ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΘΕΜΑ α α α β Σ, Σ, Σ, Λ, Λ ΘΕΜΑ δ T π και T K T π K π Επίσης K E K( ) K και E K K άρα Ε Ε γ Ένα όρος από την επόμενη κοιλάδα απέχον κατά λ/ Οπότε το μήκος των κμάτων είναι λ Για το πλάτος ταλάντωσης των σημείων μετά τη σμβολή έχομε: r r r r Σημείο Α : σνπ Α, Σημείο Β : σνπ Α λ r r Σημείο Γ : σνπ λ r r Σημείο Ε : σνπ λ γ r r, Σημείο Δ : σνπ λ r r Α, Σημείο Ζ : σνπ Α + γρ όμως λόγω κύλισης χωρίς ολίσθηση είναι γρ ωr Άρα + / s Α α Για ελαστική κρούση έχομε: + Α Η ταχύτητα το σώματος μάζας αμέσως μετά την κρούση είναι και η μέγιστη ταχύτητα της αατ πο ακολοθεί Άρα ωα + Α + Α K( + ) Για πλαστική κρούση από την αρχή διατήρησης της ορμής έχομε: ( + )V V + Η ταχύτητα το σσσωματώματος μετά την κρούση είναι και η μέγιστη ταχύτητα της αατ πο ακολοθεί Άρα V + ω Α + + Α + ΑΑ K( + ) K( + ) + + Α Α K( + ) + +
ΘΕΜΑ α Για κάθε ράβδο πο στρέφεται γύρω από άκρο της έχομε: I I I M L M L M L M L c + + kg Για τη ράβδο πο είναι παράλληλη στον άξονα περιστροφής έχομε: i i i I r L ML 6kg Τελικά ΙΙ +Ι +Ι kg β Από το θεμελιώδη νόμο στη στροφική κίνηση έχομε: Στ Ι α γ α γ F L α γ rad / s και ω αγ I t γ Τη χρονική στιγμή t s έχομε: ω ω + α γ t ω rad / s ω ω + α γ t ω, 6rad / s Τη χρονική στιγμή t s έχομε: ω ω + α γ t ω 8rad / s δ Από το θεώρημα μεταβολής της κινητικής ενέργειας στη στροφική κίνηση έχομε: K K F F I ω I ω j + 8 ( ή θ Ετρ rad 6rad και F F L j θ ) ù(rad/s) 8 ΘΕΜΑ α Η μηχανική ενέργεια το σώματος Σ διατηρείται άρα + gl + gl / s β Από τις σχέσεις της κεντρικής ελαστικής κρούσης έχομε: + / s γ Από ΑΔΕ στη ταλάντωση παίρνομε: Ε Τ UT + K K K + με (ΟΔ) και Α(ΟΓ) Τελικά (ΟΓ) ( Ο ) + (ΟΓ), δ Το σώμα Σ αμέσως μετά τη κρούση έχει ταχύτητα μέτρο + ατά σνέπεια βρίσκεται στην ακραία θέση της νέας το ταλάντωσης και θα διέλθει από τη θέση ισορροπίας το μετά από χρονικό διάστημα Δt Τ με Τ π K Τ π s Άρα Δt π s t(s)
ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΘΕΜΑ γ δ δ δ Σ, Λ, Σ, Σ, Λ ΘΕΜΑ α Ε Ε Q Q C C Επίσης Ε Ε L I γ Q C Q Q Q C LI L I LI I Για το σημείο την t s είναι φπ rad άρα φ π t T Τ π ϕt Τs I t λ Για το σημείο την t s είναι φ άρα ϕ π( ) π( ) λ Οπότε δ T λ λ Τ β Από το θεώρημα παραλλήλων αξόνων έχομε: ΙΙ c +MR 7 Ι Μ R + M R Μ R γ Για τις ταχύτητες των σωμάτων μετά τη κρούση έχομε: + και + άρα λ λ λ + + λ ( Για > > είναι λ ) ΘΕΜΑ α Από την αρχή διατήρησης της ορμής έχομε: p p / s ολ( πριν) ολ ( µετα) λ β Από την αρχή διατήρησης της ορμής έχομε: p p ολ( πριν) ολ ( µετα) + ( + ) V V + () + Ε απωλ πριν μετά Eαπωλ + ( + ) V Από την () έχομε: E + απωλ + ( + ) + + + Eαπωλ ( + ) E + E απωλ ( ) ( + ) απωλ E,, 6( ) απωλ j j Οπότε / s + ( ) +
