Ορισµοί, ισότητα, µέτρο, άθροισµα µιγαδικώ αριθµώ Μιγαδικό επίπεδο Γεωµετρική παράσταση του αθροίσµατος µιγαδικώ αριθµώ Η προσπάθεια επιλύσεως εξισώσεω 3 ου βαθµού ( ax 3 βx γx δ 0) πραγµατικούς συτελεστές και δευτεροβαθµίω εξισώσεω ( ax βx γ 0) + + + = µε + + = µε πραγµατικούς συτελεστές και αρητική διακρίουσα, οδήγησε τους µαθηµατικούς (SDel Ferro, N Tartaglia, R Bombelli), στα µέσα του 6 ου αιώα, στο α διευρύου το σύολο τω πραγµατικώ αριθµώ R µε τη δηµιουργία έω αριθµώ, της µορφής a+ βi στο υπερσύολο C, τους µιγαδικούς αριθµούς (complex numbers) Στο σύολο C, οι πράξεις, οι ιδιότητες τους και η επίλυση τω εξισώσεω ταυτίζοται µε αυτές του R C= R Ι R = Q ά { ρρητοι αριθµοί} m * Q= : m Z, n Z n Z = { 0, ±, ±, ± 3, } C R Q Z N N = { 0,,, 3, }, Z N = {, 3,, } Ορισµός φαταστικώ και µιγαδικώ αριθµώ Η µορφή a+ βi Γωρίζοµε ότι η εξίσωση α x + β x + γ = 0, µε α, β, γ R έχει: δύο άισες πραγµατικές ρίζες, ότα είαι η διακρίουσα της > 0, µία διπλή ρίζα, που είαι πραγµατικός αριθµός, ότα είαι = 0 και είαι αδύατη στο R, ότα ισχύει ότι < 0 β ± β 4αγ x, =, = β 4αγ > 0 α β ηλαδή αx + βx+ γ = 0 x = x =, = β 4 αγ =0 α αδύατη στο R, = β 4αγ < 0 Η εξίσωση x = είαι αδύατη στο R, διότι πάτα ισχύει ότι x 0 Προκειµέου α ξεπεραστεί αυτή η αδυαµία, έγιε διεύρυση του συόλου R σε έα έο σύολο, το C Το έο υπερσύολο έχει τις ίδιες πράξεις και ιδιότητες Στέφαος Ι Καραβάς, Μαθηµατικός (ΜΕd), Επίκουρος Καθηγητής
πράξεω µε το σύολο R, που είαι γήσιο υποσύολο του, αλλά περιέχει επιπλέο τουλάχιστο µία λύση της εξισώσεως x = Το έο σύολο C περιέχει ως στοιχείο του το αριθµό i για το οποίο ισχύει ότι i = και οοµάζεται φαταστική µοάδα Κάθε αριθµός της µορφής ai, µε a R, οοµάζεται φαταστικός αριθµός Πρώτος ο Gauss εισήγαγε το συµβολισµό i=, αλλά ο Euler το εισήγαγε οριστικά Κάθε αριθµός της µορφής = a+ bi, µε ab Rοοµάζεται, µιγαδικός αριθµός Ο αριθµός a οοµάζεται πραγµατικό µέρος του και συµβολίζεται ως Re( ), εώ ο αριθµός b οοµάζεται φαταστικό µέρος του και συµβολίζεται ως Im( ) Άρα = a+ b i = Re( ) + Im( ) i Κάθε a R είαι και µιγαδικός αριθµός, διότι ισχύει ότι a= a+ 0i Επίσης κάθε φαταστικός αριθµός bi είαι και µιγαδικός αριθµός, διότι bi = 0+ bi Άρα I a= 0 Re( ) = 0 και R b= 0 Im( ) = 0 Είαι N Z Q R C και C= R Ι, όπου I το σύολο τω φαταστικώ αριθµώ Α ab 0, τότε ο λέγεται καθαρός ή γήσιος µιγαδικός αριθµός Είαι 0, b 0 bi bi ab, = a+ bi ( ) = + = και ( ) Παραδείγµατα Να υπολογισθού οι