. ΜΑΚΡΑ ΣΟΑ 7 & ΕΘΝ. ΑΝΣΙΣΑΕΩ (ΠΕΙΡΑΙΑ),. ΔΕΛΗΓΙΩΡΓΗ 06 Α (ΠΕΙΡΑΙΑ), 3. ΠΤΡΓΟ ΑΘΗΝΩΝ, ΑΜΠΕΛΟΚΗΠΟΙ (ΑΘΗΝΑ). ΣΗΛ 040970,,, www.vtal.gr Επιλεγμένες Ασκήσεις. α) Έζησ η.δ. Ep. Να δεηρζεί όηη ε T,..., ~, 0 είλαη επαξθήο ζηαηηζηηθή ζπλάξηεζε, β) Έζησ η.δ. Να δεηρζεί όηη ε T ma,..., ζπλάξηεζε. ( ),..., ~ U 0,,. είλαη επαξθήο ζηαηηζηηθή Λύση α) 0, f ; f ; f ; e I0, e I0, e I 0,.. log e I e I A( ) B( ) C( ) T ( ) 0, S όπνπ A( ) log, B ( ) 0, C( ) T, ( ) θαη, ην ζηήξηγκα : ( ; ) 0 0, είλαη αλεμάξηεην ηνπ. Άξα πξόθεηηαη γηα S f R ΜΔΟΚ όπνπ πξνθύπηεη όηη ε T είλαη επαξθήο ζηαηηζηηθή ζπλάξηεζε. β), f ; f ; f ; I0, I0, I 0,..
. ΜΑΚΡΑ ΣΟΑ 7 & ΕΘΝ. ΑΝΣΙΣΑΕΩ (ΠΕΙΡΑΙΑ),. ΔΕΛΗΓΙΩΡΓΗ 06 Α (ΠΕΙΡΑΙΑ), 3. ΠΤΡΓΟ ΑΘΗΝΩΝ, ΑΜΠΕΛΟΚΗΠΟΙ (ΑΘΗΝΑ). ΣΗΛ 040970,,, www.vtal.gr όπνπ, I 0,, 0,,...,, 0 0, ά 0, ά () ( ), 0 & 0 0, ά () I0, ( ) () ( ) ( ) I 0, ( ) όπνπ () m,..., άξα, f ; = I I q h ζύκθσλα κε 0, ( ; ) 0, () ( ) ( ) ην παξαγνληηθό θξηηήξην Neyma-Fsher, ζπλεπώο ε ma,..., T είλαη επαξθήο ζηαηηζηηθή ζπλάξηεζε. ( )
. ΜΑΚΡΑ ΣΟΑ 7 & ΕΘΝ. ΑΝΣΙΣΑΕΩ (ΠΕΙΡΑΙΑ),. ΔΕΛΗΓΙΩΡΓΗ 06 Α (ΠΕΙΡΑΙΑ), 3. ΠΤΡΓΟ ΑΘΗΝΩΝ, ΑΜΠΕΛΟΚΗΠΟΙ (ΑΘΗΝΑ). ΣΗΛ 040970,,, www.vtal.gr. Έζησ η.δ.,..., ~, 0 Ep. α) Να θαηαζθεπαζζεί ηζρπξόηαηνο έιεγρνο H0 : 0, H : 0 κεγέζνπο α β) λα βξεζεί ε ζπλάξηεζε ηζρύνο θαη γ) λα δεηρζεί όηη a. Λύση ύκθσλα κε ην ζεώξεκα Neyma - Pearso, 0 0, f ; k f ; k 0 :, f ; k f ; 0, f ; k f ; 0 όπνπ 0, f f f e I 0, e I 0, e I 0,.. Κάησ από ηελ ; ; ; 0 0 : 0, 0, 0 0 H e I k e I e k log k log k 0 0 0 0 logk 0 * k 0 0 3