γ Για ομόρροπη κίνηση έχομε: E απωλ ( ) ( + ) ( + ) ενώ για αντίρροπη κίνηση έχομε: E απωλ ( + ) ( + ) ( ) E απωλ Eαπωλ ( + ) ( + ) + + λ λ + + + + 8 Από τη λύση της πιο πάνω δετεροβάθμιας εξίσωσης παίρνομε: λ ή λ ΘΕΜΑ α Για τη μεταφορική κίνηση της σφαίρας έχομε: ΣF α T α T gηµϕ α ( ) c στ c στ c Για τη στροφική κίνηση της σφαίρας έχομε: Σ τ I α r T r α T rα ( c) γ στ γ στ γ ( ) και λόγω κύλισης χωρίς ολίσθηση είναι α c α γ r ( ) Í Από τις (), (), () παίρνομε gηµϕ αc + αc (R-r)óõíö R-r ö Í Æ ö Ô óô Ç α c g ηµϕ α c / s 7 Ã και d ω α α c γ dt r rad / s β Η μηχανική ενέργεια της σφαίρας διατηρείται άρα + Iω gh + r gh 7 r g( R r)( σνϕ) g( R r)( σνϕ) / s 7 γ Για το ανώτερο σημείο Α της τροχιάς της σφαίρας στην κκλική επιφάνεια ισχύει: N g F N g N + + g R r R r κεντρ με N
g g R r s R r ( ) / Από ΑΔΜΕ για την κίνηση της σφαίρας από το Γ στο Α είναι: Γ + IωΓ + Iω + g R r 7 7 Γ + g( R r) Γ + g( R r ) 7 + r + + g R r r Γ ( ) r r Η ελάχιστη τιμή της ταχύτητας της σφαίρας για να έχομε ασφαλή ανακύκλωση (θέτομε Γ / s ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΘΕΜΑ β β β δ Λ, Λ, Σ, Λ, Λ ΘΕΜΑ α Ισχύει : α 9c Από το νόμο το Snell έχομε: n ηµ n ηµ n α γ Από τις σχέσεις της κεντρικής ελαστικής κρούσης έχομε και + + + + β Η μηχανική ενέργεια των κλίνδρων διατηρείται άρα Γ ( ) / s ) είναι MgH M + I ω MgH M + MR R gh gh Αφού οι κύλινδροι αφήνονται από το ίδιο ύψος φθάνον στη βάση το κεκλιμένο επιπέδο με ταχύτητα ίδιο μέτρο ΘΕΜΑ π α Η περίοδος το κύματος είναι T s Τα κύματα φθάνον στο σημείο Β με χρονική διαφορά ω Δt T, s Άρα δ / s t t β Το μήκος κύματος είναι λ δ Τ 8
Άρα για το πλάτος ταλάντωσης το σημείο Β έχομε: B σνπ λ γ ( t t ) B ( + σνπ λ ηµ π T λ ) ( t t ), ( )( B ηµ π S I ) Άρα t t B( ), π σνπ( )( S I) δ Έστω Α και Β δύο διαδοχικά σημεία ενίσχσης το τμήματος Π Π Για το Α ισχύει: Π Α- Π Α Νλ () Για το Β ισχύει: Π Β- Π Β Ν λ Π Β- Π Β (Ν+)λ () Αφαιρώντας κατά μέλη τις, παίρνομε: Π Β- Π Β- Π Α + Π Αλ Π Β - Π Α + Π Α- Π Βλ ΑΒ + ΑΒλ ΑΒ λ,, Για να έχομε τολάχιστον τρία σημεία ενίσχσης στο τμήμα Π Π πρέπει Π Π λ Π Π 8 Για να έχομε τολάχιστον πέντε σημεία ενίσχσης στο τμήμα Π Π πρέπει Π Π λ Π Π 6 Επομένως για να έχομε μόνο τρία σημεία ενίσχσης στο τμήμα Π Π πρέπει 8 Π Π < 