ΤΕΙ ΑΝΑΤΟΛΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΘΡΑΚΗΣ Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής Τ.Ε. ΣΗΜΑΤΑ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Θεωρία Καθηγητής: Τσιριγώτης Γεώργιος Καβάλα, 2014
1 1 Εισαγωγικές έννοιες 1 ΣΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Σήμα: Σύμφωνα με έναν ορισμό, «Σήμα είναι η φυσική αναπαράσταση μιας πληροφορίας». Υπάρχουν βέβαια και άλλοι ορισμοί οι οποίοι προσεγγίζουν την έννοια του σήματος λίγο διαφορετικά: «Σήμα είναι μια ανιχνεύσιμη ποσότητα ή παλμός (π.χ. τάση, ρεύμα, μαγνητικό πεδίο), δια του οποίου μπορεί να μεταδοθεί πληροφορία». «Σήμα είναι μια συνάρτηση ανεξάρτητων μεταβλητών, που μπορεί να εμπεριέχει πληροφορία». «Σήμα είναι μια πηγή πληροφορίας, μιας φυσικής ποσότητας γενικώς, που μεταβάλλεται συναρτήσει του χρόνου, του χώρου, της θερμοκρασίας, όπως κάθε ανεξάρτητη μεταβλητή». «Σήμα είναι μια φυσική ποσότητα που μεταβάλλεται συναρτήσει του χρόνου, του χώρου, η της όποιας άλλης ανεξάρτητης μεταβλητής, δια της οποίας (ποσότητας) μπορεί να μεταδοθεί πληροφορία». Με τις ανωτέρω έννοιες θα προσεγγίσουμε τα σήματα στα πλαίσια αυτού του μαθήματος «Σήματα & Συστήματα». Για παράδειγμα, τα ηχητικά σήματα είναι διακυμάνσεις της πίεσης του αέρα που μεταφέρουν το αυτί μας μια πληροφορία. Τα οπτικά σήματα είναι κύματα φωτός που μεταφέρουν μια πληροφορία στο μάτι μας. Σύστημα: Σύστημα είναι το σύνολο των φυσικών στοιχείων που δέχεται ένα σήμα και παράγει ένα άλλο. Στις επιστήμες του μηχανικού, τα σήματα εισόδου και εξόδου είναι γενικώς ηλεκτρικά σήματα, αλλά όχι αποκλειστικά. Για παράδειγμα, ο θερμοστάτης σ ένα σπίτι, παίρνει είσοδο από ένα μηχανικό περιστρεφόμενο κουμπί ή έναν διακόπτη και δίνει ηλεκτρικό σήμα στην έξοδό του, για τον έλεγχο του καυστήρα. Στο Σχήμα 1. 1 που ακολουθεί αναπαριστάται η σχέση σήματος και συστήματος, σύμφωνα με τα όσα έχουν εκτεθεί ανωτέρω. Σχήμα 1. 1 Απεικόνιση Συστήματος με σήμα εισόδου και εξόδου 2 Ταξινόμηση σημάτων και συστημάτων Μαθηματικά, το σήμα αναπαριστάται με μια συνάρτηση, μιας ή περισσοτέρων μεταβλητών. Συνήθως όμως είναι συναρτήσεις μιας μεταβλητής και αυτή η μεταβλητή, στα καθ ημάς, είναι ο χρόνος. Ο χρόνος μπορεί να είναι συνεχής ή διακριτός. Στην περίπτωση του συνεχούς χρόνου, έχουμε αναλογικό σήμα και στην περίπτωση του διακριτού χρόνου έ-