. ΜΑΚΡΑ ΣΟΑ 7 & ΕΘΝ. ΑΝΣΙΣΑΕΩ (ΠΕΙΡΑΙΑ),. ΔΕΛΗΓΙΩΡΓΗ 06 Α (ΠΕΙΡΑΙΑ), 3. ΠΤΡΓΟ ΑΘΗΝΩΝ, ΑΜΠΕΛΟΚΗΠΟΙ (ΑΘΗΝΑ). ΣΗΛ 040970,,, www.vtal.gr πλεπώο ε, k, k 0, k * * *. Γηα λα ππνινγίζνπκε ην * k ζηεξηδόκαζηε ζην κέγεζνο (α) ηνπ ειέγρνπ () * * Ho Ho Ho 0 3, a * PY k a P H P k P k P Y k P k k k ( ί ) * * * * 0, a, a 0 0 0 0 Y ~ Gamma(, ), Gamma(, ) Gamma(,) 0 0 0 P a (3) πλεπώο ε ηειηθή κνξθή ηνπ ειέγρνπ είλαη, 0, 0 0, a, a P, a P, a P, a 0 0 0 β) Παξαηεξήζηε όηη, γηα 0, ηόηε βξηζθόκαζηε ζηελ H 0 νπόηε θαη επηβεβαηώλεηαη όηη 0 a. Αλ ην κεγαιώλεη σο πξνο ην 0, ηόηε ν όξνο 0, νπόηε θαη a, 0 P 0, a (δείηε ηελ ελόηεηα ), δειαδή ε ηζρύο ηνπ ειέγρνπ απμάλεη. 4
. ΜΑΚΡΑ ΣΟΑ 7 & ΕΘΝ. ΑΝΣΙΣΑΕΩ (ΠΕΙΡΑΙΑ),. ΔΕΛΗΓΙΩΡΓΗ 06 Α (ΠΕΙΡΑΙΑ), 3. ΠΤΡΓΟ ΑΘΗΝΩΝ, ΑΜΠΕΛΟΚΗΠΟΙ (ΑΘΗΝΑ). ΣΗΛ 040970,,, www.vtal.gr γ) 0 0 0 P, a P, a P, a. 0 a P, a P, a Παξαηεξνύκε όηη, 5
. ΜΑΚΡΑ ΣΟΑ 7 & ΕΘΝ. ΑΝΣΙΣΑΕΩ (ΠΕΙΡΑΙΑ),. ΔΕΛΗΓΙΩΡΓΗ 06 Α (ΠΕΙΡΑΙΑ), 3. ΠΤΡΓΟ ΑΘΗΝΩΝ, ΑΜΠΕΛΟΚΗΠΟΙ (ΑΘΗΝΑ). ΣΗΛ 040970,,, www.vtal.gr,..., ~ BIN,,0. α) Να θαηαζθεπαζζεί 3. Έζησ η.δ. 4 νκνηόκνξθα ηζρπξόηαηνο έιεγρνο H0: 0.3, H: 0.3 κεγέζνπο α=0.05, β) Να ππνινγηζζεί ε πηζαλόηεηα ζηαηηζηηθνύ ζθάικαηνο ΙΙ γηα 0.5. Θα δείμνπκε όηη ε νηθνγέλεηα θαηαλνκώλ θέξεη ηελ ηδηόηεηα ηνπ Μ.Λ.Π. Πξάγκαηη, 4 0,, f ; f ;... f ; I I 0, 0, log log C T 0, 0, 0, log log A I e I e I AB CT S e I B S 0 δειαδή πξόθεηηαη γηα ΜΔΟΚ ( S, αλεμάξηεην ηνπ ) θαη C ' 0, 0,. Η T είλαη επαξθήο ζηαηηζηηθή ζπλάξηεζε 6
