληαη ηπραία ηξεηο θξαηνύκελνπο θαη θεύγνπλ νη δύν λ θαη νη ηξεηο είλαη ηεο ίδηαο εζληθόηεηαο, ν έλαο από απηνύο επηζηξέθεη, ελώ αλ είλαη δηαθνξεηηθήο εζληθόηεηαο επηζηξέθεη απηόο πνπ έρεη δηαθνξεηηθή εζληθόηεηα από ηνπο άιινπο δύν Πνηαο εζληθόηεηαο ζα είλαη ν ''άηπρνο'' θξαηνύκελνο; 1998-1999 1 Έλα νξζνγώλην παξαιιειόγξακκν δηαηξείηαη ζε 4 κηθξόηεξα νξζνγώληα παξαιιειόγξακκα κε δύν επζείεο παξάιιειεο πξνο ηηο πιεπξέο ηνπ Τα ηξία απ' απηά ηα ηέζζεξα νξζνγώληα έρνπλ εκβαδά 10, 18, 5 cm
ΘΜΤ ΠΝΛΛΖΝΗΩΝ ΗΩΝΗΣΜΩΝ Μ ' ΥΜΝΣΗΟΥ 7 αληίζηνηρα Να βξεζεί ην εκβαδόλ ηνπ ηέηαξηνπ νξζνγσλίνπ Να απνδεηρηεί όηη ν αξηζκόο = 4 66666 1 7 είλαη αθέξαηνο θαη λα βξεζεί ν αθέξαηνο απηόο ηαζέηνπκε 1Κ, Μ θαη Π βώινπο Με πόζνπο ηξόπνπο κπνξνύκε λα ηηο ηνπνζεηήζνπκε ζε 6 ηξύπεο πνπ βξίζθνληαη ζε επζεία γξακκή θαη ηζαπέρνπλ; 4 Με πόζνπο δηαθνξεηηθνύο ηξόπνπο κπνξεί λα γξαθεί ν αξηζκόο 105 σο άζξνηζκα ηνπιάρηζηνλ δύν ζεηηθώλ δηαδνρηθώλ αθεξαίσλ; 1999-000 1 Σην ζρήκα έρνπκε: 1) //, ) ˆ =90 ν, ) ˆ = ˆ =45 ν, 4) =α, =α Να ππνινγηζηεί ην κήθνο ηνπ Σην ζρήκα ην είλαη ηεηξάγσλν θαη ην Ε νξζνγώλην Να ππνινγίζεηε ην ιόγν ησλ εκβαδώλ ( ( ) ) ( ) ( ) Έζησ =, =, λ * Να βξεζεί πνηνο από ηνπο αξηζκνύο, είλαη κεγαιύηεξνο 4 Να βξείηε πόζνη από ηνπο αξηζκνύο 1,,,, 1999 δε δηαηξνύληαη νύηε κε ην 5 νύηε κε ην 7 000-001 1 ίλνληαη νη παξαζηάζεηο: =( 5) ( ) ( 1 ) +( 1) 1000 =[( 5) ( ) 1] [( 1 ) + 5 4 ] Να βξείηε ηνπο αξηζκνύο, θαη λα ζπγθξίλεηε ηνπο αξηζκνύο, 5
ΘΜΤ ΠΝΛΛΖΝΗΩΝ ΗΩΝΗΣΜΩΝ Μ ' ΥΜΝΣΗΟΥ 8 Σην ζρήκα δίλνληαη (α) (ε 1 )//(ε ) Να βξείηε: 1) Τν ιόγν (β) ην ηξίγσλν είλαη ηζόπιεπξν πιεπξάο α (γ) θαη (δ) =α ) Τν εκβαδόλ ηνπ ηξαπεδίνπ Ο ζεηηθόο αθέξαηνο α είλαη άξηηνο θαη όηαλ δηαηξείηαη κε ην 7 δίλεη ππόινηπν Να βξεζεί ν αξηζκόο α, αλ είλαη κεηαμύ ησλ αξηζκώλ 51 θαη 51 4 Σε κηα αιθαληθή ζπλάληεζε Νέσλ ζπκκεηείραλ 199 παηδηά από 9 