ΘΕΜΑ Α ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 30 ΜΑΪΟΥ 04 - ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ: ΠΕΝΤΕ (5) Α. Α η συάρτηση f είαι παραγωγίσιμη στο και c σταθερός πραγματικός αριθμός, α αποδείξετε με τη χρήση του ορισμού της παραγώγου ότι ( ( )) ( ) c f = c f, για κάθε R www.emafotts.gr ΤΕΛΟΣ ΗΣ ΑΠΟ 5 ΣΕΛΙ ΕΣ Μοάδες 7 Α. Πότε μια συάρτηση f λέγεται γησίως φθίουσα σε έα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της; Μοάδες 4 Α3. Πότε μια ποσοτική μεταβλητή λέγεται διακριτή και πότε συεχής; Μοάδες 4 Α4. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθού, γράφοτας στο τετράδιό σας, δίπλα στο γράμμα που ατιστοιχεί σε κάθε πρόταση, τη λέξη Σωστό, α η πρόταση είαι σωστή, ή Λάθος, α η πρόταση είαι λαθασμέη. =, και η α) Α για τη συάρτηση f ισχύει f ( ) 0, για ( α,β) 0 0 παράγωγός της f διατηρεί πρόσημο εκατέρωθε του 0 γησίως μοότοη στο ( ) αυτό., τότε η f είαι α,β και δε παρουσιάζει ακρότατο στο διάστημα (μοάδες ) β) Για δύο οποιαδήποτε εδεχόμεα Α, Β εός δειγματικού χώρου Ω ισχύει: P A B = P B P A B ( ) ( ) ( ) (μοάδες ) γ) Σε μια καοική ή περίπου καοική καταομή το 95% περίπου τω παρατηρήσεω βρίσκοται στο διάστημα ( s, s) τιμή και s η τυπική απόκλιση τω παρατηρήσεω. +, όπου η μέση (μοάδες )
ΘΕΜΑ Β ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ δ) Α είαι τιμή μιας ποσοτικής μεταβλητής X, τότε η αθροιστική συχότητα N εκφράζει το πλήθος τω παρατηρήσεω που είαι μεγαλύτερες της τιμής (μοάδες ) ε) Το κυκλικό διάγραμμα είαι έας κυκλικός δίσκος χωρισμέος σε κυκλικούς τομείς, τα εμβαδά ή, ισοδύαμα, τα τόξα τω οποίω είαι αάλογα προς τις ατίστοιχες συχότητες v ή τις σχετικές συχότητες f τω τιμώ της μεταβλητής. (μοάδες ) Μοάδες 0 Στο παρακάτω σχήμα φαίεται το ιστόγραμμα συχοτήτω, το οποίο παριστάει τις πωλήσεις σε χιλιάδες ευρώ που έγια από τους πωλητές μιας εταιρείας κατά τη διάρκεια εός έτους. αριθμός πωλητώ 4 0 8 6 4 6 8 0 Β. Να βρείτε το πλήθος τω πωλητώ της εταιρείας. πωλήσεις σε χιλιάδες ευρώ Μοάδες 5 Β. Να μεταφέρετε στο τετράδιό σας το παρακάτω πίακα συχοτήτω της καταομής τω πωλήσεω κατάλληλα συμπληρωμέο, δικαιολογώτας τη στήλη με τις σχετικές συχότητες f, =,, 3, 4 ΤΕΛΟΣ ΗΣ ΑΠΟ 5 ΣΕΛΙ ΕΣ www.emafotts.gr
ΑΡΧΗ 3ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ Β3. α) Να υπολογίσετε τη μέση τιμή τω πωλήσεω του έτους. ΘΕΜΑ Γ www.emafotts.gr ΤΕΛΟΣ 3ΗΣ ΑΠΟ 5 ΣΕΛΙ ΕΣ Μοάδες 8 (μοάδες 6) β) Να βρείτε το πλήθος τω πωλητώ που έκαα πωλήσεις τουλάχιστο 4,5 χιλιάδω ευρώ (θεωρούμε ότι οι παρατηρήσεις κάθε κλάσης είαι ομοιόμορφα καταεμημέες). (μοάδες 6) Μοάδες Έα δοχείο περιέχει κόκκιες (Κ), άσπρες (Α) και πράσιες (Π) μπάλες. Επιλέγουμε τυχαία μία μπάλα. Η πιθαότητα α προκύψει κόκκιη μπάλα είαι P(Κ) =, εώ η πιθαότητα α προκύψει άσπρη μπάλα είαι P(Α) =, όπου, είαι οι θέσεις τω τοπικώ ακροτάτω