ΑΛΓΕΒΡΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΨΑΛΗΣ ΘΕΜΙΣΤΟΚΛΗΣ ΤΣΑΚΟΥΜΑΓΚΟΣ ΣΤΕΛΙΟΣ

ΑΛΓΕΒΡΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΨΑΛΗΣ ΘΕΜΙΣΤΟΚΛΗΣ ΤΣΑΚΟΥΜΑΓΚΟΣ ΣΤΕΛΙΟΣ

ΔΙΑΝΕΜΕΤΑΙ ΔΩΡΕΑΝ ΣΤΟΥΣ ΜΑΘΗΤΕΣ ΤΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΩΝ

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ... σελ. 4 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ... σελ. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο ΟΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ... σελ. 39 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ... σελ. 86 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ... σελ. 6 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5ο ΠΡΟΟΔΟΙ... σελ. 54 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6ο ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΤΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ... σελ. 79 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7ο ΜΕΛΕΤΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ... σελ. 95

Σ Υ Ν Ο Λ Α

Σ Υ Ν Ο Λ Α ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΤΟ ΛΕΞΙΛΟΓΙΟ ΤΗΣ ΛΟΓΙΚΗΣ ΒΑΣΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ. ΠΡΟΤΑΣΗ : Στα μαθηματικά προταση είναι κάθε ισχυρισμός P ο οποίος μπορεί να χαρακτηριστεί σωστός ή λάθος αποκλειστικά. Για παράδειγμα. Η Πάτρα είναι πόλη της Πελοποννήσου. Η πρόταση αυτή είναι αληθής.. " 30 0 ". Η πρόταση αυτή είναι ψευδής.. ΣΥΝΕΠΑΓΩΓΗ: Αν P και Q είναι δυο ισχυρισμοί ώστε όταν αληθεύει ο P να αληθεύει και ο Q, τότε λέμε οτι ο P συνεπάγεται τον Q και συμβολίζουμε P Q. O ισχυρισμός P Q ονομάζεται συνεπαγωγή και διαβάζεται " αν P τότε Q ". O P καλείται υπόθεση της συνεπαγωγής, ενώ ο Q συμπέρασμα της συνεπαγωγής. Απο τον ορισμό της συνεπαγωγής προκύπτει ότι: Αν ο Q είναι αληθής, τότε και ο P δεν είναι, πάντοτε, αληθής. Για παράδειγμα. Θεωρούμε τους ισχυρισμούς Ρ: "α β" και Q: Ισχύουν τα εξής:. "α β". "α β ". "α β " "α β" "α β " (αν Q δεν είναι αληθής τότε και ο P δεν είναι αληθής.) ΔΕΝ ΙΣΧΥΕΙ: "α β " "α β"!!! Για παράδειγμα. " 4 4 " " 4 4"..3 ΙΣΟΔΥΝΑΜΙΑ Ή ΔΙΠΛΗ ΣΥΝΕΠΑΓΩΓΗ Αν P και Q είναι δυο προτάσεις τέτοιες ώστε οταν ισχύει η μια απο τις δυο, να ισχύει και η άλλη,τότε λέμε οτι η πρόταση P συνεπάγεται την πρόταση Q και αντίστροφα ή η πρόταση P είναι ισοδύναμη με την πρόταση Q. Ο ισχυρισμός P Q ονομάζεται ισοδυναμία και διαβάζεται: Για παράδειγμα. " Ρ αν και μόνο αν Q". 4

Σ Υ Ν Ο Λ Α Θεωρούμε τις προτάσεις Ρ: "α β" και Q: "α β" Ισχύει οτι : P Q δηλαδή "α β " "α β"..4 Ο ΣΥΝΔΕΣΜΟΣ " ή " Aν P και Q δυο προτάσεις,τότε η πρόταση " P ή Q " ισχύει μόνο στην περίπτωση που ισχύει ένας τουλάχιστον απο τους δυο ισχυρισμούς. Η πρόταση " P ή Q " ονομάζεται διάζευξη των P και Q και αληθεύει όταν αλη- θεύει η πρόταση Ρ, ή αληθεύει η πρόταση Q, ή οταν αληθεύουν και οι δύο. Για παράδειγμα. Ισχύει οτι : Το γινόμενο δυο πραγματικών αριθμών α και β είναι ίσο με μηδέν αν και μόνο αν ένας τουλάχιστον απο τους α, β είναι ίσος με το μηδέν. Δηλ. α β 0 α 0 ή β 0..5 Ο ΣΥΝΔΕΣΜΟΣ "και" Aν P και Q δυο προτάσεις, τότε η πρόταση " P και Q " ισχύει μόνο στην περίπτωση που και οι δυο προτάσεις ισχύουν. Η πρόταση " P και Q " λέγεται σύζευξη των P και Q. Για παράδειγμα. Το γινόμενο δύο πραγματικών αριθμών α και β είναι διάφορο του μηδενός, αν και μόνο αν οι αριθμοί α και β είναι και οι δύο διάφοροι του μηδενός. Δηλ. α β 0 α 0 και β 0 Στα Μαθηματικά Α. ΣΥΝΟΛΑ Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ Σύνολο είναι κάθε συλλογή αντικειμένων, που προέρχονται από την εμπειρία μας ή τη διανόησή μας, είναι καλά ορισμένα και διακρίνονται το ένα από το άλλο. Τα σύνολα συμβολίζονται με κεφαλαία γράμματα Α, Β, Γ κ.λπ. και τα στοιχεία τους με μικρά α, β, γ, και συμφωνούμε να γράφουμε κάθε στοιχείο 5

Σ Υ Ν Ο Λ Α μόνο μια φορά. Όταν ένα στοιχείο ανήκει σε ένα σύνολο Α τότε γράφουμε δεν ανήκει στο Α γράφουμε A Η παράσταση τους γίνεται είτε με αναγραφή των στοιχείων: π.χ. Α = {,,3}, είτε με περιγραφή: π.χ. Β Ν / A,ενώ όταν Γενικά αν από ένα σύνολο αναφοράς Ω επιλέξουμε εκείνα τα στοιχεία που έχουν μια ορισμένη ιδιότητα Ι, τότε φτιάχνουμε ένα νέο σύνολο Α και συμβολικά γράφουμε : και διαβάζουμε: Α Ω / έχει την ιδιότητα Ι " το σύνολο των Ω, όπου έχει την ιδιότητα Ι" Τα γνωστά σύνολα των φυσικών αριθμών 0,,, 3,, των ακέραιων 0,,, 3, είναι απειροσύνολα. Τα απειροσύνολα όταν τα παριστάνουμε με αναγραφή των στοιχείων γράφουμε μερικά έτσι ώστε όμως να είναι σαφές ποιά παραλείπονται π.χ. Α = {, 3, 5, }. Δύο σύνολα Α και Β είναι ίσα Α Β αν έχουν ακριβώς τα ίδια στοιχεία. Το σύνολο που δεν έχει κανένα στοιχείολέγεται κενό σύνολο και συμβολίζεται ή. Επισημαίνεται ότι: Ένα σύνολο Α λέγεται υποσύνολο ενός συνόλου Β όταν κάθε στοιχείο του Α είναι και στοιχείο του Β. Συμβολικά γράφουμε Α B. Το σύνολο Β λέγεται υπερσύνολο του Α ή λέμε: το σύνολο Β περιέχει το Α. Ισχύουν οι ιδιότητες: i) Α Α, για κάθε Α ii) Αν Α B και τότε Α Γ (μεταβατική ιδιότητα) iii) Αν Α B και Β Α, τότε Α Β iv) Α, για κάθε Α. Είναι: Μια εποπτική παρουσίαση των συνόλων και των μεταξύ του σχέσεων γίνεται με τα διαγράμματα Venn. Το βασικό σύνολο αναφοράς Ω συμβολίζεται με το ε- σωτερικό ενός ορθογωνίου και κάθε υποσύνολό του με το εσωτερικό μιας κλειστής καμπύλης. 6

Σ Υ Ν Ο Λ Α Β Ω Α Α Β ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΣΥΝΟΛΑ i. Ένωση δύο υποσυνόλων Α, Β ενός βασικού συνόλου Ω λέγεται το σύνολο των στοιχείων του Ω που ανήκουν τουλάχιστον σε ένα από τα σύνολα Α και Β και συμβολίζεται με Α Β. Δηλαδή είναι: ii. iii. Α Β Ω / A ή Β Τομή δύο υποσυνόλων Α, Β ενός βασικού συνόλου Ω λέγεται το σύνολο των στοιχείων του Ω που ανήκουν και στα δύο σύνολα Α, Β και συμβολίζεται με Α Β. Δηλαδή είναι: ΑΒ Ω / Α και Β Συμπλήρωμα ενός υποσυνόλου Α ενός βασικού συνόλου Ω λέγεται το σύνολο των στοιχείων του Ω που δεν ανήκουν στο Α και συμβολίζεται με Α. Α Ω Δηλαδή είναι: Α Α Ω / A Α Α Β Β Ω Ω Στα παρακάτω διαγράμματα Venn παρατηρούμε: Α Ω Αν τότε και Β Αν τότε ΑΒ Β Α Β Ω ΑΒ 7

Σ Υ Ν Ο Λ Α ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ α. Ασκήσεις στα σύνολα i. Να γράψετε με αναγραφή τα σύνολα: α. A / 5 β. B,y /, y, / 0 και y 3 A / 5 / 5 5 5, 4, 3,,, 0,,, 3, 4, 5 B, y /, y, 0 και y 3, y /, y, 0 και y 3 ή y 3, y /, y, και y ή y 5,,, 5 ii. Να συγκρίνετε τα σύνολα: και A / 0 3 B / 0 ή 8 A / 0 / 0 ή 0,,. 3 B / 0 ή 8 / ή,,. Άρα Α Β. iii. Να εξετάσετε ποιο από τα παρακάτω σύνολα είναι το κενό και B / A / 0. και B / A / 0 0 γιατί η εξίσωση είναι αδύνατη.. 8

Σ Υ Ν Ο Λ Α iv. Εξετάσετε αν το σύνολο A,, είναι υποσύνολο του συνόλου 4 3 B / 3 3 0 Έχουμε: B 4 3 γιατί 3 3 0 4 3 και B γιατί 3 3 0 4 3 όμως B γιατί 3 3 9 0 άρα το Α δεν είναι υποσύνολο του συνόλου Β. v. Δίνονται τα σύνολα Ω / διαιρέτης του, A / 4. Να βρεθούν τα σύνολα Α, A B και B / περιττός και 3 A B. Είναι Ω / διαιρέτης του,, 3, 4, 6, A / 4 / 4 4,, 3, 4 B / περιττός και 3 Ζ / περιττός και 3 3 Άρα B,3. Είναι A Ω / Α 6,. AB Ω/ Aκαι B,, 3, 4 και AB Ω / A ή B A. Επειδή B A. Α Λ Υ Τ Ε Σ Α Σ Κ Η Σ Ε Ι Σ. Δίνονται τα σύνολα Ω / 5, A / διαιρέτης του 5 B / 6 5 0 Γ / 5 0 Να εξετάσετε αν τα Α, Β, Γ είναι υποσύνολα του Ω. Να βρείτε τα σύνολα: και A B, B Γ, A Β, Γ Ω, Β Ω, Α, Β, Γ, A Γ, Β Α, Γ Α.. Δίνονται τα σύνολα Ω / διαιρέτης του και B / διαιρέτης του 6. Να ορίσετε το σύνολο των φυσικών που διαιρούν το αλλά δεν διαιρούν το 9

