Мастер рад. Гребнерове базе. Аутор: Јелена Јовичић Број индекса: 1033/2008. Ментор: Доцент др Зоран Петровић. Математички факултет Београд 2010.

Мастер рад Гребнерове базе Аутор: Јелена Јовичић Број индекса: /8 Ментор: Доцент др Зоран Петровић Математички факултет Београд.

Резиме Рад пред вама је мастер рад судента Математичког факултета у Београду, у којем је обрађена тема Гребнерове базе. Цео рад се састоји из шест целина (-6), а у оквиру четврте целине издвојено је осам одељака. ( - 8) У првом делу упознаћемо се са полиномима променљивих x, K,x чији су коефицијенти у произвољном пољу k и дефинисаћемо афини простор. У другом и трећем делу дефинисаћемо један од основних геометријских објеката афини варијетет и један од основних алгебарских објеката идеал. У четвртом делу, искористићемо све што је изложено у првом, другом и трећем делу да би описали метод Гребнерових база. (скр. ГБ) Одељак, четвртог дела се бави формулацијом проблема које ћемо покушати да решимо уз помоћ метода ГБ: А. Проблем описа идеала Б. Проблем припадности идеалу В. Проблем решавања полиномских једначина Г. Импликацијски проблем У одељку дефинисаћемо мономијални поредак и дати неке примере уређења торки (лексикографски поредак, градирани лексикографски поредак, градирани обрнути лексикографски поредак). Одељак садржи опис алгоритма за дељење полинома у k[ x,, K x ]. Алгоритам смо добили на тај начин што смо проширили f k x, K,x са алгоритам дељења за k[ x ]. Циљ је да поделимо полином [ ] f, K,f ξ k[ x, K,x ], односно f треба да добијемо у облику f = af + + af где количници a, K, a ξ и остатак r леже у k[ x, K,x ] K + ξ ξ r. У 4 даћемо решење Проблема описа идеала за специјалан случај мономијалних идеала. Одељак 5 се бави доказом важног тврђења Основне Хилбертове теореме о бази, дефинисањем ГБ и комплетним решењем Проблема описа идеала. У 6 видећемо која све својства има ГБ и како да за дату базу проверимо да ли је ГБ. У 7 видећемо како да констуришемо ГБ за дати идеал. Одељак 8 је један од битнијих. У оквиру њега ћемо се позабавити решавањем преостала три проблема и видети у којој мери можемо да их решимо уз помоћ ГБ. За Импликацијски проблем ГБ неће дати комплетно решење. У петом делу применићемо ГБ на решавање проблема у роботици.( Да ли робот конобар може да послужи кафу на датом месту?) Последњи, шести део садржи описан на конкретном задатку, начин рачунања ГБ и проверу припадности идеалу. Желим да искажем своју захвалност ментору доценту др Зорану Петровићу на многобројним сугестијама, примедбама и саветима, који су ми помогли у изради овог рада и његовом што бољем изгледу. Математички факултет, Београд 9.март. Јелена Јовичић

Садржај Полиноми и афини простор...4 Афини варијетет...6 Идеали...7 4 Гребнерове базе...8 Проблеми...9 Мономијални пореци у k[ x x ] K...,, Алгоритам дељења у k[ x x ] K...5,, 4 Мономијални идеали и Диксонова лема...9 5 Хилбертова теорема о бази и Грeбнерова база... 6 Својства Гребнерове базе...8 7 Бухбергеров алгоритам... 8 Прве примене Гребнерове базе... 7 5 Примене у роботици и остали примери...4 6 Задатак...46 Литература...56

ГРЕБНЕРОВЕ БАЗЕ Полиноми и афини простор ПОЛИНОМИ ВИШЕ ПРОМЕНЉИВИХ У овом одељку, упознаћемо се са полиномима променљивих x, K,x са коефицијентима у произвољном пољу k. Прво ћемо дефинисати шта су мономи. Дефиниција. Моном у x, K,x је производ облика x α x α K x α, код кога су сви експоненти α,..., α ненегативни цели бројеви. Укупан степен монома је сума α + K +α. Писање монома може се поједноставити: нека је α = ( α,, α ) K -торка ненегативних целих бројева. Онда ћемо писати x α = x α x α K x α. Када је α= (, K, ), писаћемо x α =. Укупан степен монома x α, означаваћемо и са α= α+ K+α. Дефиниција. Полином f у x, K,x са коефицијентима у k је коначна линеарна комбинација (са коефицијентима у k ) монома. Полином f писаћемо у облику α f = ax,a k, α α где је f сума преко коначног броја торки α = ( α, K, α ). x,...,x са коефицијентима у k означаваћемо са k[ x x ] Скуп свих полинома у α,, K. Када будемо радили са полиномима који имају мали број променљивих, најчешће ћемо изостављати индексе. На пример, f = xyz+ yz xyz+ y је полином у Q[ x,y,z ]. За означавање полинома често ћемо користити слова f,g,h, p,q,r. 4

Дефиниција. Нека је f = ax α α полином у k[ x,, K x ]. (i) Коефицијентом монома x α зваћемо a α. α (ii) Ако је a α,онда ћемо ax α α звати чланом од f. (iii) Укупан степен од f је максимум од α где су коефицијенти нуле и означаваћемо га са deg ( f ). a α различити од Пример. Полином f = xyz+ yz xyz+ y има четири члана и његов укупан степен је 6. Приметимо да два члана имају исти максималан укупан степен, x yz, yz, овај случај никада не може да се догоди код полинома једне променљиве. Сума и производ два полинома је такође полином. Полином f дели полином g ако постоји полином h k x, K,x такав да g = fh. У односу на сабирање и множење, [ ] [ ] k x, K,x задовољава све аксиоме поља, осим постојања инверза за множење (на пример, x није полином). На основу претходно изложеног, закључујемо да је k[ x x ] ПОЛИНОМИ ЈЕДНЕ ПРОМЕНЉИВЕ Дефиниција. Дат је полином различит од нуле f k[ x],, K прстен полинома., нека је m m f = ax + ax + K + a m, m где је a k и ( дакле, m= deg f ). Водећим чланом од f зваћемо ax и писаћемо a m = x. LT f a = +, онда је На пример, ако је f x 4x LT f = x. Приметимо да ако су f и g полиноми различити од нуле, онда је LT g. deg ( f ) deg ( g) LT ( f ) дели Став. (Алгоритам дељења). Нека је k поље и нека је g полином различит од нуле у k[ x ]. Онда сваки f k[ x] може бити записан у облику f = qg + r, где су g,r k[ x], и r = или deg ( r) < deg ( g ). Даље, q и r су јединствено одређени. 5

Помоћу следећег алгоритма написаног у псеудокоду могу се израчунати q и r : Iput: g, f Output: q,r q = ; r = f WHILE AND divides LT r DO LT r q= q+ LT g LT r r = r g LT g r LT ( g ) АФИНИ ПРОСТОР Даље, дефинисаћемо афини простор. Дефиниција 4. Нека јe дато поље k и позитиван цео број, дефинисаћемо димензионални афини простор над k као скуп {( ) } k a,,a :a,,a = K K k. За пример афиног простора, размотрићемо случај када је k = R. Добићемо познати простор из линеарне алгебре R. Генерално, k = k зваћемо афином линијом, а k афином равни. Афини варијетет Афини варијетет је један од основних геометријских објеката. Дефиниција. Нека је k поље, и нека су f, K полиноми у k[ x, K,x ] ( ξ ) = ( ) ( ) = = f, K,f ξ зваћемо V ( f,,f ξ ),f ξ { } V f, K,f a, K,a k : f a, K,a, за све, ξ. Афиним варијететом дефинисаним са V f,,f k Према томе, афини варијетет ( ξ ) K.. Нека је K је скуп свих решења система једначина f( x, K,x) = K= fξ ( x, K,x ) =. Афине варијетете често ћемо означавати словима V, W. Користићемо да је k = R, тако да ћемо моћи да цртамо и слике. 6

