ΘΕΩΡΗΜΑΣΑ ΠΑΡΑΓΩΓΙΙΜΩΝ ΤΝΑΡΣΗΕΩΝ 1 ΘΕΩΡΗΜΑ (ΑΡΥΗ) ΣΟΤ FERMAT Έζηω a,b με a b Αμ η ζρμάοηηζη f :(a,b) είμαι παοαγωγίζιμη ζηξ (a,b) και παοξρζιάζει ακοόηαηξ ζηξ, ηόηε f ( ) 0 ΘΕΩΡΗΜΑ DARBOUX Έζηω a,b με a b Αμ η ζρμάοηηζη f :(a,b) είμαι παοα- f (a,b) ηηπ f είμαι διάζηημα γωγίζιμη ηόηε ηξ ζύμξλξ ηιμώμ Τξ παοαπάμω θεώοημα μπξοεί μα έςει και ηη παοακάηω διαηύπωζη Έζηω a,b με a b Αμ η ζρμάοηηζη f :[a,b] είμαι παοαγωγίζιμη και f (a) f(b), ηόηε για κάθε k μεηανύ ηωμ f (a) και f (b) ρπάοςει έμα ηξρλάςιζηξμ (a,b) ώζηε f ( ) k ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE Έζηω a,b με a b Αμ η ζρμάοηηζη f :[a,b] είμαι ζρμεςήπ ζηξ [ a,b], παοαγωγίζιμη ζηξ ( a,b) και f( ) f(b) ηόηε ρπάοςει έμα ηξρλάςιζηξμ (a,b) ώζηε f ( ) 0 ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΗ ΣΙΜΗ (LAGRANGE) Έζηω a,b με a b Αμ η ζρμάοηηζη f :[a,b] είμαι ζρμεςήπ ζηξ [ a,b] και παοαγωγίζιμη ζηξ ( a,b), f(b) f(a) ηόηε ρπάοςει έμα ηξρλάςιζηξμ (a,b) ώζηε f ( ) b a Τξ θεώοημα ηηπ μέζηπ ηιμήπ ηξρ LAGRANGE είμαι γεμίκερζη ηξρ θεωοήμαηξπ ηξρ ROLLE Αμ ζηξ θεώοημα ηηπ μέζηπ ηιμήπ ηξρ LAGRANGE ιζςύει f(a) f(b), ηόηε ποξθαμώπ ποξκύπηει ηξ θεώοημα ηξρ ROLLE ΓΕΝΙΚΕΤΜΕΝΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΗ ΣΙΜΗ (CAUCHY) Έζηω a,b με a b Αμ ξι ζρμαοηήζειπ f,g :[a,b] είμαι ζρμεςείπ ζηξ [ a,b] και παοαγωγίζιμεπ ζηξ ( a,b), ηόηε ρπάοςει έμα ηξρλάςιζηξμ (a,b) f ( ) g(b) g(a) g ( ) f(b) f(a) ώζηε Τξ γεμικερμέμξ θεώοημα ηηπ μέζηπ ηιμήπ ηξρ CAUCHY είμαι γεμίκερζη ηξρ θεωοήμαηξπ ηξρ LAGRANGE Αμ ζηξ θεώοημα ηηπ μέζηπ ηιμήπ ηξρ CAUCHY θεωοήζξρμε ηη ζρμάοηηζη μέζηπ ηιμήπ ηξρ LAGRANGE g(x) x ηόηε ποξθαμώπ ποξκύπηει ηξ θεώοημα ηηπ
Όηαμ g (x) 0 για κάθε x (a,b) έςει και ηη παοακάηω διαηύπωζη Έζηω a,b με b ζηξ a,b], ηόηε ηξ παοαπάμω θεώοημα μπξοεί μα a Αμ ξι ζρμαοηήζειπ,g :[a,b] [ και παοαγωγίζιμεπ ζηξ a,b) f( ) f(b) f(a) g ( ) g(b) g(a) (a,b) ώζηε f είμαι ζρμεςείπ (, ηόηε ρπάοςει έμα ηξρλάςιζηξμ ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΗ ΣΙΜΗ (FLETT) Έζηω f :[a,b] μία παοαγωγίζιμη ζρμάοηηζη με f (a) f(b) Απξδείνηε όηι ρπάοςει έμα ηξρλάςιζηξμ (a,b) ώζηε