Συστήµατα Αριθµών, Πληροφορία, και Ψηφιακή Υπολογιστές

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Συστήµατα Αριθµών, Πληροφορία, και Ψηφιακή Υπολογιστές Σελίδες 3-21, 24-26 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Περιεχόµενα 1.1 ΨΗΦΙΑΚΗ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΕΣ 1.2 Αναπαράσταση Αριθµών 1.3 Αριθµητικές Λειτουργίες 1.4 εκαδικοί Κώδικες 1.5 Αλφαριθµητικοί Κώδικες Κεφάλαιο 1 - Συστήµατα Αριθµών 1 Κεφάλαιο 1 - Συστήµατα Αριθµών 2 1.1 Ψηφιακοί Υπολογιστές και Πληροφορία 1.1 Βασική οµή ΨηφιακούΣυστήµατος Κοινωνία της Πληροφορίας Πληροφορία διέπει σχεδόν τα πάντα Ευρεία χρήση ψηφιακών συστηµάτων για επεξεργασία και αποθήκευση πληροφοριών Ψηφιάκα Συστήµατα Γενικής Χρήσεως (προγραµµατιζόµενα) προσωπικός υπολογιστής, servers Εξειδικευµένης (περιορισµένος προγραµµατισµός) moile phones, πλυντήριο, αυτοκίνητο, CD player, playstation Επεξεργαστής Μονάδα Ελέγχου Μνήµη ιάδροµος εδοµένων Είσοδος/ Έξοδος Κεφάλαιο 1 - Συστήµατα Αριθµών 3 Κεφάλαιο 1 - Συστήµατα Αριθµών 4 1.1 Βασική οµή ΨηφιακούΣυστήµατος Οθόνη, Εκτυπωτής Πληκτρολόγιο, Ποντίκι, ίσκος Πρόσβαση σε ευτερεύουσα Μνήµη, ίκτυο, ιαδύκτυο Κεφάλαιο 1 - Συστήµατα Αριθµών 5 Κεφάλαιο 1 - Συστήµατα Αριθµών 6 1

Επεξεργαστής 1.2 Αναπαράσταση Πληροφορίας Αναπαράσταση πληροφοριών σε υπολογιστές µε ψηφιακά διακριτά σήµατα voltage/current, transistors Τυπικά δυο σήµατα (inary) High/Low True/False 1/0 υαδικό ψηφίο (inary digit): 1 it Αναπαράσταση πληροφοριών µε its (εντολές και δεδοµένα) Κεφάλαιο 1 - Συστήµατα Αριθµών 7 Κεφάλαιο 1 - Συστήµατα Αριθµών 8 1.2 Αναπαράσταση Αριθµών: εκαδικό Σύστηµα 1.2 Αναπαράσταση Αριθµών: Βάση r 742.5 = 7 x10 2 + 4 x10 1 + 2 x10 0 + 5 x10-1 Κάθε αριθµός γράφεται ως µια σειρά ψηφίων A n-1 A n-2 A 1 A 0. A -1 A -2 A -m+1 A -m n ψηφία αριστερά (ακέραιο) υποδιαστολής και m ψηφία δεξιά (κλασµατικό) A i ένα από τα ψηφία (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9) i είναι η θέση µε βάρος10 i Βαση 10 (ase 10) - εκαδικό (decimal) Κεφάλαιο 1 - Συστήµατα Αριθµών 9 Αναπαράσταση κάθε αριθµού µε ένα πολυώνυµο A n-1 r n-1 +A n-2 r n-2 + +A 1 r 1 +A 0 r 0 +A -1 r -1 +A -2 r -2 +... +A -m+1 r -m+1 +A -m r -m A i ένα από τα ψηφία (0,1,2,,r-1) A n-1 most significant digit (msd) A -m least significant digit (lsd) (76.3) 9 Κεφάλαιο 1 - Συστήµατα Αριθµών 10 1.2 Αναπαράσταση Αριθµών: Βάση r A n-1 r n-1 +A n-2 r n-2 + +A 1 r 1 +A 0 r 0 +A -1 r -1 +A -2 r -2 +...+A -m+1 r - m+1 +A -m r -m A i ένα από τα ψηφία (0,1,2,,r-1) A n-1 most significant digit(msd) A -m least significant digit(lsd) msd (76.3) 9 lsd βάση 9: ολα ψηφία µεταξύ 0 και 8 Βαση 1.2 Αναπαράσταση Αριθµών: Βάση 2: υαδικό Σύστηµα (Binary) µόνο δυο ψηφία 0 και 1 βάρoς θέσηςi είναι 2 i Μετατροπή από βάση-2 σε βάση-10 (11010) 2 =1x2 4 +1x2 3 +0x2 2 +1x2 1 +0x2 0 = (26) 10 (110011.01) 2 = ( ) 10 Κεφάλαιο 1 - Συστήµατα Αριθµών 11 Κεφάλαιο 1 - Συστήµατα Αριθµών 12 2

n 2 n n 2 n 0 1 10 1024 1K (Kilo) 1 2 11 2048 2K 2 4 12 4096 4K 3 8 13 8192 8K 4 16 14 16384 16K 5 32 15 32768 32K 6 64 16 65536 64K 7 128 20 1048576 1M (Mega) 8 256 30 1G (Giga) 1.2 Oκταδικό και εκαεξαδικό Σύστηµα (octal και hexadecimal) Βάση-8: 0,1,2,3,4,5,6,7 (173.04) 8 = ( ) 10 Βάση-16: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,Α,Β,C,D,E,F (B6A3) 16 = ( ) 10 8=2 3 : κάθε οκταδικό ψηφίο αντιστοιχεί σε 3 δυαδικά ψηφία 16=2 4 : κάθε δεκαεξαδικό ψηφίο αντιστοχεί σε 4 δυαδικά ψηφία Πιο ευκολοδιάβαστο από 0/1, απλή µετατροπή 9 512 40 1T (Tera) Κεφάλαιο 1 - Συστήµατα Αριθµών 14 βαση10 βαση2 βαση8 βαση16 0 0000 00 0 1 0001 01 1 2 0010 02 2 3 0011 03 3 4 0100 04 4 5 0101 05 5 6 0110 06 6 7 0111 07 7 8 1000 10 8 9 1001 11 9 10 1010 12 A 11 1011 13 B 12 1100 14 C 13 1101 15 D 14 1110 16 E 15 1111 17 F Patterns των its 1.2 Xρήσιµα... Αν το (ν) 10 =2 n και n 0,1,2.. (v) 10 =(10 1..0 n ) 2 (256) 10 = 2 8 = (100000000) 2 στο inary η ακέραια αναπαράσταση περιέχει ένα 1 και n 0 στα δεξιά του 1 Αν το (ν) 10 = 2 n -1 και n 1,2.. (v) 10 =(1 1 1 2..1 n-1 1 n ) 2 (255) 10 = 2 8-1= (11111111) 2 αναπαράσταση περιέχει n 1 Κεφάλαιο 1 - Συστήµατα Αριθµών 16 1.2 Μετατροπή in2oct, oct2in, in2hex, hex2in 1.2 Μετατροπή in2oct, oct2in, in2hex, hex2in (010 100 111 101.101 010) 2 = (2475.52) 8 (010 100 111 101.101 010) 2 = (2475.52) 8 Χωρίζουµε την ακολουθία (από αριστερά στα δεξιά) σε ζεύγη των 3-ων ή 4-ων ψηφίων και αντιστοιχούµε κάθε ζεύγος µε ένα 8-δικο ή 16-δικο ψηφίο. (275.604) 8 = (010 111 101.110 000 1 ) 2 (3210.987) 8 = (όχι ορθή αναπαράσταση ) 2 (101 0011 1101.1010 1) 2 = (53D.A8) 16 (B60.FA1) 16 = (1011 0110 0000.1111 1010 0001 ) 2 Πως oct2hex hex2oct; Κεφάλαιο 1 - Συστήµατα Αριθµών 17 Κεφάλαιο 1 - Συστήµατα Αριθµών 18 3

