R 0 0 Ερώτηση 1 Να εκτελεστούν όλα τα βήµατα του παρακάτω αλγορίθµου στον µονοδιάστατο πίνακα: "!$ Στην κάθε κλήση της procedure εισάγεται ο %&') Ο συµϐολισµός υπονοεί τον υποπίνακα από την ϑέση % έως την ϑέση ' ). Η πρώτη +*,.-/ κλήση του αλγορίθµου γίνεται µε την εντολή 124357678926;:=<">=?@1A?"2B C 6DFEHG EJIK1FLM2 NPO 6QG C 6DFEHG SQ<T1UP2BWVYXPZ :=<">=?@1A?R,B :=<">=?R[U\]?T2B >^S_1`?"2Z abpcdpbe<t>^s_1a?rpze?f>gshr[u\]?t2z,b 6JG48 6JG48 Η παράσταση %jlk7m$ δηλώνει το κάτω ακέραιο µέρος της διαίρεσης, π.χ. το κάτω ακέραιο µέρος των αριθµών 5.2, 5.5, 5.8 είναι 5. op Ο αλγόριθµος MERGE)n συγχωνεύει δύο διατεταγµένες ακολουθίες n o qh. [r+s4tps σε µία, π.χ. οι διατεταγµένες ακολουθίες n ouvq[$r$+h$s4[ συγχωνεύονται στην διατεταγµένη ακολουθία w q[tf4 4+rs4+$rr$s4TPs[ Απάντηση Ο Αλγόριθµος που δίνεται είναι ανδροµικός, µε την έννοια ότι καλεί τον εαυτό του. Σε κάθε εκτέλεση της εντολής EJIK1FL2 NPO 6JG η είσοδος δηλαδή ο εκάστοτε πίνακας) διαµερίζεται σε 2 υποπίνακες µέσω της διαδικασίας του ακέραιου µέρους RyxzS<T14UP2B;VYXPZ. Αυτή η διαµέριση σταµατάει όταν πάψει να ισχύει η συνθήκη 1{LK2, δηλαδή όταν ο πίνακας εισόδου αποτελείται από ένα µόνο στοιχείο. Τα βήµατα τα οποία κατά σειράν ϑα εκτελεστούν περιγράφονται παρακάτω: 1
ÊëÞóç ôçò DÁ,1,7) p=1, r=7, Éêáíïðïéåßôáé ç óõíèþêç p<r q=[1+7)/2]=4 ÊëÞóç ôçò DA,1,4) p=1, r=4 Éêáíïðïéåßôáé ç óõíèþêç p<r q=[1+4)/2]=2 ÊëÞóç ôçò DA,1,2) p=1, r=2 Éêáíïðïéåßôáé ç óõíèþêç p<r q={1+2)/2}=1 ÊëÞóç ôçò DA,1,1)= 4, p=r ÊëÞóç ôçò DA,1+1,2)= 6, p=r A1,2)= MERGE 4, 6 ) = 4 6 ÊëÞóç ôçò DA,2+1,4) p=3, r=4 Éêáíïðïéåßôáé ç óõíèþêç p<r q=[3+4)/2]=3 ÊëÞóç ôçò DA,3,3)= 5, p=r ÊëÞóç ôçò DA,3+1,4)= 8, p=r AÊëÞóç ôçò3,4)= MERGE 5, 8 ) = 5 8 A1,4)= MERGE 4 6, 5 8 ) = 4 5 6 8 ÊëÞóç ôçò DA,4+1,7) p=5, r=7 Éêáíïðïéåßôáé ç óõíèþêç p<r q=[5+7)/2]=6 ÊëÞóç ôçò DA,5,6) p=5, r=6 Éêáíïðïéåßôáé ç óõíèþêç p<r q=[5+6)/2]=5 ÊëÞóç ôçò DA,5,5)= 2, p=r ÊëÞóç ôçò DA,5+1,6)= 9, p=r A5,6)= MERGE 2, 9 ) = 2 9 ÊëÞóç ôçò DA,6+1,7)= 3, p=r A5,7)= MERGE 2 9, 3 ) = 2 3 9 A1,7)= MERGE 4 5 6 8, 2 3 9 ) = 2 3 4 5 6 8 9 Ερώτηση 2 α) Να κατασκευάσετε ένα απλό µη κατευθυνόµενο γράφηµα που περιέχει κορυφές περιττού βαθµού. Στη συνέχεια να χωρίσετε όλες τις ακµές του σε απλά µονοπάτια που µεταξύ τους δεν έχουν κοινές ακµές. β) Υπολογίστε τον αριθµό των διαφορετικών απλών κύκλων στο πλήρες 2