Σ Υ Ν Ο Λ Α 6. 3. Έστω Ω,,3,,0 ένα βασικό σύνολο και τρία υποσύνολα αυτού Α,, 4,7,8, Β 3, 4,8,0 και Γ,4,5,0 α) Να παραστήσετε τα σύνολα Ω, Α, Β και Γ με διάγραμμα Venn. β) Να παραστήσετε με αναγραφή των στοιχείων τους καθώς και με διαγράμμα τα Venn τα σύνολα: i) A B ii) B Γ iii) ΑB Γ iv) AB Γ v) AB Γ 4. Στο παρακάτω σχήμα παριστάνονται με διάγραμμα Venn ένα βασικό σύνολο Ω και τρία υποσύνολά του Α, Β και Γ. Α 54 4 8 0 Β 7 Ω 5 0 Γ 36 9 4 3 α) Ποιο είναι το πλήθος των στοιχείων των συνόλων Α, Β και Γ; β) Να παραστήσετε με αναγραφή των στοιχείων τους τα σύνολα: i) A B ii) B Γ iii) ΑB Γ iv) AB Γ v) A 0

Π Ι Θ Α Ν Ο Τ Η Τ Ε Σ Π Ι Θ Α Ν Ο Τ Η Τ Ε Σ ΠΡΩΤΑΡΧΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Πείραμα τύχης ονομάζεται κάθε πείραμα που είναι δυνατόν να επαναληφθεί πολλές φορές κάτω από τις ίδιες συνθήκες, του οποίου δεν μπορούμε να προβλέψουμε το αποτέλεσμα. Π.χ. Η ρίψη ενός ζαριού. Δειγματικός χώρος ενός πειράματος τύχης ονομάζεται το σύνολο όλων των δυνατών αποτελεσμάτων που μπορούν να εμφανιστούν κατά την εκτέλεση του πειράματος και συμβολίζεται με Ω. ω,ω,,ω είναι τα δυνατά αποτελέσματα ενός πειράματος τύχης, τότε Αν ν ν Ω ω,ω,,ω Τα στοιχεία του Ω λέγονται και εξαγόμενα του πειράματος. Ενδεχόμενο ή γεγονός ενός πειράματος τύχης ονομάζεται κάθε υποσύνολο του δειγματικού χώρου Ω του πειράματος. Τα ενδεχόμενα διακρίνονται σε απλά και σύνθετα. Απλό ή στοιχειώδες ενδεχόμενο λέγεται κάθε υποσύνολο του Ω που έχει μόνο ένα στοιχείο, ενώ σύνθετο λέγεται κάθε υποσύνολο του Ω με τουλάχιστον στοιχεία. Π.χ. Κατά τη ρίψη ενός ζαριού ο δειγματικός χώρος είναι Ω,,3,4,5,6 Τότε το ενδεχόμενο Α είναι απλό, ενώ το Β,3,5 είναι σύνθετο ενδεχόμενο. Παρατήρηση Είναι προφανές πως κάθε στοιχείο ενδεχόμενο {ω i}. ω i του δειγματικού χώρου Ω είναι ένα απλό Ένα ενδεχόμενο θα λέμε ότι πραγματοποιείται ή συμβαίνει όταν το αποτέλεσμα του πειράματος σε μια συγκεκριμένη εκτέλεσή του είναι στοιχείο αυτού του ενδεχόμενου. Για το λόγο αυτό τα στοιχεία ενός ενδεχόμενου λέγονται ευνοϊκές περιπτώσεις για την πραγματοποίησή του. Π.χ. Το ενδεχόμενο Α, 4,6 έχει 3 ευνοϊκές περιπτώσεις και προφανώς πραγματοποιείται όταν κατά την ρίψη ενός ζαριού φέρουμε, 4 ή 6. Το πλήθος των στοιχείων ενός ενδεχόμενου Α θα το συμβολίζουμε με Ν Α

Π Ι Θ Α Ν Ο Τ Η Τ Ε Σ Π.χ. Για το ενδεχόμενο Α,4,6 είναι ΝΑ 3. ΒΕΒΑΙΟ ΑΔΥΝΑΤΟ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΟ Ισχύει Ω Ω, άρα ο δειγματικός χώρος. Ω είναι κι αυτός ένα ενδεχόμενο του πειράματος τύχης, το οποίο ονομάζουμε βέβαιο ενδεχόμενο, αφού πραγματοποιείται πάντοτε, διότι κάθε αποτέλεσμα του πειράματος είναι στοιχείο του. Επίσης Ω, οπότε το κενό σύνολο είναι κι αυτό ένα ενδεχόμενο του πειράματος τύχης, το οποίο ονομάζεται αδύνατο ενδεχόμενο αφού δεν πραγματοποιείται ποτέ διότι κάθε αποτέλεσμα του πειράματος δεν είναι στοιχείο του. ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ Όπως είδαμε, τα ενδεχόμενα είναι υποσύνολα του δειγματικού χώρου Ω. Επομένως, μεταξύ των ενδεχομένων ενός πειράματος μπορούν να οριστούν οι γνωστές πράξεις μεταξύ των συνόλων, από τις οποίες προκύπτουν νέα ενδεχόμενα. Έτσι, αν Α και Β είναι δύο ενδεχόμενα, έχουμε: Ένωση Το ενδεχόμενο Α Β που διαβάζεται " Α ένωση Β" ή "Α ή Β" και πραγματοποιείται όταν πραγματοποιείται ένα τουλάχιστον από τα Α, Β. Π.χ. Αν Α,,3, Β,3, 4 τότε Α,,3,4 Τομή Α Β Ω Το ενδεχόμενο Α Β που διαβάζεται " Α τομή Β" ή "Α και Β" και πραγματοποιείται όταν πραγματοποιούνται συγχρόνως τα Α και Β. Α Β Ω Π.χ. Αν Α,,3, Β,3, 4 τότε Α,3 Αντίθετο ή συμπληρωματικό Το ενδεχόμενο Α που διαβάζεται "όχι Α" ή "συμπληρωματικό του Α" και πραγματοποιείται όταν δεν πραγματοποιείται το Α. Το Α λέγεται "αντίθετο του Α". Π.χ. Κατά τη ρίψη ενός ζαριού ο δειγματικός χώρος είναι Ω,,3,4,5,6. Α,3,5 Α,4,6 Αν τότε Α Α Ω

Π Ι Θ Α Ν Ο Τ Η Τ Ε Σ Διαφορά ενδεχομένων Το ενδεχόμενο Α Β που διαβάζεται "διαφορά του Β από το Α" και πραγματοποιείται, όταν πραγματοποιείται το Α και όχι το Β, ή αλλιως, πραγματοποιείται μόνο το Α. Είναι εύκολο να διαπιστώσουμε ότι: Α Β Α Β. Π.χ. Κατά τη ρίψη ενός ζαριού ο δειγματικός χώρος είναι Ω,,3,4,5,6. Αν Α,,3,4 και Β 3,4,5,6 τότε Α Β,. Α Β Ω ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΠΡΑΞΕΩΝ η ) Α Α Ω Ω Α Β Α Β Τύποι του De Morgan Α Β Α Β η ) 3 η ) Α Β Β Α Α Β Β Α ( Αντιμεταθετική ) 4 η ΑΒΓ (ΑΒ) ΓΑ (ΒΓ) ) ΑΒΓ (ΑΒ) ΓΑ (ΒΓ) ( Προσεταιριστική ) 5 η ) Α (ΒΓ) (ΑΒ) (ΑΓ) Α (ΒΓ) (ΑΒ) (ΑΓ) ( Επιμεριστική ) 6 η ) Αν Α Β Α Β Β και Α Β Α άρα αν Α Ω ΑΩ Ω και Α Ω Α προφανώς ισχύουν: Ω Ω, Α Α Ω, Α A B A και A B B 7 η ) A A B και Β Α Β 3

Π Ι Θ Α Ν Ο Τ Η Τ Ε Σ ΑΣΥΜΒΙΒΑΣΤΑ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ Δύο ενδεχόμενα Α, Β ονομάζονται ασυμβίβαστα ή ξένα μεταξύ τους ή αμοιβαίως αποκλειόμενα όταν A B. Παρατηρούμε ότι δύο ασυμβίβαστα ενδεχόμενα Α και Β δεν μπορούν να πραγματοποηθούν συγχρόνως γιατί δεν έχουν κανένα κοινό στοιχείο. ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΩΝ Ο δειγματικός χώρος Ω καθώς και τα ενδεχόμενα ενός πειράματος τύχης παριστάνονται γραφικά με τη βοήθεια των διαγραμμάτων του Venn ΣΥΜΠΛΗΡΩΜΑΤΙΚΕΣ ΠΕΡΙΠΤΩΣΕΙΣ ΔΙΑΓΡΑΜΜΑΤΩΝ Α Β Α Β Το ενδεχόμενο Α Β Α Β πραγματοποιείται ό- ταν: Α Β Ω "Δεν πραγματοποιείται το Α ή το Β". ή αλλιώς Α Β " Δεν πραγματοποιείται το Α και δεν πραγματοποιείται το Β". Α Β Α Β Το ενδεχόμενο Α Β Α Β πραγματοποιείται όταν: "Δεν πραγματοποιείται συγχρόνως το Α και το Β". ή αλλιώς " Δεν πραγματοποιείται το Α ή δεν πραγματοποιείται το Β". Α Β Β Α Το ενδεχόμενο Α Β Β Α πραγματοποιείται όταν πραγματοποιείται μονο το Α ή πραγματοποιείται μόνο το Β. Ισχύουν: Α Α Β Α Β Β Ω Ω 4

Ω Π Ι Θ Α Ν Ο Τ Η Τ Ε Σ A B A B B A A B A B B A Δηλαδή: Τα ενδεχόμενα Α Β, A B και Β Α είναι ανα δύο ασυμβίβαστα. Επίσης: A B AB A B A A B B A B A B B A A B ΕΥΡΕΣΗ ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΥ ΧΩΡΟΥ Ω Για πειράματα τύχης με απλό δειγματικό χώρο, δηλαδή για πειράματα τα ο- ποία ολοκληρώνονται σε μια φάση, ο δειγματικός χώρος προσδιορίζεται με αναγραφή των στοιχείων του. Ω,,3,4,5,6 Π.χ. Για την ρίψη ενός ζαριού: Για την ρίψη ενός νομίσματος:, Για πειράματα τύχης που ολοκληρώνονται σε δύο τουλάχιστον φάσεις ο δειγματικός χώρος προσδιορίζεται ευκολότερα με τη βοήθεια ενός δενδροδιαγράμματος στο οποίο περιγράφουμε διαδοχικά καθεμιά φάση και τα αποτελέσματά της. Π.χ Ρίχνουμε ένα νόμισμα διαδοχικά 3 φορές. Για να προσδιορίσουμε τον δειγματικό χώρο του πειράματος τύχης κατασκευά-ζουμε το διπλανό δεντροδιάγραμμα: η Κ Ρίψεις η Κ Γ 3η Κ Γ Κ Άρα KKK, KKΓ, KΓK, KΓΓ, ΓKK, ΓKΓ, ΓΓK, ΓΓΓ Αρχή Γ Κ Γ Γ Κ Γ Κ Γ 5

