ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΜΕΤΑΔΟΣΗ ΘΕΡΜΟΤΗΤΑΣ ΣΕ ΑΝΟΜΟΙΟΓΕΝΕΣ ΥΛΙΚΟ ΜΕ ΧΡΗΣΗ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΩΝ

ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΜΕΤΑΔΟΣΗ ΘΕΡΜΟΤΗΤΑΣ ΣΕ ΑΝΟΜΟΙΟΓΕΝΕΣ ΥΛΙΚΟ ΜΕ ΧΡΗΣΗ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΩΝ ΕΠΙΒΛΕΠΩΝ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ: ΞΕΝΟΣ ΘΩΜΑΣ ΚΕΛΙΡΗΣ ΧΡΙΣΤΟΔΟΥΛΟΣ Α.Ε.Μ 58 ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗ 007

Αφιερώνεται στην οικογένειά μου

ΕΥΧΑΡΙΣΤΙΕΣ Θα ήθελα να εκφράσω τις ευχαριστίες μου, σε όλους όσους με βοήθησαν κατά τη διάρκεια εκπόνησης αυτής της διπλωματικής εργασίας, η συμβολή των οποίων υπήρξε σημαντική για την ολοκλήρωσή της. Θερμά ευχαριστώ τον καθηγητή μου κ. Θωμά Ξένο, για την εμπιστοσύνη που μου έδειξε κατά την ανάθεση του ενδιαφέροντος αυτού θέματος και την όλη επόπτευση κατά την εκπόνηση της εργασίας.

Πίνακας Περιεχομένων ΜΕΤΑΔΟΣΗ ΘΕΡΜΟΤΗΤΑΣ...6 1.1 Γενικά...6 1. Αγωγή...9 1..1 Ο Νόμος Fourier...11 1.. Η βασική εξίσωση της αγωγιμότητας (εξίσωση διάχυσης της θερμότητας)...13 1..3 Οριακές και αρχικές συνθήκες...16 ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΜΕΤΑΔΟΣΗΣ ΘΕΡΜΟΤΗΤΑΣ ΣΕ ΑΝΟΜΟΙΟΓΕΝΕΣ ΥΛΙΚΟ ΜΕ ΤΗ ΜΕΘΟΔΟ ΤΩΝ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΩΝ...18.1 Εισαγωγή στη μέθοδο των πεπερασμένων στοιχείων...18. Διατύπωση του προβλήματος και η εφαρμογή της μεθόδου των πεπερασμένων στοιχείων...0..1 Περιγραφή προβλήματος...0.. Εφαρμογή της μεθόδου...1 Βήμα 1 - Διακριτοποίηση του σώματος-χώρου...1 Βήμα - Επιλογή κατάλληλης προσεγγιστικής συνάρτησης...3 Βήμα 3 Παραγωγή εξισώσεων για τα πεπερασμένα στοιχεία...5 Προσέγγιση Galerrkin...6 Βήμα 4 Συνάθροιση ---- Βήμα 5 - Επίλυση συστήματος...30 Βήμα 6 Υπολογισμός δευτερευόντων χαρακτηριστικών(θερμοροή)...33.3 Αριθμητική ολοκλήρωση...34.3.1 Συναρτήσεις βάσης...34.3. Αριθμητική ολοκλήρωση Gauss...37 ΥΛΟΠΟΙΗΣΗ...39 3.1 Υλοποίηση...39 3. Μεταβολή της αγωγιμότητας λόγω υγρασίας βάση του EN ISO 10456...40 3.3 Θερμική αντίσταση διακένων σύμφωνα με το ISO 6946...40 3.4 Υπολογισμός θερμικής αντίστασης τούβλου...41 3.5 Ανάλυση προβλήματος στη μόνιμη κατάσταση (Steady state analysis)...43 3.6 Χρονική ανάλυση προβλήματος (Transient analysis)...43 3.7 Παρουσίαση προγράμματος...45 3.8 Παράδειγμα επίλυσης...49 ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ ΚΑΙ ΕΠΑΛΗΘΕΥΣΗ...55 4.1 Εισαγωγή...55 4. Γεωμετρία 1...57 4..1 Μόνιμη κατάσταση: Θερμοκρασία αριστερά Θερμοκρασία δεξιά...58 4.. Μόνιμη κατάσταση: Θερμοροή αριστερά Θερμοκρασία δεξιά...61 4..3 Χρονική ανάλυση: Θερμοκρασία αριστερά Θερμοκρασία δεξιά...63 4..4 Χρονική ανάλυση: Θερμοροή αριστερά Θερμοκρασία δεξιά...65 4

4.3 Γεωμετρία...67 4.3.1 Μόνιμη κατάσταση: Θερμοκρασία αριστερά Θερμοκρασία δεξιά...68 4.3. Μόνιμη κατάσταση: Θερμοροή αριστερά Θερμοκρασία δεξιά...71 4.3.3 Χρονική ανάλυση: Θερμοκρασία αριστερά Θερμοκρασία δεξιά...73 4.3.4 Χρονική ανάλυση: Θερμοροή αριστερά Θερμοκρασία δεξιά...75 4.4 Γεωμετρία 3...77 4.4.1 Μόνιμη κατάσταση: Θερμοκρασία αριστερά Θερμοκρασία δεξιά...78 4.4. Μόνιμη κατάσταση: Θερμοροή αριστερά Θερμοκρασία δεξιά...81 4.4.3 Χρονική ανάλυση: Θερμοκρασία αριστερά Θερμοκρασία δεξιά...83 4.4.4 Χρονική ανάλυση: Θερμοροή αριστερά Θερμοκρασία δεξιά...85 4.5 Γεωμετρία 4...87 4.5.1 Μόνιμη κατάσταση: Θερμοκρασία αριστερά Θερμοκρασία δεξιά...88 4.5. Μόνιμη κατάσταση: Θερμοροή αριστερά Θερμοκρασία δεξιά...91 4.5.3 Χρονική ανάλυση: Θερμοκρασία αριστερά Θερμοκρασία δεξιά...93 4.5.4 Χρονική ανάλυση: Θερμοροή αριστερά Θερμοκρασία δεξιά...95 4.6 Σύγκριση αποτελεσμάτων Συμπεράσματα...97 ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ...99 ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α - ΚΩΔΙΚΑΣ MATLAB...101 A) ΚΟΙΝΑ ΑΡΧΕΙΑ...101 1) Αρχείο εισόδου...101 ) Αρχείο εκκίνησης...10 3) Εισαγωγή οριακών συνθηκών...10 4) Αριθμητική ολοκλήρωση...103 5) Μετατροπή αρχείου εισόδου σε κώδικα για FlexPDE...103 Β) ΑΝΑΛΥΣΗ ΜΟΝΙΜΗΣ ΚΑΤΑΣΤΑΣΗΣ...106 1) Σταθερή θερμοκρασία αριστερά - Σταθερή θερμοκρασία δεξιά...106 ) Είσοδος σταθερής θερμοροής αριστερά - Σταθερή θερμοκρασία δεξιά...113 Γ) ΧΡΟΝΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ...10 1) Σταθερή θερμοκρασία αριστερά - Σταθερή θερμοκρασία δεξιά...10 ) Είσοδος σταθερής θερμοροής αριστερά - Σταθερή θερμοκρασία δεξιά...16 ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Β - ΚΩΔΙΚΑΣ FLEXPDE...133 Α) ΑΝΑΛΥΣΗ ΜΟΝΙΜΗΣ ΚΑΤΑΣΤΑΣΗΣ...133 1) Σταθερή θερμοκρασία αριστερά - Σταθερή θερμοκρασία δεξιά...133 ) Είσοδος σταθερής θερμοροής αριστερά - Σταθερή θερμοκρασία δεξιά...134 5

ΜΕΤΑΔΟΣΗ ΘΕΡΜΟΤΗΤΑΣ 1.1 Γενικά Η θερμότητα ορίζεται ως η μορφή ενέργειας που μεταδίδεται μέσα από το όριο ενός θερμοδυναμικού συστήματος συγκεκριμένης θερμοκρασίας προς ένα άλλο σύστημα ή στο περιβάλλον που βρίσκεται σε χαμηλότερη θερμοκρασία, λόγω ακριβώς αυτής της διαφοράς θερμοκρασίας των δύο συστημάτων. Η θερμότητα μεταδίδεται πάντα από σύστημα μεγαλύτερης προς σύστημα χαμηλότερης θερμοκρασίας. Η μοναδική αιτία αυτής της μεταφοράς ενέργειας είναι η διαφορά θερμοκρασίας. Πρέπει να σημειωθεί ότι το ίδιο το σύστημα δεν περιέχει θερμότητα. Η θερμότητα μπορεί να οριστεί μόνο στα όρια του συστήματος, κατά τη διαδικασία της μεταφοράς της από ένα σύστημα σε ένα άλλο και για όσο χρόνο διαρκεί η μεταφορά. Μετάδοση θερμότητας είναι η μεταφορά ενέργειας λόγω θερμοκρασιακής διαφοράς. Έτσι όταν υπάρχει θερμοκρασιακή διαφορά μεταξύ δύο εργαζόμενων μέσων ή δύο συστημάτων παρατηρείται μετάδοση θερμότητας από το θερμότερο προς το ψυχρότερο. Υπάρχουν τρεις διαφορετικοί μηχανισμοί με τους οποίου γίνεται αυτή η μεταφορά ενέργειας. Ο πρώτος μηχανισμός αναφέρεται σε ακίνητο μέσο (στερεό, υγρό ή αέριο) και ονομάζεται αγωγή (conduction). Ο δεύτερος μηχανισμός αναφέρεται σε μετάδοση θερμότητας μεταξύ μιας στερεής επιφάνειας και ενός κινούμενου ρευστού και ονομάζεται συναγωγή (convection). Ο τρίτος μηχανισμός στηρίζεται στο γεγονός ότι κάθε σώμα πεπερασμένης θερμοκρασίας εκπέμπει ηλεκτρομαγνητική ακτινοβολία. Έτσι μεταξύ δύο σωμάτων διαφορετικής θερμοκρασίας θα υπάρχει μετάδοση θερμότητας, χωρίς την ανάγκη παρουσίας κάποιου ενδιάμεσου σώματος, με την εφαρμογή του τρίτου μηχανισμού, της θερμικής ακτινοβολίας (thermal radiation). Αγωγή Στην αγωγή έχουμε μεταφορά ενέργειας από σωματίδια μεγαλύτερης ενέργειας σε σωματίδια 6

χαμηλότερης ενέργειας ενός υλικού, λόγω αλληλεπιδράσεων μεταξύ των σωματιδίων. Όταν δύο σώματα, ή σωματίδια, με διαφορετικές θερμοκρασίες έλθουν σε άμεση επαφή, πραγματοποιείται μετάδοση θερμότητας από το θερμότερο προς το ψυχρότερο. Η θερμοκρασία είναι μέτρο της κινητικής ενέργειας της τυχαίας κίνησης των μορίων ενός σώματος. Αύξηση της θερμοκρασίας σημαίνει αύξηση της κινητικής ενέργειας. Τα μόρια περιοχής μεγάλης θερμοκρασίας συγκρούονται με τα γειτονικά τους, μικρότερης θερμοκρασίας και μεταφέρουν σε αυτά ένα μέρος της κινητικής τους ενέργειας. Ο μηχανισμός αυτός μετάδοσης ενέργειας ονομάζεται αγωγή θερμότητας. Αποτελεί το μηχανισμό μετάδοσης θερμότητας στα στερεά σώματα. Στα μέταλλα συμβάλλουν στην αγωγή θερμότητας και τα ελεύθερα ηλεκτρόνια. Μαθηματικά η μετάδοση θερμότητας με αγωγή περιγράφεται από τον εμπειρικό νόμο του Fourier σύμφωνα με τον οποίο: H πυκνότητα θερμορροής, q [W/m ], που οφείλεται στην αγωγή θερμότητας είναι ανάλογη και αντιθέτου πρόσημου προς την κλίση της θερμοκρασίας. Αν k ο συντελεστής αναλογίας, τότε για μονοδιάστατο πρόβλημα: q dt k dx =. Η σταθερά αναλογίας k, ονομάζεται συντελεστής θερμικής αγωγιμότητας, έχει διαστάσεις W/(m.K) και είναι χαρακτηριστικό του υλικού. Συναγωγή Η μετάδοση θερμότητας με συναγωγή είναι σύνθεση δύο μηχανισμών. Εκτός από τη μεταφορά ενέργειας με αγωγή μεταξύ των μορίων έχουμε και μεταφορά ενέργειας λόγω της μακροσκοπικής κίνησης του ρευστού. Ας θεωρήσουμε ένα τυπικό πρόβλημα ψύξης με συναγωγή. Όπως φαίνεται στο σχήμα 1.1, ψυχρό αέριο θερμοκρασίας T ρέει γύρω από θερμό σώμα θερμοκρασίας Τs. Το ρευστό που βρίσκεται σε επαφή με την επιφάνεια του σώματος σχηματίζει ένα λεπτό στρώμα (στο οποίο η ταχύτητα μεταβάλλεται από μηδέν στην επιφάνεια μέχρι τη μέση ταχύτητα του ρευστού) το οποίο ονομάζεται οριακό στρώμα. Θερμότητα μεταφέρεται με αγωγή στο οριακό αυτό στρώμα και στη συνέχεια έχουμε, λόγω της κίνησης του ρευστού μεταφορά μάζας - ενέργειας από το λεπτό οριακό στρώμα στην υπόλοιπη μάζα του ρευστού όπου η ενέργεια διαχέεται με το μηχανισμό της αγωγής. Ανάλογα με τη ροή του ρευστού, η συναγωγή διακρίνεται σε : - εξαναγκασμένη συναγωγή, αν η ροή προκαλείται από εξωτερικά μέσα (π.χ. ανεμιστήρες, αντλίες, κλπ), - ελεύθερη (ή φυσική) συναγωγή, όταν η ροή προκαλείται από τις δυνάμεις άνωσης που οφείλονται στις διαφορές πυκνότητας λόγω των θερμοκρασιακών διαφορών στο ρευστό και - συνδυασμένη συναγωγή, όταν συνυπάρχουν και οι δύο προηγούμενες μορφές. Αυτό 7