. ΜΑΚΡΑ ΣΟΑ 7 & ΕΘΝ. ΑΝΣΙΣΑΕΩ (ΠΕΙΡΑΙΑ),. ΔΕΛΗΓΙΩΡΓΗ 06 Α (ΠΕΙΡΑΙΑ), 3. ΠΤΡΓΟ ΑΘΗΝΩΝ, ΑΜΠΕΛΟΚΗΠΟΙ (ΑΘΗΝΑ). ΣΗΛ 040970,,, www.vtal.gr ζπλεπώο ε ειεγρνζπλάξηεζε, T k, T k. 0, T k Γηα λα ππνινγίζνπκε ην k ζηεξηδόκαζηε ζην κέγεζνο (α) ηνπ ειέγρνπ 0.05 PHo H PHo k PHo k P Y k PHo Y k 4 Y ~ B(4,0.3), () Όκσο, P Y k 0.05 Ho γηα k 0,,. Γηα 3 P Y 3 0.0756, k, Ho νπόηε PY 0.05 P Y 4 3 0.008 0.0756 0.55 0,, άξα ε ηειηθή κνξθή ηεο ειεγρνζπλάξηεζεο είλαη 7
. ΜΑΚΡΑ ΣΟΑ 7 & ΕΘΝ. ΑΝΣΙΣΑΕΩ (ΠΕΙΡΑΙΑ),. ΔΕΛΗΓΙΩΡΓΗ 06 Α (ΠΕΙΡΑΙΑ), 3. ΠΤΡΓΟ ΑΘΗΝΩΝ, ΑΜΠΕΛΟΚΗΠΟΙ (ΑΘΗΝΑ). ΣΗΛ 040970,,, www.vtal.gr 4, 3 4 0.55, 3 4 0, 3 β) 4 P( HO / H) ( ) P 3/ 0.5 0.45 PW 3... W ~ B4, 0.5 8
. ΜΑΚΡΑ ΣΟΑ 7 & ΕΘΝ. ΑΝΣΙΣΑΕΩ (ΠΕΙΡΑΙΑ),. ΔΕΛΗΓΙΩΡΓΗ 06 Α (ΠΕΙΡΑΙΑ), 3. ΠΤΡΓΟ ΑΘΗΝΩΝ, ΑΜΠΕΛΟΚΗΠΟΙ (ΑΘΗΝΑ). ΣΗΛ 040970,,, www.vtal.gr 4. Έζησ η.δ. Posso y y Posso,..., ~,,..., ~,, 0. α) Να m θαηαζθεπαζζεί αζπκπησηηθόο έιεγρνο H0 :, H : κεγέζνπο α=0.05 (ζεσξώληαο όηη, m είλαη κεγάινη αξηζκνί).,, H :, H :, 0 0 ηόηε ma L( ) L( ˆ ) ( ˆ L ) y ( ) ma L( ) L( ˆ ) o y, όπνπ ˆ, ˆ y είλαη ν ε.κ.π. ηνπ, αληίζηνηρα θαη ( ˆ L ) L( ) f ; f ; f ; e I e I Z Z!! e I Z! Καη αληίζηνηρα, y j j ( ˆ my Y L y ) L( Y ) e I m m y Z y! m j j, m jyj j ˆ ( m) W W ( y, ) ( ) m, m Z L L W e I y! y! j j j όπνπ W m j m y j Πξνθύπηεη όηη, 9
. ΜΑΚΡΑ ΣΟΑ 7 & ΕΘΝ. ΑΝΣΙΣΑΕΩ (ΠΕΙΡΑΙΑ),. ΔΕΛΗΓΙΩΡΓΗ 06 Α (ΠΕΙΡΑΙΑ), 3. ΠΤΡΓΟ ΑΘΗΝΩΝ, ΑΜΠΕΛΟΚΗΠΟΙ (ΑΘΗΝΑ). ΣΗΛ 040970,,, www.vtal.gr ( ) Y W m y j j m jyj j ή m m log (, y ) log yj log Y j yj log W j j Καη ε ειεγρνζπλάξηεζε έρεη σο εμήο, log (, y),0.05 ( y, ), 0,log (, y),0.05 0