Συνεχές πλάτος Κβαντισμός Διακριτό πλάτος 2 χουμε διακριτό σήμα ή δειγματολημένο σήμα. Το ίδιο μπορεί να συμβαίνει και με το πλάτος του σήματος, το οποίο μπορεί επίσης να είναι συνεχές ή διακριτό. Ένα αναλογικό σήμα του οποίου το πλάτος είναι διακριτό, λέγεται κβαντισμένο σήμα. Ένα διακριτό σήμα του οποίου το πλάτος είναι επίσης διακριτό, λέγεται ψηφιακό σήμα. Σχήμα 1. 2 Οι δύο εκδοχές του πλάτους και του χρόνου στο σήμα Στον Πίνακας 1. 1 που ακολουθεί, φαίνονται οι τέσσερις διαφορετικές περιπτώσεις (συνδυασμών) σημάτων. Δειγματοληψία α) Αναλογικό σήμα β) Δειγματολημένο σήμα γ) Κβαντισμένο σήμα Συνεχής χρόνος δ) Ψηφιακό σήμα Διακριτός χρόνος Πίνακας 1. 1 Ταξινόμηση σημάτων Παραδείγματα σημάτων: α) Ταχύτητα ενός αυτοκινήτου β) Ύψος ενός ανθρώπου που λαμβάνεται σε τακτικά χρονικά διαστήματα (π.χ. κάθε χρόνο) γ) Τραπεζικός λογαριασμός
3 δ) Επίπεδο του γκρι χρώματος σε κάθε pixel μιας ασπρόμαυρης εικόνας 2D Κατ ανάλογο τρόπο, ένα σύστημα ταξινομείται σύμφωνα με την μορφή των σημάτων εισόδου και εξόδου που δέχεται προς επεξεργασία και αναπαραγάγει. Έτσι Αναλογικά Συστήματα είναι αυτά που δέχονται στην είσοδό τους και δίνουν στην έξοδό τους, αναλογικά σήματα. Δειγματοληπτικά Συστήματα είναι αυτά που δέχονται και δίνουν δειγματολημένα σήματα και τέλος Ψηφιακά Συστήματα είναι αυτά που δέχονται και δίνουν ψηφιακά σήματα. 2.1 Ντετερμινιστικά & Στοχαστικά (Τυχαία) σήματα Το ντετερμινιστικό σήμα ορίζεται από μία συγκεκριμένη μαθηματική σχέση και για κάθε χρονική στιγμή, η τιμή του X() είναι μια συγκεκριμένη τιμή, πραγματική ή μιγαδική. Για παράδειγμα, το εκθετικό σήμα ή το ημιτονικό που παρουσιάζονται στο Σχήμα 1. 3 είναι ντετερμινιστικά σήματα και έχουν δημιουργηθεί με το Malab, το οποίο χρησιμοποιείται ευρέως στην επεξεργασία των σημάτων. Σχήμα 1. 3 Ντετερμινιστικά σήματα: εκθετικό: x = 2*exp(-0.2*), & ημιτονικό: x = 5*sin(10*) Τυχαίο ή στοχαστικό σήμα είναι αυτό του οποίου η τιμή X() δεν μπορεί να προβλεφθεί στον χρόνο ή δεν μπορεί να παραχθεί από μία ορισμένη μαθηματική συνάρτηση. Το στοχαστικό σήμα μπορεί να μοντελοποιηθεί με την χρήση στατιστικών πληροφοριών του. Μερικά παραδείγματα φυσικών στοχαστικών σημάτων είναι το σήμα της ομιλίας, η μουσική, τα σεισμικά σήματα. Στο Σχήμα 1. 4 φαίνονται δύο στοχαστικά σήματα: αριστερά, έχει δημιουργηθεί στο Malab με την εντολή rand ( sae ) και 35 τυχαίες τιμές, και δεξιά ένα σήμα ομιλίας.
4 Περιοδικά και μη περιοδικά σήματα Σχήμα 1. 4 Στοχαστικά Σήματα Ένα αναλογικό σήμα είναι περιοδικό, όταν υπακούει στην σχέση:. Όταν δεν υπακούει, δεν είναι περιοδικό. Όπου k είναι ακέραιος και T 0 είναι η περίοδος επανάληψης. Αντίστοιχα στα ψηφιακά σχήματα η σχέση που καθορίζει την περιοδικότητα του σήματος είναι: για κάθε τιμή του Ν. Όπου n και N είναι ακέραιοι αριθμοί. Στο Σχήμα 1. 5 παρουσιάζονται αναλογικά περιοδικά και μη περιοδικά σήματα και στο Σχήμα 1. 6 τα ψηφιακά αντίστοιχα. Σχήμα 1. 5 Αναλογικό περιοδικό και μη περιοδικό σήμα
5 Πραγματικά και μιγαδικά σήματα Σχήμα 1. 6 Ψηφιακό περιοδικό και μη περιοδικό σήμα Για μία δεδομένη τιμή της ανεξάρτητης μεταβλητής η τιμή της x() μπορεί να είναι πραγματική ή μιγαδική. Ένα πραγματικό σήμα παίρνει τιμές στο πεδίο των πραγματικών αριθμών [x() Є R]. Ένα μιγαδικό σήμα παίρνει τιμές στο πεδίο των μιγαδικών αριθμών [x() Є C]. Τα μιγαδικά σήματα χρησιμοποιούνται συχνά στις τηλεπικοινωνίες, για να αναπαραστήσουν ένα σήμα που εμπεριέχει πληροφορία για το πλάτος και την φάση. Όπως οι μιγαδικοί αριθμοί, έχουν δύο μέρη: το πραγματικό και το φανταστικό, έτσι και τα μιγαδικά σήματα αναπαριστώνται με δύο πραγματικά σήματα, τα οποία αντιστοιχούν στο πραγματικό και στο φανταστικό μέρος του μιγαδικού σήματος αντίστοιχα, ή ακόμα στο πλάτος και στην φάση του. Για παράδειγμα, το μιγαδικό σήμα x() ορίζεται: Όπου ω=2πf είναι η κυκλική συχνότητα σε [rad/sec]. Η x() μπορεί να γραφεί και σε τριγωνομετρική μορφή: Όπου: είναι το πραγματικό μέρος της και είναι το φανταστικό της μέρος Τα δύο σήματα φαίνονται αντίστοιχα στο Σχήμα 1. 7.
6 Σχήμα 1. 7 Το πραγματικό και φανταστικό τμήμα του σήματος Το σήμα x() μπορεί επίσης να δοθεί με το μέτρο και το όρισμά του ως εξής: [ ] Στο Σχήμα 1. 8 που ακολουθεί, φαίνεται η γραφική αναπαράσταση του μέτρου και του ορίσματος του μιγαδικού σήματος: Σχήμα 1. 8 Μέτρο και όρισμα του σήματος Αιτιατά (Causal) και μη αιτιατά (non causal) σήματα Η έννοια της αιτιότητας (causaliy) είναι σημαντική στην ταξινόμηση των σημάτων και έχει να κάνει με την δυνατότητα πραγματοποίησής τους. Τα αιτιατά σήματα (causal signals) θεωρούμε πως παράγονται από φυσικά υπαρκτά συστήματα, όταν αυτά τίθενται σε λειτουργία κατά την χρονική στιγμή =0. Τα σήματα αυτά είναι στο μηδέν για αρνητικές τιμές του χρόνου, ενώ τα ani-causal είναι στο μηδέν για τις θετικές τιμές του χρόνου. Τα non-causal έχουν μη μηδενικές τιμές και στις αρνητικές και στις θετικές τιμές του χρόνου. Τα ανωτέρω φαίνονται στο Σχήμα 1. 9 αντίστοιχα.
