HY118- ιακριτά Μαθηµατικά Πέµπτη, 02/03/2017 Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε διαφάνειες του Kees van Deemter, από το University of Aberdeen 3/2/2017 1 1 Αποφασισιµότητα Είδαµε δύο τρόπους ελέγχουισοδυναµιών στον προτασιακό λογισµό: 1. Ελέγχοντας τους πίνακες αληθείας 2. Χρησιµοποιώντας νόµους ισοδυναµίας Είδαµε πως το (1) µπορεί να γίνει αλγοριθµικά. Λέµε ότι το να δείξουµε την ισοδυναµία προτάσεων στον προτασιακό λογισµό είναι ένα πρόβληµα αποφασίσιµο (decidable) 3/2/2017 2 2 Αποφασισιµότητα Ο έλεγχος της ισχύος ισοδυναµιών στον προτασιακό λογισµό είναι πρόβληµα αποφασίσιµο Ο έλεγχος της ισχύος ισοδυναµιών στον κατηγορηµατικό λογισµό είναι, γενικά, πρόβληµα µη αποφασίσιµο Εποµένως, η απόδειξη θεωρηµάτων παραµένει «τέχνη» (και για τους ανθρώπους και για τους υπολογιστές!) Ωστόσο, κάτω από προϋποθέσεις, προτάσεις του κατηγορηµατικού λογισµού είναι αποφασίσιµες Βασικές µέθοδοι απόδειξης 3/2/2017 3 3 1
Αποδείξεις Στα µαθηµατικά, µία απόδειξηείναιµία διαδικασία που καθορίζει µε αυστηρό τρόπο την αλήθεια µίας πρότασης. Ορολογία Αξίωµα: Μία πρόταση την οποία θεωρούµε αληθή χωρίς απόδειξη και η οποία εξυπηρετεί στο να ορίζει τις βασικές δοµές µε βάση τις οποίες προσπαθούµε να βγάλουµε περεταίρω συµπεράσµατα. Κανόνες εξαγωγής συµπερασµάτων: Μορφές συλλογισµών που οδηγούν από υποθέσεις σε συµπεράσµατα. Θεώρηµα: Μία πρόταση η οποία έχει αποδειχτεί ότι είναι αληθής. 3/2/2017 5 3/2/2017 6 Oρολογία Λήµµα Ένα θεώρηµα µικρής σηµασίας που χρησιµοποιείται προκειµένου να αποδείξουµε ένα θεώρηµα µεγαλύτερης σηµασίας. Πόρισµα -Ένα θεώρηµα µικρής σηµασίαςτο οποίο αποδεικνύεται εύκολα ως συνέπεια της απόδειξης ενός σηµαντικότερου θεωρήµατος. Εικασία Μία πρόταση για την οποία πιστεύουµε πως είναι αληθής, αλλά η αλήθεια της οποίας δεν έχει αποδειχτεί. Θεωρία Το σύνολο όλων των θεωρηµάτων τα οποία µπορούν να αποδειχτούν από ένα δοσµένο σύνολο αξιωµάτων. Οι αποδείξεις µπορούν να αναπαρασταθούν τυπικά ως διακριτές δοµές. Θα µελετήσουµε ορθούς (αλλά και εσφαλµένους!)κανόνες εξαγωγής συµπερασµάτων, καιαρκετές στρατηγικές απόδειξης. 3/2/2017 7 3/2/2017 8 2
Σηµασία Η απόδειξη ενός θεωρήµατος µας επιτρέπει να βασιστούµε στην ορθότητά του ακόµα και στις πιο κρίσιµες/ειδικές περιπτώσεις. Πέρα από τα µαθηµατικά, η απόδειξη θεωρηµάτων έχει επίσης εφαρµογές στην επαλήθευση προγραµµάτων (program verification), την ασφάλεια υπολογιστών, τα αυτοµατοποιηµένα συστήµατα εξαγωγής συµπερασµάτων, κλπ. Κανόνες εξαγωγής συµπερασµάτων, γενική µορφή Ένας κανόνας εξαγωγής συµπερασµάτων είναι ένα πρότυποτο οποίο καθορίζει πως εάν ένα σύνολο από προϋποθέσεις αληθεύουν, τότε µπορούµε να συνάγουµε ότι ένα συµπέρασµαείναι αληθές. προϋπόθεση 1 προϋπόθεση 2 συµπέρασµα σηµαίνει εποµένως 3/2/2017 9 3/2/2017 10 Κανόνες εξαγωγής συµπερασµάτων & «εάν τότε» Κάθε ορθόςκανόνας εξαγωγής συµπερασµάτων αντιστοιχεί σε µία πρόταση της µορφής «εάν τότε» η οποία αποτελεί ταυτολογία. προϋπόθεση 1 Κανόνας προϋπόθεση 2 Συµπέρασµα Αντίστοιχη ταυτολογία: ((προϋπ. 