1.2 Πεδίο Τιµών (numer ranges) Περιορισµένο πεδίο τιµών λόγο καθορισµένου αριθµού its στο υλικό ενός υπολογιστή (εφαρµογές, αρχιτεκτονική, υλοποίηση) Υπολογιστές σήµερα αναπαραστούν τιµές συνήθως µε 8,16,32,64 και 128 its Με 2 its πόσοι διαφορετικοί συνδυασµοί; 00 01 10 11 Κεφάλαιο 1 - Συστήµατα Αριθµών 19 1.2 Πεδίο Τιµών (numer ranges) Με n its πόσες διαφορετικές τιµές; 2 n Με 16 its 2 16 διαφορετικές τιµές απρόσηµοι ακέραιοι: 0 µέχρι 2 16-1 (65535) 16 it αναπαράσταση του 508 0000000011111100 Προέκταση: προγράµµατα επεξεργάζονται άµεσα µόνο υποσύνολα αριθµών (int, float) Leading Zeros: συνηθως θα τα αγνοούµαι στο χαρτί Κεφάλαιο 1 - Συστήµατα Αριθµών 20 1.3 Αριθµητικές Λειτουργίες: Binary Αριθµητική (arithmetic) 1/14 Ανεξάρτητα βάσης;κανόνες ίδιοι µε βάση10 Α 01100 Β 10001+ Άθροισµα(sum) 1.3 Binary Αριθµητική (arithmetic) 2/14 Ανεξάρτητα βάσης;κανόνες ίδιοι µε βάση10 Kρατούµενο(carry) 00000 Α 01100 Β Άθροισµα(sum) 10001+ 11101 Eπιβεβαίωση... Κεφάλαιο 1 - Συστήµατα Αριθµών 21 Κεφάλαιο 1 - Συστήµατα Αριθµών 22 1.3 Binary Αριθµητική (arithmetic) 3/14 Ανεξάρτητα βάσης;κανόνες ίδιοι µε βαση10 Kρατούµενο(carry) 00000 Α 01100 10110 Β 10001+ 10111+ Άθροισµα(sum) 11101 1.3 Binary Αριθµητική (arithmetic) 4/14 Ανεξάρτητα βάσης;κανόνες ίδιοι µε βαση10 Kρατούµενο(carry) 00000 101100 Α 01100 10110 Β 10001+ 10111+ Άθροισµα(sum) 11101 101101 Eπιβεβαίωση... Κεφάλαιο 1 - Συστήµατα Αριθµών 23 Κεφάλαιο 1 - Συστήµατα Αριθµών 24 4

1.3 Binary Αριθµητική (arithmetic) 5/14 1.3 Binary Αριθµητική (arithmetic) 6/14 Ανεξάρτητα βάσης;κανόνες ίδιοι µε βαση10 Kρατούµενο(carry) 00000 101100 Α 01100 10110 Β 10001+ 10111+ Άθροισµα(sum) 11101 101101 Ανεξάρτητα βάσης;κανόνες ίδιοι µε βαση10 Kρατούµενο(carry) 00000 101100 Α 01100 10110 Β 10001+ 10111+ Άθροισµα(sum) 11101 101101 a i i c i 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1 c i+1 s i a i i c i c i+1 s i 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 0 1 1 1 0 1 0 0 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 0 1 1 1 1 1 Κεφάλαιο 1 - Συστήµατα Αριθµών 25 Κεφάλαιο 1 - Συστήµατα Αριθµών 26 1.3 Binary Αριθµητική (arithmetic) 7/14 1.3 Binary Αριθµητική (arithmetic) 8/14 Β 10010-10011- ιαφορά(differ.) Kρατούµ.(orrow) 00000 00110 Β 10010-10011- ιαφορά(differ.) 00100 00011 Eπιβεβαίωση... Κεφάλαιο 1 - Συστήµατα Αριθµών 27 Κεφάλαιο 1 - Συστήµατα Αριθµών 28 1.3 Binary Αριθµητική (arithmetic) 9/14 1.3 Binary Αριθµητική (arithmetic) 10/14 Kρατούµ.(orrow) 00000 00110 Β 10010-10011- ιαφορά(differ.) 00100 00011 Α 10110 Β 11000- ιαφορά(differ.) Kρατούµ.(orrow) 00000 00110 Β 10010-10011 - ιαφορά(differ.) 00100 00011 Α 10110 11000 Β 11000-10110- ιαφορά(differ.) Κεφάλαιο 1 - Συστήµατα Αριθµών 29 Κεφάλαιο 1 - Συστήµατα Αριθµών 30 5