7 Σχήμα 1. 9 α) Σήμα causal, β) ani-causal και γ) non causal Σήματα άρτιας και περιττής συμμετρίας Σχήμα 1. 10 α) Άρτιο (even) σήμα και β) Περιττό (odd) σήμα Ένα σήμα λέγεται άρτιο (even), όταν είναι: x(-) = x() = x e (). και περιττό (odd), όταν είναι: x(-) = -x() = x o (). Το άρτιο σήμα είναι συμμετρικό ως προς τον κάθετο άξονα Υ. Το περιττό σήμα για =0 είναι μηδέν, δηλαδή περνάει απ την αρχή των αξόνων: x(0) = -x(0) = 0, και είναι συμμετρικό ως προς το 0. Κάθε σήμα μπορεί να γραφεί σαν συνδυασμός άρτιων και περιττών συνιστωσών: x()= x e ()+ x o () Η άρτια x e () και η περιττή x o () συνιστώσα ενός σήματος x() ορίζονται ως:
8 Παράδειγμα 1 x() -1 1 x() 2e() x(-) 2 + 1 - x() -1 σήμα άρτιο Άρτια συνιστώσα: 1 x(-) 2ο() - 1 - -1 σήμα περιττό 1 e() Περιττή συνιστώσα: -1-1 1/2 ο() 1 + -1 1 x() 1-1 1/2 Επαλήθευση: Σχήμα 1. 11 Σήμα ως συνδυασμός άρτιων και περιττών συνιστωσών Συνεχής Συνιστώσα σήματος (DC Offse) - 1 Η συνεχής συνιστώσα είναι η μέση τιμή ενός σήματος όταν αυτό δεν επικεντρώνεται πάνω στον άξονα των χ. Εάν αυτή η τιμή (η συνεχής συνιστώσα) αφαιρεθεί από το σήμα, τότε αυτό επικεντρώνεται στον άξονα των χ. Εξ ορισμού είναι: Εάν το Α 0 =0 η συνάρτηση είναι κεντραρισμένη πάνω στον άξονα των χ και δεν έχει συνεχή συνιστώσα.
9 Συμμετρικό Σήμα Ημιπεριόδου Σχήμα 1. 12 Συνεχής συνιστώσα σήματος (DC=-1) Έστω ένα σήμα με περίοδο Τ=2L (Σχήμα 1. 17). Εάν το σήμα μετακινηθεί κατά μισή περίοδο, δηλαδή κατά L, τότε θα είναι το αντίστροφο του αρχικού. Δηλαδή:, ή α- κόμα: ( ). Το σήμα αυτό είναι συμμετρικό ημιπεριόδου. Σχήμα 1. 13 Συμμετρικό Σήμα ημιπεριόδου Η συμμετρία ημιπεριόδου σημαίνει ότι το 2 ο μισό του σήματος είναι το ακριβώς αντίθετο με το 1 ο μισό. Ένα τέτοιο σήμα δεν χρειάζεται να είναι άρτιο ή περιττό, καθώς η ιδιότητά του αυτή απαιτεί μόνο το μετατοπισμένο σήμα να είναι αντίθετο. Αυτό που χρειάζεται είναι η συνεχής συνιστώσα να είναι μηδενική για να μπορεί να μηδενισθεί το άθροισμα του αρχικού και του μετατοπισμένου. Όταν υπάρχει συνεχής συνιστώσα δεν μηδενίζεται. Συμμετρικό Σήμα τετάρτου περιόδου Εάν ένα σήμα είναι συμμετρικό ημιπεριόδου και άρτιο ή περιττό στο τέταρτο της περιόδου, τότε είναι συμμετρικό τετάρτου περιόδου. Ένα τέτοιο σήμα μπορεί να γίνει άρτιο ή περιττό, μετακινούμενο μπρός ή πίσω στον άξονα του χρόνου. Για να είναι ένα σήμα συμμετρικό τετάρτου περιόδου, δεν χρειάζεται να είναι άρτιο ή περιττό, αλλά για να βρεθεί το σημείο του τετάρτου της περιόδου πρέπει να
