Μ Ε: Αναλυτικό Πρόγραµµα- Υλη Μαθήµατος 2017

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Μ Ε: Αναλυτικό Πρόγραµµα- Υλη Μαθήµατος 2017 Αντικείµενο του µαθήµατος είναι η µελέτη Μερικών ιαφορικών Εξισώσεων. Τον όρο Μερική ια- ϕορική Εξίσωση ϑα συµβολίζουµε µε (Μ Ε). Η ιστοσελίδα του µαθήµατος ϐρίσκεται στη διεύθυνση : ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ-ΜΜ400 ΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΜΕ ΜΕΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥΣ ενώ σελίδα του µαθήµατος υπάρχει και στην πλατφόρµα e-class του Πανεπιστηµίου στη διεύθυνση. ΜΜ400 ΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΜΕ ΜΕΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥΣ Συγγράµµατα, Βιβλιογραφία. Ως συγγράµµατα του µαθήµατος έχουν προταθεί τα ϐιβλία 1. Εφαρµοσµένες Μερικές ιαφορικές Εξισώσεις του Richard HabermanHaberman, Richard 2014 (Κύριο Σύγραµµα). 2. Μερικές ιαφορικές Εξισώσεις του Σ. Τραχανά Τραχανάς 2004. 3. Μερικές ιαφορικές Εξισώσεις των άσιου και Κυριάκη άσιος 1994. Σε κάθε περίπτωση όµως, οδηγό για το µάθηµα και τις απαιτήσεις του αποτελούν οι διαλέξεις του διδάσκοντα στο αµφιθέατρο. Στην ιστοσελίδα του µαθήµατος, στην ενότητα Εκπαιδευτικό Υλικό για το µάθηµα : ΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΜΕ ΜΕΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥΣ και συγκεκριµένα στην υποενότητα Σηµειώσεις υπάρχουν αναρτηµένες σηµειώσεις του µαθήµατος. Το µάθηµα έχει ϐοηθηθεί σε σηµαντικότατο ϐαθµό στην ανάπτυξη του ϑέµατος από τα ϐιβλία α) An Introduction to Differential Equations των Pinchover Y. and Rubinstein J. Pinchover, Y. & Rubinstein, J. 2005, ϐ) Partial Differential Equations, An Introduction του Strauss W.A. Strauss, Walter A. 2008, γ) Fourier Analysis and its Applications του Folland G.B. Folland, Gerald B. 1992, δ) Partial Differential Equations, Sources and Solutions του Snider A.D. Snider, Arthur David 1999 1

2 Κεφάλαιο 1. Μ Ε : Αναλυτικό Πρόγραµµα- Υλη Μαθήµατος 2017 Υλη του Μαθήµατος Οδηγό για τις απαιτήσεις του µαθήµατος αποτελούν και οι σηµειώσεις του διδάσκοντα οι οποίες καλύπτουν όλη την ύλη. Αυτές, όπως αναφέρθηκε και στην προηγουµένως, ϐρίσκονται στην ιστοσελίδα του µαθήµατος, στην ενότητα Εκπαιδευτικό Υλικό για το µάθηµα : ΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΜΕ ΜΕΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥΣ και συγκεκριµένα στην υποενότητα Σηµειώσεις. Πιο αναλυτικά όµως για την ύλη του µαθήµατος ισχύουν τα εξής 1η Ενότητα : Εισαγωγικές Εννοιες. Εισαγωγή, Ορισµός Μ Ε, Κατηγοριοποίηση. Καλά τοποθετηµένα προβλήµατα. Γραµµικοί Τελεστές. Ενότητες : εν υπάρχουν αντίστοιχες Ενότητες, Σας παραπέµπω στις Σηµειώσεις. 2η Ενότητα : Προέλευση Μ Ε. Εξισώσεις της Μαθηµατικής Φυσικής, Νόµοι διατήρησης, Καταστατικές Εξισώσεις. Μ Ε ιάδοσης Θερµότητας σε µία διάσταση και στο χώρο. Μ Ε ιάδοσης Κύµατος : Ταλαντούµενη Χορδή, Ταλαντούµενη Μεµβράνη Μ Ε Ισορροπίας : Εξίσωση Laplace. Ενότητες : 1.1, 1.2, 1.4, 4.1, 4.2, 4.5 3η Ενότητα : Συµπληρωµατικές Συνθήκες. Εξάρτηση γενικής λύσης Μ Ε από αυθαίρετες συναρτήσεις. Αρχικές Συνθήκες (ΑΣ), Συνοριακές Συνθήκες (ΣΣ). Προβλήµατα Αρχικών Τιµών (ΠΑΤ), Προβλήµατα Συνοριακών Τιµών (ΠΣΤ), Προβλήµατα Αρχικών- Συνοριακών Τιµών (ΠΑ-ΣΤ). Φυσική Ερµηνεία Συνοριακών Συνθηκών. Ενότητες : 1.3, 4.3 4η Ενότητα : Μ Ε Πρώτης Τάξης. Γενική Μορφή, Σχεδόν Γραµµικές και Γραµµικές Μ Ε Πρώτης Τάξης. Μέθοδος των Χαρακτηριστικών, Γεωµετρική Ερµηνεία, Χαρακτηριστικές Εξισώσεις. Συνθήκη Καθετότητας, Χαρακτηριστικές.

