ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ Ενότητα # 4: Αριθμητικά Περιγραφικά Μέτρα II Εβελίνα Κοσσιέρη Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής
ΑΔΕΙΕΣ ΧΡΗΣΗΣ Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύπου άδειας χρήσης, η άδεια χρήσης αναφέρεται ρητώς. 2
ΧΡΗΜΑΤΟΔΟΤΗΣΗ Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα» έχει χρηματοδοτήσει μόνο την αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους. 3
ΘΕΩΡΙΑ
ΤΕΤΑΡΤΗΜΟΡΙΑ Τα τεταρτημόρια μιας κατανομής είναι τρία και χωρίζουν την κατανομή με τέτοιο τρόπο ώστε: Μεταξύ ελάχιστης παρατήρησης και 1 ου τεταρτημορίου να βρίσκεται το 25% των παρατηρήσεων. Μεταξύ 1 ου και 2 ου τεταρτημορίου βρίσκεται το 25% των παρατηρήσεων. Μεταξύ 2 ου και 3 ου τεταρτημορίου βρίσκεται το 25% των παρατηρήσεων. Μεταξύ 3 ου τεταρτημορίου και μέγιστης παρατήρησης βρίσκεται το 25% των παρατηρήσεων.
ΣΥΜΒΟΛΙΣΜΟΣ ΤΕΤΑΡΤΗΜΟΡΙΩΝ Τα εννέα δεκατημόρια συμβολίζονται με Q i, όπου i=1, 2,3. Παρατηρήσεις: Τα τεταρτημόρια ακολουθούν πάντα την διάταξη x min Q 1 Q 2 Q3 x max Το 2 ο τεταρτημόριο συμπίπτει με τη διάμεσο.
ΤΥΠΟΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥ ΤΕΤΑΡΤΗΜΟΡΙΩΝ Όταν οι παρατηρήσεις δίνονται με συχνότητες, Qi a i c v i i n 4 ( NQi 1 ) Όπως και στη διάμεσο, όταν οι παρατηρήσεις είναι ταξινομημένες σε κλάσεις, πρώτα εντοπίζουμε την κλάση στην οποία ανήκει το i n τεταρτημόριο από το 4
ΔΕΚΑΤΗΜΟΡΙΑ Τα δεκατημόρια μιας κατανομής είναι εννέα και χωρίζουν την κατανομή με τέτοιο τρόπο ώστε: Μεταξύ ελάχιστης παρατήρησης και 1 ου δεκατημορίου να βρίσκεται το 10% των παρατηρήσεων. Μεταξύ 1 ου και 2 ου δεκατημορίου βρίσκεται το 10% των παρατηρήσεων. Μεταξύ 2 ου και 3 ου δεκατημορίου βρίσκεται το 10% των παρατηρήσεων.. Μεταξύ 9 ου τεταρτημορίου και μέγιστης παρατήρησης βρίσκεται το 10% των παρατηρήσεων.
ΣΥΜΒΟΛΙΣΜΟΣ ΔΕΚΑΤΗΜΟΡΙΩΝ Τα εννέα δεκατημόρια συμβολίζονται με D i, όπου i=1, 2,,9. Παρατηρήσεις: Τα δεκατημόρια ακολουθούν πάντα την διάταξη x min D 1 D 2 D 10 x max Το 5 ο δεκατημόριο συμπίπτει με τη διάμεσο.
ΤΥΠΟΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥ ΔΕΚΑΤΗΜΟΡΙΩΝ Όταν οι παρατηρήσεις δίνονται με συχνότητες, Di a i c v i i n 10 ( NQi 1 Όπως και στη διάμεσο, όταν οι παρατηρήσεις είναι ταξινομημένες σε κλάσεις, πρώτα εντοπίζουμε την κλάση στην οποία ανήκει το δεκατημόριο από το i n 10 )
ΕΚΑΤΟΣΤΗΜΟΡΙΑ Τα εκατοστημόρια μιας κατανομής είναι ενενήντα εννέα και χωρίζουν την κατανομή με τέτοιο τρόπο ώστε: Μεταξύ ελάχιστης παρατήρησης και 1 ου εκατοστημορίου να βρίσκεται το 1% των παρατηρήσεων. Μεταξύ 1 ου και 2 ου εκατοστημορίου βρίσκεται το 1% των παρατηρήσεων. Μεταξύ 2 ου και 3 ου εκατοστημορίου βρίσκεται το 1% των παρατηρήσεων.. Μεταξύ 99 ου τεταρτημορίου και μέγιστης παρατήρησης βρίσκεται το 1% των παρατηρήσεων.
ΣΥΜΒΟΛΙΣΜΟΣ ΕΚΑΤΟΣΤΗΜΟΡΙΩΝ Τα ενενήντα εννέα εκατοστημόρια συμβολίζονται με P i, όπου i=1, 2,,99. Παρατηρήσεις: Τα εκατοστημόρια ακολουθούν πάντα την διάταξη x min P 1 P 2 P 100 x max Το 50 ο εκατοστημόριο συμπίπτει με τη διάμεσο. To 25 ο εκατοστημόριο συμπίπτει με το 1 ο τεταρτημόριο. Το 75 ο εκατοστημόριο συμπίπτει με το 3 ο τεταρτημόριο.
ΤΥΠΟΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥ ΕΚΑΤΟΣΤΗΜΟΡΙΩΝ Όταν οι παρατηρήσεις δίνονται με συχνότητες, i i i i n 10 ( NQi 1 Όπως και στη διάμεσο, όταν οι παρατηρήσεις είναι ταξινομημένες σε κλάσεις, πρώτα εντοπίζουμε την κλάση στην οποία ανήκει το δεκατημόριο από το i n 100 P a c v )
ΤΥΠΟΣ Ή ΕΠΙΚΡΑΤΟΥΣΑ ΤΙΜΗ Επικρατούσα τιμή είναι η τιμή εκείνη που παρουσιάζεται με τη μέγιστη συχνότητα εντός του δείγματος. Στα αναλυτικά δεδομένα, τα οποία δε δίνονται με συχνότητες, η επικρατούσα τιμή είναι εκείνη η παρατήρηση με τη μέγιστη συχνότητα.
ΣΥΜΒΟΛΙΣΜΟΣ ΕΠΙΚΡΑΤΟΥΣΑΣ ΤΙΜΗΣ Η επικρατούσα τιμή συμβολίζεται με Το. Παρατηρήσεις: Αν οι παρατηρήσεις δίνονται χωρίς τις συχνότητές τους, τότε η επικρατούσα τιμή είναι η παρατήρηση με τη μέγιστη συχνότητα. Αν οι παρατηρήσεις είναι σε πίνακα κατανομής συχνοτήτων, τότε πρέπει πρώτα να εντοπιστεί η κλάση στην οποία ανήκει η επικρατούσα τιμή και είναι η κλάση με την μέγιστη συχνότητα.
ΤΥΠΟΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥ ΕΠΙΚΡΑΤΟΥΣΑΣ ΤΙΜΗΣ Όταν οι παρατηρήσεις δίνονται με συχνότητες, T 0 a i c Δ 1 : Η διαφορά της μέγιστης συχνότητας με τη συχνότητα της προηγούμενης κλάσης Δ 2 : Η διαφορά της μέγιστης συχνότητας με τη συχνότητα της επόμενης κλάσης 1 1 2
ΣΧΕΣΗ ΜΕΤΑΞΥ ΔΙΑΜΕΣΟΥ ΚΑΙ ΕΠΙΚΡΑΤΟΥΣΑΣ ΤΙΜΗΣ Όταν για έναν πληθυσμό ισχύει μ = Μ =Τ, τα δεδομένα προέρχονται από μία συμμετρική κατανομή. μ > Μ >Τα, τα δεδομένα παρουσιάζουν θετική ασυμμετρία μ < Μ <Τ, τα δεδομένα παρουσιάζουν αρνητική ασυμμετρία.
ΜΕΤΡΑ ΔΙΑΣΠΟΡΑΣ Η διασπορά δείχνει το πόσο συγκεντρωμένες είναι οι παρατηρήσεις, γύρω από τη μέση τιμή, αλλά και μεταξύ τους. x max x min x max x min
ΑΣΚΗΣΕΙΣ
ΑΣΚΗΣΗ 1 (1) Στην άσκηση με τις κλάσεις των μισθών των 500 υπαλλήλων, να υπολογιστούν τα τεταρτημόρια της κατανομής. ΚΛΑΣΕΙΣ ΣΥΧΝΟΤΗΤΑ ν i ΑΘΡΟΙΣΤΙΚΗ ΣΥΧΝΟΤΗΤΑ Ν i 0-500 40 40 500-1000 265 305 1000-1500 167 472 1500-2000 28 500 ΣΥΝΟΛΟ 500 -
ΑΣΚΗΣΗ 1 (2) Στην άσκηση με τις κλάσεις των μισθών των 500 υπαλλήλων, να υπολογιστούν τα δετατημόρια της κατανομής. ΚΛΑΣΕΙΣ ΣΥΧΝΟΤΗΤΑ ν i ΑΘΡΟΙΣΤΙΚΗ ΣΥΧΝΟΤΗΤΑ Ν i 0-500 40 40 500-1000 265 305 1000-1500 167 472 1500-2000 28 500 ΣΥΝΟΛΟ 500 -
ΑΣΚΗΣΗ 1 (3) Στην άσκηση με τις κλάσεις των μισθών των 500 υπαλλήλων, να υπολογιστούν τα εκατοστημόρια της κατανομής. ΚΛΑΣΕΙΣ ΣΥΧΝΟΤΗΤΑ ν i ΑΘΡΟΙΣΤΙΚΗ ΣΥΧΝΟΤΗΤΑ Ν i 0-500 40 40 500-1000 265 305 1000-1500 167 472 1500-2000 28 500 ΣΥΝΟΛΟ 500 -
ΤΕΛΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑΣ