Χαράλαμπος Στεργίου Χρήστος Νάκης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ2. Υποδείξεις Απαντήσεις των προτεινόμενων ασκήσεων

Χράλμπος Στεργίου Χρήστος Νάκης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Υποδείξεις Απντήσεις των προτεινόμενων σκήσεων 5.65 5.8

Ενότητ 5 Συμπληρωμτικές σκήσεις κι θέμτ 5.65 ) Από τ δεδομέν της άσκησης έχουμε: f () + f() = ( f ()) f() + f() = f() ( ) f() + f() + f() = ( f() + f() = ) f() + f() = + c () Όμως f() =, οπότε η () γι = δίνει: f() + f() = + c = + c c= Άρ πάλι πό την () προκύπτει ότι: f() + f() = (+ )f() = f() =, + β) Πρτηρούμε ότι: ( + ) ( + ) = = = + + + +. f()d= d= + ( + ) = d ln = + = + ln = 5.66 Γι = y= βρίσκουμε f() κι f(), οπότε f() =. Γι y= βρίσκουμε f() ln (). Γι y = πίρνουμε f() = f (). Η () γι το δίνει: f ln f ln () f() ln Άρ f() = ln, >, η οποί επληθεύει τη δοσμένη. 5.67 Αν στη γνωστή νισότητ ln θέσουμε όπου το θ πάρουμε ln. Άρ: ln Γι > πίρνουμε: ln Ολοκληρώνοντς στο διάστημ [, ] ( > ) προκύπτει: d d d ln Είνι όμως: d ln( = + + ), οπότε: d = + ln( + + ), ln ln( + + ) d + ln( + + ) Από το κριτήριο πρεμβολής βρίσκουμε ότι: Άλλος τρόπος lim d = ln ln + Είνι ln > ότν +. Έχουμε: < ln ln ln

d d d ln ln ln d d d ln ln ln Επομένως: I = d = [ ln(ln ) ] = ln(ln ) ln(ln ) = ln ln ln () = ln = ln = ln () ln ln Από τις () κι () πίρνουμε: ln d ln () ln Αλλά lim ( ln ) = lim ( ln ) = ln, οπότε πό το + + κριτήριο πρεμβολής προκύπτει ότι: L= lim d ln + = ln Όμοι υπολογίζετι κι το όριο: 5.68 B= lim d ln f() f() + = + f() f() f() + = + ( f() ) f() + + = ln ln ( f() ) f() + + + = ln + f() = = = f() = + c Γι = : = + c c=. Αντικθιστώντς το c ισοδύνμ λμβάνουμε: f() f() = = f () = ln 5.69 ) Θέτουμε = u, οπότε: u+ u A= du 4 + u + u Θέτουμε u =, οπότε A =... = A. Άρ A=. β) Θέτουμε =, οπότε: u B = B + B =... = d = = ( + ) = = + + + Άρ Β =. ( + ) γ) Θέτουμε = π + u. Έτσι: Όμως: π π + Γ = ln + ημ u ημu du ( + ημ u) ημ u + ημ u ημu = = + ημ u + ημu =, άρ + ημ u + ημu ( + ) = ln ( ημ u ημu) ln ημ u ημu = + Γ =... = Γ, οπότε Γ =. δ) Θέτουμε =, οπότε Δ =... = Δ. Άρ Δ =. u ε) Θέτουμε =. Είνι τότε: f( ) = κι f() ( ) ( ) f( ) + = + + = = + + = f() Άρ E =... = E, οπότε E=. = + 5.7 ) f()d f()d f()d. Θέτουμε στο πρώτο = u κ.λπ. ΣΤΕΡΓΙΟΥ ΝΑΚΗΣ, ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ, ΥΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ

β) Οι f() g() κι (g g)() είνι περιττές συνρτήσεις. Θέτουμε = u κ.λπ. γ) Θέτουμε = u κι εφρμόζουμε τη μέθοδο: I = I + I δ) Όπως στο ερώτημ (β). Στο βήμ I+ I είνι: f() f() + = β + g () + β + g() β + g () + β g() ( + + ) ( + + ) β β g () = f() = f() β β g() β g () διότι ο προνομστής δίνει: β + g () + β + β β + g () g () = = β + β β + g () = ββ+ β + g () 5.7 ) Θέτουμε =, οπότε βρίσκουμε A=. u β) Θέτουμε = u, οπότε τελικά γ) Θέτουμε = u, οπότε: Γ = d + + Γ= Γ+ Γ= Άρ B =. 5 = + d = ( ) ( ) + + + + + + + = d = = ( + ) + + + Γ =. d. 5.7 Έστω ότι υπάρχει, ώστε f() <. Τότε: f( f() ) < f() < f( f() ) + f() = f( f() ) = f() Όμως f() < f() >, οπότε: f( f() ) = f() > = Οι σχέσεις f( f() ) < κι f( f() ) ντίφση. Όμοι, ν f() >, τότε: f( f() ) > f() > > οδηγούν σε f( f() ) = f() < = Οι σχέσεις f( f() ) > κι f( f() ) άτοπο. Άρ τελικά είνι f() =,. < οδηγούν σε 5.7 Η συνθήκη γράφετι: f() f() ln + lnf () = + ln f () = + ( f() ) ( + ) f() + = = + c Γι = πίρνουμε c=, οπότε f() = +. 5.74 ) Η f είνι συνεχής κι f() γι κάθε, οπότε διτηρεί στθερό πρόσημο κι φού: f() = > θ είνι f() > γι κάθε. Η συνάρτηση h() = f() είνι γνησίως ύξουσ (με τον ορισμό), οπότε μπορούμε ν βρούμε το πρόσημό της, φού h() =. Έτσι, γι έχουμε: h() h() f() κι γι < έχουμε: h() < h() f() < Αν, τότε το εμβδόν είνι ίσο με: E= f()d κι φού f(), θ έχουμε: f()d= f() γι κάθε. Αν <, τότε το εμβδόν είνι ίσο με: E= f()d κι φού f() <, θ έχουμε: f()d= f() f()d= f() γι κάθε <. Έτσι f()d f() = γι κάθε. Επειδή η F είνι μι ρχική της f, η πρπάνω σχέση δίνει: f() = f()d+ f() = F() F( ) + γι κάθε.

β) Επειδή το ο μέλος της σχέσης: f () = F() F( ) + είνι πργωγίσιμη συνάρτηση, η f είνι πργωγίσιμη. Άρ: f () = f() + f( ) () γι κάθε. Επομένως είνι κι: f ( ) = f( ) + f() γι κάθε. Αφιρώντς κτά μέλη πίρνουμε: f () f ( ) = f() + f( ) = + Έτσι, υπάρχει στθερά c, ώστε: f() + f( ) = + + c γι κάθε. Αυτή δίνει: f() = f() + f() = + c<==> c= δηλδή τελικά: f() + f( ) = + γι κάθε. Επομένως πό την () έχουμε: f() = + = Έτσι υπάρχει c, ώστε f() =, είνι f() επομένως ότι f() f() = + c κι φού = γι κάθε. Αποδείξμε = γι κάθε. γ) Θέλουμε ν υπολογίσουμε το ολοκλήρωμ: I= d + Θέτουμε u =, οπότε d = du. Γι = έχουμε u= κι γι = είνι u=. Άρ: ( u) I= d = du = u + + u u u du u + + u = = du = = d = J + I + J = d + d = + + + = = + = = Άρ I =, οπότε I= J=. d d [ ]. δ) Είνι E = d. Θέτουμε: Άρ: Σχόλι g() = >, οπότε Στη σχέση u = = u, d = udu, = u =, = u = [ ] [ ] u u u E = u du = u du = νλλάξουμε το με το u = = τ.μ. f()d = f() ( ) μπορούμε ν ε- κι ν πάρουμε: f()d = f( ) f()d = f( ) f()d = f( ) + ( ) Οι σχέσεις ( ),( ) δίνουν: f() = f( ) + f()+ f( )= + () Αλλά πό την () έχουμε: f()+ f( )= f ()+ Από υτή κι τη () πίρνουμε: f () + = + f()= κ.λπ. 5.75 ) Η g έχει πεδίο ορισμού το A =. Είνι: g() = ( ) =. g() = = =. Όπως προκύπτει πό τον πίνκ προσήμου της g, η g είνι γνησίως φθίνουσ στο (, ] κι γνησίως ύξουσ στο [, + ). 4 ΣΤΕΡΓΙΟΥ ΝΑΚΗΣ, ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ, ΥΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ

β) Με μι προσεκτική πρτήρηση γίνετι φνερό ότι δεν είνι δόκιμο ν βρούμε την f g, θέτοντς στον τύπο της f όπου το g(). Πρτηρούμε λοιπόν ότι = f(), οπότε: f( g() ) = f( g() ) = f() Αρκεί λοιπόν ν ποδείξουμε ότι η f είνι " ", οδηγούμστε στην εξίσωση g() =. οπότε θ πάρουμε ισοδύνμ g() =. Είνι: ( ) f() f() = + + = + = + + f() = + + > + = + + ( ) =, δηλδή f() = + + > γι κάθε. Άρ f() >, οπότε η f είνι γνησίως ύξουσ. Επομένως η f είνι " ", οπότε: f ( g() ) = f() g() = Όμως πό το ερώτημ () έχουμε ότι: Γι < είνι g() > g() g() >. Γι > είνι g() > g() g() >. Άρ g() γι κάθε κι έτσι η μονδική ρίζ της εξίσωσης g() = είνι η =. Η δοσμένη λοιπόν εξίσωση έχει μονδική ρίζ τη =. Επισήμνση + + Είνι f()= κι: + f ()= + + = Όμως: + += += =, δύντη Άρ η f δεν έχει ρίζες, οπότε ως συνεχής θ διτηρεί πρόσημο. Επειδή f ()= >, είνι f ()> γι κάθε. γ) Πρτηρούμε ότι: ( ) Ότν έχουμε ν λύσουμε μι εξίσωση της μορφής f g() =, τότε: Ανζητούμε μι τιμή του, ώστε: f ()= ++ = += + f( ) = Γράφουμε την εξίσωση στη μορφή: f g() = f οπότε, ν η f είνι " ", οπότε + + f() = = + + f'() =.Επομένως: f() + f'() I = d = d = [ lnf() ] = lnf() + f() 5.76 ) Επειδή g() = κι η συνάρτηση: g() = f()f () είνι γνησίως ύξουσ, είνι g() > γι > κι g() < γι <. Έτσι το εμβδόν του δοσμένου χωρίου δίνετι πό τις σχέσεις: f()d= g() = f()f (), (). 6 6 f()d= g() = f()f (), < (). 6 6 Η δεύτερη σχέση δίνει: f()d= f()f () 6 f()d= f()f (), < () 6 Έτσι πό τις σχέσεις () κι () πίρνουμε ότι: f()d= f()f () γι κάθε (4) 6 Η συνάρτηση f δεν είνι στθερή, οπότε ς είνι ν ο βθμός του πολυωνύμου f(). Το πολυώνυμο f () έχει βθμό ν κι έτσι το πολυώνυμο g() = f()f () έχει βθμό ν + (ν ) = ν. Από την άλλη, το πολυώνυμο f()d έχει βθμό ν +, οπότε πό την (4) πρέπει ν + = ν ν =. Άρ: f() = + β + γ, κι επειδή f() = + β, η (4) δίνει: β + + γ = ( + β + γ)( + β) 6 5

