Κοινωνικά Δίκτυα Χαρακτηριστικά & Μοντέλα Γράφων Ν. Μ. Σγούρος Τμήμα Ψηφιακών Συστημάτων, Παν. Πειραιώς sgouros@unipi.gr
Παράδειγμα
Χαρακτηριστικά Δικτύων Η κεντρικότητα (centrality) ενός κόμβου συνήθως ταυτίζεται με τον Η βαθμό του (degree centrality) Στην περίπ τωση αυτή χρησιμοπ οιείται ο κανονικόπ οιημένος βαθμός ενός κόμβου ο οπ οίος υπ όλογίζεται ως ο λόγος του βαθμού του π ρος το π λήθος των υπόλοιπ ων κόμβων στο δίκτυο και λαμβάνει τιμές μεταξύ 0 και 1. εγγύτητα (closeness) για έναν κόμβο Α ορίζεται ως ο λόγος του π λήθους των υπόλοιπ ων κόμβων στο δίκτυο π ρος το άθροισμα του μήκους των μονοπ ατιών ελαχίστου μήκους π ου συνδέουν τον Α με καθέναν απ ό τους υπόλοιπ ους κόμβους. Η εγύτητα ενός κόμβου αυξάνεται όσο μειώνεται το άθροισμα στον π αρανομάστη και επ ομένως μια μεγάλη τιμή εγγύτητητας υπ οδηλώνει ότι ο Α είναι κοντά σε όλους τους υπόλοιπ ους κόμβους.
Χαρακτηριστικά Δικτύων H ε ξασθενημένη εγγύτητα (decay centrality) ορίζεται μέσω μιας π αραμέτρου δ η οπ οία λαμβάνει τιμές μεταξύ 0 και 1 και καθορίζει το είδος της εγγήτητας π ου μας ενδιαφέρει. Α ν SumOfMinLengths(A) (= Σ lengthai ) είναι το άθροισμα του μήκους των μονοπ ατιών ελαχίστου μήκους π ου συνδέουν τον Α με τους υπόλοιπ ους κόμβους στο δίκτυο τότε η εξασθενημένη εγγύτητα DCA για τον Α ορίζεται ως: DCA = δ SumOfMinLenghts(A) Όταν δ 1 τότε η DCA εκφράζει το μέγεθος της συνδεδεμένης συνιστώσας στην οπ οία ανήκει ο Α ενώ τιμές της δ 0 επιτρέπ ουν στην DCA να εκτιμά το βαθμό του Α. Τιμές της δ 0.5 αντιστοιχούν σε μια εκτίμηση του συνδυασμού του βαθμού και του μεγέθους της συνιστώσας στην οπ οία ανήκει ο Α. Στην κανονικοπ οιημένη της έκφραση η εξασθενημένη εγγύτητα διαρείται με το γινόμενο (n-1)* δ
Παράδειγμα
Χαρακτηριστικά Δικτύων Η μεσολάβηση (betweenness) ενός κόμβου Α εκτιμά π όσο σημαντικός είναι ο Α για την επ ικοινωνία μεταξύ των άλλων κόμβων. Η μεσολάβηση ορίζεται ως το μήκους π λήθος των μονοπ ατιών ελάχιστου π ου συνδέουν δυο οποιουσδήπ οτε κόμβους και στα οπ οία ανήκει ο Α π ρος το π λήθος των μονοπ ατιών ελαχίστου μήκους π ου συνδέουν δυο οποιουσδήπ οτε κόμβους. Στην κανονικοπ οιημένη μορφή της η μεσολάβηση διαιρείται δια του όρου (n-1)*(n-2)/2 όπ ου n το π λήθος των κόμβων στο δίκτυο. O όρος αναφέρεται στον αριθμό των δυνατών συνδυασμών n-1 κόμβων ανα 2.
Παράδειγμα
Μοντέλα Αυξανόμενου Πλήθους Κόμβων Το δίκτυο αναπ τύσσεται σε διακριτά βήματα dt στο χρόνο t. Υπ οθέτουμε ότι dt = 1. Σε κάθε βήμα π ροστίθεται ένας νέος κόμβος στο δίκτυο. Επ όμένως σε κάθε βήμα ο χρόνος t ισούται με το π λήθος των κόμβων στο δίκτυο. Κάθε νέος κόμβος δημιουργεί m νέες συνδέσεις με προϋπ άρχοντες κόμβους στο δίκτυο. Κάθε ένας απ ό τους προϋπ άρχονες κόμβους επ ιλέγεται με μια σταθερή π ιθανότητα p. Το δίκτυο αρχικοπ οιείται με m π λήρως συνδεδεμένους κόμβους.
