Λ υ σ α ρ ι. Μ α θ η μ α τ ι κ α B Γ υ μ ν α σ ι ο υ. Γ ε ω μ ε τ ρ ι α - Τ ρ ι γ ω ν ο μ ε τ ρ ι α. Ε π ι μ ε λ ε ι α : Τ α κ η ς Τ σ α κ α λ α κ ο ς

Λ υ σ α ρ ι Μ α θ η μ α τ ι κ α B υ μ ν α σ ι ο υ ε ω μ ε τ ρ ι α - Τ ρ ι γ ω ν ο μ ε τ ρ ι α Ε π ι μ ε λ ε ι α : Τ α κ η ς Τ σ α κ α λ α κ ο ς

1 Ε μ β α δ ο ν Ε π ι π ε δ η ς Ε π ι φ α ν ε ι α ς σ κ η σ ε ι ς 1. 1 1. Ποιο απο τα δυο σχηματα, εχει το μεγαλυτερο εμβαδον ; Μετρωντας τα μικρα τετραγωνακια διαπιστωνουμε οτι τα σχημα εχει μεγαλυτερο εμβαδον.. Να υπολογισετε το εμβαδον καθενος απο τα παρακατω σχηματα χρησιμοποιωντας ως μοναδα το. Τι παρατηρειτε ; ρισκουμε οτι το εμβαδον του καθε σχηματος ειναι ισο με 39 3. ινονται τεσσερα ορθογωνια και ισοσκελη τριγωνα με ισες καθετες πλευρες α) Χρησιμοποιωντας μονο τα δυο τριγωνα να κατασκευασετε ενα τριγωνο και ενα τετραγωνο β) Χρησιμοποιωντας και τα τεσσερα τριγωνα ( μια φορα το καθε ενα) να σχηματισετε ενα τετραγωνο ενα ορθογωνιο και ενα τραπεζιο.

Ε μ β α δ ο ν Ε π ι π ε δ η ς Ε π ι φ α ν ε ι α ς σ κ η σ ε ι ς 1. 1 α) β)

3 Ε μ β α δ ο ν Ε π ι π ε δ η ς Ε π ι φ α ν ε ι α ς ι α ι α σ κ ε δ α σ η 1. 1 1. Στο διπλανο σχημα χρησιμοποιησαμε 1 σπιρτα για να σχηματισουμε ενα τετραγωνο ισο με 9 τετραγωνα πλευρας ενος σπιρτου. ν τοποθετησουμε τα 1 σπιρτα διαφορετικα σχηματιζουμε αλλα σχηματα με αλλο εμβαδον, για παραδειγμα ο παρακατω σταυρος εχει εμβαδον ισο με 5 τετραγωνα πλευρας ενος σπιρτου. Μπορειτε να τοποθετησετε τα 1 σπιρτα με διαφορετικο τροπο, ωστε να προκυψουν σχηματα με εμβαδα 8, 7, 6, 4, 3 τετραγωνα πλευρας ενος σπιρτου; 8 τετραγωνα 7 τετραγωνα 6 τετραγωνα 4 τετραγωνα 3 τετραγωνα

Μ ο ν α δ ε ς Μ ε τ ρ η σ η ς Ε π ι φ α ν ε ι ω ν 4 Ε ρ ω τ η σ ε ι ς Κ α τ α ν ο η σ η ς 1. 1. Να επιλεξετε την σωστη απαντηση 1. 6, m = 6cm 60cm 6000cm 0,6cm. 6, mm = 6cm 60cm 0,6cm 0,06cm 3. 6, cm = 6m 0,6m 60m 0,0006m 4. 6, cm = 60mm 600mm 0,6mm 0,0006mm 5. 6, m = 6dm 60dm 6000dm 0,06dm 6. 6, mm 0,000006m 0,0006m 0,06m 0,006m 1. Σωστο το αφου, 6, m = 6, 10000 cm = 6000 cm.. Σωστο το αφου, 6, mm = 6,:100 cm = 0,06cm. 3. Σωστο το αφου, 6, cm = 6,:10000 m = 0,0006m. 4. Σωστο το αφου, 6, cm = 6, 100 mm = 60mm. 5. Σωστο το αφου, 6, m = 6, 100 dm = 60dm. 6. Σωστο το αφου, 6, mm = 6, : 1000000m =0,000006m.. Να επιλεξετε την σωστη απαντηση. ια να μετατρεψουμε : 1. m σε dm Πολ /με με 100 ιαιρουμε με 100 ιαιρουμε με 10. dm σε cm ιαιρουμε με 100 Πολ /με με 100 ιαιρουμε με10 3. cm σε mm ιαιρουμε με 100 ιαιρουμε με 10 Πολ /με με 100 4. dm σε m Πολ /με με 100 ιαιρουμε με 100 ιαιρουμε με 10 5. cm σε dm Πολ /με με 10000 Πολ /με με 100 ιαιρουμε με 100 6. mm σε cm ιαιρουμε με 100 Πολ /με με 100 ιαιρουμε με 10 7. m σε cm ιαιρουμε με 100 Πολ /με με 10000 ιαιρουμε με 10000 8. m σε mm Πολ /με με 1000000 ιαιρουμε με 100000 ιαιρουμε με 1000 9. cm σε m ιαιρουμε με 100 ιαιρουμε με 10000 Πολ /με με 10000 10. mm σε dm ιαιρουμε με 100 Πολ /με με 10000 ιαιρουμε με 10000 1 3 4 5 6 7 8 9 10