δηαθνξεηηθέο ρώξεο Να απνδείμεηε όηη κία ηνπιάρηζηνλ ρώξα είρε ζηελ απνζηνιή ηεο 1 ηνπιάρηζηνλ παηδηά ηνπ ίδηνπ θύινπ 001-00 1 λ λ ζεηηθόο αθέξαηνο λα ππνινγίζεηε ηηο παξαζηάζεηο: =[( 1) λ +( 1) λ+1 ] ( 1 + 10 ), 4 =( ) ( ) 1 + ( ) ( ) ( 4) Τξίγσλν έρεη πιεπξέο =ι, =ι+, =10 θαη ηζρύεη: (ι+) ι =8 Να δεηρηεί όηη ην ηξίγσλν είλαη νξζνγώλην κε A =90 ν Σην εζσηεξηθό ηεηξαγώλνπ πιεπξάο α θαηαζθεπάδνπκε ηζόπιεπξν ηξίγσλν 1) Να απνδείμεηε όηη ηα ηξίγσλα θαη είλαη ίζα ) Να ππνινγίζεηε ηα εκβαδά ησλ ηξηγώλσλ, θαη 4 Να πξνζδηνξίζεηε ηελ ειάρηζηε ηηκή ηεο παξάζηαζεο =α 10αβ+7β 8β+8 ηα πνηεο ηηκέο ησλ α, β ιακβάλεηαη ε ειάρηζηε ηηκή ηεο παξάζηαζεο ;
ΘΜΤ ΠΝΛΛΖΝΗΩΝ ΗΩΝΗΣΜΩΝ Μ ' ΥΜΝΣΗΟΥ 9 00-00 1 λ α= θαη β= λα βξείηε ηελ ηηκή ηεο παξάζηαζεο: Κ=α (1+α) +4( + 1 ) 1 +[( 004) 004 ] 0 Σην ζρήκα ππάξρνπλ 10 ίζα ηεηξάγσλα κεηαμύ ησλ νξζνγσλίσλ θαη Θ Ζ Ε ΕΖΘ Να ππνινγίζεηε ηελ πιεπξά ησλ ηεηξαγώλσλ, αλ είλαη γλσζηό όηη ην άζξνηζκά ησλ εκβαδώλ ηνπο ηζνύηαη αξηζκεηηθά κε ην άζξνηζκα ησλ πεξηκέηξσλ ησλ νξζνγσλίσλ θαη ΕΖΘ Σε κηα δηνξγάλσζε ζθαθηνύ κέζσ δηαδηθηύνπ ζπκκεηείραλ 1119 αγόξηα θαη θνξίηζηα Τν πξώην θνξίηζη έπαημε κε 0 αγόξηα, ην δεύηεξν θνξίηζη έπαημε κε 1 αγόξηα, ην ηξίην θνξίηζη έπαημε κε αγόξηα θνθ κέρξη ην ηειεπηαίν θνξίηζη πνπ έπαημε κε όια ηα αγόξηα Να βξείηε πόζα ήηαλ ηα αγόξηα θαη πόζα ήηαλ ηα θνξίηζηα 4 Σην ζρήκα ε είλαη δηάκεηξνο ηνπ θύθινπ (Ο,R), ε γσλία ˆ =σ είλαη ηξηπιάζηα ηεο γσλίαο ˆ =θ θαη ην εκβαδόλ ηνπ θπθιηθνύ ηνκέα Ζ Ε φ Ο ω (Ο)= 1 πr 1) Να βξείηε ηηο γσλίεο σ, θ ( ) Να βξείηε ην ιόγν ( Ζ ) ) ησλ εκβαδώλ ησλ θπθιηθώλ ηκεκάησλ Ε θαη 00-004 1 Να ππνινγίζεηε ηελ ηηκή ηεο παξάζηαζεο 6 10x (4x y ) =00 (x+ 1 ) y (x z) (y z) αλ x+y=00 Οη αξηζκνί x θαη y είλαη αλάινγνη πξνο ηνλ αξηζκεηή θαη ηνλ παξνλνκαζηή, αληίζηνηρα, ηνπ θιάζκαηνο πνπ πξνθύπηεη από ηε κεηαηξνπή ζε θιαζκαηηθή