γράφηµα κορυφών δύο κύκλοι ϑεωρούνται διαφορετικοί αν διαφέρουν σε τουλάχιστον µία ακµή). Απάντηση α) Το πλήρες γράφηµα έχει κορυφές ο βαθµός της κάθε κορυφής είναι f περιττός. Συµϐολίζοντας µε q J$ τις κορυφές του έχουµε ότι οι ακολουθίες ακµών HH/ J / J. $// ορίζουν 2 απλά µονοπάτια ξένα µεταξύ τους µε συνολικό αριθµό ακµών 6. Επιλέον, περιέχουν όλες τις ακµές του αφού το σύνολο των ακµών του είναι K Y4 H το οποίο πληροί την συνθήκη που δίνεται στην εκφώνηση τότε είναι άµεσο ότι ο βαθµός κάθε κορυφής του είναι το πολύ 3 άλλως το δεν ϑα ήταν απλό). Εάν τότε ϑα υπάρχει µία κορυφή µε βαθµό η οποία αναγκαστικά ϑα έχει βαθµό. Εάν όλες οι υπόλοιπες κορυφές έχουν βαθµό τότε το γράφηµα είναι το εξής: Σηµείωση: Εάν είναι ένα γράφηµα µε 4 κορυφές q J$ Εάν µία κορυφή από τις υπόλοιπες έχει βαθµό τρία τότε αναγκαστικά το γράφηµα είναι το εξής: Τα δύο παραπάνω γραφήµατα µαζί µε το είναι τα µόνα γραφήµατα µε κορυφές που πληρούν τις υποθέσεις της εκφώνησης. 3
β) Κάθε κύκλος µήκους στο προφανώς, Y ) είναι µία κυκλική απαρίθµηση των κορυφών που περιέχονται στον κύκλο. Συνεπώς ϑα πρέπει βρούµε πρώτα πόσες είναι οι κυκλικές απαριθµήσεις αντικει- µένων. y Ας δούµε την περίπτωση Το σύνολο των µεταθέσεων του συνόλου qp είναι v Θεωρούµε όµως τον 3-κύκλο ίδιο ανεξάρτητα από την κατεύθυνση που διατρέχουµε τις κορυφές δηλαδή,οι κύκλοι * * ] ϑεωρούνται ίδιοι, όπως επίσης τα ζεύγη κύκλων *]* F τα ζεύγη * ]*P4 Αρα οι συνολικά µεταθέσεις των τριών αντικειµένων διαιρούνται µε το διότι δεν µας ενδιαφέρει η κατεύθυνση. Επιλέον, ϑεωρούµε τον κύκλο ίδιο ανεξάρτητα από το που αρχίζουµε την απαρίθµηση, δηλαδή, οι που απέµειναν µετά την προηγούµενη ταυτοποίηση) κύκλοι * $ *[ * ϑεωρούνται ίδιοι. Με άλλα λόγια, προκειµένου να βρούµε το αριθµό των διακεκριµµένων κυκλικών µεταθέσεων των αντικειµένων, πρέπει να διαιρέσουµε το µε το διότι έχουµε επιλογές για το που ϑα ξεκινήσουµε την απαρίθµηση. Η παραπάνω διαδικασία, ισχύει για τις κυκλικές µεταθέσεις οιουδήποτε αριθµού αντικειµένων. ηλαδή, γιά κάθε δυνατή µετάθεση αντικειµένων υπάρχουν ϑέσεις από τις οποίες µπορούµε να ξεκινήσουµε την κυκλική απαρίθµηση δύο κατευθύνσεις. Συνεπώς, για να βρούµε τον συνολικό αριθµό των διακεκριµµένων κυκλικών µεταθέσεων αντικειµένων πρέπει να διαιρέσουµε τον αριθ- µό των µεταθέσεων µε το γινόµενο Επιστρέφουµε στον υπολογισµό των διαφορετικών απλών κύκλων στο Για να βρούµε το συνολικό αριθµό των απλών κύκλων µήκους στο όπου προφανώς ) πρέπει να να διαιρέσουµε τον αριθµό των µεταθέσεων των κορυφών από 4 4. που ισούται µε µε το γινόµενο Αρα ο συνολικός αριθµός των διαφορετικών απλών κύκλων µήκους στο είναι 4 j 4