5 Μ ο ν α δ ε ς Μ ε τ ρ η σ η ς Ε π ι φ α ν ε ι ω ν σ κ η σ ε ι ς 1. 1. Να μετατρεψετε σε m τα παρακατω μεγεθη 3 cm, 31 cm, 17 km, 710 dm, 170 mm, 1 dm, 180 mm, 79 km. 3cm = 3 : 10000 m = 0,003 m 31 cm = 31 : 10000 m = 0,031 m 17km = 17 1.000.000 m = 17.000.000m 710dm = 710 : 100 m = 7,1m 170mm = 170 : 1.000.000m = 0,017m 1dm = 1 : 100 m =,1m 180mm = 180 : 1.000.000m = 0,0018m 79km = 79 1.000.000 m = 79.000.000m. Να μετατρεψετε σε cm τα παρακατω μεγεθη 1 m, 175 dm, 456 m, 136 m, 3 km, 1750 mm, 56 km 1m = 1 10000 cm = 10.000 cm 175 dm = 175 100 cm = 17.500 cm 456m = 456 10000 cm = 4.560.000 cm 136 m = 136 10000 cm = 1.360.000 cm 3 km = 3 10000 000000 cm = 30.000.000.000cm 1750 mm = 1750 : 100 cm = 17,5 cm 56 km = 56 10000 000000 cm =.560.000.000.000cm 3. Να μετατρεψετε σε mm τα παρακατω μεγεθη 1 km, 431 m, 17 dm, 36 cm 1 km = 1 1.000.000.000.000 mm = 1.000.000.000.000 mm 431 m = 431 1.000.000 mm = 431.000.000 mm 17 dm = 17 10000 mm = 170.000 mm 36 cm = 36 100 mm = 3.600 mm 4. Να μετατρεψετε σε km τα παρακατω μεγεθη 733 mm, 431 cm, 63 dm, 1463 mm, 560m

Μ ο ν α δ ε ς Μ ε τ ρ η σ η ς Ε π ι φ α ν ε ι ω ν 6 σ κ η σ ε ι ς 1. 733 mm = 733 : 1.000.000.000.000 km = 0, 00000000733 km 431 cm = 431 : 10.000.000.000 km = 0,000000431 km 63 dm = 63 : 100.000.000 km = 0,000063 km 1463 mm = 1463 : 1.000.000.000.000 km = 0, 00000001463 km 5. 560m = 560 : 1.000.000 = 0,00056 km Στις παρακατω περιπτωσεις να εκφρασετε τα εμβαδα στην ιδια μοναδα μετρησης και στην συνεχεια να τα καταταξετε κατα σειρα μεγεθους απο το μικροτερο προς το μεγαλυτερο. α) 13850mm, 0,3 m, 0,48 m, 670cm, 13,7 dm β) 3 dm, 1,3 m, 370 mm, 1356cm α) 13850 mm = 13850 : 1.000.000m = 0,01385m 670cm = 670 : 10.000 m = 0,067 m 13,7 dm = 13,7 : 100 m = 0,137 m φου 0,01385m < 0,067 m < 0,137m < 0,3m < 0,48m τοτε 13850mm < 670cm < 13,7dm < 0,3m < 0,48m β) 3 dm = 3 : 100 m = 0,3 m 370 mm = 3700 : 1.000.000m = 0,037m 1356cm = 1356 : 10.000 m = 0,1356 m φου 0,037m < 0,1356 m < 0,3m < 1,3m τοτε 370mm < 1356 cm < 3dm < 1,3m 6. Ποια απο τις μοναδες μετρησης εμβαδου πρεπει να χρησιμοποιησουμε για να μετρησουμε το εμβαδον : α) του δωματιου μας β) της Κρητης γ) ενος αγρου δ) ενος γραμματοσημου ε) ενος φυλλου τετραδιου α) m β) km γ) στρεμμα δ) cm ε) cm