συμβαίνει όταν η ταχύτητα του ρευστού, λόγω της εξαναγκασμένης κυκλοφορίας, είναι μικρή, ενώ οι δυνάμεις της άνωσης είναι μεγάλες. Σχήμα 1.1 Μετάδοση θερμότητας με συναγωγή γύρω από σώμα. Ανεξάρτητα από τον τύπο της συναγωγής, αυτή περιγράφεται μαθηματικά από το νόμο ψύξης του Newton. q= h(t T ) Η πυκνότητα θερμοροής, q δηλαδή, είναι ανάλογη της διαφοράς θερμοκρασιών επιφανείας Ts και ρευστού T. Ο συντελεστής αναλογίας h ονομάζεται συντελεστής συναγωγής και έχει διαστάσεις W/(m K). Ο συντελεστής αυτός εμπεριέχει όλες τις παραμέτρους που επηρεάζουν την συναγωγή. s Ακτινοβολία Όλα τα σώματα σε θερμοκρασία μεγαλύτερη από τη θερμοκρασία του απολύτου μηδενός (0 Κ) εκπέμπουν ενέργεια υπό μορφή ακτινοβολίας. Η ενέργεια που ακτινοβολείται μπορεί να θεωρηθεί ότι μεταφέρεται με ηλεκτρομαγνητικά κύματα, σύμφωνα με την κλασσική ηλεκτρομαγνητική θεωρία, ή από φωτόνια (φορείς μεταφοράς ενέργειας) σύμφωνα με την κβαντομηχανική. Συνήθως για την εξήγηση των φαινόμένων της ακτινοβολίας ακολουθείται η ηλεκτρομαγνητική θεωρία. Η ένταση της ροής ενέργειας που εκπέμπεται εξαρτάται από τη θερμοκρασία του σώματος και τη φύση της επιφάνειάς του. Σε αντίθεση με την αγωγή και την συναγωγή όπου για τη μεταφορά της ενέργειας απαιτείται η ύπαρξη μέσου, στην ακτινοβολία κάτι τέτοιο δεν απαιτείται. Στο κενό μάλιστα η ακτινοβολία μεταφέρεται πιο αποτελεσματικά. Η μέγιστη πυκνότητα θερμοροής εκπέμπεται από ιδεατό σώμα που ονομάζεται μέλαν και δίνεται από το νόμο των Stefan-Boltzmann: 4 q = στ s όπου Ts [Κ] είναι η απόλυτη θερμοκρασία του σώματος και σ είναι η σταθερά των Stefan- Boltzmann, είναι δε σ=5,67x10-8 W/m K 4. 8

Η θερμοροή που εκπέμπεται από πραγματικό σώμα δίνεται από τη σχέση: 4 q = εστ s όπου ε είναι ο συντελεστής εκπομπής 0 ε 1 Αντίστροφα η ακτινοβολία που απορροφά ένα σώμα από την ακτινοβολία των σωμάτων που το περιβάλλουν είναι: q = α q in όπου α ο συντελεστής απορρόφησης 0 α 1 Στην περίπτωση μιας τεφρής επιφάνειας για την οποία ισχύει ε=α, η καθαρή συναλλαγή θερμικής ακτινοβολίας μεταξύ της επιφάνειας αυτής και του περιβάλλοντος θα είναι: όπου Τp η θερμοκρασία περιβάλλοντος. q =εσ( Τ T ) 4 4 s p Συχνά η ακτινοβολούμενη θερμότητα από ψυχρά σώματα μπορεί να αγνοηθεί συγκρινόμενη με την αγωγή και τη συναγωγή. Οι διαδικασίες όμως μεταφοράς θερμότητας που λαμβάνουν χώρα σε υψηλές θερμοκρασίες περικλείουν σημαντικό ποσοστό ακτινοβολίας. Σημείωση: Η θερμοκρασία μπορεί να εκφρασθεί είτε σε C ή K όταν υπολογίζουμε θερμοκρασιακές διαφορές για συναγωγή ή αγωγή, πάντοτε όμως σε Κ για ακτινοβολία. 1. Αγωγή Ο φυσικός μηχανισμός Ο φυσικός μηχανισμός της αγωγής εξηγείται ευκολότερα αν θεωρήσουμε πως αυτή πραγματοποιείται σε ένα αέριο. Έστω λοιπόν αέριο που βρίσκεται μεταξύ δύο τοιχωμάτων, ενός θερμού και ενός ψυχρού, όπως φαίνεται στο Σχ..1, και έστω ότι αγνοείται η βαρύτητα. 9

Αγωγή θερμότητας μέσω αερίου που χωρίζει δύο στερεά τοιχώματα. Όπως αναφέρθηκε στην αρχή, η θερμοκρασία συνδέεται με την κινητική ενέργεια των μορίων. Όσο μεγαλύτερη είναι η θερμοκρασία των μορίων τόσο μεγαλύτερη είναι και η κινητική τους ενέργεια άρα και η ταχύτητά τους. Τα μόρια κοντά στο θερμό τοίχωμα συγκρούονται μ αυτό παίρνουν ένα μέρος της κινητικής ενέργειας των μορίων του τοιχώματος, οπότε αποκτούν γενικά μεγαλύτερη ταχύτητα. Στη συνέχεια αυτά συγκρούονται με τα γειτονικά τους προς τα δεξιά, αυξάνοντας μ αυτό τον τρόπο την ταχύτητα των γειτονικών αυτών μορίων. Το φαινόμενο συνεχίζεται μέχρι που τα μόρια στα δεξιά μεταβιβάζουν την κινητική τους ενέργεια στα μόρια του ψυχρού τοιχώματος. Έτσι η τυχαία αυτή κίνηση των μορίων προκαλεί μεταφορά (διάχυση) ενέργειας. Παρόμοια είναι η κατάσταση και στα υγρά. Σ αυτά όμως η μοριακή διάταξη είναι πυκνότερη, με αποτέλεσμα η διάχυση της ενέργειας να είναι ευκολότερη. Για το λόγο αυτό τα υγρά έχουν καλύτερη αγωγιμότητα από τα αέρια. Περίπου όμοια μπορεί να θεωρηθεί και η κατάσταση στα στερεά. Σ αυτά η διάχυση πραγματοποιείται μέσω των ταλαντώσεων των μορίων μέσα στο πλέγμα και των ταλαντώσεων του πλέγματος. Στη μετάδοση όμως μέσα σ ένα στερεό, συμβάλλει και η κίνηση των ελεύθερων ηλεκτρονίων. Έτσι σε ένα μη αγώγιμο υλικό, η μετάδοση οφείλεται αποκλειστικά στις ταλαντώσεις του πλέγματος, ενώ στους αγωγούς οφείλεται και στην κίνηση των ελευθέρων ηλεκτρονίων. Η πυκνή διάταξη των μορίων στα στερεά σε συνδυασμό με την ελεύθερη κίνηση των ηλεκτρονίων δίνουν τις καλύτερες συνθήκες διάχυσης της ενέργειας. Γι αυτό τα στερεά είναι οι καλύτεροι αγωγοί θερμότητας. 10

1..1 Ο Νόμος Fourier Aς θεωρήσουμε κυλινδρική ράβδο από κάποιο υλικό, μήκους Δx και διατομής Α, της οποίας η παράπλευρη επιφάνεια είναι μονωμένη, ενώ οι δύο βάσεις διατηρούνται σε σταθερές θερμοκρασίες Τ1 και Τ αντίστοιχα. Αν Τ1 > Τ τότε από την εμπειρία μας ξέρουμε ότι θα υπάρξει ροή θερμότητας από την επιφάνεια θερμοκρασίας Τ1 προς την επιφάνεια θερμοκρασίας Τ. Αγωγή σε σταθερή κατάσταση Αν μετρήσουμε το ανά μονάδα χρόνου ποσό θερμότητας που ρέει από τη μια επιφάνεια προς την άλλη, συναρτήσει των παραμέτρων -ΔΤ = Τ1 - Τ, Δx και Α θα παρατηρήσουμε ότι αυτό είναι ανάλογο της διατομής Α, της θερμοκρασιακής μεταφοράς -ΔΤ και αντιστρόφως ανάλογο του μήκους Δx της ράβδου. Είναι δηλαδή: 11 Q x ΔΤ Α Δ x Αν τώρα πάρουμε μια ράβδο από διαφορετικό υλικό και επαναλάβουμε την ίδια διαδικασία, θα παρατηρήσουμε ότι η προηγούμενη αναλογία ισχύει μεν και πάλι αλλά για ίδια Α, ΔΤ και Δx μετρούμε διαφορετικό ποσό θερμότητας. Πράγμα που σημαίνει ότι η ροή θερμότητας εξαρτάται και από το υλικό κατασκευής της ράβδου. Μπορούμε λοιπόν να γράψουμε: Qx ΔΤ = kα (1.1) Δ x Ο συντελεστής k [W/m.K] ονομάζεται συντελεστής θερμικής αγωγιμότητας και είναι ιδιότητα του υλικού. Αν Δx 0 η (1.1) γράφεται: dτ Q = kα dx x Η πυκνότητα θερμορροής q [W/(m x K)], δηλαδή το ανά μονάδα χρόνου και επιφάνειας ποσό θερμότητας που διασχίζει την επιφάνεια Α (κάθετη στη διεύθυνση x) θα είναι: q Q dt = x = x k (1.) A dx

Η εξίσωση (1.) είναι η μαθηματική διατύπωση του βασικού νόμου της μετάδοσης θερμότητας με αγωγή, του νόμου Fourier, σύμφωνα με το οποίο η πυκνότητα θερμοροής είναι ανάλογη και αντιθέτου πρόσημου με την κλίση της θερμοκρασίας dt/dx. Η πυκνότητα θερμοροής είναι διανυσματικό μέγεθος. Από την εξίσωση (1.) προκύπτει ότι αν η θερμοκρασία μειώνεται κατά τη διεύθυνση x τότε η πυκνότητα θερμοροής q x είναι θετική, ρέει δηλαδή προς τη διεύθυνση x. Αν η θερμοκρασία αυξάνεται με το x, το q x είναι αρνητικό, ρέει δηλαδή αντίθετα προς τη διεύθυνση x. Προφανώς σε κάθε περίπτωση η q x ρέει από τις υψηλότερες προς τις χαμηλότερες θερμοκρασίες. Η γενική έκφραση του νόμου του Fourier για τρισδιάστατο θερμοκρασιακό πεδίο T(x,y,z) είναι: όπου T k x x 0 0 T q= k T= 0 k ˆ ˆ ˆ y 0 = qx x + qy y + qz z y 0 0 kz T z T T T qx = kx qy = ky qz = kz x y z (1.3) Η (1.3) υπονοεί ότι το διάνυσμα της πυκνότητας θερμορροής είναι κάθετο στην ισοθερμοκρασιακή επιφάνεια. Το διάνυσμα T, η κλίση της θερμοκρασίας δηλαδή, έχει όπως είναι γνωστό το μέτρο και τη διεύθυνση της μέγιστης αύξησης της θερμοκρασίας σε κάθε σημείο. Το διάνυσμα αυτό επίσης, όπως φαίνεται από τη (1.3),είναι κάθετο στις ισόθερμες επιφάνειες. Στη διεύθυνση λοιπόν την κάθετη στις ισόθερμες επιφάνειες, η θερμοκρασιακή κλίση παίρνει τη μέγιστή της τιμή και επομένως στη διεύθυνση αυτή που είναι και η διεύθυνση των γραμμών ροής της θερμότητας, η πυκνότητα θερμορροής θα παίρνει τη μέγιστη της τιμή, όπως προκύπτει από την εξίσωση (1.3) του νόμου του Fourier. Το διάνυσμα της πυκνότητας θερμορροής είναι κάθετο στην ισόθερμη επιφάνεια 1