Пример. У равни координатном почетку. R варијетет V ( x y ) +, је круг пречника, са центром у Идеали Идеал је један од основних алгебарских објеката. Дефиниција. Подскуп I k[ x x ],, K је идеал ако задовољава следеће услове: (i) I. (ii) Ako je f,g I, онда f + g I. (iii) Ако је f I h k x, K,x, онда hf I. и [ ] Пример. Први природан пример идеала, је идеал генерисан коначним бројем полинома. Дефиниција. Нека су f,,f ξ k x, K,x. Нека је ξ f, K,fξ = h f :h, K,hξ k[ x, K,x]. = Ово је идеал. K полиноми у [ ] 7

K K, онда је f, Лема. Ако је f,,f k[ x,,x ] ξ Зваћемо f,, K f ξ идеалом генерисаним са f,,f K ξ. Доказ. Прво, f, K,f ξ, јер је ξ и g q и нека = f h k[ x,,x ] = видимо да је f,,f K ξ идеал. ξ = K идеал од k[ x,,x ],f ξ = f. Претпоставимо да је K. Онда на основу једначина = = f + g = p + q ξ hf = hp f ξ f f K. ξ = pf Кажемо да је идеал I коначно генерисан ако постоје f, K,f k[ x, K,x ] такви да је I = f, K,f ξ, и кажемо да је f,,f K ξ база од I. = ξ У 5 показаћемо важно тврђење, да је сваки идеал од k[ x K x ] коначно,, генерисан. (Ово тврђење је познатије као Хилбертова теорема о бази). Приметимо да дати идеал може имати различите базе. Показаћемо да од свих база које се могу одабрати, постоји погодан тип база, које се зову Гребнерове базе. 4 Гребнерове базе Волфганг Гребнер (енгл. Wofgag Groeber;. фебруар 899 -. август 98.) био je аустријски математичар. Најпознатији je по Гребнеровој бази, која се користи у израчунавањима у алгебарској геометрији. Рођен је у Госенсасу (садашњи Госенсас-Коле Исарко), у Доломитима, тада у Аустрији, сада у Италији. Гребнер je првобитно студирао инжењерство на Технолошком универзитету у Грацу, али се пребацио на математику 99. године. Написао je дисертацију Ei eitrag zum Probem der Miimabase 9. године на Универзитету у Бечу; његов ментор за докторат био је Филип Фуртевенглер. После докторирања, наставио је студије у Гетингену код Еми Нетер, на пољу које је данас познато као комутативна алгебра. Његов ученик, Бруно Бухбергер, увео je Гребнерове базе у својој докторској тези из 965. и назвао их је по свом ментору. 8

За своју теорију Гребнерових база, Бухбергер je добио 7 ACM Paris Keeakis Theory ad Practice Award. Такође му је додељена Златна медаља части од стране аустријске владе. Проблеми Почев од овог одељка, па надаље бавићемо се проучавањем метода Гребнерових база (скр. ГБ). Оне нам омогућавају решавање проблема везаних за полиномске идеале који се могу решавати алгоритамски или проблеме везане за разна друга израчунавања. Метод Гребнерових база се такође користи у моћним, компјутерским, алгебарским системима за проучавање идеја везаних за полиноме које се јављају у применама. Фокусираћемо се на решавање само четири проблема. Формулација проблема: а. Проблем описа идеала: Да ли сваки идеал I k[ x x x ] генераторски скуп? Односно, да ли можемо да напишемо f,, f ξ,, K, има коначан = K за неке f f k[ x x ] б. Проблем припадности идеалу: Нека је дат f k[ x x ] I = f,, f K ξ, треба утврдити да ли f I?, K,, K,? ξ,, K и нека је идеал Геометријски, то је повезано са проблемом утврђивања да ли је V ( f,, K f ξ ) подскуп варијетету V f. в. Проблем решавања полиномских једначина: Наћи сва заједничка решења система полиномских једначина у k (, K, ) K (, K, ) f x x = = f x x = ξ Наравно, исто је и ако поставимо питање да ли тачке припадају афином варијетету V f,, K f ξ. г. Импликацијски проблем: Нека je V подскуп од k задат параметарски x = g ( t, K, t ) M m x = g ( t, K, t ) m 9

Ако су g полиноми (или рационалне функције) који зависе променљивих t, онда ће V бити афини варијетет или његов део. Треба наћи систем полиномских једначина x тако да дефинишу варијетет. Мономијални пореци у k[ x x K x ],,, Код алгоритма дељења у k[ x ] битан је редослед чланова у полиномима. 5 На пример, када делимо полином f ( x) = x x + полиномом g x = x 4x+ 7 на стандардан начин: - Чланове у полиномима пишемо у опадајућем поретку у односу на степен од x. 5 - Водећи члан (члан највећег степен) у f је x = x x = x ( водећи члан у g ). Одузимамо x g( x) од f да би скратили водећи члан и добијамо 4 x 7x x +. - Понављамо исти поступак на f ( x) x g( x), све док не добијемо полином степена мањег од. Код алгоритма дељења полинома једне променљиве уређују се степени монома m+ m K> x > x > K > x > x>. () Успех алгоритма зависиће од систематичног рада са водећим члановима у f и g. Из горе наведеног можемо да претпоставимо да ће и код дељења произвољних полинома више променљивих у k[ x, K,x ] бити битан поредак чланова. На основу торке експонената α= α, K, α N, можемо да реконструишемо моном ( ) x α = x α K x α (између монома у k [ x,k ],x и N је успостављено - пресликавање). Даље, уређење > дефинисано на простору α β нам даје уређење на мономима: ако је α >β, такође је x > x. Дефиниција. Мономијални поредак у k[ x,,x ] N K је било која релација > на N, или равноправно, било која релација на скупу монома x α, α N,која задовољава следеће услове: (i) > je тотално (или линеарно) уређење на N (ii) Ako je α> β i γ N, онда је α +γ>β+γ (iii) > je добро-уређење на N.Сваки различит од празног, подскуп од N има најмањи елемент у односу на >. Следећа лема ће нам појаснити услов (iii) из Дефиниције.

Лема. Релација уређења > на строго опадајући низ у N коначaн. N је добро уређење ако и само ако је сваки α >α >α ( ) >K Ову лему ћемо често користити за доказивање да се различити алгоритми морају завршити после одређеног броја корака. Завршиће се, јер неки члан строго опада (у складу са датим мономијалним поредком) у сваком кораку алгоритма. У 4 видећемо да је услов (iii) Дефиниције еквивалентан услову α N, α. Једноставан пример мономијалног поредка је нумерички поредак елемената из N. Први пример уређења K> m+ > m> K> > > > торки, биће лексикографски поредак. Дефиниција. (Лексикографски поредак, енгл. Lexicographic Order скр. ex) Нека су α= ( α, K, α ) и β= ( β, K, β ) N. Казаћемо да је α> ex β, ако је у вектору разлике α β N, прва ненулта позиција са леве стране позитивна. Тада ћемо писати x α > ex x β ako je α > ex β. Пример. а. (,, ) ( 4,, ), јер је > ex α β= (,, 4) > α β= (,, ) б. (, 4, ) (,,), јер је ex x,...,x су обично уређене лексикографским поредком в. Променљиве (,, K, ) > ex (,,, K, ) > ex K> ex (, K,, ), тако да је x > x > K > x ex ex ex Напомена. Када радимо са полиномима који зависе од једне, две или три променљиве погодније је да се користе ознаке x,y,z него са x,x,x. Дефиниција 5. (Градирани лексикографски поредак, енгл. Graded Lex Order скр. grex) Нека су α= ( α, K, α ) и β= ( β, K, β ) N. Казаћемо да је α> β ако је α= α >β = β, или α =β и ex = = α > β. Пример. а. (,, ) > (,, ) јер је (,, ) = 6> (,, ) = 5 grex б. (, 4, ) > (,, 5) јер је (, 4, ) (,, 5) grex = и 4,, > ( 5,, ) ex grex