f( ) f(a) f ( ) a ΛΤΗ Θεωοξύμε ηη ζρμάοηηζη: f(x) f(a) g (x) αν x(a,b] x a f(a) αν x a f(x) f(a) Ιζςύει lim g(x) lim f(a) g(a) xa xa x a Άοα η g είμαι ζρμεςήπ ζηξ [ a,b] Επίζηπ η f είμαι παοαγωγίζιμη ζηξ ( a,b) με f(x)(x a) f(x) f(a) g (x) (x a) Αοκεί μα απξδείνξρμε όηι ρπάοςει (a,b) ώζηε g ( ) 0??? Θεωοξύμε ηώοα ηη ζρμάοηηζη: f(x) f(b) h (x) αν x[a,b) x b f(b) αν x b f(x) f(b) Ιζςύει lim g(x) lim f(b) h(b) xb xa x b Άοα η h είμαι ζρμεςήπ ζηξ [ a,b] Αμ ηώοα θεωοήζξρμε ηη ζρμάοηηζη ( x) g(x) h(x), έςξρμε:
ΘΕΩΡΗΜΑΣΑ ΠΑΡΑΓΩΓΙΙΜΩΝ ΤΝΑΡΣΗΕΩΝ 3 Η είμαι ζρμεςήπ ζηξ [ a,b] και ( a) (b) g (a) h(a) g(b) h(b) f(a) f(b) f(b) f(a) f (a) f(b) a b b a f(b) f(a) f(a) 0 b a f(b) f(a) Αμ ( a) (b) 0 ηόηε f (a) 0 g(a) g(b) b a Οπόηε για ηημ g ιζςύξρμ ξι ζρμθήκεπ ηξρ θεωοήμαηξπ ηξρ ROLLE ζηξ a,b] δηλαδή ρπάοςει έμα ηξρλάςιζηξμ (a,b) ηέηξιξ ώζηε g ( ) 0!!! [, Αμ όμωπ ( a) (b) 0 ηόηε θα ρπάοςει (ζύμθωμα με ηξ θεώοημα BOLZANO) k (a,b) ώζηε: ( k) 0 g(k) h(k) 0 g(k) h(k) f(k) f(a) f(k) f(b) k a k b Από ηημ ηελερηαία ιζόηηηα, ζρμπεοαίμξρμε όηι ηα ζημεία A (a,f(a)), B (b,f(b είμαι ζρμερθειακά, ξπόηε θα ιζςύει επιπλέξμ: K (k,f(k)) και )) f(k) f(a) k a f(k) f(b) k b f(b) f(a) b a g (k) g (b) B(b,f(b)) K(k,f(k)) A(a,f(a)) Άοα (k) g(b) g
4 Η g είμαι ζρμεςήπ ζηξ [ k,b] Η g είμαι παοαγωγίζιμη ζηξ ( k,b) g(k) g(b) Θεώοημα ROLLE άοα ζύμθωμα με ηξ θεώοημα ηξρ ROLLE θα ρπάοςει έμα ηξρλάςιζηξμ g ( ) 0!! (k,b) ηέηξιξ ώζηε! Έζηω f :[a,b] μία παοαγωγίζιμη ζρμάοηηζη με f (a) f(b) Απξδείνηε όηι ρπάοςει έμα ηξρλάςιζηξμ (a,b) ώζηε f( ) f(b) f ( ) b ΤΠΟΔΕΙΞΗ Εθαομόζξρμε αμάλξγη διαδικαζία με ηη ποξηγξύμεμη άζκηζη Έζηω f : μία παοαγωγίζιμη και πεοιηηή ζρμάοηηζη Απξδείνηε όηι για κάθε a 0 ρπάοςει έμα ηξρλάςιζηξμ ώζηε f( ) f(a) f ( ) a ΤΠΟΔΕΙΞΗ Αμ η ζρμάοηηζη f είμαι πεοιηηή ηόηε η f είμαι άοηια Οπόηε για κάθε a 0 θα ιζςύει: f ( a) f(a) Εθαομόζξμηαπ αμάλξγη διαδικαζία ζηξ [ a,a], έςξρμε ηξ ζηηξύμεμξ απξηέλεζμα Αμ η ζρμάοηηζη f :[a,b] είμαι παοαγωγίζιμη ζηξ [ a,b] και ρπάοςει k (a,b] ώζηε f (k) 0, ηόηε ρπάοςει έμα ηξρλάςιζηξμ f( ) f(a) (a,b) ώζηε f ( ) b a ΛΤΗ f(t) f(a) Θεωοξύμε ηημ ζρμάοηηζη (x) f(x) dt b a Η ζρμάοηηζη g g :[a,b] είμαι παοαγωγίζιμη ζηξ a,b] a x [ με
