Σχετικό συστηματικό σφάλμα Το σφάλμα του γινομένου 2 μεταβλητών με επιμέρους συστηματικά σφάλματα.

1

Σχετικό συστηματικό σφάλμα Το σφάλμα του γινομένου 2 μεταβλητών με επιμέρους συστηματικά σφάλματα. Παράδειγμα: αν m = (0.53 ± 0.01) kg και υ = (9.1 ± 0.3) m/s, Προσδιορίστε την ορμή (p = mυ ) ΛΥΣΗ Άρα p = mυ = (0.53) x (9.1) = 4.82 kg.m/s Το σχετικό σφάλαμε είναι p Το σχετικό σφάλαμε στη p είναι 2% 3% 5% p p 0.05 4.82 0.241 m m 0.01 0.3 0.02 2% 0.03 3% 0.53 9.1 Άρα p = (4.8 ± 0.2) kg.m/s 2

Επομένως όταν δύο ποσότητες διαιρούνται το σχετικό συστηματικό σφάλμα του αποτελέσματος δίνεται από τo σχετικό συστηματικό σφάλμα του αριθμητή μείον το σχετικό συστηματικό σφάλμα του παρονομαστή Ανάλογες σχέσεις ισχύουν και για υπολογιζόμενες ποσότητες που περιέχουν εκθέτες. Όταν μια ποσότητα x είναι υψωμένη σε δύναμη P τότε το σχετικό συστηματικό σφάλμα του αποτελέσματος είναι το σχετικό συστηματικό σφάλμα του x πολ/σμένο με P. Αυτό ισχύει και για αρνητικούς εκθέτες. 3

Γραφικές παραστάσεις Μια γραφική παράσταση αποτελεί μια ακριβή γραφική αναπαράσταση των πειραματικών δεδομένων. Η γραφική παράσταση είναι ένας ιδιαίτερα αποδοτικός τρόπος για να παρουσιαστούν οι μετρήσεις και υπολογισμοί που έχουμε κάνει. Με το τρόπο αυτό μπορεί οποιοσδήποτε να δει το συσχετισμό μεταξύ διαφόρων μεγεθών αλλά και τη διασπορά (ακρίβεια) των συλλεγμένων μετρήσεων καθώς και οποιαδήποτε προτιμήσεις των μεγεθών (π.χ.περιγράφονται τα δεδομένα από ευθεία γραμμή; ποια η κλίση της κλπ). Όπως και σε μια φωτογραφία πρέπει να λάβουμε υπόψη το τρόπο με τον οποίο αντιπροσωπεύουμε τα δεδομένα. Όπως σε μια φωτογραφία, η γωνία λήψης της μπορεί να ενισχύσει ή να κρύψει κάποια χαρακτηριστικά του θέματός της έτσι και στην γραφική αναπαράσταση δεδομένων έχει σημασία η επιλογή των αξόνων αφού μπορούν να κρύψουν ή να διαφοροποιήσουν χαρακτηριστικά των δεδομένων Θεωρήστε ένα πείραμα στο οποίο θέλετε να εξετάσετε το ενδοχόμενο μεταξύ των φάσεων της σελήνης και του μήκους μιας σανίδας ξύλου συσχέτισης Έστω ότι πήρατε τις ακόλουθες μετρήσεις Φάσεις σελήνης Μήκος σανίδας (cm) 1 0 τέταρτο 12.1±0.5 2 0 τέταρτο 13.0±0.8 3 0 τέταρτο 11.8±0.5 4 0 τέταρτο 12.6±0.5 4

Β Γραφικές παραστάσεις - Πρώτο γράφημα Σχεδιάζοντας το μήκος της σανίδας συναρτήσει των φάσεων της σελήνης μπορείτε να δείτε αν υπάρχει κάποιος συσχετισμός μεταξύ των μεγεθών. Ο συνήθης τρόπος γραφικής παράστασης είναι να διαλέξετε αρχικά την ανεξάρτητη μεταβλητή σας (στη προκειμένη περίπτωση οι φάσεις της σελήνης) και να την τοποθετήσετε στον οριζόντιο άξονα, ενώ στο κατακόρυφο άξονα τοποθετείτε την εξαρτημένη μεταβλητή (το μήκος της σανίδας) Β Data 1 Α Αν χρησιμοποιήσουμε κάποιο γραφικό λογισμικό ενός υπολογιστή και κάνουμε το γράφημα θα μοιάζει όπως στο σχήμα. Υπάρχουν ωστόσο πολλά λάθη στο τρόπο που σχεδιάσαμε τη γραφική αυτή παράσταση. Αρχικά κάθε παράσταση θα πρέπει να έχει ένα σωστό τίτλο και οι άξονες να έχουν Ονομασίες αντιπροσωπευτικές των μεγεθών που αντιπροσωπεύουν. Ο τίτλος θα μπορούσε να είναι συσχετισμός φάσεων σελήνης και μήκους σανίδας Με το τρόπο αυτό ο αναγνώστης ξέρει τι να περιμένει να δει στη παράσταση. O οριζόντιος άξονας θα πρέπει να έχει το τίτλο φάσεις σελήνης (τέταρτα) ενώ ο 5 κατακόρυφος άξονας θα είχε το τίτλο Μήκος σανίδας (cm)

Γραφικές παραστάσεις - Υποδιαιρέσεις αξόνων Ο x -άξονας μπορεί να αναπαρασταθεί μόνο με ακέραιες (οι φάσεις της σελήνης) επομένως δεν χρειαζόμαστε πολλές υποδιαιρέσεις). Πόσες όμως υποδιαιρέσειs; Αρκετές ώστε ο x -άξονας να περιέχει όλα τα δεδομένα και τουλάχιστον μια επιπλέον σαν ανώτερο και κατώτερο όριο ώστε να δίνουν τη σιγουριά στον αναγνώστη ότι δεν υπάρχουν άλλα σημεία. Ποιά η κλίμακα του y- άξονα και το εύρος της; Δε θέλουμε μια κλίμακα στην οποία τα ακρώτατα σημεία να μοιάζουν ότι συμπίπτουν. error bar Δεν θα πρέπει το εύρος της υποδιαίρεσης της κλίμακας να είναι πολύ μεγάλο ώστε όλες οι μετρήσεις τεχνικά να πέφτουν σε μια υποδιαίρεση. +1 Τυπική απόκλιση -1 Τ υπική απόκλιση Μέτρηση Τα δεδομένα στο προηγούμενο γράφημα φαίνονται να μην έχουν κάποια συσχέτιση και ότι είναι τυχαία. Αυτό γιατί οι τυχαίες διακυμάνσεις στις μετρήσεις δημιουργεί την αβεβαιότητα της κάθε μέτρησης. Αν σχεδιάζαμε μια κατακόρυφη γραμμή με μήκος όσο το μέγεθος της ±1 τυπικής απόκλισης κάθε μέτρησης θα μπορούσαμε να δείξουμε γραφικά την ακρίβεια 6του πειράματος.