7 Ε μ β α δ α Ε π ι π ε δ ω ν Σ χ η μ α τ ω ν Ε ρ ω τ η σ ε ι ς Κ α τ α ν ο η σ η ς 1. 3 1. Στο διπλανο σχημα 1. Σωστο το αφου, το ΗΘ ειναι τετραγωνο πλευρας 3 και το εμβαδον του ειναι 3 = 9.. Σωστο το αφου, το ΖΘ ειναι ορθογωνιο με διαστασεις 3 και 6 και το εμβαδον του ειναι 3 6 = 18. 3. Σωστο το αφου, το ΕΗ ειναι παραλληλογραμμο με βαση 6 και υψος 3 και το εμβαδον του ειναι 3 6 = 18. 4. Σωστο το αφου, το Η ειναι τριγωνο με βαση 6 και υψος 3 και το εμβαδον του ειναι 1 3 6 = 9. 5. Σωστο το αφου, το ΖΗ ειναι τριγωνο με βαση 3 και υψος 3 και το εμβαδον του ειναι 1 3 3 = 4,5. 6. Σωστο το αφου, το ΖΗ ειναι τραπεζιο με βασεις 9 και 3, και υψος 3 ενω το εμβαδον του ειναι 1 (3 + 9) 3 = 18. 1. Το εμβαδον του ΗΘ ειναι : 3 6 9. Το εμβαδον του ΖΘ ειναι : 6 1 18 3. Το εμβαδον του ΕΗ ειναι : 1 18 1 4. Το εμβαδον του Η ειναι : 9 1 4,5 5. Το εμβαδον του ΖΗ ειναι : 9 1 4,5 6. Το εμβαδον του ΖΗ ειναι : 1 18 1 7. Το εμβαδον του ΕΗ ειναι :,5 18 7 8. Το εμβαδον του ΕΘ ειναι :,5 18 1 7. Σωστο το αφου, το ΕΗ ειναι τραπεζιο με βασεις 9 και 6, και υψος 3 ενω το εμβαδον 3cm 3cm 3cm 3cm Θ Η Ζ Ε του ειναι 1 (6 + 9) 3 =,5. 8. Σωστο το αφου, το ΕΘ ειναι τραπεζιο με βασεις 9 και 3, και υψος 3 ενω το εμβαδον του ειναι 1 (3 + 9) 3 = 18.

Ε μ β α δ α Ε π ι π ε δ ω ν Σ χ η μ α τ ω ν 8 Ε ρ ω τ η σ ε ι ς Κ α τ α ν ο η σ η ς 1. 3. Να επιλεξτε την σωστη απαντηση 1.. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. Το εμβαδον του παραλλ/μμου ειναι 4 9 18 Το υψος x που αντιστοιχει στην πλευρα ειναι 5,5 9 4,5 Το εμβαδον του παραλλ/μμου ΕΖΗΘ ειναι Η πλευρα x = ΕΘ ειναι Ποιο απο τα διπλανα δεν ειναι ισο με το εμβαδον του τριγωνου 4 1 3 4 6 5 Κ Λ Το εμβαδον του τριγωνου ΕΘΗ ειναι 3 16 0 Το υψος ΘΚ που αντιστοιχει στην πλευρα ΕΗ ειναι 4 5 6 Το διπλανο παραλ/μο εχει εμβαδον 16cm και το Ε ειναι το μεσο της πλευρας. Το εμβαδον του τριγωνου ΚΕ ειναι : Το εμβαδον του μπλε παραλληλογραμμου ειναι : Το εμβαδον καθε πρασινου τριγωνου ειναι : ν το εμβαδον του παραλληλογραμμου Ε ειναι 1cm και το Ε ειναι το μεσο της πλευρας, τοτε το εμβαδον του τραπεζιου ειναι 4 6 8 5 4 8 16 0 17,5 4 16 18 E 4 CM x Θ Λ 5 M Θ 4CM 6 CM 3 CM 8 CM Ζ 6CM E Υ Κ Κ 3 CM Ζ 10 CM Κ Ε 8Μ Ε Η Η 1 M

9 Ε μ β α δ α Ε π ι π ε δ ω ν Σ χ η μ α τ ω ν Ε ρ ω τ η σ ε ι ς Κ α τ α ν ο η σ η ς 1. 3 1. Σωστο ειναι το αφου, β υ = 6 3 = 18.. Σωστο ειναι το αφου, ισχυει οτι : 18 = 4x η x = 18 4 = 4,5. 3. Σωστο ειναι το αφου, β υ = 8 3 = 4. 4. Σωστο ειναι το αφου, ισχυει οτι : 4 = 6x η x = 4 6 = 4. 5. Σωστο ειναι το. 6. Σωστο ειναι το αφου, β υ = 10 4 = 0. 7. Σωστο ειναι το αφου, ισχυει οτι 0 = 8 x η x = 5. 8. Σωστο ειναι το αφου, ισχυει : 16 = 10 υ η υ = 1,6 (ΚΕ ) = β υ = 5 1,6 = 4. 9. Σωστο ειναι το αφου, β υ = 1 8 = 8. 10. Σωστο ειναι το αφου, β υ = 4 8 = 16. 11. Σωστο ειναι το αφου : Το παραλληλογραμμο και το τριγωνο εχουν το ιδιο υψος υ. Ετσι 1 = Ε υ και (Ε) = β υ = Ε υ = Ε υ = 1 = 6 ηλαδη το εμβαδον του τραπεζιου ειναι ισο με (Ε) + (Ε) = 1 + 6 = 18.

