ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Διδάσκοντες: Κ. Φουντάς, Σ. Κοέν, Ν. Νικολής. ΣΥΓΧΡΟΝΗ ΦΥΣΙΚΗ Ι 11 9 13 Θέμα 1 o : (α) Διατυώστε τις δύο αρχές στις οοίες βασίζεται η θεωρία της ειδικής σχετικότητας. [4 μονάδες] (β) Περιγράψτε (χωρίς ράξεις) ώς αορρέουν οι μετασχηματισμοί του Lorentz αό τη μία αό τις δύο αρχές. [ μονάδες] (γ) Τι αέδειξε το είραμα των Michelson και Morley; [ μονάδες] (δ) Διατυώστε δύο βασικές ροβλέψεις της ειδικής σχετικότητας οι οοίες μορούν να μετρηθούν στο εργαστήριο. [4 μονάδες] (ε) Κάτω αό οιες συνθήκες η θεωρία της ειδικής σχετικότητας δίνει ερίου τα ίδια αοτελέσματα με την κλασσική (μη-σχετικιστική) φυσική; [ μονάδες] (στ) Δείξτε ότι η ταχύτητα σωματιδίου ολικής ενέργειας Ε και μάζας m δίνεται αό τη σχέση β 1 m E [4 μονάδες] (ζ) Δείξτε ότι σωματίδιο με ολική ενέργεια Ε ολύ μεγαλύτερη της ενέργειας ηρεμίας του mc κινείται με ταχύτητα ου δίνεται αό τη σχέση β 1 m E [ μονάδες] (η) Θεωρήστε την μετάτωση θετικού καονίου σε ουδέτερο ιόνιο και θετικό ιόνιο. Κ (ι) Δείξτε ότι στο αδρανειακό σύστημα του καονίου η ενέργεια του θετικού ιονίου είναι Ε m m m m c [3 μονάδες] (ιι) Δείξτε ότι στο αδρανειακό σύστημα του καονίου η ενέργεια του ουδέτερου ιονίου είναι Ε m m m m c [ μονάδες] (α) Οι νόμοι της φυσικής αραμένουν αναλλοίωτοι στα διάφορα αδρανειακά συστήματα αναφοράς. Δηλαδή και τα φαινόμενα του ηλεκτρομαγνητισμού και της μηχανικής ρέει να έχουν τα ίδια αοτελέσματα σε όλα τα αδρανειακά συστήματα αναφοράς. Το φως και όλα τα ηλεκτρομαγνητικά κύματα διαδίδονται στο κενό με την ταχύτητα c 3 1 8 m/s σε όλα τα αδρανειακά συστήματα αναφοράς ανεξάρτητα αό τη σχετική ταχύτητα του συγκεκριμένου συστήματος αναφοράς. Κανένα σωματίδιο ή κύμα δε μορεί να υερβεί την ταχύτητα του φωτός στο κενό. (β) Ας θεωρήσουμε λοιόν ένα σφαιρικό κύμα φωτός σε κάοιο αδρανειακό σύστημα Ο. Η εξίσωση ου εριγράφει αυτό το κύμα, όως μετράται αό αρατηρητή στο σύστημα Ο, είναι x y z (ct ) (1) Σύμφωνα με τη θεωρία της ειδικής σχετικότητας η ταχύτητα του φωτός είναι η ίδια σε όλα τα αδρανειακά συστήματα. Έτσι η εξίσωση του ιδίου κύματος ως ρος δεύτερο αδρανειακό σύστημα αναφοράς το οοίο κινείται με ταχύτητα V στην διεύθυνση του άξονα x ρέει να δίνεται αό την εξίσωση x ' y' z ' (ct ' ) () Με άλλα λόγια o αρατηρητής στο κινούμενο αδρανειακό σύστημα Ο' ρέει, αφού κάνει μετρήσεις χρησιμοοιώντας χάρακες και συγχρονισμένα χρονόμετρα, να βρίσκει είσης σφαιρικό κύμα. Οι μετασχηματισμοί Lorentz είναι οι γραμμικοί μετασχηματισμοί αό το σύστημα (x,z,y,t) στο σύστημα