3 Ενότητες : 12.2 Είναι όµως προτιµότερη η παρουσίαση του ϑέµατος στις Σηµειώσεις. 5η Ενότητα : Ταξινόµηση Γραµµικών Μ Ε εύτερης Τάξεως. Κύριο Μέρος, Κανονική Μορφή. Υπερβολικές Μ Ε, Παραβολικές Μ Ε, Ελλειπτικές Μ Ε. Κανονική Μορφή και Συµπληρωµατικές Συνθήκες, Καλά Τοποθετηµένα Προβλήµατα. Ενότητες : εν υπάρχουν αντίστοιχες Ενότητες, Σας παραπέµπω στις Σηµειώσεις. 6η Ενότητα : Προβλήµατα Αρχικών Τιµών (ΠΑΤ). Το ΠΑΤ της Κυµατικής Εξίσωσης. Η Οµογενής Κυµατική Εξίσωση, Ερµηνεία Λύσης, Χωρίο Εξάρτησης, Πεδίο Επιρροής, Ενέργεια. Η Μη-Οµογενής Κυµατική Εξίσωση. Το ΠΑΤ της Εξίσωσης ιάχυσης. Η Οµογενής Εξίσωση ιάχυσης, Ενέργεια. Ενότητες : 12.3 Είναι όµως προτιµότερη η παρουσίαση του ϑέµατος στις Σηµειώσεις, 11.3.8 Είναι όµως προτιµότερη η παρουσίαση του ϑέµατος στις Σηµειώσεις 7η Ενότητα : Προβλήµατα Αρχικών-Συνοριακών Τιµών και Προβλήµατα Συνοριακών Τιµών-Μέθοδος Χωρισµού Μεταβλητών (ΜΧΜ). ΠΑ-ΣΤ της Εξίσωσης ιάδοσης Θερµότητας-ΣΣ Dirichlet-ΣΣ Newmann-Περιοδικές ΣΣ, Αρχή του Μεγίστου. ΠΑ-ΣΤ της Κυµατικής Εξίσωσης-ΣΣ Dirichlet-ΣΣ Newmann-Περιοδικές ΣΣ. ΠΣΤ, Η Εξίσωση Laplace. ΜΧΜ-Προβλήµατα Ιδιοτιµών-Γενική Συµπεριφορά. Ενότητες : 2.1, 2.2, 2.3, 2.4, 2.5.1, 4.4 Ειδικά για την κυµατική εξίσωση είναι προτιµότερη η παρουσίαση του ϑέµατος στις Σηµειώσεις. 8η Ενότητα : Σειρές Fourier. Η Σειρά Fourier µίας Περιοδικής Συνάρτησης, Περιττές και Άρτιες Συναρτήσεις. Θεωρήµατα Σύγκλισης, Παράγωγος και Ολοκλήρωµα Σειράς Fourier

4 Κεφάλαιο 1. Μ Ε : Αναλυτικό Πρόγραµµα- Υλη Μαθήµατος 2017 Σειρές Fourier σε ιαστήµατα, Περιοδικές Επεκτάσεις Συναρτήσεων και οι Σειρές Fourier, Θεώρηµα Σύγκλισης, Σχεδίαση Σειρών Fourier. Συνέχεια Σειρών Fourier σε ιαστήµατα, Παραγώγιση και Ολοκλήρωση Σειρών Fourier σε ιαστήµατα, Το ϕαινόµενο Gibbs Μέθοδος Χωρισµού Μεταβλητών και Γενικευµένες Σειρές Fourier Ορθογωνιότητα Ιδιοσυναρτήσεων και ΣΣ. Σύγκλιση Γενικευµένων Σειρών Fourier. Ενότητες : 3.1, 3.2, 3.3, 3.4, 3.5 όµως οι ενότητες αυτές δεν καλύπτουν την Ενότητα 6.5 των Σηµειώσεων. 9η Ενότητα : Μη Οµογενή Προβλήµατα-Μέθοδος Αναπτύγµατος σε Ιδιοσυναρτήσεις. Οµογενείς Μ Ε, Μη Οµογενείς ΣΣ. Μη Οµογενείς Μ Ε, Οµογενοποίηση ΣΣ. Μέθοδος Αναπτύγµατος σε Ιδιοσυναρτήσεις και Γενίκευση µε Τύπο του Green. Ενότητες : 8.1, 8.2, 8.3, 8.4 10η Ενότητα : Θεωρία Sturm-Liouville (SL). ΜΧΜ και η Εξίσωση Helmholtz σε ύο και Τρεις ιαστάσεις-γενική Μορφή Προβληµάτων Ιδιοτιµών. Ορισµός Προβλήµατος SL, Κανονικά Προβλήµατα-Ανώµαλα Προβλήµατα-Περιοδικά Προβλήµατα (SL), Γενικότητα Μορφής (SL). Μελέτη Προβλήµατος (SL)-Εισαγωγικές Εννοιες, Ιδιότητες : Συµµετρία-Ορθογωνιότητα-Πραγµατικές Ιδιοτιµές- Πραγµατικές Ιδιοσυναρτήσεις-Πολλαπλότητα Ιδιοτιµών-Άπειρη Ακολουθία Ιδιοτιµών- Ανάπτυγµα σε Ιδιοσυναρτήσεις, Πληρότητα και Σύγκλιση Αναπτύγµατος-Σηµεία Μηδενισµού Ιδιοσυναρτήσεων-Ασυµπτωτική Συµπεριφορά Μεγάλων Ιδιοτιµών Ο Λόγος του Rayleigh, Υπολογισµός Ιδιοτιµών, Ελαχιστοποίηση Λόγου του Rayleigh Μη Οµογενή Προβλήµατα και Γενίκευση µε Τύπο του Green. Ενότητες : 5.1, 5.2, 5.3, 5.4, 5.5, 5.6, 5.7, 5.9, 5.10 11η Ενότητα : Γενικά Προβλήµατα Ιδιοτιµών-Εξισώσεις Helmoholtz, Laplace, και Poisson. Για την Εξεταστική του Ιουνίου 2017 από τη συγκεκριµένη ενότητα Ϲητούνται µόνο : Παραδείγµατα : Ταλαντούµενη Ορθογώνια Μεµβράνη, Επίλυση µε Επιλογή Οµογενούς ιευ- ϑύνσεως, Το Θεώρηµα των Εναλλακτικών του Helmholtz.

5 Ενότητες : 7.1, 7.2, 7.3, 7.4, 7.6 (και εδώ αναφερθείτε µόνο στις ενότητες που αντιστοιχούν στα δύο παραπάνω Ϲητήµατα.) 12η Ενότητα : Ορισµός Προβληµάτων ΣΣ Εξισώσεων Laplace και Poisson. Για την Εξεταστική του Ιουνίου 2017 από τη συγκεκριµένη ενότητα Ϲητείται µόνο µία γενική γνώση του είδους των προβληµάτων ΣΣ που παρουσιάζονται στις χειρόγραφες σηµειώσεις αλλά σηµαντική είναι η ενότητα : ΣΣ Neumann και Συνθήκες Συµβιβαστότητας. Ενότητες : 2.5.4 µόνο τη συνθήκη επιλυσιµότητας, κατά τα άλλα εν υπάρχουν αντίστοιχες Ενότητες και σας παραπέµπω στις Σηµειώσεις. 13η Ενότητα : Η Εξίσωση Laplace Σε Καµπυλόγραµµα Συστήµατα Συντεταγµένων : ΕΚΤΟΣ ΥΛΗΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΤΟΥ ΙΟΥΝΙΟΥ 2017 Καµπυλόγραµµα Συστήµατα Συντεταγµένων : Καµπύλες Συντεταγµένων-Μοναδιαία ιανύσµατα- Στοιχειώδες Μήκος-Μετρική. Στοιχειώδες Μήκος Πάνω σε Συντεταγµένες Καµπύλες, Στοιχειώδη Εµβαδά, Στοιχειώδης Ογκος. Ορθογώνια Καµπυλόγραµµα Συστήµατα Συντεταγµένων : Πολικές-Κυλινδρικές-Σφαιρικές Συντεταγµένες, Μορφή Laplace σε Ορθογώνια Καµπυλόγραµµα Συστήµατα Συντεταγµένων. Παράδειγµα : Η Εξίσωση Laplace σε Σφαιρικές Συντεταγµένες. Αναλλοίωτο της Laplace κάτω από Μετασχηµατισµούς Συντεταγµένων στο Επίπεδο και στο Χώρο : Μετατοπίσεις και Στροφές. Ενότητες : εν υπάρχουν αντίστοιχες Ενότητες, Σας παραπέµπω στις Σηµειώσεις. 14η Ενότητα : Η Εξίσωση Laplace Σε Πολικές Συντεταγµένες. Η Laplace σε Κυκλικό ίσκο-εσωτερικό Πρόβληµα, Τύπος του Poisson, Ιδιότητα Μέσης Τιµής. Η Laplace σε Κυκλικό ίσκο-εξωτερικό Πρόβληµα, Τύπος του Poisson. Η Laplace σε ακτύλιο. Η Laplace σε Σφηνοειδή Περιοχή Γενικεύσεις : Τύπος του Poisson σε Σφαίρα, Μοναδικότητα Λύσεως, Αρχή του Μεγίστου. Ενότητες : 2.5.2, 2.5.4, Είναι όµως προτιµότερη η παρουσίαση του ϑέµατος στις Σηµειώσεις

