ΗΛΕΚΤΡΙΚΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ Ι ΜΕΘΟΔΟΙ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΚΥΚΛΩΜΑΤΩΝ 1
Ορίζουμε σε κάθε βρόχο ως ρεύμα βρόχου το ρεύμα που διαρρέει όλους τους κλάδους του βρόχου. Ως θετική φορά των ρευμάτων των βρόχων λαμβάνεται αυθαίρετα η δεξιόστροφη. Τα ρεύματα που διαρρέουν όλα τα στοιχεία ενός κλάδου ονομάζονται ρεύματα κλάδων. Με βάση το δεύτερο νόμο του Kirchhoff έχουμε τις εξισώσεις για τους δύο βρόχους: E I R (I I ) R I R 1 1 1 1 2 3 1 4 E I R (I I ) R I R 2 2 2 2 1 3 2 5 2
Μετά από πράξεις έχουμε E I (R R R ) I R 1 1 1 3 4 2 3 E I R I (R R R ) 2 1 3 2 2 3 5 Οι πιο πάνω εξισώσεις γίνονται E I R I R 1 1 11 2 12 E I R I R 2 1 21 2 22 Όπου R 11 και R 22 ονομάζονται αυτοαντιστάσεις ή ίδιες αντιστάσεις και είναι οι συντελεστές που πολλαπλασιάζουν το ρεύμα του βρόχου που εξετάζουμε. Οι R 12 και R 21 ονομάζονται κοινές ή αμοιβαίες αντιστάσεις μεταξύ των βρόχων. 3
Γενικεύοντας τη μέθοδο των ελαχίστων βρόχων έχουμε: Α)Μετατρέπουμε τις πηγές ρεύματος του κυκλώματος σε πηγές τάσης. Β) Ορίζουμε και αριθμούμε τους βρόχους. Γ) Σε κάθε βρόχο ορίζουμε ένα ρεύμα βρόχου με δεξιόστροφη φορά Δ) Γράφουμε τις εξισώσεις για κάθε βρόχο. Το αριστερό μέρος κάθε εξίσωσης είναι το αλγεβρικό άθροισμα όλων των πηγών τάσης του βρόχου που μελετάμε. Θετικές θεωρούνται οι πηγές στις οποίες το ρεύμα του βρόχου συναντά πρώτα τον αρνητικό πόλο. Το δεξιό μέρος των εξισώσεων είναι το αλγεβρικό άθροισμα όλων των πτώσεων τάσης πάνω στις αντιστάσεις του βρόχου που μελετάμε. Όλες οι αυτοαντιστάσεις έχουν θετικό πρόσημο. Ε) Γράφουμε τις εξισώσεις με βάση το πιο πάνω: E I R I R I R... I R 1 1 11 2 12 3 13 n 1n E I R I R I R... I R 1 1 21 2 22 3 23 n 2n E I R I R I R... I R 3 1 31 2 32 3 33 n 3n................ En I1 Rn1 I2 Rn2 I3 R n3... In Rnn 4
Οι εξισώσεις μπορούν να γραφούν με τη μορφή πινάκων: E1 R 11 -R 12 R 13... R1n I1 E R +R R... R 2 21 22 23 2n I 2 E R -R +R... R 31 32 33 3n I 3 3.... E R n -R n -R n...+rnn In n 1 2 3 5
Το σύστημα μπορεί να λυθεί χρησιμοποιώντας τη μέθοδο Cramer με τις ορίζουσες δηλαδή: I i i Όπου Ι i το ρεύμα στον αντίστοιχο i βρόχο, Δ 0 η ορίζουσα του πίνακα με των αντιστάσεων και Δ i η ορίζουσα που προκύπτει αν στην Δ 0 αντικατασταθεί η στήλη i με τη στήλη των σταθερών όρων 0 0 R -R R... R 11 12 13 1n R +R R... R 21 22 23 2n R -R +R... R 31 32 33 3n R -R -R...+R n1 n2 n3 nn i R -R... E... R 11 12 1 1n R +R... E... R 21 22 2 2n R -R... E... R 31 32 3 3n R -R... E...+R n1 n2 n nn 6