Συνοψίζοντας λοιπόν για το νόμο του Fourier, το θεμελιώδη θερμότητας με αγωγή, μπορούμε να πούμε ότι: Δεν προκύπτει από βασικές αρχές, αλλά είναι γενίκευση πειραματικών ενδείξεων Είναι η έκφραση ορισμού της θερμικής αγωγιμότητας Είναι διανυσματική έκφραση και δείχνει ότι η ροή θερμότητας είναι κάθετη σε μια ισόθερμη επιφάνεια με κατεύθυνση αυτή της μείωσης της θερμοκρασίας, και τέλος Ισχύει για όλα τα υλικά: στερεά, υγρά, αέρια. 1.. Η βασική εξίσωση της αγωγιμότητας (εξίσωση διάχυσης της θερμότητας) Για να μπορέσει να υπολογιστεί η πυκνότητα θερμοροής σε ένα τυχαίο σημείο ενός σώματος με τη χρησιμοποίηση του Νόμου του Fourier, είναι απαραίτητη η γνώση του θερμοκρασιακού πεδίου εντός του σώματος. Το θερμοκρασιακό πεδίο διαμορφώνεται με βάση τις συνθήκες που επικρατούν στα όρια του σώματος (οριακές συνθήκες) και την αρχική κατάσταση του σώματος (αρχικές συνθήκες). Ο όγκος αναφοράς για την εξαγωγή της εξίσωσης διάχυσης θερμότητας σε Καρτεσιανό σύστημα συντεταγμενων. Ας θεωρήσουμε ένα υλικό, το οποίο δεν κινείται, στο εσωτερικό του οποίου παίρνουμε στοιχειώδη όγκο αναφοράς, με διαστάσεις dx, dy, dz σε Καρτεσιανές συντεταγμένες. Στο εσωτερικό του σώματος επικρατεί θερμοκρασιακό πεδίο T = T(x, y, z, t), το οποίο μπορεί να μεταβάλλεται με το χρόνο t. Σε κάθε πλευρά του στοιχειώδους όγκου, λόγω της μεταβολής της θερμοκρασίας μεταξύ των πλευρών του στοιχειώδους κύβου, εμφανίζεται θερμοροή με διεύθυνση κάθετη στην εν λόγω πλευρά. Χρησιμοποιώντας ανάπτυγμα Taylor (όπου αμελούνται οι όροι μεγαλύτερης τάξης), οι όροι της θερμοροής μεταξύ δύο απέναντι πλευρών του στοιχειώδους κύβου συνδέονται με τις σχέσεις: 13

q = + x q y qy+ dy= qy+ dy y x qx+ dx qx dx q = + z z qz+ dz qz dz Ουσιαστικά γραμμικοποιείται η μεταβολή της θερμοροής μεταξύ δύο απέναντι πλευρών του στοιχειώδους κύβου, οπότε η μεταβολή της θερμοροής μεταξύ των δύο πλευρών ισούται με την κλίση της συνάρτησης της θερμοροής στη συγκεκριμένη διεύθυνση επί το στοιχειώδες πλάτος του κύβου στη διεύθυνση αυτή. Αν στο εσωτερικό του σώματος υπάρχει παραγωγή θερμότητας με ρυθμό q ανά μονάδα όγκου, τότε η ο ρυθμός παραγωγής θερμότητας στο εσωτερικό του στοιχειώδους όγκου θα δίδεται: E q dx dy dz παρ = Εάν το σώμα δεν εμφανίζει αλλαγή φάσης και η ενέργεια αποθηκεύεται στο εσωτερικό του μόνο ως θερμική εσωτερική ενέργεια, τότε ο ρυθμός μεταβολής της αποθηκευμένης θερμικής ενέργειας στον στοιχειώδη όγκο θα δίδεται: de αποθ dt T = E αποθ =ρcp dx dy dz t όπου ρ η πυκνότητα του υλικού και c p η ειδική θερμοχωρητικότητα του υλικού. Εφαρμόζοντας τον Πρώτο Θερμοδυναμικό Νόμο στον στοιχειώδη όγκο θα έχουμε: E + E Ε = E in παρ Αντικαθιστώντας τους όρους αγωγής θερμότητας στη θέση των όρων εισαγωγής και εξαγωγής ισχύος, καθώς και τους αντίστοιχους όρους παραγωγής θερμότητας και μεταβολής της εσωτερικής ενέργειας, προκύπτει: T qx + qy + qz + q dx dy dz qx+ dx qy+ dy qz+ dz =ρcp dx dy dz t out αποθ Αντικαθιστώντας τα αναπτύγματα Taylor προκύπτει: q q q T dx dy dz q dx dy dz c dx dy dz x y z t x y z + =ρ p Εφαρμόζοντας τον νόμο του Fourier σε κάθε μία από τις τρεις πλευρές του κύβου στις θέσεις x, y, z αντίστοιχα, προκύπτει: 14

x y z x y y ( ) q = k dydz ( ) q = k dx dz ( ) q = k dx dy T x T y T z όπου οι όροι στις παρενθέσεις είναι τα εμβαδά των αντίστοιχων πλευρών. Αντικαθιστώντας στην έκφραση του Πρώτου Θερμοδυναμικού Νόμου και διαιρώντας με τον στοιχειώδη όγκο (dx, dy, dz), προκύπτει η βασική διαφορική εξίσωση διάχυσης θερμότητας: T T T T kx + ky + kz + q =ρ cp x x y y z z t Η λύση της παραπάνω διαφορικής με τη βοήθεια των κατάλληλων οριακών και αρχικών συνθηκών δίνει το θερμοκρασιακό πεδίο στο εσωτερικό του σώματος σα συνάρτηση των Καρτεσιανών συντεταγμένων και του χρόνου t. Ο συντελεστής θερμικής αγωγιμότητας k, μπορεί γενικά να είναι συνάρτηση της θέσης: k = k (x,y,z). Σε ομογενές μέσο όπου το k είναι ανεξάρτητο της θέσης, η πιο πάνω γράφεται: T T T q 1 T + + + = x y z k α t όπου k α= [m /s] είναι ο συντελεστής θερμικής διάχυσης. ρ c p Για μόνιμα θερμοκρασιακά πεδία η παραπάνω σχέση απλοποιείται περισσότερο, καταλήγοντας στη διαφορική εξίσωση Poisson: T T T q + + = x y z k ενώ αν δεν υπάρχουν διανεμημένες πηγές θερμότητας στο εσωτερικό του σώματος προκύπτει η διαφορική εξίσωση Laplace: T T T + + = 0 x y z 15

1..3 Οριακές και αρχικές συνθήκες Στην πράξη, το κεντρικό πρόβλημα είναι η επίλυση της εξίσωσης αγωγής για την εύρεση της θερμοκρασίας T(x, y, z, t) σαν συνάρτηση της θέσης (x, y, z) και του χρόνου t. Για τον προσδιορισμό του πεδίου T(x, y, z, t) είναι ακόμα απαραίτητο να έχουμε: Τις αρχικές συνθήκες του προβλήματος, δηλαδή σχέσεις ή/και μεγέθη του πεδίου τη χρονική στιγμή t = 0 Τις οριακές συνθήκες του προβλήματος, δηλαδή σχέσεις ή/και μεγέθη του πεδίου σε συγκεκριμένες θέσεις (x, y, z). Οι σχέσεις ή/και τα μεγέθη αυτά αφορούν συνήθως σε οριακές επιφάνειες του πεδίου. Στην περίπτωση μόνιμης κατάστασης τα μεγέθη του πεδίου είναι ανεξάρτητα του χρόνου, οπότε επαρκούν οι οριακές συνθήκες για τον προσδιορισμό του πεδίου T(x, y, z). Επειδή η χρονική παράγωγος είναι πρώτης τάξης, μία μόνο αρχική συνθήκη απαιτείται, ενώ αντίθετα, επειδή οι χωρικές παράγωγοι είναι δεύτερης τάξης απαιτούνται δυο οριακές συνθήκες για κάθε διεύθυνση. Είδη οριακών συνθηκών Οριακή συνθήκη 1ου είδους ή συνθήκη Dirichlet. Αντιστοιχεί στην κατάσταση στην οποία η θερμοκρασία Ts της επιφάνειας είναι σταθερή. Οριακή συνθήκη ου είδους ή συνθήκη Neumann. Αντιστοιχεί στην κατάσταση στην οποία η πυκνότητα θερμορροής q στην επιφάνεια, είναι σταθερή. Ειδική περίπτωση της συνθήκης αυτής είναι η μονωμένη πλήρως ή αδιαβατική επιφάνεια. Οριακή συνθήκη 3ου είδους. Αντιστοιχεί στην κατάσταση θέρμανσης (ή ψύξης) της επιφάνειας με συναγωγή. 16

Οριακές συνθήκες της εξίσωσης αγωγής (μονοδιάστατο πρόβλημα, επιφάνεια στη θέση x=0 με τη ροή θερμότητας προς τη θετική κατεύθυνση x) 1. Σταθερή θερμοκρασία επιφάνειας Τ(0,t)=T s. Σταθερή πυκνότητα θερμοροής στην επιφάνεια α) Πεπερασμένη πυκνότητα θερμοροής T k x = 0= x q s β) Αδιαβατική ή μονωμένη επιφάνεια T x x = 0 = 0 3. Συναγωγή στην επιφάνεια T = x k x = 0 h(t T(0,t)) 17

ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΜΕΤΑΔΟΣΗΣ ΘΕΡΜΟΤΗΤΑΣ ΣΕ ΑΝΟΜΟΙΟΓΕΝΕΣ ΥΛΙΚΟ ΜΕ ΤΗ ΜΕΘΟΔΟ ΤΩΝ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΩΝ.1 Εισαγωγή στη μέθοδο των πεπερασμένων στοιχείων Η βασική ιδέα στη μέθοδο των πεπερασμένων στοιχείων(finite Element Method - FEM) είναι να βρούμε τη λύση σε ένα περίπλοκο πρόβλημα αντικαθιστώντας το με ένα απλούστερο. Φυσικά, η λύση που θα προκύψει δε θα είναι ακριβής αλλά μια προσεγγιστική λύση που ανάλογα με τα χαρακτηριστικά που θα επιλεγούν θα πλησιάζει ανάλογα και την πραγματική λύση. Στη μέθοδο των πεπερασμένων στοιχείων, το αντικείμενο-σώμα στο οποίο θέλουμε να υπολογίσουμε την κατανομή μιας μεταβλητής (όπως παραμόρφωσης ή θερμοκρασίας). θεωρείται ότι αποτελείται από πολλά και μικρά διαδοχικά τμήματα ή υποπεριοχές, που ονομάζονται πεπερασμένα στοιχεία (finite elements).αυτές οι δομικές μονάδες συνδέονται μεταξύ τους σε κόμβους (nodes). Στη διακριτοποίηση αυτή του προβλήματος, πρέπει πάντοτε να τοποθετούνται κόμβοι στα όρια του φυσικού σώματος και στα σύνορα όπου έχουμε διαφορετικά υλικά ή κενά. Εφόσον θέλουμε να βρούμε την κατανομή της μεταβλητής μέσα στο σώμα, γι αυτό θεωρούμε ότι η κατανομή της μεταβλητής αυτής μπορεί να προσεγγιστεί από μια απλή συνάρτηση για κάθε πεπερασμένο στοιχείο, που δεν είναι τίποτα άλλο παρά μια συνάρτηση των τιμών της μεταβλητής που μελετάμε στους κόμβους του στοιχείου. Με αυτόν τον τρόπο συγκεντρώνουμε ένα πλήθος εξισώσεων, μετά από την εφαρμογή σε κάθε στοιχείο, με αγνώστους τις τιμές της μεταβλητής στους κόμβους των στοιχείων. Εφαρμόζοντας τις οριακές συνθήκες του φυσικού προβλήματος (πχ γνωστές θερμοκρασίες σε εξωτερικές επιφάνειες) το σύστημα των εξισώσεων μπορεί να λυθεί και να βρεθεί τελικά η κατανομή της μεταβλητής μέσα στο σώμα. Συνήθως η μέθοδος των πεπερασμένων στοιχείων μπορεί να συνοψιστεί στα ακόλουθα βήματα: 18

Βήμα 1 - Διακριτοποίηση του σώματος-χώρου Σε αυτό το βήμα πρέπει να χωριστεί το σώμα σε μικρά τμήματα μη αλληλοεπικαλυπτόμενες υποπεριοχές. Άρα πρέπει να αποφασιστεί ο τύπος, το μέγεθος, ο αριθμός και η διάταξη των πεπερασμένων στοιχείων. Εδώ πρέπει να σημειωθεί ότι όσο μικρότερα είναι τα στοιχεία, αυξάνεται η ακρίβεια της λύσης αλλά με σημαντικό υπολογιστικό κόστος ιδιαίτερα για προβλήματα 3 διαστάσεων. Πέρα όμως από κάποια τιμή η ακρίβεια στη λύση δε βελτιώνεται. Βήμα - Επιλογή κατάλληλης προσεγγιστικής συνάρτησης Πρέπει να επιλεγεί ο τύπος της προσεγγιστικής συνάρτησης που αντιπροσωπεύει την άγνωστη μεταβλητή μέσα σε κάθε πεπερασμένο στοιχείο. Πρέπει να είναι απλή υπολογιστικά και συνάμα πρέπει να τηρεί κάποιες προϋποθέσεις σύγκλισης. Συνήθως είναι πολυωνυμική συνάρτηση. Βήμα 3 - Παραγωγή του πίνακα ακαμψίας(stiffness matrix) και του διανύσματος φορτίου (load vector) για κάθε πεπερασμένο στοιχείο. Εφαρμόζεται στο παραπάνω μοντέλο είτε μια variational principle ή χρησιμοποιώντας τις συνθήκες ισορροπίας(equilibrium conditions) που ισχύουν για το δεδομένο φυσικό πρόβλημα για να ληφθούν οι πίνακες ακαμψίας και τα διανύσματα φορτίου. Εδώ λαμβάνονται υπόψιν και οι τύπου Neumann οριακές συνθήκες του προβλήματος. Βήμα 4 Συνάθροιση Σε αυτό το βήμα κάνουμε τη συναρμολόγηση όλων των στοιχείων υπολογίζοντας τη συνεισφορά τους στο συνολικό πρόβλημα. Ιδιαίτερη προσοχή πρέπει να δοθεί στους κοινούς κόμβους των πεπερασμένων στοιχείων. Έτσι λαμβάνουμε το συνολικό πίνακα ακαμψίας [Κ] και το συνολικό διάνυσμα φορτίου{f} δημιουργώντας το σύστημα: 19