Π Ι Θ Α Ν Ο Τ Η Τ Ε Σ Όταν ένα πείραμα αποτελείται από δύο φάσεις τότε αντί του δενδροδιαγράμματος μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε και τον πίνακα διπλής εισόδου. Π.χ. Έχουμε δύο ζάρια Α και Β για τα οποία ισχύουν ότι το ζάρι Α έχει δύο έδρες με την ένδειξη, τρείς έδρες με την ένδειξη και μία έδρα με την ένδειξη 3, ενώ το ζάρι Β έχει έδρες με την ένδειξη 4, δύο έδρες με την ένδειξη 5 και δύο έδρες με την ένδειξη 6. Ρίχνουμε ταυτόχρονα τα δύο ζάρια και καταγράφουμε το αποτέλεσμα της. Με τη βοήθεια ενός πίνακα διπλής εισόδου να βρεθεί ο δειγματικός χώρος του πειράματος. Τα αποτελέσματα του πειράματος προκύπτουν από τον παρακάτω πίνακα διπλής εισόδου. Άρα: Ω,4,,4, 3,4,,5,,5, 3,5,,6,,6, 3,6 Α 3 Β 4 5 6, 4,5,6, 4,5,6 3, 4 3,5 3,6 Η Ε Ν Ν Ο Ι Α Τ Η Σ Π Ι Θ Α Ν Ο Τ Η Τ Α Σ Η έννοια της πιθανότητας είναι πρωταρχικής σημασίας και άπτεται πολλών θεωρήσεων που καλύπτουν ένα ευρύ φάσμα: από τη φιλοσοφία και τη λογική μέχρι τη διαίσθηση, την εμπειρία και την πρακτική εφαρμογή. Συνδέεται με την έννοια της αβεβαιότητας, της τύχης, της σχετικής συχνότητας και της υποκειμενικής κρίσης. Δεν θα ασχοληθούμε με τις φιλοσοφικές θεωρήσεις της έννοιας της πιθανότητας. Ούτε θα προσπαθήσουμε να εξηγήσουμε την «αληθινή σημασία» της έννοιας της πιθανότητας. Αντίθετα, θα δώσουμε τρόπους υπολογισμού των πιθανοτήτων ενδεχομένων, θεωρήματα και εφαρμογές. Υπάρχουν τρεις κύριοι ορισμοί της πιθανότητας ενός ενδεχομένου: ο κλασσικός, ο εμπειρικός και ο αξιωματικός. Ο κλασσικός ορισμός ξεκίνησε από την μελέτη των προβλημάτων που εμφανίζονται στα τυχερά παιχνίδια. Ο εμπειρικός ορισμός στηρίζεται στην εμπειρία που απαιτείται από επαναλήψεις τυχαίων πειραμάτων. Ο 6

Π Ι Θ Α Ν Ο Τ Η Τ Ε Σ αξιωματικός ορισμός είναι μαθηματικό δημιούργημα συμβιβαστό με τον εμπειρικό και κλασσικό ορισμό Μεγάλα ονόματα στην ιστορία της πιθανότητας είναι τα ονόματα των: Bernoulli, de Moivre, Laplace, Gauss, Poisson, Chebychev, Markov και Lyapounov. Η εμπειρική ή στατιστική θεώρηση της πιθανότητας αναπτύχθηκε κυρίως από τον R. A. Fisher και R. Von Mises. Η έννοια του δειγματικού χώρου οφείλεται στον Von Misses. Η σύγχρονη αξιωματική θεώρηση οφείλεται στον A. Kolmogorov. ΣΧΕΤΙΚΗ ΣΥΧΝΟΤΗΤΑ Αν σε ν εκτελέσεις ενός πειράματος ένα ενδεχόμενο Α πραγματοποιείται κ φορές, το τε ο λόγος κ ν ονομάζεται σχετική συχνότητα του Α και συμβολίζεται με f A. του ενδεχομένου Α ονομάζεται ο λόγος όπου ν ο αριθμός εκτελέσεων του κ Δηλαδή: f A. ν Ιδιαίτερα αν ο δειγματικός χώρος ενός πειράματος είναι το πεπερασμένο σύνολο 3 λ Ω ω,ω,ω,...,ω και σε ν εκτελέσεις του πειράματος αυτού τα απλά ενδεχόμενα ω, ω,..., ω λ πραγματοποιούνται κ,κ,...,κ λ φορές αντίστοιχα, τότε λ για τις σχετικές συχνότητες f κ, f κ κ,..., f λ των απλών ενδεχομένων ν ν ν έχουμε: κi. 0 fi, i,,...,λ διότι 0 κi ν 0 0 f i ν κ κ κ ν f f... f ή ν ν λ. λ λ f i. i ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΟΜΑΛΟΤΗΤΑ Ή ΝΟΜΟΣ ΤΩΝ ΜΕΓΑΛΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ Στατιστική ομαλότητα ή νόμο των μεγάλων αριθμών ονομάζουμε το φαινόμενο κατά το οποίο η σχετική συχνότητα με την οποία εμφανίζεται κάποιο ενδεχόμενο καθώς ο αριθμός των επαναλήψεων (δοκιμών) του πειράματος αυξάνει απεριόριστα τείνει να σταθεροποιηθεί σε κάποια συγκεκριμένη τιμή την οποία 7

Π Ι Θ Α Ν Ο Τ Η Τ Ε Σ παίρνουμε ως την πιθανότητα του ενδεχομένου. Ο νόμος των μεγάλων αριθμών (στατιστική ομαλότητα) αποτελεί τη βάση του ε- μπειρικού ορισμού της πιθανότητας. Εμπειρικός ή στατιστικός ορισμός Έστω κ ν η σχετική συχνότητα ενός ενδεχομένου Α σε ν επαναλήψεις ενός πειρά- P A ματος. Η πιθανότητα Ρ(Α) του Α είναι: ν κ lim ν ΚΛΑΣΣΙΚΟΣ ΟΡΙΣΜΟΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ Έστω Ω ο δειγματικός χώρος ενός πειράματος τύχης που αποτελείται από πεπερασμένου πλήθους ισοπίθανα απλά ενδεχόμενα. Ως πιθανότητα Ρ(Α) του ενδεχομένου Α ορίζουμε το πηλίκο Ν Α PA Ν Ω όπου Ν(Α): πλήθος ευνοϊκών περιπτώσεων του Α. Ν(Ω): πλήθος δυνατών περιπτώσεων του πειράματος. ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ:. Από τον κλασικό ορισμό προκύπτει άμεσα ότι: N Ω i. P Ω N Ω N 0 ii. NΩ NΩ iii. 0 PA P 0 διότι N A N Ω 0 N A N Ω 0 0 P A N Ω N Ω. Ο κλασσικός ορισμός της πιθανότητας εφαρμόζεται όταν ο δειγματικός χώρος είναι πεπερασμένος και αποτελείται από ισοπίθανα και απλά ενδεχόμενα. 3. Όταν έχουμε έναν δειγματικός χώρο Ω ω,ω,...,ω ν και χρησιμοποιούμε τη φράση «παίρνουμε τυχαία ένα στοιχείο του Ω» τότε θεωρούμε πως όλα τα 8

Π Ι Θ Α Ν Ο Τ Η Τ Ε Σ δυνατά αποτελέσματα είναι ισοπίθανα με Pω Έστω Ω ω,ω,...,ω i, i,,..., ν ν ΑΞΙΩΜΑΤΙΚΟΣ ΟΡΙΣΜΟΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ ένας δειγματικός χώρος με πεπερασμένο πλήθος στοιχεί- ν i ων. Σε κάθε απλό ενδεχόμενο ω αντιστοιχίζουμε έναν πραγματικό αριθμό, που τον συμβολίζουμε με Pω i, έτσι ώστε να ισχύουν: 0 Pω ν i i P ω Τον αριθμό i i P ω τον ονομάζουμε πιθανότητα του ενδεχομένου ω. Ως πιθανότητα Ρ(Α) ενός ενδεχομένου A α,α,...,α κ ορίζουμε το άθροισμα Pα Pα... Pακ αδύνατου ενδεχομένου ορίζουμε τον αριθμό P 0. i με κ ν, ενώ ως πιθανότητα του ΚΑΝΟΝΕΣ ΛΟΓΙΣΜΟΥ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ Κανόνες Λογισμού των Πιθανοτήτων Για τις πιθανότητες των ενδεχομένων ενός δειγματικού χώρου Ω ισχύουν οι παρακάτω ιδιότητες, γνωστές ως κανόνες λογισμού των πιθανοτήτων. Οι κανόνες αυτοί θα αποδειχθούν στην περίπτωση που τα απλά ενδεχόμενα είναι ισοπίθανα. Αποδεικνύεται όμως ότι ισχύουν και στην περίπτωση που τα απλά ενδεχόμενα δεν είναι ισοπίθανα.. Για οποιαδήποτε ασυμβίβαστα μεταξύ τους ενδεχόμενα Α και Β ισχύει: Απόδειξη Αν NA κ και NB PAB PA PB λ, τότε το A B έχει κ λ στοιχεία, γιατί αλλιώς τα Α και Β δε θα ήταν ασυμβίβαστα. Δηλαδή, έχουμε: A B NA B κ λ NA NB. Ω A B 9

Π Ι Θ Α Ν Ο Τ Η Τ Ε Σ Επομένως: PA B N A B N Ω N B N Ω N A N A N B N Ω P N Ω A P B. Η ιδιότητα αυτή είναι γνωστή ως απλός προσθετικός νόμος (simply additive law) και ισχύει και για περισσότερα από δύο ενδεχόμενα. Έτσι, αν τα ενδεχόμενα Α, Β και Γ είναι ανά δύο ασυμβίβαστα θα έχουμε PA BΓ PA PB PΓ.. Για δύο συμπληρωματικά ενδεχόμενα Α και A ισχύει: Απόδειξη P A P A Επειδή AA, δηλαδή τα Α και A είναι ασυμβίβαστα, έχουμε διαδοχικά, σύμφωνα με τον απλό προσθετικό νόμο: Ω P A A P A P A PΩ PA PA PA PA. Οπότε: PA PA. 3. Για δύο ενδεχόμενα Α και Β ενός δειγματικού χώρου Ω ισχύει: Α PA B PA PB PA B Α Απόδειξη Για δυο ενδεχόμενα Α και Β έχουμε NA B NA NB NA B, () A B αφού στο άθροισμα NA NB το πλήθος των στοιχείων του A B υπολογίζεται δυο φορές. Ω Α B 0

Π Ι Θ Α Ν Ο Τ Η Τ Ε Σ Αν διαιρέσουμε τα μέλη της () με NΩ έχουμε: και επομένως N A B N A N B N A B N Ω N Ω N Ω N Ω PA B PA PB PA B. Η ιδιότητα αυτή είναι γνωστή ως προσθετικός νόμος (additive law). 4. Αν A B, τότε PA PB Απόδειξη Επειδή A NB N A B έχουμε διαδοχικά: Β Α Ω N A N Ω N B N Ω PB P A. 5. Για δύο ενδεχόμενα Α και Β ενός δειγματικού χώρου Ω ισχύει Απόδειξη Επειδή τα ενδεχόμενα A B και A B PA B PA PA B. είναι ασυμβίβαστα και A B AB A, έχουμε: PA PA B PA B. Άρα PA B PA PA B. Ω A A B B