β β + + γ + + γ = = ( + β + β + β + γ + βγ) 6 + β + 6γ ( + β + 6γ) = = + β + (β + γ) + βγ = = β = β β = 4γ 6γ= β + γ β + 6γ = βγ + β + 6γ= βγ β Επειδή γ =, η τελευτί δίνει: 4 β β β + 6 + + β = 4 4 β + 6β + β + 8= (β + ) = β = Επομένως =, β = κι β γ = =, οπότε: 4 f() = + = ( ) β) Επειδή f() = ( ) είνι f( ) = ( ). Θέτουμε = u, οπότε: u f( u ) f( u ) A = ( du) = du u = u + + = f d. + f f A = A + A = d + d = + + ( + )f = d = f ( ) d = + = f d+ f d = = ( + + )d + ( + )d = = + + + + = 8 8 8 8 4 = + 4 + 4+ = + =. 4 Άρ A =, οπότε τελικά θ είνι A =. 5.77 ) Είνι: f() + lnf () = + + ln f() ln + ln f () = + + ln ( ) f() ln f () = + + ln ( ) f() + + ln = f() = = = ( f() ) f() = + c Η f είνι συνεχής στο, οπότε: f() f() lim = lim + c = + c c = Άρ f() =,, φού υτή δίνει f() =, τιμή που είνι δοσμένη. β) Είνι f() =. Η f είνι γνησίως ύξουσ κι το f() = είνι ολικό ελάχιστο. Είνι f() = + 4 = (+ ) >. Ά- ρ η f είνι κυρτή. Το σύνολο τιμών είνι το f(a) = [, + ), όπου A = [, + ). f() γ) i) Έστω g() = με >. Είνι: f () f() + f () ( f() f() ) g() = = = f () f (ξ)( ) f () f (ξ) = = > διότι πό το Θ.Μ.Τ. υπάρχει ξ (, ), ώστε: f() f() = f (ξ)( ) κι η f είνι. (Ή με μελέτη της συνάρτησης h() = f () f() +.) Άρ < β g() < g(β). ii) Επειδή, είνι. Έτσι: [ d d = ] = 6 ΣΤΕΡΓΙΟΥ ΝΑΚΗΣ, ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ, ΥΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ

= = < = Άλλος τρόπος Γι > είνι: < = < d d δ) ( ) A = lim f = lim = lim + + + = = lim = lim = + + = lim = ( + ) ( + ) =+ + ε) Η ευθεί (ΔΑ) είνι η: f() f() y f() = ( ) f() y= + Είνι: f() y ΔA f() f() + [, ]. Άρ: f() f ()d + d = f() f() = + = + = f() + f() = + = = + f() = = ( + f() ) 5 4 5.78 ) Είνι d= =. 5 5 β) Όπως διπιστώνει κνείς με την πρώτη μτιά, ο όρος που προυσιάζει ιδιιτερότητ είνι ο f d. Θέτουμε λοιπόν οπότε d = d κι έτσι: = στο ολοκλήρωμ f ()d f d = = = fd = fd f()d, Η δοσμένη λοιπόν σχέση γίνετι: f()d= + f ()d fd = + f d f ()d f()d + = () 5 Επειδή οι δύο πό τους τρεις όρους της () είνι σε ολοκληρωτική μορφή, νγκζόμστε ν γράψουμε 4 d 5 = (υτός είνι ο λόγος ύπρξης του ερωτήμτος). Έτσι η () γράφετι: ( 4) ( ) f () f() + d = f d = g ()d = () γ) Επειδή g () κι η g () είνι επίσης συνεχής, η () δίνει νγκστικά: g () = g() = f = [,]. Τονίζουμε ότι ν γι κάποιο [,] είνι g, τότε g ()d >, άτοπο. Αν θέσουμε ό- που το (υτό μπορεί ν γίνει διότι με [,] είνι κι [,]), πίρνουμε: ( ) f() = f() =, [,] 7

Σημείωση Είνι φνερό ότι ν ζητηθεί πευθείς το ερώτημ (γ) το πρόβλημ γίνετι σφέσττ πιο δύσκολο. 5.79 ) Γι = : f () + f () = f () f () + = f () = β) Πργωγίζουμε κι πίρνουμε: f ()f () + f () = f () = > f () + γι κάθε. Άρ η f είνι γνησίως ύξουσ. Είνι f() =, οπότε: ε: y f() = f ()( ) y= γ) Είνι f() = κι επειδή η f είνι γνησίως ύξουσ, η = είνι η μονδική ρίζ. Επειδή η f είνι γνησίως ύξουσ κι f() = θ ισχύει: < f() < f() f() <. > f() > f() f() >. Άρ: γι (, + ) είνι f() >. γι (, ) είνι f() <. δ) Είνι f ()f () + f () =, οπότε πολλπλσιάζοντς με f() πίρνουμε: f ()f () + f ()f() = f() Επειδή f () = f(), υτή γίνετι: ( f() ) f () + f()f () = f() f() = f () f()f () () ε) Ολοκληρώνουμε την (): I= f()d = f ()d f()f ()d = f () = [ f ()] f ()d = = f () I f () διότι f() = κι μι ρχική της g() = f()f () είνι f () η G() =. Άρ: I + I = f () f () I = f() f () 4 Σχόλιο Τη σχέση f ()+ f()= την πολλπλσιάζουμε με f () κι πίρνουμε: f ()f ()+ f()f ()= f () 4 f () f () + + f()= [ f() ] 4 Άρ: 4 f () f () d + [ ] d + f()d = f() d 4 Επομένως: 4 f () f () f()d = + [ f() ] = 4 4 f () f () = +f()= 4 f ()f() f () = +f()= 4 ( ) f() f() f () = +f()= 4 4f() f()+ f () f () f() f () = = 4 4 στ) Έστω β. Θ ποδείξουμε ότι υπάρχει με f() = β. Θέτουμε = β + β. Τότε: Άρ: [ ] f () + f() = κι = β + β f () + f() = β + β f() β f () + f() β+ β + = f() = β διότι f () + f() β+ β + >. Η σχέση δίνει: f () + f() = με το f (), όπου, + = = + f f () f f () f () f () 8 ΣΤΕΡΓΙΟΥ ΝΑΚΗΣ, ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ, ΥΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ

Γενικά σχόλι i) Από τη σχέση f ()+ f()=, κι χωρίς άλλο δεδομένο, μπορούμε ν ποδείξουμε ότι η f είνι γνησίως ύξουσ. Πράγμτι, ν δεν ήτν γνησίως ύξουσ, θ υπήρχν, με < κι f f( ). Έτσι: f f ( ) οπότε: f + f f ( )+ f( ), άτοπο Μπορούμε επίσης ν ποδείξουμε ότι η f είνι συνεχής κι πργωγίσιμη φιρώντς τις σχέσεις: f ()+ f()= κι f ( )+ f( )= ii) Το σύνολο τιμών σε πρόμοιες σκήσεις βρίσκετι κι ως εξής: Η πιθνή ντίστροφη της f είνι η g()= +. Η g είνι γνησίως ύξουσ, άρ κι " ". Η δοσμένη σχέση δίνει g ( f() ) =,. Έτσι g f()= g (). Αλλά η έχει σύνολο τιμών το πεδίο ορισμού της g, δηλδή το. Άρ κι η f έχει σύνολο τιμών το. (Ας τονίσουμε ότι: g:- g(f())= = g(g ()) f()= g () ) 5.8 ) Η f είνι συνεχής κι πργωγίσιμη συνάρτηση στο A (, ) = + με: f () = ln ln( + ) = = + + = = = + ( + ) ( + ) Έτσι, η f είνι γνησίως ύξουσ στο (,] κι γνησίως φθίνουσ στο [, + ). Το f() = είνι ολικό μέγιστο, οπότε f() γι κάθε (, + ). Πιο συγκεκριμέν, είνι f() < γι (,) (, + ) κι f() =. β) Η συνάρτηση F έχει πεδίο ορισμού το A = (, + ), φού D f = (, + ). Επιπλέον: F() = f(), > Είνι F () = f() < γι κάθε (,) (, + ) κι η F είνι συνεχής στο. Έτσι η F είνι γνησίως φθίνουσ. Αλλά F() =, οπότε το πρόσημο της F φίνετι στον πρκάτω πίνκ. γ) Επειδή η εξίσωση δεν ορίζετι στ άκρ, του διστήμτος [, ], πλείφουμε πρώτ τους προνομστές κι οδηγούμστε στη συνάρτηση: 5 g() = ( ) ( F() + ( )f ()) + ( )( )( + ), > Η g είνι συνεχής στο [, ], ως πολυωνυμική. g() = ( ) 4 = ( ) >, φού >. g() = ( F() + ( )f ()). Επειδή είνι F() <, < κι f() < το πρόσημο της πρένθεσης δεν είνι προφνές. Γι τον λόγο υτό επικλούμστε το Θ.Μ.Τ. Η F είνι συνεχής στο [, ] κι πργωγίσιμη στο (, ). Σύμφων λοιπόν με το Θ.Μ.Τ. υπάρχει ξ (, ) τέτοιο, ώστε: F() F() F() F(ξ) = = () Όμως F(ξ) = f(ξ) κι η f είνι γνησίως φθίνουσ στο [, + ). Έτσι, φού < ξ< πίρνουμε: () F() > f(ξ) > f() > f() F() ( )f () > F() + ( )f () > Είνι λοιπόν g() <, οπότε πό το θεώρημ Bolzano συμπερίνουμε ότι η εξίσωση g() =, άρ κι η ρχική εξίσωση, έχει μί τουλάχιστον ρίζ στο (, ). 5.8 ) Επειδή η f είνι κυρτή, η f είνι γνησίως ύξουσ. Άρ η ρίζ = της f είνι μονδική. Προκύπτει επομένως ο επόμενος πίνκς προσήμου γι την f, π' όπου προκύπτει ότι: 9