Το σύστημα μπορεί να λυθεί χρησιμοποιώντας τη μέθοδο Cramer με τις ορίζουσες δηλαδή: I i i Όπου Ι i το ρεύμα στον αντίστοιχο i βρόχο, Δ 0 η ορίζουσα του πίνακα με των αντιστάσεων και Δ i η ορίζουσα που προκύπτει αν στην Δ 0 αντικατασταθεί η στήλη i με τη στήλη των σταθερών όρων 0 0 R -R R... R 11 12 13 1n R +R R... R 21 22 23 2n R -R +R... R 31 32 33 3n R -R -R...+R n1 n2 n3 nn i R -R... E... R 11 12 1 1n R +R... E... R 21 22 2 2n R -R... E... R 31 32 3 3n R -R... E...+R n1 n2 n nn 7
Υπολογισμός ορίζουσας πίνακα 3x3 a 11 a 12 a13 a 22 a23 a 21 a23 a 21 a22 0 a 21 a 22 a23 a11 a12 a13 a 32 a 33 a 31 a 33 a 31 a 32 a a a 31 32 33 a a a a a a a a a a a a a a a 0 11 22 33 23 32 12 21 33 31 23 13 21 32 31 22 8
1. ΜΕΘΟΔΟΣ ΤΩΝ ΚΟΜΒΩΝ Στη μέθοδο των κόμβων ακολουθούμε τα πιο κάτω βήματα: Α) Μετατρέπουμε όλες τις πηγές τάσης σε πηγές ρεύματος. Β) Μετατρέπουμε όλες τις ωμικές αντιστάσεις(r) σε αγωγιμότητες (1/R). Γ) Ορίζουμε τους κόμβους του κυκλώματος και τους απαριθμούμε. Ένας από όλους τους κόμβους ορίζεται ως κόμβος αναφοράς και συμβολίζεται με 0 (συνήθως ο κόμβος στον οποίο καταλήγουν οι περισσότεροι κλάδοι). Δ) Στη συνέχεια δίνουμε σε κάθε κόμβο μια τάση ως προς τον κόμβο αναφοράς και έχουμε τις τάσεις U 1, U 2, U 3.U m. Οι τάσεις έχουν θετικοί πολικότητα στον κόμβο που εξετάζουμε και αρνητική στον κόμβο αναφοράς. Ε) Γράφουμε τις εξισώσεις των κόμβων I U G U G U G... U G 1 1 11 2 12 3 13 n 1n I U G U G U G... U G 1 1 21 2 22 3 23 n 2n I U G U G U G... U G 3 1 31 2 32 3 33 n 3n................ In U 1 Gn 1 U2 Gn 2 U3 G n3... Un Gnn 9
1. ΜΕΘΟΔΟΣ ΤΩΝ ΚΟΜΒΩΝ ΣΙ j το αλγεβρικό άθροισμα όλων των ρευμάτων στον κόμβο j. Θετικά λαμβάνονται τα ρεύματα που καταλήγουν στον κόμβο j και αρνητικά αυτό που καταλήγουν στον κόμβο αναφοράς. G jj το άθροισμα όλων των αυτοαγωγιμοτήτων του κόμβου j. G ij το άθροισμα όλων των κοινών ή αμοιβαίων αγωγιμοτήτων μεταξύ του κόμβου j και του κόμβου i. Η επίλυση του συστήματος των εξισώσεων γίνεται με τον τρόπο που περιγράψαμε στη μέθοδο των βρόχων. 10
1. ΜΕΘΟΔΟΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ KIRCHHOFF H μέθοδος αυτή είναι γνωστή και ως μέθοδος των κλαδικών ρευμάτων και βασίζεται στους δυο νόμους του Kirchhoff και στο νόμο του Ohm. Ακολουθούμε τα πιο κάτω βήματα: Α) Ορίζουμε σε κάθε κλάδο ένα ρεύμα με αυθαίρετη φορά. Β) Με βάση τα ρεύματα αυτά ορίζουμε την πτώση τάσης και την πολικότητα σε κάθε αντίσταση του κυκλώματος. Γ) Μετράμε τους βρόχους (οφθαλμούς) και γράφουμε με βάση το δεύτερο νόμο του Kirchhoff τόσες εξισώσεις όσοι είναι και οι βρόχοι. Δ) Μετράμε τους κόμβους του κυκλώματος. Αν έχουμε n κόμβους τότε γράφουμε n-1 εξισώσεις σύμφωνα με τον πρώτο νόμο του Kirchhoff. Ε) Για κάθε αντίσταση γράφουμε τον νόμο του Ohm. 11