6 ΘΕΜΑ Στ L T( ΑΓ) T L ( Α) ( ΑΓ) T Ν Τ Tηµ Β Τ ΣF F ΣF F Γ T Τ N και Τ T T N ΑΒ T F T F N T F T F N και F F + F N Ã α Μετά το κόψιμο το νήματος η ράβδος αρχίζει να στρέφεται γύρω από το άκρο της Α Η ροπή το βάρος μεταβάλλεται κατά την πτώση της ράβδο και κατά σνέπεια μεταβάλλεται και η γωνιακή της επιτάχνση β ML ML ML ML I Ic + + Σ I α Ατ γ Mg L I ( ) σνθ α γ Mg L ML σνθ α γ σνθ α g γ L Για φ6 είναι θ οπότε α γ rad / s και Á F 6 (III) è F F T T T B (I) (II)
dl dt Στ Mg L σνθ 7 Ν γ Από ΘΜΕ για την κίνηση της ράβδο από τη θέση (Ι) έως στη θέση (ΙΙΙ) έχομε: Ι ω Α Μ g L ML g L g ω Μ ω rad / s L Ο ρθμός μεταβολής της κινητικής ενέργειας είναι: dk dt Στ ω ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΘΕΜΑ γ γ β γ Σ, Σ, Σ, Λ, Λ ΘΕΜΑ γ r r Γ σν π σν π, λ Ασν π Α λ λ β Η ιδιοσχνότητα το ταλαντωτή είναι f Έστω ότι για f Η z π π Η z το πλάτος ταλάντωσης είναι Α π και για f f Ηz το πλάτος είναι Α π Από την καμπύλη σντονισμού έχομε Α >Α Άρα το πλάτος ταλάντωσης θα μειωθεί γ K µ Είναι π Ιω R ω R ω Επειδή η σφαίρα κλίεται χωρίς να ολισθαίνει ισχύει ωr άρα K Όμως + 7j, π 7j π j οπότε και µ j µ π µ π f Kµ, π f f f d i δ Ο παρατηρητής παύει να αντιλαμβάνεται απεθείας τον ήχο της πηγής όταν f Δηλαδή ΗΧ Α fs ΗΧ Α α t ΗΧ t s ΗΧ ii Αν σε ένα χρονικό διάστημα dt το τύμπανο το ατιού το παρατηρητή dn εκτελέσει dn ταλαντώσεις θα ισχύει: f dn f dt dt f (Hz) Ο σνολικός αριθμός ταλαντώσεων εκφράζεται από το εμβαδόν το διαγράμματος f f(t) Άρα N Eτρ ταλ ταλ t(s)
ΘΕΜΑ + α Η γενική εξίσωση της σύνθετης ταλάντωσης είναι: σν( ω ω t) ηµ ( ω ω t) Οπότε Α,, και ω ω π ω ω πrad / s (), ω + ω π ω + ω πrad / s () Από τις, παίρνομε ω πrad / s και ω 98πrad / s, ηµ π t( S I),, ηµ 98π t( S I) β Ο χρόνος ανάμεσα σε δο διαδοχικούς μηδενισμούς (ή μεγιστοποιήσεις) το πλάτος είναι: π Tδ, s Η εξίσωση το πλάτος σε σνάρτηση με το χρόνο είναι:, σν( π t) ( S I) ω ω γ,, σν( πt) σν( πt) σν( πt ) ± t κ ± 6 η t κ ± για κ έχομε t π κπ π t ± η π πt κπ ± s 6, t s (),, t(s) δ t ( ) s, s 6 f Η σχνότητα της σύνθετης ταλάντωσης είναι: f N Άρα f N f t ταλ t ΘΕΜΑ α Τη χρονική στιγμή ts έχομε: f + fs Όμως ω R ω R ω 6rad / s + f ω + ω π s Hz f 8 / s f β α t α / s Για τη μεταφορική κίνηση το σώματος μάζας έχομε: ΣF α T α T g α ( ) c c ΜR Για τη στροφική κίνηση της τροχαλίας έχομε: Στ I α T r α T MRα νήμα δεν γλιστράει στη τροχαλία ισχύει: α α γ R ( ) γ γ γ ( ) και επειδή το