Ε μ β α δ α Ε π ι π ε δ ω ν Σ χ η μ α τ ω ν 10 σ κ η σ ε ι ς 1. 3 1. ν η περιμετρος ενος τετραγωνου ειναι 60 cm, να υπολογισετε το εμβαδον του. ν η πλευρα του τετραγωνου ειναι x, τοτε Περιμετρος = 4x η 60 = 4x η x = 15 cm Ετσι το εμβαδον του τετραγωνου ειναι : Ε = 15 = 5 cm. Οι διαστασεις ενος φυλλου στο εικοσαφυλλο τετραδιο του Σταυρου ειναι 1 cm και 30cm. Να υπολογισετε ποση επιφανεια χαρτιου εχει ολο το τετραδιο. Το εμβαδον ενος φυλλου του τετραδιου ειναι ισο με 1 30 = 630cm Το εμβαδον ολου του χαρτιου του τετραδιου ειναι : Ε = 0 630 = 1600 cm = 1600 10000 m = 1,6m 3. Στο παρακατω σχημα να αποδειξετε οτι τα εμβαδα του ροζ και του κιτρινου σχηματος ειναι ισα. α α Το εμβαδον του ροζ ορθογωνιου ειναι ισο με 4 1 = 48 μικρα τετραγωνα. Το εμβαδον του κιτρινου ορθογωνιου ειναι ισο με 4 1 = 48 μικρα τετραγωνα. Επομενως τα σχηματα εχουν ισα εμβαδα. 4. Να κατασκευασετε ενα τετραγωνο. Στη συνεχεια να προεκτεινετε την πλευρα του τετραγωνου και να παρετε τμημα Ε =. α) Να αποδειξετε οτι το τετραγωνο και το τριγωνο Ε εχουν ισα εμβαδα. β) Να αποδειξετε οτι το εμβαδον του Ε ειναι διπλασιο απο το εμβαδον του Ε. α) ν η πλευρα του τετραγωνου ειναι x, τοτε το εμβαδον του Ε = x.

11 Ε μ β α δ α Ε π ι π ε δ ω ν Σ χ η μ α τ ω ν σ κ η σ ε ι ς 1. 3 Το εμβαδον του τριγωνου Ε ειναι (Ε) = β υ Ε = = x x = x ρα () = (Ε) β) Το εμβαδον του τριγωνου Ε ειναι (Ε) = ια x = 5 : x x x = = (Ε) 5. Να υπολογισετε το εμβαδον των δυο σχηματων στο παρακατω σχημα, αν x = 5 cm. Στη συνεχεια να εξηγησετε γιατι αυτα ειναι ισα για οποιαδηποτε τιμη του x. X X 3 CM X x Tο πρωτο σχημα που ειναι ορθογωνιο με διαστασεις 5 και 8 εχει εμβαδον Ε1 = 5 8 = 40 cm Το δευτερο σχημα αποτελειται απο το τετραγωνο πλευρας x = 5 cm και το τριγωνο που μια πλευρα του ειναι 5 και το αντιστοιχο σε αυτη υψος που ειναι 6 cm. Το εμβαδον του τετραγωνου ειναι : 5 = 5 cm Το εμβαδον του τριγωνου ειναι : 5 6 = 15 cm ρα το εμβαδον του δευτερου σχηματος ειναι ισο με Ε = 5 + 15 = 40 cm Οποτε Ε1 = Ε. Εξηγηση : Το πρωτο σχημα εχει εμβαδον Ε1 = x( x + 3) = x + 3x Το δευτερο σχημα εχει εμβαδον Ε = Ε τετραγωνου + Ε τριγωνου = x + x 6 X 6 CM x B x Ε = x + 3x Ε1 = Ε 6. Ενα τετραγωνο και ενα τραπεζιο εχουν ισα εμβαδα. ν οι βασεις του τραπεζιου ειναι 1 cm και 0cm και το υψος του ειναι 4cm, να υπολογισετε το εμβαδον του τετραγωνου.

Ε μ β α δ α Ε π ι π ε δ ω ν Σ χ η μ α τ ω ν 1 σ κ η σ ε ι ς 1. 3 Το εμβαδον του τραπεζιου ειναι : Ε τραπεζιου = (1+0) 4 Οποτε Ε τετραγωνου = 64 cm 7. Ενας ορθογωνιος κηπος εχει διαστασεις 40m και 5m. Τον κηπο διασχιζουν δυο καθετα μεταξυ τους δρομακια. Το ενα παραλληλο προς την μεγαλη πλευρα του κηπου με πλατος 0,6 m και το αλλο παραλληλο προς την μικρη πλευρα με πλατος 0,8m. Το υπολοιπο τμημα θα φυτευτει με γκαζον. Να υπολογισετε το κοστος της κατασκευης του γκαζον αν ο γεωπονος χρεωνει 1 καθε m γκαζον. = 64 cm Το εμβαδον της επιφανειας στην οποια θα φυτευτει το γκαζον προκυπτει αν απο το εμβαδον του ορθογωνιου αφαιρεσουμε το εμβαδον των δυο δρομων. Ε ορθογωνιου = 5 40 = 1000 m Ε δρομων = 0,8 5 + 0,6 40-0,8 0,6 = 0 + 4 0,48 = 43,5 m Οποτε Ε γκαζον = Ε ορθογωνιου Ε δρομων = 1000-43,5 = 956,48 m Κοστος γκαζον : 956,48 1 = 11477, 76 5 M 0,6 M 40 M 8. Τα παρακατω ορθογωνια εχουν τις ιδιες διαστασεις. Εξηγηστε γιατι τα πρασινα μερη των δυο ορθογωνιων εχουν ισα εμβαδα. φου τα ορθογωνια εχουν ισες διαστασεις β και υ, θα εχουν και ισα εμβαδα. Τα πρασινα μερη των δυο ορθογωνιων προκυπτουν αν απο καθε ορθογωνιο αφαιρεσουμε το κιτρινο τριγωνο. β υ Ομως το εμβαδον καθε κιτρινου τριγωνου ειναι ισο με. Οποτε, αν απο τα ισα εμβαδα των ορθογωνιων αφαιρεσουμε τα ισα εμβαδα των τριγωνων θα μεινουν ισα εμβαδα. 0,8 M

