ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΝΑΥΠΗΓΩΝ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΘΑΛΑΣΣΙΩΝ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ Μ. ΣΑΜΟΥΗΛΙΔΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΑΝΤΟΧΗ ΠΛΟΙΟΥ 5 ου ΕΞΑΜΗΝΟΥ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ 016 ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ 07 ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ 016 ΔΙΑΡΚΕΙΑ ΕΞΕΤΑΣΗΣ 3h00 (1:00-15:00) ΚΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ ΕΞΑΜΗΝΟ ΕΡΩΤ. ΒΑΘΜΟΛΟΓΙΑ 1.1 36%.1 13%. 13%.3 14% 3.1 8% 3. 8% 3.3 8% Σύνολο 100%
ΑΣΚΗΣΗ 1η Δίνεται το χαλύβδινο πλοίο του σχήματος, μήκους 186 m, πλάτους 8 m, κοίλου 14 m και συντελεστή γάστρας 0,83. Η απλοποιημένη τομή του πλοίου στην περιοχή του παραλλήλου τμήματος που εκτείνεται από από 60 m έως 140 m από το πρυμαναίο άκρο φαίνεται στο Σχήμα 1. Τα πάχη των ελασμάτων έχουν ως ακολούθως: Ελάσματα καταστώματος 19 mm Ελάσματα εσωτερικού πυθμένα 15 mm Ελάσματα εξωτερικού πυθμένα 16 mm Πλάγια πλευρικά ελάσματα 1 mm Διαμήκεις φρακτές 1 mm Πλευρικές σταθμίδες 14 mm Τα ελάσματα στις περιοχές A, B, C ως παρουσιάζονται στο Σχήμα 1 είναι από χάλυβα με επιτρεπόμενο όριο τάσης για καμπτική καταπόνηση στο κατακόρυφο επίπεδο, τα 85 MPa, 190 MPa και 55 MPa αντίστοιχα. Αν στις πιο κρίσιμες καταστάσεις φόρτωσης σε ήρεμο νερό, η κατανομή των ροπών M(x) σε t m, στο παράλληλο τμήμα δίνεται από τις σχέσεις: M(x) = 1,350 x 194,4 x - 90000 M(x) = 1,543 x 77,8 x + 100000 M(x) = 7,716 x 157,8 x - 0000 M(x) = - 7,716 x + 17, x + 4000 όπου x είναι η απόσταση από το πρυμναίο άκρο σε m, να εξετάσετε αν οι φορτώσεις είναι εντός των επιτρεπόμενων ορίων. 14 m 1 m 8 m 3m A B C 4 m 8 m Σχήμα 1
ΑΣΚΗΣΗ η Χαλύβδινη φορτηγίδα σταθερής ορθογωνικής διατομής, μήκους 11 m, φέρει τα βάρη σύμφωνα με τον πιο κάτω πίνακα: xa σε m xb σε m Συνολικό βάρος σε t ομοιόμορφα κατανεμημένο από χa έως χb από το πρυμναίο άκρο 0 11 7 840 0 108 00 8 11 50.1. Να σχεδιάσετε την καμπύλη φόρτισης της φορτηγίδας... Να προσδιορίσετε τη θέση και την τιμή της μέγιστης διατμητικής δύναμης..3. Να προσδιορίσετε τη θέση και την τιμή της μέγιστης καμπτικής ροπής. ΑΣΚΗΣΗ 3 η Λεπτότοιχη χαλύβδινη ράβδος μέτρο ελαστικότητας 10 GPa και λόγος Poisson 0,3 - μήκους 1,5 m υπόκειται σε στρεπτική περιοδική καταπόνηση από δύο ίσες και αντίθετες ροπές στα άκρα της. Η διατομή της ράβδου είναι κυκλική με ακτίνα 36 cm και πάχος 1 mm. 3.1. Να υπολογίσετε τη διατμητική ροή και τη διατμητική τάση στη διατομή της ράβδου αν η στρεπτική ροπή είναι ίση με 0 kn m. 3.. Ποια η μέγιστη σχετική στροφή των δύο άκρων της ράβδου; 3.3. Να υπολογίσετε τα ζητούμενα στα παραπάνω ερωτήματα στην περίπτωση που η διατομή της ράβδου είναι μορφής γωνίας με μήκος κάθε σκέλους ίσο με 60 cm και πάχος 3 mm.