1.3 Binary Αριθµητική (arithmetic) 11/14 1.3 Binary Αριθµητική (arithmetic) 12/14 Kρατούµ.(orrow) 00000 00110 Β 10010-10011 - ιαφορά(differ.) 00100 00011 Α 10110 11000 Β 11000-10110- ιαφορά(differ.) - Kρατούµ.(orrow) 00000 00110 Β 10010-10011 - ιαφορά(differ.) 00100 00011 Kρατούµ.(orrow) 00100 Α 10110 11000 Β 11000-10110- ιαφορά(differ.) -00010 Eπιβεβαίωση... Κεφάλαιο 1 - Συστήµατα Αριθµών 31 Κεφάλαιο 1 - Συστήµατα Αριθµών 32 1.3 Binary Αριθµητική (arithmetic) 13/14 1.3 Binary Αριθµητική (arithmetic) 14/14 Πολλαπλασιασµός AxB Α 10110 Β 110x Πολλαπλασιασµός AxB Α 10110 Β 110x 00000 10110 10110 + Γινόµενο(prod.) 10000100 Eπιβεβαίωση Κεφάλαιο 1 - Συστήµατα Αριθµών 33 Κεφάλαιο 1 - Συστήµατα Αριθµών 34 1.3 Hex Arithmetic 1/2 1.3 Hex Arithmetic 2/2 Για κάθε ζεύγος ψηφίων Ηex2Dec, Πρόσθεση Dec2Hex Α+Β Α 59F Β E46+ Για κάθε ζεύγος ψηφίων Ηex2Dec, Πρόσθεση Dec2Hex Α+Β Carry 1010 Α 59F Β E46+ 13E5 Κεφάλαιο 1 - Συστήµατα Αριθµών 35 Κεφάλαιο 1 - Συστήµατα Αριθµών 36 6

1.3 Μετατροπή Βάσης r2n (ase conversion) Mετατροπή decimal2r Εάν r και n είναι δύναµη τουδυο εύκολη διαδικασία Αλλιώς r2decimal, decimal2n γνωστό Πώς; Κεφάλαιο 1 - Συστήµατα Αριθµών 37 Ξεχωριστός αλγόριθµος για ακέραιο και κλασµατικό µέρος Ακέραιο: διαιρούµε τοναριθµό µε r σηµειώνουµε το πηλίκο και το υπόλοιπο σταµατάαντοπηλίκοείναι0 επανάλαβε άλλα µε διαιρετέο το πηλίκο dec2oct, (153) 10 = ( 231 ) 8 r Π Υ 19 1 Κεφάλαιο 2 1-3Συστήµατα Αριθµών 38 0 2 1.3 dec2in dec2r Κλασµατικό Μέρος (41) 10 = ( 101001) 2 Π Υ 20 1 10 0 5 0 2 1 1 0 0 1 Αλγόριθµος πολλαπλασιάζουµε τοναριθµό µε r σηµειώνουµε τοακέραιοµέρος του γινόµενου σταµατά αν το κλασµατικό µέρος του γινόµενου είναι 0 επανάλαβε άλλα µε πολλαπλασιαστέο το κλασµατικό µέρος Κεφάλαιο 1 - Συστήµατα Αριθµών 39 Κεφάλαιο 1 - Συστήµατα Αριθµών 40 1.3 dec2r Κλασµατικό Μέρος 1.3 dec2r Κλασµατικό Μέρος (0.6875) 10 =( 0.1011) 2 Γα Γκ 1 0.375 0 0.75 1 0.5 1 0 (0.513) 10 = ( 0.407) 8 µεχρι 3 κλασµατικά ψηφία Γα Γκ 4 0.104 0 0.832 6 0.656 5 0.248 Ακρίβεια και Στρογγυλοποίηση (153.513) 10 = (231.407) 8 Προσοχη: ίδια τιµή στο ακέραιο και κλασµατικό για µια βάση διαφορετική αναπαράσταση σε Κεφάλαιο 1 - Συστήµατα Αριθµών 41 αλλη βάση (5.5) 10 = (101.1) 2 Κεφάλαιο 1 - Συστήµατα Αριθµών 42 7

