Έντυπο Υποβολής Αξιολόγησης Γ.Ε.

Έντυπο Υποβολής Αξιολόγησης Γ.Ε. O θνηηεηήο ζπκπιεξώλεη ηελ ελόηεηα «Τπνβνιή Εξγαζίαο» θαη απνζηέιιεη ην έληππν ζε δύν κε ζπξξακκέλα αληίγξαθα (ή ειεθηξνληθά) ζηνλ Καζεγεηή-ύκβνπιν. Ο Καζεγεηήο-ύκβνπινο ζπκπιεξώλεη ηελ ελόηεηα «Αμηνιόγεζε Εξγαζίαο» θαη ζηα δύν αληίγξαθα θαη επηζηξέθεη ην έλα ζην θνηηεηή καδί κε ηα ζρόιηα επί ηεο Γ.Ε., ελώ θξαηά ην άιιν γηα ην αξρείν ηνπ καδί κε ην γξαπηό ζεκείωκα ηνπ πληνληζηή, εάλ έρεη δνζεί παξάηαζε. ε πεξίπηωζε ειεθηξνληθήο ππνβνιήο ηνπ παξόληνο εληύπνπ, ην όλνκα ηνπ ειεθηξνληθνύ αξρείνπ ζα πξέπεη λα γξάθεηαη ππνρξεωηηθά κε ιαηηληθνύο ραξαθηήξεο θαη λα αθνινπζεί ηελ θωδηθνπνίεζε ηνπ παξαδείγκαηνο: Π.ρ., ην όλνκα ηνπ αξρείνπ γηα ηε 6ε Γ.Ε. ηνπ θνηηεηή ΙΩΑΝΝΟΤ ζηελ ΠΛΗ πξέπεη λα γξαθεί: «ioannou_ge6_plh.doc». ΤΠΟΒΟΛΗ ΔΡΓΑΙΑ Ολνκαηεπώλπκν θνηηεηή Κωδικόρ ΘΔ ΠΛΗ Ολνκαηεπώλπκν Καζεγεηή - Σύκβνπινπ Κωδικόρ Σμήμαηορ Ακ. Έηορ α/α ΓΔ 00-0 6 Καηαιεθηηθή εκεξνκελία παξαιαβήο ζύκθσλα κε ην αθ. εκεξνιόγην (εκέξα Σξίηε) Ηκεξνκελία απνζηνιήο Γ.Δ. από ηνλ θνηηεηή Δπηζπλάπηεηαη (ζε πεξίπηωζε πνπ έρεη δεηεζεί) ε άδεηα παξάηαζεο από ηνλ Σπληνληζηή; /05/0 NAI/ΟΧΙ Υπεύθυνη Δήλωση Φοιτητή: Βεβαηώλω όηη είκαη ζπγγξαθέαο απηήο ηεο εξγαζίαο θαη όηη θάζε βνήζεηα ηελ νπνία είρα γηα ηελ πξνεηνηκαζία ηεο είλαη πιήξωο αλαγλωξηζκέλε θαη αλαθέξεηαη ζηελ εξγαζία. Επίζεο έρω αλαθέξεη ηηο όπνηεο πεγέο από ηηο νπνίεο έθαλα ρξήζε δεδνκέλωλ, ηδεώλ ή ιέμεωλ, είηε απηέο αλαθέξνληαη αθξηβώο είηε παξαθξαζκέλεο. Επίζεο βεβαηώλω όηη απηή ε εξγαζία πξνεηνηκάζηεθε από εκέλα πξνζωπηθά εηδηθά γηα ηε ζπγθεθξηκέλε Θεκαηηθή Ελόηεηα.. ΑΞΙΟΛΟΓΗΗ ΔΡΓΑΙΑ Ηκεξνκελία παξαιαβήο Γ.Δ. από ηνλ θνηηεηή Ηκεξνκελία απνζηνιήο ζρνιίσλ ζηνλ θνηηεηή Βαθμολογία (αξηζκεηηθώο, νινγξάθωο) Τπογπαθή Τπογπαθή Φοιηηηή Καθηγηηή-ςμβούλος

ΔΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΣΟ ΠΑΝΔΠΙΣΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΠΟΤΓΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ Ι (Θ.Δ. ΠΛΗ ) ΔΡΓΑΙΑ 6 η Ημεπομηνία Αποζηολήρ ζηοςρ Φοιηηηέρ: 8 Αππιλίος 0 Ημεπομηνία παπάδοζηρ ηηρ Δπγαζίαρ: 0 Μαΐος 0 Πξν ηεο επίιπζεο θάζε άζθεζεο, θαιό είλαη λα κειεηώληαη ηα παξαδείγκαηα θαη νη ιπκέλεο αζθήζεηο ησλ ππνδείμεσλ θαη παξαπνκπώλ ζηα ζπγγξάκκαηα θαη ζην βνεζεηηθό πιηθό. Οη αζθήζεηο ηεο έθηεο εξγαζίαο αλαθέξνληαη ζηηο Δνόηηηα (Δθαξκνγέο ησλ νινθιεξσκάησλ) Δνόηηηα :.. (Σεηξέο Fourier) ηνπ ζπγγξάκκαηνο ηνπ Δ.Α.Π. «Λογιζμόρ Μίαρ Μεηαβληηήρ» ηνπ Γεσξ. Γάζηνπ Γηα ηελ θαηαλόεζε ηεο ύιεο απηήο ζπκβνπιεπζείηε επίζεο ην βνεζεηηθό πιηθό ην νπνίν ππάξρεη ζηε http://edu.eap.gr/pli/pli/students.htm σο εμήο: πλνδεπηηθό Δθπαηδεπηηθό Τιηθό: Λογιζμόρ Οινθιεξώκαηα, Σεηξέο Fourier Δπί πιένλ ε εξγαζία απηή βαζίδεηαη ζε κηα επαλάιεςε ησλ βαζηθώλ ελλνηώλ ηνπ καζήκαηνο ηηο νπνίεο πξέπεη λα γλσξίδεηε ώζηε λα πξνεηνηκαζζείηε γηα ηηο Γξαπηέο Δμεηάζεηο. Τκήκα ηεο πξώηεο άζθεζεο αλαθέξεηαη ζηηο εθαξκνγέο ησλ νινθιεξσκάησλ θαη ε δεύηεξε άζθεζε αλαθέξεηαη ζηηο ζεηξέο Fourier. Με ην θεθάιαην απηό θαιύπηεηαη ε ύιε ηεο ΠΛΗ. Οη ππόινηπεο αζθήζεηο είλαη επαλαιεπηηθέο ζηελ ύιε ηεο Γξακκηθήο Άιγεβξαο, ηνπ Λνγηζκνύ κίαο κεηαβιεηήο θαη ησλ Πηζαλνηήησλ.

Άζκηζη (5 μον.) (Γηα ην εξώηεκα (α) ζπκβνπιεπζείηε ηα εδάθηα. θαη. θαη γηα ην (β) ην εδάθην. ηνπ ζπγγξάκκαηνο ηνπ Δ.Α.Π. «Λογιζμόρ Μίαρ Μεηαβληηήρ» θαζώο θαη ην Οινθιεξώκαηα Ι ηνπ ΣΔΥ). Γίλνληαη νη ζπλαξηήζεηο:, f ( ), R θαη g ( ) 0. 7 α) (5 μον.) Να ππνινγίζεηε ηνλ όγθν θαη ην εκβαδόλ ηεο (παξάπιεπξεο) επηθάλεηαο ηνπ ζηεξενύ πνπ παξάγεηαη από ηελ πεξηζηξνθή ηνπ γξαθήκαηνο ηεο g γύξσ από ηνλ άμνλα ησλ γηα. β) (5 μον.) Να βξείηε ηα δηαζηήκαηα κνλνηνλίαο ηεο f θαζώο θαη ηελ κέγηζηε θαη ηελ ειάρηζηε ηηκή ηεο. γ) (6 μον.) Να ππνινγίζεηε ην εκβαδόλ ηνπ ρσξίνπ πνπ πεξηθιείεηαη από ηα γξαθήκαηα ησλ ζπλαξηήζεσλ f θαη g θαη ηηο θαηαθόξπθεο επζείεο = θαη =. Τπόδειξη: Πξνθεηκέλνπ λα ζπγθξίλεηε ηηο ζπλαξηήζεηο f θαη g ζην δηάζηεκα [,], ρξεζηκνπνηήζηε ην εξώηεκα (β). δ) ( μον.) Υπνινγίζηε ηε ζπλάξηεζε h( ) f ( ) d. b 7 ε) (6 μον.) Να δείμεηε όηη γηα θάζε a,br έρνπκε: ln b a a. 7 Τπόδειξη: Φξεζηκνπνηήζηε ηε ζπλάξηεζε ηνπ εξσηήκαηνο (δ), ην Θεώξεκα κέζεο ηηκήο θαη ην εξώηεκα (β). Άζκηζη (0 μον.) (Σπκβνπιεπζείηε ηα εδάθηα. θαη. ηνπ ζπγγξάκκαηνο ηνπ Δ.Α.Π. «Λογιζμόρ Μίαρ Μεηαβληηήρ») Γίλεηαη ε π-πεξηνδηθή ζπλάξηεζε f κε f ( ) e γηα. α) (5 μον.) Διέγρνληαο ηε ζπλέρεηα ηεο ζπλάξηεζεο ζην ζεκείν π, λα βξείηε όια ηα ζεκεία ζηα νπνία ε f δελ είλαη ζπλερήο. β) (0 μον.) Να βξείηε ηε ζεηξά Fourier ηεο f. γ) (5 μον.) Μειεηώληαο ηελ παξαπάλσ ζεηξά Fourier ζην ζεκείν λα ππνινγίζεηε ην άζξνηζκα. n n Τπόδειξη: Λάβεηε ππ όςε ηε ζρέζε (.) ζει. 9 ηνπ «Λογιζμόρ Μίαρ Μεηαβληηήρ». ζπγγξάκκαηνο ηνπ Δ.Α.Π.