ΘΜΤ ΠΝΛΛΖΝΗΩΝ ΗΩΝΗΣΜΩΝ Μ ' ΥΜΝΣΗΟΥ 10 κνξθή ηνπ δεθαδηθνύ αξηζκνύ α=4, 6x Να ππνινγίζεηε ηελ ηηκή ηεο παξάζηαζεο = 6x 5y 5y 1 1 ίλεηαη ηζνζθειέο ηξίγσλν (=) Με δηάκεηξν ηελ πιεπξά γξάθνπκε θύθιν πνπ ηέκλεη ηελ πιεπξά ζην Φέξνπκε αθόκα ηελ x x πνπ ηέκλεη ηνλ θύθιν ζην 1) Να απνδείμεηε όηη ην είλαη ύςνο ηνπ ηξηγώλνπ ) Να ζπγθξίλεηαη ην εκβαδόλ ηνπ ηξηγώλνπ πξνο ην εκβαδόλ ηνπ ηεηξαπιεύξνπ 4 Σην ζρήκα ην ηεηξάγσλν έρεη πιεπξά =4α θαη =Ε=Ζ=Θ=α Η Μ Κ Θ Λ Ζ Ε Τν ηεηξάπιεπξν ΗΚΛΜ είλαη ηεηξάγσλν Να ππνινγίζεηε: 1) Τελ Ζ σο ζπλάξηεζε ηνπ α ) Τν εκβαδόλ ηνπ ηεηξαγώλνπ ΗΚΛΜ σο ζπλάξηεζε ηνπ α 004-005 1 ίλνληαη νη παξαζηάζεηο = ( 5 1 [ ) ( 5 1) 005 0 λ =6, λα πξνζδηνξίζεηε ηελ ηηκή ηνπ x ] x (, = ) ( 9 1) + x Σην ζρήκα ε επζεία ΜΛ είλαη κεζνθάζεηε ηεο πιεπξάο πηπιένλ δίλνληαη: Μ ˆ =45 ν, ˆ Λ=0 ν θαη Λ=θ Λ 045 Μ κ Να βξείηε: α) Τηο γσλίεο ˆ, ˆ, ˆ ηνπ ηξηγώλνπ
ΘΜΤ ΠΝΛΛΖΝΗΩΝ ΗΩΝΗΣΜΩΝ Μ ' ΥΜΝΣΗΟΥ 11 β) Τηο πιεπξέο,, ζπλαξηήζεη ηνπ θ γ) Τν εκβαδόλ ηνπ ηξηγώλνπ Μηα εηαηξεία ρξεζηκνπνηεί 0 εξγάηεο επί 6 κήλεο, εξγαδόκελνπο 8 ώξεο ην 4σξν, γηα λα ηειεηώζεη ην κηζό ελόο έξγνπ πεηδή ην ππόινηπν ηνπ έξγνπ πξέπεη λα ηειεηώζεη ζε κήλεο ε εηαηξεία απνθάζηζε λα πξνζιάβεη θαη άιινπο εξγάηεο, ηεο ηδίαο απόδνζεο αλά ώξα, νη νπνίνη ζα δνπιεύνπλ δεύηεξε βάξδηα επί 10 ώξεο ην 4σξν, ελώ νη ππάξρνληεο εξγάηεο ζα δνπιεύνπλ όπσο θαη πξηλ Πόζνπο επί πιένλ εξγάηεο πξέπεη λα πξνζιάβεη ε εηαηξεία ώζηε λα ηειεηώζεη ην έξγν αθξηβώο ζε δύν κήλεο; 4 Σην ζρήκα δίλεηαη νξζνγώλην κε ==α, ηα κέζα θαη Ε ησλ θαη αληίζηνηρα, θαη νη ηξεηο θύθινη κε θέληξα, θαη θαη αθηίλαο α, πνπ ηέκλνληαη κέζα ζην νξζνγώλην ζηα ζεκεία Κ θαη Λ Κ Ε Λ α Μ Ν Να βξείηε: α) Τν εκβαδόλ ηνπ ηξηγώλνπ Κ β) Τν εκβαδόλ ηνπ ηεηξαπιεύξνπ ΚΛΝΜ, όπνπ Μ κέζνλ ηεο θαη Ν κέζνλ ηεο γ) Τν εκβαδόλ ηνπ θακππιόγξακκνπ γξακκνζθηαζκέλνπ ηξηγώλνπ ΚΛ 005-006 1 Έζησ α=β+005 Να βξείηε