Γραφικές παραστάσεις - error bars Αν οι μετρήσεις που έχουμε είναι πάρα πολλές τότε ο υπολογισμός όλων των αβεβαιοτήτων είναι επίπονος και χρονοβόρος. Παρατηρούμε όμως ότι οι περισσότερες μετρήσεις έχουν παρόμοια αβεβαιότητα και οι τιμές των μετρήσεων που βρίσκονται στο μέσο του εύρους των τιμών που καλύπτουν οι μετρήσεις έχουν παρόμοια αβεβαιότητα. Μεγαλύτερη αβεβαιότητα παρουσιάζουν οι μετρήσεις που βρίσκονται στα άκρα του εύρους των μετρήσεων (από κατασκευή) μια και εκεί θα παρουσιάζεται η μεγαλύτερη διακύμανση. Ακολουθούμε τον εξής κανόνα για το σχεδιασμό των error bars: Παίρνουμε τις 2 πρώτες και 2 τελευταίες μετρήσεις που καλύπτουν τα άκρα του εύρους τιμών των μετρήσεών μας και υπολογίζουμε την αβεβαιότητά μας. Με το τρόπο αυτό έχουμε μια καλή και συντηρητική ένδειξη της αβεβαιότητας των μετρήσεών μας χωρίς να χάνουμε σημαντική πληροφορία. Με τη μέθοδο αυτή πάντοτε υπολογίζουμε την αβεβαιότητα 4 το πολύ μετρήσεων. Πειράματα που έχουν λιγότερες των 4 μετρήσεων θα έχουν όλα τα σημεία τους με error bars. 7

Μήκος, L(cm) Γραφικές παραστάσεις - Διορθωμένο γράφημα Φάση σελήνης (τέταρτο) Σχήμα 1: Σχέση μεταξύ μήκους σανίδας και φάσεων της σελήνης. Η γραφική παράσταση στη τελικής της μορφή δείχνει ότι οι διακυμάνσεις στις μετρούμενες τιμές του μήκους της σανίδας δεν είναι σημαντικά μεγαλύτερες από την αβεβαιότητα της κάθε μέτρησης. Δηλαδή το μήκος της σανίδας είναι ανεξάρτητο των φάσεων της σελήνης όπως και περιμέναμε. Αν όλα τα δεδομένα μας έχουν τιμές οι οποίες είναι μέσα στο εύρος της ±1 τυπικής απόκλισης γύρω από την ίδια κεντρική τιμή δεν έχουμε κάποιο λόγο να ισχυριζόμαστε ότι οι μετρήσεις μας είναι διαφορετικές. Βλέπουμε επομένως ότι η σωστή εκτίμηση προκύπτει με το να βρούμε τη μέση τιμή όλων των μετρήσεων του μήκους της σανίδας. Πάντοτε όταν κάνετε μια γραφική παράσταση σκεφθείτε τις αβεβαιότητες των μετρήσεων και σχεδιάστε την λογικά. Η αρχική γραφική παράσταση μπορεί να σας οδηγούσε στο συμπέρασμα ότι υπάρχει όντως συσχέτιση μεταξύ του μήκους της σανίδας και των φάσεων της σελήνης. 8

Κανόνες για τη δημιουργία γραφικών παραστάσεων Όταν σας ζητείτε να κάνετε τη γραφική παράσταση του Μεγέθους 1 ως προς το Μέγεθος 2 σημαίνει ότι το Μέγεθος 2 είναι στον άξονα x και το Μέγεθος 1 στο y-άξονα. Ποτέ μη χαράζετε καμπύλες οι οποίες συνδέουν τα σημεία των μετρήσεών σας. Κάθε καμπύλη έχει μια φυσική ερμηνεία. Κάθε γραφική παράσταση θα πρέπει να έχει κάποιο τίτλο περιγραφής που εξηγεί σύντομα τη σημασία της παράστασης. Κάθε γραφική παράσταση θα πρέπει να έχει επιγραφές στους άξονες ανάλογα με το μέγεθος που αντιστοιχείτε καθώς και τις απαραίτητες μονάδες μέτρησης. Ο οριζόντιος άξονας θα πρέπει να έχει υποδιαιρέσεις πέρα από το εύρος των μετρήσεων (αριστερά και δεξιά του διαστήματος) ώστε να διασφαλίσετε τη μη ύπαρξη σημείων έξω από το εύρος που ορίζετε. Εξαίρεση σε αυτό υπάρχει όταν η επιπλέον υποδιαίρεση αντιστοιχεί σε αρνητική τιμή χωρίς φυσική σημασία οπότε σταματούμε στη τιμή x=0. Σχεδιάστε τις αβεβαιότητες δίνοντας ± 1 τυπική απόκλιση σε 4 σημεία. Για μεγάλα δείγματα σχεδιάστε μόνο τις αβεβαιότητες για τα 2 πρώτα και 2 τελευταία σημεία του εύρους. Αυτό προσφέρει οπτικό έλεγχο των αβεβαιοτήτων 9

Ανά λυση δεδομένων Σχέση μεταξύ μετρήσεων και θεωρίας: Γενικός νόμος φυσικής Μια μέτρηση Πολλές μετρήσεις Μια και μόνο μέτρηση, για παράδειγμα η θέση του βλήματος που κάνει πλάγια βολή μια μια χρονική στιγμή δεν είναι αρκετή για να περιγράψει το γενικό φαινόμενο. Για να συνδέσουμε το πείραμα με θεωρία θα πρέπει να έχουμε πολλές μετρήσεις και από το τρόπο κατανομής των δεδομένων να ανακαλύψουμε την θεωρία που κρύβεται πίσω από τα δεδομένα Στο παράδειγμα του βλήματος, η μελέτη του βεληνεκούς για διάφορες γωνίες ρίψης και διαφορετικές ταχύτητες μπορούν να βοηθήσουν να κατανοήσουμε το φυσικό νόμο που περιγράφει το φαινόμενο αυτό. Όταν πραγματοποιούμε κάποιο πείραμα δεν ενδιαφερόμαστε απλά και μόνο για τις τιμές κάποιων μεγεθών που μετράμε αλλά και για την συσχέτιση που υπάρχει μεταξύ των μεγεθών αυτών. H συσχέτιση μεταξύ των μεγεθών είναι αυτή που εκδηλώνει την ύπαρξη κάποιου φυσικού νόμου. Το βασικό εργαλείο που χρησιμοποιούμε για να βρούμε κάποιο συσχετισμό είναι οι γραφικές παραστάσεις. Το ερώτημα που γεννάται όμως είναι πως μπορούμε να μειώσουμε το μεγάλο αριθμό μετρήσεων σε ποσότητες που μπορούν να συγκριθούν με τη θεωρητικές προβλέψεις. 10

