1. Βλέπε σχολικό βιβλίο «Μαθηματικά θετικής και τεχνολογικής Κατεύθυνσης», σελίδα

Transcript

1 6 o ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΑΠΡΙΛΙΟΣ 16: ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ 6 ο ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ (Σε όλη την ύλη) ΘΕΜΑ Α 1. Βλέπε σχολικό βιβλίο «Μαθηματικά θετικής και τεχνολογικής Κατεύθυνσης», σελίδα Βλέπε σχολικό βιβλίο «Μαθηματικά θετικής και τεχνολογικής Κατεύθυνσης», σελίδα Βλέπε σχολικό βιβλίο «Μαθηματικά θετικής και τεχνολογικής Κατεύθυνσης», σελίδα α) Λάθος, β) Λάθος, γ) Σωστό, δ) Λάθος, ε) Σωστό ΘΕΜΑ Β 1. Το πεδίο ορισμού της f είναι το Af συνεχών συναρτήσεων. Είναι παραγωγίσιμη, με είναι γνησίως αύξουσα στο Af., στο οποίο είναι συνεχής, ως άθροισμα x 4 f (x) e 5(x 1), άρα η f lim f (x) x lim (e (x 5 1) ) x x lim f (x) x lim (e (x 5 1) ) x x. Άρα f (A),.. Έχουμε ότι f (A), και αφού η f είναι συνεχής, η f (x) έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο. Επειδή, όμως η f είναι γνησίως αύξουσα, τότε η f (x), έχει μία το πολύ ρίζα στο. Άρα, υπάρχει μοναδικό x, τέτοιο ώστε f (x ), δηλαδή η C f τέμνει ακριβώς σε ένα σημείο τον άξονα xx. Σελίδα 1 από 8

2 6 o ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΑΠΡΙΛΙΟΣ 16: ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ 3. 3 i. Παραγωγίζοντας κατά μέλη την g (x) g(x) 5f (x), *, έχουμε: 5f (x) g (x), διότι f (x) και 3g (x) 3g (x)g (x) g (x) 5f (x) (3g (x) )g (x) 5f (x) 3g (x). Άρα η g είναι γνησίως αύξουσα στο. ii. Έστω x, η μοναδική ρίζα της f (x), δηλαδή f (x ). (1) Για x x, από την (*) έχουμε: (1) 3 g (x ) g(x ) 5f (x ) (g (x ) )g(x ) και επειδή g (x ), θα είναι g(x ), δηλαδή το x είναι ρίζα της g(x). Όμως, η g είναι γνησίως αύξουσα, άρα η ρίζα είναι μοναδική. Επομένως, η ίδιο σημείο με την C f. C g τέμνει τον xx στο g:. ύ f (1) e f:. ύ 4. g(f (x)) g(e ) f (x) e f (x) f (1) x 1. ΘΕΜΑ Γ Α τρόπος 1. Έστω x,. Αρκεί να αποδείξουμε ότι ισχύει lim f (x) f (x ). xx Έχουμε f (x) 3f (x) x f (x ) 3f (x ) x και αφαιρώντας βρίσκουμε: f (x) f (x ) 3f (x) 3f (x ) x x (f (x) f (x ))(f (x) f (x ) 3) x x f (x) f (x ) f (x) f (x ) 3 x x f (x) f (x ) 31 f (x) f (x ) x x x x f (x) f (x ) x x (1) Σελίδα από 8

3 6 o ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΑΠΡΙΛΙΟΣ 16: ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Επειδή lim( x x ) lim x x, από το κριτήριο παρεμβολής η (1) μας δίνει xx xx lim(f (x) f (x )) lim f (x) f (x ). xx xx. Έστω x,. Από το ερώτημα (1) έχουμε: x x (f (x) f (x ))(f (x) f (x ) 3) x x f (x) f (x ) 1 x x f (x) f (x ) 3 f (x) f (x ) x x f (x) f (x ) 3 f (x ) 3 lim lim xx xx Άρα 1 f (x) f (x) 3., οπότε f (x), ά x, 3. Ισχύει f(x) 1 f(x) 3 1. Όμως f (x) f (x) x,. f (x) 3 που σημαίνει ότι η f στρέφει τα κοίλα κάτω για κάθε Επίσης fx για κάθε x,, άρα δεν έχει σημεία καμπής. 4. Στη σχέση f (x) 3f (x) x, θέτουμε όπου x 4 και έχουμε: f (4) 3f (4) 4 f (4) 4 ή f 4 1. Επειδή όμως f (x) 1, τότε θα έχουμε f (4) 1 και 1 f (4). 5 Άρα η εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της f στο σημείο A(4,f (4)) είναι: y f (4) f (4)(x 4) y x 5 5 Σελίδα 3 από 8