Ανάλυση Κάθε προϋπ άρχων κόμβος έχει π ιθανότητα ίση με m/t να συνδεθεί με έναν νέο κόμβο. Ο αναμενόμενος βαθμός κάπ οιου κόμβου i στο χρόνο t, όπ ου m<i<t υπ ολογίζεται ως: m+ m/(i+1)+m/(i+2)+...+m/t m*(1+log(t/i)) Ο αναμενόμενος χρόνος i μετά απ ό τον οπ οίο αναμένεται να έχουν δημιουργηθεί κόμβοι με βαθμό μικρότερο απ ό d κατά το χρόνο t υπ ολογίζεται ως: d > m*(1+log(t/i)) i > t * e (d-m)/m ο αναμενόμενος λόγος των κόμβων με βαθμό μεγαλύτερο α ό d π ρος το συνολικό π λήθος των κόμβων υπ ολογίζεται ως π (t - t * e(d-m)/m )/t = 1 - e(d-m)/m
Ποιοτικά Χαρακτηριστικά Οι νεότεροι κόμβοι έχουν συνήθως μικρότερο βαθμό από τους παλαιότερους Το μέγεθος της γιγάντιας συνιστώσας είναι συνήθως μικρότερο από τους ΕR γράφους
Μοντέλα Power Law log(p k ) = c- b * log(k) όπ ου k ο βαθμός ενός κόμβου και p κόμβος του γράφου να έχει βαθμό εξίσωση ως π ρος p k : k p k = M * k -b η τιιθανότητα ένας τυχαίος k. Λύνοντας την ανωτέρω όπ ου Μ ένας συντελεστής κανονικοπ οίησης π ου εξασφαλίζει ότι όλα τα p αθροίζονται στην μονάδα. Η ανωτέρω εξίσωση k θεωρούμε ότι επιτρέπ ει την εμφάνιση κόμβων με ακραίες τιμές βαθμών για b 3.
Τυπική συμπεριφορά P(x) 0.0 0.2 0.4 0.6 0 20 40 60 80 100 x P(x) 0.00005 0.00500 0.50000 1 2 5 10 20 50 x
Παραδείγματα Moo n Solar flares wars (1816-1980) richest individuals 2003 US family names 1990 US cities 2003
Προϋποθέσεις Ο αριθμός των κόμβων του γράφου αυξάνεται με την πάροδο του χρόνου Η πιθανόιτητα σύνδεσης ενός νέου κόμβου με έναν προϋπάρχοντα είναι ανάλογη του βαθμού του προϋπάρχοντος κόμβου. Το φαινόμενο αυτό ονομάζεται επιλεκτική προσκόλληση (preferential attachment) και υποδηλώνει την προτίμηση που έχουν νέα μέλη σε διάφορες κοινωνικές ομάδες να δημιουργούν σχέσεις με παλαιότερα μέλη τα οποία θεωρούνται αρκετά δημοφιλή.
Μοντέλο Barabasi-Albert Αρχικά δημιούργησε ένα π κόμβων. Σταδιακά π λήρως συνδεδεμένο γράφο q ρόσθεσε στο γράφο νέους κόμβους καθένας εκ των οπ οίων εισφέρει m νέες ακμές. Η π ιθανότητα κάπ οια απ ό τις νέες αυτές ακμές να συνδεθεί με κάπ οιον προϋπ άρχοντα κόμβο g είναι ανάλογη του βαθμού του g. A ν k i ο βαθμός του κόμβου i τότε η π ιθανότητα p i να συνδεθεί ο κόμβος i είναι: με ένα νέο κόμβο
Χαρακτηριστικά Η στατιστική κατανομή με την οπ οία π αράγονται οι ακμές στο δίκτυο είναι ανεξάρτητη απ ό την κλίμακα π αρατήρησης (scale-free). Η π ιθανότητα pk ένας οποισοδήπ οτε κόμβος να έχει βαθμό k είναι ανάλογη του k-3 δηλ: pk ~ k-3 Ο γράφος π ου π αράγεται είναι π λήρως συνδεδεμένος Οι βαθμοί των αλαιοτέρων κόμβων είναι συνήθως μεγαλύτεροι απ ό τους βαθμούς των νεοτέρων. Το φαινόμενο αυτό είναι γνωστό και ως the rich-get-richer effect. π