1) (προϋπ. 2) ) Συµπέρασµα Μερικοίκανόνεςγια τον προτασιακό λογισµό p Κανόνας της πρόσθεσης p q p q Κανόνας της απλοποίησης p p Κανόνας της σύζευξης q p q 3/2/2017 11 3/2/2017 12 3
Modus Ponens & Tollens p Κανόνας modus ponens p q (κανόνας επιβεβαίωσης) q q p q Κανόνας modus tollens p (κανόνας άρνησης) «Συλλογισµοί» p q Κανόνας του υποθετικού q r συλλογισµού p r p q Κανόνας του διαζευκτικού p συλλογισµού q 3/2/2017 13 Αριστοτέλης (384-322 π.χ.) 3/2/2017 14 Ορθότητα των κανόνων εξαγωγής συµπερασµάτων Για καθέναν από αυτούς τους κανόνες, µπορούµε εύκολα να αποδείξουµε την ορθότητά τους... Παράδειγµα: Κανόνας του διαζευκτικού συλλογισµού: ((p q) p) q Το ότι η παραπάνω πρόταση αποτελεί ταυτολογία µπορεί πολύ εύκολα να αποδειχτεί υπολογίζοντας τον πίνακα αληθείας της. Υπενθυµίζω Η πρόταση p q έχει το νόηµα η p q είναι ταυτολογία Η πρόταση p q έχει το νόηµα η p q είναι ταυτολογία 3/2/2017 15 3/2/2017 16 4
Τυπικές αποδείξεις Μία τυπική (formal) απόδειξη ενός συµπεράσµατος C, δοσµένων προϋποθέσεων p 1, p 2,, p n αποτελείται από µία πεπερασµένη ακολουθία βηµάτων, κάθε ένα από τα οποία εφαρµόζει κάποιο κανόνα εξαγωγής συµπερασµάτων στις προϋποθέσεις ή σε ήδη αποδεδειγµένες προτάσεις για να εξάγει µία νέα αληθή πρόταση, µέχρι να καταλήξει στο συµπέρασµα C. Ορθότητα και αλήθεια Λέµε ότι µία απόδειξη είναιορθήαν ποτέ δεν οδηγεί από αληθείςυποθέσειςσε ψευδή συµπεράσµατα. 3/2/2017 17 3/2/2017 18 Oρθήαπόδειξη, και αληθείς υποθέσεις Το συµπέρασµα είναι Oρθήαπόδειξη, και αληθείς υποθέσεις Το συµπέρασµα είναι αληθές 3/2/2017 19 3/2/2017 20 5
Εσφαλµένη απόδειξη, αληθείς υποθέσεις Το συµπέρασµα είναι Εσφαλµένη απόδειξη, αληθείς υποθέσεις Το συµπέρασµα είναι αληθές ή ψευδές 3/2/2017 21 3/2/2017 22 Oρθή απόδειξη, ψευδείς υποθέσεις Το συµπέρασµα είναι Oρθή απόδειξη, ψευδείς υποθέσεις Το συµπέρασµα είναι αληθές ή ψευδές 3/2/2017 23 3/2/2017 24 6
Εσφαλµένη απόδειξη, ψευδείς υποθέσεις Το συµπέρασµα είναι Εσφαλµένη απόδειξη, ψευδείς υποθέσεις Το συµπέρασµα είναι αληθές ή ψευδές 3/2/2017 25 3/2/2017 26 Παράδειγµα τυπικής απόδειξης Έστω οι εξής υποθέσεις: εν έχει ήλιο και κάνει κρύο. Αν κολυµπήσουµε τότε σηµαίνει πως έχει ήλιο Αν δεν κολυµπήσουµε θα κάνουµε βαρκάδα. Αν κάνουµε βαρκάδα, θα γυρίσουµε σπίτι νωρίς. οσµένων αυτών των προϋποθέσεων αποδείξτε ότι Θα γυρίσουµε στο σπίτι νωρίς χρησιµοποιώντας κανόνες εξαγωγής συµπερασµάτων. Παράδειγµα τυπικής απόδειξης εν έχει ήλιο και κάνει κρύο Αν κολυµπήσουµε σηµαίνει πως έχει ήλιο. Αν δεν κολυµπήσουµε θα κάνουµε βαρκάδα. Αν κάνουµε βαρκάδα, θα γυρίσουµε σπίτι νωρίς. Θα γυρίσουµε στο σπίτι νωρίς ήλιος = Έχει ήλιο ; κρύο = Κάνει κρύο ; κολύµπι = Θα κολυµπήσουµε ; βαρκάδα = Θα κάνουµε βαρκάδα ; νωρίς = Θα γυρίσουµε στο σπίτι νωρίς. 