. ΡΑ Β Π Ι Θ Α Ν Ο Τ Η Τ Ε Σ ΟΙ ΤΥΠΟΙ ΣΥΓΚΕΝΤΡΩΤΙΚΟΣ ΠΙΝΑΚΑΣ Ρ Α Ρ Β Ρ Α Β, ανα Β Ρ Α Ρ Β, ανα Β. ΡΑ ΡΑ ΡΑ ΡΑ 3. Αν Α Β, τότε ΡΑ ΡΒ. 4. ΡΑ Β ΡΑ Β ΡΑ ΡΑ Β ΡΒ Α ΡΒΑ ΡΒ ΡΑ Β ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ. Αν A B PA PB Προσοχή!!!! δεν ισχύει το αντίστροφο. Ο προσθετικός νόμος γενικεύεται εύκολα για περισσότερα από δύο ενδεχόμενα. Έτσι για τρία ενδεχόμενα Α, Β, Γ ισχύει: P B Γ P A B Γ P A B Γ P A P B P Γ P A B P A Γ Απόδειξη P A P B P A B P Γ P A Γ B Γ P A B Γ P A B Γ P A B P Γ P A B Γ PA PB PΓ PA B PAΓ PBΓ PAB Γ 3. Ισχύει: PA B PA PB Απόδειξη Έστω (Ανισότητα του Boole) P A B P A P B P A P B P A B P A P B

Που ισχύει. Π Ι Θ Α Ν Ο Τ Η Τ Ε Σ PA B 0 PA B 0 Αντίστοιχα: PA B Γ PA PB PΓ 4. Να υπολογιστεί η πιθανότητα του ενδεχομένου A B B A Γνωρίζουμε ότι: A B B A Οπότε: P A B B A P A B P B A PA P A B PB PA B PA PB P A B 5. Να υπολογιστούν οι πιθανότητες των ενδεχομένων: α) Α Β β) Α Β α) P A B P A B P A B β) P A B P A B P A B 6. Γνωρίζουμε ότι: A B PA PB οπότε: και A B A P A B P A A B B P A B P B A A B P A P A B B A B P B P A B Οι παραπάνω εφαρμογές της ιδιότητας (4) χρησιμοποιούνται σε ασκήσεις με ανισοτικές σχέσεις. 3

Π Ι Θ Α Ν Ο Τ Η Τ Ε Σ Α Σ Κ Η Σ Ε Ι Ο Λ Ο Γ Ι Α η ΚΑΤΗΓΟΡΙΑ Ασκήσεις που αφορούν τον υπολογισμό πιθανότητας ενδεχομένου, όταν τα απλά ενδεχόμενα είναι ισοπίθανα. Χρησιμοποιούμε τον «κλασσικό» ορισμό. Δηλαδή Αν Α είναι ενδεχόμενο του οποίου ζητάμε την πιθανότητα, τότε P A N A N Ω Για τον υπολογισμό των Ν(Α), Ν(Ω) απαιτείται η εύρεση του δειγματικού χώρου ή χρησιμοποιούμε κατάλληλα τα δεδομένα του προβλήματος. Για παράδειγμα Ρίχνουμε ένα νόμισμα 3 φορές. i. Να βρεθεί ο δειγματικός χώρος Ω του πειράματος ii. Να βρεθούν οι πιθανότητες των ενδεχομένων, στις τρεις ρίψεις του νομίσματος: Α: "Οι δύο ενδείξεις να είναι γράμματα". Β: "Οι τρεις ενδείξεις να είναι ίδιες". Γ: "Μία τουλάχιστον ένδειξη να είναι κεφαλή" Δ: "Μία το πολύ ρίψη να είναι κεφαλή". i. Για την εύρεση του δειγματικού χώρου χρησιμοποιούμε κατασκευάζουμε το παρακάτω δεντροδιάγραμμα. Άρα Ω A KKK, KKΓ,KΓK,KΓΓ, ΓKK, ΓKΓ, ΓΓK, ΓΓΓ ΚΓΓ, ΓΚΓ, ΓΓΚ, άρα PA N A 3 N Ω 8 Αρχή Ρίψεις η η 3η Κ Κ Γ Κ Κ Γ Γ Κ Κ Γ Γ Κ Γ Γ 4

B KKK,ΓΓΓ, άρα ΡΒ Π Ι Θ Α Ν Ο Τ Η Τ Ε Σ Ν Β Ν Ω 8 4 Γ ΚΚΚ, ΚΚΓ, ΚΓΚ,ΚΓΓ, ΓΚΚ,ΓΚΓ, ΓΓΚ άρα 7 8 Δ ΚΓΓ, ΓΓΚ, ΓΓΓ, ΓΚΓ άρα ΡΔ Ν Δ 4 Ν Ω 8 η ΚΑΤΗΓΟΡΙΑ Σε ασκήσεις που αφορούν τους κανόνες λογισμού των πιθανοτήτων, χρησιμοποιούμε σε κάθε περίπτωση την κατάλληλη ιδιότητα Ιδιαίτερη προσοχή απαιτείται στην περίπτωση που τα ενδεχόμενα των οποίων ζητείται η πιθανότητα περιγράφονται λεκτικά, αφού πρέπει να "αποκωδικοποιηθούν" και να γραφούν ως πράξεις ενδεχομένων. Για παράδειγμα P A, 7 Έστω δυο ενδεχόμενα Α και Β του ίδιου δειγματικού χώρου Ω με 4 PB και PA B 3 Να βρεθούν οι πιθανότητες των ενδεχομένων: i. Να μην πραγματοποιηθεί το Α ii. Να πραγματοποιηθεί ένα τουλάχιστον από τα Α και Β iii. Να μην πραγματοποιηθεί κανένα από τα Α και Β iv. Να πραγματοποιηθεί μόνο το Α v. Να πραγματοποιηθεί μόνο το Β vi. Να πραγματοποιηθεί ακριβώς ένα από τα Α και Β 5 i. PΑ PA 7 7 4 3 ii. PA B PA P B PA B 7 3 7 3 4 iii. P A B P A B 7 7 4 iv. PA B PA PA B 7 5

v. PB A PB PA B Π Ι Θ Α Ν Ο Τ Η Τ Ε Σ 4 3 3 7 5 7 vi. P A B B A PA B P B A Παράδειγμα. Από 0 μαθητές ενός Λυκείου, 4 μαθητές συμμετέχουν στο Διαγωνισμό της Ελληνικής Μαθηματικής Εταιρείας, 0 μαθητές συμμετέχουν στον διαγωνισμό της ένωση Ελλήνων Φυσικών και μαθητές συμμετέχουν και στους δύο διαγωνισμούς.επιλέγουμε τυχαία ένα μαθητή. Ποια είναι η πιθανότητα ο μαθητής: i. να συμμετέχει σ ένα τουλάχιστο από τους δύο διαγωνισμούς; ii. Να συμμετέχει μόνο σ ένα από τους δύο διαγωνισμούς; iii. Να μη συμμετέχει σε κανένα από τους δύο διαγωνισμούς; (Εξετάσεις 000) Έστω τα ενδεχόμενα: Α: «ο τυχαία επιλεγόμενος μαθητής να συμμετέχει στο διαγωνισμό της Ε. Μ. Ε» Β: «ο τυχαία επιλεγόμενος μαθητής να συμμετέχει στο διαγωνισμό της Ε. Ε. Φ.» 4 0 0 0 0 Τότε: PA, PB, PA B 4 0 3 4 0 0 0 0 5 P A B B A P A B P B A i. PA B PA PB P A B ii. iii. PA PA B PB PA B 4 0 0 0 0 0 0 6 4 P A B P A B 5 5 3η ΚΑΤΗΓΟΡΙΑ Σε ασκήσεις στις οποίες ο δειγματικός χώρος Ω του πειράματος τύχης αποτελείται από πεπερασμένου πλήθους μη ισοπίθανα απλά ενδεχόμενα, χρησιμοποιούμε 6

τον αξιωματικό ορισμό της πιθανότητας. Παράδειγμα. Π Ι Θ Α Ν Ο Τ Η Τ Ε Σ Έστω ο δειγματικός χώρος Ω,,...,004 και η συνάρτηση πιθανότητας: α, αν ω 3 Pω α, αν ω 4 0, αν ω 4 α Να βρεθούν: i. Ο αριθμός α ii. Οι πιθανότητες των ενδεχομένων: A ωω / ω 5 i. Ισχύει: ii. Είναι: B ωω / ω περιττός και ω 00 P P... P004 α α α α 3α α 0 α0 α ή α α 3 3 PA P P3 P4 P5 και Β 3, 5,, 00 οπότε P B P 3 P 5 P 00 α 6 8 α α 9 3 9 9 9 9 4η ΚΑΤΗΓΟΡΙΑ Σε ασκήσεις απόδειξης ανισοτήτων με πιθανότητες, χρησιμοποιούμε τις ιδιότητες πιθανοτήτων και τις εφαρμογές αυτών: ΠΡΟΣΟΧΗ!!! 7

Π Ι Θ Α Ν Ο Τ Η Τ Ε Σ Για κάθε A Ω και Β Ω, ισχύουν τα παρακάτω 0 PA 0 PAB 0 PAB Ειδικότερα για την απόδειξη ανισοτήτων της μορφής: εργαζόμαστε όπως παρακάτω: κ P A B λ Για την PA B λ έχουμε A B A P A B P A και και A B B P A B P B Για την κ P A B χρησιμοποιούμε τον προσθετικό νόμο Όμως είναι PA B PA PB PA B, (). P A B, () και αντικαθιστώντας την () στη () έχουμε: PA PB PA B PA PB PA B Ανάλογα εργαζόμαστε για την απόδειξη ανισοτήτων της μορφής: κ P A B λ για την κ PA B έχουμε: A A B P A P A B και και B A B P B P A B Για την PA B λ χρησιμοποιούμε τον προσθετικό νόμο, σχέση (), και τη διαμορφώνουμε σε: PA B PA PB PA B, (3) 8

Π Ι Θ Α Ν Ο Τ Η Τ Ε Σ Όμως είναι PAB 0, (4) και αντικαθιστώντας την (3) στη (4) έχουμε: Παράδειγμα. PA PB PA B 0 PA B PA PB Έστω Α, Β δύο ενδεχόμενα του δειγματικού χώρου Ω για τα οποία ισχύουν και P A 0,7 P B 0,6 i. Να εξετάσετε αν τα Α, Β είναι ασυμβίβαστα P A B 0,7 P AB 0,6 ii. Να δείξετε ότι και iii. Να δείξετε ότι 0,3 PΑ B 0,6 i. Έστω ότι τα Α, Β είναι ασυμβίβαστα. Τότε: P AB P A P B 0,7 0,6,3 άτοπο Αφού PAB. Άρα τα ενδεχόμενα Α, Β δεν είναι ασυμβίβαστα. ii. Ισχύει A B A PA B PA PA B 0,7 Επίσης: B A B PB PAB 0,6 PA B iii. Ισχύει: AB B PAB PB PAB 0,6 Έστω: PA B 0,3 PA PB PAB 0,3 0, 7 0,6 P A B 0,3,3 PA B 0,3 PA B, που ισχύει. άρα 0,3 PA B 0,6 Παράδειγμα. Αν 0 P A να δείξετε ότι P A PA 4 9