4 6 o ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΑΠΡΙΛΙΟΣ 16: ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ 5. Αφού η f είναι κοίλη στο,, η εφαπτομένη της θα βρίσκεται πάνω από τη γραφική της παράσταση, με εξαίρεση το σημείο επαφής, οπότε θα ισχύει: f (x) x 5f (x) x 1, x,. 5 5 Β τρόπος f (x) 3f (x) x f (x) f (x) x γιατί x f (x) x, (1) 4 η (1) γίνεται 3 9 f (x) x f (x) x f (x) x f x1 οπότε x f (x) x f x 4 1. fx 3 9 4x, με xσυνεχής σαν άθροισμα συνεχών συναρτήσεων.. fx 3 9 4x παραγωγίσιμη σαν άθροισμα παραγωγισίμων συναρτήσεων 1 9 4x 1 f x 9 4x 9 4x Σελίδα 4 από 8

5 6 o ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΑΠΡΙΛΙΟΣ 16: ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ f x 9 4x 4 9 4x 9 4x 9 4x 3. ότι η f στρέφει τα κοίλα κάτω για κάθε x,. που σημαίνει Επίσης f x για κάθε x,, άρα δεν έχει σημεία καμπής f 4 1, 4. f (4) Άρα η εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της f στο σημείο A(4,f (4)) είναι: y f (4) f (4)(x 4) y x Αφού η f είναι κοίλη στο,, η εφαπτομένη της θα βρίσκεται πάνω από τη γραφική της παράσταση, με εξαίρεση το σημείο επαφής, οπότε θα ισχύει: f (x) x 5f (x) x 1, x,. 5 5 ΘΕΜΑ Δ g 1 h g 1 g 1 h g 1 g h g h lim lim h h h h g 1h g 1 g 1h g 1 lim, 1 h h h 1 hx 1 g g h g g x g lim lim g 1, h h x1 x 1 1 h x g g h g g x g 1 lim lim g 1, 3 h h x1 x1 Η (1) με βάσει τις () και(3) γίνεται g 1 g 1 3g 1 g 1 Σελίδα 5 από 8

6 6 o ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΑΠΡΙΛΙΟΣ 16: ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. x 4x 6 x α) lim f x lim e x 4x 6 lim D'Hosp x x x x e x 4 lim D'Hosp lim D'Hosp y ό ύ x x x x e e f x e x x f x β) έχουμε, Άρα το σύνολο τιμών είναι 3.Το σημείο A x, f x της C h απέχει απόσταση από το B 1,, AB d x x 1 f x x 1 f x, x R tx x x 1 f x x 1 e x x dx x 1 f x x 1 f x x Θα μελετήσουμε την συνάρτηση t x x 1 e x x της tx x e x t, παρατηρούμε ότι. ως προς το πρόσημο t Σελίδα 6 από 8

7 6 o ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΑΠΡΙΛΙΟΣ 16: ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Θα μελετήσουμε την συνάρτηση d Οπότε το σημείο Α είναι A,h ή A, f 6 ή A, 6 Ο συντελεστής διεύθυνσης της εφαπτομένης της C h στο σημείο Α είναι f 1 h και ο συντελεστής διεύθυνσης της ΑΒ είναι f Από την σχέση g xg x g x f x x έχει μέγιστο έχουμε x, δηλαδή η συνάρτηση : R R Το είναι εσωτερικό σημείο του πεδίου ορισμού της x Είναι παραγωγίσιμη στο, άρα ισχύουν οι προϋποθέσεις του Θ. Fermat, άρα, 1 Όμως ισχύει x g 1 xg x g x 1 f x 6 x xg x g x gx 1 f x 6 f x g g f f g g f g g 1 g g, g Η σχέση f xdx από την () γίνεται g g f x dx Σελίδα 7 από 8

8 6 o ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΑΠΡΙΛΙΟΣ 16: ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ g Αν g Αν Άρα g,(3) g f x f x dx, άτοπο και επειδή και επειδή g f x f x dx, άτοπο Εφαρμόζουμε το Θ.Rolle για την συνάρτηση, o Gx g x x παραγωγίσιμη στο οπότε και συνεχής στο, o Άρα υπάρχει τουλάχιστον ένα G x g x x στο διάστημα, 3 (γινόμενο παραγωγισίμων ), G g, G g G G x, : G x, έχουμε όμως xx G x g x x g x x g x x g x x x g x g x g x g x x x Ο επιστημονικός έλεγχος πραγματοποιήθηκε από τους Κωνσταντόπουλο Κωνσταντίνο και Μοτσάκο Βασίλειο. Σελίδα 8 από 8