[K]{T}={f} όπου {T} είναι οι άγνωστες τιμές των κόμβων Βήμα 5 - Επίλυση του συστήματος. Επίλυση του πιο πάνω συστήματος αφού πρώτα ληφθούν υπόψιν οι οριακές συνθήκες τύπου Dirichlet που καθορίζουν τιμές σε κάποιους κόμβους. Έτσι το πιο πάνω σύστημα πρέπει να αναπροσαρμοστεί για να μπορεί να λυθεί. Βήμα 6 - Υπολογισμός δευτερευόντων χαρακτηριστικών Στη μετάδοση θερμότητας συνήθως είναι η θερμοροή.. Διατύπωση του προβλήματος και η εφαρμογή της μεθόδου των πεπερασμένων στοιχείων..1 Περιγραφή προβλήματος Αντικείμενο αυτής της διπλωματικής εργασίας είναι ο υπολογισμός της θερμικής αντίστασης και της ισοδύναμης θερμικής αγωγιμότητας ενός τούβλου οποιαδήποτε γεωμετρίας (διαστάσεων, κενών) που περιβάλλεται από 0,5cm συγκολλητικής κονίας με ή και χωρίς 0,5cm κονίας μεταξύ δύο διαδοχικών τούβλων που βρίσκονται στην ίδια σειρά (Vertical Mortar Joint=VMJ). Στην πορεία προς την επίλυση αυτού του προβλήματος προκύπτουν και άλλα ενδιαφέροντα αποτελέσματα όπως είναι το θερμοκρασιακό πεδίο και η διάδοση της θερμοροής εντός του τούβλου. Δεδομένα του προβλήματος είναι η θερμική αγωγιμότητα του τούβλου, της συγκολλητικής κονίας και φυσικά η γεωμετρία του τούβλου. Το πρόβλημα λύνεται για δύο καταστάσεις: τη μόνιμη κατάσταση (όπου έχουμε και τον υπολογισμό θερμικής αντίστασης και της ισοδύναμης θερμικής αγωγιμότητας) και τη μεταβατική κατάσταση, κάνουμε δηλαδή χρονική ανάλυση. Για κάθε τέτοια περίπτωση επιλύουμε το πρόβλημα για δύο διαφορετικές περιπτώσεις: i) Σταθερή θερμοκρασία αριστερά και δεξιά και ii) είσοδο σταθερής πυκνότητας θερμοροής στα αριστερά και σταθερή θερμοκρασία στα δεξιά. Πάντα όλες οι υπόλοιπες επιφάνειες θεωρούνται μονωμένες. Οι συντελεστές θερμικής αγωγιμότητας του τούβλου και της συγκολλητικής κονίας μεταβάλλονται λόγω υγρασίας βάση του ISO 10456 κάτι που αναλύεται στην παράγραφο 0

3.. Ακόμη τα διάκενα του αέρα έχουν θερμική αντίσταση ανάλογα με τη γεωμετρία τους όπως προβλέπεται στο ISO 6946 και αναλύεται στην παράγραφο 3.3... Εφαρμογή της μεθόδου Βήμα 1 - Διακριτοποίηση του σώματος-χώρου Το πρόβλημα λύνεται στις 3 διαστάσεις αν και για την περίπτωση χωρίς VMJ θα μπορούσε να αντιμετωπιστεί στις δύο διαστάσεις αφού το θερμοκρασιακό πεδίο τότε είναι το ίδιο σε κάθε τομή που φαίνεται η γεωμετρία των διακένων. Στην υλοποίηση του προγράμματος θα θεωρήσουμε το τούβλο ότι στέκεται με τα κενά να είναι πάνω στην επιφάνεια στήριξης όπως φαίνεται παρακάτω. 1

Λόγω της γεωμετρικής φύσης του σώματος είναι λογικό και επόμενο να επιλέξουμε εξαεδρικά πεπερασμένα στοιχεία και συγκεκριμένα κυβικά ή ορθογωνικά, ως τα χωρία που θα το απαρτίζουν. Έτσι η αναπαράστασή και η υπολογιστική διαδικασία θα καταστεί σαφώς πιο εύκολη. Όλα τα πεπερασμένα στοιχεία θα είναι πανομοιότυπα και όσο μικρότερα είναι τόσο μεγαλύτερη ακρίβεια θα έχουμε με το ανάλογο βέβαια υπολογιστικό κόστος. Πιο πάνω φαίνεται ένα πεπερασμένο στοιχείο, με μήκος a, πλάτος b και ύψος c και με τοπική αρίθμηση κόμβων 1-8. Η τοπική αυτή αρίθμηση ισχύει για κάθε πεπερασμένο στοιχείο. Στην πιο πάνω κάτοψη παρουσιάζεται ο τρόπος που χρησιμοποιείται για την αρίθμηση των πεπερασμένων στοιχείων με μπλε χρώμα και με κόκκινο χρώμα η ολική αρίθμηση των κόμβων. Εννοείται βέβαια ότι κάθε πεπερασμένο στοιχείο έχει τους άλλους 4 του κόμβους

(με τοπική αρίθμηση 5-8) στο από πάνω επίπεδο του z. Η αρίθμηση συνεχίζει με τον ίδιο τρόπο από εκεί που τελειώνει (στο τελείως πάνω δεξιά τετραγωνάκι) σε κάθε επίπεδο του z. Βήμα - Επιλογή κατάλληλης προσεγγιστικής συνάρτησης Έχουμε το παρακάτω πεπερασμένο στοιχείο: Λόγω της γεωμετρίας του σχήματος είναι προτιμότερο να χρησιμοποιήσουμε τις καρτεσιανές συντεταγμένες. Η θερμοκρασία Τ σε οποιοδήποτε σημείο σε αυτό το πεπερασμένο στοιχείο μπορούμε να θεωρήσουμε ότι προκύπτει από τη συνάρτηση: T =α 1+α x+α3 y+α4 z+α5 x y+α6 x z+α7 y z+α8 x y z Επομένως στον κόμβο 1 (0,0,0) θα ισχύει T 1 = α 1 Στον κόμβο (a,0,0) θα ισχύει T T1 T =α 1+α a α = a Στον κόμβο 4 (0,b,0) θα ισχύει T4 T1 T4 =α 1+α3 b α 3 = b Στον κόμβο 3 (a,b,0) θα ισχύει T =α +α a+α b+α 4 a b α = 3 1 3 5 5 T + T T T 1 3 4 4 a b Στον κόμβο 5 (0,0,c) θα ισχύει T5 T1 T5 =α 1 +α4 c α 4 = c Στον κόμβο 6 (a,0,c) θα ισχύει 3

T =α +α a+α c+α 4 a c α = 6 1 4 6 6 T + T T T 1 6 5 4 a c Στον κόμβο 8 (0,b,c) θα ισχύει T =α +α b+α c+α 4 b c α = 6 1 3 4 7 7 T + T T T 1 8 4 5 4 b c Στον κόμβο 7 (a,b,c) θα ισχύει T =α +α a+α b+α c+α 4 a b+α 4 a c+α 4 b c+α 8 a b c 7 1 3 4 5 6 7 8 T + T + T + T T T T α 8 = 8abc 4 5 7 1 3 8 Άρα = T T T T T T T + T T T T + T T T + + + + + a b c 4 a b 4 a c + T1+ T8 T4 T5 T + T4 + T5 + T7 T1 T3 T8 y z+ x y z 4 b c 8 a b c 1 4 1 5 1 1 3 4 1 6 5 T T1 x y z x y x z Τελικά, ομαδοποιώντας τους όρους ως προς τα T παίρνουμε τη θερμοκρασία οπουδήποτε i μέσα στο πεπερασμένο στοιχείο ως συνάρτηση των θερμοκρασιών των κορυφών του. T= N1T1+ NT + N3T3 + N4T4 + N5T5 + N6T6 + N7T7 + N8T (.1) 8 όπου N N N N N N 1 3 4 5 6 (x a)(y b)(z c) = 8abc x (y b)(z c) = 8abc x y (z c) = 8abc (x a) y (z c) = 8abc (x a)(y b) z = 8abc x (y b) z = 8abc 4

N N 7 8 x y z = 8abc (x a) y z = 8abc Τα x,y,z στις πιο πάνω εξισώσεις είναι οι συντεταγμένες του τυχαίου σημείου μέσα στο πεπερασμένο στοιχείο οι οποίες έχουν ως αναφορά τον κόμβο 1 (0,0,0) της τοπικής αρίθμησης. Τα Ν i λέγονται συναρτήσεις βάσεις. Βήμα 3 Παραγωγή εξισώσεων για τα πεπερασμένα στοιχεία Για να μπορέσουμε να πάρουμε τις εξισώσεις για τα πεπερασμένα στοιχεία, δηλαδή τις σχέσεις που συνδέουν τις θερμοκρασίες στους κόμβους των πεπερασμένων στοιχείων με τα διανύσματα φορτίου(load vectors) θα πρέπει να ερμηνεύσουμε τη μετάδοση θερμότητας σε μια ολοκληρωτική μορφή. Γι αυτό το σκοπό μπορούν να χρησιμοποιηθούν δύο μέθοδοι. Η πρώτη μέθοδος(variational approach) έχει να κάνει με την εύρεση μιας συναρτησιακής(functional) η ελαχιστοποίηση της οποίας καταλήγει στην ολοκληροδιαφορική εξίσωση που μας ενδιαφέρει. Η μέθοδος αυτή απαιτεί στοιχεία από το λογισμό των μεταβολών. Η δεύτερη μέθοδος είναι η εφαρμογή μιας διατύπωσης σταθμισμένων υπολοίπων(weighted residuals) στης διαφορική εξίσωση της μεταφοράς θερμότητας. Μια πολύ συνηθισμένη προσέγγιση αυτού του τύπου είναι η διατύπωση Galerkin. Υπενθυμίζεται ότι η γενική εξίσωση αγωγής για τη μετάδοση θερμότητας σε ανομοιογενές υλικό είναι: T ( k( x,y,z) T) + q =ρ cp (.) t ή πιο αναλυτικά: T T T T k( x,y,z) + k( x,y,z) + k( x,y,z) + q =ρ cp (.3) x x y y z z t Επειδή η διαφορική εξίσωση είναι δευτέρου βαθμού ως προς το χώρο και πρώτου βαθμού ως προς το χρόνο χρειαζόμαστε για την επίλυσή της δύο οριακές και μία αρχική συνθήκη. Οριακές συνθήκες: T T α) = 0 στην επιφάνεια S 1 για t>0 (.4.α) T T T k x,y,z lx + k x,y,z ly + k x,y,z lz + q= 0 x y z β) ( ) ( ) ( ) στην επιφάνεια S για 5

t>0 (.4.β) T T T k x,y,z lx + k x,y,z ly + k x,y,z lz + h (T T ) = 0 x y z γ) ( ) ( ) ( ) στην επιφάνεια S 3 για t>0(.4.γ) Αρχική συνθήκη T= T b για t=0 (.5) που δηλώνει την αρχική θερμοκρασία του σώματος. Στις παραπάνω εξισώσεις το q είναι η εσωτερική παραγωγή θερμικής ενέργεια ανά μονάδα όγκου και χρόνου και k(x,y,z) είναι ο συντελεστής θερμικής αγωγιμότητας για μη ομογενή υλικά που είναι συνάρτηση της θέσης (για ομογενή υλικά τότε k(x,y,z)=k). Ακόμη το q είναι η πυκνότητα θερμοροής (heat flux) στη συνοριακή επιφάνεια, h είναι ο συντελεστής θερμικής συναγωγής, Τ είναι η θερμοκρασία του περιβάλλοντος ρευστού, l x, l y, l z είναι τα συνημίτονα κατεύθυνσης του κάθετου πάνω στην επιφάνεια διανύσματος. Ακόμη ρ είναι η πυκνότητα του υλικού και c p η ειδική θερμοχωρητικότητά του (specific heat capacity). S 1 είναι η επιφάνεια που έχουμε σταθερή θερμοκρασία, S η επιφάνεια που έχουμε σταθερή πυκνότητα θερμοροής και S 3 η επιφάνεια που έχουμε συναγωγή. Εδώ πρέπει να σημειωθεί ότι η οριακή συνθήκη (.4.α) είναι γνωστή ως συνθήκη Dirichlet και οι οριακές συνθήκες (.4.β) και (.4.γ) ως συνθήκες Neumann. Προσέγγιση Galerrkin Αυτή η προσέγγιση είναι τύπου σταθμισμένων υπολοίπων (weighted residuals) όπου γενικά αν έχουμε τη διαφορική εξίσωση Lφ=g, όπου L ένας διαφορικός τελεστής, φ η άγνωστη συνάρτηση και g μια γνωστή συνάρτηση διέγερσης. Τότε απαιτούμε φ'(lφ g)dω= 0 φ' όπου φ είναι οι συναρτήσεις δοκιμής και για την Ω προσέγγιση Galerkin αυτές λαμβάνονται ίσες με τις συναρτήσεις βάσεις Ν i. Τώρα ακολουθούμε τα παρακάτω βήματα: Χωρίζουμε το υπό μελέτη χωρίο σε Ε πεπερασμένα στοιχεία με p κόμβους το καθένα. 6