Π Ι Θ Α Ν Ο Τ Η Τ Ε Σ Έστω οτι: P A PA 4 4P A P A PA' PA 4PA PA 4P A 4 P A 4 P A 4P A 0 P A 0, που ισχύει Παράδειγμα 3. Να δείξετε ότι PB PA PA B Έστω ότι: PB PA PA B P B P A P A B PB PA PA PB PA B PA B PA B, που ισχύει.. Ερωτήσεις του τύπου «ΣΩΣΤΟ ή ΛΑΘΟΣ» Έστω Α, Β ενδεχόμενο του ίδιου δειγματικού χώρου Ω. Τότε: 3 P A B P A P B. Αν PA PA τότε PA... Σ Λ. Αν AB τότε... Σ Λ 3. ΡΑ Β ΡΑ ΡΒ... Σ Λ 4. ΡΩ... Σ Λ 5. Ρ 0... Σ Λ 6. Το βέβαιο ενδεχόμενο και το αδύνατο ενδεχόμενο είναι αντίθετα ενδεχόμενα.... Σ Λ 7. Τα αντίθετα ενδεχόμενα δεν είναι ασυμβίβαστα.... Σ Λ 30

Π Ι Θ Α Ν Ο Τ Η Τ Ε Σ 8. Αν PA PA B PA B 0... Σ Λ 9. Τα ασυμβίβαστα ενδεχόμενα είναι πάντοτε αντίθετα.... Σ Λ 0. Αν P(A) P A 3P 3 P A P A B P A B τότε Α 5 3... Σ Λ.... Σ Λ. PAB PA... Σ Λ 3. Αν Α, Β ασυμβίβαστα τότε PA PB... Σ Λ 4. PAB PA... Σ Λ 5. Αν ΡΑ 0,5, ΡΒ 3 και PA B τότε 3 τα Α, Β είναι ασυμβίβαστα.... Σ Λ 6. Αν Α, Β ασυμβίβαστα τότε PB PA... Σ Λ 7. PA B PA PB... Σ Λ 8. PAB PA B... Σ Λ 9. ΡΑ Β ΡΒ ΡΒ Α ΡΑ... Σ Λ 0. P A P B P A B... Σ Λ, τότε Α. Αν ΡΑ. Αν ΡΑ ΡΒ 3. Αν, τότε Α Β Ω.... Σ Λ Ρ Α Ρ Β, τότε τα Α, Β δεν είναι.... Σ Λ ασυμβί βαστα....σ Λ 4. Αν PA B PB A, τότε ΡΑ ΡΒ... Σ Λ 5. Αν PAB PA PB, τότε τα Α,Β είναι ασυμβίβαστα.... Σ Λ 6. Αν PA PB A B... Σ Λ 7. Αν A B PA PB... Σ Λ 8. Αν A B PA PB... Σ Λ 9. Αν ΡΑ ΡΒ τότε B A Λ 30. ΡΑ ΡΑ... Σ Λ 3

Π Ι Θ Α Ν Ο Τ Η Τ Ε Σ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Να απαντήσετε στις παρακάτω ερωτήσεις: i. Τι ονομάζεται πείραμα τύχης; ii. Τι ονομάζεται δειγματικούς χώρος ενός πειράματος τύχης και τι ενδεχόμενο του δειγματικού χώρου; iii. Ποιο ενδεχόμενο ονομάζεται απλό και ποιο αντίθετο; iv. Ποιο ενδεχόμενο ονομάζεται βέβαιο και ποιο αδύνατο; v. Αν Α και Β είναι δύο ενδεχόμενα ενός πειράματος τύχης, να παραστήσετε με ένα διάγραμμα Venn τα επόμενα ενδεχόμενα A, A B, A B, A B, B A, A B, A B και A B B A. Να εξηγήσετε λεκτικά τι δηλώνει το καθένα από τα παραπάνω ενδεχόμενα.. Για τα ενδεχόμενα Α και Β ενός πειράματος τύχης ισχύουν Ν Α 0 Ν Β αντίστοιχα. και i. Αν τα Α και Β είναι ασυμβίβαστα, να βρεθεί το NA B ii. Αν τα Α και Β δεν είναι ασυμβίβαστα, να δείξετε ότι NAB 3. Έστω Α και Β δύο ενδεχόμενα του ίδιου δειγματικού χώρου Ω. Να τα παραστήσετε με διάγραμμα Venn και να εκφράσετε τη βοήθεια των συνόλων τα ενδεχόμενα: i. Να μην πραγματοποιηθεί κανένα από τα Α, Β. ii. Να μην πραγματοποιηθούν ταυτόχρονα τα Α και Β. iii. Να πραγματοποιηθεί το Α και όχι το Β. iv. Να πραγματοποιηθεί το Β και όχι το Α. v. Να πραγματοποιηθεί ένα μόνο από τα Α, Β. 4. Ελέγχονται τρεις κινητήρες α, β και γ ενός αεροσκάφους και σημειώνεται για τον καθένα η ένδειξη (Κ), όταν ο κινητήρας δεν έχει βλάβη, και η ένδειξη (Ε), όταν ο κινητήρας έχει βλάβη. Να βρείτε: i. Τον δειγματικό χώρο του πειράματος τύχης ii. Τα ενδεχόμενα: Α: "Δύο ακριβώς κινητήρες δεν έχουν βλάβη". Β: "Δύο τουλάχιστον κινητήρες έχουν βλάβη". 3

Π Ι Θ Α Ν Ο Τ Η Τ Ε Σ Γ: "Δύο το πολύ κινητήρες έχουν βλάβη". Δ: "Το πολύ ένας κινητήρας έχει βλάβη". Ε: "Το πολύ ένας κινητήρας δεν έχει βλάβη". iii. Τα ενδεχόμενα A B, B Δ και B Δ. 5. Έστω Α,Β και Γ τρία ενδεχόμενα του ίδιου δειγματικού χώρου Ω. Να εκφράσετε με τη βοήθεια των συνόλων τα παρακάτω ενδεχόμενα και τα αντίστοιχα διαγράμματα Venn. i. Πραγματοποιείται ένα τουλάχιστον από τα Α,Β και Γ. ii. Πραγματοποιείται ένα τουλάχιστον από τα Α και Β αλλά όχι το Γ. iii. Δεν πραγματοποιείται το Α αλλά πραγματοποιείται το Β και το Γ iv. Πραγματοποιείται το Α αλλά όχι το Β και το Γ. v. Δεν πραγματοποιείται κανένα από τα Α, Β και Γ vi. Πραγματοποιείται ακριβώς ένα από τα Α, Β και Γ vii. Πραγματοποιείται ακριβώς δύο από τα Α, Β και Γ. 6. Μικρά εξαρτήματα από την παραγωγή ενός εργοστασίου ελέγχονται από τη γραμμή παραγωγής. Τα εξαρτήματα ταξινομούνται σε κανονικά (Κ), σε εκείνα που έχουν ελάττωμα εμφάνισης (Ε) και σε εκείνα που έχουν ελάττωμα λειτουργίας (Λ). Ο έλεγχος σταματάει μόλις βρεθούν ελαττωματικό τύπου (Λ) ή ελαττωματικό τύπου (Ε) ή όταν ελεγχθούν 3 εξαρτήματα. Να βρείτε το δειγματικό χώρο του πειράματος τύχης. 7. Ρίχνουμε ένα νόμισμα και σημειώνουμε το αποτέλεσμα κεφαλή (Κ) ή γράμματα (Γ) μέχρι να πάρουμε δύο φορές κεφαλή ή τρεις φορές γράμματα. Να βρείτε τον δειγματικό χώρο του πειράματος τύχης. Σε πόσες το πολύ ρίψεις τελειώνει το πείραμα; 8. Αν Α και Β είναι δύο ενδεχόμενα ενός πειράματος τύχης τέτοια, ώστε A B, να δείξετε ότι i) A B A ii) A B B iii) A B iv) B A 9. Ένα κουτί περιέχει άσπρες μπάλες, κόκκινες και y μαύρες. Παίρνουμε τυχαία μια μπάλα. Η πιθανότητα να πάρουμε κόκκινη μπάλα είναι και η 33

Π Ι Θ Α Ν Ο Τ Η Τ Ε Σ πιθανότητα να πάρουμε μαύρη μπάλα είναι. Να βρείτε πόσες μπάλες υπ- 3 άρχουν στο κουτί. 0. Έστω Α, Β ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω για τα οποία ισχύουν P(A B) 70%, PA B 60% και P A 3. Να βρείτε τις πιθανό- P B 5 τητες Ρ Α, Ρ Β και ΡΒ.. Δύο ενδεχόμενα Α, Β ενός δειγματικού χώρου Ω για τα οποία ισχύει: 6 PA B, PA PB. Να βρείτε τις πιθανότητες των ενδεχομένων α) A B β) A B 5 7. Αν για το ενδεχόμενο Α του δειγματικού χώρου Ω ισχύει: P A P A, να δείξετε ότι το Α είναι βέβαιο ή αδύνατο ενδεχόμενο. 3. Δίνεται ο δειγματικό χώρος Ω ω, ω των αποτελεσμάτων ω και ω αντίστοιχα. Αν ότι τα ω, ω είναι ισοπίθανα.. Έστω Ρ και Ρ οι πιθανότητες P P, τότε να δείξετε 6 4. Α, Β είναι ενδεχόμενα του δειγματικού χώρου Ω. Χρησιμοποιώντας κανόνες λογισμού πιθανοτήτων να δείξετε ότι P A B A B P A B P A B 5. Έστω PA 0,8 και i. PAB,0 PAB ii. Το ενδεχόμενο AB P B 0,7. Να δείξετε ότι 6. Θεωρούμε δύο ενδεχόμενα Α και Β ενός δειγματικού χώρου Ω με ΡΑ ΡΒ λ, όπου κ λ βέβαιο ενδεχόμενο, τότε: κ,. Αν κανένα από τα Α και Β δεν είναι το αδύνατο ή το 34

Π Ι Θ Α Ν Ο Τ Η Τ Ε Σ i. Να βρείτε τις τιμές των κ και λ. κ P AB ii. Να δείξετε ότι iii. Να δείξετε ότι κ λ PA B λ 7. Αν PA 0,3 και PB 0,5 να δείξετε ότι P A B 0,, και 8. Αν για τα ενδεχόμενα Α και Β ενός δειγματικού χώρου Ω ισχύουν: Ρ Α 3Ρ Α Ρ Β Ρ Α P AB 0,5 να βρείτε τις πιθανότητες των ενδεχομένων: A B, A B και A B., 8 4Ρ ω 8Ρ ω 0. Να βρείτε τις 9. Δίνεται ο δειγματικός χώρος Ω ω,ω,ω,ω με Ρω 3 4 8Ρω 4Ρω3 Ρ ω4 6 και 3 4 Ρω, Ρω και Ρ ω. 3 0. Έστω A,B Ω, για τα οποία ισχύει Να δείξετε ότι: i. Τα Α, Β δεν είναι ασυμβίβαστα 4 P(A) P(B) ii. Ισχύει: PA PB PAB PB. Αν 0 Ρ Α, να δείξετε ότι 4 9 P A PA 5.. Έστω τα ασυμβίβαστα ενδεχόμενα Α και Β του ίδιου δειγματικού χώρου Ω.Να δείξετε ότι: P A P B α) 4 β) PA PB 3. Να βρεθεί η πιθανότητα του ενδεχόμενου Α ενός δειγματικός χώρος Ω, αν ισχύει: 9 P A 8P A 4P A 35