10 μετακινηθεί πάνω ή κάτω. Στην συνέχεια φαίνεται ένα σήμα συμμετρικό τετάρτου περιόδου (κόκκινο), το οποίο δεν δείχνει την ιδιότητά του αυτή πριν μετακινηθεί πάνω στον άξονα του χρόνου (πράσινο). Σχήμα 1. 14 α) Άρτιο & β) Περιττό Σήμα με συμμετρία τετάρτου περιόδου Σχήμα 1. 15 Ασύμμετρο Σήμα με συμμετρία τετάρτου περιόδου Γραμμικό, Χρονικά Αμετάβλητο Σύστημα (LTI Linear Time Invarian) Ένα σύστημα λέγεται γραμμικό, όταν υπακούει σε δύο απαιτήσεις: Στην προσθετικότητα: Εάν έχουμε μία είσοδο που αποτελείται από το άθροισμα δύο εισόδων:, τότε θα προκύπτει έξοδος που αποτελείται από το άθροισμα των δύο αντίστοιχων εξόδων:. Στην ομοιογένεια: Σε μία είσοδο αντιστοιχεί μία έξοδος Οι δύο αυτές απαιτήσεις συνοψίζονται στο κάτωθι σχήμα: Y() ay 1 () Y 1 ()+Y 2 () Y 2 () Y 1 () X 1 () X 2 () X 1 ()+X 2 () ax 1 () X() Σχήμα 1. 16 Χαρακτηριστική γραμμικού συστήματος
11 Το σύστημα είναι και χρονικά αμετάβλητο, όταν έχει την ίδια συμπεριφορά στην πάροδο του χρόνου. Αυτό συμβαίνει όταν η Συνάρτηση Μεταφοράς του συστήματος (οι συντελεστές της δηλαδή) δεν είναι συνάρτηση του χρόνου, αλλά παραμένουν αμετάβλητοι. Στην σχέση που ακολουθεί φαίνεται πως το σύστημα έχει την ίδια έξοδο αν του εφαρμοστεί η ίδια είσοδος, σε διαφορετικές χρονικές στιγμές, πράγμα που φαίνεται και στο Σχήμα 1. 17. X() F Y() 0 0 X(- 0 ) F Y(- 0 ) Σχήμα 1. 17 Συμπεριφορά χρονικά αμετάβλητου συστήματος Βασικά αναλογικά σήματα 0 0 0 Στην συνέχεια θα παρουσιάσουμε τα βασικά σήματα που συναντούμε συχνά σε πολλές ε- φαρμογές. Συνάρτηση προσήμου (sgn()) Η Συνάρτηση είναι 1 για τις θετικές τιμές του χρόνου και -1 για τις αρνητικές τιμές. 0 Σχήμα 1. 18 Συνάρτηση προσήμου (sgn()) Στιγμιαίος παλμός Είναι γνωστή και ως συνάρτηση Δέλτα ή συνάρτηση Dirac. {
12 Βηματική Συνάρτηση (Heavyside) Σχήμα 1. 19 Στιγμιαίος παλμός Σχήμα 1. 20 Βηματική Συνάρτηση Στο 2 ο σχήμα φαίνεται μια πιο απλοποιημένη εκδοχή, όπου δεν εμφανίζεται η τιμή ½ για =0. Συνάρτηση Αναρρίχησης (Ramp) { } Δηλαδή, με άλλα λόγια, η συνάρτηση της ράμπας είναι το ολοκλήρωμα της βηματικής συνάρτησης. Εκθετική συνάρτηση Σχήμα 1. 21 Συνάρτηση Αναρρίχησης (Ramp) Η μαθηματική του περιγραφή δίδεται από την σχέση: Στο σχήμα που ακολουθεί φαίνεται η περίπτωση του σήματος, για αρνητική τιμή της σταθεράς χρόνου τ.
13 Σήμα Sinc Σχήμα 1. 22 Εκθετικό σήμα Το σήμα sinc ορίζεται από την κάτωθι συνάρτηση: { Σχήμα 1. 23 Σήμα sinc Ημιτονικό Σήμα Είναι το σήμα που συναντούμε πιο συχνά. Η μορφή του φαίνεται στο Σχήμα 1. 24 που ακολουθεί και έχει την ακόλουθη γενική μαθηματική περιγραφή: Σχήμα 1. 24 Ημιτονικό σήμα Στο σχήμα που ακολουθεί, φαίνονται κατά σειρά ο τετραγωνικός, ο τριγωνικός και ο πριονωτός παλμός.