27 28 7
Παράδειγµα τυπικής απόδειξης Οι προϋποθέσεις µπορούν να γραφούν ως εξής: (1) ήλιος κρύο (2) κολύµπι ήλιος (3) κολύµπι βαρκάδα (4) βαρκάδα νωρίς Παράδειγµα τυπικής απόδειξης Βήµα Απόδειξη από 1. ήλιος κρύο Προϋπ. #1. 2. ήλιος Απλοποίηση της 1. 3. κολύµπι ήλιος Προϋπ. #2. 4. κολύµπι Modus Tollensστις 2,3. 5. κολύµπι βαρκ. Προϋπ. #3. 6. βαρκάδα Modus Ponens στις 4,5. 7. βαρκάδα νωρίς Προϋπ. #4. 8. νωρίς Modus Ponens στις 6,7. 29 30 x P(x) x P(x) P(o) Π.χ.: P(x): O xείναι ψηλός x: µεταβλητή στο σύνολο των φοιτητών του ΗΥ118 ο: Κώστας (φοιτητής του ΗΥ118) Αν ξέρω ότι όλοι οι φοιτητές του ΗΥ118 είναι ψηλοί, τότε ασφαλώς και ο Κώστας είναι ψηλός 31 32 8
x P(x) P(o) Αντικαταστήστε µε οποιοδήποτε αντικείµενο o από το πεδίο ορισµού της x Καθολική συγκεκριµενοποίηση (universal instantiation) 33 34 x P(x) Π.χ.: P(x): O xείναι ψηλός x: µεταβλητή στο σύνολο των φοιτητών του ΗΥ118 ο: Κώστας (φοιτητής του ΗΥ118) Αν ξέρω ότι ο Κώστας είναι ψηλός, τότε ασφαλώς ξέρω ότι υπάρχει φοιτητής του ΗΥ118 που είναι ψηλός x P(x) Υπαρξιακή γενίκευση (Existential generalization) 35 36 9
x P(x)? Καθολική γενίκευση (universal generalization) x P(x)? Αυτός ο κανόνας ασφαλώς δεν είναι ορθός. Π.χ.: P(x): O xείναι ψηλός x: µεταβλητή στο σύνολο των φοιτητών του ΗΥ118 ο: Κώστας (φοιτητής του ΗΥ118) Το ότι ο Κώστας είναι ψηλός, δεν σηµαίνει πως όλοι οι φοιτητές του ΗΥ118 είναι ψηλοί 37 38 Ποιά είναι η γνώµη σας σχετικά µε τον παρακάτω κανόνα: x P(x) P(c)? x P(x) P(c)? Και αυτός δεν είναι ορθός! Υπαρξιακή συγκεκριµενοποίηση (existential instantiation) 39 40 10
x P(x) P(c)? Και πάλι, δεν είναι ορθός Π.χ.: P(x): O xείναι ψηλός x: µεταβλητή στο σύνολο των φοιτητών του ΗΥ118 ο: Κώστας (φοιτητής του ΗΥ118) Το ότι υπάρχει φοιτητής του ΗΥ118 που είναι ψηλός, δεν σηµαίνει πως αυτός είναι ο Κώστας Οι κανόνες για ποσοδείκτες x P(x) P(o) Καθολική συγκεκριµενοποίηση x P(x) Καθολική γενίκευση x P(x) P(o) Υπαρξιακή συγκεκριµενοποίηση x P(x) Υπαρξιακή γενίκευση 41 42 Παράδειγµα τυπικής απόδειξης στον κατηγορηµατικό λογισµό Αποδείξτε την πρόταση: Όλοι οι καθηγητές βάζουν εύκολα θέµατα.ο Αργυρός είναι καθηγητής.εποµένως, ο Αργυρός βάζει εύκολα θέµατα. Πρώτα, ξεχωρίστε τις προϋποθέσεις από τα συµπεράσµατα: Προϋπ. #1: Όλοι οι καθηγητές βάζουν εύκολα θέµατα. Προϋπ. #2: Ο Αργυρός είναι καθηγητής. Συµπέρασµα: ο Αργυρός βάζει εύκολα θέµατα. Έκφραση του παραδείγµατος σε όρους κατηγορηµατικού λογισµού. Προϋπ. #1: Όλοι οι καθηγητές βάζουν εύκολα θέµατα. Έστω π.ο. της x = όλοι οι άνθρωποι Έστω Κ(x) : ο x είναι καθηγητής Έστω E(x) : ο x βάζει εύκολα θέµατα Τότε η Προϋπ. #1 λέει: x(κ(x) E(x)) 43 44 11