ΘΕΩΡΗΜΑΣΑ ΠΑΡΑΓΩΓΙΙΜΩΝ ΤΝΑΡΣΗΕΩΝ 5 f(x) f(a) g (x) f(x) b a (a,b ηέηξιξ ώζηε g ( ) 0??? f (k) και k (a,b], μπξοξύμε μα ρπξθέζξρμε όηι f (x) 0 για κάθε x (a,k) (a,k ηέηξιξ ώζηε f ( ) 0 Αοκεί μα απξδείνξρμε όηι ρπάοςει έμα ηξρλάςιζηξμ ) Εθόζξμ 0 (Διόηι αμ ρπξθέζξρμε όηι ρπάοςει κάπξιξ ) ηόηε μπξοξύμε μα θέζξρμε ζηη θέζη ηξρ k ηξ ) Διακοίμξρμε ηώοα δύξ πεοιπηώζειπ Ποώηη πεοίπηωζη ( f (a) 0 ) Αμ f (a) 0 f,, ηόηε θα ιζςύει (x) 0 για κάθε x [a,k) Άοα η f θα διαηηοεί ζηαθεοό ποόζημξ ζηξ [ a,k) και έζηω όηι f (x) 0 κάθε x [a,k) Για ηη ζρμάοηηζη g θα έςξρμε: για f(k) f(a) f(k) f(a) g (k) f(k) 0 b a b a g (a) g (k) 0 f(a) f(a) g (a) f(a) f(a) 0 b a Άοα ζύμθωμα με ηξ θεώοημα ηξρ DARBOUX θα ρπάοςει έμα ηξρλάςιζηξμ g ( ) 0!! (a,k) ηέηξιξ ώζηε! Δεύηεοη πεοίπηωζη ( f (a) 0 ) Αμ f (a) 0 f, ηόηε θα ιζςύει (x) 0 για κάθε x (a,k) Άοα η f θα διαηηοεί ζηαθεοό ποόζημξ ζηξ ( a,k) και έζηω όηι f (x) 0 κάθε x (a,k) Για ηη ζρμάοηηζη g θα έςξρμε: f(k) f(a) f(k) g(k) f(k) b a b f (a) f(k) f(a) 0 a για g (k) 0 (A) Εθόζξμ 0, θα ρπάοςει (ζύμθωμα με ηξ θεώοημα μέζηπ ηιμήπ ηξρ FLETT) m (a,k) ηέηξιξ ώζηε f (m) f(m) f(a) m a Για ηη ζρμάοηηζη g θα έςξρμε: f(m) f(a) g (m) f(m) b a f(m) f(a) f(m) f(a) m a b a
6 b m g (m) 0 (B) (m a)(b a) ( και ( B) έςξρμε g (m) g (k) 0 f (m) f(a) 0 Απξ ηιπ ζςέζειπ A) Άοα ζύμθωμα με ηξ θεώοημα ηξρ DARBOUX θα ρπάοςει έμα ηξρλάςιζηξμ g ( ) 0!! (m,k) ηέηξιξ ώζηε! Έζηω f :[a,b] ζρμάοηηζη ζρμεςήπ ζηξ [ a,b] και παοαγωγίζιμη ζηξ ( a,b) με f(a) f(b) Απξδείνηε όηι ρπάοςξρμ (a,b) ώζηε ( ) f( ) 0 1, f 1 ΛΤΗ Εθαομόζξρμε για ηη ζρμάοηηζη ηξρ LAGRANGE ζηα διαζηήμαηα f :[a,b] ηξ θεώοημα ηηπ μέζηπ ηιμήπ a b a b a, και,b a 1 a b b Η f είμαι ζρμεςήπ ζηξ Η f είμαι παοαγωγίζιμη ζηξ a b a, a b a, ΘΜΤ LAGRANGE Άοα ζύμθωμα με ηξ ηξ θεώοημα ηηπ μέζηπ ηιμήπ ηξρ LAGRANGΕ θα ρπάοςει a b a, 1 ώζηε a b f f(a) f ( 1) A) b a ( Η f είμαι ζρμεςήπ ζηξ a b,b ΘΜΤ LAGRANGE