Απόσταση, L(m) Προσαρμογή σε ευθεία γραμμή Μια από τις περισσότερες χρήσιμες τεχνικές είναι αυτή της περιγραφής των πειραματικών δεδομένων με μια ευθεία γραμμή. Υποθέστε ότι έχετε μια σειρά μετρήσεων σε μια γραφική παράσταση y ως προς x και από τη γραφική παράσταση βλέπουμε ότι αντιστοιχεί σε μια ευθεία γραμμή Για την περιγραφή αυτής της ευθείας χρειάζονται 2 παράμετροι: η κλίση της, m, και η τετμημένη της ευθείας με τον άξονα των y, b Τη στιγμή που θα προσδιορίσουμε τις δύο αυτές παραμέτρους μπορούμε να υπολογίσουμε την τιμή y που αντιστοιχεί σε οποιαδήποτε τιμή του x. Κλίση=m= Δ y Δ x Δ y = 1m y = ax + b Προσέξτε ότι είναι ακριβώς η κλίση και η τετμημένη b που παίζουν σημαντικό ρόλο στη θεωρία Δ x = 2sec y-τετμημένη=b=5m απόσταση από την αρχή t =0 Χρόνος, t(sec) H κλίση είναι η ταχύτητα ενώ η τετμημένη μας δίνει την αρχική θέση του σώματος Επομένως το πρόβλημά μας ανάγεται στην εύρεση των παραμέτρων της ευθείας καθώς και των αβεβαιοτήτων που συνοδεύουν τις εκτιμήσεις αυτών 11

Απόσταση, L(m) Εύρεση της ευθείας Έστω ότι έχουμε τις μετρήσεις που δίνονται στο παρακάτω πίνακα Πίνακας 1 Χρόνος (sec) Απόσταση (m) Αβεβαιότητα, Δy (m) 1.0 20 1 2.5 59 1 4.7 64 (δεν χρειάζεται να υπολογισθεί) 8.0 98 2 10 129 3 Δεδομένα από το πίνακα 1 χρόνος, t(sec) Χρειάζεται να υπολογίσουμε τις αβεβαιότητες για 4 τιμές. Τις 2 που βρίσκονται στο κατώτερο όριο τιμών και τις δύο στο υψηλότερο όριο τιμών. Σα 1 ο βήμα κάνουμε τη γραφική παράσταση των δεδομένων του πίνακα 1. Χρησιμοποιώντας ένα χάρακα μπορούμε να σχεδιάσουμε τη καλύτερη ευθεία που διέρχεται από όλα τα σημεία. Αυτή η ευθεία λέγεται ευθεία καλύτερης προσαρμογής (best fit). Αν οι αβεβαιότητες όλων των σημείων είναι ίσες ή πολύ μικρές τότε η διαδικασία είναι πολύ απλή. Αν οι αβεβαιότητες παρουσιάζουν μεγάλες διακυμάνσεις τότε η διαδικασία είναι πιο πολύπλοκη. 12

Ευθεία γραμμή καλύτερης προσαρμογής Σημεία με μεγάλες αβεβαιότητες περιέχουν και τη λιγότερο σημαντικότητας πληροφορία και επομένως θα πρέπει να δώσουμε τη λιγότερο σημασία. Η τετμημένη με το y- άξονα μπορεί να βρεθεί διαβάζοντας απλά τη τιμή από τη γραφική παράσταση. Στη περίπτωσή μας είναι περίπου 13m. Για να βρούμε τη κλίση χρησιμοποιούμε το ορθογώνιο τρίγωνο της διαφ. 11 και υπολογίζουμε κάποιο διάστημα Δx και το αντίστοιχο Δy. m = y 2 - y 1 x 2 - x 1 Όπου τα σημεία x 1, x 2, y 1 και y 2 είναι κάποια σημεία της ευθείας γραμμής και όχι απαραίτητα πειραματικά σημεία Αυτό είναι σημαντικό γιατί από τη στιγμή που σχεδιάσατε τη καλύτερη ευθεία δεν ενδιαφερόμαστε πλέον για τα πειραματικά σημεία αλλά για την κλίση και τη τετμημένη της ευθείας. Προσέξτε ότι για τη περίπτωσή μας κανένα από τα σημεία δεν βρίσκεται ακριβώς πάνω στην ευθεία. Χρησιμοποιούμε επομένως τα δεδομένα για να βρούμε τη καμπύλη και τη καμπύλη για να βρούμε τη θεωρία. Για το παράδειγμά μας έχουμε: m = 32m - 140m =11.25m / s 11m / s 1.7s - 11.3s 13

Απόσταση, L(m) Eύρεση της αβεβαιότητας της κλίσης και τετμημένης Ξεκινάμε σχεδιάζοντας ένα παραλληλόγραμμο το οποίο περικλείει όλα τα πειραματικά σημεία συμπεριλαμβανομένης της αβεβαιότητάς τους. Το παραλληλόγραμμα της αβεβαιότητας φαίνεται στο παρακάτω σχήμα. Δεδομένα από το πίνακα 1 Xρόνος, t(sec) H πάνω και κάτω γραμμή αυτού του παρ/μου σχεδιάζονται παράλληλα προς την ευθεία της καλύτερης προσαρμογής. Tα άκρα σχεδιάζονται παρ/λα προς τον y -άξονα. Οποιαδήποτε εκτίμηση της αβεβαιότητας της κλίσης και τετμημένης της ευθείας θα πρέπει να έχει σαν αποτέλεσμα μια ευθεία η οποία περνά από τα άκρα του παρ/μου και δεν τέμνει τις πλάγιες πλευρές. Μπορούμε επομένως να χαράξουμε τις 2 διαγωνίους του παρ/μου και οι κλίσεις και τετμημένες των 2 αυτών ευθειών δίνουν την αβεβαιότητα στη κλίση και τετμημένη της ευθείας της καλύτερης προσαρμογής. 14