ΛΥΣΗ 1 ης ΑΣΚΗΣΗΣ Συγκρίνεται η απαιτούμενη ροπή αντίστασης με τη ροπή αντίστασης της διατομής. Στον πίνακα που ακολουθεί παρουσιάζεται ο υπολογισμός της ροπής αδράνειας και της ροπής αντίστασης της διατομής (a) (b) (c) (d) (f) (g) (h) (j) Αριθμός στοιχείων Μήκος πάχος Εμβαδόν Απόσταση από πυθμένα (d) (f) (d) (f) Ροπή αδράνειας ως προς ΚΑ m mm m mm m m mm m 3 mm m 3 mm 1 8.00 19 53.0 14.000 7 448.00 104 7.00 0.00 1 8.00 15 40.0.000 840.00 1 680.00 0.00 1 8.00 16 448.0 0.000 0.00 0.00 0.00 14.00 1 336.0 7.000 35.00 16 464.00 5 488.00 1.00 1 88.0 8.000 304.00 18 43.00 3 456.00.00 14 56.0 1.000 56.00 56.00 18.67 Result 080.0 6.50 13 000.0 140 904.0 8 96.7 7.750 68 616.67 ΡΟΠΗ ΑΝΤΙΣΤΑΣΗΣ 8 853.76 8.85 m 4 10 978.67 10.98 m 4
Ακολουθεί ο υπολογισμός της μέγιστης σε απόλυτη τιμή, ροπής σε ήρεμο νερό και αντίστοιχης απαιτούμενης ροπής αντίστασης στις κρίσιμες καταστάσεις φόρτισης που δίνονται. Θετικές είναι οι ροπές hog και αρμητικές οι ροπές sag: Η κατανομές ροπών [t m] σε ήρεμο νερό δίνονται από τη σχέση a x +b x+c Υπολογισμός ροπής hogging και sagging σε κυματισμό σύμφωνα με τους κανονισμούς τους IACS: M 110 C L B c 0,7 10 W,SAG 3 b M 190 C L B c 10 W,HOG όπου 3 b M W,SAG η ροπή κάμψης σε κατάσταση sagging σύμφωνα με τον IACS σε kn m, cb 0,83, o συντελεστής γάστρας, L=186 m, το μήκος και B=5 m, το πλάτος, και 1.5 1.5 300 L 300 186 C 10,75 10,75 9,533 100 100 M 148803t m M W,HOG W,SAG 158631t m a 1.350 7.716 1.543-7.716 b -194.4-157.8-77.8 17. c -90 000-0 000 100 000 4 000 απόσταση μέγιστης ροπής από AE m xm 7.00 99.00 90.0 111.60 Μέγιστη ροπή σε ήμερο νερό t m Mm -96 998-95 68 87 496 100 098 Μέγιστη ροπή σε κυματισμό t m Mw -158 631-158 631 148 803 148 803 Μέγιστη ροπή t m MT -55 69-54 58 36 300 48 90 Απαιτούμενη ροπή αντίστασης m 3 SMreq 8.799 8.75 8.134 8.567-303 -301 80 95 Η δυσμενέστερη κατάσταση δίνει ροπή sag 5569 t m = 50770 kn m σε απόσταση 7 m από το AE. Η ροπή προκαλεί τάσεις 303 MPa θλιπτική στο κατάστρωμα, 44 MPa εφελκυστική στον πυθμένα, 193 MPa θλιπτική στη διαχωριστική γραμμή των ζωνών A και B και 185 MPa στη διαχωριστική γραμμή των ζωνών B και C. Άρα, τουλάχιστον λόγω των τάσεων 303 MPa και 193 MPa η απαίτηση δεν ικανοποιείται. 303 MPa 193 MPa A B 185 MPa 44 MPa C
ΛΥΣΗ ης ΑΣΚΗΣΗΣ Στο σχήμα φαίνεται η σύμβαση που ακολουθείται για τα πρόσημα. Οι φορές στο σχήμα είναι οι θετικές. Η αρχή των αξόνων τοποθετείται στο AE του παράλληλου τμήματος εκτός αν αναφέρεται άλλως. Ερώτημα 3.1 Καμπύλη βάρους, άντωσης και φόρτισης σε t/m (δεν ζητώνται από την εκφώνηση) 00 150 100 Series Series3 Series1 50 0 0 4 8 1 16 0 4 8 3 36 40 44 48 5 56 60 64 68 7 76 80 84 88 9 96 100 104 108 11-50 Συνολικό βάρος: 7840+00+50=190 t Κέντρο βάρους: (7840 56+00 64+50 97)/190=798090/190 = 64,94m Καμπύλη άντωσης: b(0 m)= 57,19 t/m, b(11 m)= 16,8 t/m, b(x)=57,19+0,938 x