Αφού είναι 4 ο συνολικός αριθµός των διαφορετικών κύκλων στο j 4P j "[ j r 47 j Q 7 j H +P Ερώτηση 3 Εστω ένα απλό µη κατευθυνόµενο γράφηµα µε ώστε ο βαθµός Hm$. είξτε ότι το είναι συνδεόµενο συνεκτικό). Απάντηση κορυφές, έτσι κάθε κορυφής να είναι µεγαλύτερος ή ίσος του Εστω µη συνεκτικό, δηλαδή έστω ότι το έχει τουλάχιστον δύο συνεκτικές J συνιστώσες, µε αριθµό κορυφών αντίστοιχα. Προφανώς = Αφού το είναι απλό, στην συνεκτική συνιστώσα ο βαθµός / κάθε κορυφής $ H είναι το πολύ Οµοια, ο βαθµός κάθε κορυφής του είναι το πολύ Συνεπώς έχουµε / r A όπου η αριστερή ανισότητα ισχύει εξ υποθέσεως. Αφού ότι που είναι άτοπο. A r έχουµε Ερώτηση 4 Εστω ένα συνδεόµενο συνεκτικό) µη κατευθυνόµενο γράφηµα. Θεωρούµε ότι οι ακµές του γραφήµατος παριστούν τους δρόµους µιας πόλης. Ενας τουρίστας ϑέλει να κάνει τον γύρο της πόλης έτσι ώστε να περπατήσει τα δύο πεζοδρόµια κάθε δρόµου ακριϐώς µία ϕορά. Αποδείξτε ότι αυτό είναι πάντα δυνατό για κάθε πόλη. Υπόδειξη: Θεώρηµα 4.1, Βιϐλίο Γ. Βούρου) 5
Απάντηση Θεωρούµε το γράφηµα οι κορυφές του το οποίο παράγεται από το ως εξής: είναι ακριϐώς οι ίδιες µε τις κορυφές του για κάθε ακµή του που εφάπτεται σε κορυφές το έχει J δύο παράλληλες) ακµές, τις ονοµάζουµε που εφάπτονται στις κορυφές Οδηγούµαστε σε αυτήν την ϑεώρηση από το γεγονός ότι κάθε δρόµος έχει δύο διακεκριµµένα πεζοδρόµια ένα σε κάθε πλευρά του) ο τουρίστας ϑέλει να περπατήσει κατά µήκος των δύο. Προφανώς, το νέο γράφηµα έχει από τον ορισµό του) την ιδιότητα ότι ο βαθµός κάθε κορυφής στο είναι ίσος µε το διπλάσιο του βαθµού της κορυφής στο Ειδικότερα, ο βαθµός κάθε κορυφής του είναι άρτιος συνεπώς από το Θεώρηµα 4.1, Βιϐλίο Γ. Βούρου) υπάρχει µονοπάτι, που είναι κύκλος Euler στο. Με οδηγό το κύκλο Euler F του ορίζουµε µονοπάτι στο γράφηµα ως εξής: όταν η ακµή την ακµή του e{ εµφανίζεται στο κύκλο Euler F ϑεωρούµε Αφού οι ακµές εµφανίζονται στο F ακριϐώς µία ϕορά διότι, είναι κύκλος Euler) έπεται ότι η ακµή περιέχεται στο µονοπάτι ακριϐώς δύο ϕορές. Αρα το είναι το ζητούµενο για τον τουρίστα αλλά για εµάς) µονοπάτι. Ερώτηση 5 α) Εχει το κύκλο Hamlon; β) Εχει το µονοπάτι Hamlon; Το µονοπάτι Hamlon είναι ένα απλό µονοπάτι που συµπεριλαµϐάνει όλους τους κόµϐους ενός γραφήµατος ακριβώς µία ϕορά). γ) ιατυπώστε µια ικανή αναγκαία συνθήκη για την ύπαρξη ενός κύκλου Hamlon στο πλήρες διµερές γράφηµα δ) ιατυπώστε µια ικανή αναγκαία συνθήκη για την ύπαρξη ενός µονοπατιού Hamlon στο πλήρες διµερές γράφηµα 6
q Απάντηση α) Εστω τα δύο ξένα) σύνολα κορυφών του έτσι ώστε για κάθε ζεύγος κορυφών υπάρχει ακµή που εφάπτεται στα, Εστω ότι υπάρχει ένας κύκλος Hamlon στο Αυτός ϑα περιέχει όλες τις κορυφές ακριϐώς µία ϕορά άρα ϑα έχει αναγκαστικά 11 $+++ H ακµές τις οποίες ονοµάζουµε Χωρίς βλάϐη της γενικότητας υποθέτουµε ότι η ξεκινάει από µία κορυφή του καταλήγει σε µία κορυφή του Από τον ορισµό του πλήρους διµερούς γράφου η ϑα ξεκινάει από µιά κορυφή του ϑα καταλήγει σε µία κορυφή του Συνεχίζοντας µε τον ίδιο συλλογισµό όλες H οι ακµές µε περιττό δείκτη, άρα η ξεκινούν από µιά κορυφή του καταλήγουν σε µία κορυφή του Οµως αυτό είναι άτοπο διότι η τελευταία ακµή του κύκλου πρέπει να καταλήγει στην αρχή της πρώτης ακµής) που ανήκει στο βλ. ). qhj+r+ β) Εστω κορυφών του Η ακολουθία κορυφών H ορίζει ένα µονοπάτι Hamlon. H JJr++r J+r+ τα δύο ξένα) σύνολα γ) Εστω που περιέχει κορυφές που περιέχει κορυφές τα δύο ξένα) σύνολα κορυφών του έτσι ώστε για κάθε ζεύγος κορυφών υπάρχει ακµή που εφάπτεται στα, Εστω H$+++H [ ένας κύκλος Hamlon αναζητούµε σχέσεις µεταξύ των Αφού ο κύκλος διέρχεται από όλες τις κορυφές ακριϐώς µία ϕορά έπεται ότι Χωρίς βλάϐη της γενικότητας υποθέτουµε ότι αν δουλεύουµε µε πανοµοιότυπο τρόπο). Αφού το είναι πλήρες διµερές γράφηµα έπεται ότι Οµοια επαγωγικά έχουµε ότι Οι κορυφές µε περιττό δείκτη ανήκουν στο εκείνες µε άρτιο δείκτη ανήκουν στο 7
q Αφού η τελευταία ακµή του κύκλου καταλήγει στο άρα το είναι άρτιο. ηλαδή Αν τότε το γράφηµά µας είναι το Hamlon. Αναγκαστικά λοιπόν Η σχέση γίνεται y H$+r+r $ +r+r µε Y έπεται ότι για κάποιο το οποίο δεν έχει κύκλο & από όπου προκύπτει ότι Τελικώς, αναγκαία συνθήκη για την ύπαρξη ενός κύκλου Hamlon στο πλήρες διµερές γράφηµα είναι µε Y Αντίστροφα, έστω το πλήρες διµερές γράφηµα µε qhj+++ $+++ έστω τα δύο σύνολα κορυφών του Η ακολουθία κορυφών H H$ $+++r αποτελείται από διακεκριµµένες κορυφές οι οποίες είναι τουλάχιστον / 4 επειδή Συνεπώς, η τελευταία ακµή είναι διαφορετική H. από την πρώτη Οι υπόλοιπες ακµές