Π Ι Θ Α Ν Ο Τ Η Τ Ε Σ 4. Αν Α είναι ενδεχόμενο ενός δειγματικός χώρος Ω, να δείξετε ότι: 5. Έστω Ω ω, ω, ω 3 PA 4 4 P A 8 ο δειγματικός χώρος ενός πειράματος τύχης και τα ενδεχόμενα Α ω, ω και Β ω, ω. Αν PA και 3 βρεθούν οι πιθανότητες Ρω, Ρ ω και Ρ ω 3 5 3 P B, να 4 6. Έστω Α, Β ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω τέτοια, ώστε PA PA B και PΒ. 5 i. Να εξετάσετε αν τα ενδεχόμενα Α και Β είναι ασυμβίβαστα. 5 ii. Να δείξετε ότι PA PB. 8 P A 3P A λ, λ ακέραιος, να βρείτε την πιθανότητα iii. Αν του Α. 30. Για τα ενδεχόμενα Α κα Β ενός δειγματικού χώρου Ω ισχύει: P A 3P B 4P AB 0. Να βρεθεί η πιθανότητα να πραγματοποιηθεί ακριβώς ένα από τα Α, Β 3. Έστω ο δειγματικός χώρος Ω,,..,50 με α, αν ω περιττός 5 Pω, για κάθε ω Ω και α θετικός 3α, αν ω άρτιος 5 πραγματικός αριθμός. Να βρείτε: i) Το α ii) Την πιθανότητα των ενδεχομένων α) Α ω Ω / ω περιττός 36

Π Ι Θ Α Ν Ο Τ Η Τ Ε Σ β) Β ω Ω / ω πολ / σιο του 5 γ) Γ Α Β 34. Έστω Ω ω / ω 0 ένας δειγματικός χώρος ο οποίος αποτελείται α- πό απλά και ισοπίθανα ενδεχόμενα. Επιλέγουμε τυχαία ένα απλό ενδεχόμενο λ Ω. Να βρείτε την πιθανότητα η εξίσωση 4 λ 0, να μην έχει πραγματικές ρίζες. 35. i. Αν Α και Β ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω και ισχύουν ΡΑ ρίζα της εξίσωση και PA B PA PB 5 9 0 υπολογίσετε τις PA, PB και 3, να P A B ii. Αν Α, Β είναι δύο ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω τέτοια ώστε 4 PB, PA B και 6 PA 5 PA 9PA 5 6 να βρείτε τις πιθανότητες των ενδεχομένων: α) B β) A γ) A B 38. Έστω ο δειγματικός χώρος Ω ω, ω, ω, ω κ,λ τέτοιοι ώστε: 3 Pω λ, Pω κ, 3 4 Pω κ λ λ, 3. Να δειχτεί ότι δεν υπάρχουν P ω4 κ κλ. 39. Η τάξη Γ της Γ Λυκείου έχει 6 κορίτσια και ν αγόρια. Επιλέγουμε τυχαία παιδιά και θεωρούμε το ενδεχόμενο : Α : " Τα παιδιά είναι κορίτσια". 3 Αν είναι γνωστό ότι Ρ Α να βρείτε πόσα είναι τα αγόρια. 40. Από 0 μαθητές ενός Λυκείου, 4 μαθητές συμμετέχουν στο διαγωνισμό της Ελληνικής Μαθηματικής Εταιρείας, 0 μαθητές συμμετέχουν στο διαγωνισμό της Ένωσης Ελλήνων Φυσικών και μαθητές συμμετέχουν και στους διαγωνισμούς. Επιλέγουμε τυχαία ένα μαθητή. Ποια η πιθανότητα ο μαθητής : 37

Π Ι Θ Α Ν Ο Τ Η Τ Ε Σ Α : "να συμμετέχει σε ένα τουλάχιστον από τους διαγωνισμούς" Β : "να συμμετέχει μόνο σε ένα από τους διαγωνισμούς" Γ : "να μη συμμετέχει σε κανέναν από τους διαγωνισμούς". 4. Σε μια ιδιωτική εταιρεία εργάζονται 6 άνδρες και 4 γυναίκες από τους οποίους οι 0 άνδρες και οι 5 γυναίκες είναι παντρεμένοι. Αν επιλέξουμε τυχαία 5 εργαζόμενους, να βρείτε την πιθανότητα των ενδεχομένων : Α : "τουλάχιστον ένας εργαζόμενος να είναι άνδρας ή παντρεμένος". Β : "όλοι οι εργαζόμενοι να είναι άνδρες ή παντρεμένοι". 38

Ο Ι Π Ρ Α Γ Μ Α Τ Ι Κ Ο Ι Α Ρ Ι Θ Μ Ο Ι A. ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Πριν ξεκινήσουμε την περιήγησή μας στους πραγματικούς αριθμούς θα πρέπει να γνωρίζουμε για ποιους αριθμούς μιλάμε. Τα σύνολα στα οποία χωρίζονται λοιπόν οι αριθμοί είναι τα εξής: Φυσικοί αριθμοί: Είναι οι αριθμοί 0,,, 3,. Συμβολίζονται με Ν. Ακέραιοι αριθμοί: Είναι οι φυσικοί αριθμοί μαζί με τους αντίθετούς τους. Συμβολίζονται με Ζ. Ρητοί αριθμοί: Είναι οι αριθμοί που έχουν (ή μπουρούν να πάρουν) κλασματι- κή μορφή α β όπου α, β ακέραιοι με β 0. Μπορούμε να πούμε ότι οι ρητοί αριθμοί αποτελούνται από τους δεκαδικούς και τους περιοδικούς δεκαδικούς αριθμούς. Συμβολίζονται με Q. Άρρητοι αριθμοί: Είναι οι αριθμοί, όπως οι, 3, π, κτλ., που δεν μπορούν να πάρουν τη μορφή α β, όπου α, β ακέραιοι, με β 0 (ή, με άλλα λόγια δεν μπορούν να γραφούν ούτε ως δεκαδικοί ούτε ως περιοδικοί δεκαδικοί). Πραγματικοί αριθμοί: Είναι όλοι οι αριθμοί είτε ρητοί είτε άρρητοι. Το σύνολο συμβολίζεται με R. Το σύνολο των πραγματικών αριθμών περιλαμβάνει όλους τους μέχρι τώρα γνωστούς μας αριθμούς. Όλοι οι πραγματικοί αριθμοί μπορούν να παρασταθούν με ένα σημείο πάνω σε έναν άξονα ο οποίος λέγεται άξονας των πραγματικών αριθμών όπως παρακάτω: π π 5 4 3 0 3 4 5 39

Ο Ι Π Ρ Α Γ Μ Α Τ Ι Κ Ο Ι Α Ρ Ι Θ Μ Ο Ι ΟΙ ΠΡΑΞΕΙΣ ΚΑΙ ΟΙ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥΣ Οι βασικές ιδιότητες των πραγματικών αριθμών είναι οι παρακάτω: ΙΔΙΟΤΗΤΑ ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ Αντιμεταθετική α β β α α β β α Προσεταιριστική α β γ = α β γ α βγ αβ γ Ουδέτερο στοιχείο α0 0α α αα α Αντίθετος α α α α 0 Αντίστροφος Επιμεριστική αβ γ αβ α γ α α α α ΑΛΛΕΣ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ. Αν α β και γ δ τότε και α γ β δ. Αν α β τότε και α γ β γ και αγ βγ 3. Αν α γ β γ τότε και α β (Νόμος της διαγραφής) 4. Αν γ 0 και αγ βγ τότε α β (Νόμος της διαγραφής) 5. Αν α β 0 τότε α 0 ή β 0 6. Αν α β 0 τότε α 0 και β 0 Η ερμηνεία αυτών των ιδιοτήτων είναι η εξής: Με την αντιμεταθετική και την προσεταιριστική βλέπουμε ότι μπορούμε να εκτελέσουμε μία πρόσθεση ή έναν πολλαπλασιασμό αλλάζοντας την θέση των προσθετέων ή των παραγόντων όπως θέλουμε. Όταν γίνεται πράξη ενός αριθμού με το ουδέτερο στοιχείο της πράξης αυτής, ο αριθμός αυτός δεν μεταβάλλεται. Δύο αριθμοί θα λέγονται αντίθετοι όταν το άθροισμά τους είναι το 0. Παρατήρηση: Πρέπει εδώ να τονίσουμε και για τις ασκήσεις ότι ο δεν είναι κατ ανάγκη αρνητικός αριθμός αλλά απλώς ο αντίθετος του. Δύο αριθμοί θα λέγονται αντίστροφοι όταν το γινόμενό τους είναι το. Ιδιότητα : μπορούμε να προσθέσουμε δύο ισότητες κατά μέλη. Ιδιότητα : μπορούμε να προσθέσουμε τον ίδιο αριθμό στα δύο μέλη μιας ισότητας. 40

Ο Ι Π Ρ Α Γ Μ Α Τ Ι Κ Ο Ι Α Ρ Ι Θ Μ Ο Ι Ιδιότητα 3: μπορούμε να πολλαπλασιάσουμε ή να διαιρέσουμε με τον ίδιο μη μηδενικό αριθμό τα δύο μέλη μιας ισότητας. Ιδιότητα 3: Μπορούμε σε μία ισότητα να διαγράψουμε τον ίδιο προσθετέο (αν υπάρχει) από το πρώτο και το δεύτερο μέλος. Ιδιότητα 4: Μπορούμε σε μία ισότητα να διαγράψουμε τον ίδιο μη μηδενικό παράγοντα (αν υπάρχει) από το πρώτο και το δεύτερο μέλος της. Ιδιότητα 5: Αν το γινόμενο δύο αριθμών είναι 0 τότε ή ο ένας ή ο άλλος θα είναι 0. (Η ιδιότητα αυτή χρησιμοποιείται στις εξισώσεις ου βαθμού). Ιδιότητα 6: Αν το γινόμενο δύο παραγόντων είναι διάφορο από το 0 τότε και οι δύο παράγοντες είναι δάφοροι από το 0. Κανόνας Προσήμων α α αβ αβ αβ αβ αβ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΑΝΑΛΟΓΙΩΝ Αναλογία ονομάζεται η ισότητα δύο κλασμάτων: α γ β δ Αν λοιπόν,,, 0 τότε ισχύουν τα εξής:.. 3. 4. α β γ αδ βγ δ α γ δ γ και α γ α β β δ β α β δ γ δ α γ α β γ δ και β δ β δ α γ α γ αν β δ 0 β δ β δ α γ α γ β δ α β γ δ 4