Απόσταση, L(m) Eύρεση της αβεβαιότητας της κλίσης και τετμημένης Όπως και στην περίπτωση της καλύτερης ευθείας προσαρμογής υπολογίζουμε τη κλίση και τετμημένη των 2 διαγωνίων του παρ/μου. Επομένως η αβεβαιότητα της κλίσης της καλύτερης ευθείας είναι: Επειδή εκφράζουμε την αβεβαιότητα συνήθως συμμετρικά θα έχουμε ότι η αβεβαιότητα του πειράματος είναι: Βλέποντας τις 2 ευθείες της αβεβαιότητας καταλαβαίνουμε ότι είναι αρκετά απίθανο να επιλέξουμε είτε την ευθεία Α ή την ευθεία Β σαν την ευθεία της καλύτερης προσαρμογής. Επομένως έχουμε υπερεκτιμήσει την αβεβαιότητα. Xρόνος, t(sec) Μια προσεκτικότερη ανάλυση δείχνει ότι θα πάρουμε μια πιο καλή εκτίμηση της αβεβαιότητας αν διαιρέσουμε την προηγούμενη εκτίμησή μας με τη τετραγωνική ρίζα του αριθμού των μετρήσεών μας. 15

H εξίσωση αυτή δίνει την εκτίμηση της πιο πιθανής αβεβαιότητας. Στο παρονομαστή, για Ν=1, Δm= και αυτό είναι λογικό μια και από ένα σημείο μπορούμε να έχουμε οποιαδήποτε ευθεία. Για Ν=2 μια γραμμή μόνο μπορεί να χαραχθεί από 2 σημεία. Στην περίπτωση αυτή το παρ/μο της αβεβαιότητας προέρχεται μόνο από τις αβεβαιότητες των δύο αυτών σημείων και επομένως είναι λογικό Δm = (m A -m B )/2. Για Ν >> 2 η αβεβαιότητα ελλατώνεται σύμφωνα με τη ρίζα του αριθμού των μετρήσεων Ν και αυτό είναι το αποτέλεσμα που βρήκαμε όταν υπολογίσαμε του σφάλματος της μέσης τιμής. Αυτό δεν αποτελεί τη λύση του προβλήματος αλλά είναι κάποια πολυ λογική και καλή προσέγγιση. Η εύρεση της αβεβαιότητας της τετμημένης προχωρά σύμφωνα με τα όσα αναπτύξαμε για την αβεβαιότητα της κλίσης της ευθείας. Κάνοντας τις πράξεις έχουμε ότι Η αβεβαιότητα της κλίσης είναι ίδιας τάξης με τα δεδομένα αλλά η αβεβαιότητα της τετμημένης είναι περίπου 50%. 16

Στη περίπτωση της κλίσης παίρνουμε μια μέση τιμή ενώ για τη τετμημένη προεκτείνουμε σε περιοχή μακριά από τα δεδομένα και σε χρόνους που δεν έχουμε πειραματικές μετρήσεις και είναι επόμενο να έχουμε μεγαλύτερη αβεβαιότητα. Σε κάποιο σημείο όχι πολύ μακριά από τα δεδομένα η αβεβαιότητα σχετικά με τη θέση του σώματος τη χρονική στιγμή t=0 μπορεί να γίνει ίση με 100% και μεγαλύτερη ακόμα. Αυτό σημαίνει ότι το πείραμά μας είναι πολύ δύσκολο να προσδιορίσει το τι κάνει το σώμα σε μια προγενέστερη χρονική στιγμή στην οποία δεν υπάρχουν μετρήσεις Μπορούμε δηλαδή να εκφράσουμε άποψη μόνο σχετικά με τη κίνηση στο διάστημα που μετρήσαμε αλλά όχι πέρα από αυτό. Μπορεί να προσπαθήσει κάποιος να επιχειρηματολογήσει ότι αν το σώμα κινείται με σταθερή ταχύτητα κατά τη διάρκεια του διαστήματος ότι κινείται με τον ίδιο τρόπο έξω από το χρονικό διάστημα της μέτρησής μας. Αυτό μπορεί να είναι σωστό αλλά δεν έχουμε μετρήσεις οι οποίες μπορούν να δείξουν ότι αυτό συμβαίνει. Για να ελαττώσουμε την αβεβαιότητα χρειαζόμαστε περισσότερες μετρήσεις. Ένα τελευταίο σημείο. Ακόμα και αν υπήρχε πειραματικό σημείο στον y-άξονα αυτό δεν σημαίνει ότι δεν υπάρχει αβεβαιότητα στη τιμή της τετμημένης. Αυτό γιατί η ευθεία καλύτερης προσαρμογής δεν είναι απαραίτητο να περνά από όλα τα πειραματικά σημεία όπως συμβαίνει και στο παράδειγμά μας. 17

Ημιλογαριθμι κό χαρτί Πολλές φορές τα δεδομένα μας δεν περιγράφονται από μια απλή ευθεία αλλά ο νόμος της φυσικής που περιγράφει το φαινόμενο έχει μια εκθετική μορφή. Για παράδειγμα η ραδιενεργός διάσπαση κάποιων ραδιοισοτόπων. Η διάσπαση ακολουθεί εκθετική μορφή σύμφωνα με τη σχέση. t/ A t A 0 e Όπου Α 0 είναι η ενεργότητα τη στιγμή t=0 και τ η σταθερά διάσπασης. Μπορούμε και πάλι να χρησιμοποιήσουμε την ίδια τεχνική για να βρούμε τη σταθερά διάσπασης και την αρχική ενεργότητα του δείγματος. Αρκεί να γράψουμε την παραπάνω εξίσωση σε γραμμική μορφή. Η μετατροπή της εκθετικής εξίσωσης σε γραμμική γίνεται εύκολα λογαριθμίζοντας την εξίσωση. ln A t ln A0e ln A0 ln A0 t t/ t Ο όρος ln[a 0 ] αντιπροσωπεύει το σταθερό όρο της εξίσωσης της ευθείας ενώ ο όρος λ= - 1 /τ την κλίση της. Ο όρος t αποτελεί την ανεξάρτητη μεταβλητή ενώ ο λογάριθμος της ενεργότητας, ln[a(t)], την εξαρτόμενη μεταβλητή. Για την γραφική παράσταση θα μπορούσαμε να υπολογίσουμε τους λογαρίθμους και να χρησιμοποιήσουμε χιλιοστομετρικό χαρτί ή να χρησιμοποιήσουμε το λεγόμενο ημιλογαριθμικό χαρτί. 18

