ΦΥΣΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Τετάρτη 9 Απριλίου 05 ΘΕΜΑ ύο κύλινδροι Α κι, που έχουν ντίστοιχ µάζες m m κι m B m κι κτίνες κι B, ήνοντι τυτόχρον ελεύθεροι πό το ίδιο ύψος πλάιου επιπέδου χωρίς ρχική τχύτητ. Οι κύλινδροι κυλούν, χωρίς ν ολισθίνουν, µέχρι το τέλος του πλάιου επιπέδου. Αν t Α κι t B είνι ντίστοιχ οι χρόνοι κίνησης, κι η ροπή δράνεις ενός κυλίνδρου ως προς τον άξον του είνι Ι m, τότε ισχύει:., <,B κι t > t B, β.,,b κι t t B, Ν δικιολοήσετε την πάντηση σς. Σωστή πάντηση η β) ΑΠΑΝΤΗΣΗ Ν Α Τ Κ mg ηµ mg συν mg Επειδή ο κύλινδρος Α κυλίετι χωρίς ν ολισθίνει κι η µετορική κι η περιστροική κίνηση του θ είνι οµλά επιτχυνόµενες. Γι τη µετορική κίνηση του κυλίνδρου ισχύει: m r m g ηµ - T Α m () Από το θεµελιώδη νόµο ι την περιστροική κίνηση έχουµε: Στ (Κ) Ι Τ Α m Τ Α m () Επειδή ο κύλινδρος κυλίετι χωρίς ν ολισθίνει ισχύει: Η σχέση () λόω της σχέσης (3) ίνετι: Τ Α m (4) Προσθέτοντς τις () κι (4) κτά µέλη πίρνουµε: (3)
m g ηµ 3 m 3 g ηµ. s t ηµ t t ηµ Ν Τ B Κ mg ηµ mg συν mg Επειδή ο κύλινδρος κυλίετι χωρίς ν ολισθίνει κι η µετορική κι η περιστροική κίνηση του θ είνι οµλά επιτχυνόµενες. Γι τη µετορική κίνηση του κυλίνδρου ισχύει: m r m g ηµ Τ m () Από το θεµελιώδη νόµο ι την περιστροική κίνηση έχουµε: Στ (Κ) Ι Τ m Τ m () Επειδή ο κύλινδρος κυλίετι χωρίς ν ολισθίνει ισχύει: Η σχέση () λόω της σχέσης (3) ίνετι: Τ m (4) Προσθέτοντς τις () κι (4) κτά µέλη πίρνουµε: m g ηµ 3 m 3 g ηµ. (3) s t ηµ t t B ηµ t ΘΕΜΑ F s Ο διπλός οµοξονικός δίσκος του σχήµτος έχει µάζ Μ Kg, κτίνες δίσκων 0,3 m κι r 0, m, ροπή δράνεις ως προς τον άξον περιστροής I 0, Kg m κι ηρεµεί πάνω σε οριζόντιο δάπεδο. Στο µικρό δίσκο έχει τυλιχτεί βρές κι µη εκττό νήµ µέσω του οποίου σκούµε οριζόντι δύνµη F 7 N κι ο δίσκος
κυλίετι χωρίς ολίσθηση. Ύστερ πό µεττόπιση του άξον περιστροής κτά s 6 m το νήµ ξετυλίετι πλήρως κι εκτλείπει το δίσκο, ο οποίος µέσως µετά νεβίνει σε κεκλιµένο επίπεδο, ωνίς κλίσης (ηµ 0,8). Κτά την συνάντηση του στερεού µε το κεκλιµένο επίπεδο δεχόµστε ότι η τχύτητ του κέντρου µάζς του δίσκου κι η ωνική του τχύτητ δεν λλάζουν µέτρ. Ο δίσκος συνεχίζει ν κυλίετι χωρίς ν ολισθίνει στο κεκλιµένο επίπεδο. Ότν ο άξονς του στερεού νέβει στο κεκλιµένο επίπεδο ψηλότερ κτά πό ότι ήτν στο οριζόντιο δάπεδο, η τχύτητ του στιµιί µηδενίζετι.. Γι την κύλιση του δίσκου στο οριζόντιο δάπεδο ν υπολοίσετε: Α. Την επιτάχυνση του κέντρου µάζς του δίσκου κι την ωνική του επιτάχυνση. Α. Την ελάχιστη τιµή του συντελεστή ορικής τριβής µετξύ κυλίνδρου κι οριζόντιου επιπέδου ώστε ο κύλινδρος ν κυλίετι χωρίς ν ολισθίνει. Α 3. Την στροορµή του δίσκου ως προς τον άξον περιστροής στο τέλος της οριζόντις διδροµής.. Ν βρείτε της εξίσωση της τχύτητς του σηµείου του µικρού δίσκου σε συνάρτηση µε το χρόνο κι ν την πρστήσετε ρικά σε σύστηµ βθµολοηµένων ξόνων, κτά την κίνηση του δίσκου στο οριζόντιο δάπεδο. Γ. Γι την κύλιση του δίσκου στο κεκλιµένο επίπεδο ν υπολοίσετε: Γ. Τη ωνική επιβράδυνση