Η f είνι γνησίως φθίνουσ στο διάστημ (, ]. Η f είνι γνησίως ύξουσ στο διάστημ [, + ). Η f είνι θετική γι κάθε. β) Επειδή η f είνι γνησίως ύξουσ πίρνουμε: > f() > f() = Είνι λοιπόν f() > κι επειδή γι > η C f είνι πάνω πό την εφπτομένη της στο σημείο Α(,f()), με το κριτήριο πρεμβολής πίρνουμε τελικά ότι: lim f () =+ + γ) Αρκεί ν ποδείξουμε ότι f() f(β) <, δηλδή ότι η β f() συνάρτηση g() = είνι γνησίως ύξουσ στ διστήμτ (, ) κι (, + ). Είνι: f () f() g() = () Από το θεώρημ της μέσης τιμής γι την f στο διάστημ [, ] προκύπτει ότι υπάρχει ξ (, ), τέτοιο ώστε: f() f() f() f(ξ) = = Επειδή λοιπόν f() = f (ξ), η () δίνει ότι: f () f (ξ) f () f (ξ) g() = = > διότι η f είνι γνησίως ύξουσ κι ξ <, οπότε είνι f(ξ) < f (). Άρ η g είνι γνησίως ύξουσ στο διάστημ (, + ). Όμοι ποδεικνύετι ότι η g είνι γνησίως ύξουσ στο διάστημ (, ). δ) Επειδή ο ριθμητής f() + f () μς πρπέμπει στο γινόμενο: f() + f () = f() πολλπλσιάζουμε τους όρους του κλάσμτος με κι πίρνουμε: ( + ) f () + f() f () f() I= d= d = f() + f() + ( f() ) ( f() + ) = d = d = f() + f() + = ln( f () + ) = ln f () + = ln ε) Με = y έχουμε ισότητ. Αν < y, εφρμόζουμε + y Θ.Μ.Τ. στ,, + y,y. στ) Θεωρούμε μι ρχική Η της f. Είνι τότε: + + [ ] f()d = H() = H( + ) H() κι: Η () = f( + ) f() > διότι η f είνι γνησίως ύξουσ στο (, + ). Επομένως Η() < H( + ), >, που είνι η ζητούμενη. 5.8 ) Είνι g( ) = g() g() =. Γι y= η δοσμένη δίνει: f() f() + f() f() () Γι = η δεύτερη σχέση δίνει: f () g() f () () Άρ f() =. β) Η f() g() δίνει: f( ) g( ) f( ) g() g() f( ) () Γι y=, η πρώτη δίνει: f() f() + f( ) f( ) f() (4) Άρ, πό τις () κι (4) προκύπτει ότι: g() f(), Αλλά f() g(), οπότε f() = g(),. γ) Αφού f() = g(), η f είνι περιττή. Γι το κι y το y η πρώτη δίνει: f( y) f( ) + f( y) f(+ y) f() f(y) f(+ y) f() + f(y) Αλλά f(+ y) f() + f(y), οπότε: f(+ y) = f() + f(y) δ) Γι y το y πό το ερώτημ (γ) πίρνουμε: f( y) = f() + f( y) = f() f(y) (5) Έστω f = f. Τότε: (5) f f = f( ) = = = διότι f() = κι το = είνι η μονδική ρίζ της εξίσωσης f() =. ΣΤΕΡΓΙΟΥ ΝΑΚΗΣ, ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ, ΥΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ

ε) Πργωγίζουμε ως προς y κι θέτουμε y=. Έτσι πίρνουμε: f( + y) = f(y). f () = f () = 7. Άρ f () = 7 + c. Αλλά f() =, οπότε c=. 5.8 ) f() = limf() = lim =. + g() β) Γι είνι f() = =. Είνι g() =, οπότε g() > γι κάθε. Άρ f() > στο κι φού η f είνι συνεχής, είνι γνησίως ύξουσ, άρ κι " ". Βρίσκουμε f( ) = (, + ) = D. γ) Βρίσκουμε: f() f() = lim = lim =... = οπότε εφ: y = y= +. δ) Είνι: + h() f() = = με h() = >, οπότε f() > γι. Αλλά lim f () =... = = f (), οπότε η f είνι συνεχής στο, συνεπώς είνι γνησίως ύξουσ. Άρ η f είνι κυρτή. f + ε) Η εξίσωση γράφετι f() =. Η C f είνι πάνω πό την εφπτομένη στο Α(,), εκτός πό το σημείο επφής. Άρ το = είνι η μονδική ρίζ. Άλλος τρόπος Αν H() = f(), τότε H() = κι: H() = f() Η Η είνι γνησίως ύξουσ, οπότε: H() > H() = γι < H() > H() = γι > Άρ το = είνι η μονδική ρίζ της Η. ln στ) Είνι lim ( ln ) = lim =... =, οπότε Α =. 5.84 ) Αν < y< β, τότε: f < f(y ) lim f() = β οπότε f<. β) Αν β < y <, τότε f > f(y ) lim f() =, οπότε f>. γ) Αν < β <, τότε f < < f f < f + β, δηλδή: 5.85 ) Είνι f() = ln+ = ln+ με f() = κι f() = + >. Άρ το f() = είνι ολικό ελάχιστο. β) Η εξίσωση γράφετι ισοδύνμ: ( ) ln = 5 f () = 4 Η εξίσωση έχει μί κριβώς ρίζ στο (, ) κι μί στο (, + ), βρίσκοντς τ f(δ ), f(δ ). γ) Αν g() = f () + f () 4, είνι: g = f < κι g = f > φού f = f = 4. Εφρμόζουμε το θεώρημ Bolzano στο [, ]. 5.86 ) Γι Αν f = f, τότε κι: = : f f () + f(y) = y () + = + f () f f () f () f f () + f = f f () + f =

β) Γι y = = : f f () + f () = f () =, όπου = f () + f (). Γι = η δοσμένη δίνει: () () f f(y) = y == f f () + f(y) γ) Η () δίνει f( f() ) f(y) = f () + f(y) f() = = γι κάθε. Γι το f() η δοσμένη δίνει: f( + f(y) ) = f() + y Με y= πίρνουμε π' υτή: f = f() () Γι y το f(y) η δοσμένη δίνει: f f () + y = f() + f(y) = δίνει f( f ()) που με y = f() (4). Από τις () κι (4) πίρνουμε: Άλλος τρόπος () f f () = f f () = = : Από τη δοσμένη γι y f f () = f(). Αυτή γι το f() δίνει: f = f() = f() Άρ f: f f () = f f () =. δ) Θ ποδείξουμε ότι f() =, ή f() =, (φού ( f() )( f() + ) = ). Αν, β με f() = κι f(β) = β, τότε γι = =, y = β πίρνουμε: Άρ f f () + f(β) = f( β) f f () + f(β) = f() + β= + β f( β) = + β, η οποί δίνει: f ( β) = ( + β) ( β) = ( + β)... β= άτοπο, διότι β. 5.87 ) Η g είνι γνησίως ύξουσ κι έχει σύνολο τιμών το. β) Αν, ληθεύει διότι Αν >, τότε: (γ) g () D = (, + ). g g () > > g() ln < < < Άρ η νίσωση ληθεύει γι <. γ) Η δοσμένη δίνει: f () + f()f () = (+ )f() f() + f() = + f() lnf() + f() = + + c Γι = : = + c c =. δ) Η σχέση πό το ερώτημ (γ) γράφετι: g: gf() = g() <===> f() = ε) Θέτουμε = u. Έτσι: I = I + I =... = d = Άρ I =. 5.88 ) Είνι: f()f = () οπότε f() =, >. Άρ η f είνι πργω- F γίσιμη κι έτσι συνεχής, φού η F είνι πργωγίσιμη. β) Έχουμε: f()f = = = F()f f()f = F()f F ()F + F() F = F()F = c Γι = πίρνουμε: F()f = F() = 8. F f() = F =. Άρ c= 8 =, οπότε 4 F()F = 4 (). Αλλά f()f =, οπότε, διιρώντς τις () κι () πίρνουμε: ΣΤΕΡΓΙΟΥ ΝΑΚΗΣ, ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ, ΥΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ

f() 4 = =, >. F() 4 ( ln F() ) = (4ln ) ln F() = 4ln + c. Η F ως συνεχής κι χωρίς ρίζες διτηρεί στθερό πρόσημο. Άρ F() > (φού F() > ). Έτσι: ln F() = 4ln + c Γι = : lnf() = 4ln+ c ln8= 4ln+ c c = ln 4 4 Άρ ln F() = 4ln ln = ln, οπότε F() =. γ) Είνι A =+, με το κριτήριο πρεμβολής. δ) Η g είνι συνεχής κι κοινά σημεί είνι τ =, =. Άρ [ E= ] d κ.λπ. 5.89 ) Θέτουμε όπου το 5 κι βρίσκουμε: f()f( ) =, Αυτή γι το δίνει: f( )F() = Επομένως: f()f( ) f( )F() = F ()F( ) + F( ) F() = F() = F()F( ) = + c <==> F()F( ) = + () Άρ διιρώντς κτά μέλη: f()f( ) = ln F() = ln( + ) F()F( ) + F() = + Η F, λόγω της () κι της F() =, είνι θετική. Έτσι: F() = + κι f() = + β) f() = >, οπότε η f είνι γνησίως ( + ) + ύξουσ. Βρίσκουμε f( ) = (,). γ) Το = είνι προφνής ρίζ. Με > είνι f() < f() κι f() < f(4), οπότε f() + f() < f() + f(4). Άρ δεν έχουμε θετική ρίζ. Όμοι γι <. 5.9 ) D f =, β f() =, β + β f() = = β Το f(β) = είνι ολικό ελάχιστο. β β) Είνι f() = > 4( β + β ) β + β σύμπτωτες y = β, y =. + β γ) Γι = είνι f() β+ β. Έτσι: + 4 6 + 9, + 9 +, + 4 + με ισότητ μόνο ν =, =, =, δηλδή γι =. Προσθέτουμε κτά μέλη, οπότε γι ν έχουμε ισότητ πρέπει =. Απ. = 5.9 ) Είνι γνησίως φθίνουσ στο (, ] κι γνησίως ύξουσ στο [, + ). (Μονδική ρίζ η =.) β) Γράφετι f: f g() = f() <==> g() = =, - πό το ερώτημ (). γ) f=. Έχει μί κριβώς ρίζ. 5.9 ) Γνησίως ύξουσ. f [, + ) = [, + ). Έχει μί μόνο ρίζ. β) 5 γ) Είνι = z+ z + z = f(z) κι τελικά: = f( f( f() )) Με πγωγή σε άτοπο πίρνουμε ότι η εξίσωση υτή είνι ισοδύνμη με την f() =. με