Από τις (), (), () παίρνομε: Mα g α + Mα kg ( g α ) γ dk dt τρ α Σ τ ω Ι α γ ω Μ R ω Μα 96j / s R T R (+) T ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΘΕΜΑ β γ β δ Σ, Λ, Λ, Σ, Σ ΘΕΜΑ δ Είναι K 8c c επίσης T K, s T s και λ t t Άρα σνπ ηµ π Kσνπ ηµ π σνπηµ πt( S I) λ T λ T γ + + σνϕ + + σνϕ Ε Ε Ε Ε Ε + + σνϕ D D D D D E Ε + Ε + Ε Ε σνϕ E 9 j δ F Για το δίσκο ισχύει: ΣF F F Mg και Στ Ι αγ F R MR αγ αγ MR F Στ Ι αγ F R MR αγ αγ MR g α γ rad / s R i γ Για τις ταχύτητες των Σ, Σ μετά την κρούση τος έχομε:
+ και + ii β Για τις ταχύτητες των Σ, Σ μετά την κρούση τος έχομε: + και + Για τη ταχύτητα το Σ μετά τη δεύτερη κρούση με το Σ κρούση έχομε: + ( ) Άρα ΘΕΜΑ α Η περίοδος της ταλάντωσης κάθε σημείο της χορδής είναι T, s s Το πλάτος ταλάντωσης μιας κοιλί ας είναι, K, λ Για τις θέσεις των δεσμών στη χορδή ισχύει: ( N + ) λ Το δεξί άκρο της χορδής είναι ο τέταρτος δεσμός (Ν) επομένως L ( + ) λ t t σνπ ηµ π Kσνπ ηµ π, σνπηµ πt( S I) λ T λ T β Το πλάτος ταλάντωσης των λικών σημείων είναι: σνπ, σνπ (SI) λ, (),,,, () γ Για το πλάτος ταλάντωσης των λικών σημείων έχομε: 6 σνπ λ / Α και σνπ λ / λ λ Α άρα Ε Ε Τα σημεία N και Λ πο βρίσκονται στις θέσεις λ/6 και λ/ αντίστοιχα έχον διαφορά φάσης π rad Ν 6 t σνπ λ / t ηµ π Ν, ηµ πt( S I) και Λ σνπ λ / ηµ π Λ, ηµ πt( S I) λ T λ T Επομένως όταν βρίσκονται σε ακραίες θέσεις θα έχον κατακόρφη απόσταση Α και οριζόντια λ/6 Άρα η μεταξύ
τος απόσταση είναι λ 6 ΛΝ ΛΜ + ΜΝ Α +, 6 9 Á Á Í ë/6 ë/ -Á -Á Ì Ë ΘΕΜΑ Το σσσωμάτωμα εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση με γωνιακή σχνότητα ωrad/s και πλάτος a, Άρα ω, kg ω + Ï K Ì L/ (II) (ðñéí) (â) õ K K õ (â) õ K (ðñéí) (ìåôü) (I) ù + (ìåôü) õ a K β Από ΑΔΕ ταλάντωσης έχομε: K K +, Άρα dp dt ΣF D K 8N γ Από ΑΔΟ στη πλαστική κρούση έχομε: ( + ) a / s
ML ML ML ML Η ροπή αδράνειας της ράβδο ως προς τον άξονα Ο είναι: IO Ic + +, 9kg Από το θεώρημα μεταβολής της κινητικής ενέργειας για την κίνηση της ράβδο από τη θέση (Ι) στη θέση (ΙΙ) έχομε: Iω Mg L ML ω Μ g L ω g ω rad / s L Από τη διατήρηση της στροφορμής για την κρούση βλήματος ράβδο ως προς τον άξονα Ο έχομε: L I L Oω + / s δ Από ΑΔΕ έχομε: Kβλ ( Kραβ + ) Ε ω + + j Ι ( ), Τ Ο a 99 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 6 ΘΕΜΑ α α β γ Λ, Λ, Σ, Λ, Λ ΘΕΜΑ γ + + σνϕ c β Η σχνότητα δεν αλλάζει με την αλλαγή το μέσο διάδοσης αφού καθορίζεται από τη σχνότητα τη σχνότητα της πηγής Άρα f Hz γ β Είναι και όμως + οπότε ΘΕΜΑ α Είναι ημ(ωt+φ ) όπο ω rad / s π Για t είναι οπότε αντικαθιστώντας στην () παίρνομε: ηµϕ ηµϕ ϕ rad Από ΑΔΕ ταλάντωσης όταν το σώμα βρίσκεται στη θέση Μ έχομε: K K + Α, π Άρα ηµ ( ωt + ϕ ), ηµ ( t + )( S I )