ηελ αξηζκεηηθή ηηκή ηεο παξάζηαζεο: = [(α+β) (β α) 4β]+19(α β) Να βξείηε ην κηθξόηεξν ζεηηθό πνιιαπιάζην ηνπ 005, ην νπνίν δηαηξνύκελν δηα ηνπ 001 αθήλεη ππόινηπν 1 Να βξεζεί ν κηθξόηεξνο ζεηηθόο ξεηόο αξηζκόο ηνπ νπνίνπ ην % θαζώο θαη ην 15% είλαη αθέξαηνο 4 ίλαη δπλαηόλ λα ππάξρνπλ ζην εζσηεξηθό ελόο θπξηνύ ηεηξαπιεύξνπ δύν δηαθνξεηηθά ζεκεία από ην θαζέλα από ηα νπνία όιεο νη πιεπξέο ηνπ ηεηξαπιεύξνπ λα θαίλνληαη από ίζεο γσλίεο; ηθαηνινγείζηε ηελ απάληεζή ζαο
ΘΜΤ ΠΝΛΛΖΝΗΩΝ ΗΩΝΗΣΜΩΝ Μ ' ΥΜΝΣΗΟΥ 1 006-007 1 Σην παξαθάησ ζρήκα λα ππνινγίζεηε ην x ζε κνίξεο 5x x 4x x 6x Ε Ζ ηα ηνπο αξηζκνύο α, β, γ ηζρύνπλ α+β+ =0 θαη αβγ=10 Να ππνινγηζηεί ε ηηκή ηεο παξάζηαζεο =α (α+ ) (α+β) Ο αξηζκόο p είλαη πξώηνο Να απνδείμεηε όηη ν αξηζκόο =7p+1 είλαη ζύλζεηνο 4 Να εμεηάζεηε αλ ππάξρνπλ πξαγκαηηθνί αξηζκνί α, β δηάθνξνη ηνπ κεδελόο, ηέηνηνη ώζηε αβ 1 + 10 α 1 β= 007-008 1 Να ππνινγίζεηε ηε ηηκή ησλ παξαζηάζεσλ = [( ) 8 ( 4) +( 4) ] ( ) 4, = (x ) (y 4) [x(y ) y(x+)] ηα πνηεο ηηκέο ηνπ x αιεζεύεη ε αληζόηεηα >; Σην ζρήκα ην ηξίγσλν είλαη ηζνζθειέο (=) κε ˆ =40 ν (ε) 40 (δ ) Ε Κ x Ζ επζεία (ε)// θαη ε επζεία (δ) είλαη κεζνθάζεηε ηεο 1) Να ππνινγηζηεί ε γσλία Ε ˆ x ) Να απνδείμεηε όηη Κ=Ε Να απνδείμεηε όηη, αλ έλαο αξηζκόο είλαη ηεηξάγσλν θπζηθνύ αξηζκνύ, ηόηε ην ηειεπηαίν ηνπ ςεθίν αλήθεη ζην ζύλνιν Σ={0, 1, 4, 5, 6, 9} Να βξεζεί, αλ ππάξρεη, πεληαςήθηνο θπζηθόο αξηζκόο ηεο κνξθήο
ΘΜΤ ΠΝΛΛΖΝΗΩΝ ΗΩΝΗΣΜΩΝ Μ ' ΥΜΝΣΗΟΥ 1 =αααββ, όπνπ α, β ςεθία κε α 0, ν νπνίνο είλαη ηεηξάγσλν θπζηθνύ αξηζκνύ, πεξηηηόο θαη δηαηξείηαη κε ην 9 4 Σην ζρήκα ην ηξίγσλν είλαη ηζνζθειέο (=) κε ˆ =0 ν, =α, 0 Ο α Μ εγγεγξακκέλν ζε θύθιν (Ο,R) Ζ // θαη Ο 1) Να ππνινγίζεηε ην εκβαδόλ ηνπ θπθιηθνύ ηνκέα Ο ζπλαξηήζεη ηνπ α ) Να ππνινγίζεηε ην εκβαδόλ ηνπ ηξηγώλνπ ζπλαξηήζεη ηνπ α ) Να απνδείμεηε όηη ην ηξίγσλν είλαη ηζνζθειέο