Έτσι = y= z. Αλλά: 5 f() = + = = Άρ (, y, z) = (,, ). 5.9 ) f() = + >. + β) f( ) = (, + ). γ) Γίνετι f() = (με πγωγή σε άτοπο) =. = f(z) δ) Γίνετι z = f(y) y = f(), οπότε f( f (())) =. Άρ: f() = + + = = Έτσι (, y, z) = (,, ). + h ε) Θεωρούμε h() = f()d, οπότε έχουμε: h() > h > (,) 5.94 ) Έστω g() = f(). Είνι οπότε g() < γι κάθε. Έτσι: g() = g() g () = ln( g() ) g () ( g ()) g() = = g() g() g () g () = g() () g() = g(), Έστω G ρχική της με G() =. Τότε η () δίνει: g G() G() g() g() = g() G() G() ( g() ) = g() = c Γι = : g() = c f() = c. Γι = η δοσμένη δίνει: f() = f() = f () = G() Άρ c=, οπότε g() =. Έτσι: g() = g() = c= g() = f() = f() = f() = β) Πρέπει: = ln f = g f = g( ) = = = ln = = γ) Θέτουμε = u. Έτσι: Άρ I=. f ( ) + f ( ) I = d = + [ ] [ ] = f ( )d = d = = ( )d+ ( )d = = + = 5.95 ) i) Με Θ.Μ.Τ. στ [, ] ή [, ] γι την f. Είνι: f() = f (ξ)( ) ii) Μπορούμε ν μελετήσουμε το πρόσημο της συνάρτησης στον ριθμητή της g. g(), β) Θεωρούμε την h() =. Η h είνι συνεχής κι h() <. Άρ η h είνι γνησίως φθίνουσ, ο- f(), = πότε h() > h() > h(β), δηλδή g() > g(β). γ) Από Frma είνι f() =, διότι f() = f() γι κάθε κ.λπ. Είνι f() < f() = γι κάθε, οπότε: f() < γι. Το πρόσημο της g φίνετι στον πίνκ: 5.96 ) Είνι f() γι κάθε κι η f είνι συνεχής, οπότε η f διτηρεί στθερό πρόσημο. Αλλά f() = >, οπότε η f είνι γνησίως ύξουσ. β) Είνι f ()f() >. Η f διτηρεί πρόσημο, άρ κι η f''. γ) Η εφπτομένη στο σημείο Α(,) είνι: y = ( ) y= + 4 ΣΤΕΡΓΙΟΥ ΝΑΚΗΣ, ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ, ΥΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ

Η f είνι κυρτή, διότι f() >, οπότε f() >. Άρ f() + γι κάθε. Γι > : < f() + οπότε δ) lim = κι έτσι f() + lim f () =+. + f() f() f() f() = = f () f() f () f() c = f () = f() f () = f() 5.97 ) F() = f() >, οπότε η F, ως γνησίως ύξουσ, είνι " ". β) Γι το f(): F( f() ) + F( f ( f() )) = = F() + F( f() ) Έτσι: Ff f() = F() f f() = ( ) γ) Πργωγίζουμε: f() + f ( f() ) f () = f() + f () = c ( f ()) = f () =, > Γι = η δοσμένη σχέση δίνει: F() + Ff() = Ff() = F() f() = Άρ f() =, φού c=. δ) Βρίσκουμε τ Α, Β κ.λπ. 5.98 ) Πργωγίζουμε τη δοσμένη κι πίρνουμε: f() + f( ) = συν () συν συν β) Είνι g() = f() κι g( ) = f( ). Προσθέτουμε κτά μέλη κι με τη βοήθει της () βρίσκουμε ότι g( ) = g(). Άρ η g είνι περιττή κι g() =. γ) Θέτουμε = u κι έχουμε: π π π π I = g()συνd = g( u)συνudu = I I = συν δ) Είνι f() = g() +. Υψώνοντς στο τετράγωνο κι ολοκληρώνοντς πίρνουμε: π g ()d = π Άρ g() = c κι επειδή g() =, είνι g() =. f() ε) A= lim = (κριτήριο πρεμβολής). + 7 B= lim f = θέτουμε = u κ.λπ.. 5.99 ) Έχουμε: f() ln + ln f () = + ( f() ) ( f() ) + ( + ln ) = + = = κ.λπ. β) Θέτουμε = u. Έτσι: f( u ) f( ) I= du = d u. + + I = I + I = f( )d = + d = = ( + ) d + ( ) d + = + + + + = + + =. Γι το J θέτουμε + = u κι μετά u =. Έτσι J =... = J, οπότε J=. γ) Αρκεί: g( ) = f = = = g( ) = f = + Σημείο επφής είνι το Α(,). ln δ) A= lim = lim =. 5. ) Είνι: f() f() ln + ln f () = ln ln f () = ln ( f() ) f() = = + c Γι = : c =. Άρ: f() = f() = ln, > ln ln β) I= d = d. ln + ln(4 ) ln + ln(4 ) Θέτουμε = + u = 4 u, οπότε: ln(4 u) ln(4 ) I= du = d. ln(4 u) + ln u ln(4 ) + ln 5

ln + ln(4 ) I = I + I = d = ln(4 ) + ln γ) A= lim d. + ln Είνι >,, ln. ln.. Άρ I=. + d d d ln Άρ lim d = ln, πό το κριτήριο πρεμβο- + ln λής. ( ) + ln( ) ln( ) d ln ln( ) ln( ) + ln( + ) d ln( + ). ln δ) Αρκεί f() f(β) < β. Αν f() h() =, με >, τότε: ( )f () f() h() = = ( ) ( )f() f(ξ)( ) f () f (ξ) = = > ( ) διότι η f είνι γνησίως ύξουσ. Εφρμόσμε το Θ.Μ.Τ. γι την f στο [, ], μπορούμε όμως ν μελετήσουμε κι την g() = ( )f () f(),. 5. ) f() = +, > (A = [, + )). β) Η f είνι γνησίως ύξουσ, f(a) = [, + ) κι: f() = f() = f() = γ) Με άτοπο. Αν f() ( ) <, τότε f f f() < f() < f(), άτοπο. f f() < f() < κι δ) Είνι + = y f() = y. Ομοίως f(y) = z κι f(z) =, οπότε f( f( f() )) =. Άρ: f() = = = 8 Επομένως (, y, z) = (8, 8, 8). 5. ) Είνι: f() = g()g () κι g() = f()f () Πολλπλσιάζουμε με g(), f() ντίστοιχ, οπότε: g() f() c= = f() = g() β) f() = f()f () f() ( f ()) =. Η f είνι γνησίως μονότονη, οπότε f() = =, φού f () = g() =, πό τις δοσμένες. Άρ με : + c, < f() =, = f() = + c, > γ) Βσικά όρι. A=, B = κι Γ =+. δ) Θέτουμε = u κι I = I + I κ.λπ. Θέτουμε επίσης = u κι το J επνεμφνίζετι. Τελικά: I=, J = 5 5. ) Αν f() = γι κάποιο >, τότε γι y = πίρνουμε: f() f() = ( )f()f() = δηλδή f() = γι κάθε >. Αυτό είνι άτοπο, διότι f() =. Η f ως συνεχής κι δίχως ρίζες θ διτηρεί πρόσημο. Αφού f() = >, θ είνι f() > στο (, + ). β) Γι y : f() f(y) = f(y)f() y οπότε: f() f(y) lim = f (y) lim f () = f (y) y y y Άρ f (y) = f (y), δηλδή f () = f () γι κάθε >. γ) Έχουμε: f() f() f () = f () <===> = f () = ( ) = + c f() f() Γι = πίρνουμε c=. Άρ f() =, >. δ) εφ: y =, >. 6 ΣΤΕΡΓΙΟΥ ΝΑΚΗΣ, ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ, ΥΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ

Γι = : yb = + =, δηλδή Β,. Γι y= : A =, δηλδή Α(,). Άρ (ΟΑΒ) = =, στθερό. 5.4 ) Πργωγίζουμε την ρχική σχέση, οπότε: F () f () = f()f () f() f () = f()f () f() f() = > f() + Άρ η f είνι γνησίως ύξουσ. f() f () β) f() = > f () = >. f() + f() + Άρ η f είνι κυρτή. γ) Η εφπτομένη στο έχει εξίσωση: f() y f () = f ()( ) y = ( ) + f () f() + Η f είνι κυρτή. Άρ f() f() ( ) + f(). Επο- f() + μένως: f() lim f () lim f (). + + =+ =+ f() + + + + f() + f() + lim == lim f () = lim ==. + + + f() + 5.5 ) Το μέλος με πργοντική δίνει: = f ()d f ()d f ()d β) Η δοσμένη δίνει: ( ) f ()d d d = = = =. f ()d f ()d ερώτημ ()., σύμφων με το γ) ( f() ) f () f() +. f ()d f ()d d + f ()d f ()d =. 5.6 ) Διότι F () = f() >. β) Γι το f() έχουμε: F f f() + F f() = = F f() + F() ( ) F: ( ) F f f() = = F() <==> f f() = γ) Πργωγίζουμε την ρχική: f ( f() ) f () + f() = f () + f() = c ( f ()) = f () = c f () =, > Αλλά f() = c=. συν δ) Είνι, δηλδή > κ.λπ. συν, Απ. A=. ε) Αφού f() = είνι F() = ln + c. Πρέπει ν ε- πληθεύετι η δοσμένη σχέση: ln + c + (ln + c) = ln + c = c= ln Απ. F()= ln ln = ln. 5.7 ) Γνησίως ύξουσ. β) f() = + =. Η f είνι κοίλη στο (,] κι κυρτή στο [, + ). Το Μ(,) είνι σημείο κμπής. γ) Σύνολο τιμών είνι το. δ) f() = κι η f είνι γνησίως ύξουσ. Η f είνι ρνητική στο (,) κι θετική στο (, + ). ε) Το = είνι ρίζ. Γι (,) είνι > κι 5 f() > f, f > f κι έτσι: 5 f() + f > f + f Γι > είνι έτσι: f() < f, 5 >, οπότε 5 f < f κι 7