(x',y',z',t') οι οοίοι όταν δράσουν άνω στην (1) μας δίνουν την (). Δηλαδή είναι μετασχηματισμοί οι οοίοι αφήνουν αναλλοίωτη την εξίσωση x y z (ct ) Δηλαδή οι μετασχηματισμοί Lorentz εριγράφουν σωστά τις μετρήσεις των δύο αρατηρητών. (γ) Το είραμα των Michelson και Morley αέδειξε ότι το φως διαδίδεται με την ίδια ταχύτητα σε όλα τα αδρανειακά συστήματα, ανεξαρτήτως της γωνίας στροφής του ειράματος. Αν το φως χρειαζόταν τον αιθέρα για να διαδοθεί τότε, εειδή η γη έρεε να κινείται μέσα στον αιθέρα, θα έρεε να αρατηρήσουν διαφορετική ταχύτητα σε διαφορετικές διευθύνσεις. Άρα η αρχική υόθεση ότι δηλαδή υάρχει αιθέρας ήταν λάθος. Έτσι η κυματική εξίσωση για κύμα φωτός με ταχύτητα c ισχύει σε όλα τα αδρανειακά συστήματα. (δ) Διαστολή του χρόνου: Ο χρόνος ζωής κινούμενων σωματιδίων μετράται στο εργαστήριο μεγαλύτερος αό το χρόνο ζωής τους όταν είναι ακίνητα. Σχετικιστικό φαινόμενο Doppler: Φάσματα φως αό μακρινά αστέρια αρατηρούνται στην γη μετατοισμένα σε χαμηλότερες συχνότητες όταν τα αστέρια αυτά αομακρύνονται αό τη γη. (ε) Όταν οι ταχύτητες των σωμάτων είναι ολύ μικρότερες της ταχύτητας του φωτός. (στ) β pc E E m E 1 m E (1 m 1 E ) (ζ) β(1 m 1 ) 1 1 E m E (η) Διατήρηση ενέργειας στο σύστημα του καονίου: m c Ε * * Ε (1) Διατήρηση ορμής στο σύστημα του καονίου: αό την (1) έχουμε ότι P * P * P * P * () (m c Ε * ) ( Ε * ) m ( Ε * ) Ε * m c ( p * c) m και μέσω της () έχουμε ότι m (Ε * ) Ε * m c ( p * c) m m m Ε * m c m Ε * m m m m c Το δεύτερο ερώτημα βγαίνει με τον ίδιο τρόο ή και ευκολότερα ως εξής: Ε * m c Ε * m c m m m m m m m c m c
Θέμα o : (α) Να εξετάσετε εάν η οσότητα x y z c t μένει αναλλοίωτη σε μετασχηματισμούς Γαλιλαίου. (β) Η μάζα ηρεμίας ενός μιονίου ισούται με 7 m e (16 MeV/c ) και ο μέσος χρόνος ζωής στο σύστημα ηρεμίας του είναι 1-6 s. Πόση είναι η μάζα του μιονίου στο εργαστήριο, όου ο μέσος χρόνος ζωής του είναι 7 1-6 s; (γ) Ένα διαστημόλοιο με ιδιομήκος 3 m ροσερνά έναν ακίνητο αρατηρητή στη Γη. Ο αρατηρητής μετρά ότι το διαστημόλοιο χρειάζεται.75 μs για να τον ροσεράσει. Πόση είναι η ταχύτητα του διαστημολοίου σύμφωνα με τον αρατηρητή στη Γη; (δ) Ένα σωμάτιο με μάζα ηρεμίας m κινείται με ταχύτητα.8c συγκρούεται λαστικά με ένα άλλο σωμάτιο ου έχει μάζα ηρεμίας 3m. Πόση είναι η μάζα ηρεμίας του συσσωματώματος; [1 μονάδες] (α) Θεωρήστε τους