. ΜΑΚΡΑ ΣΟΑ 7 & ΕΘΝ. ΑΝΣΙΣΑΕΩ (ΠΕΙΡΑΙΑ),. ΔΕΛΗΓΙΩΡΓΗ 06 Α (ΠΕΙΡΑΙΑ), 3. ΠΤΡΓΟ ΑΘΗΝΩΝ, ΑΜΠΕΛΟΚΗΠΟΙ (ΑΘΗΝΑ). ΣΗΛ 040970,,, www.vtal.gr 5. Έζησ η.δ. N γλσζηή δηαθύκαλζε θαη,..., ~,,, 0 έζησ ν έιεγρνο H0 : 0, H : 0 κεγέζνπο α. α) Να βξεζεί ε ζπλάξηεζε ηζρύνο ηνπ ειέγρνπ. Λύση Η ειεγρνζπλάξηεζε ηνπ ειέγρνπ είλαη, 0, z z o / o / z z a / a / θαη ε ηζρύο έρεη σο εμήο 0 P z za / P z za / P za / / P z / P z / / P z z 0 a/ 0 a/ a / 0 / Παξαηεξνύκε όηη γηα, a (ηζρύεη) 0 Δπίζεο γηα, 0 θαη πην ζπγθεθξηκέλα όζν ην θηλείηαη αξηζηεξόηεξα ηνπ, ε δηαθνξά 0 0 μεγαλώνει οπότε και 0. Αντίστοιτα, Δπίζεο γηα, θαη πην ζπγθεθξηκ έλα όζν ην θηλείηαη δεμηόηεξα ηνπ, ε δηαθνξά 0 0 0 0 μικραίνει οπότε και P z z a / 0.5 / ή.
. ΜΑΚΡΑ ΣΟΑ 7 & ΕΘΝ. ΑΝΣΙΣΑΕΩ (ΠΕΙΡΑΙΑ),. ΔΕΛΗΓΙΩΡΓΗ 06 Α (ΠΕΙΡΑΙΑ), 3. ΠΤΡΓΟ ΑΘΗΝΩΝ, ΑΜΠΕΛΟΚΗΠΟΙ (ΑΘΗΝΑ). ΣΗΛ 040970,,, www.vtal.gr 6. ηα πιαίζηα βηνηαηξηθνύ ειέγρνπ, κηα κέζνδνο αλίρλεπζεο αληηγόλνπ Α ζηνλ αλζξώπηλν νξγαληζκό έρεη θάλεη έσο ηώξα ζεηηθή δηάγλσζε ζε 0 άηνκα πξάγκαηη θνξείο ηνπ αληηγόλνπ Α θαη αξλεηηθή δηάγλσζε ζε 360 άηνκα κε θνξείο ηνπ αληηγόλνπ. ε ζύλνιν 700 αηόκσλ πνπ ζπκκεηείραλ εζεινληηθά ζηνλ έιεγρν απηό νη 00 είλαη θνξείο ηνπ αληηγόλνπ Α. Να ειεγρζεί ζε επίπεδν ζεκαληηθόηεηαο % αλ ηειηθά ην απνηέιεζκα ηεο κεζόδνπ ήηαλ αλεμάξηεηα ηνπ παξάγνληα (θνξέαο, κε-θνξέαο ηνπ Α). Λύση Ο πίλαθαο ησλ δεδνκέλσλ έρεη σο εμήο ΔΙΑΓΝΩΗ ΜΕΘΟΔΟΤ ΠΑΡΑΓΟΝΣΑ ΘΔΣΙΚΗ ΑΡΝΗΣΙΚΗ ΤΝΟΛΟ ΦΟΡΈΑ 0 00 ΜΗ-ΦΟΡΔΑ 360 =700 Καη ζπκπιεξώλνπκε όπνπ ππάξρεη θελό ώζηε ν αξηζκόο ησλ αηόκσλ λα είλαη 700 αλεμαξηήησο δηάγλσζεο