Још један пример монимијалног поредка је градирани обрнути лексикографски поредак. У неким случајевима ефикаснији је за рачунање. Дефиниција 6. (Градирани обрнути лексикографски поредак, енгл. Graded Reverse Lex Order-скр. grevex) Нека су α = ( α, K, α ) и β = ( β, K, β ) N. Казаћемо да је α> grevex β ако је, или α =β и у α β Z, = = α = α > β = β прва ненулта позиција са десне стране негативна. Пример. а. ( 47,, ) > ( 4,, ) јер је ( 47,, ) = > ( 4,, ) = 9 grevex б. (, 5, ) > ( 4,, ) јер је (, 5, ) ( 4,, ) grevex Став 4. Лексикографски поредак на = и α β= ( 4,, ) N је мономијални поредак. Доказ. (i) Да је > ex тотални поредак следи директно из дефиниције и чињенице да је у N тотални поредак. (ii) Ако је α > β, имамо да је α β прва ненулта позиција са леве стране ex позитивна, односно αk β k је позитивно. α γ α+ x x = x γ β γ β+ γ и x x = x Онда је у ( α+γ) β+γ =α β прва ненулта позиција α β >. > ex (iii) Претпоставимо да није добро уређење. Онда по Леми постојаће бесконачан, строго опадајући низ α > α > α > K eлемената () ex ex ex N. Показаћемо да то води до контрадикције. α i N. По дефиницији Посматраћемо прве компоненте вектора лексикографског поредка, ове прве компоненте су у облику нерастућег низа ненегативних бројева. Како је добро уређен, прве компоненете од α i морају се стабилизовати на крају. Значи, постоји α i једнаке за i k. () Почев од α( k ) N () k k k такво да су све прве компоненте од, друга и следеће компоненете су у игри за одређивање лексикографског поредка. Следеће компоненте од α k, α k +, Kсу у облику нерастућег низа. Из истих разлога као и раније, следеће компоненте се морају стабилизовати., α, α +, K све једнаке. Настављајући на исти начин, видимо да су за неко Ово је котрадикција са чињеницом да је α ( ) >α ( + ).

Напомена. На сличан начин може се доказати и да је градирани лексикографски поредак мономијални поредак и градирани обрнути лексикографски поредак мономијални поредак. Пример. У следећем примеру видећемо како се мономијални поредак примењује на полиноме. Ако је f ax α k x, K,x и > неки мономијални поредак, онда = полином у [ ] α α можемо уредити мономе од f у складу са >. Нека је f = 4xy z + 4z 5x + 7x z k x, y,z [ ] онда: а. У складу са лексикографским поредком можемо да преуредимо чланове од f на следећи начин f = 5x + 7x z + 4xy z+ 4z б. У складу са градираним лексикографским поредком можемо да преуредимо чланове од f на следећи начин f = 7xz + 4xyz 5x + 4z в. У складу са обрнутим градираним лексикографским поредком можемо да преуредимо чланове од f на следећи начин Дефиниција 7. Нека је f и нека је > мономијални поредак. (i) Водећи мултистепен од f je f = xy z + x z x + z 4 7 5 4 = ax α полином различит од нуле у k[ x, K,x ] α ( N α muti deg f = max α : a α ) (максимум је узет у складу са >) (ii) Водећи коефицијент од f je (iii) Водећи моном од f je muti deg( f ) LC f = a k (iv) Водећи члан од f je LM f x muti deg f = (са коефицијентом ). LT( f ) = LC( f ) LM ( f )

Пример. Чланове датог полинома уредићемо у складу са ex, grex, grevex поредком и одредићемо мултистепен, водећи коефицијент, водећи моном, водећи члан. 8 5 4 4 = + f x,y,z x y x y z xyz xy Лексикографски поредак 8 5 4 4 = + 5 4 8 4 = + + f x,y,z x y x y z xyz xy f x, y,z x yz x y xy xyz = ( 54) muti deg f,, LC ( f ) = - 5 4 LM ( f ) = x yz 5 4 LT( f ) = x yz Градирани лексикографски поредак 8 5 4 4 = + 5 4 8 4 = + + f x,y,z x y x y z xyz xy f x, y,z x y z x y xy xyz muti deg ( f ) = ( 54,, ) LC ( f ) = 5 4 LM ( f ) = x yz 5 4 LT ( f ) = x yz Градирани обрнут лексикографски поредак 8 5 4 4 = + 8 5 4 4 = + f x,y,z x y x y z xyz xy f x, y,z x y x yz xy xyz muti deg ( f ) = ( 8,, ) LC ( f ) = 8 LM ( f ) = x y 8 LM ( f ) = x y 4

Лема 8. Нека су f,g k[ x, K,x ] полиноми различити од нуле. Онда важи: (i) muti deg ( fg ) = muti deg ( f ) + muti deg ( g ) (ii) Ако је f + g, онда muti deg ( f + g ) max( muti deg ( f ),muti deg ( g )) Ако је код сабирања, muti deg ( f ) muti deg ( g ), онда важи једнакост. Од сада па надаље претпоставићемо да је одабран само један мономијални поредак. Водећи чланови и остало, биће одређивани у складу са њим. Алгоритам дељења у k[ x K x ],, Алгоритам дељења за полиноме у k[ x, K,x ] формулисаћемо на тај начин, што ћемо проширити алгоритам дељења за k[ x ]. Циљ нам је да поделимо полином f k[ x, K,x ] са f, K,f k[ x, K,x ]. ξ Односно f треба да добијемо у облику f = af + K + af ξ ξ + r где количници a, K,a ξ и остатак r леже у k[ x, K,x ]. Основна идеја алгоритма је иста као и у случају једне променљиве. Желимо да поништимо водећи члан од f (водећи рачуна о задатом мономијалном поредку) множећи неки f са одговарајућим мономом и одузимајући га. После тога моном постаје члан у одговарајућем a. Теорема. (Алгоритам дељења у k[ x,, K x ] поредак > на N, и нека је F = ( f,,f K ξ ) ξ -торка полинома у k[ x,, K x ] се сваки полином f k[ x,, K x ] може записати на следећи начин: за a, r k[ x, K, x ] f = af+ K + af + r ξ ξ ). Нека је фиксиран мономијални.тада, при чему је или r= или је r нека линеарна комбинација ( са коефицијентима у k ) монома од којих ни један није дељив са било којим од LT ( f ), K,LT ( f ξ ). Онда ћемо r назвати остатком полинома f при дељењу са F. Осим тога, ако је af muti deg ( f ) muti deg ( a f) Доказ. Доказаћемо егзистенцију a, K,a ξ и r дајући алгоритам за њихову конструкцију. Показаћемо да алгоритам ради коректно за све улазне податке. 5