Σε ένα πεπερασμένο στοιχείο e, η θερμοκρασία του δίνεται από τη σχέση (e) (e) T (x, y, z, t) [N(x, y, z)]{t } όπου [ Ν (x,y,z)] = [N 1(x,y,z) N (x,y,z)... N p(x, y,z)] = [N1 N... N p] (.9) (e) {T } = T(t) 1 T(t) =... T(t) p (e) Εφαρμόζοντας τη διατύπωση Galerkin στο πρόβλημα της μεταφοράς θερμότητας παίρνουμε: T T T T N k x,y,z + k x,y,z + k x,y,z + q ρ c dv = 0 i = 1,,...,p (e) (e) (e) (e) i ( ) ( ) ( ) (e) x x y y z z t V Το πρώτο ολοκλήρωμα της πιο πάνω εξίσωσης χρησιμοποιώντας το θεώρημα του Green μπορεί να γραφεί σαν (e) (e) (e) T Ni T T N i k( x, y,z) dv = k( x, y,z) dv + Nik( x, y,z) lxds x x x x x (e) (e) (e) V V S όπου l x είναι το συνημίτονο κατεύθυνσης κατά το x του προς τα έξω κάθετου πάνω στην επιφάνεια διανύσματος. Εφαρμόζοντας το πιο πάνω για κάθε όρο παίρνουμε: (e) (e) (e) Ni T Ni T Ni T k( x,y,z) + k( x,y,z) + k( x,y,z) dv (e) x x y y z z V (e) (e) (e) T T T + Ni k( x, y,z) lx + k( x, y, z) ly + k( x, y,z) lz ds (e) x y z S (e) T + Ni q ρ c dv = 0, i = 1,,...,p (e) t V Τώρα, εφόσον το όριο του στοιχείου S (e) αποτελείται από τα S (e) (e) 1, S (.10) (e) και S 3 το επιφανειακό ολοκλήρωμα πάνω στην S 1 (e) θα είναι μηδέν (εφόσον έχουμε σταθερή Τ 0 στην 7

S (e) 1 επομένως οι παράγωγοι του Τ (e) ως προς τα x,y,z θα είναι μηδέν). Πάνω στις επιφάνειες S (e) και S (e) 3 πρέπει να τηρούνται οι οριακές συνθήκες (.4.β) και (.4.γ) αντίστοιχα, κάτι που γράφεται ως: S (e) (e) + S3 S (e) (e) (e) T T T Ni k( x,y,z) lx + k( x,y,z) ly + k( x,y,z) lz ds= x y z NqdS h(t T )ds (e) i 3 (e) (e) S3 (.11) Από την (.9), (.10) και (.11) παίρνουμε [K ]{T } {P } + [K ]{T } + [K ]{T } = {0} (e) (e) (e) (e) (e) (e) (e) 1 3 όπου τα στοιχεία των πινάκων [Κ (e) 1 ], [Κ (e) ], [Κ (e) 3 ], {P (e) }είναι (e) N N i j N N i j N N i j K1 ij = k( x,y,z) + k( x,y,z) + k( x,y,z) dv (e) x x y y z z V (e) K = h N N ds ( ) ij i j 3 S (e) 3 ( ) K = ρ c N N dv (e) 3 ij i j (e) V (e) i = i i + i 3 V S S P qndv qnds ht NdS (e) (e) (e) 3 Τελικά με τη διαδικασία συνάθροισης καταλήγουμε στο ακόλουθο σύστημα: E E E 3 + ( 1 + ) = (e) (e) (e) (e) [K ] {T} [K ] [K ] {T} {P } e= 1 e= 1 e= 1 όπου { Τ} συστήματος. είναι το διάνυσμα όλων των άγνωστων θερμοκρασιών των κόμβων του Τ1 {} Τ = Τ. Αντίστοιχα... Τ t Τ {} Τ = t... 1 Τελικά εισάγουμε την οριακή συνθήκη (.4.α) και την αρχική συνθήκη και λύνουμε το σύστημα. 8

Συγκεντρωτικά αποτελέσματα με τη μορφή πινάκων Για κάθε πεπερασμένο στοιχείο e, ισχύει: T [ C] + [ K]{ T} = { f } t όπου T [ C] = ρc[ N] [ N ]dv V (e) T T [ K ] = [ B ] [ D ][ B ]dv+ h[ N ] [ N ]ds3 V (e) { f} = q[ N] dv q[ N] ds + ht [ N] ds S (e) 3 T T T 3 (e) (e) (e) 3 V S S ( ) k x,y,z 0 0 [ D ] = 0 k( x,y,z) 0 0 0 k( x,y,z) N1 N N p... x x x N N Np = y y y N N 1 N p... z z z 1 [ ]... B Αφού υπολογίσουμε για κάθε πεπερασμένο στοιχείο τους πιο πάνω πίνακες προχωρούμε στη διαδικασία συνάθροισης(βήμα 4) οπότε και σχηματίζουμε το συνολικό σύστημα εξισώσεων. Σε αυτό εισάγουμε την οριακή συνθήκη α και την αρχική συνθήκη και τελικά το λύνουμε(βήμα 5). 9

Από τις πιο πάνω εξισώσεις παρατηρούμε ότι όταν δεν υπάρχουν εσωτερικές πηγές σε ένα στοιχείο (q = 0) ο αντίστοιχος όρος μηδενίζεται. Παρόμοια για μια μονωμένη επιφάνεια (q= 0 ή h = 0) οι αντίστοιχοι όροι πάλι μηδενίζονται. Έτσι για μια μονωμένη επιφάνεια, δε χρειάζεται να δηλώσουμε οτιδήποτε, κάτι που παρέχει μεγάλη διευκόλυνση. Στο δικό μας πρόβλημα, από τις πιο πάνω εξισώσεις για κάθε πεπερασμένο στοιχείο, θα έχουμε μόνο B D B T V (e) T [ ] [ ][ ]dv { } = {0} Βήμα 4 Συνάθροιση ---- Βήμα 5 - Επίλυση συστήματος Μέχρι σ αυτό το σημείο έχουμε βρει τους χαρακτηριστικούς πίνακες για κάθε ένα πεπερασμένο στοιχείο με βάση τις τοπικές συντεταγμένες και την τοπική αρίθμηση των κόμβων που το αποτελούν. Όμως υπάρχουν στοιχεία που γειτονεύουν με άλλα και άρα μοιράζονται τους ίδιους κόμβους. Άρα πρέπει εδώ να σχηματίσουμε το ολικό σύστημα που έτσι ώστε κάθε κόμβος να αναφέρεται μια και μόνο φορά, θα αναφερόμαστε δηλαδή στην ολική αρίθμηση των κόμβων στην οποία ο καθένας έχει διαφορετική τιμή. Θα δούμε με ένα παράδειγμα πως γίνεται αυτή η διαδικασία. Έστω ότι έχουμε το παρακάτω σχήμα: 30

Έστω ότι θέλουμε να πάρουμε το συνολικό πίνακα ακαμψίας (stiffness matrix) για τον κόμβο με ολική αρίθμηση 6. Αυτό τον κόμβο τον μοιράζονται τα στοιχεία,4,7,9,10. 31

τότε ο συνολικός πίνακας ακαμψίας για τον κόμβο 6 είναι: Όταν σχηματιστεί ο συνολικός πίνακας ακαμψίας του συστήματος πρέπει να εισάξουμε και τις οριακές συνθήκες τύπου Dirichlet (τύπου α)). Δηλαδή γνωρίζουμε τις τιμές U σε κάποιους κόμβους για το πιο πάνω παράδειγμα ή στο δικό μας πρόβλημα γνωρίζουμε τη θερμοκρασία κάποιας εξωτερικής επιφάνειας. Άρα αλλάζουμε τη μορφολογία των πιο πάνω πινάκων με απλή άλγεβρα έτσι ώστε να ικανοποιούνται τα νέα δεδομένα. Τελικά θα καταλήξουμε σε ένα σύστημα της μορφής [Κ]{Τ}={f} (για τη μόνιμη κατάσταση, καθότι για τη μεταβατική ανάλυση, transient analysis, θα ακολουθήσουμε διαφορετική προσέγγιση όπως θα φανεί παρακάτω) το οποίο και επιλύεται με μια αριθμητική μέθοδο. 3

Γενικός αλγόριθμος για τη συνάθροιση Βήμα 6 Υπολογισμός δευτερευόντων χαρακτηριστικών(θερμοροή) Στην περίπτωση της μετάδοσης θερμότητας, αυτό είναι η πυκνότητα της θερμοροής. Το διάνυσμα της θερμοροής στις καρτεσιανές συντεταγμένες δίνεται ως: q = q xˆ + q yˆ + q zˆ x y z όπου ( ) T x y ( ) T q = k x, y,z q = k x, y,z qz = k( x, y,z) T x y z και η αγωγιμότητα k παίρνει την τιμή στο συγκεκριμένο σημείο (x,y,z). Στην περίπτωσή μας με τα πεπερασμένα στοιχεία η πιο πάνω σχέση γίνεται: T T T q k x,y,z q k x,y,z q k x,y,z x y z (e) (e) (e) (e) (e) (e) x = ( ) y = ( ) z = ( ) Ακόμη βρήκαμε ότι η θερμοκρασία οπουδήποτε μέσα σε ένα πεπερασμένο στοιχείο δίνεται από τη σχέση: 33

οπότε (e) = 8 (e) (e) = i i i1 = T (x,y,z) [N(x,y,z)]{T } NT T N T N T N (e) 8 (e) 8 (e) 8 i (e) i (e) i (e) = Ti = Ti = Ti i= 1 i= 1 i= 1 x x y y z z Άρα οι συνιστώσες της θερμοροής σε κάθε στοιχείο δίνονται: N N N q k x,y,z T q k x,y,z T q k x,y,z T 8 8 8 (e) i (e) (e) i (e) (e) i (e) x = ( ) i y = ( ) i z = ( ) i i= 1 x i= 1 y i= 1 z Σε μορφή πινάκων το παραπάνω γράφεται ως: N1 N N8... (e) (e) x x x T 1 q x k( x,y,z) 0 0 (e) (e) (e) N T 1 N N8 q = qy 0 k( x,y,z) 0... = (e) y y y... q z 0 0 k( x,y,z) (e) N1 N N8 T8... z z z (e) (e) q = [ D][ B]{ T }.3 Αριθμητική ολοκλήρωση.3.1 Συναρτήσεις βάσης Η αναλυτική ολοκλήρωση των πιο πάνω εξισώσεων είναι πολύ επίπονη διαδικασία ακόμη και για τους σύγχρονους υπολογιστές, γι αυτό καταφεύγουμε στη χρήση της αριθμητικής ολοκλήρωσης Gauss που δίνει γρήγορα και με μεγάλη ακρίβεια το αποτέλεσμα. Η μέθοδος αυτή απαιτεί τη χρήση ενός νέου συστήματος συντεταγμένων ξ,η,ζ. Επομένως πρέπει να μετασχηματιστεί η ολοκληρωτέα συνάρτηση στις τοπικές συντεταγμένες ξ,η,ζ. Για το εξαεδρικό στοιχείο με 8 κόμβους οι συναρτήσεις βάσης στις τοπικές συντεταγμένες ξ,η,ζ προκύπτουν με την ίδια μεθοδολογία που ακολουθήθηκε και πιο πάνω. 34

1 N 1 = (1 ξ)(1 η)(1 ζ) 8 1 N = (1 +ξ)(1 η)(1 ζ) 8 1 N 3 = (1 +ξ )(1 +η)(1 ζ) 8 1 N 4 = (1 ξ )(1 +η)(1 ζ) 8 1 N 5 = (1 ξ)(1 η )(1 +ζ) 8 1 N 6 = (1 +ξ)(1 η )(1 +ζ) 8 1 N 7 = (1 +ξ )(1 +η )(1 +ζ) 8 1 N 8 = (1 ξ )(1 +η )(1 +ζ) 8 (.3.1) Αρχή των αξόνων στο νέο σύστημα συντεταγμένων θεωρείται το κέντρο του κύβου. Στο πιο πάνω σχήμα φαίνεται η τοπική αρίθμηση των κόμβων μαζί με τις συντεταγμένες τους στο νέο σύστημα. Οι συναρτήσεις βάσης συσχετίζουν τις συντεταγμένες στα δύο συστήματα με βάση τις ακόλουθες σχέσεις: 8 i= 1 8 i= 1 8 i= 1 i i i ( ) x = N ξ, η, ζ x ( ) y= N ξ, η, ζ y ( ) z= N ξ, η, ζ z i i i (.3.) όπου x i, y i, z i είναι οι καρτεσιανές συντεταγμένες των κορυφών του πεπερασμένου στοιχείου. Εφαρμόζοντας την παραγώγιση με τον κανόνα της αλυσίδας παίρνουμε: Ni Ni x Ni y Ni z = + + ξ x ξ y ξ z ξ Ni Ni x Ni y Ni z (.3.3) = + + η x η y η z η Ni Ni x Ni y Ni z = + + ζ x ζ y ζ z ζ 35

και με τη μορφή πινάκων γίνεται Ni Ni ξ x Ni Ni = J η y N i N i ζ z (.3.4) όπου J ο ιακωβιανός πίνακας x y z ξ ξ ξ x y z J = η η η x y z ζ ζ ζ (.3.5) Οπότε, αντικαθιστώντας τις σχέσεις των συντεταγμένων (.3.) στην εξίσωση (.3.5) ο ιακωβιανός πίνακας γίνεται: N1 N N8... x1 y1 z1 ξ ξ ξ N x 1 N N8 y z (.3.6) J =............ η η η N1 N N 8 x8 y8 z... 8 ζ ζ ζ Άρα η σχέση (3.4) μπορεί να γραφεί ως εξής: και άρα ο πίνακας Β είναι B i Ni Ni x ξ N 1 Ni J y η N i N i z ζ i = = (.3.7) 36