13 Ε μ β α δ α Ε π ι π ε δ ω ν Σ χ η μ α τ ω ν σ κ η σ ε ι ς 1. 3 9. Στο παρακατω σχημα φαινεται οικοπεδο σχηματος ορθογωνιου το οποιο διασχιζει διαγωνια ενας δρομος σταθερου πλατους α) Να αποδειξετε οτι τα τριγωνικα οικοπεδα που απομενουν εχουν ισα εμβαδα. β) Να υπολογιστε το x ωστε ο δρομος να αποκοπτει απο το οικοπεδο τμημα του οποιου το εμβαδον να ειναι ισο με το 1 x 4 30 m 18 m α) Καθε ενα απ τα τριγωνικα οικοπεδα που μενουν ειναι ορθογωνιο τριγωνο με καθετες πλευρες : 18 m και 30 x. Aφου το εμβαδον του καθε ορθογωνιου τριγωνου ειναι ισο με το ημιγινομενο των καθετων πλευρων, τα εμβαδα των τριγωνων ειναι ισα. β) Ο δρομος ειναι παραλληλογραμμο με βαση x και υψος υ = 18 m. Οποτε το εμβαδον του ειναι Ε δρομου = 18x m. Το εμβαδο που απομενει στο οικοπεδο ειναι : 30 18-18x Συμφωνα με το προβλημα : 18x = 1 4 (30 18-18x) η 4 18x = 4 1 (30 18-18x) η 7x = 540-18x η 4 7x + 18 x = 540 η 90x = 540 η x = 6 m του εμβαδου που απομενει στο οικοπεδο. 10. Στο τετραγωνο του διπλανου σχηματος ειναι Μ και Ν τα μεσα των πλευρων και αντιστοιχα. α) Να αποδειξετε οτι τα τριγωνα Μ και Ν εχουν ισα εμβαδα β) Να αποδειξετε οτι το τετραπλευρο ΜΝ εχει εμβαδον οσο ειναι το αθροισμα των εμβαδων των παραπανω τριγωνων Μ Ν α) Τα τριγωνα Μ και Ν ειναι ορθογωνια με καθετες πλευρες ισες μεταξυ τους, αφου = και Μ = Ν (μισα πλευρων τετραγωνου). φου το εμβαδον του καθε ορθογωνιου τριγωνου ειναι ισο με το ημιγινομενο των καθετων πλευρων, τα εμβαδα των τριγωνων ειναι ισα.

Ε μ β α δ α Ε π ι π ε δ ω ν Σ χ η μ α τ ω ν 14 σ κ η σ ε ι ς 1. 3 β) ν x ειναι η πλευρα του τετραγωνου, το εμβαδο Ε του καθε ορθογωνιου τριγωνου ειναι : x x β υ x Ε = = =. 4 Οποτε το αθροισμα Ε αθροισματος των εμβαδων των ορθογωνιων τριγωνων ειναι : Ε αθροισματος = x 4 = x = x - x = Ε τετραγωνου - Ε αθροισματος = Ε ΜΝ 11. Στα παρακατω σχηματα καθε τετραγωνακι εχει πλευρα ιση με 1 cm. Να βρειτε τα εμβαδα των 1 σχηματων που δινονται. 1 4 5 6 7 10 8 11 9 1 3 Ε1 = 15 τετραγωνακια = 15 cm Ε = 1 τετραγωνακια = 1 cm Ε3 = 7,5 τετραγωνακια = 7,5 cm Ε4 = 16 τετραγωνακια = 16 cm Ε5 = 16 τετραγωνακια = 16 cm Ε6 = 15 τετραγωνακια = 15 cm Ε7 = 9 τετραγωνακια = 9 cm Ε8 = 16 τετραγωνακια = 16 cm Ε9 = 18,5 τετραγωνακια = 18,5 cm Ε10 = 10 τετραγωνακια = 10 cm Ε11 = 11 τετραγωνακια = 11 cm Ε1 = τετραγωνακια = cm 1. Στο τετραπλευρο του διπλανου σχηματος οι διαγωνιες ειναι καθετες. ν = 5 cm, Ο = 3cm και Ο = 6cm, να υπολογισετε το εμβαδον του τετραπλευρου. Ο Ειναι : () = () + () = Ο + Ο = 5 3 + 5 6 = 7,5 + 15 =,5 cm