δυάµεις της µορφής i k για κάθε k Z Είαι i 3 ii i i i 4 = ii = = i =, = = ( ) =, ( )( ) A ο ακέραιος k = 4λ+ υ µε 0 υ < 4, τότε Είαι 5 4+ 4 i = i = ii = i = i, i k 4λ υ 4 λ υ υ = i = ( i ) i = i = i i = = = ( ) =, κτλ 6 4 4 i + ii 0 i =,, υ=0 i, υ=, υ= i, υ=3 i = i, Χαρακτηρίστε ως αληθείς ή ψευδείς τις παρακάτω προτάσεις, αιτιολογώτας τις απατήσεις σας Α, C τότε = 0 = 0 ή =0 Η πρόταση είαι αληθής διότι α = = 0, τότε προφαώς = 0 Α 0, τότε = 0 = 0 = 0 = 0 Οµοίως εεργούµε ότα 0 Η εξίσωση x + α = 0 έχει λύση στο C Η πρόταση είαι αληθής διότι, x + α = 0 x ( ) α = 0 x i α = 0 ( α) = 0 ( α) ( + α) = 0 α = iα x i x i x i x= i ήx Στέφαος Ι Καραβάς, Μαθηµατικός (ΜΕd), Επίκουρος Καθηγητής
3 Εφαρµογή x + 9= 0 x = 9 x =± 3i Α x, y C : x + y = 0 x= y = 0 x= 0 Η πρόταση είαι ψευδής διότι α και y = i 0 x= 3+ i 0 α και τότε x + y = 9 + 6i + 6i 9 = 0 y = + 3i 0 τότε x + y = + i = = 0 ή ακόµα * Για κάθε = { 0} C C ισχύει ότι C * = + i τότε = (+ i) = 4+ = 3+ > 0 Η πρόταση είαι ψευδής διότι α ε µπορούµε α ισχυρισθούµε ότι = 3+ > 0, διότι το σύολο C δε είαι διατεταγµέο (όπως ήτα το σύολο R) 3 Να λυθεί στο σύολο τω µιγαδικώ αριθµώ η εξίσωση Λύση Είαι a=, β = 6, 0 γ =, ( ) x x 6 + 0= 0 = β 4αγ = 6 4 0= 36 40= 4< 0 β ± i 6± i 4 6± i Συεπώς, = = = = 3± i α Επίσης ax βx+ γ = α ( x )( ) ( ) x = x 3+ i x 3 i = = x 6x+ 0 ( )( ( )) 4 Να λυθεί στο σύολο τω µιγαδικώ αριθµώ η εξίσωση 3x 3x+ = 0 Λύση Είαι a= 3, β = 3, = 4 = 3 4 3 = 9 = 3< 0 γ =, β αγ ( ) β ± i 3± i 3 3 Συεπώς, = = = ± i α 6 6 Επίσης ισχύει ότι: ( )( ) 3 3 3 ax βx+ γ= α x x = x + i x i = = 3x 3x+ 6 6 5 Να λυθεί στο σύολο τω µιγαδικώ αριθµώ η εξίσωση Λύση Είαι a= 4, β =, 3 γ =, β αγ ( ) 4x x 3 0 + = = 4 = 4 4 3= 44 08= 64< 0 β ± i ± i 64 ± i8 3 Συεπώς, = = = = ± i α 8 8 Επίσης ισχύει ότι: 3 3 ax βx+ γ= α( x )( x ) = 4 x + i x i = = 4x x+ 3 Στέφαος Ι Καραβάς, Μαθηµατικός (ΜΕd), Επίκουρος Καθηγητής
4 Μιγαδικό επίπεδο (ή επίπεδο Gauss) Γεωµετρική παράσταση µιγαδικού Κάθε µιγαδικό αριθµό = α+ β i, µε α,β R µπορούµε α το ατιστοιχίσοµε στο σηµείο M µε συτεταγµέες ( a, β ) του καρτεσιαού επιπέδου Ατιστρόφως, το κάθε σηµείο M( a, β ) του καρτεσιαού επιπέδου µπορούµε α το ατιστοιχίσοµε στο µιγαδικό αριθµό = α+ β i, µε α,β R Το σηµείο M οοµάζεται εικόα του µιγαδικού αριθµού = α+ β i, µε α,β R και συµβολίζεται ως Μ () Με τη απεικόιση αυτή: Ο µιγαδικός αριθµός = 0 απεικοίζεται στη αρχή O του ορθοκαοικού συστήµατος τω αξόω Οι