INPUT: f, K,f ξ,f OUTPUT: a, K,a,r a = ; K;a ξ = ;r = p = f WHILE p DO = divisiooccurred =fase WHILE ξ ξ AND divisiooccurred=fase DO IF LT( f ) DIVIDES LT( p ) THEN a = a + LT( p ) / LT( f) = ( ) p p LT p / LT f f divisiooccurred=true ELSE = + IF divisiooccurred=fase THEN r = r+ LT( p) (**) p = p LT p (*) Напомена. Логичка променљива дели LT p. LT ( f ) divisiooccurred нам говори кад неки од Сваки пут када прођемо главну WHILE...DO петљу, догодиће се тачно један од следећа два случаја: Корак дељења : Ако неки LT( f ), =, K, ξ дели LT( p ), алгоритам се своди на случај једне променљиве. Корак остатка : Ако LT ( f ) не дели LT ( p ), онда алгоритам додаје LT ( p ) остатку r. Да би доказали да алгоритам функционише, прво ћемо показати да једнакост f = af + K + af ξ ξ + p+ r() важи у сваком кораку. Очигледно је да важи за почетне вредности a, K,a ξ,p,r. Сада претпоставимо да () важи у неком кораку алгоритма. Ако је следећи корак LT f,, LT p, и из једнакости Корак дељења, онда неки ( ) = ξ дели + = + + ( ( ) ) af p a LT p /LT f f p LT p /LT f f 6

се види да је af + p непромењено. Како и остале променљиве нису промењене, једнакост () је тачна. У другом случају, ако је следећи корак Корак остатка, онда ће p и r бити промењени, али сума p+ r остаје непромењена: ( ) p + r = p LT p + r+ LT p Видимо да је () још увек непромењена. Алгоритам се завршава када је p =. У овом случају, () постаје f = af+ K + af + r. Када се алгоритам заврши додавани само ако нису дељиви са a, K,a,r r = ξ ξ ξ имају жељене особине, јер су чланови LT f,,ξ. Остало је да покажемо да ће се алгоритам завршити. Приметимо, да сваки пут када променимо вредност променљиве p, мултистепен се смањује или постаје. Да би видели како се мултистепен смањује, претпоставимо да је Кораку дељења p постало ' LT ( p) p = p f LT f На основу Леме 8 из, имамо LT ( p) LT ( p) LT f = LT ( f) = LT ( p). LT ( f) LT ( f) тако да p и ( LT ( p )/ LT ( f) ) f имају исти водећи члан. Разлика p' мора имати ' строго мањи мултистепен када је p остатка, p постало. Даље, претпоставимо да је током Корака ' p p LT p =. ' Овде је, очигледно muti deg ( p ) muti deg ( p) ' < када је p. Дакле, мултистепен се мора смањити у сваком случају. Ако се алгоритам никада не заврши, добили би смо бесконачни, опадајући низ мултистепена. Ово се не може догодити (Лема из ). Дакле, у једном тренутку је p = и алгоритам се завршава после коначног броја корака. Остало је да одредимо везу између muti deg ( f ) и muti deg ( a f ). Сваки члан у a је облика LT( p )/ LT( f ), за неку вредност p. Алгоритам почиње са p = f, и мултистепен од p опада. На основу тога je LT ( p) LT ( f ), и лако се доказује (користећи услов (ii) дефиниције мономијалног поредка) да је muti deg ( f ) muti deg ( a f) када је af. На крају се поставља питање да ли алгоритам у k[ x,, K x ] има исте особине као и алгоритам у k[ x ]? Алгоритам је на жалост далеко је од савршеног, тек када се повеже са Гребнеровим базама достиже свој максимум. ( 5 и 6) 7

Једна од битнијих особина алгоритма дељења у k[ x ], је да је остатак јединствено одређен. У следећем примеру видећемо да ли ово важи код алгоритма у k[ x,, K x ]. Пример. Нека је дат полином f = xy+ xy + y и уређени пар полинома F = ( f,f) = ( xy,y ) у лексикографском поредку ( x > ex y). Према алгоритму дељења имамо следеће кораке: x y+ xy + y : xy = x+ y ( ) xy ( + ) xy + x + y ( ) xy ( + ) + + x y y x y ( + + = x y y : y ( ) y ( + ) x+ y+ ) xy xy y x y xy y x y + + = + + + + + () Посматрамо исти полином f = xy+ xy + yкао у претходном случају и исти уређени пар полинома. Једино ћемо заменити њихова места F = ( g,g) = ( f,f) = ( y,xy ) ( x > ex y). Према алгоритму имамо следеће кораке: x y+ xy + y : y = x+ xy ( ) y ( + ) xy x xy+ x+ y + x+ x y+ x + : xy = x ( ) xy ( + ) x + x 8

( ) x y xy y x y x xy x + + = + + + + Ако се упореде изрази () и () видимо да се разликују добијени остаци при дељењу. Из тога закључујемо да остатак није јединствено одређен и да је уређење ξ -торка полинома F = ( f, K,f ξ битно. ) Уз помоћ алгоритма дељења у k[ x ] се решава и проблем припадности идеалу. Једна од последица Теореме је, ако после дељења f са F ( f,,f ξ ) () = K добијемо остатак r =, онда је f = af + K +a ξ f ξ и f f, K f ξ. Дакле r = је довољан услов за припадност идеалу, а да ли је и потребан видећемо у следећем примеру. Пример 5. Нека је f xy, f y k [ x, y] = + = (ex). Када делимо F = ( f,f ) добијамо xy x= y( xy+ ) + ( y ) + ( x y). А када делимо са F = ( f,f ), добијамо xy x = x y + xy + +. f = xy x са Из друге једнакости видимо да f f,f,а ипак је могуће добити остатак који се F = f,f. разликује од нуле када се дели са 4 Мономијални идеали и Диксонова лема У овом одељку разматраћемо Проблем описа идеала из за специјалан случај мономијалних идеала. Прво ћемо дефинисати моноимијалне идеале у k x, K,x. [ ] Дефиниција. Идеал I k[ x,,x ] K је мономијални идеал ако постоји подскуп A N (који може бити бесконачан) такав да се I састоји од свих полинома који су коначне суме облика hx α α, где је h k [ x, K x α, ]. α A α У том случају писаћемо I = x : α A. Другим речима, идеал I у прстену полинома k[ x, K,x ] монома је мономијални идеал. 4 4 5 Пример. Мономијални идеал је I xy,xy,xy kx,y [ ] =. генерисан неким скупом 9

Описаћемо све мономе који леже у датом мономијалном идеалу. α Лема. Нека је I = x : α A мономијални идеал. Онда моном x β лежи у I ако и само ако је x β дељиво са x α за неко α A. Доказ. Ако је x β умножак од x α за неко α A, онда x β I у складу са дефиницијом идеала. Супротно, ако x β I, онда проширимо свако h x β s () = hx α, где је h k[ x x ] =,, K и α A. Ако као линеарну комбинацију монома, видећемо да је сваки члан са десне стране једнакости дељив са неким () () x α. И лева страна x β има ту особину. Приметимо да је x β дељиво са x α β када је x α γ = x x, за неко γ N. Ово је еквивалентно са β=α +γ. Дакле, скуп N { : N } α+ = α+γ γ се састоји од експонената свих монома дељивих са x α. Овај закључак и Лема омогућавају нам да нацртамо слике монома у датом мономијалном идеалу. 4 4 5 На пример, ако је I = xy,xy,xy, онда су експоненти монома у I у облику скупа ( N ) ( N ) ( ) 4 4, +, + 5, + N. Визуелно можемо да прикажемо овај скуп као унију целобројних тачака кроз три транслације првог квадранта у равни:

Следећа леми нам говори о томе да се посматрањем монома полинома f, може утврдити да ли f припада мономијалном идеалу. Лема. Нека је I мономијални идеал, и нека је f k[ x x ] тврђења еквивалентна: (i) f I. (ii) Сваки члан од f лежи у I. (iii) f је k -линеарна комбинација монома у I.,, K. Онда су следећа Директна последица ставке (iii) Леме, је да је мономијални идеал једниствено одређен са својим мономима. Последица 4. Два мономијална идеала су иста ако и само ако садрже исте мономе. Једно од важних тврђења је да су сви мономијални идеали у k[ x K x ] коначно генерисани.,, α Теорема 5. (Диксонова лема) Мономијални идеал I = x : α A k[ x, K,x ] може бити написан у облику Специјално, I има коначну базу. α() α = K ξ, где α() I x,,x, K, α ξ A. Доказ. (Индукцијом по, где је број променљивих) Ако је =, онда је I генерисан са мономима x α, где је α A N. Нека је β најмањи елемент од A N. Онда је β α за свако α A, такво да x β дели све остале генераторе x α. Одатле следи да је I = x β. Претпоставимо да је > и да је теорема тачна за. Променљиве ћемо означити као x,, K x, y, тако да се мономи у k[ x,, K x, y] могу записати у α m - облику x y, где је α= α, K, α N и m N. ( ) Претпоставимо да је I k[ x, K, x, y] мономијални идеал. Да би J мономијали идеал у k[ x K ] пронашли генераторе за I, узмемо да је,, x генерисан мономима x α α m, таквим да x y I, за неко m. Како је J мономијални идеал у k[ x,, K ],по индуктивној хипотези коначно много x α генерише J, па је x () α( ξ) α J = x, K,x. Идеал J може бити схваћен као пројекција од [ ] k x,, x K. I на

α () i mi За свако i између и ξ, начин на који је дефинисан J, нам говори да x y I за неко mi. Нека је m највеће од свих mi. Онда за свако k између и m, конструишемо идеал Jk k[ x, K,x ] генерисан мономима x β таквим да β x y k I. О J можемо да размишљамо као о делу од k I који је генерисан мономима који садрже y тачно степена k. На основу индуктивне хипотезе, J k има коначан генераторски скуп монома, и Тврдимо да је I генерисан следећим мономима: α m α m из J:x y, K,x ξ y, () ( ) из J :x α, K,x α ξ, α из J α ξ :x y, K,x y... αm () из m αm ξm m J :x y, K,x y. m () J x,x α ξ α k k k k =,K. Приметимо да је сваки моном у I дељив са неким од горе наведених. Нека α p α p α( i) m x y I. Ако је p m, онда је x y дељив са неким x y због начина α p p i p конструкције J. Ако је p m, онда је x y дељиво са неким x y због конструкције J p. ( На основу Леме горе описани мономи генеришу идеал који има исте мономе као I ). На основу Последице 4, наше тврђење је доказано. Да би комплетирали доказ теореме, потребно је да покажемо да коначан скуп генератора може бити изабран из датог скупа генератора за идеал. У односу α на променљиве x, K,x, наш мономијални идеал је I = x : α A k[ x, K,x ]. Треба показати да је идеал I генерисан са коначно много x α, где α A. Знамо да је β() β I = x, K,x ξ ( i) за неке мономе x β β( i) α у I. Како x I = x : α A, на основу Леме сваки () ( i) x β α I = x, K, x α ξ. је дељив са ( i) x α за неко ( i) α A. Лако је показати да је α () Теорема 5 решава Проблем описа мономијалних идеала, говори нам да идеал има коначну базу. Такође решава и проблем припадности за мономијалне идеале. Ако је α() α I = x, K,x ξ, лако може да се покаже да дати полином f припада I, ако и α αξ само ако је остатак дељења f са x, K,x нула. Диксонова лема се користи и за доказ битног тврђења везаног за мономијалне поредке у k[ x,, K x ].

Последица 6. Нека је > релација на N која задовољава следећа својства: (i) > је тотални поредак на N. (ii) ако је α>β и γ N,онда α +γ>β+γ. Онда је > добро уређење ако и само ако је α за свако α N. Последица 6. нам омогућава да поједноставимо Дефиницију из (Дефиниција мономијалог поредка). Услови (i) и (ii) не могу бити промењени, али услов (iii) можемо заменити са једноставнијим условом да је α за свако α N. Ово ће знатно олакшати проверу да ли је дати поредак мономијалан. 5 Хилбертова теорема о бази и Грeбнерова база Све што смо изложили до сада, омогућава нам да у овом одељку дамо комплетно решење Проблема описа идеала из. Видећемо и на који начин да добијемо базу идеала са добрим својствима, повезаном са алгоритмом дељења описаним у. Кључна идеја коју ћемо користити, је да за одабрани мономијални поредак, сваки f k[ x,, K x ] има јединствени водећи члан LT ( f ). За било који идеал I можемо дефинисати идеал водећих чланова. Дефиниција. Нека је I k[ x, K,x ] идеал различит од { }. (i) Означимо са LT( I ) скуп водећих чланова елемената од I.Тако да, LT ( I ) { cx α α = : f I,LT ( f ) = cx } (ii) Означимо са LT ( I ) идеал генерисан елементима од LT ( I ). Напомена: Aко је дат коначан, генераторски скуп за I, I = f, K,f ξ, онда K и LT f,,lt f ξ LT I могу бити различити идеали. LT f LT I LT I, =, ξ из чега следи да је По дефиницији је, LT f,,lt f LT I надскуп. ξ K.Следећи пример показује да је Пример. Нека је I = f,f, где је мономијални поредак на k[ x, y ]. Онда f = x xy и ( ) ( ) x xy y x y x xy x + =, LT I прави f = xy y + x, grex задат

тако да x I. Дакле, x = LT ( x ) LT ( I ). Међутим LT( f ) = x или LT( f ) = x y, тако да x LT ( f ),LT ( f ) x није дељиво са по Леми из 4. Сада ћемо показати да је LT ( I ) мономијални идеал. То ће нам омогућити коришћење добијених резултата у 4. Специјално, следиће да је LT ( I ) генерисан са коначно много водећих чланова. Став. Нека је I k[ x,,x ] (i) LT ( I ) је мономијални идеал. (ii) Постоје K идеал. g, K, g I ψ такви да је LT ( I ) = LT ( g ), K,LT g ψ. Доказ. (i) Водећи мономи LM ( g ) елемената g I { } идеал LM ( g ): g I { }. Како сe LM ( g ) и различиту од нуле, овај идеал је једнак LT ( g ) : g I { } LT ( I ) LT ( I ) је мономијални идеал. (ii) Пошто је LT ( I ) генерисан мономима LM ( g ) за g I { } Диксонове леме је LT ( I ) LM ( g ),,LM ( g ψ ) Пошто се LM ( g ) разликује од следи да је LT ( I ) LT ( g ),,LT ( g ψ ) Користећи генеришу мономијални LT g разликују за константу =. Дакле,, на основу = K за коначно много g,...,g ψ I. = K. LT g, =, ψ, за константу различиту од нуле, Став и алгоритам дељења доказаћемо постојање коначног I k x, K,x било који генераторског скупа сваког полиномског идеала. Нека је [ ] идеал и идеал LT ( I ) као у Дефиницији. Изабраћемо неки мономијални поредак, који ћемо користити приликом алгоритма дељења и рачунања водећих чланова. Теорема 4. (Хилбертова теорема о бази) Сваки идеал има коначан генераторски скуп. Тако да је, I = g, K,g ψ, за неке g, K,g ψ I. Доказ. Ако је I = { }, нека је генераторски скуп { }. Он је сигурно коначан. Ако I садржи полином различит од нуле, онда ћемо генераторски скуп g, K,g ψ за I конструисати на следећи начин. На основу Става, постоје g, K,g ψ I такви да је LT I = LT g, K,LT g ψ. 4