Ο Ι Π Ρ Α Γ Μ Α Τ Ι Κ Ο Ι Α Ρ Ι Θ Μ Ο Ι A. Ασκήσεις με τη χρήση των ιδιοτήτων ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ. Αν οι αριθμοί A 3y 4z, B y z είναι αντίθετοι να δείξετε ότι y z. Από τις ιδιότητες θα πρέπει Α Β 0. Άρα: 3y 4z y z 0 y z 0 y z y z. Αν α 3β, να βρεθεί η αριθμητική τιμή της παράστασης: A αα 4β α βα 8 Αφού α 3β τότε α 3β. Άρα η Α γίνεται: A 3β 3β 4β 3β β3β 8 3β 3β 4β 3β 3 β3β 9 9β 3β β β 3β 9β 0 3. Να βρείτε το α ώστε: i. α α 3 0 ii. α α 3 0 i. Γνωρίζουμε ότι: Αν α β 0 τότε α 0 ή β 0 Άρα θα πρέπει: α α 3 0 α 0 ή α 3 0 δηλαδή: α 0 α α ή α 3 0 α 3 ii. Γνωρίζουμε ότι: Αν α β 0 τότε α 0 και β 0 Άρα θα πρέπει: α 0 α α και α 3 0 α 3 Παρατήρηση: Να προσεχθεί εδώ η διαφορά του «ή» με το «και». Στην πρώτη περίπτωση οποιοσδήποτε από τους αριθμούς, και 3 επαληθεύει την αρχική σχέση, ενώ στη δεύτερη περίπτωση ο α δεν πρέπει να πάρει καμία από αυτές τιμές. 4. i. Ποια από τις παρακάτω προτάσεις είναι η σωστή: 4

Ο Ι Π Ρ Α Γ Μ Α Τ Ι Κ Ο Ι Α Ρ Ι Θ Μ Ο Ι Α) 0 0 και y 0 y Β) 0 0 και y 0 y 4 ii. Να βρείτε τα για τα οποία ισχύει: 0 3 6 i. Η σωστή πρόταση είναι η Β γιατί σε ένα κλάσμα ποτέ ο παρονομαστής δεν είναι 0. ii. Σύμφωνα με το i) θα πρέπει: 4 3 6 0 4 0 και 3 6 0 και Τελικά είναι. 3, y 0 να υπολογίσετε την τιμή του λόγου: y 4 5. Αν 5 3y A y Αφού δεν ξέρουμε ακριβώς την τιμή των και y αλλά ξέρουμε την τιμή του λόγου τους, θα προσπαθήσουμε να εμφανίσουμε τον λόγο αυτόν στην παράσταση Α. Μπορούμε λοιπόν στην Α να διαιρέσουμε όλους τους όρους του αριθμητή και του παρονομαστή με το y. (Μπορούμε να διαιρέσουμε ή να πολλαπλασιάσουμε τον α- ριθμητή και τον παρονομαστή ενός κλάσματος με τον ίδιο αριθμό). Άρα: y 5 3 3 5 3 5 3 3 y y 4 4 4 3 A y 3 6 0 0 y y 4 4 4 Β. Θεωρητικές ασκήσεις. Αν α, β, γ, δ, διαδοχικοί φυσικοί να δείξετε ότι: i. α δ β γ και α δ περιττός ii. α β γ δ 6 πολλαπλάσιο του 4 Για να λύσουμε τέτοιες ασκήσεις θα πρέπει να γνωρίζουμε ότι: Αν α, β, γ,. κ.τ.λ. διαδοχικοί φυσικοί ή ακέραιοι τότε αυτοί μπορούν να γραφτούν: α, α, α, κ.τ.λ. 43

Ο Ι Π Ρ Α Γ Μ Α Τ Ι Κ Ο Ι Α Ρ Ι Θ Μ Ο Ι Κάθε άρτιος αριθμός α γράφεται α κ ενώ κάθε περιττός αριθμός β γράφεται β κ. Ο αριθμός κ α είναι πολλαπλάσιο του α. i. Άρα λοιπόν οι α, β, γ, δ γράφονται α, α, α, α 3 και θα έχουμε: δηλαδή α + δ = β + γ α δ α α 3 α 3 β γ α α α 3 και επίσης: α δ α 3 α α δηλαδή ο αριθμός α δ είναι περιττός. ii. Θα είναι: α β γ δ 6 α α α α 3 6 4α Δηλαδή ο αριθμός α β γ δ 6 είναι πολλαπλάσιο του 4. ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Βρείτε τις τιμές του για τις οποίες ορίζονται οι παραστάσεις: 3 A και B και να δείξετε ότι οι αριθμοί Α και Β είναι 4 4 αντίστροφοι. Θα πρέπει όλα τα κλάσματα των παραστάσεων να έχουν παρονομαστή διάφορο του 0. Για την Α θα έχουμε: 0 και 4 4 0 4 4 Αρα και για την Β θα είναι: 4 4 0 και 0 4 3 3 3 4 4 A 4 4 4 και 44

Ο Ι Π Ρ Α Γ Μ Α Τ Ι Κ Ο Ι Α Ρ Ι Θ Μ Ο Ι B 4 4 4 4 4 Άρα: A B 4 δηλαδή οι αριθμοί Α και Β είναι αντίστροφοι. Παρατήρηση : Για να πολλαπλασιάσουμε χιαστί σε μία εξίσωση θα πρέπει να είμαστε σίγουροι ότι όλοι οι παρονομαστές δεν είναι 0. Παρατήρηση : Για να κάνουμε απλοποίηση σε ένα κλάσμα θα πρέπει να είμαστε σίγουροι ο παράγοντας που απλοποιούμε είναι διάφοροι από το 0. Παρατήρηση 3: Για να αλλάξουμε το πρόσημο ενός κλάσματος αρκεί να αλλάξουμε τα πρόσημα είτε του αριθμητή είτε του παρονομαστή, αλλά όχι και των δύο.. Αν 4 και y να βρεθούν οι και y. y 3 Χρησιμοποιώντας τις ιδιότητες των αναλογιών θα έχουμε: 4 y 4 3 y 3 y 3 y 3 y 3. Να γίνουν οι πράξεις 3 3 i. και επειδή y θα είναι 4 ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ii. 4 3 5 4 3 5 3 iii. 3 y y 3 iv. y y. Να βρεθούν για ποιες τιμές του ορίζονται οι παραστάσεις 45

Ο Ι Π Ρ Α Γ Μ Α Τ Ι Κ Ο Ι Α Ρ Ι Θ Μ Ο Ι i. ii. 3 iii. 3 iv. v. vi. 4 vii. viii. 3. Αν ο α είναι άρτιος και ο β περιττός να αποδείξετε ότι ο α β είναι περιττός και ο α β άρτιος 4. Να αποδείξετε ότι: i. Το άθροισμα και το γινόμενο δύο ακεραίων άρτιων είναι άρτιος. ii. Το άθροισμα δύο ακεραίων περιττών είναι άρτιος. 5. Αν p είναι ρητός και ο q άρρητος να αποδείξετε ότι οι αριθμοί: p q, p q, p q, q p και p 0 είναι άρρητοι. p q, 6. Δίνονται οι αριθμοί 7 και y 9. i. Αν ο είναι άρτιος και ο y περιττός ν αποδείξετε ότι 7 y 9 είναι περιττός ii. Αν οι αριθμοί 7, y 9 είναι περιττοί, τι αριθμοί είναι οι y, και y; 5α β 7. Αν οι αριθμοί α και β είναι ρητοί, να αποδείξετε ότι και ο αριθμός 3α είναι ρητός 8. Αν α β και α β 40 να βρείτε τα α και β. 3 5 9. Οι αριθμοί, y, z είναι ανάλογοι των, 3, 4 και y z 36 να υπολογίσετε τα, y, z. 0. Οι αριθμοί α και β είναι αντίθετοι.να δείξετε οτι: Α. Να δείξετε οτι οι αριθμοί α και β είναι αντίστροφοι. 46

Ο Ι Π Ρ Α Γ Μ Α Τ Ι Κ Ο Ι Α Ρ Ι Θ Μ Ο Ι Β. Να υπολογίσετε την παράσταση Κ 4β α β 3α β Γ. Να δείξετε οτι οι αριθμοί λ α β3 α και μ α 3 β είναι αντίθετοι. ΔΥΝΑΜΕΙΣ Έστω α ένας πραγματικός αριθμός και ν φυσικός τέτοιος ώστε. Ορίζουμε την νιοστή δύναμη του α ή την δύναμη με βάση α και εκθέτη ν ως εξής: α ν α α... α, αν ν ν παράγοντες α, αν ν ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΔΥΝΑΜΕΩΝ 0 α. Οποιοσδήποτε μη μηδενικός αριθμός υψωμένος στη μηδενική δίνει αποτέλεσμα. α α. Οποιοσδήποτε υψωμένος στην πρώτη δίνει αποτέλεσμα τον εαυτό του. ν ν α β α β Αν δύο αριθμοί είναι ίσοι είναι ίσες και όλες οι δυνάμεις τους. α β ή α β, αν ν αρτιος ν ν α β α β, αν ν περιττος μ ν μ ν α α α α β α β ν ν ν μ ν α μ ν α α α μ ν α μν ν α α β β ν ν ν α β β α ν 47

Ο Ι Π Ρ Α Γ Μ Α Τ Ι Κ Ο Ι Α Ρ Ι Θ Μ Ο Ι ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ Με τη λέξη ταυτότητα στα μαθηματικά εννοούμε μία ισότητα η οποία επαληθεύεται για όλες τις τιμές των μεταβλητών της. Αξιοσημείωτες ταυτότητες είναι οι παρακάτω:. α β α αβ β. α β α αβ β 3. 3 3 3 α β α 3α β 3αβ β 4. 3 3 3 α β α 3α β 3αβ β 5. α βα β α β 6. α 3 β 3 α βα αβ β 7. α 3 β 3 α βα αβ β Παρατήρηση: Οι ταυτότητες 5 και 6 μπορούν να διατυπωθούν και από τον γενικό τύπο: α β α β α α β... αβ β ν ν ν ν ν ν Η ταυτότητα του Euler 3 3 3 α β γ 3αβγ α β γ α β β γ γ α Η ταυτότητα του Euler γίνεται πολύ χρήσιμη όταν α β γ 0, γιατί τότε θα είναι: 3 3 3 α β γ 3αβγ και με την βοήθειά της μπορεί να απλοποιηθούν πολύ εύκολά τέτοιου είδους τριτοβάθμιες εξισώσεις. (Θα δούμε σχετικά παραδείγματα παρακάτω). ΠΑΡΑΓΟΝΤΟΠΟΙΗΣΗ ΑΛΓΕΒΡΙΚΩΝ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΩΝ Παραγοντοποίηση ονομάζεται η διαδικασία μετατροπής ενός αθροίσματος ή μίας διαφοράς σε γινόμενο. Για παράδειγμα το άθροισμα α μετατρέπεται στο γινόμενο α. Είναι απαραίτητη στην απλοποίηση των αλγεβρικών παραστάσεων αλλά και στις εξισώσεις δευτέρου και πάνω βαθμού. Οι τρόποι για να παραγοντοποιήσουμε μία αλγεβρική παράσταση είναι οι εξής: 48