1.4 εκαδικοί Κώδικες 1.4 Κωδικοποίηση Άνθρωποι άνετοι µε τοδεκαδικό Υπολογιστές µε τοδυαδικό εν µιλούν/γράφουν όλοι αγγλικά Ανάγκη για κωδικοποίηση Βinary-Coded Decimal (BCD) (ιστορικό) ASCII UNICODE Aναπαράσταση µε n-it κώδικες (2 n µοναδικοί κώδικες:0-2 n -1) ενός συνόλου στοιχείων Σύνολο µε r στοιχεία χρειάζεται n=ceil(log 2 r) its ώστε κάθε στοιχείο να έχει µοναδική κώδικα Σύνολο µε 4 στοιχεία µπορεί να κωδικοποιηθεί µε 2-it κώδικες (00,01,10,11) Προέκταση:σύνολα µε περισσότερα (άπειρα) στοιχεία από µοναδικούς κώδικες µπορεί να αναπαρασταθούν, άλλα πολλά στοιχεία θα έχουν τον ίδιο κώδικα (πχ πραγµατικοί αριθµοί) Κεφάλαιο 1 - Συστήµατα Αριθµών 43 Κεφάλαιο 1 - Συστήµατα Αριθµών 44 1.4 ΒCD 1.4 BCD Κωδικοποίηση δεκαδικών σε δυαδικό ceil(log 2 10)= 4its για κάθε δεκαδικό ψηφίο 16-10 = 6 συνδυασµοί δεν χρησιµοποιούνται Πιο συχνή κωδικοποίηση dec BCD 0 0000 1 0001 2 0010 3 0011 4 0100 5 0101 6 0110 7 0111 8 1000 9 1001 Κεφάλαιο 1 - Συστήµατα Αριθµών 45 Ένας δεκαδικός µε ν ψηφία χρειάζεται 4ν its για να αναπαρασταθεί στο ΒCD (2042) 10 = (0010 0000 0100 0010) BCD (2042) 10 = (11111111110) 2 σηµασία its εξαρτάται από την κωδικοποίηση που χρησιµοποιείται (χαρτί και µηχανή) + Πιο εύκολη η µετατροπή dec2in για ΒCD - εν χρησιµοποιεί όλους τους συνδυασµούς Κεφάλαιο 1 - Συστήµατα Αριθµών 46 1.4 Πρόσθεση σε ΒCD 1/6 1.4 Πρόσθεση σε ΒCD 2/6 Binary πρόσθεση ανά δυο ψηφία. Χρειάζεται προσαρµογή όταν το άθροισµα είναι>9: πρόσθεση 6 10 (0110) 2 στο άθροισµα για σωστό ΒCD ψηφίο και σωστό κρατούµενο στο επόµενο ζεύγος. 448 + 489 448 + 489 -------- 937 Κρατουµ. 1 1 υαδικό Αθρ Πρόσθεση 6 0100 + 0100 --------- 1001 1001 0100 + 1000 ---------- 1101 + 0110 ---------- 1 0011 0011 1000 + 1001 ---------- 1 0001 + 0110 ---------- 1 0111 0111 εκαδικό 9 3 7 Κεφάλαιο 1 - Συστήµατα Αριθµών 47 Κεφάλαιο 1 - Συστήµατα Αριθµών 48 8