Απόδειξη Προϋπ. #2: Ο Αργυρός είναι καθηγητής. Έστωα: Αργυρός Τότε η Προϋπ. #2 λέει: Κ(α) το συµπέρασµα λέει: E(α) Το θεώρηµα µπορεί να αποδειχτεί τυπικά µε την εφαρµογή µιας σειράς ορθών κανόνων εξαγωγής συµπερασµάτων, ως ακολούθως: Βήµα τρόπος απόδειξης 1. x(κ(x) E(x)) (Προϋπ. #1) 2. Κ(α) E(α) (universal instantiation) 3. Κ(α) (Προϋπ. #2) 4. E(α) (Modus Ponens από #2 και #3) 45 46 Πιο χαλαρή διατύπωση της απόδειξης του ίδιου θεωρήµατος Θεώρηµα: Αν x(κ(x) E(x)) και Κ(α) τότε E(α). Απόδειξη: Ξέρουµε ότι x(k(x) E(x)) (προϋπόθεση 1). Γνωρίζουµε επίσης ότι Κ(α) (προϋπόθεση 2). Προκύπτει µε βάση τον κανόνα του universal instantiation ότι K(α) E(α). Εποµένως, µε βάση τον κανόνα Modus Ponens προκύπτει ότι Ε(α). ΟΕ Στην πράξη, οι αποδείξεις συχνά παρουσιάζονται µε αυτόν τον πιό χαλαρό τρόπο. 47 48 12
Μέθοδοι αποδείξεως για προτάσεις της µορφής εάν-τότε Για να αποδείξουµε προτάσεις της µορφής p q, έχουµε τους εξής τρόπους: κενή απόδειξη: Απόδειξε ότι όπως και να έχει, ισχύει η p. Τετριµµένηαπόδειξη: Απέδειξεότι όπως και να έχει, ισχύει η q Άµεσηαπόδειξη: Υπέθεσε ότι η pείναι αληθής, και απόδειξε ότι τότε η q είναι αληθής. Έµµεση απόδειξη: Υπέθεσε ότι q, και απόδειξε ότι p. Aπόδειξη µε απαγωγή σε άτοπο: Υπέθεσε ότι (p q) F. Απόδειξη βάση περιπτώσεων: είξε ότι p (a b), και ότι (a q) και (b q). Παράδειγµα κενής απόδειξης Θεώρηµα: (Για ακεραίους n) Εάν ο nείναι καιάρτιος καιπεριττός, τότε n 2 = n + n. Απόδειξη: Η υπόθεση ο nείναι καιάρτιος καιπεριττός είναιαντίφαση, (ψευδής για κάθε ακέραιο). Εποµένως, το θεώρηµα ισχύει. 49 50 Πιο τυπικά Θεώρηµα: (Για ακεραίους n) Εάν ο nείναι καιάρτιος καιπεριττός, τότε n 2 = n + n. Απόδειξη: Έστω Ζ το σύνολο των ακεραίων και x µεταβλητή µε Π.Ο. το Ζ Έστω προτασιακές µορφές A(x) = Ο x είναι άρτιος, Π(x) = O x είναι περιττός, K(x) = x2 = x + x Η πρόταση που θέλω να αποδείξω είναι ότι x ((A(x) Π(x)) K(x)) Όµως ξέρω ότι x (A(x) Π(x)) ψευδής Εποµένως x ((A(x) Π(x)) K(x)) -αληθής Παράδειγµα τετριµµένης απόδειξης Θεώρηµα: (Για ακεραίους n) Εάν ο nείναι το άθροισµα δύο πρώτων αριθµών, τότε ο nείναι είτε άρτιος είτε περιττός. Απόδειξη: Κάθε ακέραιος n είναι είτε άρτιος είτε περιττός, αλλά όχι και τα δύο. Εποµένως το συµπέρασµα του θεωρήµατος είναι αληθές, ανεξάρτητα από τις υποθέσεις του.εποµένως, το θεώρηµα ισχύει. 51 52 13