είναι προφανώς ανά δύο διακεκριµµένες άρα η παραπάνω ακολουθία ορίζει ένα κύκλο Hamlon στο δ) Εστω που περιέχει κορυφές που περιέχει κορυφές τα δύο σύνολα κορυφών του έτσι ώστε για κάθε ζεύγος κορυφών υπάρχει ακµή που εφάπτεται στα, Εστω HJ+++H ένα µονοπάτι Hamlon στον Περίπτωση Ι: Υποθέτουµε πρώτα ότι διακρίνουµε δύο περιπτώσεις ανάλογα µε το εάν είναι άρτιος ή περιττός. y Περίπτωση ΙΑ : για κάποιο Σκεπτόµενοι όπως στο προηγούµενο ερώτηµα έχουµε ότι / ισχύει η σχέση δηλαδή $r++r J r++r 8 v
από όπου προκύπτει ότι Y Περίπτωση ΙΒ : για κάποιο Τότε η σχέση που πάλι ισχύει µε χρήση του ίδιου συλλογισµού) γίνεται Αρα H+++H $ r++r & δηλαδή Y Από τις 2 παραπάνω υποπεριπτώσεις έχουµε ότι αν τότε είτε είτε Περίπτωση ΙΙ: Αν δουλεύουµε µε πανοµοιότυπο τρόπο καταλήγουµε στο συµπέρασµα αν τότε είτε είτε Συνδυάζοντας τις Περιπτώσεις Ι ΙΙ έχουµε ότι είναι αναγκαία συνθήκη για την ύπαρξη ενός µονοπατιού Hamlon στο πλήρες διµερές γράφηµα Αντίστροφα, έστω ότι το πλήρες διµερές γράφηµα έχει την ιδιότητα {qhj+r+ Εστω {q H $+++ τα δύο σύνολα κορυφών του Λόγω της ιδιότητας διακρίνουµε 3 περιπτώσεις: Αν τότε η ακολουθία κορυφών H HJ ορίζει ένα µονοπάτι Hamlon. $+++r Y Αν τότε η ακολουθία κορυφών H $ J+r+r ορίζει ένα µονοπάτι Hamlon. Τέλος, αν τότε η ακολουθία κορυφών HH $J+r+r ορίζει ένα µονοπάτι Hamlon. 9
Ερώτηση 6 Εστω ένα απλό κατευθυνόµενο γράφηµα Ενα µεγιστοτικό υ- πογράφηµα του το οποίο είτε αποτελείται από µία µοναδική κορυφή είτε για κάθε δύο κορυφές του, έστω, υπάρχει κατευθυνόµενο µονοπάτι από την στην επίσης από την στην καλείται ισχυρά συνεκτική συνιστώσα του Αν το Γ έχει ακριϐώς µία ισχυρά συνεκτική συνιστώσα, τότε καλείται ισχυρά συνεκτικό. Σε κάθε κατευθυνόµενο γράφηµα κατασκευάζουµε το γράφηµα των ισχυρά συνεκτικών συνιστωσών του ως εξής: Κάθε ισχυρά συνεκτική συνιστώσα του γίνεται µία κορυφή στο κάθε ακµή του που συνδέει δύο H ισχυρά συνεκτικές συνιστώσες του, γίνεται µια ακµή στο είξτε ότι για κάθε γράφηµα το γράφηµα δεν έχει κατευθυνόµενους κύκλους. Απάντηση Εστω ότι το είναι ισχυρά συνεκτικό, δηλαδή έχει µία ακριϐώς ισχυρά συνεκτική συνιστώσα για συντοµία, ΙΣΣ). Τότε το αποτελείται από µία ακριϐώς κορυφή χωρίς καµµία ακµή προφανώς δεν υπάρχει κατευθυνόµενος κύκλος. Θεωρούµε τώρα γράφηµα µε ΙΣΣ όπου Y Υποθέτουµε ότι υπάρχει κατευθυνόµενος κύκλος στο ϑα καταλήξουµε σε άτοπο. Ονοµάζουµε H J+++H τις διακεκριµµένες) ΙΣΣ του Εκ κατασκευής, το ϑα έχει µία κορυφή +++r γιά κάθε ΙΣΣ Ολες οι ακµές του προέρχονται από ακµές του που συνδέουν διαφορετικές ΙΣΣ του συνεπώς ο κύκλος που υποθέσαµε ότι υπάρχει πρέπει να περιέχει τουλάχιστον 2 ακµές. Αλλάζοντας αν χρειάζεται) την αρίθµηση των κορυφών µπορούµε να υ- ποθέσουµε ότι ο κατευθυνόµενος κύκλος στο δίνεται από την ακολουθία κατευθυνόµενων ακµών r/ JH/+++.. γιά κάποιο γιά το οποίο προφανώς ισχύει ότι όπως παρατηρήσαµε πίο πάνω Εκ κατασκευής του έπεται ότι στο υπάρχουν κατευθυνόµενες ακµές όπου Αφού τα H γιά κάθε r/ J H/+++ e{+++r & / / ανήκουν στην ίδια ΙΣΣ την ) έπεται ότι υπάρχει κατευθυνό- 10
µενο µονοπάτι τέλος το e{+++ που περιέχεται στο υπογάφηµα µε αρχή το Ισχυρισµός: Θα δείξουµε ότι το γράφηµα το οποίο αποτελείται από τα υπογραφήµατα H++r µαζί µε τις κατευθυνόµενες ακµές H r/ J H/+++ / / είναι ένα ισχυρά συνεκτικό υπογράφηµα του Μία γραφική παράσταση του δίνεται στο παραπάνω σχήµα όπου κάθε ΙΣΣ συµϐολίζεται µε ένα κύκλο στον οποίο έχουν σηµειωθεί µόνο οι κορυφές Αυτό ϑα µας οδηγήσει σε άτοπο διότι το περιέχει γνήσια το H άρα το r J+++H δεν είναι ΙΣΣ του µε άλλα λόγια οι διακεκριµµένες ΙΣΣ δεν είναι το πλήθος αλλά µόνο µία). Απόδειξη Ισχυρισµού: Εστω δύο τυχαίες κορυφές του Θέλουµε να 11
δείξουµε ότι υπάρχει κατευθυνόµενο µονοπάτι από την στην κατευ- ϑυνόµενο µονοπάτι από την στην Αυτό είναι άµεσο αν οι δύο κοορυ- ϕές ανήκουν στην ίδια συνιστώσα. Αν ανήκουν σε διαφορετικές, δηλαδή µε υποθέτουµε χωρίς βλάϐη της γενικότητας ότι ), τότε υπάρχουν κατευθυνόµενα µονοπάτια από την στην από την στην Η ύπαρξη αυτών των µονοπατιών προκύπτει από το γεγονός ότι οι κορυφές ανήκουν στην ΙΣΣ οι κορυφές ανήκουν στην ΙΣΣ Τότε, το κατευθυνόµενο µονοπάτι που ορίζεται από την ένωση των µονοπατιών H H είναι ένα κατευθυνόµενο µονοπάτι από την στην Οµοια, έχουµε ότι υπάρχουν κατευθυνόµενα µονοπάτια από την στην από την στην το κατευθυνόµενο µονοπάτι που ορίζεται από την ένωση των µονοπατιών είναι ένα κατευθυνόµενο µονοπάτι από την στην έτσι ολοκληρώνεται η απόδειξη του ισχυρισµού. H 12