5 f() + f < f + f Άρ μονδική ρίζ είνι το =. 5.8 Πεδίο ορισμού Α =. ) β f() = + > β Η f είνι γνησίως ύξουσ στ (, ) κι (, + ). β) Είνι lim f () =, lim f () =, οπότε: f(δ ) = (,) με Δ = (, ) Επίσης lim f () + γ) Η =, διότι =, lim f () =+. Άρ: + f(δ ) = με Δ = (, + ) Απ. f(a)=. lim f () =. + Η ευθεί y= στο. δ) Θέτουμε = β, οπότε d = β d. Άρ: β β β I= d = β d = β β Άρ I = I =. β β = d = I 5.9 ) Η f έχει πεδίο ορισμού το A =. Είνι: + f() = < + διότι + > =, δηλδή + <. β) Είνι f() = >, οπότε είνι κυρτή. ( + ) + γ) Η y= στο + κι η y= στο. δ) f(a) = (, + ), διότι lim f () =+ κ.λπ. Είνι: f () =, > ε) Θέτουμε = u+, οπότε: Η δοσμένη γίνετι f()d= f(u+ )du = f(+ )d [f() f( + )]d > διότι η f είνι γνησίως φθίνουσ κι < +. 5. ) =, y=. β) Θέτουμε =, οπότε: u γ) Είνι I= du = u + + u u u du ( ) + u + u = = f ()d f()d= f()d+ f()d= (β) f()d == + f()d = = ( + )f()d = d +, που ισχύει, + με ισότητ γι =. Άρ γι > : d > d < d + + Όμως [ ] d = ln = ln κι ln = ln. 5. ) Γι = είνι f() =. Γι είνι: 8 ΣΤΕΡΓΙΟΥ ΝΑΚΗΣ, ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ, ΥΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ

f() = F() διότι F() γι κάθε. Άρ μονδική λύση είνι η =. β) Επειδή F() κι η F είνι συνεχής ως πργωγίσιμη, η F διτηρεί στθερό πρόσημο. Όμως F() = >, οπότε F() >. γ) Είνι: F() F() = f() = F() = ( ln F() ) lnf() = + c Γι = πίρνουμε ln F() = c c =. Άρ: F() = κι f() = F () = δ) Είνι G() = F() >, οπότε η G είνι γνησίως ύξουσ. Με < είνι G() < G() =. Άρ: E = G()d = G()d = [ ] = G() + G'()d = + d = = = 5. ) Είνι f( ) = f(), οπότε f() =. β) f() = F() +, >, οπότε η f είνι πργωγίσιμη στο (, + ). Έτσι: f () f () f () = ( + )f () = f () f () + = ln( f() ) = + ln + c f() Η δοσμένη δίνει ότι f() =, οπότε c=. Έτσι: + ln f() = =, Γι < είνι >, οπότε: f() = f( ) = ( ) = Άρ f() = γι κάθε. γ) Η f είνι γνησίως ύξουσ, κοίλη στο (, ], κυρτή στο [, + ), το Α(, ) είνι σημείο κμπής. Σύνολο τιμών είνι το (f () = ( + ) ). δ) Η f είνι γνησίως ύξουσ, οπότε ντιστρέφετι. Έ- στω f () = f(). Τότε f( f() ) =. Θ ποδείξουμε ότι f() =. Αν ήτν f() <, τότε: f( f() ) < f() < f() άτοπο. Όμοι δεν μπορεί ν είνι f() >. ε) f() = = (=, =, = ). Ε(Ω) = 4 ( f())d = 4 = = ( ) = ( ) = Σχόλιο Η συνθήκη f()> μπορεί ν πρληφθεί, διότι με g()= f()d, η δοσμένη δίνει: g () g()= g() = = οπότε τελικά g()= + κι: f()= g ()= F() 5. ) Γι > είνι f() = + + +, οπότε η f πργωγίζετι. Προκύπτει: f () = f() = ln( + ) + c + κι c=, φού f() =. Βρίσκουμε f () =,. β) Η f είνι κοίλη κι η C f είνι "κάτω" πό την εφπτομένη στο Α(, ), δηλδή την y=. γ) E(Ω) = f()d = (+ ) ln(+ )d = = [( + ) ln( + ) ] = ln 9

δ) Είνι D I = (, + ). Είνι f() ln(+ ), >. Η γνωστή σχέση ln γι = δίνει: + ln( + ) ln( + ) + + Έτσι: > ln( + ) + + f() Γι (,) είνι >, οπότε: [ ln ] I() [ ln ] + ln I() ( ) + ln οπότε lim I() =. Σχόλιο Αν I()= d, όμοι βρίσκουμε ότι: f() lim I()= ln 5.4 ) Είνι g() =, >. β) Είνι g() = c με c=. Έτσι: g() = ( ) f() ln ln ( ln) ( f() ) ( ln ) = κ.λπ. = + = + Απ: f()= ln γ) y=. δ) Γίνετι: ln β + β + β ln ln ln β (+ β) 4β Γενικά σε πρόμοιες περιπτώσεις εφρμόζουμε Θ.Μ.Τ. + β γι την f στ,, + β, β όπου θεωρήσμε ότι < β. Γι = β έχουμε ισότητ. f ( + y) = f (y) + 6y + Άρ f() + y = f(y) + (). γ) Γι y= πίρνουμε: f () = f () + f () = + f () + Γι = βρίσκουμε =. Είνι επίσης f() = + f () + = f () =. Άρ f() = + +, που είνι δεκτή. δ) Είνι f() = + >, οπότε η f είνι γνησίως ύξουσ. Επειδή lim f () = κι lim f () =+, εί- + νι f=. Άρ ορίζετι η f :. Έτσι: f ( + ) < f f ( + ) < f() + < + + > Οι τιμές είνι δεκτές, διότι D =. f ε) f () = f() = + + = =. στ) Θέτουμε = f(y). Τότε: [ ] I = yf (y)dy = yf(y) f(y)dy = 4 5 = f( ) + f()d= + + + =... = 4 4 5.6 ) Είνι f() στο (, ) κι f() >. β) f() = +. γ) Στο [,] γνησίως ύξουσ, στο [, ] γνησίως φθίνουσ. Η f είνι κοίλη. δ) Η C f φίνετι στο σχήμ: 5.5 ) Γι = y= z= είνι: f() = f() f() = β) Γι z= πίρνουμε: + = + + + Πργωγίζουμε ως προς : f ( y) f () f (y) y( y) f( + y) = f() + 6y+ y Πργωγίζουμε ως προς y: ΣΤΕΡΓΙΟΥ ΝΑΚΗΣ, ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ, ΥΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ

ε) y f () y 4, με y το εμβδόν τετρτοκυκλίου. Έτσι: Ι (πr ) π π 4 4. Το Ι εκφράζει 5.7 ) Η f είνι συνεχής, οπότε μι τέτοι ρχική είνι η F() f ()d. β) Πολλπλσιάζουμε τη δοσμένη με F() : F() F() F() f () f () f () f () F() F() f () f () f () F() F() F() f () f () F() f () F() f () c, c Άρ F() F() c Άρ: F() ( ), f () κι τελικά f (). Άλλος τρόπος F() F() F() Είνι F(), c. f () f (), οπότε: F() F() f () F() F() F() F() F() κ.λπ. γ) Η f είνι γνησίως ύξουσ, f (, ) κι σημείο κμπής είνι το Α(, ) f (). δ) f () ln ε) Φίνοντι στο σχήμ. είνι f () 4,, (, ). στ) Είνι: Ε() ( f ())d ln( ) ln( ) ln lim E() lim ln ln ln, διότι: 5.8 ) lim F f () F ()F. Γι το : F F() F F(). Με πρόσθεση: F ()F F F() F()F κ.λπ. β) Είνι F, οπότε: f () F () Άρ F()F F() F () F () ln F() ln( ) c F(), c F(), φού F() (ως συνεχής, χωρίς ρίζες κι F() ).

γ) Είνι f (), οπότε είνι γνησί- ως ύξουσ. Σύνολο τιμών είνι το f (A) (, ), όπου έχουμε θέσει A (, ). 5.9 ) F() G(). β) Η δοσμένη δίνει: F() F() F() f () f () F() F() F() f () f () f () () F() F() F() f () f () F() F() F() F() f () F() F() F() F() F() F() c με c γ) Πολλπλσιάζουμε με, οπότε: F() F() c, c F(), οπότε: F() ( ) (). δ) Έχουμε () F() f () ( ) f () Η συνάρτηση υτή είνι δεκτή.,. ε) Είνι f (), η f είνι θετική κι έτσι η f είνι γνησίως ύξουσ. Αλλά: lim f () κι lim f () οπότε f (, ). Η εξίσωση y f () δίνει: οπότε f () ln 5. ) Έχουμε: f () y ln y, (, ). f () f () f () f () ln f () f () ln c (c γι ) f () f () ln g f () g ln όπου g(). Αλλά η g είνι γνησίως ύξουσ, οπότε πίρνουμε f () ln. β) Θέτουμε, οπότε d du. Έτσι: u u ln u I du Ι u u Επομένως είνι Ι Ι. Άλλος τρόπος Αν φ() f () d, τότε φ (). Άρ: φ() c φ() ln γ) Είνι g(), οπότε: ln E g()d f() h() ln δ) f() h () όπου Α(, β) είνι το σημείο επφής. Είνι: εφ: y f() f () y ε) A ln, φού ln κ.λπ. 5. ) Είνι f () g (), οπότε: f() g() c β) Είνι f () f()g(). Αν G είνι ρχική της g με G(), τότε: Άρ G() G() (γι ) f () f () c G() f (). F() Όμοι γι την g είνι g(). γ) Διότι f () κι g (),. δ) Έχουμε: f () f ()( f ()) f () f () f () Έστω F ρχική της f με F(). Τότε: F() F() F() f () f () f () f () F() F() f () f () h () h() h() h() c ΣΤΕΡΓΙΟΥ ΝΑΚΗΣ, ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ, ΥΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ

F() με h() f () κι c h(). Άρ: Έτσι: F() F() f () F() F() f () f () f () Αφού g() f(), πίρνουμε g(). 5. ) Έχουμε: ( ln )f () ( ln )f () ( ln ) f () ( ln )f () ( ln )f () ( ln )f () c Γι πίρνουμε c. β) Έχουμε: ( ln )f () ( ln )f () Αν g() ln, τότε g (). οπότε g() g(). Άρ: ln f () ln ln f() ln( ln ) c με c (γι ) γ) Είνι f (). ln Η f είνι γνησίως φθίνουσ στο (,] κι γνησίως ύξουσ στο [, ). Το f () είνι τοπικό ελάχιστο της f. ln δ) Είνι f (). ( ln ) Αν h() ln, τότε: h () Επειδή είνι: lim h(), h ln 4 h() κι lim h() η h έχει μί κριβώς ρίζ στο (, ). Η f λλάζει πρόσημο στο, οπότε στο η f προυσιάζει σημείο κμπής. 5. ) (ημ ). β) f. γ) Ακριβώς μί ρίζ. δ) Πρτηρούμε ότι: f () ημ γι κάθε f () ημ. f() f () ημ συν. π I d lnf () ε) π f () f () f () π π π ln ln. f () συν, f () συν. Έτσι: συν κι y συν συν Δηλδή είνι y συν. 5.4 ) Είνι γνησίως ύξουσ με f. β) Έχει μονδική ρίζ. γ) Η f είνι κυρτή. Αν β, τότε στ β, β εφρμόζουμε Θ.Μ.Τ. β, κι

δ) Είνι, f () γι κι f () γι. Το όριο δεν υπάρχει. ε) Είνι f (), οπότε f () f (). Έτσι: f () f () f () g() ln f () f () f () Άρ G() lnf () ln. B lim ln, φού ln. 5.5 ) Είνι f () γι κάθε [, β] κι η f είνι συνεχής ως πργωγίσιμη. β) Αν όχι, τότε δεν είνι " ". Άρ υπάρχουν γ, δ [, β] με γ δ κι f(γ) f (δ). Από το θεώρημ Roll υπάρχει ξ (γ, δ), ώστε f(ξ), άτοπο, διότι η συνθήκη δίνει f () γι κάθε [, β]. f () γ) Αν θεωρήσουμε τη συνάρτηση g(), πό το f () θεώρημ Roll υπάρχει ξ (, β), ώστε: g(ξ ) f (ξ ) f (ξ )f (ξ ) Άρ f(ξ )f (ξ ). Όμοι εργζόμστε γι τη συνάρτηση h(). Τις δύο σχέσεις τις προσθέτουμε f () f () κτά μέλη. 5.6 ) Είνι f () γι κάθε, η f είνι συνεχής κι f (), οπότε f () γι κάθε. Ομοίως ποδεικνύουμε ότι g() γι κάθε. β) Πργωγίζουμε την f ()g() κι ντικθι- στούμε g(), g (). Έτσι πίρνουμε: f () f () f () f () f () f () f () c κι τελικά f (). Άρ g() f (). f () γ) Αν Α(,f()) είνι το σημείο επφής, ρκεί ν ισχύουν οι σχέσεις f() κι f(). Έτσι κι δ) Είνι:. Άρ κι Α(,). f lim lim lim lim lim 5.7 ) Έχουμε ότι: h f ( h) f () f () f ( h) lim 6 h h Όμως: f ( h) f () lim f () h h f () f ( h) hu f ( u) f () lim lim f () h u h u Έτσι f () 6 f () κ.λπ. y β) Το σύστημ οδηγεί σε εξί- y f () f ()( ) σωση γ βθμού με προφνή ρίζ, οπότε γίνετι ( ) ( ). Άρ β. γ) Είνι f(β) β 4 4f (). 5.8 Α. ) Γι πίρνουμε: f f (y) f () y () Αν f f, τότε: f f f f f() f() Γι y, η δοσμένη δίνει: β) Γι, y f: f f () f () f () πίρνουμε f f (). Αν y, τότε με f είνι f y. Άρ f. Β. ) Είνι f f () Αν f() άτοπο. Αν f() άτοπο. γι κάθε. Έστω., τότε, τότε f f () f (), δηλδή, f f () f (), δηλδή, 4 ΣΤΕΡΓΙΟΥ ΝΑΚΗΣ, ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ, ΥΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ

f () β) Είνι I d d. Θέτουμε u, οπότε: Άρ: Άρ I. ( u) I ( du) d u I I I d d 5.9 ) Γι είνι: f f f () f f () Άρ f f f () f () f () f (). β) Έστω f f. Τότε f f f f f f f f f f. Άρ: Είνι fff κι: κι f f f f f f f γ) Έστω f f f f ( y ), οπότε: y. Θέτουμε f f f f ( y ) ( y ) y Άρ f. δ) Αν η f είνι γνησίως ύξουσ, τότε με έ- χουμε f f άτοπο., f f f f f f f f f f κι: ε) Είνι: f f f f f ( ) f () f ( ) Η () δίνει: f() f( ) () Ι f ()d f ( ) d f ( )d f ( )d Θέτουμε u, οπότε d du. Έτσι: f d f ()d Άρ I f ()d Ι, οπότε: 5. ) Γι Ι Ι έχουμε: f() f ()ln (ln ) f () f ()ln ln Πολλπλσιάζουμε με ln: ln f () f ()ln ln ln f () ln f ()ln ln ln f () ln ln f ()ln ln c Γι πίρνουμε c. Άρ f (),. Αλλά η f είνι συνεχής στο, οπότε f () lim f (). Άρ f (),. β) Θεωρούμε τη συνάρτηση:, g(), Είνι lim g() lim g(), οπότε η g είνι συνεχής στο. Έστω G μι ρχική της g. Τότε: A lim g()d lim G() G() 5

G() G() διότι η G είνι συνεχής ως πργωγίσιμη. f () γ) Έστω Η ρχική της h() ln,. Τότε: B lim h()d lim H H() Από το Θ.Μ.Τ. υπάρχει ξ() (, ) τέτοιο, ώστε: H H() Hξ() H H() δηλδή hξ() H H(). Έτσι: B lim h ξ() lim ξ() ln ξ() ξ() ξ() κι, οπότε: lim ξ() u lim lim u u ln u u u u Άρ B lim. u u ln u Σχόλιο ln u lim (u ln u) lim u u u u ln u διότι lim lim. u u u u Όμως lim ln ln, οπότε lim I() ln. Όμοι εργζόμστε ν Άλλος τρόπος Έστω Έτσι: Άρ. Τότε. Εδώ είνι κι: ln ln ln d I() d ln ln. ln(ln ) I() ln(ln ) ln ln ln I() ln ln ln ln I() ln lim d ln. ln 5. ) () f (), f (). Άρ η f είνι γνησίως ύξουσ., δ) Είνι ln γι κάθε. Αυτή γι το δίνει ln ln ln. Επο- μένως ισχύει ότι ln. Γι είνι οπότε: κι. Έτσι: ln d I() d ln ln I() ( ) ln ln ln I() ln β) Η f είνι γνησίως ύξουσ με f (). Άρ: f () γ) Το σύνολο τιμών είνι το f (D f ),. δ) Νι, με D f (D f f ),. Αφού η f είνι f γνησίως ύξουσ, η είνι επίσης γνησίως ύξουσ (με πόδειξη ότν χρησιμοποιείτι). 6 ΣΤΕΡΓΙΟΥ ΝΑΚΗΣ, ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ, ΥΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ

ε) Είνι E 5 f ()d ln. 4 Σημειώνουμε ότι: ( )ln( )d u ln udu ( u, d du, u, u ) u u u u ln u du ln u u 4 (ln ) ln 4 4 5. ) Είνι f () F (), οπότε: F ()F Άρ: Άρ: κι F F() 4 F ()F F F() 4 F()F F()F c με c, διότι F()f () κι f (). β) Από το () προκύπτει ότι F() κι επειδή η F είνι συνεχής, ως πργωγίσιμη, διτηρεί πρόσημο. Αλλά F(), οπότε F() γι κάθε. γ) Είνι: f ()F Με διίρεση πίρνουμε κι F()F f () F(). Άρ: ln F() ln( ) οπότε ln F() ln c, με c, διότι είνι F(). Άρ δ) F() ln κι: f () F () A lim 4 lim B lim f () lim 5. Η f είνι συνεχής στο Δ [, ), ως πργωγίσιμη σ' υτό. ) Πργωγίζοντς κι τ δύο μέλη της δοθείσς (κι τ δύο μέλη είνι πργωγίσιμες συνρτήσεις στο Δ), προκύπτει: f () f () f () γι κάθε Δ Επειδή f () γι κάθε Δ, έχουμε: f () f () () f () Συνεπώς η f είνι γνησίως ύξουσ στο Δ. β) Από την () προκύπτει ότι η f είνι πργωγίσιμη στο Δ, ως πηλίκο πργωγίσιμων συνρτήσεων. Πργωγίζοντς λοιπόν προκύπτει: f () f () γι κάθε Δ f () Άρ η f είνι κυρτή στο Δ (). γ) Είνι f () f () γι κάθε Δ. Άρ πό την () προκύπτει ότι γι κάθε Δ ισχύει: f () () Η f ικνοποιεί τις προϋποθέσεις του Θ.Μ.Τ. στο [,]. f () f () Συνεπώς ισχύει ότι fξ() με ξ() στο f ξ(), οπότε: (, ). Από την () ισχύει ότι 7

f () f () f () f () (4) Ισχύει Άλλος τρόπος f () f () f () γι κάθε Δ. Συνεπώς η g() f () είνι γνησίως φθίνουσ στο Δ. Άρ: f() f() f() f() γι κάθε Δ. δ) Λόγω της (), η f είνι γνησίως ύξουσ στο Δ. Άρ: ξ() f ξ() f () (το ξ() του προηγούμενου ερωτήμτος). Συνεπώς: f () f () f () f () f () f () (φού ). Είνι: lim f () f (), οπότε lim f (). f () f () f () lim lim lim f () lim, φού είνι lim. f () f () 5.4 Α. ) Θέτουμε β κι y κι β y y. Άρ: f() f (β) f (y) f f () f β y. Τότε β β) y y h() h(y) f f f () f y y f () f f () h Β. ) Έχουμε: f (y) f f () y () Η σχέση () γι κι y δίνει: f () f f () f () f () Πργωγίζουμε την () ως προς (το y είνι επομένως στθερό) κι πίρνουμε: f (y) y f f () y y Αυτή γι κι y δίνει: f () f f () f () f διότι f () κι (φού ). Η σχέση () δίνει: f () f f () f () Οι () κι (4) με πρόσθεση δίνουν: f () f () (5) (4) β) Η (5) δίνει f () ln c,. Όμως f (), οπότε πό την τελευτί σχέση έχουμε c c. Άρ: f () ln γι κάθε 5.5 ) Είνι β) Με τον ορισμό. Είνι f (). lim f () lim... f (). γ) Μελετάμε το πρόσημο στον ριθμητή: g() g() της f (). Η f είνι τελικά γνησίως ύξουσ. δ) Αν F είνι ρχική της f (που υπάρχει, διότι η f είνι συνεχής), τότε: F() F() A lim d lim... Σημειώνουμε ότι φού η F είνι συνεχής, τότε: lim F() F() F() F() οπότε εφρμόζετι ο κνόνς του d L'Hospial. 5.6 ) Θέτουμε στις δύο σχέσεις όπου, y το. β) Η f f (), θέτοντς όπου το δίνει: 8 ΣΤΕΡΓΙΟΥ ΝΑΚΗΣ, ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ, ΥΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ

f f f f γ) Έχουμε f f (), οπότε: () () f () f f f f f Επειδή πό την υπόθεση είνι f f (), πίρνου- με: () () () f () f f () Άρ: f() f() f(), Αλλά γι y η δοσμένη δίνει f (). Επομένως f () γι κάθε. Η συνάρτηση υτή ικνοποιεί τις ρχικές σχέσεις κι γι τον λόγο υτό είνι δεκτή. 5.7 ) Γι y : F() F() f (), οπό- τε η f πργωγίζετι στο (λύνουμε ως προς f()). Γι y : f () F() F(), οπότε η f πργωγίζετι στο {} (λύνουμε ως προς f()). Άρ η f πργωγίζετι στο. f () β) Είνι F() F(),, η οποί όμως ισχύει κι γι. Πργωγίζουμε: f () f () f () f() f (), γ) Η τελευτί γίνετι: f () f () f (),, f () f () γ, β, β, Αλλά η f είνι συνεχής κι στο, οπότε: lim f () lim f () f () γ Είνι επίσης πργωγίσιμη, οπότε β. Άρ: f (), 5.8 ) Είνι: f () f () f () f () f () f () c Αλλά f() c, οπότε: f (), β) Είνι f (), οπότε η f ως γνησίως μονότονη (ύξουσ) είνι κι " ". Είνι lim f () κι lim f () κ.λπ. Απ. D = f () γ) Είνι lim f () κι lim.... Απ. = () 6 δ) Είνι f () κι f (). Η 4 f είνι γνησίως ύξουσ κι επιπλέον: lim f () κι lim f () Άρ f κι έτσι η f έχει τελικά μονδική ρίζ. Αλλά στο η f λλάζει πρόσημο ( f () γι κάθε κι f () γι κάθε ). 5.9 ) Η f είνι συνεχής., β) f (). Η f είνι γνησίως ύξουσ., γ) Η f είνι " " ως γνησίως μονότονη. Έτσι: ln, (, ) f (), δ) Ε d ( ln )d ln f 9

5.4 ) A (, ). β) f () ln ln Είνι f () κι ν g () g() ln, τότε, φού. Άλλος τρόπος Είνι f ().... f β) f () f () f (). γ) Αν θέσουμε, τότε η εξίσωση γράφετι: 4 4 ( ) 4 f () 4 4 f() f() Η g() είνι γνησίως ύξουσ, οπότε τελικά η f είνι γνησίως φθίνουσ στο (, ] κι γνησίως ύξουσ στο [, ). γ) Είνι: lim f () lim ln κι lim f (), οπότε f (A) [, ). δ) Έχουμε: οπότε θ είνι: f () ln ln ln f ()d lnd ln ln d d ln ln 5.4 ) Είνι f ln ln D. Αν, τότε:, 4 4 4 4 Άρ, τελικά, f f κι έτσι η f είνι γνησίως ύξουσ. 5.4 ) Η f είνι συνεχής στο διάστημ (, ) κι f () γι κάθε (, ), οπότε η f διτηρεί στθερό πρόσημο στο (, ). Επειδή f (), η f διτηρεί στθερό θετικό πρόσημο. Όμοι η g διτηρεί στθερό θετικό πρόσημο. Είνι: f () f ()g() κι: f ()g() f ()g () () g () g ()f () g ()f () g ()f () () Αφιρούμε κτά μέλη τις (), () κι πίρνουμε: f ()g() g ()f() f ()g() g ()f () f () g () g() Άρ υπάρχει c, ώστε f () c γι κάθε g(). Γι προκύπτει ότι c, οπότε: f () f () g() g() γι κάθε. β) Η σχέση f () f ()g() γίνετι: f () f ()f () f () f () f () f () f () () f () f () Άρ c. Γι η τελευτί δίνει c. f () ΣΤΕΡΓΙΟΥ ΝΑΚΗΣ, ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ, ΥΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ

Έτσι f (), οπότε f () γι κάθε. Αλλά f (), οπότε f () κι g(),. γ) Η f είνι συνεχής στο (, ) κι:, f () οπότε η f είνι γνησίως φθίνουσ στο (, ). Είνι lim f () lim, διότι: lim κι γι δεξιά του Άρ η ευθεί είνι κτκόρυφη σύμπτωτη της γρφικής πράστσης. Είνι: lim f () lim lim Άρ η ευθεί y είνι οριζόντι σύμπτωτη της γρφικής πράστσης της f στο +. δ) Είνι E() f () d d d d Επομένως πίρνουμε: lim Ε() lim lim lim Σχόλιο Η πόδειξη γι την ισότητ των f, g μπορεί ν γίνει κι ως εξής. Είνι: f () f ()+ f ()g()= = f()g() () f() g () g ()+ g ()f()= = f()g() () g() Επομένως: f () g () = lnf() = lng() f() g() lnf()= lng()+c διότι οι f, g είνι θετικές. Με = βρίσκουμε c=, οπότε f = g. 5.4 ) β) Θέτουμε A. u κ.λπ. γ) Πολλπλσιάζουμε τη δοσμένη με κι πίρνουμε: f f f d f d d () Θέτουμε u, οπότε βρίσκουμε: f d f (u)du 5 Επομένως η () δίνει: 9 B B B B 5 9 5.44 ) Είνι g () 9. Έστω Μ(, g()) το σημείο επφής. Τότε: εφ: y g() g ()( ) y ( 9 5) ( 9)( ) g A(, 4) C 4 9 5 ( 9)( ) 9 9 9 9 ( ή ) i) Γι είνι εφ : y 5 9 y 9 5. ii) Γι είνι: g() 4 8 5 9 κι g () 4 9 5 οπότε εφ : y 9 5( ) y 5. β) Θέτουμε η εξίσωση γίνετι Αν f ( 5 6) 5 5 56 5 5 5 6 ω. Τότε ω ω. h(), τότε h() κι: 5 5 ω κι h () ln Άρ η h είνι γνησίως ύξουσ, οπότε το είνι μονδική λύση. Έτσι:

ω = ω ω= 5+ 6= ( = ή = ) γ) Είνι: f(+ ) f() A= lim = lim = + f(+ ) + f() + + + + = lim = lim = =. + 4 + + 4 4 + B= lim = lim =, διότι 4 + 4 + lim =. δ) Πρτηρούμε ότι f() = = g() κι f() = 9= g(). Άρ δύο κοινά σημεί είνι τ Α(, ) κι Β(, 9). Έστω ότι οι C f, C g έχουν τρί κοινά σημεί με τετμημένες ρ< ρ < ρ. Αν h() = + 9 + 5, τότε πό θεώρημ Roll: f f() f() f() lim = lim h = h h f() f(h) f() = lim h h = h ( h) h f() h f(h) = lim = f () + h h ( h)h h f() Άρ f() = + (). γ) Η () γράφετι: f () f() f () f () = = f() f() = ln = ln + c Γι = πίρνουμε c=, οπότε f() = ln, που είνι δεκτή, διότι ικνοποιεί κι τη δοσμένη συνθήκη λλά κι την f() = (επληθεύουμε πρίτητ κι τις δύο συνθήκες). η h έχει δύο τουλάχιστον ρίζες ξ (ρ, ρ ), ξ (ρ, ρ ) η h έχει ρίζ στο (ξ, ξ ). Αλλά: h() = ln+ 9 κι h() = ln + > ξ Έτσι h(ξ) = ln + =, άτοπο. Άρ η h έχει το πολύ δύο ρίζες κ.λπ. 5.45 ) Γι = y= πίρνουμε: f() = f() f() f() = f() β) Είνι f() =, οπότε lim = (). Έστω >. Τότε, με = κι h, έχουμε: h 5.46 ) f() = f() + f () f () f() = > f () f() f() <==> = = ln + c, c > Άρ f() = ln, >. β) Η f είνι κυρτή κι έχει σύνολο τιμών το:, + ln γ) lim g() = lim ( ln ) = lim =... = = g() I = g()d = lim g()d = lim ln d = = lim ln = lim ln = 4 4 4 = 4 5.47 ) Γι = z= : ΣΤΕΡΓΙΟΥ ΝΑΚΗΣ, ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ, ΥΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ

f ( f (y)) = y f ( f (y)) = y () Αν f = f, τότε: f( f ) = f( f ) οπότε =. Άρ η f είνι " ". β) Έστω y. Αν θέσουμε = f(y ), τότε: f = f( f(y ) ) = y Άρ f=. γ) Γι z= η δοσμένη δίνει: () f( + f(y) ) + + y= y f( + f(y) ) = y f + f(y) + f f(+ y) = y <==> Αυτή γι = y δίνει: f: f + f() = = f f() <==> + f() = f() f() = f() Αλλά A(,) Cf f() = f() = f() = Άρ f() =,. Σχόλιο Η f είνι δεκτή, ν κι η επλήθευση δεν πιτείτι. f(u) 5.48 ) lim f lim = = u u f(u) lim f lim + = = u + u Άρ lim g() = = g(). h() h() lim = lim f =, οπότε: f f, h() =, = β) H() g() h () G () h () G() h(), γ) = = = ( ) όπου G ρχική της συνεχούς g. Άρ η G h είνι ρχική της H. 5.49 ) f() = ( ) f() f() = ln f () = f () f() Θέτουμε g() = f (), οπότε f() = g() κι: g() g() = g() = g() ( g() ) ( ) g() = = + c, c = β) f() = >, f() = <, + ( + ) lim f () = κι: + + lim f () = lim ln ln( + ) = = lim ln = + + Άρ f( ) = (,), οπότε f() <. γ) Θεώρημ Bolzano στην h() = f () f()f (β). + y δ) Με Θ.Μ.Τ. στ,, + y,y. Ενλλκτικά η ζητούμενη γίνετι: + y y + που ισχύει πό την + β β. Γι = y ισχύει η ισότητ. ε) Λογριθμίζουμε κι η νισότητ γίνετι: f f f () < f() f () < f f() < = f() > 5.5 ) Η δοσμένη σχέση γράφετι: f() ln + f() ln = f() ln + φ() + φ () = φ() + () όπου φ() = f() ln. Αν h() = +, είνι h() = + >. h() = + κι Η h έχει μονδική ρίζ τη =, οπότε η () δίνει: h( φ() ) = h() φ() = f() = ln, > β) Θέτουμε =, οπότε d = du. Άρ: u u