B N1 N N... 8 x x x N N N = = y y y N1 N N... 8 z z z [ ] 1 8 [ ]... B1 B... B8 (.3.8).3. Αριθμητική ολοκλήρωση Gauss Για το εξαεδρικό στοιχείο με οκτώ κόμβους ο ελάχιστος αριθμός σημείων ολοκλήρωσης που απαιτεί η μέθοδος Gauss είναι οκτώ. Έχουμε δηλαδή δύο σημεία σε κάθε διεύθυνση γι αυτο και συχνά αναφέρεται και ως xx(=8). Τα σημεία αυτά βρίσκονται σε προκαθορισμένες θέσεις στο εσωτερικό του κυβικού(αφού είμαστε στο ξ,η,ζ σύστημα) πεπερασμένου στοιχείου και έχουν διαφορετική βαρύτητα στη γενικότερη περίπτωση. Στο παρακάτω σχήμα φαίνονται οι κόμβοι με την τοπική αρίθμηση και επιπλέον τα 8 εσωτερικά σημεία ολοκλήρωσης. Στον ακόλουθο πίνακα φαίνονται οι συντεταγμένες των σημείων μαζί με τα αντίστοιχα βάρη. Όπως προαναφέρθηκε για το εξαεδρικό στοιχείο με 8 κόμβους αρκεί η μέθοδος xx. 37

Στο πρόβλημα που μελετούμε έχουμε να ολοκληρώσουμε ποσότητες της μορφής K e = B D B V (e) T [ ] [ ][ ]dv Μετασχηματίζοντάς το ολοκλήρωμα στις τοπικές συντεταγμένες ξ,η,ζ γίνεται: αφού dv = dxdydz = det ( J) dξdηdζ και όπου[ B '] και [ '] 1 1 1 T K e [ B '] [ D '][ B ']det ( J) d d d 1 1 1 = ξ η ζ D είναι εκφρασμένα στις τοπικές συντεταγμένες ξ,η,ζ και όχι στις καρτεσιανές συντεταγμένες x,y,z. Το [ B '] προκύπτει από τη σχέσεις (.3.7) και (.3.8). Το [ D '] προκύπτει από τη σχέση της αγωγιμότητας k(x,y,z) των καρτεσιανών συντεταγμένων σε συνδυασμό με τις σχέσεις (.3.). Εδώ όμως φαίνεται και το μεγάλο πλεονέκτημα της μεθόθου Gauss αφού όλοι οι πιο πάνω υπολογισμοί θα γίνουν αριθμητικά στα 8 προκαθορισμένα σημεία xx. Άρα ο πίνακας Κ e για κάθε πεπερασμένο στοιχείο θα δίνεται από την ακόλουθη σχέση: 8 T K = [ B'( ξ, η, ζ )] [ D'( ξ, η, ζ )][ B '( ξ, η, ζ )] det( J) w e i i i i i i i i i i i= 1 όπου ξ i, η i, ζ i είναι οι συντεταγμένες των 8 σημείων ολοκλήρωσης και w i τα αντίστοιχα βάρη(στην προκειμένη περίπτωση μονάδα). 38

ΥΛΟΠΟΙΗΣΗ 3.1 Υλοποίηση Η ανάλυση του προβλήματος για την περίπτωση χωρίς VMJ έγινε τόσο κατά τη μόνιμη κατάσταση(steady state analysis) όσο και για τη μεταβατική κατάσταση(transient analysis). Σε κάθε μία από αυτές τις αναλύσεις εξετάζονται δύο περιπτώσεις: α) σταθερή θερμοκρασία από τα αριστερά 5 C και από τα δεξιά 5 C β) είσοδος θερμοροής από τα αριστερά q=0 W/m και σταθερή θερμοκρασία δεξιά 5 C. Για την περίπτωση με VMJ είναι διαθέσιμη μόνο η ανάλυση μόνιμης κατάστασης. Για τη χρονική ανάλυση η αρχική θερμοκρασία(για t=0) όλου του σώματος θεωρήθηκε 5 C. Εδώ πρέπει να σημειωθεί ότι η εφαρμογή των εξισώσεων που θα ακολουθήσουν για το κάθε πεπερασμένο στοιχείο, γίνεται αφού πρώτα ελεγχθεί σε ποιο χώρο ανήκει το συγκεκριμένο πεπερασμένο στοιχείο δηλαδή αν είναι στο τούβλο, στη συγκολλητική κονία ή στο κενό έτσι ώστε να ληφθούν και οι αντίστοιχες σταθερές των υλικών. Όσα στοιχεία δεν περιλαμβάνονται εξολοκλήρου σε κάποιο υλικό τότε για αυτά τα στοιχεία σχηματίζεται μια ισοδύναμη θερμική αγωγιμότητα από τα υλικά στα οποία βρίσκεται το στοιχείο και αυτή προκύπτει αναλογικά με το ποσοστό του στοιχείου που βρίσκεται σε κάθε υλικό. Σε όλα τα αποτελέσματα που θα παρουσιαστούν έγινε χρήση των παρακάτω δεδομένων: Μονάδες Συγκολλητική Σύμβολο Όνομα Τούβλο Αέρας Μέτρησης (SI) κονία Θερμική Δες παρ. k W/(m*K) 0.8 0.431 αγωγιμότητα.5 ρ Πυκνότητα Kg/m 3 1500 1600 1.18 c p Ειδική J/(Kg*C) 1000 1000 1005 θερμοχωρητικότητα Εδώ πρέπει να σημειωθεί πως για τη μόνιμη κατάσταση(steady state analysis) 39

απαιτούνται μόνο οι τιμές της αγωγιμότητας k, ενώ για τη μεταβατική κατάσταση(transient analysis) χρειάζονται επιπλέον και οι τιμές της πυκνότητας και της ειδικής θερμοχωρητικότητας. 3. Μεταβολή της αγωγιμότητας λόγω υγρασίας βάση του EN ISO 10456 Έχουμε δύο σετ συνθηκών 1 όπου η αγωγιμότητα έχει τιμή λ 1 και με αγωγιμότητα λ. Η αγωγιμότητα λ συνδέεται με τη λ 1 με τη σχέση: λ = λ F 1 m όπου f ( 1) Fm e ψ ψ ψ = f ψ is the moisture conversion coefficient volume by volume ψ1 is the moisture content volume by volume of the first set of conditions ψ is the moisture content volume by volume of the second set of conditions Για το υλικό του τούβλου f 10 m / m ψ = Για τη συγκολλητική κονία (τσιμέντο) 3 3 3 3 f = ψ 4 m / m Για παράδειγμα το υλικό του τούβλου έχει λ1 = λ10, = 0.67 W / mk άρα ψ 1 = 0 Σε συνθήκες υγρασίας 1% έχουμε ψ = 0.01. Άρα 10 (0.01 0) λ = 0.67 = 0.74046 / e W mk dry Παρόμοια, για τη συγκολλητική κονία με λ1 = λ10, = 0.51 W / mk, ψ 1 = 0 Σε συνθήκες υγρασίας 1% έχουμε ψ = 0.01. Άρα 4(0.01 0) λ = 0.51 = 0.5308 / dry e W mk 3.3 Θερμική αντίσταση διακένων σύμφωνα με το ISO 6946 1: heat flow direction 40

Σύμφωνα με το ISO 6946 η θερμική αντίσταση των διακένων του τούβλου υπολογίζεται από την πιο κάτω σχέση: R g = h c 1 1 d d + E hr 1+ 1+ b b Οπότε, η ισοδύναμη αγωγιμότητα του κενού προκύπτει από τον τύπο: d k = Rg όπου R : η θερμική αντίσταση του διακένου [ mk/ W ] g d : μήκος διακένου [m] b : πλάτος διακένου [m] 1 E = 1 1 + 1 ε1 ε ε1, ε : συντελεστές εκπομπής των επιφανειών που οριοθετούν το διάκενο (συνήθως 0,95) h : συντελεστής ακτινοβολίας (για 10 C = 5.1 W / m K ) r h : συντελεστής αγωγιμότητας/συναγωγής c i) 0.05 Οριζόντια θερμοροή: h max c 0.9, = W / m K d ii) 0.05 Θερμοροή προς τα πάνω: h max c 1.43, = W / m K d iii) 0.44 0.05 Θερμοροή προς τα κάτω: hc = max 0.1 d, W / m K d hr 3.4 Υπολογισμός θερμικής αντίστασης τούβλου Μέχρι σε αυτό το σημείο έχουμε διορθώσει τους συντελεστές αγωγιμότητας των υλικών λόγω της υγρασίας και έχουμε προσδιορίσει την ισοδύναμη αγωγιμότητα για κάθε διάκενο αέρα. Οπότε χρησιμοποιώντας αυτά λύνουμε το πρόβλημα (για οποιαδήποτε γεωμετρία τούβλου) με τη μέθοδο των πεπερασμένων στοιχείων και προσδιορίζουμε το θερμοκρασιακό πεδίο καθώς και τη θερμοροή μέσα στο τούβλο. Από αυτή μπορούμε να προσδιορίσουμε τη θερμική αντίσταση με τις επιφανειακές αντιστάσεις του συστήματος τούβλοσυγκολλητική κονία βάση του ακόλουθου τύπου: R tot μ1 ΔΤ = Q 41 ολ Κ W

ΔΤ: η διαφορά θερμοκρασίας μεταξύ του δεξιού άκρου και του αριστερού άκρου της συγκολλητικής κονίας Q ολ : η συνολική θερμοροή σε Watt που εισέρχεται από το αριστερό άκρο της συγκολλητικής κονίας Στην περίπτωση της ανάλυσης «Μόνιμη κατάσταση: Θερμοκρασία αριστερά Θερμοκρασία δεξιά» το ΔΤ προσδιορίζεται άμεσα από τα δεδομένα ενώ από τη λύση του προβλήματος με τη μέθοδο των πεπερασμένων στοιχείων μπορούμε να βρούμε τη συνολική θερμοροή Q ολ. Παρόμοια, στην ανάλυση «Μόνιμη κατάσταση: Θερμοροή αριστερά Θερμοκρασία δεξιά» έχουμε από τα δεδομένα τη συνολική θερμοροή Q ολ στα αριστερά, τη θερμοκρασία στο δεξιό άκρο, οπότε το μόνο που απομένει είναι να βρούμε από τη λύση του προβλήματος τη θερμοκρασία που επικρατεί στο αριστερό άκρο έτσι ώστε να υπολογίσουμε το ΔΤ. Αν σαν Α ορίσουμε τη συνολική επιφάνεια σε m του αριστερού άκρου τότε παίρνουμε μια άλλη μορφή της θερμικής αντίστασης με την οποία μπορεί να γίνει σύγκριση μεταξύ διαφορετικών γεωμετριών τούβλων.: R μ A ΔΤ m Κ = Q ολ W Η τιμή της θερμικής αντίστασης χωρίς τις επιφανειακές αντιστάσεις του συστήματος τούβλο-συγκολλητική κονία προκύπτει αν από την τιμή της αντίστασης με τις επιφανειακές αντιστάσεις που υπολογίστηκε προηγουμένως αφαιρέσουμε τις επιφανειακές αντιστάσεις R si και R se. Αυτές βάση του ISO έχουν τιμές: R R si se = 0.13 = 0.04 mk W mk οπότε υπολογίζονται οι τιμές της θερμικής αντίστασης χωρίς τις επιφανειακές αντιστάσεις ή καλύτερα W ( ) R = R A R + R totχ totμ si se Κ W m Κ W χ = μ si se R R R R 4

Από την πιο πάνω σχέση μπορούμε να υπολογίσουμε την ισοδύναμη θερμική αγωγιμότητα λ equ του συστήματος τούβλο-συγκολλητική κονία ως εξής: λ equ = x R χ W mk όπου x είναι η συνολική απόσταση σε [m] της διάδοσης της θερμότητας, δηλαδή από το αριστερό άκρο μέχρι το δεξί. 3.5 Ανάλυση προβλήματος στη μόνιμη κατάσταση (Steady state analysis) Σε αυτή την περίπτωση οι γενικές εξισώσεις για το κάθε πεπερασμένο στοιχείο που καταλήξαμε πιο πάνω απλοποιούνται και γίνονται όπου [ K]{ T} = { f } T [ K] [ B] [ D][ B ]dv (e) V = α) Σταθερή θερμοκρασία αριστερά και δεξιά{ f } = {0} β) Είσοδος θερμοροής αριστερά - σταθερή θερμοκρασία δεξιά = T {} f q[ N ]ds S όπου S είναι η επιφάνεια του στοιχείου όπου γίνεται η είσοδος της θερμοροής. (e) 3.6 Χρονική ανάλυση προβλήματος (Transient analysis) Σε αυτή την περίπτωση οι γενικές εξισώσεις για το κάθε πεπερασμένο στοιχείο που καταλήξαμε πιο πάνω απλοποιούνται και γίνονται T [ C] + [ K]{ T} = { f } t όπου 43

T [ C] = ρc p[ N] [ N ]dv (e) V T [ K] [ B] [ D][ B ]dv (e) V = α) Σταθερή θερμοκρασία αριστερά και δεξιά{ f } = {0} β) Είσοδος θερμοροής αριστερά - σταθερή θερμοκρασία δεξιά = T {} f q[ N ]ds S (e) Σε αυτή την ανάλυση διακριτοποιούμε το χρόνο χρησιμοποιώντας τη μέθοδο των πεπερασμένων διαφορών (FDM Finite Difference Method). Χρησιμοποιώντας το ανάπτυγμα Taylor η θερμοκρασία στο n+1 χρονικό επίπεδο μπορεί να γραφεί ως: + T Δt T t t n n n 1 n T = T +Δ t + +... Αν αγνοήσουμε τους όρους της δεύτερης τάξης και πάνω παίρνουμε: T T T t Δt n n+ 1 n +θ + Εισάγουμε μια παράμετρο θ έτσι ώστε T = θ T + (1 θ )T n n 1 n στην εξίσωση T [ C] + [ K]{ T} = { f } οπότε αυτή γίνεται t T T C + K T = f Δt n+ 1 n n+θ n+θ [ ] [ ]{ } { } n+ 1 n T T [ C] + [ K] { θ T + (1 θ )T } =θ { f} + (1 θ){ f } Δt και τελικά γράφεται n+ 1 n n+ 1 n n 1 n n 1 n ([ C] +θδ t[ K] ){T} + = ([ C] (1 θ) Δ t[ K] ){T} +Δt ( θ { f} + + (1 θ){ f } ) Η τελευταία εξίσωση δίνει τις θερμοκρασίες των κόμβων στο n+1 χρονικό επίπεδο χρησιμοποιώντας τις τιμές από το n χρονικό επίπεδο. Ωστόσο, πρέπει να είναι γνωστά τα load vectors κατά τα χρονικά επίπεδα n και n+1. Μεταβάλλοντας την παράμετρο θ μπορούμε να πάρουμε διάφορες μεθόδους. 44