T α Είναι t t ΒΓ t BM t BM π π με T s ω π π π Για t t BM είναι, άρα,, ηµ ( ωt + ) ηµ ( ωt + ) ηµ ( ωt + ) ηµ π 6 π ω κπ π π π t + + 6 t κπ Τ t ( κ ) Τ η η η π π π π ωt + κπ + t κπ t ( κ ) Τ 6 Τ Τ T Τ Τ π για κ η πρώτη σειρά λύσεων δίνει: t ΒΓ Άρα t s 6 ατο έργο της δύναμης απόσβεσης είναι ίσο με τη μεταβολή της ενέργειας ταλάντωσης το σστήματος F Ε F Ε Ε F Α Α με Α, και Α Α -%Α,8Α οπότε F j 6 6, Α Α, Α, 8Α, 7 β Ισχύει, 6, 8 οπότε E j j 8 89 Α,, ΘΕΜΑ Το σύστημα ράβδος-σημειακές μάζες εκτελεί ομαλή στροφική κίνηση γύρω από τον άξονα πο διέρχεται από το Ο Ä Ï è è Ã Å Â ù Άρα σε κάθε θέση ισχύει: (στο διπλανό σχήμα φαίνεται μια τχαία θέση) Á Στ g( O) g( OΕ) g( ΑO) σνθ g( OΓ) σνθ ( Ο) O, kg OΓ α Από ΘΜΕ για τη κατακόρφη κίνηση της μάζας έχομε: gh gh / s Όμως τη στιγμή της αποκόλλησης η μάζα έχει γραμμική ταχύτητα οπότε ω ( ΟΓ) ω rad / s ΜL β Η ροπή αδράνειας το σστήματος ράβδος μάζα είναι: I Ic + ( ΟΑ) + ( ΟΑ ) kg
άρα Στ I α g( O) I α α rad / s ( Ο) γ γ γ õ οπότε είναι d ω rad / s dt γ Από το θεώρημα μεταβολής της κινητικής ενέργειας, ανάμεσα στις θέσεις (Ι) και (ΙΙ),για το σύστημα ράβδος-μάζα έχομε: Iω Iω g( O) ω rad / s οπότε και L ρ I ρ ω6 kg /s Ï Á Ã Â ù õ h ù Á (I) Ï Á (II) ù ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 7 ΘΕΜΑ β δ δ α Λ, Λ, Λ, Σ, Λ ΘΕΜΑ β Έστω ότι f > f οπότε T δ f Tδ f f f f f Hz () N f f N Η σχνότητα της ταλάντωσης είναι f + f + f Hz () t t Από τις, παίρνομε f Hz και f 9Hz
α Στο διπλανό σχήμα φαίνεται το στιγμιότπο το κύματος όταν ξεκινά ταλάντωση το λικό σημείο Σ Την ίδια στιγμή το λικό σημείο Σ βρίσκεται στην άνω ακραία θέση της ταλάντωσης το και είναι στιγμιαία ακίνητο Η οριζόντια απόσταση των δύο σημείων είναι λ/ Ó ë/ Ó γ Αρχικά η ροπή αδράνειας το άστρο είναι I I M R I M R I I MR ενώ στα τελεταία στάδια της ζωής το είναι I Η στροφορμή το άστρο διατηρείται σταθερή άρα L L Iω Ι ω Iω ω ω ω Αρχικά η κινητική ενέργεια το άστρο είναι Ι ω ενώ στα τελεταία στάδια της ζωής Ι το είναι Ι Ι ω ( ω ) ω α Η σχνότητα πο αντιλαμβάνεται ο παρατηρητής πριν την κρούση είναι: f fs f fs f fs () + s + / Από ΑΔΟ έχομε: V V V Η σχνότητα πο αντιλαμβάνεται ο παρατηρητής μετά την κρούση είναι: f fs f fs f fs () + + / 6 s Διαιρώντας κατά μέλη τις, παίρνομε: f f f f ΘΕΜΑ α Το λικό σημείο Ο έχει για πρώτη φορά μέγιστη θετική απομάκρνση τη χρονική στιγμή t διαδοθεί κατά λ/ Άρα λ K λ 8 Είναι ϕ ω ϕ π t Τ t Τ λ s και δ δ / s Τ t β Θέτοντας ϕ π( ) για τη φάση ενός λικού σημείο έχομε: T λ ηµϕ ηµ ϕ ωασνϕ σν ϕ ω Για και,π /s παίρνομε: ηµ ϕ + σν ϕ T και το κύμα έχει + + + ω ω ω + Α, ω ω ω