Grey Codes Χρήσιµο για εφαρµογές όπου στη δυαδική µέτρηση πρέπει να αλλάξει ένα µόνο ψηφίο. Grey Codes: Παράδειγµα εφαρµογής Κεφάλαιο 1 - Συστήµατα Αριθµών 49 Κεφάλαιο 1 - Συστήµατα Αριθµών 50 1.5 Αλφαριθµητικοί Κώδικες: ΑSCII American Standard code for Information Interchange 1.5 ΑSCII Κωδικοποίηση για αγγλικούς αλφαβητικούς χαρακτήρες, αριθµητικά ψηφία, ειδικούς χαρακτήρες ΑSCII διεθνές πρότυπο µε 7-it codes (πόσοι µοναδικοί κώδικες;) a 110 0001,, z 111 1010 A 100 0001,, Z 101 1010 0 011 0000,,9 011 1001 Κεφάλαιο 1 - Συστήµατα Αριθµών 51 Κεφάλαιο 1 - Συστήµατα Αριθµών 52 1.5 ΕΛΟΤ 928 Πρότυπο ΕΛΟΤ 928 (Ελληνικού Οργανισµού Τυποποίησης) Εγκεκριµένο απο την ISO (International Standards Organization) ιδει τον κώδικα Λατινικών χαρακτήρων σε 8-it ΕΛΤΟ 928 µε 8- its codes 16 h : α 1110 0001,..., ω 111 1001 Ε1 h,..., F9 h A 1100 0001,, Ω 1101 1001 C1 h,, D9 h τόνος µονοτονικού 1011 0100 B4 h 1.5 UNICODE: ISO 10646 16- it κώδικας για την κωδικοποίηση χαρακτήρων των διαφόρων γλωσσών του κόσµου 0000 16 007F 16 : Τυποποιηµένοι χαρακτήρες σε ASCII code 00A0 16 00FF 16 Λατινικά 1: Επιπρόσθετα γράµµατα για τις γλώσσες της Ευρώπης, π.χ Ελληνικά (ΕΛΟΤ 928) 0100 16 FFFF 16 : Χρησιµοποίηση για γλώσσες µε ιδεογραφικούς χαρακτήρες, π.χ. Κινέζικα και επιπρόσθετοι κώδικες που είναι περιορισµένοι για µελλοντική χρήση Κεφάλαιο 1 - Συστήµατα Αριθµών 53 Κεφάλαιο 1 - Συστήµατα Αριθµών 54 9

1.5 Bits (ψηφία ακεραιότητας) Επιπλέον its σε ένα κώδικα για αναγνώριση ή/και διόρθωση λαθών κατά την µεταφορά δεδοµένων Πχ 1it-parity για κώδικες ΑSCII ΑSCII Binary Even Odd A 1000001?1000001?1000001 2 0110010?0110010?0110010 Even : Ζυγός ο αριθµός των its µε τιµή 1 Odd : Μονός ο αριθµός των its µε τιµή 1 1.5 Bits (ψηφία ακεραιότητας) Επιπλέον its σε ένα κώδικα για αναγνώριση ή/και διόρθωση λαθών κατά την µεταφορά δεδοµένων Πχ parity για κώδικες ΑSCII ΑSCII Even Odd A 1000001 01000001 11000001 2 0110010 10110010 00110010 Πως αναγνωρίζεται το λάθος; Τι γίνεται; Κεφάλαιο 1 - Συστήµατα Αριθµών 55 Κεφάλαιο 1 - Συστήµατα Αριθµών 56 1.5 ιαδικασία 1.5 Παράδειγµα µε even parity (αποστολή ascii ) 1/7 Εάν το αποτέλεσµα ελέγχου είναι λάθος ζητούµε επανάληψη αποστολής δεδοµένων Κεφάλαιο 1 - Συστήµατα Αριθµών 57 Κεφάλαιο 1 - Συστήµατα Αριθµών 58 1.5 Παράδειγµα µε even parity (αποστολή ascii ) 2/7 1.5 Παράδειγµα µε even parity (αποστολή ascii ) 3/7 62 h 1100010 62 h 1100010 11100010 Κεφάλαιο 1 - Συστήµατα Αριθµών 59 Κεφάλαιο 1 - Συστήµατα Αριθµών 60 10

1.5 Παράδειγµα µε even parity (αποστολή ascii ) 4/7 1.5 Παράδειγµα µε even parity (αποστολή ascii ) 5/7 62 h 1100010 11100010 11100010 62 h 1100010 11100010 11100010 OK 1100010 Κεφάλαιο 1 - Συστήµατα Αριθµών 61 Κεφάλαιο 1 - Συστήµατα Αριθµών 62 1.5 Παράδειγµα µε even parity ( Με λάθος ) 6/7 1.5 Bits (ψηφία ακεραιότητας) 62 h 1100010 11100010 11100000 ΛΑΘΟΣ! Ζήτα Aποστολή Πόσα λάθη µπορεί να αναγνωριστούν µε 1 parity it; Even : εντοπίζει 1, 3, 5, 7, λάθη Κεφάλαιο 1 - Συστήµατα Αριθµών 63 Κεφάλαιο 1 - Συστήµατα Αριθµών 64 11