θαη πξαγκαηηθήο ύπαξμεο ηνπ Α. ΔΙΑΓΝΩΗ ΜΕΘΟΔΟΤ ΠΑΡΑΓΟΝΣΑ ΘΔΣΙΚΗ ΑΡΝΗΣΙΚΗ ΤΝΟΛΟ ΦΟΡΈΑ 0 = Ο 80 = Ο 00 = Τ ΜΗ-ΦΟΡΔΑ 40 = Ο 360 = Ο 500 = Τ 60 = Υ 440 = Υ 700 = Υ+Υ=Τ+Τ Παξαηεξνύκε όηη 700 5, πξόθεηηαη γηα -έιεγρν κε (-)*(-) = βαζκό ειεπζεξίαο. Οη ππνζέζεηο ηνπ ειέγρνπ είλαη Ην: Η δηάγλσζε αλεμάξηεηε ηνπ παξάγνληα Η: όρη ε Ην
. ΜΑΚΡΑ ΣΟΑ 7 & ΕΘΝ. ΑΝΣΙΣΑΕΩ (ΠΕΙΡΑΙΑ),. ΔΕΛΗΓΙΩΡΓΗ 06 Α (ΠΕΙΡΑΙΑ), 3. ΠΤΡΓΟ ΑΘΗΝΩΝ, ΑΜΠΕΛΟΚΗΠΟΙ (ΑΘΗΝΑ). ΣΗΛ 040970,,, www.vtal.gr Με ειεγρνζπλάξηεζε Όπνπ E j jy, δειαδή, O Oj Ej 0, j E E j j E j j j,0.0,0.0 Y 6000 E 74.9, E 5.7, E 85.7, E 34.3 700 Άξα, Oj Ej 0 74.9 80 5.7 40 85.7 360 34.3 E j j 6,66,0.0 74.9 5.7 85.7 34.3 Άξα απνξξίπηνπκε ηελ κεδεληθή ππόζεζε ζε επίπεδν ζεκαληηθόηεηαο %, δερόκαζηε έηζη όηη ην απνηέιεζκα ηεο κεζόδνπ ζρεηίδεηαη κε ηνλ παξάγνληα (θαη κάιηζηα θαηά ηξόπν ζεηηθό, δειαδή αληρλεύεη ην αληηγόλν odds rato = 3.9>, Βι. Βηνζηαηηζηηθή) θνξέαο ή όρη ηνπ αληηγόλνπ Α. (γεληθά, ην pvalue < 0.00) 3
. ΜΑΚΡΑ ΣΟΑ 7 & ΕΘΝ. ΑΝΣΙΣΑΕΩ (ΠΕΙΡΑΙΑ),. ΔΕΛΗΓΙΩΡΓΗ 06 Α (ΠΕΙΡΑΙΑ), 3. ΠΤΡΓΟ ΑΘΗΝΩΝ, ΑΜΠΕΛΟΚΗΠΟΙ (ΑΘΗΝΑ). ΣΗΛ 040970,,, www.vtal.gr 7. Γνθηκάζακε 36 ιακπηήξεο ηύπνπ Α θαη θαηαγξάςακε ηνπο θάησζη ρξόλνπο δσήο (ζε κήλεο), 0,5,35 0,4,67 5,9,55 4,39,97 0,9 0,34 4,79 0,88,50 0,59 5, 8,55 4,85,43,6,43,7 3,3,5 0, 0,35,46 0,0 0,6 3,90,9 0,8 0,70 0,6 3,86 4,85,6 Ο κεραληθόο ηεο εηαηξείαο ηζρπξίδεηαη όηη ν ρξόλνο δσήο ησλ ιακπηήξσλ είλαη εθζεηηθή θαηαλνκή. Να βξεζεί ην pvalue. Λύση Αξρηθά, ηνπνζεηνύκε ηα δεδνκέλα ζε ηάμεηο θαη αλ θαη είλαη απζαίξεηνο