14 Ενέργεια και Ισχύς σήματος Σχήμα 1. 25 Τετραγωνικό, τριγωνικό, και πριονωτό σήμα Η ενέργεια ενός σήματος x() ορίζεται από την κάτωθι σχέση: Η γραφική αποτύπωση της ανωτέρω σχέσης φαίνεται στο Σχήμα 1. 26. Όπως φαίνεται, η ενέργεια του σήματος, που υπολογίζεται από το ορισμένο ολοκλήρωμα του τετραγώνου της απολύτου τιμής του, απεικονίζεται με το εμβαδόν της επιφάνειας. Η ισχύς του σήματος είναι η μέση τιμή της ενέργειάς του στην διάρκεια του χρόνου. Όταν αυτό είναι περιοδικό, δίδεται από την σχέση: Και αν δεν είναι περιοδικό:
15 Παράδειγμα υπολογισμού ισχύος Σχήμα 1. 26 Ενέργεια σήματος Έστω η συνάρτηση ράμπας με περίοδο 12, που περιγράφεται ως εξής: ( ) Σχήμα 1. 27 Παράδειγμα Συνάρτησης Ράμπας ( ) [ ] ( )
16 Βασικά ψηφιακά σήματα Με την ραγδαία εξέλιξη της ηλεκτρονικής και της πληροφορικής καθίσταται δυνατή η ψηφιακή πλέον επεξεργασία των σημάτων, σε πραγματικό ή σε μεταγενέστερο χρόνο. Η επεξεργασία αυτή προϋποθέτει την μετατροπή των αναλογικών σημάτων σε ψηφιακά και το αντίστροφο, προκειμένου αυτά να τύχουν της ψηφιακής επεξεργασίας. Όπως και στα αναλογικά σήματα έτσι και στα ψηφιακά υπάρχουν ορισμένα ευρέως γνωστά και χρησιμοποιούμενα σήματα. Τα ψηφιακά σήματα που παρουσιάζονται και περιγράφονται παρακάτω είναι οι ψηφιακές εκδοχές των αντίστοιχων αναλογικών. Βέβαια οι περιπτώσεις είναι οι πιο απλουστευμένες. Υπάρχουν και άλλες εκδοχές με ελαφρώς διαφοροποιημένη μορφή. Ανάλογη με την βιβλιογραφία, είναι επίσης και η χρήση των μαθηματικών μορφών περιγραφής των σημάτων. Σχήμα 1. 28 Ψηφιακά Σήματα
17 Στιγμιαίος παλμός (Kronecker) Ο στιγμιαίος παλμός (Σχήμα 1. 28a)περιγράφεται με την κάτωθι σχέση: [ ] { Μια σημαντική χρησιμότητα του στιγμιαίου παλμού είναι ότι βοηθάει στην αναπαράσταση μιας σειράς παλμών, ως άθροισμα στιγμιαίων παλμών με καθυστέρηση. Για παράδειγμα η σειρά p[n] που φαίνεται στο Σχήμα 1. 29 μπορεί να παρασταθεί με την κάτωθι σχέση: [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] Με μια γενικότερη έκφραση περιγράφεται: Σχήμα 1. 29 Σειρά στιγμιαίων παλμών [ ] [ ] [ ] Βηματικός παλμός [ ] { Ο βηματικός παλμός (Σχήμα 1. 28b) συνδέεται με τον στιγμιαίο με την σχέση: [ ] [ ] Δηλαδή η τιμή της βηματικής σειράς σε μια δεδομένη τιμή του δείκτη n, ισούται με το ά- θροισμα όλων των μέχρι τότε τιμών της σειράς μέχρι το n. Μια εναλλακτική παρουσίαση της βηματικής σειράς μπορεί να δοθεί ως άθροισμα καθυστερημένων στιγμιαίων παλμών, σύμφωνα με τη σχέση: [ ] [ ] [ ] [ ] ή ακόμα: [ ] [ ] Από αυτή την σχέση μπορεί να δοθεί και ο στιγμιαίος παλμός, ως διαφορά δύο βηματικών σειρών: [ ] [ ] [ ]