Тврдимо да је I = g, K,g ψ. Очигледно је да g, K,g ψ I јер g I, =, ψ. Супротно, нека је f I било који полином. Ако применимо алгоритам дељења из да би поделили f са g, K,g ψ, тада добијамо израз облика f = ag + K + aψgψ + r где сваки члан у r није дељив ни са једним од LT ( g ), K,LT ( g ψ ). Тврдимо да је r =. Да би ово доказали, треба да имамо у виду r = f ag K aψgψ I. Ако је r, онда LT ( r) LT ( I ) = LT ( g ), K,LT ( g ψ ), на основу Леме из 4, следи да LT( r ) мора бити дељиво са неким LT( g ) дефиницијом остатка, због тога r мора бити нула. Дакле, f = ag + K+ a g + g, K,g, што значи да је I g, K,g ψ. База { g, K,g ψ } ψ ψ ψ. Ово је контрадикција са коришћена у доказу Теореме 4, даје одговор на Проблем описа идеала и има специјално својство LT ( I ) LT ( g ),,LT ( g ψ ) = K. Ако погледамо Пример, видимо да се све базе идеала не понашају на овај начин. Ови посебним базама даћемо име. ВАЖНО!!! Дефиниција 5. Фиксирајмо мономијални поредак. За коначан подскуп G = { g, K,g ψ } идеала I кажемо да је Гребнерова база (или стандардна база, означаваћемо је са ГБ) ако је LT I = LT g, K,LT g. ВАЖНО!!! Неформално, скуп { ψ} ( ) ( ψ ) g, K,g I је Гребнерова база за I ако и само ако је водећи члан било ког елемента из I дељив са неким од LT ( g ), =, ψ. Из доказа Теореме 4 добијамо и следећу последицу. Последица 6. Фиксирајмо мономијални поредак. Онда сваки идеал I k[ x, K,x ] различит од { } има Гребнерову базу. Осим тога, било која Гребнерова база за идеал I је база за I. 5

Доказ. Нека је дат идеал различит од нуле, скуп G { g,,g ψ } = K конструисан у доказу Теореме 4 је Гребнерова база на основу дефиниције. За други део последице, приметимо да ако је LT ( I ) = LT ( g ), K,LT ( g ψ ) доказа Теореме 4 I = g, K,g ψ,па је G ГБ за I., онда је на основу У одељку 6 видећемо још нека својства ГБ и решење Проблема припадности идеалу из. Пример. Идеал I из Примера, има базу { f } {,f x xy,x y y x} { } али x LT ( f ),LT ( f ) = +.Скуп f,f није ГБ за I у односу на grex поредак. На основу Примера, x LT ( I ),. У одељку 7 показаћемо како се проналази ГБ за I. Завршићемо овај одељак са два облика Хилбертове теореме о бази. (а) Први је алгебарско тврђење о идеалима у k[ x,,x ] Растући ланац идеала је K. I I I K На пример, низ облика x x,x K x, K,x () је (коначан) растући ланац идеала. Ако пробамо да проширимо ланац додајући идеал са генераторима, имаћемо једну од две могућности. Посматраћемо идеал x, K,x,f где је f k[ x, K,x ]. Ако је f x, K,x, онда поново добијамо x, K,x и ништа се није променило. Ако f x, K,x, онда тврдимо да је x, K,x,f = k[ x, K,x].Објашњење: f = a + p,a,p x, K,x Тада a x, K,x,f,a a, x, K,x,f [ K ] x, K,x,f = k x,,x Као резултат наведеног, растући ланац () може бити настављен на два начина, или k x, K,x и понављањем последњег идеала до бесконачности или додавањем [ ] понављањем њега до бесконачности. У сваком случају, растући ланац ће се стабилизовати после коначног броја корака, сви идеали после одређеног броја корака ће бити једнаки. Теорема 7 показује да се исто догађа у сваком растућем k x, K,x. ланцу идеала у [ ] 6

Теорема 7. (Услов растућег ланца енгл. Ascedig Chai coditio, скр. ACC) Нека је I I I K k x, K,x. Онда постоји N такво да растући ланац идеала у [ ] Доказ. Дат је растући ланац прво да је I идеал у k[ x, K, ] I = I = I =K N N+ N+ I I I K, нека ја скуп I = U I. Показаћемо x. Прво, I јер I за свако. Даље, ако f,g I, по дефиницији, f I, и g I j за неке и j ( могу да буду и различити). Међутим, пошто су идеали означимо тако да је дакле, I.Слично, ако f I j, онда су и f и g у и r k[ x, K,x ] = I из растућег ланца, ако их поново I j. Како је I j идеал, сума, онда f + g I j, f I за неко, и r f I I.Дакле, I је идеал. По Хилбертовој теореми о бази, идеал мора имати коначан генераторски скуп: I = f, K,f ξ. Сваки од генератора је садржан у неком од I j, нека f I j за неки j i, i =, K, ξ. Нека је N максимум од j. Онда по дефиницији растућег ланца f I N за свако. Дакле, I = f, K,f I I K I. ξ N N+ Растући ланац се стабилизује са I N. Сви наредни идеали у ланцу су једнаки. Тврђење да се сваки растући ланац идеала у k[ x,,x ] K стабилизује зове се услов растућег ланца или енгл. ascedig chai coditio - ACC. ACC ћемо користити у 7, када будемо описивали Бухбергеров алгоритам за конструисање ГБ. (б) Други облик Хилбертове теореме о бази је геометријски. До сада, афине варијетете сматрали смо скуповима решења посебних, коначних скупова полиномских једначина: V( f, K, f ξ ) = {( a, K,a) k : f( a, K,a ) =, за свако } Хилбертова теорема о бази показује, да има смисла говорити о афином варијетету I k x, K,x. дефинисаном идеалом [ ] Дефиниција 8. Нека је I k[ x,,x ] K идеал. Означићемо са V (I ) скуп { } V I = a, K,a k : f a, K,a =, за свако f I. Мада идеал I различит од нуле увек садржи бесконачно много различитих полинома, ипак се скуп V ( I) може записати коначаним скупом полиномских једначина. i 7

Став 9. V ( I) је афини варијетет. Специјално, ако је I f,,f ξ = K, онда је V ( I) V ( f,,f ξ ) = K. 6 Својства Гребнерове базе У 5 показали смо, да сваки идеал различит од нуле I k[ x,,x ] K има Гребнерову базу. Сада ћемо се упознати са својствима Гребнерове базе и видети на који начин можемо да проверимо да ли је дата база Гребнерова. Прво ћемо показати шта се догађа када се дели елементима ГБ и да је у том случају остатак јединствено одређен. Став. Нека је G { g,...,g ψ } = Гребнерова база за идеал I k[ x,,x ] [ K ]. Онда постоји јединствено r k[ x,,x ] f k x,,x K и нека K са следећим својствима: (i) Ниједан члан од није дељив ca неким од LT g, K,LT g ψ (ii) Постоји g I такво да је f = g+ r. Специјално, r је остатак приликом дељења f са G без обзира на редослед елемената од G код алгоритма дељења. r Остатак r се некада назива нормалном формом од f. Као последицу Става, добијамо критеријум за одређивање припадности полинома идеалу. ВАЖНО!!! Последица. Нека је G { g,...,g ψ } нека f k[ x,,x ] = Гребнерова база за идеал I k[ x,,x ] K и K. Онда f I ако и само ако је остатак при дељењу f са G нула. ВАЖНО!!! Својство дато у Последици. некада се узима и за дефиницију Гребнерове базе, LT g, K,LT g LT I. јер се може показати да важи ако и само ако је У даљем раду користићемо следећу ознаку за остатак. ψ = Дефиниција. Остатак при дељењу f са уређеном ξ -торком F = ( f, K,f ξ ) F означавамо са f. Ако је F Гребнерова база за f,,f K ξ, онда можемо узети Fкао скуп ( без неког одређеног поредка) по Ставу. 8