Καμπύλη φόρτισης σε t/m 40 35.93 30 0 19.06 10 1.8 11.5 0 0 0 0 8 16 4 3 40 48 56 64 7 80 88 96 104 11-5.94-10 -13.48-0 -17.9-30 -40-39.07-50
Ερώτημα. Προσδιορισμός θέσης και τιμής των ακρότατων διατμητικών δυνάμεων σε t. Παρατηρώντας την καμπύλη φόρτισης διακρίνεται ότι η μέγιστη διατμητική δύναμη θα παρουσιάζεται στο σημείο μηδενισμού της φόρτισης, που βρίσκεται στο διάστημα που ορίζεται από απόσταση 0 m έως 8 m από το AE, ή στο σημείο ασυνέχειας της διατμητικής δύναμης με x=8 m. Στα άλλα σημεία που η διατμητική δύναμη παρουσιάζει ακρότατα σημείο μηδενισμού της φόρτισης μεταξύ AE και 0 m και στα σημεία ασυνέχειας x=0 m και x=108 m, είναι προφανές από η σύγκριση των αντίστοιχων εμβαδών που ορίζονται από την καμπύλη φόρτισης, ότι η οι ακρότατες τιμές της διατμητικής δύναμης είναι μικρότερες των προαναφερθέντων. 19,06 xqm 0 6 40,33m 19,06 39,07 57,18 95,01 Q 40,33m 70 0 95 0,33 40,33 6,4 t 134,07 16,9 Q 8m 170 6 145 4 30 554,6 t Μέγιστη τιμή της διατμητικής δύναμης είναι 554,6 t σε απόσταση x=8 m από το AE Ερώτημα.3 Προσδιορισμός θέσης των ακρότατων καμπτικών ροπών. Παρατηρώντας την καμπύλη φόρτισης διακρίνεται ότι τα σημεία μηδενισμού της διαμτητικής δύναμης παρουσιάζονται α) στο διάστημα από απόσταση 40 m έως 8 m από το AE και β) στο διάστημα από απόσταση 96 m έως το FE. Όμως είναι σαφές, από απλή παρατήρηση της καμπύλης της διατμητικής δύναμης, ότι το ακρότατο α) θα είναι μεγαλύτερο του ακροτάτου β). Υπολογισμός θέσης μέγιστης καμπτικής ροπής: 57,18 57,18 0,938 xmm 70 0 95 xmm 0 xmm Mm Mm Mm 95 x 500 57,18 x 0,469 x Mm 0,469 x 37,8 x 500 0 x 63,98m Mm Mm
Υπολογισμός μέγιστης καμπτικής ροπής b 63,98m 117,19t m 63,98 57,18 117,19 A 5578 t xa 35,66m 3 57,18 117,19 43,98 Q 63,98m 70 0 53,98 95 43,98 5578 63,98 35,66 9497 t m Μέγιστη τιμή της καμπτικής ροπής είναι 9497 t σε απόσταση x=63,98 m από το AE. Ακολουθούν τα διαγράμματα διατμητικών δυνάμεων και καμπτικών ροπών (δεν ζητώνται από την εκφώνηση): 10 000 Καμπτική ροπή σε t m Διατμητική δύναμη σε t 300.0 8 000 150.0 6 000 0.0 4 000-150.0 000-300.0 0-450.0 0 4 8 1 16 0 4 8 3 36 40 44 48 5 56 60 64 68 7 76 80 84 88 9 96 100 104 108 11-000 -600.0
ΛΥΣΗ 3 ης ΑΣΚΗΣΗΣ Θεωρείται ότι η απόκριση της ράβδου είναι στη γραμμικά ελαστική περιοχή. Ερώτημα 3.1 M A q 0 kn m 0.36 q q 70, t m T MPa Ερώτημα 3. G E 1 80769 MPa 4 A J 0.0035m ds t 4 d MT 4 rad 7,74 10 dx G J m d0,067 Ερώτημα 3.3 Σε ανοικτή διατομή η διατμητική ροή είναι μηδέν και η διατμητική τάση μεταβάλλεται κατά το πάχος. Η μέγιστη τιμή εμφανίζεται στις ακμές που είναι κατά μήκος της μεγάλης διάστασης της διατομής. 6 MT 6 0,0 y 0,016 537 MPa 3 3 b t 1,0 0,03 1, 0,03 J 13 10 m 3 3 6 4 d MT rad 0,1 dx G J m