Ενεργότητα, Α(χτύποι/sec) Ημιλογαριθμ ικό χαρτί Η χρήση του λογαριθμικού χαρτιού διευκολύνει στη περίπτωση αυτή γιατί μπορούμε να θέσουμε τις μετρήσεις μας απευθείας στο γράφημα χωρίς επιπλέον υπολογισμούς. Το χαρτί περιέχει το κάθετο άξονα με τέτοιο τρόπο ώστε οι Κατακόρυφες αποστάσεις να είναι ανάλογες των επιθυμητών λογαρίθμων. Ο παρακάτω πίνακας περιέχει τα δεδομένα της ραδιενεργούς διάσπασης. Πίνακας 2. Ενεργότητα ως προς χρόνο για το ραδιενεργό δείγμα. Χρόνος (min) Ενεργότητα Α και ΔΑ (χτύποι/s) 1 1010±31 2 740±28 3 585±24 4 435±21 5 325±18 1200 1000 800 600 400 200 0 1 2 3 4 5 6 xρόνος t (min) Σχήμα 5: Ενεργότητα ως προς χρόνο για το ραδιενεργό δείγμα. 19

Ενεργότητα Για παράδειγμα: 1010 325 ln / sec ln / sec 1min 5min 0. 28 min 3. 50 min Η τετμημένη θα δίνεται από A 0 1300 60sec sec 1min 4 7. 80 10 / min 10 5 10 0 9 8 7 6 5 4 3 2 4 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1000 10 9 8 7 6 5 4 3 A t 7. 80 10 e 4 t / 3. 50 100 2 10 9 8 7 6 5 4 3 2 10 1 1 2 3 4 5 6 t (min) 20

Log-Log χαρτί (λογαριθµικό λογαριθµικό) Πολλές φορές µπορούµε να βρούµε την συναρτησιακή εξάρτηση ενός φυσικού µεγέθους y από το ανεξάρτητο µέγεθος x, θεωρώντας το λογάριθµο των δεδοµένων που µετράµε. Αν το εξαρτόµενο µέγεθος y ειναι ανάλογο κάποιας δύναµης του ανεξάρτητου µεγέθους x, τότε το γράφηµα τou y ως προς x, σχεδιαζόµενο σε ένα λογαριθµικό-λογαριθµικό χαρτί θα είναι ευθεία η κλίση της οποίας θα είναι ίση µε τον εκθέτη στον οποίο είναι υψωµένο το ανεξάρτητο µέγεθος. Για παράδειγµα, έστω ότι µετρούµε κάποια δεδοµένα τα οποία κατανέµονται σύµφωνα µε την εξίσωση y = x n Θεωρώντας το λογάριθµο θα έχουµε: log(y)= log(x n ) log(y)= nlog(x) Προφανώς από ένα γράφηµα µε λογαριθµικούς άξονες µπορούµε να βρούµε αµέσως τη κλίση. Αν είχαµε περισσότερο πολύπλοκη µορφή: y = Ax n log(y)= log(ax n )= log(a)+ nlog(x) Έχει διαφορά στο γράφηµα αν θεωρήσουµε Log 10 ή ln (log e ) σχέσεις?

Log-Log χαρτί (λογαριθµικό λογαριθµικό) 10 9 8 7 5 4 3 2 Χ Υ 5 10 15 90 30 360 50 1000 95 3610 10 4 10 9 8 7 6 5 4 3 2 10 1000 9 8 7 6 5 4 3 2 100 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 10 1 2 3 4 5 6 7 8 910 10 2 3 4 5 6 7 8 910 3 4 5 6 7 8 910 100 1000

Ιστογράμμα τα Τα ιστογράμματα αποτελούν ένα εύχρηστο οπτικό τρόπο για να εξάγουμε την κατανομή που ακολουθούν μια σειρά μετρήσεων ενός μεγέθους αλλά και παράλληλα δίνουν τη δυνατότητα για εύκολη στατιστική ανάλυση των μετρήσεων. Αν έχουμε μια σειρά από μεγάλο αριθμό μετρήσεων ενός μεγέθους τότε μπορούμε να ταξινομήσουμε τις μετρήσεις και να βρούμε τη συχνότητα εμφάνισης κάθε τιμής. Συνήθως δεν κρατάμε κάθε μέτρηση ξεχωριστά αλλά χωρίζουμε το εύρος των τιμών σε κατάλληλα ίσα υποδιαστήματα και αθροίζουμε τις τιμές που πέφτουν σε κάθε υποδιάστημα, Με το τρόπο αυτό πέρνουμε τη κατανομή της συχνότητας εμφάνισης κάθε τιμής. Για παράδειγμα έστω ότι μετρήσαμε κάποιο μέγεθος 30 φορές και βρήκαμε: 8.16 8.10 8.12 8.12 8.16 8.16 8.14 8.18 8.12 8.10 8.21 8.14 8.12 8.18 8.17 8.14 8.14 8.17 8.16 8.18 8.06 8.09 8.16 8.18 8.18 8.24 8.10 8.16 8.13 8.21 Δηλαδή κάθε τμή x i εμφανίζεται n i φορές H μέση τιμή μπορεί να γραφεί: x N x x n i k k Oι τιμές του μετρήσεων εμφανίζονται με την ακόλουθη συχνότητα: Τιμή # Τιμή # Τιμή # 8.06 1 8.13 1 8.20 0 8.07 0 8.14 4 8.21 2 8.08 0 8.15 0 8.22 0 8.09 1 8.16 6 8.23 0 8.10 3 8.17 2 8.24 1 8.11 0 8.18 5 8.12 4 8.19 0 nk 23