πραγµατικοί αριθµοί, δηλαδή οι µιγαδικοί αριθµοί της µορφής = a+ 0i, απεικοίζοται στο οριζότιο άξοα xx (άξοας τω πραγµατικώ αριθµώ) Οι θετικοί πραγµατικοί αριθµοί απεικοίζοται στο θετικό ηµιάξοα Οxκαι οι αρητικοί πραγµατικοί αριθµοί απεικοίζοται στο αρητικό ηµιάξοα Ο x Οι φαταστικοί αριθµοί, δηλαδή οι µιγαδικοί αριθµοί της µορφής = 0+ βi, απεικοίζοται στο κατακόρυφο άξοα yy (άξοας τω φαταστικώ αριθµώ) Οι έχοτες β > 0 απεικοίζοται στο θετικό ηµιάξοα Oy και οι έχοτες β < 0 απεικοίζοται στο αρητικό ηµιάξοα Oy Οι ατίθετοι µιγαδικοί αριθµοί απεικοίζοται, στο µιγαδικό επίπεδο, σε σηµεία συµµετρικά ως προς τη αρχή τω αξόω Ισότητα µιγαδικώ αριθµώ Επειδή κάθε µιγαδικός αριθµός γράφεται µε µοαδικό τρόπο στη µορφή a+ βi, δύο µιγαδικοί αριθµοί = a+ βi και = γ + δi είαι ίσοι, α και µόο α τα πραγµατικά και τα φαταστικά τους µέρη είαι, ατίστοιχα, ίσα µεταξύ τους α = γ ηλαδή = a+ βi = γ + δi και Οι µιγαδικοί αριθµοί δε β = δ διατάσσοται, δηλαδή δε έχει όηµα α λέµε ότι ο µιγαδικός είαι µεγαλύτερος ή µικρότερος του µιγαδικού Ιδιότητες της ισότητος τω µιγαδικώ Αακλαστική, δηλαδή κάθε µιγαδικός αριθµός είαι ίσος µε το εαυτό του ( = ) Στέφαος Ι Καραβάς, Μαθηµατικός (ΜΕd), Επίκουρος Καθηγητής
5 Συµµετρική, δηλαδή α ο µιγαδικός ισούται µε το µιγαδικό, τότε και ο είαι ίσος µε το Άρα ( = = ) Μεταβατική, δηλαδή α ο µιγαδικός είαι ίσος µε το µιγαδικό και ο είαι = ίσος µε το 3, τότε και ο είαι ίσος µε το µιγαδικό 3 Άρα και = 3 = 3 Παρατηρήσεις α = 0 Επειδή 0= 0+ 0i ισχύει ότι a+ βi = 0 και β = 0 Απόδειξη ( ) a i i i + β = 0 α = β α = β α + β = 0 α = β = 0 Το ατίστροφο είαι προφαές Μέτρο µιγαδικού αριθµού Μέτρο ή απόλυτη τιµή εός µιγαδικού αριθµού a βi οοµάζεται ο µη αρητικός αριθµός = + ( α, β R ) = α + β, ο οποίος είαι η απόσταση από τη αρχή τω αξόω της εικόας του, δηλαδή του σηµείου Μ Εφαρµογή Α = 3+ τότε = 3 + 4 = 5 = 5 Εκ του ορισµού προκύπτου ότι: = 0 = 0 Το µέτρο εός πραγµατικού αριθµού είαι η απόλυτη τιµή του Α = 5 = 5 Α = 4 = 4 Το µέτρο εός φαταστικού αριθµού ai, µε a R είαι a = 5i = 5 Α = = 4 Α Ισχύει = r > 0 α και µόο α η εικόα του, δηλαδή το σηµείο Μ αήκει στο κύκλο x + y = r Στέφαος Ι Καραβάς, Μαθηµατικός (ΜΕd), Επίκουρος Καθηγητής