μετασχηματισμούς του Γαλιλαίου x ' x Vt y ' y z'z t 't Οι οοίοι εριγράφουν την αλλαγή των συντεταγμένων αό το σύστημα Ο στο σύστημα Ο' το οοίο κινείται με ταχύτητα V στη διεύθυνση του άξονα x σε σχέση με το Ο. Τα δύο συστήματα συμίτουν για t 't. Η ιο άνω οσότητα μετασχηματίζεται ως εξής x ' y ' z ' c t ' ( x Vt) y ' z ' c t ' x y z c t xv t V t Προφανώς λόγο των δύο τελευταίων όρων η οσότητα x y z c t δεν είναι αναλλοίωτη ως ρος τους μετασχηματισμούς του Γαλιλαίου. (β) Αν ο χρόνος στο σύστημα του εργαστηρίου μετράται 7 1-6 s τότε αό την διαστολή του χρόνου έχουμε ότι γ7/. Άρα mγ m 7 16 MeV/c 371 MeV/c (γ) Στο αδρανειακό σύστημα της γης το διαστημόλοιο έχει μήκος ίσο με l /γ. Άρα ο χρόνος ου μετρά ο ακίνητος αρατηρητής στη Γη δίνεται αό Δt l γ V l γβc Έτσι έχουμε ότι Όμως βγ l c Δt β γ 1γ 1( l c Δt γ ) 1( l c Δt ) όου V η ταχύτητα του διαστημολοίου. (1) β 1 1 γ () Aό (1) και () έχουμε ότι 1 1 1( β 1 (c Δt ) c Δt ) (c Δt) l l (c Δt ) l 3.8 3 9 1 16.75 1 1 (δ) Το αρχικό σωματίδιο κινείται με β.8 γ.6 (1) Αό διατήρηση ορμής έχουμε ότι m β γ c m β γ c () Αό διατήρηση ενέργειας έχουμε ότι m γ c 3m c m γ c (3) Διαιρώντας την () με την (3) έχουμε ότι β β γ γ 3.8.6.48.133333 βγ.1345 3.6 3.6 Τότε αό () έχουμε ότι β γ mm β γ.48.1345 m 3.57 m
Θέμα 3 ο : Στο διλανό σχήμα δίνεται διάταξη μέτρησης του μήκους κύματος λ Χ δέσμης ακτίνων Χ οι οοίες αράγονται αό ηγή S X. Η μέθοδος μέτρησης είναι η εξής: Η δέσμη ακτίνων Χ ροσίτει κάθετα σε κρύσταλλο Νi και υφίσταται ερίθλαση Bragg. Ο ανιχνευτής Α εριστρέφεται κατά άγνωστη γωνία έως ότου ανιχνεύσει τις ακτίνες Χ. Δεύτερη δέσμη ηλεκτρονίων αράγεται αό διάταξη φωτοηλεκτρικού φαινομένου (άνω αριστερά). Τα ηλεκτρόνια αράγονται όταν η φωτοευαίσθητη ειφάνεια βομβαρδιστεί με φωτόνια μήκους κύματος λ ο. Ηλεκτρόδιοσυλλέκτης, με οή αό την οοία εξέρχονται τα ηλεκτρόνια έχει τοοθετηθεί δεξιά της φωτοευαίσθητης ειφάνειας και βρίσκεται σε δυναμικό V. Η δέσμη ηλεκτρονίων ροσίτει κάθετα στον κρύσταλλο Νi και υφίσταται είσης ερίθλαση Bragg. Η κινητική ενέργεια της δέσμης των ηλεκτρονίων μεταβάλλεται αλλάζοντας το δυναμικό V το οοίο έχει ως αοτέλεσμα την αλλαγή της γωνίας ερίθλασης της δέσμης των ηλεκτρονίων. Το μήκος κύματος λ Χ υολογίζεται όταν οι δύο δέσμες εριθλώνται κατα την ίδια γωνία και ανιχνεύονται στον ανιχνευτή Α. Ακολουθούμε τα αρακάτω βήματα: (α) Πρώτα μετράμε την τάση αοκοής VV s <, δηλαδή την οριακή τάση για την οοία δεν ανιχνεύεται