t t Η εξίσωση το κύματος είναι ηµ π( ), ηµ π( ) (SI) T λ 8 γ Το λικό σημείο ξεκινά να κάνει ταλάντωση τη χρονική K στιγμή t K, s δ Άρα για t <, s είναι: K +, () και για t t K είναι: t t K, ηµ π( ) K, ηµ π ( ) (SI) 8,, δ Το κύμα διαδίδεται για χρόνο t 6T + T, s -, ενώ στο σημείο Μ το κύμα φθάνει τη χρονική στιγμή M t s Άρα M δ, 9π π M, ηµ π( ) M, ηµ M, ηµ ( 8π + ) M 8, t(s) ΘΕΜΑ α Από την ισορροπία της δοκού έχομε: Στ F F F N ( Ο) β Από την αρχή διατήρησης της ορμής έχομε: ( + ) V V V / s + πριν Άρα j και µετ V, j % 97, % πριν γ ατά τη διάρκεια της κίνησης το σσσωματώματος έχομε: Στ F + ( + ) g ( Ο) 6 F + 6 F ( S I ) Όταν η δοκός έχει επαφή με το στήριγμα ΑΛ ισχύει: F õ ατά σνέπεια η μέγιστη απόσταση πο μπορεί να διανύσει το σσσωμάτωμα πάνω στη δοκό ώστε να μη χαθεί η επαφή με το στήριγμα ΑΛ είναι a Από ΘΜΕ για την κίνηση το σσσωματώματος έχομε: V τελ αρχ T ( + ) V µ ( + ) g a µ µ g a 8 F F O O F B N g F B + N( + )g
ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 8 ΘΕΜΑ γ γ δ β Λ, Λ, Σ, Σ, Σ ΘΕΜΑ F β Είναι D F F και D / B άρα D D E D D D ( ) B E B D D DB B B i Για τις ενέργειες των κκλωμάτων έχομε: E είναι C > C άρα και E < E B Q και E C ii Για τος χρόνος εκφόρτισης των κκλωμάτων έχομε: t Q C T t L C π και T t t L C π Είναι C > C άρα και t > t γ Ως προς τον άξονα πο διέρχεται από το Α έχομε: I I M L M L M L M L c + + Στ Ι Α α Α F L M L αα αα F () ( Α) ML Ως προς τον άξονα πο διέρχεται από το Β έχομε: I M L B Στ ΙB αb F L M L 6 αb α F B () ( B) ML αβ Από τις, παίρνομε: αβ α Α α Α α Από την αρχή διατήρησης της ορμής στην κρούση έχομε: ( + ) V V + Για το ποσοστό απώλειας της κινητικής ενέργειας έχομε: ( + ) V % αρχ % + λ % + ( + ) + % ( Το πιο πάνω ποσοστό γίνεται μέγιστο για λ ( η μάζα είναι πολύ μικρότερη της ) ΘΕΜΑ α Λόγω ισορροπίας της σκάλας έχομε: Στ L σνϕ Α ηµϕ L Α Ν ( Ο) εϕϕ ) % ( ) % +