Ερώτηση 7 Εστω δύο απλά µη κατευθυνόµενα γραφήµατα J r/ u Το καρτεσιανό γινόµενο είναι το γράφηµα που έχει τις κορυφές του συνόλου τις ακµές του συνόλου που Q / ορίζονται ως εξής: δύο κορυφές n του συνόλου συνδέονται µε ακµή στο τότε µόνον τότε αν ή K οι κορυφές 7 είναι γειτονικές στο οι κορυφές είναι γειτονικές στο H H α) Αν το έχει κορυφές ακµές το έχει κορυφές ακµές να βρεθούν οι κορυφές οι ακµές του β) Ενα γράφηµα καλείται κανονικό βαθµού k$ αν όλες οι κορυφές του έχουν τον ίδιο βαθµό k$ είξτε αν ισχύει η παρακάτω πρόταση: Αν είναι κανονικά γραφήµατα βαθµών αντίστοιχα, τότε ϑα J είναι κανονικό το γράφηµα y Απάντηση α) Ο πληθικός αριθµός του καρτεσιανού γινοµένου δύο πεπερασµένων) συνόλων ισούται µε το γινόµενο των επί µέρους πληθικών αριθµών συνεπώς, αν συµϐολίσουµε τον πληθικό αριθµό ενός συνόλου µε την απόλυτη τιµή έχουµε $ Για να υπολογίσουµε τον αριθµό των ακµών, διαµερίζουµε το σύνολο των ακµών του σε δύο ξένα, όπως ϑα δείξουµε στην συνέχεια) υποσύνολα ως εξής:, / ακµή του, /, ακµή του Σε αυτόν τον διαµερισµό µας οδηγεί ο ορισµός των ακµών του που δίνεται στην εκφώνηση: οι ακµές του που ανήκουν στο J είναι αυτές που γεννιώνται από κορυφή του ακµή του εκείνες που ανήκουν στο είναι αυτές που γεννιώνται από κορυφή H του ακµή του 13
Θα δείξουµε πρώτα ότι τα σύνολα J διαµερίζουν το δηλαδή 4 Εστω. K H Αφού / K έπεται ότι Στην συνέχεια, αφού / γειτονικό του u Αρα υπάρχει ακµή από το στο πράγµα άτοπο διότι το είναι απλό. Συνεπώς έχουµε, s J ορίζουµε τις απει- Για να υπολογίσουµε τον πληθικό αριθµό των κονίσεις η οποία απεικονίζει το στοιχείο, / έπεται ότι στο, την η οποία απεικονίζει το στοιχείο,. στο, H Από τον ορισµό του προκύπτει άµεσα ότι είναι αµφιµονοσήµαντες επί. Συνεπώς, Από την σχέση β) Εστω του, ορισµό του ως εξής: έχουµε ότι Q = µία τυχαία κορυφή του Το σύνολο των ακµών που εφάπτονται της διαµερίζεται, σύµφωνα µε τον J σε δύο ξένα µεταξύ τους υποσύνολα Το υποσύνολο που περιέχει εκείνες τις ακµές του ορίζονται από µια κορυφή του µία ακµή του περιέχει ακµές της µορφής,. µε τα Το υποσύνολο r γειτονικά. που περιέχει εκείνες τις ακµές του ορίζονται από µια κορυφή του µία ακµή του περιέχει ακµές της µορφής / µε τα γειτονικά. J H που δηλαδή το που δηλαδή το 14
Αφού το σύνολο περιέχει ακριϐώς µία ακµή για κάθε κορυφή που είναι γειτονική της έπεται ότι ο πληθικός αριθµός είναι J ίσος µε το βαθµό της κορυφής στο Εξ υποθέσεως, το είναι κανονικό βαθµού άρα Οµοια έχουµε ότι g Στο προηγούµενο ερώτηµα δείξαµε ότι τα σύνολα είναι υποσύνολα των αντίστοιχα. Αρα ισχύει 4 Κατά συνέπεια, Συνεπώς ο βαθµός της τυχαίας κορυφής το είναι κανονικό βαθµού s ισούται µε δηλαδή, 15