6 Κεφάλαιο 1. Μ Ε : Αναλυτικό Πρόγραµµα- Υλη Μαθήµατος 2017 Σχετικά µε τις Ενότητες Συγγραµµάτων που Αντιστοιχούν στην Υλη. Κανένα από τα συγγράµµατα δεν καλύπτει πλήρως την ύλη του µαθήµατος. Μεγαλύτερη συνάφεια υπάρχει σαφώς µε το προτεινόµενο σύγγραµµα Haberman, Richard 2014. Είναι πολύ πιθανόν ότι κάποιες ενότητες του συγγράµµατος µπορεί να καλύπτουν και περισσότερες από µία ενότητες του µαθήµατος. Τονίζεται για άλλη µία ϕορά ότι οδηγός για το µάθηµα και τις απαιτήσεις του αποτελούν οι διαλέξεις του διδάσκοντα στο αµφιθέατρο. Αυτό, διότι ο τρόπος παρουσίασης και ανάπτυξης των ενοτήτων είναι πολύ πιθανόν να είναι διαφοροποιηµένος, σε αρκετές περιπτώσεις, σε σχέση µε τον αντίστοιχο του συγγράµµατος. Απορίες : Απορίες και ερωτήσεις µπορούν να σταλούν στην παρακάτω ηλεκτρονική διεύθυνση : anzoupas@uth.gr. ή στην ιστοσελίδα του µαθήµατος στην πλατφόρµα e-class του Πανεπιστηµίου, στη διεύθυνση : ΜΜ400 ΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΜΕ ΜΕΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥΣ Παρατηρήσεις-Σχόλια Αναγνωστών : Σχόλια και παρατηρήσεις είναι όχι µόνο ευπρόσδεκτα αλλά ϑεωρούνται και αναγκαία. Χωρίς σχόλια και αλληλεπίδραση µε τους αναγνώστες οποιαδήποτε είδους ϐελτίωση είναι πρακτικά αδύνατη. Τυχόν σχόλια µπορούν να σταλούν στην παρακάτω ηλεκτρονική διεύθυνση : anzoupas@uth.gr.

Βιβλιογραφία Folland, Gerald B. (1992). Fourier Analysis and its Applications. Belmont, California: Wadsworth. Haberman, Richard (2014). ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΕΣ ΜΕΡΙΚΕΣ ΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Με Σειρές Φουριερ και Προβλήµατα Συνοριακών Τιµών. Αθήνα: Εκδόσεις Φούντας. Pinchover, Y. & Rubinstein, J. (2005). An Introduction to Differential Equations. Cambridge: Cambridge University Press. Snider, Arthur David (1999). Partial Differential Equations, Sources and Solutions. NJ: Prentice Hall. Strauss, Walter A. (2008). Partial Differential Equations, An Introduction. 2νδ. Hoboken, NJ: Wiley. άσιος Γεώργιος, Κ. Κυριάκη Κ (1994). Μερικές ιαφορικές Εξισώσεις. Αθήνα: άσιος. Τραχανάς, Στέφανος (2004). Μερικές ιαφορικές Εξισώσεις : Σειρές Fourier και Προβλήµατα Συνοριακών Τιµών. Κρήτη: Π.Ε.Κ. 7