Ιστογράμματα Ομαδοποιόντας τις μετρήσεις τότε βρίσκουμε ευκολότερο πόσο συνεισφέρει κάθε τιμή στο άθροισμα της μέσης τιμής, Σx k n k Στο παράδειγμα οι τιμές όλες οι τιμές βρίσκονται στο διάστημα 8.00-8. 30 και άρα η ακριβής τιμή θα βρίσκεται στο διάστημα. Εφόσον οι τιμές 8.12 8. 18 είναι οι πιο συχνές περιμένουμε ότι και η πραγματική τιμή θα είναι στο υποδιάστημα αυτό. Όντως η μέση τιμή είναι 8.15. Συνήθως χωρίζουμε το διάστημα σε ίσα υποδιαστήματα κατάλληλου μήκους ώστε στο καθένα να συμπεριλαμβάνεται μεγάλος αριθμός μετρήσεων και βρίσκουμε το ποσοστό των μετρήσεων σε κάθε διάστημα. n F N Fk fk x k k Πιθανότητα να βρεθεί μια μέτρηση στο διάστημα k. k k k k Το ιστόγραμμα αποτελεί τη γραφική παράσταση της f k ως προς το x H ολική επιφάνεια των ορθογωνίων θα είναι ίση με την μονάδα: F 1 f x x F x Πυκνότητα Πιθανότητας μεταβλητής x να βρεθεί στο k- δ ιάστημα Δx, το ποσοστό δηλαδή των μετρήσεων στο διάστημα Δx k k k k f k 8 6 4 2 0 8.05 8.10 8.15 8.20 8.25 8.30 x Στη περίπτωση αυτή χρησιμοποιούμε σα Δx=0.04cm Αν αριθμός των μετρήσεων γίνει αρκετά μεγάλος τότε το ιστόγραμμα πέρνει τη μορφή της κατανομής από την οποία προέρχονται οι μετρήσεις. Η καμπύλη αποτελεί την οριακή κατανομή 24

Ιστογράμματα - Ορια κή κατανομή Η οριακή κατανομή είναι μια θεωρητική καμπύλη που δεν μπορεί να προκύψει ποτέ από τις μετρήσεις. Το εμβαδό κάθε παρ/μου του ιστογράμματος είναι ισοδύναμο με τον αριθμό μετρήσεων που περιλαμβάνεται στο διάστημα αυτό. f b x dx a f x dx f x dx 1 πιθανότητα μια μέτρηση να περιλαμβάνεται μεταξύ x και x+δx ποσοστό μετρήσεων μεταξύ x=α και x=b, η πιθανότητα δηλαδή μια μέτρηση να «πέσει» στο διάστημα α,b Η πιθανότητα μια μέτρηση να βρίσκεται μεταξύ - και + Λέμε τότε ότι η f(x) είναι κανονικοποιημένη 25

Ιστογράμματα - Οριακή κατανομή πολλών μετρήσεων Αν ξέρουμε την οριακή κατανομή μπορούμε να υπολογίσουμε τη μέση τιμή. Αν οι μέτρησεις επηρεάζονται από πολλές πηγές μικρών τυχαίων σφαλμάτων τότε η οριακή κατανομή προσεγγιζει αυτή της κατανομής Gauss. Για πολύ μεγάλο αριθμό μετρήσεων και για τυχαία μικρά σφάλματα οι τιμές που αποκλίνουν πολύ από τη μέση τιμή κατανέμονται συμμετρικά ως προς τη μέση τιμή τότε στην άθροιση της εύρεσης της μέσης τιμής αυτές οι τιμές αλληλοαναιρούνται και η τελική τιμή πλησιάζει την πιστή τιμή του μεγέθους. Η πιθανότητα να πάρουµε µια τιµή x στο διάστηµα x 1 και x 1 +dx είναι: Η πιθανότητα να πάρουµε µια τιµή x στο διάστηµα x 2 και x 2 +dx είναι: Αν συνεχίσουµε για όλες τις τιµές x N τότε η πιθανότητα για την x N : 26

Mέση τιµή σα καλύτερος υπολογισµός αληθινής τιµής H πιθανότητα να παρατηρήσουµε το συγκεκριµένο δείγµα των Ν µετρήσεων είναι το γινόµενο των πιθανοτήτων: Δεδοµένων Ν παρατηρούµενων τιµών x 1, x 2,, x N o καλύτερος υπολογισµός της πραγµατικής τιµής είναι αυτός που πέρνουµε αν µεγιστοποιήσουµε την πιθανότητα. Αυτό θα συμβεί όταν το άθροισμα στον εκθέτη είναι ελάχιστο. Εποµένως θα πρέπει: Ανάλογα ο καλύτερος υπολογισµός της τυπικής απόκλισης βρίσκεται ότι είναι: 27

Gaussian Κατανομή Όπως αναφέραμε η πιθανότητα να κείται μια τιμή στο διάστημα x x+dx δίνεται για συνεχείς κατανομές από την πυκνότητα πιθανότητας f(x)dx. Αν η μεταβλητή x ακολουθεί κανονική κατανομή τότε f(x) είναι η συνάρτηση Gauss και η πιθανότητα να κείται μια τιμή του x στο διάστημα (μ-σ, μ+σ) δίνεται από: ( x) f, p ( x) dx 28

Gaussian Κατανομή Το ολοκλήρωμα αυτό δεν μπορεί να προσδιοριστεί αναλυτικά, υπολογίζεται ωστόσο αριθμητικά (ισούται με το εμβαδό της καμπύλης στο διάστημα (μ-σ, μ+σ)) και δίνει p 0.68. Δηλαδή η πιθανότητα να κείται μια μέτρηση του μεγέθους x στο διάστημα (μ-σ, μ+σ) είναι 68%, ενώ η αντίστοιχη πιθανότητα για το διάστημα μ-2σ και μ+2σ είναι 95.4%. και αυτή για το διάστημα μ-3σ και μ+3σ είναι 99.7% (εμπεριέχονται πρακτικά όλες οι μετρούμενες τιμές). 29

Εύρεση καλύτερης ευθείας προσαρμογής Μέθοδος ελαχίστων τετραγώνων (μέθοδος χ 2 ) Όπως είδαμε στη γραφική εύρεση της καλύτερης ευθείας προσαρμογής, αυτό που ενδιαφερόμαστε είναι ο καθορισμός των παραμέτρων της συνάρτησης (π.χ. μιας ευθείας) που περιγράφει τα δεδομένα. Δύο μεθόδοι: Ελαχίστων τετραγώνων ή χ 2 Μέγιστης πιθανότητας - maximum likelihood Υποθέτουμε ότι έχουμε μια συνάρτηση y μιας μεταβλητής x και μια σειρά παραμέτρων Έστω ότι μετρήσαμε διάφορες τιμές του y για κάποιες τιμές της ανεξάρτητης μεταβλητής x. Επομένως θα έχουμε Ν ζεύγη τιμών Ορίζουμε σαν χ 2 τη ποσότητα: H μέθοδος των ελαχίστων τετραγώνων δηλώνει ότι η καλύτερη εκτίμηση των παραμέτρων θ i επιτυγχάνεται όταν βρεθεί μια ομάδα τιμών θ i για τις οποίες η συνάρτηση χ 2 είναι ελάχιστη. 30