15 Ε μ β α δ α Ε π ι π ε δ ω ν Σ χ η μ α τ ω ν σ κ η σ ε ι ς 1. 3 13. Να υπολογισετε το x σε καθε ενα απο τα παρακατω σχηματα. X X 4 CM 4 CM 0 CM X Το εμβαδον ειναι : Στο πρωτο σχημα : 4x = 40 οποτε x = 10 cm Στο δευτερο σχημα : x = 36 οποτε x = 6 cm 4x Στο τριτο σχημα : = 0 οποτε x = 0 η x = 10 cm x x Στο τεταρτο σχημα : = 18 οποτε x = 36 η x = 6 cm Το εμβαδον ειναι : 40 CM X 36 CM Στο πρωτο σχημα : Ε1 = 1 5 = 60 cm Στο δευτερο σχημα : E = 8 6 = 4 cm Στο τριτο σχημα : E3 = (5+1) 4 = 34 cm Στο τεταρτο σχημα : E4 = (6+10) 4 = 3 cm Στο πεμπτο σχημα : E5 = 9 = 81 cm Στο εκτο σχημα : E6 = 5 5 = 1,5 cm X 18 CM 14. Να υπολογισετε το εμβαδον των παρακατω σχηματων. 5 CM 1 CM 6 CM 4 CM 10 CM 8 CM 4 CM 6 CM X 5 CM 1 CM 9 CM 5 CM

Ε μ β α δ α Ε π ι π ε δ ω ν Σ χ η μ α τ ω ν 16 σ κ η σ ε ι ς 1. 3 15. Να βρειτε το εμβαδον του πορτοκαλι τετραγωνου του παρακατω σχηματος. 5 1 1 5 5 1 1 5 Το ζητουμενο εμβαδον προκυπτει αν απο το εμβαδον του μεγαλου τετραγωνου αφαιρεσουμε το αθροισμα των εμβαδων των τεσσαρων ορθογωνιων τριγωνων που ειναι το ιδιο για ολα. Ε πρασινου τετραγωνου = 17 = 89 Ε τριγωνου = 5 1 = 30 Ε πορτοκαλι τετραγωνου = 89-4 30 = 169 τετρ. μοναδες 16. Στο διπλανο σχημα δινεται η κατοψη ενος διαμερισματος. Να βρειτε α) Το εμβαδον καθε δωματιου β) Το εμβαδον του γωνιακου διαδρομου γ) Το εμβαδον της βεραντας α) Υπνοδωματιο : Ε =,5 4,5 = 11,5 m Μπανιο : Ε =,5 3 = 7,5 m Υπνοδωματιο 1 : Ε = ( 1,5 +,5) 3 = 1 m ραφειο : Ε = 3 3 = 9 m WC : Ε = 3 1,5 = 4,5 m Σαλονι : Ε = 4 8,5 = 34 m Κουζινα : Ε = 3 4 = 1m ΕΡΝΤ 8,5 M ΕΡΝΤ ΣΛΟΝΙ 4 M 3 M 1,5 m,5 m 4 m 3 m,5m ΡΦΕΙΟ ΚΟΥΖΙΝ ΥΠΝΟ- ΩΜΤΙΟ 1 ΙΡΟΜΟΣ,5 M ΜΠΝΙΟ ΥΠΝΟΩΜΤΙΟ 4,5 m 3 m 3 m 1 m β) ωνιακος διαδρομος : : ( 3 + 1,5) 1,5 + 3 1,5 = = 6,75 + 4,5 = 11,5 m γ) Το εσωτερικο εμβαδον του διαμερισματος ειναι 101,5 cm Το ολικο εμβαδον του διαμερισματος ειναι 13,5 11,5 = 155,5 m ρα το εμβαδον της βεραντας ειναι 155,5-101,5 = 53,75 m

17 Ε μ β α δ α Ε π ι π ε δ ω ν Σ χ η μ α τ ω ν σ κ η σ ε ι ς 1. 3 17. Στο διπλανο σχημα φαινεται το τοπογραφικο διαγραμμα ενος κτηματος το οποιο πωλειται 0.000 το στρεμμα. α) Να βρειτε την αξια του κτηματος β) Ποσα κληματα μπορουμε να φυτεψουμε στο κτημα αυτο αν καθε κλημα απαιτει,5m χωρο ; α) Το κτημα αποτελειται απο ενα ορθογωνιο και ενα τραπεζιο. Το εμβαδον του ορθογωνιου ειναι Ε 1 = 50 44 = 00 m Το εμβαδον του τραπεζιου ειναι ρα Ε = (50+30) 16 = 640m Ε κτηματος = 00 m + 640m = 840 m = 840 1000 Οποτε ξια κτηματος =,84 0000 =56800 β) Μπορουμε να φυτεψουμε : 840,5 = 1136 κληματα 50 m 44 m 60 m στρεμματα =,84 στρεμματα 30 m