Ο Ι Π Ρ Α Γ Μ Α Τ Ι Κ Ο Ι Α Ρ Ι Θ Μ Ο Ι Κοινός παράγοντας: Χρησιμοποιείται κυρίως για «μικρές» αλγεβρικές παραστάσεις και είναι ο πιο απλός τρόπος παραγοντοποίησης. Π.χ. α α. Κοινό παράγοντα μπορούμε να βγάλουμε όχι μόνο έναν αριθμό ή μία μεταβλητή, αλλά και μία ολόκληρη παρένθεση. Π.χ. αα 5 3α 5 α 5α 3. Ομαδοποίηση: Χρησιμοποιείται κυρίως όταν έχουμε να παραγοντοποιήσουμε 4, 6 και γενικά άρτιο αριθμό προσθετέων. 3 Π.χ. α α α α α α α α. Ταυτότητες: Όλες οι ταυτότητες που προαναφέραμε έχουν το ένα από τα δύο μέλη τους παραγοντοποιημένο. Π.χ. 5α 4 5α 5α. ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Α. Αποδείξεις ταυτοτήτων Για να αποδείξουμε γενικά μία ταυτότητα ακολουθούμε έναν από τους παρακάτω τρόπους: ος τρόπος: Ξεκινάμε από το πρώτο μέλος και κάνοντας πράξεις προσπαθούμε να καταλήξουμε στο δεύτερο. ος τρόπος: Ξεκινάμε από το δεύτερο μέλος και κάνοντας πράξεις προσπαθούμε να καταλήξουμε στο πρώτο. 3 ος τρόπος: Θεωρούμε γνωστή την σχέση που θέλουμε να αποδείξουμε και κάνοντας πράξεις και στα δύο μέλη προσπαθούμε να καταλήξουμε σε κάτι που ισχύει πάντα. 4 ος τρόπος: Θεωρούμε ότι ισχύει ακριβώς το αντίθετο από αυτό που θέλουμε να αποδείξουμε και κάνοντας πράξεις καταλήγουμε σε κάτι που δεν ισχύει ποτέ (άτοπο). Αυτό θα σημαίνει ότι τελικά ο λάθος ισχυρισμός που είχαμε κάνει στην αρχή δεν θα ισχύει αλλά θα ισχύει ακριβώς το αντίθετο, δηλαδή αυτό που θέλουμε να δείξουμε. Η διαδικασία αυτή λέγεται απαγωγή σε άτοπο.. Να αποδείξετε τις ταυτότητες i. α β α β αβ ii. αβ β α 49

Ο Ι Π Ρ Α Γ Μ Α Τ Ι Κ Ο Ι Α Ρ Ι Θ Μ Ο Ι i. Βλέπουμε ότι δεν μπορούμε να κάνουμε πράξεις στο πρώτο μέλος. Άρα θα ξεκινήσουμε από το δεύτερο: α β α β α β α β α β α β α β α β α β α β β α αβ ii. Θα χρησιμοποιήσουμε τον 3 ο τρόπο κάνοντας πράξεις και στα δύο μέλη: α β β α α αβ β β αβ α το οποίο ισχύει. Παρατήρηση: Από αυτή τη δεύτερη ταυτότητα συμπεραίνουμε ότι μπορούμε σε μία παράσταση η οποία είναι υψωμένη στο τετράγωνο να αλλάξουμε τα πρόσημα σε όλους τους όρους. Ή αλλιώς ότι οι αντίθετοι αριθμοί έχουν τα ίδια τετράγωνα.. Να αποδείξετε την ταυτότητα: α β β γ γ α α β γ αβ αγ βγ Είναι: (α β) (β γ) (γ α) α αβ β β βγ γ γ αγ α α β γ αβ βγ αγ α β γ αβ βγ αγ 3. Αν α β, () να αποδείξετε ότι: 3 3 α β α β αβ. Η παραπάνω ονομάζεται ταυτότητα υπό συνθήκη. Η απόδειξη αυτών των ταυτοτήτων δεν έχει καμία διαφορά από τις άλλες, απλώς κάνοντας τις πράξεις προσπαθούμε να εμφανίσουμε την παράσταση που μας δίνεται στη συνθήκη και έτσι να την αντικαταστήσουμε: 3 3 α β α β αβ α β α β α β α αβ β αβ 50

Ο Ι Π Ρ Α Γ Μ Α Τ Ι Κ Ο Ι Α Ρ Ι Θ Μ Ο Ι () α β α αβ β αβ α αβ β α αβ β 4. Αν ο αριθμός α είναι άρρητος να δείξετε ότι και ο αριθμός α 3 είναι άρρητος Θα εφαρμόσουμε τη μέθοδο της απαγωγής σε άτοπο: Έστω ότι ο αριθμός α 3 είναι ρητός και έστω α 3 ρ. Τότε θα είναι: α 3 ρ α ρ 3 δηλαδή ο αριθμός α θα είναι ρητός. Αυτό όμως είναι άτοπο αφού από τα δεδομένα της άσκησης ο α είναι άρρητος. Β. Ασκήσεις με την ταυτότητα του Euler. Αν α β γ y ω να παραγοντοποιήσετε την παράσταση: 3 3 3 Α α β y γ ω Θα χρησιμοποιούμε την ταυτότητα αυτή σε παραστάσεις οι οποίες περιέχουν άθροισμα τριών κύβων, όπως εδώ αρκεί όμως να εξασφαλίσουμε ότι οι παραστάσεις που βρίσκονται κάτω από την τρίτη δύναμη έχουν άθροισμα 0: α β y γ ω α β γ y ω 0 από την συνθήκη που μας δίνει η άσκηση. Άρα σύμφωνα με την ταυτότητα του Euler θα είναι: 3 3 3 Α α β y γ ω 3 α β y γ ω. Να λύσετε την εξίσωση: 3 3 3 3 5 7 4 0 Αν αναπτύξουμε τις ταυτότητες και πολλές πράξεις θα έχουμε να κάνουμε και μετά θα καταλήξουμε σε εξίσωση της οποίας η λύση είναι έξω από την ύλη της Α Λυκείου. Παρατηρούμε όμως ότι: 3 5 7 4 3 4 57 0 Άρα από την ταυτότητα του Euler το πρώτο μέλος της εξίσωσης γίνεται: 3 5 3 3 7 4 3 33 5 7 4 5

Ο Ι Π Ρ Α Γ Μ Α Τ Ι Κ Ο Ι Α Ρ Ι Θ Μ Ο Ι και η εξίσωση γίνεται: 33 5 7 4 0 και σύμφωνα με αυτά που έχουμε πει θα είναι: 5 3 5 0 3 ή 0 7 ή 7 4 0 4 Γ. Παραγοντοποίηση παραστάσεων απλοποίηση κλασμάτων. Να παραγοντοποιηθούν οι παραστάσεις: i. α β βγ γ ii. 3 ω ω ω iii. 4 4 5α 0α β β α β βγ γ α β βγ γ α β γ i. ii. iii. α β γ α β γ α β γ α β γ 3 ω ω ω ω ω ω ω ω 4 4 5α 0α β β 5α 5α β β 5α β. Να απλοποιηθούν τα κλάσματα i. ii. α α β β αβ Α α 3α β β 3αβ 4 3 4 3 3 3 α β αβ α β α β 5

Ο Ι Π Ρ Α Γ Μ Α Τ Ι Κ Ο Ι Α Ρ Ι Θ Μ Ο Ι i. ii. α α β β αβ α β α β αβ Α α 3α β β 3αβ α β 3α β 3αβ 4 3 4 3 4 4 3 3 3 3 3 3 α β α β αβ α β α βα αβ β 3αβ α β α β α αβ β (α β)(α αβ β 3αβ) α βα β α β α β α β α β α β α β Β α β αβ α β α β α β αβ α β αβ α α β β α β αβα β αβ α β β α αβ βα αβ β β α α β β α β β ( β )(α ) βα βα β βα α ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Αν y =, να βρεθεί η αριθμητική τιμή της παράστασης: 3 4 4 Α y y : : y 3 4 4 Α y y : : y 3 4 6 8 6 8 4 y y : : y 6 8 6 8 4 y y : : y 3 4 53

Ο Ι Π Ρ Α Γ Μ Α Τ Ι Κ Ο Ι Α Ρ Ι Θ Μ Ο Ι 4 8 y y 8 8 4 y 8 8 8 8 y (y). Αν α β γ τ 0, να αποδείξετε ότι: τ α τ β τ γ τ α β γ Θα πάρουμε την σχέση που θέλουμε να δείξουμε και θα κάνουμε πράξεις και στα δύο μέλη: τ α τ β τ γ τ α β γ τ τα α τ τβ β τ τγ γ τ α β γ τ τα α τ τβ β 4τ τα τβ τγ 0 τ τ α β γ 0 τ τ τ 0 τ0 0 που ισχύει. τ τγ γ τ α β γ 3. Αν () να υπολογίσετε τα: 3 και 3 Παίρνουμε τη σχέση () και υψώνουμε στο τετράγωνο και τα δύο μέλη: 4 4 ομοίως εργαζόμαστε και για την άλλη παράσταση: 3 3 3 3 3 8 3 3 3 3 3 8 3 3 8 3 54

Ο Ι Π Ρ Α Γ Μ Α Τ Ι Κ Ο Ι Α Ρ Ι Θ Μ Ο Ι 3 3 3 3 8 3 ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Να υπολογίσετε τις παραστάσεις (με την υπόθεση ότι y 0 ) 3 i. ii. 6 3 7 3 iii. 3y 9 y iv. 4 3 4 5 y y 3 v. 4 3 y y 4 vi. 3 3 3 y 4 y vii.. Αν 3 4 4 3 y 8 y y 4 y να βρεθεί η αριθμητική τιμή της παράστασης 4y 3y A y 3y 3. Αν να βρεθεί ο λόγος y y y K 3 y 3 3 λ και η τιμή της παράστασης y 4. Να βρείτε για ποιες τιμές του χ ορίζεται η παράσταση στη συνέχεια να γίνουν οι πράξεις. 5 5 A και 5. Αν για έναν αριθμό 0 ισχύει να δείξετε ότι. 3 3 6. Να αποδείξετε τις ταυτότητες: i. α β α β 4αβ ii. α β 3 α β α 4 β 4 αβα β 55

iii. α β αβ α β Ο Ι Π Ρ Α Γ Μ Α Τ Ι Κ Ο Ι Α Ρ Ι Θ Μ Ο Ι iv. α β 3 3αβα β α β α β αβ α β v. α β β γ γ α γ βγ α β αβ γ α βα γ 7. Αν α β γ 0 να δείξετε ότι: α β γ β γ α γ α β 9αβγ 0 8. Να λυθούν οι εξισώσεις: i. 3 3 3 4 5 3 0 ii. 3 3 3 4 8 7 0 9. Απλοποιήστε τα κλάσματα: α αβ β Α α β (α β), α α β α β αβ Β α α β α β αβ 5 3 4 4 4 3 3 0. Αν α β γ 0, να αποδείξετε ότι α β βγ β γ αγ γ α αβ 0 α β β γ α γ. Αν y z 3α, τότε να δειχθεί ότι: α 3 y α 3 z α 3 3 α y αz α. Να παραγοντοποιηθούν οι παραστάσεις: i. ii. γ 9 β α 6βγ 4 4 y 63y 3 iii. iv. v. vi. 8 4 4 5 4 6 7 4 37 ω 3 3 9ω 4 3. Να απλοποιηθούν οι παραστασεις: 56