του δίσκου. Γ. Την στροορµή του δίσκου σε συνάρτηση µε το χρόνο. Γ 3. Το ύψος που θ τάσει ο δίσκος. ίνετι η επιτάχυνση της βρύτητς g 0 m/s. ΑΠΑΝΤΗΣΗ Α. Ο δίσκος εκτελεί σύνθετη κίνηση. Ερµόζοντς το θεµελιώδη νόµο της µηχνικής ι τη µετορική κίνηση του κυλίνδρου έχουµε: Σ F r M r F - T M () Από το θεµελιώδη νόµο ι την περιστροική κίνηση έχουµε: Στ (Κ) Ι F r + Τ I () F N r T Mg Επειδή ο κύλινδρος κυλίετι χωρίς ν ολισθίνει ισχύει: (3) Η σχέση () λόω της σχέσης (3) ίνετι: F r + Τ I F r + Τ I (4) Προσθέτοντς τις () κι (4) κτά µέλη πίρνουµε:
F + F r M + I 8 3 8 9 7 N + 7 N 3 00 + 0, 9 3 m/s κι 0 rad/s. Α. Γι ν µην ολισθίνει ο δίσκος θ πρέπει η τριβή νάµεσ σε υτόν κι το οριζόντιο επίπεδο ν είνι σττική δηλδή ν ισχύει: Τ Τ στ(max) T µ Ν όπου µ ο συντελεστής ορικής τριβής νάµεσ στον κύλινδρο κι το οριζόντιο επίπεδο. Από τη σχέση () πίρνουµε: Τ F - M T N. T Όµως N Mg 0 N άρ Τ µ Mg µ M g µ 0,05. Α 3. Η µετορική κίνηση του δίσκου είνι οµλά επιτχυνόµενη χωρίς ρχική τχύτητ, οπότε ισχύει: s s t t 3 t s. Η στροορµή του δίσκου ως προς τον άξον περιστροής του στο τέλος της οριζόντις διδροµής δίνετι πό τη σχέση: L Ι ω Ι t 0, 0 L Kg m /s.. Η τχύτητ του σηµείου θ είνι ίση µε: r r r u u + u u ω + ω r ω ( + r) u u ( + r) u t ( + r) u 4 t (SI). 8 u (m/s) u u r t (s) 0 Γ. Επειδή ο δίσκος κυλίετι χωρίς ν ολισθίνει κι η µετορική κι η περιστροική κίνηση του θ είνι οµλά επιβρδυνόµενες. Αυτό έχει ως ποτέλεσµ η σττική τριβή ν έχει ορά προς τ πάνω ώστε η ροπή της, ως προς το κέντρο του δίσκου, ν έχει ντίθετη ορά πό τη ορά περιστροής κι ν επιβρδύνει τον δίσκο. Γι τη µετορική κίνηση του δίσκου ισχύει: M r T M g ηµ M (- ) M g ηµ T M (5) Από το θεµελιώδη νόµο ι την περιστροική κίνηση έχουµε: Στ (Κ) Ι (- ) - Τ I (- )
Τ Ι (6) Ν Τ Mgηµ Mgσυν Mg Επειδή ο κύλινδρος κυλίετι χωρίς ν ολισθίνει ισχύει: (7) Η σχέση (6) λόω της σχέσης (7) ίνετι: Τ Ι (8) Προσθέτοντς τις (5) κι (8) κτά µέλη πίρνουµε: M g ηµ M + Ι 0 0,8 ( + 0, 0,09 ) 0 0,8 0,8 0,09 a,8 m/s κι,8 0,3 6 rad/s. Γ. Επειδή κτά την λλή διεύθυνσης κίνησης του δίσκου δεχόµστε ότι η τχύτητ του κέντρου µάζς του δίσκου κι η ωνική του τχύτητ δεν λλάζουν µέτρ, η στροορµή του θ δίνετι πό τη σχέση: L I ω Ι (ω t ) Ι ( t t ) 0, (0 6 t ) L 0,6 t (SI). Γ 3. Η κινητική ενέρει του δίσκου, τη χρονική στιµή t που ο δίσκος ρχίζει ν νεβίνει στο κεκλιµένο επίπεδο, είνι ίση µε το άθροισµ της κινητικής ενέρεις λόω της µετορικής του κίνησης κι της κινητικής ενέρεις λόω της περιστροικής του κίνησης, δηλδή είνι: Κ Κ µετ + Κ περ M u + I ω M (a t ) + I (a t ) 36 + 0, 400 36 + 0 56 J. Ερµόζουµε ΘΜΚΕ πό τη στιµή που ο δίσκος ρχίζει ν νεβίνει στο κεκλιµένο επίπεδο µέχρι ν στµτήσει: Κ τελ Κ ρχ ΣW 0 Κ - Μ g ηµ s 56 5,6 s s 0 m Όµως ηµ,8 m. s ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΤΙΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΕΠΙΜΕΛΗΘΗΚΕ Ο ΤΟΜΕΑΣ ΤΩΝ ΦΥΣΙΚΩΝ ΤΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΩΝ «ΟΜΟΚΕΝΤΡΟ» ΦΛΩΡΟΠΟΥΛΟΥ www.floropoulos.gr