ln lnu I = u du du I u = + u = + u οπότε I=. γ) Είνι: ln lim g() = lim (ln ) = lim g() + + + = =. Άρ η g είνι συνεχής στο =, οπότε κι στο [, + ). + + J = g()d = lim g()d = lim ln d = = lim ln + =. + 4 4 4 5.5 ) Έστω f = f. Τότε: f( f) = f( f) = = β) Από τη σχέση f( f() ) ( ) = = πίρνουμε: f f f() f Στην ίδι σχέση ν θέσουμε όπου το f(), θ πάρουμε: f f f() = f () Άρ f = f (). γ) Είνι: ( ) (β) f (8) = 7 f = 7 f () = f () = δ) Αν υπάρχει λύση ω της δοθείσς εξίσωσης, τότε γι το ω θ ισχύουν τυτόχρον οι πρκάτω ισοδύνμες μετξύ τους ισότητες: f(ω) = ω f( f(ω) ) = f(ω) (φού f ντιστρέψιμη) ω = f(ω) = ω (φού f( f() ) = ) Δηλδή γι το ω (ν υπάρχει) θ ισχύει: ω = ω ω(ω ) = (ω = ή ή ) Οι ριθμοί,, είνι συνεπώς οι μόνες δυντές (όχι σίγουρες) λύσεις της εξίσωσης. Αν υποθέσουμε ότι f(), τότε με δεδομένο ότι η f ορίζετι σε όλο το, άρ κι στο, θ ισχύει f() > ή f() <. f Αν f() > f f() > f() > f() > f(), ά- τοπο. f Αν f() < f f() < f() < f() < f(), ά- τοπο. Άρ f() =. Με τον ίδιο τρόπο ποδεικνύετι εύκολ ότι κι f( ) = κι f() =. Σχόλιο Με μόνο στοιχείο το " ", η εξίσωση f()= δεν μπορεί ν λυθεί. 5.5 ) Γι = : f () + = f () = 8. Αφού f() = κι f() = 8, πό Θ.Ε.Τ. υπάρχει τέτοιο, ώστε f = 7,999. Γι = : f ( f ) + f = f (7,999) + 7,999 = f (7,999) =, β) Είνι f() = 8. Γι = πίρνουμε: f ( f ()) + f () = f (8) + 8 = f(8) = = f() 5.5 ) Έστω, > με <. Τότε με τον ορισμό πίρνουμε f < f. Η f, ως γνησίως ύξουσ, είνι " ". β) Το. γ) Νι, διότι η f είνι " ". Το f(a)=, όπου A (, ) = +. δ) Είνι f () = f() = =. ε) Η f είνι γνησίως ύξουσ, οπότε: f ( ) > f f ( ) > f()... >. Γι ισχύει. Γι > πίρνουμε: f ( ) > > f()... < < Απ: (,) 5.54 ) Η δοσμένη γράφετι: ( f() ) = ( ) g() = Είνι g() = =. Η g είνι συνεχής στ (,), (, + ) κι g() στ διστήμτ υτά κ.λπ. β) Δικρίνουμε περιπτώσεις γι την g νάλογ με το πρόσημό της στο κάθε διάστημ. Έτσι βρίσκουμε: 4 ΣΤΕΡΓΙΟΥ ΝΑΚΗΣ, ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ, ΥΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ

δ) A= lim =. Αν g(), τότε:, < g() = f() = + =, Αν g(), τότε:, < g() = f() = =, Αν g() > στο (,) κι g() < στο (, + ), τότε:, < g() = f () =,, Αν g() < στο (,) κι g() > στο (, + ), τότε:, < g() = f () =,, γ) Οι γρφικές πρστάσεις των τεσσάρων συνρτήσεων σχημτίζουν το πρκάτω σχήμ. ln 5.55 ) Είνι lim f () = lim =... = = f (). β) Με τον ορισμό. Είνι f() =. γ) Μελετάμε το πρόσημο στον ριθμητή: g() = ln g() της f() =. Η f είνι τελικά γνησίως φθίνουσ. ( ) δ) Αν F είνι ρχική της f (που υπάρχει, διότι η f είνι συνεχής), τότε: ln F F() A= lim d lim... = = = διότι η F είνι συνεχής στο (, + ), οπότε: lim F F() = F() F() = 5.56 ) Πργωγίζουμε την ρχική σχέση, οπότε: F () f () = f()f () f() f() f () = f()f () f () = > f() + Άρ η f είνι γνησίως ύξουσ. f() f () β) f () = f () = >. Άρ η f f() + ( f() + ) είνι κυρτή. γ) Η εφπτομένη στο έχει εξίσωση: y f () = f ()( ) y = f '()( ) + f () Η f είνι κυρτή, οπότε f() f'()( ) + f(). Επίσης είνι f'() >, οπότε: lim f '()( ) + f () = + lim f () = + + + + + f() + f() + δ) + + + lim === lim f () = lim ===. f() + 5.57 ) Είνι: f() = ln+ +, Μπορούμε επίσης ν σχεδιάσουμε την f ξεχωριστά γι την κάθε περίπτωση. f() = = 5

Είνι f() f() = >. Άρ η f είνι γνησίως ύξουσ στο A = (, + ). β) Η f είνι κοίλη στο (,], κυρτή στο [, + ) κι το Μ(,) είνι σημείο κμπής. γ) Μόνη σύμπτωτη είνι η =. δ) Είνι: I = + ln d = = + ln + d = = + ln + 4 ε) Είνι f() < f(+ ) κ.λπ. 5.58 ) κ.λπ. g() = + = κ.λπ. β) lim f () = lim ==... = = f (). g() γ) Γι είνι f() = > κ.λπ. δ) Γι είνι: Απ: Γνησίως ύξουσ F() F() d = f ()d = όπου F είνι ρχική της f (που υπάρχει, μι κι η f είνι συνεχής στο ). Αλλά: lim F() F() = F() F() = κι το ζητούμενο όριο με εφρμογή του κνόν d L'Hospial γίνετι: F () F () lim = lim = = lim == lim ( ) = = 5.59 ) Είνι g() = f(). Στο [,] είνι γνησίως ύξουσ, στο [,] γνησίως φθίνουσ. β) f(a) =,. γ) Θέτουμε = u κ.λπ. Απ: I= 5.6 ) β) =, γ) lim f ()... + f() =, f() =. f() < <. f() > > = =+, lim f () =. = =. δ) f() f () ( f() f ()) f() f () I= d = [ lnf() ] = f() f() = ln f() Απ: το 5.6 ) f() = g()( + ) κι η g είνι πργωγίσιμη. β) g () = f() f () + + f() = + ln( + ) + + + f() = f() = c( + ). Όμως f() = c=. 6 ΣΤΕΡΓΙΟΥ ΝΑΚΗΣ, ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ, ΥΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ

+ + γ) f() = + ( + ) >, διότι: 4 ( + ) + = + + + = 4 4 = ( + ) + ( + + ) = + + ( + ) > 4 δ) E f()d + = = = =. 5.6 Η g είνι ρχικά συνεχής (με τον ορισμό). h(), < ( ) ) Είνι g() =, όπου:, = h() = ln< h() = γι κάθε <. Άρ g() <, οπότε η g είνι γνησίως φθίνουσ. φ() β) Γι είνι g() =, όπου: ( ) φ() = ln + 4, φ () = 4ln 4 + 4, φ () = 4ln. Προκύπτει ότι: φ() < < κι φ() > > Άρ η g είνι τελικά κυρτή. γ) Έστω G ρχική της g στο (, + ). Έχουμε: G( g() ) G() = G( g() ) = G() g() = g() = g() = Άλλος τρόπος Είνι g() >, οπότε ν γι κάποιο είνι: g () < ή g () > κτλήγουμε σε άτοπο. Άρ g () = κ.λπ. 5.6 ) Γι κάθε, υπάρχει τέτοιο, ώστε < + <. Έτσι f() > f(+ ) > f(), οπότε: f() > f(+ ) lim f() = + β) Έστω g() = F() F(), όπου F είνι ρχική της f. Τότε g() = f() >, οπότε η g είνι γνησίως ύξουσ. Η εξίσωση γράφετι: g( + ) = g() + = ( = ή = ) γ) Αν h() = F() F( ), τότε h() = f() >. Η h είνι γνησίως ύξουσ κι η νίσωση γράφετι: h f h f () > h( ) f () > f () > f () > Άλλος τρόπος (β, γ) Επειδή f() >, μπορούμε ν εργστούμε με άτοπο συγκρίνοντς τ άκρ του ολοκληρώμτος. 5.64 ) Επειδή η f είνι συνεχής κι γνησίως ύξουσ, το σύνολο τιμών της έχει τη μορφή (Α, Β), ό- που: A= lim f() = > κι B= lim f() + Άρ f() >. β) Έστω. Από το Θ.Μ.Τ. υπάρχει ξ (, ) κι ξ (, + ), ώστε: f(ξ ) = f() f( ) κι f(ξ ) = f(+ ) f() Όμως ξ< < ξ κι η f είνι γνησίως ύξουσ. Άρ: f(ξ ) < f () < f (ξ ) f() f( ) < f () < f(+ ) f() Όμως: lim ( f () f ( ) ) = = κι lim ( f ( + ) f ()) = = οπότε lim f () =. γ) Αφού η f είνι γνησίως ύξουσ, υπάρχει με f() >. Η εφπτομένη στο έχει εξίσωση: ζ: y f () = f ()( ) y= f () + f() f () Η C f είνι "πάνω" πό τη ζ, οπότε: f() f () + γ, γ = f() f () Αλλά lim ( f () + γ) =+, οπότε lim f () =+. + + (Μι πιο λεπτομερής εύρεση του ορίου είνι η εξής: Γι > είνι f() + γ >, οπότε: < < f() f () + γ με lim =. Άρ πό το κριτήριο πρεμβολής είνι lim = κ.λπ.) + f() + γ + f() δ) Είνι f() = κι. Αλλά f() > γι lim + f() >, οπότε lim, δηλδή >. (Μπορούμε ν εργστούμε κι με άτοπο: Αν <, τότε: lim f () = άτοπο.) + 7