Μαθηματικά Ο.Π. Γ ΓΕΛ 29/ 04 / 2018 ΘΕΜΑ Α. Α1. Σελίδα 216. Α2.i) Λ ii) Σελίδα 134. Α3. Σελίδα 128

Transcript

1 Γ ΓΕΛ 9/ 4 / 8 Μαθηματικά Ο.Π. ΘΕΜΑ Α Α. Σελίδα 6 Α.i) Λ ii) Σελίδα 34 Α3. Σελίδα 8 Α4. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση τη λέξη Σωστό αν η πρόταση είναι αληθής ή τη λέξη Λάθος αν η πρόταση είναι ψευδής. α) Λ β) Σ γ) Λ δ) Λ ε) Λ ΘΕΜΑ Β Β. Το Π.Ο. = -,+, το Σ.Τ. =,+ το lim f() =, lim f() =, το lim f() δεν υπάρχει γιατί τα προηγούμενα πλευρικά όρια είναι διαφορετικά. Το συνεχής στο = -. lim f() = f(-) = επειδή η f είναι B. Η f είναι γνήσια φθίνουσα στο [-,-] και γνήσια αύξουσα στα [-,),,. Το σημείο (-,f(-)) είναι Κρίσιμο γιατί f (-) = αφού η f σε αυτό έχει οριζόντια εφαπτόμενη τον. Επίσης, το Ο (,) είναι κρίσιμο αφού δεν υπάρχει η f (). Σελίδα από 6

2 Β3. i) Η ευθεία (ε) διέρχεται από τα σημεία (,) και (,-) άρα έχει εξίσωση y - y -- y - y = ( - ) y + = ( - ) y = άρα λ = 3/ = f (). Η (ε) τέμνει τον στο, 3. ii) Το σημείο καμπής είναι το Α(,). f() f() lim = lim Το f() - f() - f() lim lim f '() Το To lim lim lim lim lim Άρα το f() f() lim = lim Β4. Αν Ε το εμβαδόν από Cf,, =, = και Ε το εμβαδόν από (ε),, = 3, = τότε το ζητούμενο εμβαδό είναι: 4 f ( ) d () () () 3 f F F τ.μ. 3 3 ΘΕΜΑ Γ Γ. Είναι e ln (t +)f() + h(t) t t, t > -. Έστω g(t) = e ln (t +)f() + h(t) t - t με A g = (-,+ ). Άρα g(t) για κάθε t > - με g() = g(t) g() για κάθε t > - => g παρουσιάζει ακρότατο στο t = -,+ g(t) παραγωγίσιμη στο g'(t) = e f() + h'(t) t + h(t) t t + -,+ με Fermat g'() = e f() - = e f() = f() = e, R Σελίδα από 6

3 Γ. Η f '() = -e, R με f '() = =, f '() > -e > < - + f + - f Άρα f στο -,, f στο,+ H f ''() = -e - e () = -e + 4 e = e ( -) με f ''() = = ± Είναι - f ''() > e ( -) > - < ή > - f ''() < e ( -) < - < < f f ΚΥΡΤΗ ΚΟΙΛΗ ΚΥΡΤΗ Άρα f ΚΥΡΤΗ στα -,-,,+ και ΚΟΙΛΗ στο,. Σημεία καμπής είναι τα,f,,f ή,e,,e Σελίδα 3 από 6

4 Γ3. i. Είναι f '() = -e για κάθε (,] f συνεχής στο Ο. Τότε f στο [,] άρα και. Α = f [,] = f(), f() =, f e Έτσι η f - υπάρχει με - Θέτω [,] - - y = f() y = e lny = = -lny = -lny = lny = f (y) άρα e - f () = ln, Α - =, f ii. e e - e d + ln d = e d + f ()d () Θέτω u = f - () = f (u) τότε d = f (u)du, = f - () = u u =, - = f = u u = άρα e e e f () d u f '(u)du uf(u) - (u)'f(u)du = f() - f(u)du = f() - e d. Τότε από e - () e d + f ()d = f() = - = e = e. Άρα e e d + ln d = e Γ4. Επειδή η f είναι συνεχής στο R έχει αρχική F: R R με F'() = f(), R. Από f() d < 3 f() d F'() d 3 F'() d F(-4) - F(-7) F(-) - F(-3) F() < F() < () Από Θ.Μ.Τ. για την F στο [-7,-4] υπάρχει (-7) (-) - (-3) 3 F(-4) - F(-7) ξ -7,-4 : F'(ξ ) = = f(ξ ) (-4) - (-7) F(-) - F(-3) F'(ξ ) = = f(ξ ) (-) - (-3) ξ < ξ < και f γνήσια αύξουσα στο,. και από Θ.Μ.Τ. για την F στο [-3,-] υπάρχει ξ -3,-. Για να ισχύει η () αρκεί να δειχθεί ότι f(ξ) < f(ξ). Αυτό ισχύει γιατί Σελίδα 4 από 6

5 ΘΕΜΑ Δ Δ. Θεωρώ τη συνάρτηση h() = f () + g () -, R με h'() = f () + g () - ' = = f () ' + g () '-()' = f() f '() + g() g '() = f() g() - g() f() = άρα h() = c. Είναι f() = g() = και για = => h() = f () + g () - = + - = άρα c = ή h() = f () + g () - = f () + g () = Δ. Η εφαπτόμενη (ε) έχει συντελεστή διεύθυνσης λ = f () = g() = = εφω και αντίστοιχα η (ε) έχει λ = g'() = -f() = -. Έτσι αρκεί να αποδειχθεί ότι f() g() - f() g(). Από f () + g () = f() + g() = f() - g() + f() g() = f() - g() f() g() άρα f() g() f() g() Δ3. Θεωρούμε τη συνάρτηση φ() = f() g() που είναι συνεχής στο [-,] ως διαφορά και Από γινόμενο συνεχών (f, g συνεχείς ως παραγωγίσιμες) f() g() f() g() f() g() (3). Για = και = - η (3) δίνει f () g() f () g() f ( ) g( ) f ( ) g( ) i) Αν φ() φ(-) = ή. Άρα φ() και φ(-) φ() = f()g() = η φ έχει ρίζα το = φ(-) = f(-) g(-) = - η φ έχει ρίζα το = - ii) Αν φ() φ(-) τότε φ() φ(-) < και από Θεώρημα Bolzano η φ έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο (-,). Άρα η φ έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο [-,]. Δ4. i) Από f (t)+g (t) =f (t) =-g (t) άρα g (t) g (t) g(t) - g(t) Σελίδα 5 από 6

6 t ii) (-) t t g(t) t -t dt t g(t)dt t dt > -t dt t g(t)dt t dt t t t g(t)dt t g(t)dt t g(t)dt + Είναι < < + lim = lim lim = (-) = +. + Επίσης < < + lim = lim lim = () = + + Άρα από Κριτήριο Παρεμβολής το + lim t g(t)dt = Σελίδα 6 από 6