Άζκηζη (5 μον.) Έζησ ν ηεηξαγσληθόο πίλαθαο A. 0 α) (0 μον.) Να βξεζνύλ ην ραξαθηεξηζηηθό πνιπώλπκν, νη ηδηνηηκέο θαη ηα ηδηνδηαλύζκαηα ηνπ πίλαθα A. β) (5 μον.) Δίλαη ν πίλαθαο A δηαγσλνπνηήζηκνο; Δάλ λαη, λα βξεζεί έλαο αληηζηξέςηκνο πίλαθαο P ηέηνηνο ώζηε A PDP, όπνπ ν D είλαη έλαο δηαγώληνο πίλαθαο. Άζκηζη (0 μον.) Έζησ ε γξακκηθή απεηθόληζε βάζε ηνπ R ηνλ A θαη ην δηάλπζκα v ( 6,0, ) R. Να βξεζεί γηα πνηεο ηηκέο ησλ παξακέηξσλ f : R R κε πίλαθα αλαπαξάζηαζεο σο πξνο ηελ θαλνληθή πνπ απηό ζπκβαίλεη λα βξείηε όια ηα αληίζηνηρα f,, ) v. (, ην v αλήθεη ζην Imf. Σε όιεο ηηο πεξηπηώζεηο ( R,, ) γηα ηα νπνία Άζκηζη 5 (0 μον.) α) (5 μον.) Να εμεηάζεηε σο πξνο ηε ζύγθιηζε ηηο παξαθάησ ζεηξέο: n i) n n n 0 β) (5 μον.) Να ππνινγίζεηε ηα παξαθάησ όξηα ii) n 5n n 7 n sin sin i) lim 0 ii) lim ( 5 ) Τπόδειξη: Γηα ην βii) κπνξείηε είηε λα ρξεζηκνπνηήζεηε ηελ ηαπηόηεηα A B ( A B)( A A B AB B ) ή λα ζέζεηε y θαη λα εθαξκόζεηε θαλόλα L Hospital.

Άζκηζη 6 (0 μον.) α) Έλα ζπξηάξη πεξηέρεη έμη δηαθνξεηηθά λνκίζκαηα, ηα Ν,Ν,,Ν 6. Η πηζαλόηεηα λα k εκθαληζηνύλ γξάκκαηα αλ ζηξίςνπκε ην λόκηζκα Ν k είλαη ίζε κε, k,,..., 6 (π.ρ. ην 5 λόκηζκα Ν έρεη θαη ζηηο δύν όςεηο θνξώλα θαη ην Ν 6 έρεη θαη ζηηο δύν όςεηο γξάκκαηα θιπ). Γηαιέγνπκε ζηελ ηύρε έλα λόκηζκα από ην ζπξηάξη θαη ην ζηξίβνπκε δύν θνξέο. Θεσξνύκε σο Α ην ελδερόκελν ζηελ πξώηε ξίςε λα εκθαληζηνύλ γξάκκαηα θαη σο Β ην ελδερόκελν ζηε δεύηεξε ξίςε λα εκθαληζηεί θνξώλα. (i) (5 μον.) Να βξείηε ηελ πηζαλόηεηα λα έρνπκε δηαιέμεη ην λόκηζκα Ν k (γηα θαζεκία από ηηο ηηκέο k,,...,6 ) εάλ είλαη γλσζηό όηη ζηελ πξώηε ξίςε εκθαλίζηεθαλ γξάκκαηα. (ii) (5 μον.) Να βξείηε θαη λα ζπγθξίλεηε ηηο πηζαλόηεηεο P(Β Α) θαη Ρ(Β). Δίλαη ηα ελδερόκελα Α θαη Β αλεμάξηεηα; Μπνξείηε λα εξκελεύζεηε ην απνηέιεζκα; Τπόδειξη: Θεσξείζηε ην ελδερόκελν Δ k λα δηαιέμακε ην λόκηζκα Ν k, k=,,..,6 θαη εθαξκόζηε Θεώξεκα Οιηθήο Πηζαλόηεηαο θαη ηνλ ηύπν ηνπ Bayes. β) Η πνζόηεηα δηνμεηδίνπ ηνπ άλζξαθα πνπ παξάγεηαη ζε κηα ρεκηθή αληίδξαζε είλαη ηπραία κεηαβιεηή κε ζπλάξηεζε ππθλόηεηαο πηζαλόηεηαο: όπνπ a,br, θαη κέζε ηηκή ίζε κε,5 gr. 0 αλ ( ) a αλ f b i) (5 μον.) Να πξνζδηνξίζεηε ηα a,b θαη ηε δηαζπνξά ηεο παξαπάλσ ηπραίαο κεηαβιεηήο. ii) (5 μον.) Να βξείηε ηελ πηζαλόηεηα λα παξήρζεζαλ ην πνιύ gr δηνμεηδίνπ ηνπ άλζξαθα αλ είλαη γλσζηό όηη παξήρζεζαλ ηνπιάρηζηνλ gr.