β Ακόμα ισχύει: ΣF T T Ν στ στ ΣF N N N Άρα F N + T 7Ν και εϕω στ Ν Τ στ γ Για να μην γλιστράει η σκάλα πρέπει να ισχύει : Τ µ Ν () ΣF T T στ στ () στ ς T óô ö N ΣF N ( + N + ) N () Στ L σνϕ ΑLηµϕ + + ( Ο) εϕϕ Lηµϕ Άρα από τη σχέση () είναι Τ στ + οπότε από την () έχομε: εϕϕ L ηµϕ N N L L εϕϕ Lηµϕ µ µ ς ηµϕ σνϕ + ς Ν Άρα a Όμως εϕϕ a a εϕϕ a, T óô ö ΘΕΜΑ α Επειδή f >f S ο δέκτης πλησιάζει προς την πηγή, οπότε: f f + Α fs Α ( ) Α / s Α / s f s β Η κκλική σχνότητα της ταλάντωσης είναι ω rad / s Η σχνότητα πο καταγράφει ο δέκτης αρχικά αξάνεται άρα κινούμενος προς τα δεξιά πλησιάζει προς τη θέση ισορροπίας το Δηλαδή τη χρονική στιγμή t έχει /s και < ωα σν( ωt + ϕ ), σνϕ σνϕ σνϕ σν π 8 ϕ κπ π ± Τελικά παίρνομε ϕ Δεκτή είναι η λύση ϕ π rad ή ϕ π π rad Άρα, 8ηµ ( t + ) (SI) π rad Όμως < ηµϕ < ηµϕ < γ Η ταχύτητα το δέκτη ( άρα και η σχνότητα πο καταγράφει) αξάνεται μέχρι τη χρονική στιγμή t πο ατός διέρχεται από τη θέση ισορροπίας της ταλάντωσης το Άρα
π π π π, 8ηµ ( t + ), 8ηµ ( t + ) ηµ ( t + ) t + κπ Η μικρότερη θετική τιμή πο δίνει η πιο πάνω εξίσωση (για κ ) είναι t π s δ Για f f S είναι Α Η ταχύτητα το δέκτη μηδενίζεται για πρώτη φορά στη θέση + d α ω Α 8 / s dt ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 9 ΘΕΜΑ δ α α γ Λ, Σ, Σ, Λ, Σ ΘΕΜΑ α Η ταχύτητα το σώματος Σ τη στιγμή της κρούσης είναι: ω Α Α Από την αρχή διατήρησης της ορμής έχομε: ( + ) V V Όμως + V Α V Α + ω V + Α V Α Α Οπότε V Α Α Α + γ Επειδή f f είναι και ω ω άρα Ι Ι ω ω Από το θεώρημα μεταβολής της κινητικής ενέργειας στη στροφική κίνηση έχομε: F F β,γ Τη χρονική στιγμή t τα κύματα έχον διαδοθεί κατά την ίδια απόσταση Άρα Α Β t λβ λ Α λβ Τη χρονική στιγμή t για είναι: ϕα ϕβ π t π TB T λ Α T TB Β Α δ Από την αρχή διατήρησης της ορμής έχομε: p + p p σσ Η ορμή το σστήματος πριν τη κρούση έχει μέτρο p p + p p p p p ολ ολ ολ
Άρα p σσ p ΘΕΜΑ α Είναι δ λ λ Τ Τ s Τ δ Το λικό σημείο Μ είναι σημείο ενίσχσης ( r r λ ) Άρα Α, Α, β Επειδή το σημείο Δ είναι το δεύτερο σημείο απόσβεσης στ αριστερά το μέσο Μ θα ισχύει: r r ( N + ) λ με Ν- λ λ λ Οπότε r r ( + ) r r r r + r 7c γ Στο σημείο Δ τα κύματα φθάνον από τις πηγές Π και Π τις χρονικές στιγμές t t r 7, s αντίστοιχα δ Για t <, s είναι Δ Για, s t < 7, s είναι t 9π, ηµ ( π ) (SI) Για 7, s t 8s είναι r, s και δ δ Έστω η απόσταση των κοντινότερων σημείων ενίσχσης από τις δύο πηγές Επειδή δύο διαδοχικά σημεία ενίσχσης το τμήματος Π Π απέχον κατά λ/ θα ισχύει: λ d < λ λ δ δ δ < d λ < λ d < df δ < δ f f f d Hz f < Hz, τελικά f in,hz ΘΕΜΑ α Πριν κοπεί το νήμα η σφαίρα Λ ισορροπούσε, οπότε έχομε: ΣF T + T () στ X ΣF N () X T d T R T T () Στ στ στ ( K) Η () από () γίνεται: Mgηµϕ Τ στ Τστ Ν β Πριν κοπεί το νήμα το σώμα (Σ) ισορροπούσε, οπότε έχομε: ΣF + T F T F X, X ελ ελ, X Ä < δ d Όταν κόβεται το νήμα το σώμα ξεκινά απλή αρμονική ταλάντωση από ακραία θέση () Στη θέση ατή το σώμα δέχεται δύναμη επαναφοράς μέγιστο μέτρο F åë f T T T óô f Í d f Άρα
