Γραμμικά και μη γραμμικά συστήματα Αριθμητική προσέγγιση k m F(t)=F o cos(ωt) K=σταθερά ή όχι c Θέση ισορροπίας Ιδιοσυχνότητα του συστήματος ω 0 x Συχνότητα εξωτερικής διέγερσης Ω
Παραδείγματα (γραμμικά & μη γραμμικά)
Παραδείγματα (μη γραμμικά) Μετεωρολογία, Καρδιολογία, το πρόβλημα των τριών σωμάτων, κ.α 3
Eξισώσεις γραμμικών συστημάτων d x dx m + c + k x = dt dt Εξωτερική διέγερση F(t), π.χ F(t)=Acos(Ωt) Iδιοσυχνότητα συστήματος ~k/m Xαρακτηριστική απόσβεσης του συστήματος c/m F ( t) 4
I d Απόκριση συστήματος αδρανειακών μαζών στροφικών ελατηρίων θ ( ) = k θ θ dt d θ I = k θ θ + k θ3 θ dt Γραμμικό δυναμικό σύστημα ( ) ( ) d θ dt I 3 3 = k θ3 ( θ ) 5
Αδιαστατοποίηση Ανεξάρτητες μεταβλητές: χρόνος t Εξαρτημένη μεταβλητή x d x dt kt m T n ω n n = = ct + [ m = m k π T n dx ] dt kt n n n + x = F( ΩΤnt m mx0 d x dt ζ = k c T Κλίμακα αδιαστατοποίησης χρόνου T n Κλίμακα αδιαστατοποίσης απόκλισης x 0 ) dx Tn Ω + ζ Τn + x = F(π t ) dt mx ω 0 n 6
Μέθοδοι επίλυσης Πεπερασμένες διαφορές-runge Kutta Oé üñïé ôçò áä. Ä.Å. êßíçóçò äéáêñéôïðïéïýíôáé ìå áêñßâåéá çò ôüîçò: d x xi xi + x dx x + i i+ xi = êáé = dt t dt t Ìáæß ìå ôéò Ï.Ó. x 0 = êáé (dx /dt ) t=0 =(T n /x 0 ).(dx/dt) t=0 (çò ôüîçò äéáêñ.) ç Å.Ð.Ä. êßíçóçò åßíáé: P x + Q x + R x = f[( i ) t] i+ i i Ãéá åëåýèåñç ôáëüíôùóç ôï Ä.Ì. ãßíåôáé 0. ÌÝóù Ï.Ó. åßíáé ãíùóôü ôá x, x. Må ãíùóôþ ôç óõíüñôçóç ôçò åîùôåñéêþ äýíáìçò, ìðïñåß êáíåßò íá õðïëïãßóåé üëåò ôéò Üëëåò ôéìýò ôçò óõíüñôçóçò x(t). 7
Μετασχηματισμός δ.ε. ης ΤΑΞΗΣ σε ισοδύναμο σύστημα δ.ε. ης ΤΑΞΗΣ μεταβλητές αντικατάστασης: ισοδύναμο σύστημα δ.ε.: Οριακές συνθήκες: για g f g = f =, g dg dt dg dt t g + ζt n g + g = = x = = 0 : g =, g H ( t) = 0 8
9 ΔΙΑΚΡΙΤΟΠΟΙΗΣΗ ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΤΗΣ ΜΕΘΟΔΟΥ RUNGE - KUTTA 4ης ΤΑΞΗΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΠΙΛΥΣΗ ΤΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ δ.ε. ( ) h k k k k 6 y y 4 3 i i + + + + = + ), ( ), ( ), ( ), ( 3 4 3 k h y h x f k k h y h x f k k h y h x f k y x f k i i i i i i i i + + = + + = + + = = x i x i h = +
Ταλάντωση εκκρεμούς y φ F R l φ x m G F l F R a = = mg sinφ l m l d φ dt d dt φ d φ + ω 0 sinφ = 0 dt = m g sinφ ω ο = g l 0
Εξίσωση ταλάντωσης εκκρεμούς sin d dt φ = φ φ 3 3! + φ 3 5 ωο φ 5 5! φ + *( φ + φ...) = 0 3! 5!... Προσοχή: Μη γραμμικό δυναμικό σύστημα Γραμμικός όρος ω 0 φ Μη γραμμικός όρος ω 0 φ 3 Για μικρές αποκλίσεις φ, το δυναμικό σύστημα είναι γραμμικό...αλλά για μεγάλες αποκλίσεις φ, μη γραμμικό!