Μέθοδος ελαχίστων τετραγώνων - χ 2 Αν οι αποκλίσεις κάθε μέτρησης, σ i, είναι ίσες τότε η σχέση απλουστεύεται Είναι σημαντικό να προσέξετε ότι η μέθοδος όπως ορίστηκε χρειάζεται τη γνώση των αβεβαιοτήτων σ i και ότι υποθέτει ότι δεν υπάρχουν αβεβαιότητες στη γνώση της ανεξάρτητης μεταβλητής x. Aβεβαιότητες στις τιμές x i μπορούν να αγνοηθούν εφόσον: Αγνοώντας τις αβεβαιότητες, η μέθοδος ελαχίστων τετραγώνων είναι απλά το άθροισμα των αποστάσεων κάθε μέτρησης y i από τα σημεία της θεωρητικής καμπύλης (x i,y i (x i )). Ελαχιστοποιώντας τη συνάρτηση ψάχνουμε τα σημεία της καλύτερης καμπύλης για τα οποία αυτή η απόσταση ελαχιστοποιείται. H εισαγωγή των αβεβαιοτήτων είναι απαραίτητη αν θέλουμε να κάνουμε στατιστική ανάλυση των αποτελεσμάτων διαφορετικά είναι απλό γεωμετρικό πρόβλημα. 31

Εφαρμογή χ 2 - εύρεση παραμέτρων ευθείας Ας υποθέσουμε ότι η συνάρτηση την οποία θέλουμε να προσαρμόσουμε στα σημεία των μετρήσεων μας είναι της μορφής: y(x)= ax + b Θα υποθέσουμε ακόμα ότι οι αβεβαιότητες σ i των y i είναι όλες ίσες μεταξύ τους. Επομένως,το πρόβλημα εύρεσης των παραμέτρων α και b έγγυται στην ελαχιστοποίησης της συνάρτησης χ 2 ως προς α και b. Η ελαχιστοποίηση γίνεται πέρνοντας τη μερική παράγωγο της χ 2 εξισώνοντας με μηδέν: ως προς α και b και και λύνοντας το σύστημα των γραμμικών εξισώσεων που προκύπτει προς α και b. 32

33

34

35

Εύρεση αβεβαιότητας παραµέτρων ευθείας Οι αβεβαιότητες των α και b βρίσκονται από εφαρμογή διάδοσης σφαλμάτων και πολύ άλγεβρα 36

37

38

39

40

Μετρήσεις ίδιου μεγέθους με διαφορετικά σφάλματα Η πιθανότητα για τα δυό αποτελέσματα ταυτόχρονα είναι Αυτή η πιθανότητα θέλουμε να είναι μέγιστη y 2 πρέπει να είναι ελάχιστο Αλλά y 2 ελάχιστο όταν dy2 dx = 0 Επομένως παραγωγίζοντας και εξισώνοντας με 0 έχουμε: 41

Αβεβαιότητα της τιμής Χ συνδυασμού μετρήσεων Χρησιμοποιώντας το γενικό τύπο διάδοσης σφαλμάτων για τις μετρήσεις x i έχουμε 42

Παράδειγμα Έστω ότι μετρήθηκε μια ωμική αντίσταση πολλές φορές από τρια άτομα και βρέθηκε R 1 = (11.0 ± 1.0)Ω, R 2 = (12.0 ± 1.0)Ωκαι R 3 = (10.0 ± 3.0)Ω.Ποιά η καλύτερη τιμή της R και ποια η αβεβαιότητα της; Έπομένως το τελικό αποτέλεσμα είναι: Χ = ( 11.4 ± 0.7) Ω Αγνοώντας τη τρίτη μέτρηση με το μεγαλύτερο σφάλμα βρίσκουμε Χ= ( 11.5 ± 0.7) Ω Δηλαδή η τρίτη και χειρότερη μέτρηση ουσιαστικά δεν συνεισφέρει στη τελική. 43

44

Κριτήριο απόρριψης τιμών Έστω ότι κάποιος μετρώντας ένα μέγεθος 7 φορές βρήκε τις ακόλουθες τιμές 32.8 29.2 33.5 30.7 31.8 28.8 και 49.3 Η τελευταία μέτρηση φαίνεται αρκετά μεγαλύτερη από όλες τις υπόλοιπες και έξω από το διάστημα το οποίο περιέχει τις περισσότερες μετρήσεις. Στην περίπτωση αυτή ελέγχουμε για κάποιο λάθος. Αν δεν μπορεί να αποδοθεί λάθος μπορούμε να την απορρίψουμε σύμφωνα με το ακόλουθο κριτήριο. Αν πληρούνται οι προυποθέσεις για κάνουν την κατανομή των μετρήσεών μας Gaussian τότε μπορούμε να υπολογίσουμε την πιθανότητα να προκύψει κάποια τιμή πολύ διαφορετική από τις υπόλοιπες. Θεωρούμε όλες τις μετρήσεις αξιόπιστες και υπολογίζουμε τη μέση τιμή τους και τυπική απόκλιση. H μέτρηση που δεν συμφωνεί με τις υπόλοιπες διαφέρει από τη μέση τιμή κατά. 49.3 x 15.6 2.2 7.1 P 2.2 1 P 2.2 x H πιθανότητα να προκύψει μια μέτρηση από μια Gaussian κατανομή με τιμή ίση ή και μεγαλύτερη από την μέση τιμή κατά t=2.2σ δίνεται από: Το ολοκλήρωμα της Gaussian βρίσκεται από πίνακες Επομένως, x 33.7, x 7.1 P 2.2 x 1 0.9772 0.0228 Οπότε για 7 μετρήσεις παίρνει: 0.0228 7=0.16 < 0.5 Άρα απορρίπτει την τιμή 49.3, άρα τελικά x 31.1, x 1.9 x P 2.2 x =97.72%.