ΣF D F K T K T ελ, X, 8 K γ Μετά το κόψιμο το νήματος η σφαίρα εκτελεί κύλιση χωρίς ολίσθηση (με α c α γ R ) Άρα είναι : ΣFX Mαc Mgηµϕ T στ Mαc () και Στ Ι α γ Τ στ α γ Τ R MR στ MRα γ ( ) Τ στ Mα c ( ) Προσθέτοντας κατά μέλη τις (),() παίρνομε: 7 Mgηµϕ Mαc αc gηµϕ αc / s Άρα 7 7 α α c γ R rad / s T óô Όταν η σφαίρα έχει διαγράψει περιστροφές έχει διαγράψει γωνία ΔθΝπrad π f Í d f θ Όμως θ α γ t t t s α γ Kt Στο χρόνο ατό το σώμα (Σ) έχει εκτελέσει ταλαντώσεις Άρα t T t π kg K π ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΘΕΜΑ δ α γ β Σ, Λ, Λ, Λ, Σ ΘΕΜΑ β είναι και θ πrad αφού Α >Α Άρα ημ(t+π) (SI) γ Πριν είναι: f f f f + α S S + S S S S 9 Για f f το στιγμιότπο το στάσιμο κύματος φαίνεται στο διπλανό σχήμα δ δ Τότε L λ L f f L s Μετά είναι: f fs Διαιρώντας κατά μέλη έχομε: + S
Για f f το στιγμιότπο το στάσιμο κύματος φαίνεται στο διπλανό σχήμα δ δ Τότε L λ L f f L Άρα f f α Η κούφια σφαίρα έχει μεγαλύτερη ροπή αδράνειας από τη σμπαγή επειδή ίση μάζα κατανέμεται σε μεγαλύτερη απόσταση από τον άξονα περιστροφής ( Ι > Ι Σ ) Από τη διατήρηση της μηχανικής ενέργειας έχομε: U Kµ + στρ gh c + Iω Όμως λόγω κύλισης χωρίς ολίσθηση είναι ω c R c gh Άρα gh c + I c R + I και K gh µετ + I R R Επειδή Ι > Ι Σ είναι μετ() < μετ(σ) Δηλαδή η σμπαγής σφαίρα φθάνει με μεγαλύτερη κινητική ενέργεια ΘΕΜΑ α Αμέσως μετά τη κρούση το σσσωμάτωμα βρίσκεται στη θέση ισορροπίας της ταλάντωσης το άρα σσ ω Α σσ Α σσ, / s + T π π β Ο χρόνος κίνησης των σωμάτων μέχρι τη κρούση είναι t s K Οπότε / s t γ Από ΑΔΟ για τη πλαστική κρούση έχομε: ( + ) / s σσ Όμως ω Α ω, K ΘΕΜΑ α Η γωνία πο διέγραψε το σύστημα είναι θ Νπ π rad F τf θ F F θ F j β Η τάση το νήματος πο δέχεται κάθε δακτύλιος είναι η αναγκαία κεντρομόλος δύναμη για την κκλική κίνηση πο εκτελεί, άρα T FK T ω d () Όταν το σύστημα έκανε περιστροφές το νήμα κόπηκε Άρα ΤΤ θρ Από ΘΜΕ για το
F σύστημα έχομε Σ Ιω F ω I με Ι Ιc + d I ML +d I, kg Άρα ωrad/s Τελικά η () δίνει Τ θρ 8Ν α Το σύστημα δε δέχεται εξωτερικές ροπές και η στροφορμή το διατηρείται Άρα L( αρχ) L( τελ) Ι ω Ι ω όπο I ML + I kg Ι ω Άρα ω ω rad / s Σνεπώς Α ω Α / s Ι β Η θερμότητα πο παράχθηκε είναι ίση με την απώλεια κινητικής ενέργειας το σστήμα τος Q Kαρχ τελ Q Iω I ω Q 7j και Q % %, % 7 7 F