18 Εκθετικός παλμός Έχει την γενική μορφή: [ ] Εάν Α και α είναι πραγματικοί αριθμοί τότε η σειρά είναι πραγματική. Εάν 0<α<1 και Α>0 τότε η τιμές της σειράς είναι θετικές και τείνουν μειούμενες με το n αυξανόμενο (περίπτωση Σχήμα 1. 28c). Για -1<α<0, οι τιμές της σειράς εναλλάσσουν πρόσημο αλλά βαίνουν μειούμενες με το n αυξανόμενο. Εάν α >1, τότε η σειρά αυξάνεται όσο το n αυξάνεται. Ημιτονικό σήμα Έχει την γενική μορφή: [ ] [ ] Το ημιτονικό σήμ ε ν ι σως το πιο γνωστό κ ι δι δεδομένο σήμ Σχήμα 1. 28d) Έχει π ρ πολλές εφ ρμογές κ ι χρήσεις στην επεξεργ σ σήμ τος εν προκειμένω- λλ όχι μόνον Υπ ρχουν επ σης κ ι ρκετές εκδοχές ως προς την π ρουσ σή του με φ - ση με συνεχή συνιστώσ συνημ τονο κ λ π Στατιστικά χαρακτηριστικά σημάτων Τα κατωτέρω στατιστικά χαρακτηριστικά μπορούν να εφαρμοστούν αναλόγως στα αναλογικά και στα ψηφιακά σήματα. Μέση τιμή (Mean value) Η μέση τιμή ενός σήματος x(), στην διάρκεια της εξέλιξής του, είναι η κεντρική του τιμή και συμβολίζεται με μ, από το ελληνικό γράμμα μ. Προκύπτει αθροίζοντας όλες τις τιμές των δειγμάτων του σήματος και διαιρώντας με τον αριθμό τους. Τυπική απόκλιση (Sandard Deviaion) Η έκφραση x i -μ περιγράφει την απόλυτη τιμή της διαφοράς μεταξύ της μέσης τιμής και του δείγματος i. Η μέση τιμή της απόκλισης στο σήμα μπορεί να υπολογισθεί αθροίζοντας όλες τις διαφορές για όλα τα δείγματα και διαιρώντας δια του αριθμού των δειγμάτων Ν. Παίρνουμε την απόλυτη τιμή, γιατί διαφορετικά μπορεί να μας προκύψει μηδενική μέση απόκλιση, καθώς θετικές και αρνητικές τιμές στην άθροιση, αλληλοαναιρούνται. Η μέση αυτή απόκλιση είναι ένας αριθμός που δίνει την τυπική απόσταση που έχουν τα δείγματα από την μέση τιμή και υπολογίζεται εύκολα. Παρ όλα αυτά δεν χρησιμοποιείται στην επεξεργασία σήματος γιατί δεν εναρμονίζεται με την φυσική υπόσταση του σήματος. Αντί τούτου, χρησιμοποιείται η τετραγωνική ρίζα του τετραγώνου της απόστασης. Το μέγεθος αυτό λέγεται τυπική απόκλιση, συμβολίζεται με σ x και μας δίνει την απόκλιση που έχει το σήμα από την μέση τιμή του. Εάν η τυπική απόκλιση είναι μικρή, αυτό σημαίνει πως οι
19 περισσότερες τιμές του x θα είναι κοντά στην μέση τιμή. Εάν είναι μεγάλη, σημαίνει πως οι τιμές του x είναι πιο απλωμένες. Η τυπική απόκλιση δεν υπολογίζεται εύκολα και δεν είναι εύχρηστη στους υπολογισμούς. Συνδέεται όμως με την διακύμανση. Διακύμανση ή διασπορά (Variance) Είναι το τετράγωνο της τυπικής απόκλισης σ x 2 και δηλώνει πόσο συγκεντρωμένες γύρω από τη μέση τιμή είναι οι τιμές των δειγμάτων του σήματος. Στο σχήμα που ακολουθεί φαίνονται τα μεγέθη της μέσης τιμής, της τυπικής απόκλισης και της διακύμανσης ενός τυχαίου σήματος. Σχήμα 1. 30 Μέση τιμή, τυπική απόκλιση και διακύμανση ενός τυχαίου σήματος