Χαρακτηριστικά δυναμικών συστημάτων Τα δυναμικά συστήματα εξελίσσονται στον χρόνο Διακρίνονται σε γραμμικά και μη γραμμικά Έχουν μια παράμετρο ελέγχου (π.χ εξωτερική συχνότητα διέγερσης, αριθμός Reynolds ροής, παράμετρος μη γραμμικότητας, κ.λπ) Η συνήθης μέχρι σήμερα διερεύνηση των ήταν «ως γραμμικά» Η κατάσταση ισορροπίας είναι μη συνήθης κατάσταση, ενώ η κατάσταση μακράν της ισορροπίας είναι ο κανόνας (Prigogine)
ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ Ελεύθερη ταλάντωση χωρίς απόσβεση (ζ=0, Η(t)=0 ),5 0,5 0-0,5 - -,5 t 3
Ελεύθερη ταλάντωση με απόσβεση (Η(t)=0, (περίπτωση υποαπόσβεσης ζ<), 0,8 0,6 0,4 0, 0-0, -0,4-0,6-0,8 ζ=0,5 ζ=0,5 4
Ελεύθερη ταλάντωση με απόσβεση (Η(t)=0,ζ>) (περίπτωση υπεραπόσβεσης) 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0, 0, Ελεύθερη κίνηση εκρεμούς με απόσβεση για ζ> ζ= ζ= ζ=5 0 0 5 0 5 0 5 30 35 40 45 50 5
Εξαναγκασμένη ταλάντωση με απόσβεση (Η(t)=Hcos(Ωt)),5 0,5 0-0,5 - -,5 t 6
Εξαναγκασμένη ταλάντωση με απόσβεση(h(t)=hcost), 0,8 0,6 0,4 0, 0-0, -0,4 Στο παραπάνω διάγραμμα εικονίζονται οι αριθμητικές λύσεις της εξίσωσης x``+x`+x=cos(3t).η κίτρινη γραμμή αντιστοιχεί σε χρονικό βήμα dt=0.5sec,η ροζ σε χρονικό βήμα dt=0.sec και η μπλε σε χρονικό βήμα dt=0.0sec.προφανώς και εδώ καταλήγουμε στο συμπέρασμα ότι η αριθμητική λύση της δ.ε. δεν επηρεάζεται από τι χρονικό βήμα όταν dt<0.sec ενώ για dt>0.5sec μέθοδος δίνει αποτελέσματα εκτός πραγματικότητας 7
Εξαναγκασμένη ταλάντωση χωρίς απόσβεση-διακροτήματα (Η(t)=Hcos(Ωt),ζ=0) \ 5 0 5 0-5 -0-5 0 50 00 50 00 50 300 8
Εξαναγκασμένη ταλάντωση χωρίς απόσβεση-συντονισμός (Η(t)=Hcos(Ωt),ζ=0,Ω=ω 0 ) 0 5 0 5 0-5 -0-5 -0 Φαινόμενο συντονισμού (ω=ω 0 ) 0 5 0 5 0 5 30 35 40 45 50 9
Χώρος φάσεων Ελεύθερη ταλάντωση με απόσβεση dx/dt 0
Εξαναγκασμένη(αρμονική διέγερση) ταλάντωση με απόσβεση (H(t)=Hcos(ωt),ω 0 =,Ω=3,Η=,ζ=) u(m/sec) διάγραμμα φ άσεω ν x(m) Οριακός κύκλος ισορροπίας
ΜΕΡΟΣ Β ΜΕΛΕΤΗ ΤΗΣ ΧΑΟΤΙΚΗΣ ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑΣ ΤΩΝ ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ d x m + kx µ kx dt 6 3 = Εξίσωση Duffing μ παράμετρος μη γραμμικότητας 0
Χαοτική απόκριση -διάγραμμα φάσεων συστήματος Duffing (εξαναγκασμένη ταλάντωση με μη γραμμικό όρο). Αρχικές συνθήκες:x(0)=3,v(0)=4 4.00.00 0.00 -.00-4.00 0.00 0.00 0.00 30.00 40.00 50.00-4.00 -.00 0.00.00 4.00 0.00-4.00-8.00 8.00 4.00 3