6 Η σχέση = ισχύει µόο για τους πραγµατικούς αριθµούς Πράγµατι, α = 3+, τότε = 5, συεπώς = = 3+ 3+ = 7+ Επίσης ( )( ) = 5 λ R και C λ = λ, C = C και N = C, * C ισχύει ότι = * C ισχύει ότι =, δηλαδή = C ισχύει ότι = Είαι = Παρατηρήσεις Απόδειξη Έστω = a+ βi, µε α, β R Εξ ορισµού είαι Επίσης είαι = a βi, άρα ύο ατίθετοι µιγαδικοί αριθµοί απεικοίζοται σε σηµεία µε ατίθετες συτεταγµέες, άρα σε σηµεία συµµετρικά ως προς τη αρχή τω αξόω δηλαδή το Ο 0, 0 σηµείο ( ) = a + β β = ( a) + ( ) = a + = Συζυγείς µιγαδικοί αριθµοί Ιδιότητες τους Οοµάζεται συζυγής του µιγαδικού αριθµού = a+ βi και συµβολίζεται ως, ο µιγαδικός a βi ηλαδή α + βi = α βi ύο συζυγείς µιγαδικοί απεικοίζοται σε σηµεία µε τη ίδια τετµηµέη και ατίθετες τεταγµέες, άρα σε σηµεία συµµετρικά ως προς το άξοα xx β Στέφαος Ι Καραβάς, Μαθηµατικός (ΜΕd), Επίκουρος Καθηγητής
7 Παράδειγµα 3 Από το ορισµό προκύπτει ότι ( ) =, δηλαδή ο συζυγής του συζυγούς είαι ο αρχικός µιγαδικός Είαι: + = α, = βi, = α + β Απόδειξη = α + βi και + = α + β + α β = α = α βi Πράγµατι, α ( i) ( i) = α + βi και = α + βi α βi = βi = α βi Επίσης, α ( ) ( ) Είαι ( ) ( ) = α + βi α βi = α αβi+ αβi β i = α β i = α + β 4 Το άθροισµα και το γιόµεο δύο συζυγώ µιγαδικώ αριθµώ είαι πραγµατικός αριθµός Τα ατίστροφα τω προτάσεω αυτώ δε ισχύου = 3+ Πράγµατι α και + = 8 R, αλλά = 5 Επίσης α = 3i και = 3i = i = = 5 Α R = R, αλλά Στέφαος Ι Καραβάς, Μαθηµατικός (ΜΕd), Επίκουρος Καθηγητής 3+ 3 3+ 3 3 3 3+ 3+
8 Απόδειξη Α R τότε είαι = α + βi = α + 0i = α και = α Άρα = Α = τότε α + βi = α βi βi = βi β = β β = 0 β = 0 Άρα = α + βi = α + 0i = α 6 Α I = όπου I το σύολο τω φαταστικώ αριθµώ Απόδειξη Α I, τότε α βi 0 βi βi = βi = β i = Α = + = + = Επίσης ( ) =, τότε ( i) ( i) δηλαδή I 7 C ισχύει ότι = = Έστω = a+ βi, τότε + = 0 α + β + α β = 0 α = 0 α = 0 Άρα = βi = a + β Απόδειξη Επίσης = α βiκαι a = = + ( β) = a + β Άρα Επίσης = α + βiκαι = ( a) + β = a + β = 8 C ισχύει ότι = Απόδειξη Έστω = a+ βi, µε α, β R Εξ ορισµού είαι = a + β, άρα = a + β Επίσης είαι Συεπώς = = α βi και = ( α + βi)( α βi) = α + β 9 C µε = a+ βi, όπου α, β R ισχύει ότι ( ) = 0 Α = α+ βi και = α + βi τότε + = + ηλαδή ο συζυγής του αθροίσµατος δυο µιγαδικώ αριθµώ, ισούται µε το άθροισµα τω συζυγώ τους Απόδειξη + = ( a + a ) + ( β + β ) i = ( a + a ) ( β + β ) i= ( α βi) + ( α βi) = + Επαγωγικά αποδεικύεται ότι για + + + = + + + Στέφαος Ι Καραβάς, Μαθηµατικός (ΜΕd), Επίκουρος Καθηγητής
