4.3 ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ

Transcript

1 ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ. ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ η ΜΟΡΦΗ ΑΣΚΗΣΕΩΝ: Μς ζητούν ν κάνουμε την μελέτη ή την γρφική πράστση μις συνάρτησης ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ Ότν μς ζητούν κάνουμε την γρφική πράστση μις λογριθμικής συνάρτησης f τότε:. Στο ίδιο σύστημ ξόνων, ν κάνετε τις γρφικές πρστάσεις των συνρτήσεων: f κι g =. ( ) = ( ). Βρίσκουμε πεδίο ορισμού της συνάρτησης f.. Ελέγχουμε ν η βάση είνι μεγλύτερη ή μικρότερη της μονάδς. i) Πίνκς τιμών της f ( ) : 9 9. Γι ν χράξουμε τη γρφική πράστση της συνάρτησης f δίνουμε στο τυχίες τιμές κι πίρνουμε της ντίστοιχες τιμές της f() Οπότε με υτές τις τιμές δημιουργούμε έν πίνκ τιμών f ( ) Πίνκς τιμών της ( ) g : 9 9 f ( ) Η γρφική πράστση της g( ) είνι συμμετρική της f ( ) προς τον άξον O επειδή γι κάθε > 0 ισχύει: ως 9

2 ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ g f ( ) = = = = = ( ) δηλδή είνι ντίθετες, πράγμ που φίνετι κι γρφικά. y g() f() - Πρτήρηση: Αν η συνάρτηση είνι η f() = a + κ Αρχικά σχεδιάζουμε την f() = a κι μετά τη μεττοπίζουμε προς τ πάνω (ν κ > 0 ) ή προς το κάτω (ν κ < 0 ) κτά κ μονάδες η ΜΟΡΦΗ ΑΣΚΗΣΕΩΝ: Λογριθμικές εξισώσεις - Αν η συνάρτηση είνι η f() = a( + κ) Αρχικά σχεδιάζουμε την f() = a κι μετά τη μεττοπίζουμε προς τ ριστερά (ν κ > 0 ) ή προς τ δεξιά (ν κ < 0 ) κτά κ μονάδες. Ν λύσετε τις εξισώσεις: ln i. ln = ii. + = + + ( ) ( ) > 0 i. Η εξίσωση ορίζετι ότν κι > 0. Με τον > 0 περιορισμό υτό έχουμε: 0

3 ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ ln ln = ln = ln ln = ln = = 6 = 6 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ Πρώτ, βρίσκουμε τους κτάλληλους περιορισμούς, ώστε ν έχουν νόημ οι λογάριθμοι (κι γενικά η εξίσωση). Αν οι περιορισμοί είνι δύσκολο ν βρεθούν, μπορούμε ν λύσουμε την εξίσωση κι ν δοκιμάσουμε ν οι λύσεις την επληθεύουν. Προσπθούμε με πράξεις ν κτλήξουμε σε εξίσωση που κι στ δύο μέλη έχει λογρίθμους με την ίδι βάση, οπότε πολογριθμίζοντς προκύπτει εξίσωση γνωστής μορφής. ( 6) = 6 = 0 0 ( = 0 ή 6 = 0) ( = 0 ή = 8 ή = 8) Δεκτή είνι μόνο η λύση = 8, φού οι άλλες δύο δεν ικνοποιούν τον περιορισμό > 0. ii. Η εξίσωση υτή ορίζετι ότν + > 0 + > 0, πουληθεύει γι κάθε R κι κι + + > 0 > ( + ) > > Επομένως η εξίσωση ορίζετι γι >. Με τον περιορισμό υτό έχουμε: + ( + ) = + ( ) + ( + ) ( ) = + = = + = ( ) + ( ) + = + = () --- Θέτουμε = y, οπότε η σχέση () γράφετι: y + = y y ή y y = 0 Η εξίσωση υτή έχει ρίζες τις y = κι y =. Δεκτή είνι η y =, οπότε έχουμε: = = = Η = είνι δεκτή, γιτί επληθεύει τον περιορισμό, φού > > 8 > 8 > που ισχύει.

4 ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ. Ν λύσετε τις εξισώσεις: i = 0 ii. 8 [ ( ) ] = 0 i. Η εξίσωση υτή ορίζετι ότν > 0. Εκφράζοντς τους λογάριθμους με βάση το, έχουμε: = = = = 0 5 = 0 = = = 6 που είνι δεκτή λύση. Με τη βοήθει των λογρίθμων λύνουμε κι τις εκθετικές εξισώσεις. Ότν λοιπόν θέλουμε ν λύσουμε την εξίσωση = β, με β > 0, στην περίπτωση που ο β δεν μπορεί ν εκφρστεί ως δύνμη με βάση το, τότε λογριθμίζουμε κι τ δύο μέλη της εξίσωσης, συνήθως, ως προς βάση. Έτσι με 0 < κι β > 0 έχουμε: =β = β = β = β ii. Η εξίσωση ορίζετι ότν > 0 > 0 > 0 > ( ) > 0 ( ) > > 0 > 0 > > > > > 0 > > > Συνεπώς ισοδύνμ έχουμε: 8 [ ( ) ] = 0 8 ( ) = 8 ( ) = ( ) = = = 6 = που είνι δεκτή λύση. [ ]