ΘΕΩΡΗΜΑΣΑ ΠΑΡΑΓΩΓΙΙΜΩΝ ΤΝΑΡΣΗΕΩΝ 7 Η f είμαι παοαγωγίζιμη ζηξ a b,b Άοα ζύμθωμα με ηξ ηξ θεώοημα ηηπ μέζηπ ηιμήπ ηξρ LAGRANGΕ θα ρπάοςει a b, b ώζηε a b f(b) f f ( 1) B) b a ( Ποξζθέηξμηαπ καηά μέλη ηιπ ζςέζειπ ( A) και ( B) παίομξρμε: f ( 1) f( ) 0 Έζηω f :[a,b] ζρμάοηηζη ζρμεςήπ ζηξ [ a,b] και παοαγωγίζιμη ζηξ ( a,b) με f(a) f(b) Απξδείνηε όηι ρπάοςξρμ 1,,, n (a,b) ώζηε f( ) f( ) f( ) 0 1 n Έζηω f :[0,1] διαθξοίζιμη ζρμάοηηζη και 0 x1 x 1 Αμ f(0) f(x1) 0 και f(x) x, απξδείνηε όηι για κάθε a (0,1) ρπάοςει b (0,1) ώζηε f (b) a Παοαηηοήζειπ Για ηξμ ποώηξ ηοόπξ λύζηπ, θα εθαομόζξρμε ηξ θεώοημα ηξρ DARBOUX: Αμ a b, και η ζρμάοηηζη f :(a,b) είμαι διαθξοίζιμη, ηόηε ηξ ζύμξλξ ηιμώμ (a,b) f ηηπ f είμαι διάζηημα Για ηξμ δεύηεοξ ηοόπξ λύζηπ, θα εθαομόζξρμε ηξ θεώοημα (αοςή) ηξρ FERMAT: Έζηω a b, x (a,b) και η ζρμάοηηζη f :(a,b) είμαι διαθξοίζιμη ζηξ x Αμ ηξ x (a,b) είμαι ζημείξ ηξπικξύ μεγίζηξρ ή ηξπικξύ ελαςίζηξρ για ηημ f ζηξ ( a,b), ηόηε f (x) 0 ΛΤΗ Ποώηξπ ηοόπξπ Η ζρμάοηηζη f είμαι ζρμεςήπ ζηξ [ 0,x1 ], παοαγωγίζιμη ζηξ ( 0,x 1 ) και f(0) f(x1) 0
8 Άοα ζύμθωμα με ηξ θεώοημα ηξρ ROLLE θα ρπάοςει ( 1 0,x1) ώζηε: f ( 1) 0 Η ζρμάοηηζη f είμαι ζρμεςήπ ζηξ [ 0,x ] και παοαγωγίζιμη ζηξ ( 0,x ) Άοα ζύμθωμα με ηξ θεώοημα ηηπ μέζηπ ηιμήπ ηξρ LAGRANGE θα ρπάοςει ( f(x 0,x ) ώζηε: ) f(0) x f( ) 1 x 0 x Άοα ζύμθωμα με ηξ θεώοημα ηξρ DARBOUX, για κάθε a (0,1) f ( ),f 1 ( ) ώζηε: θα ρπάοςει b μεηανύ ηωμ 1 f (b) a Δεύηεοξπ ηοόπξπ Έζηω a (0,1) Θεωοξύμε ηη ζρμάοηηζη g :[0,1] με g(x) f(x) ax Η g είμαι παοαγωγίζιμη ζηξ ( 0,1) και g (x) f(x) a Ιζςύξρμ ηώοα ξι ζςέζειπ: g(0) f(0) a 0 0 g(x1) f(x1) ax1 0 ax1 ax1 0 g(x) f(x) ax x ax (1 a)x 0 Δηλαδή η g (πξρ είμαι ζρμεςήπ ζηξ 0,1] b (0,1) g (b) και [ ) θα παοξρζιάζει ακοόηαηξ ζε κάπξιξ Άοα απξ ηξ θεώοημα (αοςή) ηξρ FERMAT θα ιζςύει: 0 Σοίηξπ ηοόπξπ Έζηω (0,1) a Θεωοξύμε ηη ζρμάοηηζη g :[0,1] με g(x) f(x) ax Η g είμαι παοαγωγίζιμη (άοα και ζρμεςήπ) ζηξ [ 0,1] με g (x) f(x) a Ιζςύξρμ ηώοα ξι ζςέζειπ: g(x1) f(x1) ax1 0 ax1 ax1 0 g(x) f(x) ax x ax (1 a)x 0 Άοα ζρμθωμα με ηξ θεώοημα ηξρ BOLZANO, θα ρπάοςει ( x1,x) ώζηε: g( ) 0 Για ηη g ιζςύει ηξ θεώοημα ηξρ ROLLE ζηξ [ 0, ], ξπόηε θα ρπάοςει b (0, ) ώζηε g (b) 0, δηλαδή θα ρπάοςει b (0,1) ώζηε f (b) a