Χαοτική απόκριση -διάγραμμα φάσεων συστήματος Duffing με εξίσωση: x``+0.x`+0.5x+x 3 =0cost+5sint Αρχικές συνθήκες:x(0)=3,v(0)=4 4.00.00 0.00 -.00-4.00 8.00 4.00 0.00-4.00-8.00 0.00 0.00 0.00 30.00 40.00 50.00-4.00 -.00 0.00.00 4.00 4
Μεταβολή απόκρισης για μικρές αλλαγές των αρχικών συνθηκών σε χαοτική απόκριση συστήματος Duffing. H μπλε γραμμή αντιστοιχεί σε αρχικές συνθήκες x(0)=3,v(0)=4. H ροζ γραμμή αντιστοιχεί σε αρχικές συνθήκες x(0)=3.0,v(0)=4.0 4 3 0 - - -3-4 Αποκλιση τροχιών, Χαοτικός χρόνος Τ, Δε Τ =0 Δε 0 5
Ευαίσθητη εξάρτηση από αρχικές συνθήκες Τα μη γραμμικά συστήματα έχουν ευαίσθητη εξάρτηση από τις αρχικές συνθήκες Θετικούς εκθέτες Lyapunov δε=δε 0 e λt 6
Επίδραση μη γραμμικής δύναμης Όσο μεγαλύτερη η μη γραμμικότητα, τόσο μικρότερος ο χαοτικός χρόνος 7
Τάξη μέσα σε αταξία 8
Χώρος φάσεων μη γραμμικού συστήματος 9
Χώρος φάσεων- Παράξενος ελκυστής 30
Πόσο καλά γνωρίζουμε τις αρχικές συνθήκες του προβλήματος x x + 4x = ± 3 7 = 0 Με πόσο πλήθος δεκαδικών ψηφίων γνωρίζω τη λύση; Πόσο καλά γνωρίζω τις αρχικές συνθήκες ροής σε σωλήνα; Πόσο καλά γνωρίζω τις θέσεις των πλανητών; Πόσο καλά γνωρίζω τον καιρό τώρα; 3
Τομές Poincare Οι τομές Poincare είναι ένας τρόπος ποσοτικοποίησης της χαοτικής απόκρισης. Μια τομή Poincare αντιστοιχεί σε ένα διάγραμμα φάσεων μόνο που δεν εικονίζονται όλα τα σημεία των τροχιών σε αυτό,αλλά αυτά που αντιστοιχούν σε ακέραιο πολλαπλάσιο μιας χρονικής σταθεράς, Οι ελκυστές είναι είτε σημεία ισορροπίας είτε οριακοί κύκλοι στους οποίους συγκλίνουν οι τροχιές των αποκρίσεων των συστημάτων. Όταν,όμως,οι τροχιές ενός συστήματος δεν είναι περιοδικές όπως συμβαίνει στα χαοτικά συστήματα τότε οι ελκυστές δεν συγκλίνουν κάπου και εμφανίζονται να έχουν πιο σύνθετη γεωμετρική Στροβοσκοπική παρουσίαση τροχιών 3
Τομή Poincare 33
dr dt df dt Αλεπούδες και Λαγοί-Μη γραμμικό δυναμικό σύστημα Lotka-Volterra r = α β f rf = γ +δ rf ri + = ri + ( αri β ri fi ) t f r i+ i+ r t t i f = αr βr f i = i f i i f = γ +δ f + ( γf i + r r i+ i i δ i i ) i f f i t 34
Αποτελέσματα Πληθυσμός 500 450 400 350 300 50 00 50 00 50 Λαγοί Αλεπόυδες 0 0 5 0 5 0 5 t (έτη) 35
Διάγραμμα φάσεων Λαγοί 350 300 50 00 50 00 50 Διασπορά τω ν Πληθυσμώ ν για βήμα διακριτοποίησης DT=./64. και διάφ ορες αρχικές συνθήκες για 00 Χρόνια 0 0 00 00 300 400 500 600 Αλεπούδες 0 Αλεπούδες-99 Λαγοί 05 Αλεπούδες-95 Λαγοί 0 Αλεπούδες-90 Λαγοί 50 Αλεπούδες-50 Λαγοί 5 Αλεπούδες-99 Λαγοί 56 Αλεπούδες-38 Λαγοί 50 Αλεπούδες-50 Λαγοί 36