ν αξηζκόο ησλ ηάμεσλ, ελ ηνύηνηο 5 είλαη ζύλεζεο θαηά πξνηίκεζε. Υ [0,3) [3,6) [6,9) [9,) [,5] Ο 4 8 Οη ππνζέζεηο είλαη H : ~ Ep( ), H : 0 όρη ε Ην. Ο έιεγρνο είλαη Υ θαιήο πξνζαξκνγήο. Θα εθηηκήζνπκε ηελ παξάκεηξν θ κε κέζνδν κεγίζηεο πηζαλνθάλεηαο. Οη βαζκνί ειεπζεξίαο ζα είλαη ηόηε 5--=3 (εμεγήζηε αλαιπηηθά γηαηί) ηελ άζθεζε 7 ην έρνπκε πξαγκαηνπνηήζεη θαη έρνπκε όηη ˆ. Σν παξαπάλσ δείγκα είλαη ζηαζκηζκέλν θαη εθηηκάηαη σο εμήο 4
ˆ όπνπ ΔΚΠΑΙΓΔΥΤΙΚΟΣ ΟΜΙΛΟΣ ΒΙΤΑΛΗ. ΜΑΚΡΑ ΣΟΑ 7 & ΕΘΝ. ΑΝΣΙΣΑΕΩ (ΠΕΙΡΑΙΑ),. ΔΕΛΗΓΙΩΡΓΗ 06 Α (ΠΕΙΡΑΙΑ), 3. ΠΤΡΓΟ ΑΘΗΝΩΝ, ΑΜΠΕΛΟΚΗΠΟΙ (ΑΘΗΝΑ). ΣΗΛ 040970,,, www.vtal.gr 5 ˆ k O k, ˆ k O k O k k είλαη ε παξαηεξνύκελε ζπρλόηεηα θαη ε θεληξηθή ηηκή ηεο k-ηάμεο (k=,,3,4,5) αληίζηνηρα. Τπνινγίδνπκε ˆ 3.5. Η αλακελόκελε ππό ηελ Ην ζπρλόηεηα γηα ηελ ηάμε a, b είλαη E 36 P a, b 36 F ( b ) F ( a ) Ho Όπνπ Γειαδή, F ( ) e /3.5 F (0), F (3) 0.60, F (6) 0.84, F (9) 0.94, F () 0.98, F (5) 0.99 Καη έρνπκε ηνλ θάησζη πίλαθα, Υ Ο ^ ^ O E (O-E) /E [0,3) 4,5 36,7 0,4 [3,6) 8 4,5 36 8,6 0,04 [6,9) 7,5 7,5 3,4,7 [9,) 0,5 0,5,4 0,0 [,5] 3,5 7 0,5 3,94 36 7 6,04 Η ειεγρνζπλάξηεζε ηνπ ειέγρνπ είλαη, 0, 5 k k 3 5 k Ek ( Ok Ek) 5 k ( O E ) ( Ok Ek) E k k 3,όποσ 6.04 E k 5
. ΜΑΚΡΑ ΣΟΑ 7 & ΕΘΝ. ΑΝΣΙΣΑΕΩ (ΠΕΙΡΑΙΑ),. ΔΕΛΗΓΙΩΡΓΗ 06 Α (ΠΕΙΡΑΙΑ), 3. ΠΤΡΓΟ ΑΘΗΝΩΝ, ΑΜΠΕΛΟΚΗΠΟΙ (ΑΘΗΝΑ). ΣΗΛ 040970,,, www.vtal.gr Οπόηε pvalue P 3 6.04 5%. Απηό πξαθηηθά ζεκαίλεη όηη ζε α=5%, ή α=% δελ απνξξίπηεηαη ν ηζρπξηζκόο ηνπ κεραληθνύ (κεδεληθή ππόζεζε) ζρεηηθά κε ην ρξόλν δσήο ησλ ιακπηήξσλ. 6