4 Пример. Нека је, F ( x y y,x y y ) k[ x,y] поредак, =, користећи лексикографски F 5 x y = xy. На основу алгоритма дељења добијамо 5 4 x y = x + xy x y y + x y y + xy. Нека је дат генераторски скуп идеала.треба да проверимо да ли је тај скуп f, K,f ξ да буде ГБ, је да постоји Гребнерова база. Препрека да скуп { } комбинација полинома f, чији водећи чланови не припадају идеалу генерисаном са LT( f ). ВАЖНО!!! Дефиниција 4. Нека су f,g k[ x,,x ] (i) Ako je muti deg ( f ) =α и γ i = max( αi,βi) за свако LM ( g), називамо x γ и пишемо x LCM ( LM ) (ii) S -полином од Пример. Нека су K полиноми различити од нуле. muti deg g = β, и нека је γ= ( γ, K, γ ), где је i =,. Најмањи заједнички садржалац од LM и γ = f,lm g. f и g је комбинација γ γ x x S( f,g) = f LT f LT g g. f = xy xy + x и 4 = + у [ ] g x y y градираним лексикографским поредком. Онда је ( 4, ) S -полином S( f,g) γ= и ( f ) R x,y, у складу са 4 4 xy xy S( f,g) = f g 4 xy xy = x f y g = xy + x y је тако дизајниран да доводи до скраћивања водећих чланова. Следећа лема показује да је свако скраћивање водећих чланова између полинома истог мултистепена резултат оваквог начина скраћивања. 9

Лема 5. Претпоставимо да имамо суму ξ cf, где је c k и = ξ ξ muti deg ( f ) =δ N за свако. Ако је muti deg c f < δ, онда cf је = = линеарна комбинација, са коефицијентима у k, S -полинома S( f j,f k ) за j,k ξ. Такође сваки S( f j,f k ) има мултистепен мањи од δ. Када f,..., f ξ задовољавају услове Леме 5, добијамо једнакост облика ξ cf = cjks( f,g j k). = j,k Треба да видимо где долази до скраћивања. У суми са леве стране, сваки члан суме cf има мултистепен δ, тако да до скраћивања долази пошто се саберу. У суми са jk ( j k) десне стране, сваки члан суме c S f,g има мултистепен мањи од δ, тако да се скраћивање већ догодило. Користећи S -полиноме и Лему 5, доказује се Бухбергeров критеријум за проверу да ли је база идеала ГБ. ВАЖНО!!! Теорема 6. Нека је I полиномски идеал. Онда је база G { g,,g ψ } и само ако је за сваки пар j, остатак при дељењу ( j) истом поретку) је нула. = K за I ГБ ако S g,g са G (наведених у Теорема 6. се понекад зове Бухбергеров критеријум S -парова. Већ смо видели да ГБ има доста добрих особина. До сада, било је тешко одредити када је база идеала ГБ. Користећи критеријум S -парова лако ћемо показати да је дата база ГБ. Пример. Посматраћемо идеал је G { y x,z x } I = y x,z x, уврнута кубика у R. Тврдимо да = ГБ за лексикографски поредак, y > z > x. Да би ово показали, израчунаћемо S -полином. yz yz S( y x,z x ) = ( y x ) ( z x ) zx yx y y = +. Користећи алгоритам дељења, добијамо zx + yx = x y x + x z x +, тако да је S( y x,z x ) G =. Дакле по Теореми 6, G је ГБ за I.

7 Бухбергеров алгоритам Последица 6 из 5, нам говори да сваки идеал у k[ x, K,x ] различит од { } има Гребнерову Базу. Међутим, доказ нам не говори како да је конструишемо. Можемо да поставимо проблем: како да конструишемо ГБ за дати идеал I k x, K,x? [ ] Пример. Нека је дат прстен k[ x,y ] са градираним лексикографским поредком, и нека је I = f,f = x xy,xy y + x. Већ смо показали да { f,f } није Гребнерова база за I, јер LT( S( f )),f = x LT( f ),LT( f). Да би конструисали ГБ, покушаћемо да додавањем полинома у I, проширимо постојећи генераторски скуп до ГБ. Поставља се питање ког облика треба да буду нови генератори које додајемо? У 6 видели смо да S -полиноми имају добре особине. Нека је S f,f x I, и његов остатак при дељењу са F = f,f је x (различит од = нуле). Дакле, треба да укључимо остатак као нови генератор f = f, на основу Теореме 6 из 6 можемо да проверимо да ли је Ако је F ( f,f, ) нови скуп ГБ за I. Даље, f,, ( ) F x xy x x = xy, F = x у наш скуп. S f,f = xy. Дакле F није ГБ, па морамо додати f4 = xy нашем генераторском скупу. Ако је F = f,f,f,f, онда 4 F S f,f = S f,f =, S( f,f4) = y( x xy) x ( xy) = xy = yf 4, F S f,f 4 =, x y y + x y x = y + x, ( ) F S f,f = y + x. F Опет морамо да додамо нови генереатор { } F= f,f,f,f,f, може да се провери да је 4 5 f5 y x = + скупу. Ако је

F ( j) S,S = за свако j 5. На основу Теореме 6 из 6, следи да је F Гребнерова база за I f,f,f,f 4,f5 = x xy,x y y + x, x, xy, y + x. { } { } У примеру смо видели да се додавањем остатака ( S,S ) F j различитих од нуле, база F може поширити до Гребнерове базе. Ова идеја се може генерализовати и довести до Бухбергеровог алгоритма за рачунање ГБ. Теорема. (Елементарна верзија Бухбергеровог алгоритма) Нека је I = f, K,f ξ { } полиномски идеал. Онда се Гребнерова база за I може конструисати следећим алгоритмом у коначном броју корака: INPUT: F = ( f, K,f ξ ) OUTPUT: a Groeber basis G ( g,,g ψ ) G = F REPEAT G' = G FOR each pair { } UNTIL G' = G. p,q, p = K for I, with F G G' S = S p,q IF Доказ. Ако је G { g,,g ψ } q i G' DO S THEN G = G { S} = K, онда са G и LT(G) означавамо следеће идеале: G = g, K,g ψ = ( ) K ( ψ ) LT G LT g,,lt g Прво ћемо показати да G I остаје непромењено у сваком кораку алгоритма. Ово је тачно у почетку, и сваки пут кад повећамо G, ми додајемо остатак G' S = S p,q за неке p,q G. Дакле, ако је G I, онда су p,q, S p,q у I, и како смо делили са, добијамо G I, тако да је G уствари база од I. G' I { S} I. Приметимо да G садржи базу F од Алгоритам се завршава када је G' = G, што значи да је S( p,q ) = за свако p,q G. На основу Теореме 6 из 6, G је Гребнерова база од G = I. Сада треба да покажемо да се алгоритам завршава. Треба видети шта се догађа приликом сваког пролазка кроз главну петљу. Скуп G се састоји од G' G'