κανένα ηλεκτρόνιο στο ηλεκτρόδιο-συλλέκτη. Για λ ο 5.4 nm μετρήθηκε ότι V s Volts. Βρείτε το έργο εξόδου του φωτοευαίσθητου ηλεκτροδίου. [8 μονάδες] (β) Στη συνέχεια τα ηλεκτρόνια ειταχύνονται μέσω εφαρμοζόμενης τάσης V>. Για μία συγκεκριμένη τάση VV ο η δέσμη ανιχνεύεται αό τον Α. Μετρήθηκε ότι V ο 7.4 Volts. Βρείτε την κινητική ενέργεια Κ με την οοία τα ηλεκτρόνια ροσίτουν στον κρύσταλλο Ni. (γ) Βρείτε το μήκος κύματος λ Χ. Εξηγήστε λετομερώς τον συλλογισμό σας. (α) Η σχέση του φωτοηλεκτρικού φαινομένου είναι [4 μονάδες] [13 μονάδες] Συνεώς έχουμε ότι hf W E όου EeV s ħ c W ev λ s W ħ c 6.8 197.3 ev nm ev λ s ev5.5ev ev3.5ev 5.4 nm (β) Αό την (1) κινητική ενέργεια των ηλεκτρονίων όταν εξέρχονται αό το μέταλλο είναι ev. Συνεώς η ολική κινητική ενέργεια με την οοί τα ηλεκτρόνια ροσίτουν άνω στον κρύσταλλο είναι ΚΕ. ev7.4 ev9.4 ev (γ) Για να σκεδάζονται τα ηλεκτρόνια κατά Bragg με τον ίδιο τρόο όως και η ακτίνες-χ σημαίνει ότι το μήκος κύματος των ακτίνων-χ (λ Χ ) είναι ίδιο με το μήκος κύματος de Broglie των ηλεκτρονίων (λ e ). Άρα για να βρούμε το λ Χ δεν έχουμε αρά να βρούμε το λ e το οοίο δίνεται αό τη σχέση λ e h p ħ c cp (1) Ηλεκτρόνια με κινητική ενέργεια μικρότερη της μάζας τους εριγράφονται σωστά αό μη-σχετικιστικές σχέσεις. Συνεώς E p m e ( pc) m e c pc m e c E.511 1 6 9.4eV399.5 ev () Έτσι αό (1) και () έχουμε ότι λ X λ e ħ c cp 6.8 197.3 ev nm.4 nm 399.5 nm
Θέμα 4 ο : (α) Διατυώστε την αρχή της αβεβαιότητας του Heisenberg, όσον αφορά τον ροσδιορισμό της ορμής και της θέσης, και εξηγήστε συνοτικά τις φυσικές συνέειες ου έχει. (β) Η δυναμική ενέργεια του διλανού σχήματος αοτελεί χονδροειδή αλούστευση της δυναμικής ενέργειας στην εριοχή ενός υρήνα. Υοθέστε, κατ αρχήν, ότι το μέγιστο U max. Ένα σωματίδιο είναι λήρως εγκλωβισμένο στο ηγάδι, τυικών υρηνικών διαστάσεων L1 fm (1 fm1-15 m). Εκτιμήστε την ορμή του σωματιδίου, εκφρασμένη σε MeV/c. (γ) Εκτιμήστε την κινητική ενέργεια ΚΕ σωματιδίου εντός του ηγαδιού, (ι) εάν ήταν ηλεκτρόνιο (m e c.511 MeV) και (ιι) εάν ήταν ρωτόνιο (M P c 938.3 MeV). Δώστε ιδιαίτερη ροσοχή στη χρήση της σχετικιστικής ή της μη-σχετικιστικής έκφρασης για την κινητική ενέργεια. Εκτιμήστε είσης την ολική ενέργεια Ε των δύο σωματιδίων. (δ) Υοθέστε ότι το U max δεν είναι άειρο αλλά εερασμένο. Η ενέργεια των σωματιδίων δεν μεταβάλλεται ιδιαίτερα, αλλά τώρα τα σωματίδια μορούν να διαφύγουν αό την εριοχή μήκους L μέσω του φαινομένου