Ε μ β α δ α Ε π ι π ε δ ω ν Σ χ η μ α τ ω ν 18 ι α ι α σ κ ε δ α σ η 1. 3 Πισω απο την κουρτινα κρυβονται ενα τετραγωνο, ενα ορθογωνιο και ενα ορθογωνιο τριγωνο ρειτε την θεση και το εμβαδον καθε ενος αν γνωριζεται οτι : 1. Το ορθογωνιο εχει τετραπλασιο εμβαδον και βρισκεται πιο αριστερα απο το τετραγωνο.. Ενα σχημα εμβαδου 100cm βρισκεται δεξια απο το ορθογωνιο τριγωνο. 3. εξια απο ενα σχημα με τεσσερις ορθες γωνιες βρισκεται το ορθογωνιο τριγωνο. 4. Οι καθετες πλευρες του ορθογωνιου τριγωνου ειναι ισες με τις καθετες πλευρες του ορθογωνιου. Το ορθογωνιο τριγωνο βρισκεται αριστερα απ το τετραγωνο (1) και δεξια απ το ορθογωνιο (, 3). ηλαδη : ορθογωνιο ορθογωνιο τριγωνο τετραγωνο. το τετραγωνο εχει εμβαδον 100 cm () το ορθογωνιο εχει εμβαδον 4 100 = 400 cm (1) το ορθογωνιο τριγωνο εχει εμβαδον 400 = 00 cm (4) (αφου το εμβαδον του ορθογωνιου ειναι α β και του ορθογωνιου τριγωνου α β ).

19 Π υ θ α γ ο ρ ε ι ο Θ ε ω ρ η μ α Ε ρ ω τ η σ ε ι ς Κ α τ α ν ο η σ η ς 1. 4 1. Στις παρακατω ερωτησεις 1 4, τα τριγωνα ειναι ορθογωνια στο. Να επιλεξετε την σωστη απαντηση. 1.. 3. 4. 6m A B x A B 10m A B γ 8m 4m x 1. Σωστο ειναι το, αφου x = 6 + 8 = 36 + 64 = 100 οποτε x = 10. Σωστο ειναι το, αφου x = 5-4 =5-16 = 9 οποτε x = 3 β x 5m 6m 17m 3. Σωστο ειναι το, αφου x = 6-10 = 676-100 = 576 οποτε x = 4 x = 7cm 9cm 10cm 1cm x = cm 3cm 4cm 5cm x = 14 cm 0 cm 4 cm 30 cm β = και γ = β = 15 και γ = 8 β = 13 και γ = 10 β = 1 και γ = 13 β = 8 και γ = 9 4. Σωστο ειναι το, αφου 17 = β + γ η 89 = β + γ οποτε β = 15 και γ = 8

Π υ θ α γ ο ρ ε ι ο Θ ε ω ρ η μ α 0 σ κ η σ ε ι ς 1. 4 1. Να βρειτε το εμβαδον του κοκκινου τετραγωνου στα παρακατω σχηματα 76M 1M πο Πυθαγορειο θεωρημα στο ορθογωνιο τριγωνο που σχηματιζουν τα τετραγωνα. 5-9 = 16 m = Ε 5,76 + 1 = 6,76 m = Ε 1-0,64 = 0,36 m = Ε 0,64M 9M 4 + 7 = 576 + 49 = 65 = 5 οποτε το τριγωνο ειναι ορθογωνιο με υποτεινουσα την πλευρα μηκους 5. 16 + 1 = 56 + 144 = 400 = 0 οποτε το τριγωνο ειναι ορθογωνιο με υποτεινουσα την πλευρα μηκους 0. 15 + 8 = 5 + 64 = 89 = 17 5M 1M. Να αποδειξετε οτι τα παρακατω τριγωνα ειναι ορθογωνια : 4 7 5 1 16 0 οποτε το τριγωνο ειναι ορθογωνιο με υποτεινουσα την πλευρα μηκους 17 8 17 15 3. α) ινεται ενα τριγωνο με μηκη πλευρων 6cm, 8cm και 10cm. Να αποδειξετε οτι το τριγωνο ειναι ορθογωνιο β) Να αποδειξετε οτι το τριγωνο που εχει πλευρες διπλασιες απο τις πλευρες του καθως και το τριγωνο που εχει τις μισες πλευρες απο τις πλευρες του ειναι επισης ορθογωνιο.