(стари скуп G ) заједно остацима S -полинома елемената од G', који су различити од нуле. Онда је LT G' LT G () пошто је G' G. Ако је G' G, тврдимо да је LT ( G' ) је строго мање од LT ( G ). Да би ово показали, претпоставимо да је S G r G' G', па LT ( r) LT ( G' ). Следи LT ( r) LT ( G) r остатак од -полинома, додат. Пошто је остатак при дељењу са, LT r није дељиво са водећим члановима елемената из. На основу LT ланца од идеала у k[ x, K,x ] коначног броја итерација ланац стабилизује, тако да је LT ( G' ) LT ( G) основу претходног G' = G корака., идеали G' су из узастопних итерација петље растућег. На основу Теореме 7 из 5 видимо да се после =. На, тако да се алгоритам завршава после одређеног броја Критеријум S -парова (Теорема 6 из 6) и Бухбергеров алгоритам (Теорема ) представљају алгоритамску основу за теорију Гребнерових база. G' Напомена: Ако је остатак S( p, q) = он се неће променити и ако будемо додали нове елементе генераторском скупу G'. Тако да нема потребе да их поново рачунамо. Ако додамо нове генераторе f једном, треба само проверити за G ' i j S f,f,i< j. Описани алгоритам је елементарна верзија Бухбергеровог алгоритма. Да бисмо га оптимизовали можемо да елиминишемо непотребне генераторе користећи следећу лему. Лема. Нека је j G Гребнерова база за полиномски идеал I. Нека је p G такав полином да LT ( p) LT G { p}. Онда је и G { p} Гребнерова база за I. Доказ. Знамо да је LT ( G) = LT ( I ). Ако LT ( p) LT G { p} LT G { p} = LT ( G ). На основу дефиниције је G { p}, онда је Гребнерова база за I. Прилагођавањем константи тако да сви водећи коефицијенти буду и LT p LT G p из G, добијамо базу коју елеминисањем сваког p са { } називамо минимална Гребнерова база.

Дефиниција 4. Минимална Гребнерова база за полиномски идеал I је Гребнерова база G за I таква: (i) LC p = за свако p G. (ii) За све p G, LT ( p) LT G { p}. Пример. Конструисаћемо минималну ГБ за дати идеал различит од нуле. Применом алгоритма из Теореме и Леме елиминисаћемо непотребне генераторе. Користићемо идеал I описан у Примеру. Нашли смо Гребнерову базу f = x xy, f = xy y + x, f = x, f4 = xy, f = y + x 5 Неки од водећих коефицијената су различити од, први корак је да помоножимо генераторе са одговарајућом константом. Приметимо да је LT ( f) = x = x LT ( f). На основу Леме, можемо изоставити f у минималној Гребнеровој бази. Слично, како је LT ( f) = x y = x LT ( f4), можемо елиминисати f. Нема више случајева где водећи члан једног генератора дели водећи члан другог генератора. Дакле, f = x,f4 = xy,f 5 = y x је минимална Гребнерова база за I. На жалост, идеал може имати више минималних Гребнерових база. За дати идеал, такође је и ово минимална Гребнерова база, где је a k било која константа. f = x + axy, f4 = xy, f 5 = y x () Срећом можемо да одаберемо минималну ГБ са најбољим особинама. Дефиниција 5. Редукована Гребнерова база за идеал I је Гребнерова база G за I таква да: (i) LC p = за свако p G (ii) За свако p G, нема монома од p који се налазе у LT G { p}. Приметимо, да је Гребнерова база () у Примеру редукована за a =. 4

Став 6. Нека је I { } има јединствену, редуковану Гребнерову базу. полиномски идеал. Онда, за дати мономијални поредак, I Доказ. Нека је G минимална ГБ база за I. Кажемо да је g G, редукован за G под условом да ниједан моном од g не припада LT G { p}. Наш циљ је да модификујемо G док се сви његови елементи не редукују. Приметимо, да ако је g редуковано за G, онда је g редуковано за било коју минималну ГБ за I која садржи g и има исти скуп водећих чланова. Ово важи јер дефиниција о редуковању укључује само водеће чланове. Даље, дат је g G и нека је g' { g} { } G = g и скуп { } G' = G g g'. Тврдимо да је G' минимална Гребнерова база за I. Да би ово показали, приметимо LT g' = LT g, када делимо са G g LT g иде у остатак јер није да је g { }, дељиво ни са једним од елемента од LT G { g}. Значи LT ( G' ) LT ( G) =. Како је G' сигурно садржано у I, G' је ГБ, и њена минималност следи. На крају, приметимо да је g' редуковано за G' на основу његове конструкције. Узећемо елементе од G и применићемо претходни поступак док сви не буду редуковани. ГБ се може променити сваки пут, али приметили смо да ако је један елеменат редукован, он остаје редукован јер никада не мењамо водеће чланове. Дакле, завршићемо са редукованом ГБ. Да би доказали јединственост, претпоставимо да су G и G редуковане ГБ базе за I. Специјално, G и G су минималне ГБ. Нека је дато g g G, постоји g G такво да је = g, следиће да је G = G, и важиће јединственост. Да би показали да је g и како је G ГБ, следи да је g g скраћују у ( G) LT g = LT g. Ако покажемо да је = g, посматрамо разлику g g. Разлика припада I, G =. Знамо да је LT ( g) LT ( g) =. Ови чланови се g g',а преостали чланови нису дељиви ни са једним од LT G = LT, G и G су редуковани. Ово показује да је g g =. G g g = g g, и Компјутерски, алгебарски системи користе неке од верзија Бухбергеровог алгоритма. Ови системи увек рачунају ГБ чији су елементи константни умношци елемената у редукованим ГБ. То значи да ће у суштини дати исте одговоре за дати проблем. Дакле, одговори могу бити лако проверавани са једног система на други. Друга последица јединствености из Става 6 је алгоритам за једнакост идеала. Из алгоритма можемо да видимо када два скупа полинома 5

{ f, K,f ξ },{ g,,g ψ } K генеришу исти идеал: једноставно фиксирамо мономијални поредак и рачунамо редуковану Гребнерову базу за f,,f K ξ и g, K,g ψ. Идеали једнаки ако и само ако су Гребнерове базе исте. 6

8 Прве примене Гребнерове базе У смо описали четири проблема везана за идеале и варијетете. Први Проблем описа идеала, је решен уз помоћ Хилбертове теореме о бази у 5. Сада ћемо се позабавити са преостала три проблема и видети у којој мери можемо да их решимо уз помоћ Гребнерових база. А. Проблем описа идеала Да ли сваки идеал I k[ x,,x ] K има коначан генераторски скуп? Решење :Теорема 4. (Хилбертова теорема о бази) из 5 I k x, K,x има коначан генераторски скуп. Сваки идеал [ ] Значи, I = g, K,g ψ за неке g, K,g ψ I. Б. Проблем припадности идеалу Нека је дат полином f k[ x,,x ] K и идеал I = f, K,f ξ. Да ли f I? Решење: Ако повежемо Гребнерове Базе са алгоритмом дељења, добићемо алгоритам за одређивање припадности идеалу. Нека је дат идеал I = f, K,f ξ. Треба да видимо у ком случају дати полином f припада I. Користићемо алгоритам сличан Теореми из 7, да би пронашли Гребнерову базу G = g, K,g ψ за I. На основу Последице из 6 важи { } f I ако и само ако f =. Пример. Нека I f,f xz y,x z C[ x,y,z] = =, и нека је фиксиран градирани лексикографски поредак. Нека је проверимо да ли f I. G f xyz y z 6 5 = 4 + +. Желимо да Генераторски скуп није Гребнерова база од I, јер LT садржи полиноме ( ) = + = који не припадају идеалу =. Дакле, треба да конструишемо ГБ за I. Проналазимо LT S f, f LT x y z x y LT f,lt f xz,x G f,f,f,f. Ово је редукована база. Сада можемо да проверимо да ли полиноми припадају I. Када поделимо f са G, добијамо да је ГБ ( 4 = 6 5 4,f5 = xz y,x z,x y z, xy z 4,y z ) 7