σήραγγας. Ποια θα είναι η κινητική ενέργειά τους μακριά αό τον υρήνα (x ) και γιατί; (ε) Κατά τις υρηνικές μετατώσεις β, εκέμονται αό τον υρήνα ηλεκτρόνια με κινητική ενέργεια ου δεν υερβαίνει οτέ τα 5 MeV. Χρησιμοοιώντας τα αοτελέσματα αό (γ) και (δ) εξηγήστε αν είναι δυνατόν τα ηλεκτρόνια αυτά να είναι συστατικά του υρήνα, όως είναι τα ρωτόνια και τα νετρόνια. (α) Δp Δx ħ Η αρχή του Heisenberg αναφέρεται σε ταυτόχρονη μέτρηση της ορμής και της θέσης ενός σωματιδίου. Δp είναι η αβεβαιότητα της μέτρησης της ορμής και Δx η αβεβαιότητα της μέτρησης της θέσης. Συνέεια της σχέσης αυτής είναι όσο μικρότερη είναι η αβεβαιότητα στη μέτρηση της θέσης τόσο μεγαλύτερη είναι η αβεβαιότητα στη μέτρηση της ορμής και αντιστρόφως. Δηλαδή σε ένα είραμα στο μικρόκοσμο οτέ δεν θα μορέσουμε να μετρήσουμε ορμή και ενέργεια ταυτόχρονα με άειρη ακρίβεια. Η κβάντωση μεγεθών είναι συνέεια της αρχής αυτής. (β) cp ħ c Δx 197.3 Mev fm 19.3 MeV p 19.3 MeV /c 1 fm (γ) pmγβc cpγβmc γβ cp mc Για ηλεκτρόνια Για ρωτόνια γβ cp 19,73 MeV m e c.511 MeV 19.3 γβ cp MeV 19,73 m P c 938.3 MeV.1
Συνεώς τα ηλεκτρόνια είναι σχετικιστικά και για τον υολογισμό της κινητικής τους ενέργειας ρέει να χρησιμοοιήσουμε την σχετικιστική κινητική ενέργεια ενώ τα ρωτόνια δεν είναι σχετικιστικά και μορούμε να χρησιμοοιήσουμε την κλασσική σχέση για την κινητική ενέργεια (φυσικά και η σχετικιστική κινητική ενέργεια θα δώσει το σωστό αοτέλεσμα). E e (cp) m e m e c (19.73).511 MeV.511MeV19.3 MeV Για το ρωτόνιο ισχύει η κλασσική σχέση E P p (cp) m P m P c (19.73) 938.3 MeV.1MeV η οοία φυσικά δίνει το ίδιο αοτέλεσμα με την σχετικιστική σχέση E P (cp) m P m P c (19.73) 938.3 MeV 938.3 MeV.1 MeV (δ) Ισχύει δια κάθε x ότι ΕΚΕV. Μέσα στο φρέαρ δυναμικού V E E. Το ίδιο ισχύει και για x. Συνεώς τα σωματίδια ου διαεράσουν το φράγμα δυναμικού θα κινούνται με E E καθότι στο άειρο το δυναμικό είναι μηδέν. (ε) Αό τα ιο άνω συμεραίνουμε ότι αν τα ηλεκτρόνια ήταν συστατικά του υρήνα θα έρεε να εκέμονται με ενέργεια ερίου 19 MeV. Στις β-μετατώσεις η ενέργεια των εκεμόμενων ηλεκτρονίων είναι ολύ μικρότερη των 19 MeV (5 MeV την ροκειμένη ερίτωση) και συνεώς τα ηλεκτρόνια αυτά αρόλο ου εκέμονται σε β-μετατώσεις δεν είναι συστατικά του υρήνα. Τυολόγιο: pmγβc, E mγc, E ( pc) m, E ( pc) m mc βv /c, γ1/ 1 β E p /m (1 x) N 1 Nx ħ c197.3 MeV fm197.3 ev nm mγ m m / 1 β x 'x R v'v V ΚΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