9, C ισχύει ότι = ηλαδή ο συζυγής της διαφοράς δυο µιγαδικώ αριθµώ ισούται µε τη διαφορά τω συζυγώ τους 3, C ισχύει ότι = ηλαδή ο συζυγής του γιοµέου δυο µιγαδικώ αριθµώ, ισούται µε το γιόµεο τω συζυγώ τους 4 Επαγωγικά αποδεικύεται ότι για ισχύει ότι = 5 * C, C ισχύει ότι : µιγαδικώ αριθµώ, ισούται µε το πηλίκο τω συζυγώ τους = ηλαδή ο συζυγής του πηλίκου δυο 6 Από τη αωτέρω ιδιότητα για = και για = 0προκύπτει ότι = ηλαδή, ο συζυγής που έχει ο ατίστροφος εός µιγαδικού αριθµού, ισούται µε το ατίστροφο του συζυγούς του 7 C και * N ισχύει ότι ( ) ( ) = Πρόσθεση µιγαδικώ αριθµώ Έστω α + βiκαι γ + δi, δύο µιγαδικοί αριθµοί Η πρόσθεση τους ορίζεται ως ( α + βi) + ( γ + δi) = ( α + γ) + ( β + δ) i ηλαδή εκτελούµε πρόσθεση τω πραγµατικώ και τω φαταστικώ µερώ, ατίστοιχα Παράδειγµα (+ i) + (3+ 7 i) = 4+ 9i Γεωµετρική παράσταση του αθροίσµατος µιγαδικώ αριθµώ Έστω ότι η εικόα του µιγαδικού α + βi στο επίπεδο, είαι το σηµείο ( α β) ( γ ) Μ και ότι η εικόα του µιγαδικού γ + δi στο επίπεδο είαι το σηµείο, Μ, δ Τότε εικόα του αθροίσµατος τους( α + βi) + ( γ + δi) = ( α + γ) + ( β + δ) i στο επίπεδο, είαι το σηµείο ( α γ, β δ) Μ + + Η διαυσµατική ακτία του αθροίσµατος τω µιγαδικώ a+ βi και γ + δi είαι το άθροισµα τω διαυσµατικώ ακτίω τους ηλαδή OM = OM+ OM Στέφαος Ι Καραβάς, Μαθηµατικός (ΜΕd), Επίκουρος Καθηγητής
0 Ιδιότητες της προσθέσεως µιγαδικώ αριθµώ Ατιµεταθετική, C ισχύει ότι + = + C ( ) ( ) Προσεταιριστική,, 3 ισχύει ότι + + = + + 3 3 Ουδέτερο στοιχείο C, υπάρχει C, έτσι ώστε α ισχύει + = + = Το είαι το µηδεικό στοιχείο της προσθέσεως και έχει τη µορφή 0+ 0i Αποδεικύεται ότι το µηδεικό στοιχείο της προσθέσεως είαι µοαδικό Συµµετρικό (ατίθετο) στοιχείο C υπάρχει C, έτσι ώστε α ισχύει + = + = 0 Τo είαι o ατίθετος του µιγαδικού Αποδεικύεται ότι κάθε µιγαδικός αριθµός έχει έα και µόο έα ατίθετο Ιδιότητα της διαγραφής,, C ισχύει ότι α = τότε + = + είξτε ότι α η εξίσωση συτελεστές ( α, α,, α, α ) 0 α x + α x + + αx+ α = 0 µε πραγµατικούς 0 R και α 0 έχει ρίζα το µιγαδικό αριθµό, τότε έχει ρίζα και το Πράγµατι, αφού ο είαι ρίζα της εξισώσεως, ισχύει ότι: α + α + + α+ α = 0 α + α + + α+ α = 0 0 0 α + α + + α+ α = 0 α + α + + α + α = 0 0 0 ( ) ( ) α + α + + α + α = 0 Άρα ο µιγαδικός είαι ρίζα της εξισώσεως 0 Αφαίρεση µιγαδικώ αριθµώ Έστω a+ βi και γ + δi, δύο µιγαδικοί αριθµοί Για τη αφαίρεση του γ + δi από το a+ βi εκτελούµε πρόσθεση του a+ βi µε το γ δi, ο οποίος είαι ο ατίθετος του γ + δi και ( α + βi) ( γ + δi) = ( α + βi) + ( γ δi) = ( α γ) + ( β δ) i ηλαδή εκτελούµε αφαίρεση τω πραγµατικώ και τω φαταστικώ µερώ, ατίστοιχα Παράδειγµα (+ i) (3+ 7 i) = (+ i) + ( 3 7 i) = ( 3) + ( 7) i = 5i Γεωµετρική παράσταση της διαφοράς µιγαδικώ Έστω ότι η εικόα του µιγαδικού a+ βi στο επίπεδο είαι το σηµείο ( α, β) ( γ, δ) ( α γ, β δ) Μ και ότι η εικόα του µιγαδικού γ + δi στο επίπεδο είαι το σηµείο Μ Τότε εικόα της διαφοράς τους στο επίπεδο είαι το σηµείο Ν Στέφαος Ι Καραβάς, Μαθηµατικός (ΜΕd), Επίκουρος Καθηγητής