της συάρτησης 7 3 f() = 4 +, με < Γ. Να βρείτε τις πιθαότητες P(Κ), P(A) και P(Π), όπου P(Π) η πιθαότητα α προκύψει πράσιη μπάλα. Γ. Α P(Κ) 4 εδεχομέω: Kλάσεις Σύολο = και P(A) Κετρικές τιμές 3 Συχότητα Μοάδες 0 =, α βρείτε τις πιθαότητες τω παρακάτω Γ: «η μπάλα που επιλέγεται τυχαία α είαι κόκκιη ή άσπρη» Δ: «η μπάλα που επιλέγεται τυχαία α είαι ούτε κόκκιη ούτε άσπρη» Ε: «η μπάλα που επιλέγεται τυχαία α είαι άσπρη ή α μη είαι πράσιη». Μοάδες 9 Σχετική συχότητα f
ΑΡΧΗ 4ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ Γ3. Α οι άσπρες μπάλες είαι κατά τέσσερις (4) λιγότερες από τις πράσιες μπάλες, α βρείτε πόσες μπάλες έχει το δοχείο. Μοάδες 6 ΘΕΜΑ Δ Θεωρούμε έα κουτί σχήματος ορθογωίου παραλληλεπιπέδου με βάση ορθογώιο και αοικτό από πάω. 5 dm Το ύψος του κουτιού είαι 5 dm. Η βάση του κουτιού έχει σταθερή περίμετρο 0 dm και μία πλευρά της είαι dm με 0 < < 0 Δ. Να αποδείξετε ότι η συολική επιφάεια του κουτιού ως συάρτηση του είαι E() = + 0 + 00, 0, 0 ( ) και α βρείτε για ποια τιμή του το κουτί έχει μέγιστη επιφάεια. Στη συέχεια, θεωρούμε τα σημεία A (, y ), όπου ( ) 5 = < <... < < = 9 με 4 5 Δ. Α το δείγμα τω τετμημέω, =,,...,5 ( ) A,y dm δε είαι ομοιογεές y = E, =,,...,5 Μοάδες 8 www.emafotts.gr τω παραπάω σημείω έχει μέση τιμή = 8 και τυπική απόκλιση s τέτοια, ώστε s - 5s + = 0 τότε: α) α αποδείξετε ότι s= (μοάδες 4) ΤΕΛΟΣ 4ΗΣ ΑΠΟ 5 ΣΕΛΙ ΕΣ
ΑΡΧΗ 5ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ β) α βρείτε τη μέση τιμή τω Δίεται ότι: s = = t, με =,,...,5 = Δ3. Επιλέγουμε τυχαία έα από τα παραπάω σημεία ( ) Να βρείτε τη πιθαότητα του εδεχομέου: t ΣΑΣ ΕΥΧΟΜΑΣΤΕ KΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ ΤΕΛΟΣ ΜΗΝΥΜΑΤΟΣ ΤΕΛΟΣ 5ΗΣ ΑΠΟ 5 ΣΕΛΙ ΕΣ (μοάδες 4) Μοάδες 8 A, y, =,,...,5 { ( ) } Β = Α, y, =,,...,5 τέτοια, ώστε y > 4 + 9R +, όπου R είαι το εύρος τω ( ) y = E, =,,...,5 ΟΔΗΓΙΕΣ (για τους εξεταζομέους) Μοάδες 9. Στο εξώφυλλο του τετραδίου α γράψετε το εξεταζόμεο μάθημα. Στο εσώφυλλο πάω-πάω α συμπληρώσετε τα Ατομικά στοιχεία μαθητή. Στη αρχή τω απατήσεώ σας α γράψετε πάω-πάω τη ημερομηία και το εξεταζόμεο μάθημα. Να μη ατιγράψετε τα θέματα στο τετράδιο και α μη γράψετε πουθεά στις απατήσεις σας το όομά σας.. Να γράψετε το οοματεπώυμό σας στο πάω μέρος τω φωτοατιγράφω αμέσως μόλις σας παραδοθού. Τυχό σημειώσεις σας πάω στα θέματα δε θα βαθμολογηθού σε καμία περίπτωση. Κατά τη αποχώρησή σας α παραδώσετε μαζί με το τετράδιο και τα φωτοατίγραφα. 3. Να απατήσετε στο τετράδιό σας σε όλα τα θέματα μόο με μπλε ή μόο με μαύρο στυλό με μελάι που δε σβήει. Μολύβι επιτρέπεται, μόο α το ζητάει η εκφώηση, και μόο για πίακες, διαγράμματα κλπ. 4. Κάθε απάτηση επιστημοικά τεκμηριωμέη είαι αποδεκτή. 5. Διάρκεια εξέτασης: τρεις (3) ώρες μετά τη διαομή τω φωτοατιγράφω. 6. Χρόος δυατής αποχώρησης: 0.30 π.μ. www.emafotts.gr