θ Μέθοδος 0 Forward difference method 1 Backward difference method 0,5 Crank-Nicolson method Στον κώδικα έχει χρησιμοποιηθεί η μέθοδος Crank-Nicolson. 3.7 Παρουσίαση προγράμματος Το πρόγραμμα έχει αναπτυχθεί σε περιβάλλον MATLAB 6.5 και έχει ελεγχθεί ενδελεχώς. Είναι πολύ απλό στη χρήση, καθότι το μόνο που έχει να κάνει ο χρήστης είναι να ορίσει τα δεδομένα του προβλήματος και μετά το πρόγραμμα τον καθοδηγεί βήμα-βήμα μέσω επιλογών για την επίλυσή του. Ας δούμε τώρα αναλυτικά τη λειτουργία του προγράμματος. Όλα τα δεδομένα του προγράμματος εισάγονται στο αρχείο input_data.m. Δίπλα από κάθε μεταβλητή στο αρχείο υπάρχει μια σύντομη επεξήγηση προς ευκολία του χρήστη αλλά εδώ θα δοθεί μια περαιτέρω εξήγηση με τους αντίστοιχους ελληνικούς ορισμούς. Τα παρακάτω είναι απαραίτητα για κάθε ανάλυση(μόνιμης κατάστασης και χρονική) k_mortar : Η θερμική αγωγιμότητα λ [W/(mK)] της συγκολλητικής κονίας k_brick: Η θερμική αγωγιμότητα λ [W/(mK)] του υλικού του τούβλου psi : Το ποσοστό της υγρασίας σε δεκαδική μορφή πχ για 1% βάζουμε 0,01 brick_height: Το ύψος του τούβλου σε εκατοστά [cm] brick_x: To μήκος του τούβλου κατά τη φορά διάδοσης της θερμότητας σε εκατοστά [cm] brick_y: To πλάτος του τούβλου σε εκατοστά [cm] mortar_x: Το συνολικό πάχος σε εκατοστά της συγκολλητικής κονίας που θα μπει δεξιά και αριστερά πχ για mortar_x=1 σημαίνει ότι δεξιά και αριστερά θα μπει από 0,5 cm mortar_y: Το συνολικό πάχος σε εκατοστά της συγκολλητικής κονίας που θα μπει κάτω και πάνω πχ για mortar_x=1 σημαίνει ότι πάνω και κάτω θα 45

μπει από 0,5 cm left_edge_temp: Η θερμοκρασία στο αριστερό άκρο σε βαθμούς Κελσίου right_edge_temp: Η θερμοκρασία στο δεξί άκρο σε βαθμούς Κελσίου q: Η πυκνότητα της θερμοροής που εισέρχεται από το αριστερό άκρο σε [W/m^] geometry: Ο πίνακας που ορίζει τη γεωμετρία των διακένων αέρα στο τούβλο. Σε κάθε γραμμή του ορίζουμε και ένα διάκενο και κάθε διάκενο ορίζεται από 4 αριθμούς [x,y,d,b] όπου x,y είναι οι συντεταγμένες της κάτω αριστερής γωνίας του διακένου (θεωρούμε πάντα ότι η κάτω αριστερή γωνία του τούβλου(προσοχή όχι της συγκολλητικής κονίας) βρίσκεται σε συντεταγμένες [0,0]), d είναι το μήκος του διακένου κατά τη φορά διάδοσης της θερμότητας(x) και b είναι το πλάτος του διακένου (κατά το y). Οι αριθμοί αυτοί διαχωρίζονται μεταξύ τους με κόμμα, και τα διάκενα διαχωρίζονται μεταξύ τους με ερωτηματικό ;. Τα παρακάτω χρειάζονται μόνο για τη χρονική ανάλυση(για τη μόνιμη κατάσταση δε λαμβάνονται υπόψιν). brick_initial_temp: Η αρχική θερμοκρασία του συστήματος τούβλου-συγκολλητική κονία σε βαθμούς Κελσίου. dens_brick: Η πυκνότητα του υλικού του τούβλου σε [Kg/m^3] cp_brick: Η ειδική θερμοχωρητικότητα του υλικού του τούβλου σε J/(Kg*C) dens_air: Η πυκνότητα του αέρα των διακένων σε [Kg/m^3] cp_air: Η ειδική θερμοχωρητικότητα του αέρα των διακένων σε J/(Kg*C) dens_mortar: cp_mortar: th: dt: Nframes: Η ειδική θερμοχωρητικότητα της συγκολλητικής κονίας σε Kg/m^3 Η ειδική θερμοχωρητικότητα της συγκολλητικής κονίας σε J/(Kg*C) Η σταθερά θ [0,1] που καθορίζει τη μεθόδο των πεπερασμένων διαφορών για τη διακριτοποίηση του χρόνου. Για θ=0,5 έχουμε τη μέθοδο Crank-Nicolson Το βήμα της διακριτοποίησης του χρόνου σε δευτερόλεπτα. Ο αριθμός των frames της χρονικής ανάλυσης. Πχ για Nframes=10 η χρονική ανάλυση θα φτάσει σε βάθος χρόνου 10 x dt Στη συνέχεια αφού εισαχθούν τα πιο πάνω δεδομένα, είμαστε έτοιμοι να εκτελέσουμε το 46

πρόγραμμα. Αυτό γίνεται εκτελώντας το αρχείο start.m, οπότε μας παρουσιάζεται ο ακόλουθος κατάλογος με επιλογές: Δώσε τον αριθμό για την αντίστοιχη επιλογή 1: Without Vertical Mortar Joint : With Vertical Mortar Joint Δώσε τον αριθμό για την αντίστοιχη επιλογή 1: Steady state analysis: Temperature left - Temperature right : Steady state analysis: Heat flux entering left - Temperature right 3: Transient analysis: Temperature left - Temperature right 4: Transient analysis: Heat flux enetering left - Temperature right 5: Convert the input data to FlexPDE code(create ready to run FlexPDE files) Στην πρώτη φάση επιλέγουμε αν η ανάλυση που θα εκτελέσουμε θα περιέχει ή όχι Vertical Mortar Joint(VMJ). Στη συνέχεια οι επιλογές 1-5 που παρατίθενται παραπάνω είναι για την επιλογή 1. Without VMJ, ενώ για την επιλογή.with VMJ θα είχαμε μόνο τις 1,,5, δηλαδή όχι τις χρονικές αναλύσεις. Στη συνέχεια θα αναφερόμαστε στην πλήρη γκάμα επιλογών. Οι επιλογές 1-4 είναι οι αναλύσεις που μπορούμε να εκτελέσουμε. Επιλέγοντας κάποιο από αυτά τα 1-4 το πρόγραμμα θα μας προτείνει τους ελάχιστους βέλτιστους αριθμούς από στοιχεία (elements) για κάθε διεύθυνση (x,y). Καλό θα ήταν να δοθούν αυτοί οι αριθμοί πολλαπλασιασμένοι με ακέραιους αριθμούς. Αλλά πολλές φορές, η γεωμετρία του τούβλου είναι πολύπλοκη και επομένως είναι δύσκολο να επιτευχθεί η τέλεια διακριτοποίηση του χώρου με αποτέλεσμα να μας προτείνει το πρόγραμμα μεγάλους αριθμούς κάτι που θα έχει κόστος στο χρόνο υπολογισμού. Γι αυτό μπορούμε να βάλουμε όποιους ακέραιους αριθμούς θέλουμε έχοντας υπόψιν ότι μεγαλύτεροι αριθμοί σημαίνουν μεγαλύτερη ακρίβεια αλλά και μεγαλύτερο χρόνο υπολογισμού. Ενδεικτικά αναφέρεται πως ο χρόνος υπολογισμού στην ανάλυση μόνιμης κατάστασης με 15000 στοιχεία απαιτεί γύρω στα 15 λεπτά σε ένα υπολογιστή Pentium 4.8GHz με το ποσοστό σφάλματος να κυμαίνεται σε χαμηλά επίπεδα(-3 %), ενώ για τη χρονική ανάλυση ο χρόνος αυτός μειώνεται αισθητά και γίνεται - 3 λεπτά. Στη συνέχεια το πρόγραμμα επιλύει το πρόβλημα και μας παρουσιάζει τα αποτελέσματα που στην περίπτωση της ανάλυσης μόνιμης κατάστασης είναι: Η μοντελοποίηση της γεωμετρίας του προβλήματος με πεπερασμένα στοιχεία. Το θερμοκρασιακό πεδίο εντός του συστήματος τούβλου-συγκολλητική κονία 47

Η θερμοροή εντός του συστήματος τούβλου-συγκολλητική κονία Η τιμή της θερμικής αντίστασης και της ισοδύναμης αγωγιμότητας του συστήματος. Στην περίπτωση της χρονικής ανάλυσης τα αποτελέσματα είναι: Η μοντελοποίηση της γεωμετρίας του προβλήματος με πεπερασμένα στοιχεία. Το θερμοκρασιακό πεδίο εντός του συστήματος τούβλου-συγκολλητική κονία στις διάφορες χρονικές στιγμές, ανάλογα με το βήμα χρόνου και το βάθος χρόνου που ορίστηκαν. Η επιλογή 5 (Convert the input data to FlexPDE code)είναι πολύ σημαντική γιατί δημιουργεί τα αρχεία με τον κώδικα που χρειάζεται το εμπορικό πρόγραμμα FlexPDE για να λύσει το πρόβλημα μόνιμης κατάστασης με τα δεδομένα που του ορίσαμε προηγουμένως στο αρχείο input_data.m. Έτσι, το ίδιο πρόβλημα μπορούμε να το αναλύσουμε και με μια εμπορική εφαρμογή και να συγκρίνουμε τα αποτελέσματα. Η δημιουργία των αρχείων είναι στιγμιαία και αμέσως μετά μπορούμε να κάνουμε την προσομοίωση στο εμπορικό πρόγραμμα FlexPDE. Το μόνο που χρειάζεται είναι να ανοίξουμε τα αρχεία που δημιουργούνται (flexpde_temp.pde αν έχουμε το πρόβλημα με θερμοκρασία δεξιά και αριστερά ή flexpde_flux.pde αν έχουμε το πρόβλημα με θερμοροή αριστερά και θερμοκρασία δεξιά) και να επιλέξουμε την επιλογή Run Script. Έτσι ξεκινάει η επίλυση του προβλήματος και όταν τελειώσει θα παρουσιαστεί το θερμοκρασιακό πεδίο και η θερμοροή στο τούβλο καθώς επίσης και η τιμή της θερμικής αντίστασης με τις επιφανειακές αντιστάσεις που προκύπτει από τους υπολογισμούς. 48

3.8 Παράδειγμα επίλυσης Θα παραθέσουμε εδώ ένα υποθετικό πρόβλημα για να επιδείξουμε τον τρόπο λειτουργίας του προγράμματος. Η γεωμετρία του τούβλου φαίνεται στην ακόλουθη εικόνα: Το τούβλο έχει διαστάσεις 7x9x15(Μήκος=7 cm, Πλάτος=9 cm, Ύψος=15 cm) Το υλικό του τούβλου έχει λ = 0.431 W και η συγκολλητική κονία έχει λ = 0.80 W. mk mk Γύρω-γύρω από το τούβλο θα υπάρχει συγκολλητική κονία πάχους 0.5 cm. Θεωρούμε συνθήκες με 1% υγρασία. Θεωρούμε θερμοκρασία στο δεξί άκρο 5 o C και στο αριστερό άκρο 5 ο C για τη μία ανάλυση και είσοδο θερμοροής στο αριστερό άκρο 0W/m για τη δεύτερη ανάλυση. Η μόνη δυσκολία είναι η δημιουργία του πίνακα geometry όπου υπάρχει μέσα η γεωμετρία των διακένων αέρα. Όπως είπαμε θεωρούμε ότι η κάτω αριστερή γωνία του τούβλου βρίσκεται σε συντεταγμένες (0,0) όπως και στο πιο πάνω σχήμα. Κάθε διάκενο ορίζεται από 4 49