Η διαυσµατική ακτία της διαφοράς τω µιγαδικώ a+ βi και γ + δi είαι η διαφορά τω διαυσµατικώ ακτίω τους ηλαδήoν= OM OM Από τη τριγωική αισότητα και τη γεωµετρική ερµηεία του αθροίσµατος + και της διαφοράς δύο µιγαδικώ αριθµώ, προκύπτει ότι + + Α ατικαταστήσοµε το µε το η αωτέρω σχέση γίεται + Επαγωγικά αποδεικύεται ότι + + + + ++ Πολλαπλασιασµός µιγαδικώ αριθµώ Για το πολλαπλασιασµό τω µιγαδικώ α + βi και γ + δi έχοµε ( α βi) ( γ δi) α ( γ δi) βi ( γ δi) + i+ i = ( ) + ( αδ + βγ) + + = + + + = αγ αδ βγ βδ αγ βδ Παράδειγµα (+ i) (3+ 7 i) = (3+ 7 i) + i (3+ 7 i) = 3+ 7i+ 6i 4= + 3i Ιδιότητες του πολλαπλασιασµού τω µιγαδικώ αριθµώ Ατιµεταθετική, C ισχύει ότι = Προσεταιριστική,, ισχύει ότι ( ) = ( ) C 3 3 3 Ουδέτερο στοιχείο C, υπάρχει C έτσι ώστε α ισχύει = = Το είαι το ουδέτερο στοιχείο του πολλαπλασιασµού και έχει τη µορφή + 0i Αποδεικύεται ότι το ουδέτερο στοιχείο του πολλαπλασιασµού είαι µοαδικό * * Συµµετρικό (ατίστροφο) στοιχείο C, C : = = Τo είαι o ατίστροφος του µιγαδικού αριθµού Αποδεικύεται ότι κάθε µιγαδικός αριθµός έχει έα και µόο έα ατίστροφο Ιδιότητα της διαγραφής,, C ισχύει ότι α = τότε = Επιµεριστική ιδιότητα,, 3 C ισχύει ότι ( + 3) = + 3 i Στέφαος Ι Καραβάς, Μαθηµατικός (ΜΕd), Επίκουρος Καθηγητής
Α = α+ βi και = α + βi τότε = Απόδειξη = ( a + βi) ( a + βi) = ( αα ββ) + ( αβ + αβ) ( αα β β ) ( α β α β ) = + + i ( α βi) ( α βi) ( α βi) ( α βi) = + + = = ( αα β β ) + ( α β α β ) Άρα = i i Α 0 τότε = Απόδειξη Θέτοµε = = = = = Άρα = Α στη αωτέρω σχέση θέσοµε = και = 0 τότε έχοµε ηλαδή ( ) ( ) = = Επαγωγικά αποδεικύεται για κάθε ότι: + + + = + + + και = Α στη τελευταία ισότητα θέσοµε = = = έχοµε ( ) ( ) = Πηλίκο µιγαδικώ αριθµώ α + βi Προκειµέου α ορίζεται το πηλίκο τω µιγαδικώ α + βi και γ + δi, γ + δi πρέπει γ + δi 0 Για τη απαλοιφή, από το παροοµαστή, του κλάσµατος της φαταστικής µοάδος, πολλαπλασιάζοµε αριθµητή και παροοµαστή µε τη συζυγή παράσταση του παροοµαστή α + βi ( α + βi) ( γ δi) ( αγ + βδ) + ( βγ αδ) i Έτσι έχοµε = = γ + δi ( γ + δi) ( γ δi) γ + δ Στέφαος Ι Καραβάς, Μαθηµατικός (ΜΕd), Επίκουρος Καθηγητής