5 ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ η ΜΟΡΦΗ ΑΣΚΗΣΕΩΝ: Λογριθμικά συστήμτ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ Η λύση των λογριθμικών συστημάτων, όπως κι στις εξισώσεις, στηρίζετι στις ιδιότητες των λογρίθμων. Προσπθούμε κάνοντς πράξεις ν το μετσχημτίσουμε σε σύστημ χωρίς λογρίθμους. Ο τρόπος που κολουθούμε είνι νάλογος των εξισώσεων, στ συστήμτ, όμως η μεγάλη ποικιλί σκήσεων μς νγκάζει ν τ χωρίσουμε σε δύο ομάδες, που ο συνδυσμός τους θ κλύπτει ρκετές σκήσεις.. Ν λύσετε τ συστήμτ: i. = 8 y = ii. = y = + i. Αρχικά γι ν ορίζοντι οι λογάριθμοι πρέπει > 0 κι y > 0. Έχουμε λοιπόν το σύστημ: = 8 = 8 y = y = = 8 = 8 = = y = = Άρ η λύση του συστήμτος είνι η (, y) (, ) = που είνι δεκτή. ii. Πρέπει > 0 κι y > 0. Έχουμε λοιπόν το σύστημ: --- = y = = y = + y = = = = = y = 0, που πορρίπτετι = y = 0 ή y = = Άρ η λύση του συστήμτος είνι η (, y) =,

6 ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ. Ν λυθεί το σύστημ: + y = y 00 0 = 0 Περιορισμοί: > 0 κι y > 0. + y = y 00 0 = 0 0 ( y) = y = 0 ( + ) = 0 = 0 = y = + y = 0 = ή = = + = + 5 = < 0 πορρίπτετι, ενώ η = > 0 είνι δεκτή, κι πό την εξίσωση y = +, γι =, έχουμε y = 5. Άρ η λύση του συστήμτος είνι:, y =, 5 ( ) ( ) Οι βάσεις είνι τέτοιες, που σε κάθε εξίσωση χωριστά γίνοντι ίδιες, κι έχουμε σύστημ χωρίς λογρίθμους. Θέτουμε τους λογρίθμους (με βοηθητική μετβλητή) ω, φ, προκύπτει σύστημ μη λογριθμικό, λύνουμε ως προς τις κινούριες μετβλητές, επιστρέφουμε στ «θέτω» κι βρίσκουμε τις λύσεις των ρχικών εξισώσεων. η ΜΟΡΦΗ ΑΣΚΗΣΕΩΝ: Λογριθμικές νισώσεις. Ν λυθεί η νίσωση: = 0. 0,5 0, 5 > Περιορισμός: > 0. = > 0 > 0 () 0,5 0,5 0,5 0,5 < Η συνάρτηση 0, 5 είνι γνησίως φθίνουσ, γιτί 0, 5 <. Η λύση της νίσωσης () είνι:, Η συνλήθευση, με τον περιορισμό, μς δίνει την τελική λύση 0,.

7 ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Δείξτε ότι: + >. 5 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ Η λύση των λογριθμικών νισώσεων βσίζετι στη μονοτονί της λογριθμικής συνάρτησης. Προσπθούμε με πράξεις ν κτλήξουμε σε νίσωση που κι στ δύο μέλη έχει λογρίθμους με την ίδι βάση. Έτσι: Αν η βάση είνι μικρότερη του, η συνάρτηση είνι γνησίως φθίνουσ, οπότε η νίσωση που προκύπτει χωρίς λογρίθμους έχει ντίθετη νισωτική σχέση πό την ρχική, Αν η βάση είνι μεγλύτερη του, η συνάρτηση είνι γνησίως ύξουσ, οπότε η νίσωση που προκύπτει χωρίς λογρίθμους έχει ίδι νισωτική σχέση με την ρχική Η συνάρτηση ( ) f = είνι γνησίως ύξουσ, γιτί >. 5 + > + > + > ( 5) > 0 > > > που ισχύει.. Ν λυθούν οι νισώσεις: i. 6 i. Πρέπει > 0. Επειδή η βάση είνι ριθμός μικρότερος του, έχουμε:: 6 > 6 > < Συνεπώς > ii. < iii. ( ) < ( ) 6 < 0 < < 6 6 ii. Πρέπει > 0. Επειδή η βάση είνι ριθμός μεγλύτερος του, προκύπτει: < < < 8 <, Επομένως 0 < < 8. 5

8 ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ iii. Οι λογάριθμοι ορίζοντι ότν > 0 < < < κι κι κι < < > < < () Η βάση λογρίθμισης είνι το 0 >, οπότε έχουμε: ( ) < ( ) < > 0 ( < ή > ) () Η συνλήθευση των νισώσεων () κι () δίνει < < 6