αριθμούς [x,y,d,b] όπου x,y είναι οι συντεταγμένες της κάτω αριστερής γωνίας του διακένου (είναι σημειωμένες με μπλε στο σχήμα), d είναι το μήκος του διακένου κατά τη φορά διάδοσης της θερμότητας(x) και b είναι το πλάτος του διακένου (κατά το y). Οι αριθμοί αυτοί διαχωρίζονται μεταξύ τους με κόμμα, και τα διάκενα διαχωρίζονται μεταξύ τους με ερωτηματικό ;. Όλοι οι αριθμοί είναι σε εκατοστά (cm). Βάση αυτής της σύμβασης τα διάκενα ορίζονται ως: Α: 1,1,1,3 Β: 1,5,1,3 C: 3,1,1,1 D: 3,3,1,3 E: 3,7,1,1 F: 5,1,1,3 G: 5,5,1,3 Άρα ο πίνακας geometry έχει τη μορφή: geometry=[1,1,1,3 ; 1,5,1,3 ; 3,1,1,1 ; 3,3,1,3 ; 3,7,1,1 ; 5,1,1,3 ; 5,5,1,3]; Δεν έχει σημασία η σειρά με την οποία θα μπουν τα διάκενα. Οπότε τώρα μπορούμε να εισάξουμε τα δεδομένα. Ανοίγουμε το αρχείο input_data.m και βάζουμε: k_mortar=0.8; % Thermal conductivity of mortar k_brick=0.431; % Thermal conductivity of brick psi=0.01; % Moisture content volume by volume m^3/m^3 brick_height=15; %Size of the brick in cm brick_x=7; %x dimesnion of brick in cm brick_y=9; %y dimesnion of brick in cm mortar_x=1; %Total mortar from left and right =1 cm (this means 0.5 cm from each side) mortar_y=1; %Total mortar from down and up =1 cm (this means 0.5 cm from each side) left_edge_temp=5; % Left edge temperature in degrees celcius right_edge_temp=5; % Right edge temperature in degrees celcius q=0; % Left edge heat flux in [W/m^] geometry=[1,1,1,3 ; 1,5,1,3 ; 3,1,1,1 ; 3,3,1,3 ; 3,7,1,1 ; 5,1,1,3 ; 5,5,1,3]; 50

Για το κομμάτι της χρονικής ανάλυσης πρέπει να ορίσουμε και τα ακόλουθα δεδομένα brick_initial_temp=5; %Initial temperature (at t=0) in the brick dens_brick=1600; %Brick density Kg/m^3 cp_brick=1000; %Brick specific heat J/(Kg*C) SI units dens_air=1.18; %Air density Kg/m^3 cp_air=1005; %Air specific heat J/(Kg*C) SI units dens_mortar=1500; %Mortar density Kg/m^3 cp_mortar=1000; %Mortar specific heat J/(Kg*C) SI units th=0.5; % theta=0.5 Crank-Nicolson method for Finite Differences time step dt=3600; % Time step in seconds nframes = 15; % number of frames in the movie (Total time=nframes*dt) Αποθηκεύουμε το αρχείο input_data.m και τρέχουμε το αρχείο start.m. Έστω ότι θέλουμε να κάνουμε την ανάλυση 1: Steady state analysis: Temperature left - Temperature right χωρίς VMJ, οπότε την επιλέγουμε γράφοντας βάση των επιλογών που εμφανίζονται στην οθόνη. Στη συνέχεια το πρόγραμμα μας προτείνει τον ελάχιστο βέλτιστο αριθμό από στοιχεία που είναι [ne_x,ne_y] = [16.0, 0.0]. Για να αυξήσουμε την ακρίβεια βάζουμε: Number of elements in x direction= 16*4 (64 elements κατά το x) Number of elements in y direction= 0* (40 elements κατά το y) Μετά το πρόγραμμα μας ρωτάει αν θέλουμε να δείξουμε τη γεωμετρία του σχήματος με τα στοιχεία και τη θερμοροή εντός του τούβλου. Και αυτό διότι ο υπολογισμός και η παρουσίαση τους απαιτεί επιπλέον χρόνο που σε δύσκολες γεωμετρίες είναι σημαντικός. Δώσε τον αριθμό για την αντίστοιχη επιλογή 1: Do not show geometry elements and vector field : Show geometry elements and vector field Απαντούμε το και η επίλυση ξεκινάει και τελικά η λύση προκύπτει: 51

Μοντέλο Με μαύρη γραμμή διαχωρίζεται το τούβλο από τη συγκολλητική κονία. 5

Θερμοκρασιακό πεδίο 1 4 10 0 8 18 6 16 4 14 1 10 0 8 6 - -1 0 1 3 4 5 6 7 8 Θερμοροή 10 9 8 7 6 5 4 3 1 0 0 1 3 4 5 6 7 8 9 53

Θερμική αντίσταση Το τούβλο με τις επιφανειακές αντιστάσεις έχει συνολική αντίσταση 15.33 K/W ή 0.300 m^k/w. Το τούβλο χωρίς τις επιφανειακές αντιστάσεις έχει αντίσταση 4.00 K/W ή 0.0600 m^k/w. Η ισοδύναμη αγωγιμότητα για το τούβλο είναι λequ=1.3330 W/(mK) 54

ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ ΚΑΙ ΕΠΑΛΗΘΕΥΣΗ 4.1 Εισαγωγή Σε αυτή την ενότητα θα παρουσιαστούν τα αποτελέσματα που δίνει το πρόγραμμα που αναπτύχθηκε για την ανάλυση τεσσάρων διαφορετικών τούβλων, ενώ παράλληλα θα παρουσιάζονται τα αποτελέσματα που δίνει ένα εμπορικό πακέτο. Για την επαλήθευση αυτή των αποτελεσμάτων χρησιμοποιήθηκε το πακέτο FlexPDE της εταιρείας PDESolutions Inc. το οποίο ειδικεύεται στην επίλυση προβλημάτων μετάδοσης θερμότητας, μηχανικής ρευστών, ηλεκτρομαγνητισμού, χημικών αντιδράσεων και οποιουδήποτε άλλου που χαρακτηρίζεται από διαφορικές εξισώσεις, χρησιμοποιώντας τετραεδρικά πεπερασμένα στοιχεία.

Το πρόγραμμα αυτό δουλεύει με scripts,κάτι σαν κώδικα δηλαδή. Το script ακολουθεί μια συγκεκριμένη δομή όπου καθορίζονται οι μεταβλητές, οι σταθερές, οι εξισώσεις του προβλήματος, η γεωμετρία του σχήματος μαζί με τις οριακές συνθήκες και τέλος ποιο είναι το ζητούμενο. Ένα τέτοιο δυνατό πρόγραμμα όπως είναι λογικό μπορεί να αναλύσει μονοδιάστατα, δισδιάστατα και τρισδιάστατα προβλήματα είτε στη μόνιμη είτε στη μεταβατική κατάσταση. Το πρόγραμμα αναλαμβάνει τη διακριτοποίηση της γεωμετρίας του σχήματος (meshing) και την επίλυσή του προβλήματος. Ένα τμήμα ενός script Στη συνέχεια θα ακολουθήσουν οι αναλύσεις που πραγματοποιήθηκαν σε τέσσερις γεωμετρίες τούβλων. Οι εικόνες των αποτελεσμάτων είναι για την περίπτωση που δεν υπάρχει Vertical Mortar Joint, καθότι οι διαφορές με την περίπτωση που υπάρχει δεν είναι ορατές στο μάτι. Στους αριθμητικούς υπολογισμούς όμως παρατίθενται τα αποτελέσματα και των δύο περιπτώσεων. 56

4. Γεωμετρία 1

4..1 Μόνιμη κατάσταση: Θερμοκρασία αριστερά Θερμοκρασία δεξιά MATLAB Θερμοκρασιακό πεδίο 16 4 14 1 0 10 18 8 16 6 14 4 0 1 10 8 6 - -5 0 5 10 15 0 5 30 58

Θερμοροή 16 14 1 10 8 6 4 0 0 5 10 15 0 5 30 Χωρίς VMJ Mε VMJ Συνολική θερμική αντίσταση με τις επιφανειακές αντιστάσεις Συνολική θερμική αντίσταση χωρίς τις επιφανειακές αντιστάσεις Ισοδύναμη θερμική αγωγιμότητα λ equ 31.44 K W ή mk 1.144 W 6.76 K W ή mk 0.974 W 0.98 W mk 7.10 K W ή mk 1.077 W.6 K W ή mk 0.8577 W 0.364 W mk 59

FlexPDE Θερμοκρασιακό πεδίο Θερμοροή 60

Συνολική θερμική αντίσταση με τις επιφανειακές αντιστάσεις Χωρίς VMJ 1.1667 mk W Mε VMJ 1.055 mk W 4.. Μόνιμη κατάσταση: Θερμοροή αριστερά Θερμοκρασία δεξιά MATLAB Θερμοκρασιακό πεδίο 16 14 1 6 4 10 0 8 6 4 18 16 14 1 10 0 - -5 0 5 10 15 0 5 30 8 6 Χωρίς VMJ Mε VMJ Συνολική θερμική αντίσταση με τις επιφανειακές αντιστάσεις Συνολική θερμική αντίσταση χωρίς τις επιφανειακές αντιστάσεις Ισοδύναμη θερμική αγωγιμότητα λ equ 31.6 K W ή mk 1.1490 W 6.94 K W ή mk 0.9790 W 0.96 W mk 7.83 K W ή mk 1.0554 W 3.35 K W ή mk 0.8854 W 0.376 W mk 61

FlexPDE Θερμοκρασιακό πεδίο 6

4..3 Χρονική ανάλυση: Θερμοκρασία αριστερά Θερμοκρασία δεξιά MATLAB Θερμοκρασιακό πεδίο 63

4..4 Χρονική ανάλυση: Θερμοροή αριστερά Θερμοκρασία δεξιά MATLAB Θερμοκρασιακό πεδίο 65

4.3 Γεωμετρία

4.3.1 Μόνιμη κατάσταση: Θερμοκρασία αριστερά Θερμοκρασία δεξιά MATLAB Θερμοκρασιακό πεδίο 0 4 15 0 18 10 16 14 5 1 10 0 8 6-5 -5 0 5 10 15 0 68

Θερμοροή 0 18 16 14 1 10 8 6 4 0 0 4 6 8 10 1 14 16 18 0 Χωρίς VMJ Mε VMJ Συνολική θερμική αντίσταση με τις επιφανειακές αντιστάσεις Συνολική θερμική αντίσταση χωρίς τις επιφανειακές αντιστάσεις Ισοδύναμη θερμική αγωγιμότητα λ equ 1.51 K W ή mk 0.7583 W 9.70 K W ή mk 0.5883 W 0.346 W mk 11.6 K W ή mk 0.7039 W 8.54 K W ή mk 0.5339 W 0.3390 W mk 69

Συνολική θερμική αντίσταση με τις επιφανειακές αντιστάσεις Χωρίς VMJ 0.7715 mk W Mε VMJ 0.7198 mk W 4.3. Μόνιμη κατάσταση: Θερμοροή αριστερά Θερμοκρασία δεξιά MATLAB Θερμοκρασιακό πεδίο 0 0 15 15 10 5 10 0-5 -5 0 5 10 15 0 5 Χωρίς VMJ Mε VMJ Συνολική θερμική αντίσταση με τις επιφανειακές αντιστάσεις Συνολική θερμική αντίσταση χωρίς τις επιφανειακές αντιστάσεις Ισοδύναμη θερμική αγωγιμότητα λ equ 1.61 K W ή mk 0.7646 W 9.81 K W ή mk 0.5946 W 0.31 W mk 11.54 K W ή mk 0.710 W 8.8 K W ή mk 0.5510 W 0.3466 W mk 71

4.3.3 Χρονική ανάλυση: Θερμοκρασία αριστερά Θερμοκρασία δεξιά MATLAB Θερμοκρασιακό πεδίο 73

4.3.4 Χρονική ανάλυση: Θερμοροή αριστερά Θερμοκρασία δεξιά MATLAB Θερμοκρασιακό πεδίο 75

4.4 Γεωμετρία 3

4.4.1 Μόνιμη κατάσταση: Θερμοκρασία αριστερά Θερμοκρασία δεξιά MATLAB Θερμοκρασιακό πεδίο 16 4 14 1 0 10 18 8 16 6 14 4 0 1 10 8 6 - -5 0 5 10 15 0 5 30 35 78

Θερμοροή 16 14 1 10 8 6 4 0 0 5 10 15 0 5 30 35 Χωρίς VMJ Mε VMJ Συνολική θερμική αντίσταση με τις επιφανειακές αντιστάσεις Συνολική θερμική αντίσταση χωρίς τις επιφανειακές αντιστάσεις Ισοδύναμη θερμική αγωγιμότητα λ equ 31.1 K W ή mk 1.1367 W 6.54 K W ή mk 0.9667 W 0.3143 W mk 7.15 K W ή mk 1.0313 W.67 K W ή mk 0.8613 W 0.3411 W mk 79

Συνολική θερμική αντίσταση με τις επιφανειακές αντιστάσεις Χωρίς VMJ 1.1609 mk W Mε VMJ 1.0586 mk W 4.4. Μόνιμη κατάσταση: Θερμοροή αριστερά Θερμοκρασία δεξιά MATLAB Θερμοκρασιακό πεδίο 16 14 1 6 4 10 0 8 6 4 18 16 14 1 10 0 - -5 0 5 10 15 0 5 30 35 8 6 Χωρίς VMJ Mε VMJ Συνολική θερμική αντίσταση με τις επιφανειακές αντιστάσεις Συνολική θερμική αντίσταση χωρίς τις επιφανειακές αντιστάσεις Ισοδύναμη θερμική αγωγιμότητα λ equ 31.35 K W ή mk 1.1419 W 6.68 K W ή mk 0.9719 W 0.316 W mk 7.80 K W ή mk 1.0557 W 3.3 K W ή mk 0.8857 W 0.3430 W mk 81

4.4.3 Χρονική ανάλυση: Θερμοκρασία αριστερά Θερμοκρασία δεξιά MATLAB Θερμοκρασιακό πεδίο 83

4.4.4 Χρονική ανάλυση: Θερμοροή αριστερά Θερμοκρασία δεξιά MATLAB Θερμοκρασιακό πεδίο 85

4.5 Γεωμετρία 4