46

Στατιστική Περιγραφή Φυσικού Μεγέθους - Πιθανότητες Είπαμε ότι γενικά τα συστηματικά σφάλματα που υπεισέρχονται σε μια μέτρηση ενός φυσικού μεγέθους είναι γενικά δύσκολο να επισημανθούν και να διορθωθούν. Ωστόσο τα τυχαία σφάλματα μπορούν να ληφθούν υπόψη αν η μέτρηση επαναληφθεί πολλές φορές. Σε αυτή την περίπτωση μπορούν να χρησιμοποιηθούν στατιστικές μεθόδους με τις οποίες είναι δυνατό να προσδιορίσουμε την πιθανότητας εμφάνισης των δυνατών εκδοχών της μέτρησης Για να προσδιορίσουμε μια ακριβή πιθανότητα εμφάνισης θεωρούμε μεγάλο αριθμό Ν από πανομοιότυπα συστήματα με αυτό που μελετούμε (ίδιες συνθήκες μέτρησης). Αν Ν r είναι ο αριθμός των συστημάτων στα οποία εμφανίζεται η εκδοχή r ορίζουμε σαν πιθανότητα εμφάνισης το μέγεθος: Δηλαδή αν ο αριθμός των πειραμάτων γίνει πολύ μεγάλος περιμένουμε η επανάληψη της ίδιας παρατήρησης να οδηγεί σε αυξανόμενη δυνατότητα αναπαραγωγής σύμφωνα με το λόγο p r και παύει να είναι αβέβαιος για N. Οι τιμές της p r μπορεί να είναι μεταξύ 0 και 1 Τυχαία θεωρούμε μια μεταβλητή της οποίας κάθε τιμή αντιστοιχεί σε κάθε δυνατή εκδοχή του πειράματος. Διακεκριμένη αν οι τιμές που μπορεί να πάρει είναι αριθμήσιμες. Συνεχής αν μπορεί να πάρει οποιαδήποτε τιμή σε ένα διάστημα. 47

48

49

Παράδειγμα 2 Αν ρίξουμε ένα ζάρι σε ένα τραπέζι υπάρχουν 6 εκδοχές για το αποτέλεσμα. Η έκβαση της ρίψης του ζαριού θα μπορούσε να προβλεφθεί αν γνωρίζαμε πως ακριβώς ρίχνεται το ζάρι καθώς και την δύναμη που ασκεί πάνω του το τραπέζι. Καθώς δεν έχουμε αυτές τις πληροφορίες και ακόμη και αν τις γνωρίζαμε θα χρειαζόμασταν εξαιρετικά πολύπλοκους υπολογισμούς, δεν μπορούμε να προβλέψουμε το αποτέλεσμα. Αυτό ωστόσο που μπορούμε να πούμε αν το ζάρι είναι ομοιογενές είναι ότι μετά από ένα μεγάλο αριθμό ρίψεων, θα προκύψει ίσος αριθμός αποτελεσμάτων 1-6. Αν n αποτελεί την τυχαία μεταβλητή που εκφράζει τα πιθανά αποτελέσματα της ρίψης του ζαριού και ονομάσουμε p(n) την αντίστοιχη πιθανότητα, η στατιστική περιγραφή της ρίψης δίδεται από τον πίνακα n 1 2 3 4 5 6 p(n) 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 Ποια η αναμενόμενη τιμή και ποια η διασπορά του n στο παράδειγμα αυτό; 50

Στατιστική Περιγραφή Φυσικού Μεγέθους Ας θέσουμε τώρα το ερώτημα: Σε ένα σύνολο μετρήσεων Ν θέλουμε να βρούμε την πιθανότητα να έχουμε την τιμή Ν r ή N s. Σύμφωνα με τα προηγούμενα αυτή θα δίνεται από: p( r, s) N r N N s N N r N N s p r p s Αν υποθέσουμε τώρα ότι κάθε μέτρηση δίνει δύο αποτελέσματα, στατιστικά ανεξάρτητα μεταξύ τους το ένα από τα οποία χαρακτηρίζεται από τον δείκτη r (με r = 0,1,2 ) και το άλλο από τον δείκτη s (με s=0,1,2 ) τότε η πιθανότητα της συνδυασμένης εμφάνισης του αποτελέσματος r και του s δίνεται από: p rs N N rs Στο στατιστικό σύνολο, Ν r μετρήσεις εμφανίζουν το αποτέλεσμα r και από αυτές υπάρχει πιθανότητα p s να εμφανίζουν και το αποτέλεσμα s. Επομένως ο αριθμός Ν rs των μετρήσεων που εμφανίζουν τα r και s δίνεται από: N rs N r p s p rs Nr p N s p r p s 51

52

Διωνυμική Κατανομή Παράδειγμα Ρίχνουμε τέσσερα νομίσματα σε ένα τραπέζι και μετρούμε πόσα από αυτά δείχνουν γράμματα. Ποια η πιθανότητα να προκύψει ένα από τα παρακάτω αποτελέσματα: α) n=0, β) n=1,γ) n=2, δ) n=3, ε) n=4 Κάθε νόμισμα μπορεί να δείξει κορώνα ή γράμματα ανεξάρτητα από το τι θα δείξουν τα άλλα 3, επομένως έχουμε 4 στατιστικά ανεξάρτητα γεγονότα. Ένα γεγονός πραγματοποιείται όταν το νόμισμα φέρνει γράμματα και η πιθανότητα να πραγματοποιηθεί (μην πραγματοποιηθεί το γεγονός) είναι p = 0.5 (q =0.5), αντίστοιχα, επομένως μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε την συνάρτηση διωνυμικής κατανομής p(n) για να προσδιορίσουμε τις πιθανότητες: 4! 1 p(0) ( ) 0!4! 2 4! 1 1 p(1) ( ) ( 1!3! 2 4! 1 p(2) ( ) 2!2! 2 4! 1 3 p(3) ( ) 31!! 2 p(4) 4! ( 4!0! 1 ) 2 0 1 ( ) 2 1 3 ) 2 2 1 ( ) 2 1 1 ( ) 2 4 1 ( ) 2 4 0.25ή25% 2 0.25ή25% 2 0.0625ή6.25% 0.375ή37.5% 0.0625ή6.25% Γραφική Παράσταση; 53

54

55

Παράδειγμα Έστω ότι έχουμε ένα ανεξάρτητο δείγμα x = 0.89, 0.03, 0.50, 0.36, 0.49 έχουν δημιουργηθεί από μια συνάρτηση: x, 1. 0 x 0. 5 x 0, 1 P(x) 0 0 1 Για α =+1.0 τότε ln(1.39)+ln(0.53)+ln(1.0)+ln(0.86)+ln(0.99) = -0.47 Για α =-1.0 τότε ln(0.61)+ln(1.47)+ln(1.0)+ln(1.14)+ln(1.01) = 0.03 Βλέπουμε ότι maximum Likelihood εμφανίζεται για α = -0.6, άρα αυτή η τιμή είναι το maximum Likelihood estimate 56

57

58