1 Π υ θ α γ ο ρ ε ι ο Θ ε ω ρ η μ α σ κ η σ ε ι ς 1. 4 α) 6 + 8 = 36 + 64 = 100 = 10 οποτε το τριγωνο ειναι ορθογωνιο με υποτεινουσα την πλευρα μηκους 10. β) Θεωρουμε το τριγωνο με πλευρες 1 cm, 16cm, 0cm. Τοτε 16 + 1 = 56 + 144 = 400 = 0 Οποτε το τριγωνο ειναι ορθογωνιο με υποτεινουσα την πλευρα μηκους 0. Θεωρουμε το τριγωνο με πλευρες 3 cm, 4cm, 5cm. Τοτε 3 + 4 = 9 + 16 = 5 = 5 Οποτε το τριγωνο ειναι ορθογωνιο με υποτεινουσα την πλευρα μηκους 5. 4. Το τριγωνο του διπλανου σχηματος ειναι ισοσκελες με = = 10dm και = 1dm. Να υπολογισετε το εμβαδον του τετραγωνου που εχει πλευρα ιση με το υψος του τριγωνου. Στο ισοσκελες τριγωνο το υψος που αντιστοιχει στην βαση ειναι και διαμεσος, αρα = 6dm. πο το Πυθαγορειο θεωρημα στο ορθογωνιο τριγωνο : = η = 10 6 = 100 36 = 64. ηλαδη το πρασινο τετραγωνο εχει εμβαδον 64dm. 5. Να υπολογισετε το εμβαδον του μπλε τετραγωνου το οποιο εχει πλευρα ιση με την διαγωνιο του ορθογωνιου 1M A B 1 dm..,1m πο το Πυθαγορειο θεωρημα στο ορθογωνιο τριγωνο : = + η = 1 +,1 = 1 + 4,41 = 5,41 ηλαδη το μπλε τετραγωνο εχει εμβαδον 5,41 m.

Π υ θ α γ ο ρ ε ι ο Θ ε ω ρ η μ α σ κ η σ ε ι ς 1. 4 6. ια να σχηματισει ορθη γωνια με δυο ξυλινα δοκαρια (οπως λεμε να γωνιασει τα δοκαρια), ενας τεχνιτης μετραει στο ενα δοκαρι = 30 cm και στο αλλο δοκαρι = 40 cm. Στη συνεχεια τα τοποθετει καταλληλα ωστε να ειναι = 50 cm. Μπορειτε να εξηγησετε γιατι ειναι σιγουρος οτι η γωνια που σχηματιζουν ειναι ορθη ; + = 30 + 40 = 900 + 1600 = 500 = 50 = 500 ρα + =, δηλαδη το τριγωνο ειναι ορθογωνιο με υποτεινουσα την 7. Ο χαρταετος του διπλανου σχηματος ειναι ρομβος με διαγωνιες 1 dm και 16 dm. Να βρειτε την περιμετρο και το εμβαδον της επιφανειας του χαρταετου νωριζουμε οτι οι διαγωνιες ενος ρομβου ειναι καθετες και διχοτομουνται. ρα Ο = 8dm και Ο = 6dm πο το Πυθαγορειο θεωρημα στο ορθογωνιο τριγωνο Ο : = Ο + Ο = 8 + 6 = 64 + 36 = 100, οποτε = 10 Οι πλευρες του ρομβου ειναι ισες, οποτε η περιμετρος του Π ειναι : Π = 4 10 = 40dm Το εμβαδον του ρομβου ειναι ισο με 4(Ο), δεδομενου οτι τα 4 ορθογωνια τριγωνα εχουν ισες καθετες πλευρες αρα ειναι ισα και εχουν και ισα εμβαδα. Ο Ο 6 8 Ομως (Ο) = = = 4 dm Οποτε Ε ρομβου = 4 4 = 96dm A 90 Ο Ο A 40 CM 30 CM 50 cm 8. Η διατομη ενος καναλιου ειναι σχημα ισοσκελους τραπεζιου με πλευρες = = 5 m, = 7m και = 13 m. Να υπολογισετε το υψος x του καναλιου. Ζ 13 m Η 5 m x x 5 m 7 m

3 Π υ θ α γ ο ρ ε ι ο Θ ε ω ρ η μ α σ κ η σ ε ι ς 1. 4 Τα ορθογωνια τριγωνα Ζ και Η ειναι ισα αφου : = = 5m Ζ = Η = x ισες. Οποτε και τα υπολοιπα στοιχεια τους ισα, δηλαδη Ζ = Η. Το ΖΗ ειναι ορθογωνιο, οποτε = ΖΗ = 7 m. κομα = 13, οποτε - ΖΗ = 13 7 = 6, δηλαδη Ζ + Η = 6. Ομως Ζ = Η και Ζ = Η = 3 π το Πυθαγορειο θεωρημα στο ορθογωνιο τριγωνο Ζ : = Ζ + Ζ η 5 = x + 3 η 5 = x + 9 η x = 16 οποτε x = 4. 9. Ποια απο τις τοποθεσιες Ε,, ειναι πλησιεστερα στην πολη. π το Πυθαγορειο θεωρημα στο τριγωνο Ε : = Ε - Ε = 17-8 = 89-64 = 5 = 15 m π το Πυθαγορειο θεωρημα στο τριγωνο : = + = 1 + 9 = 144 + 81 = 5 = 15m 9 M φου Ε = 17 m, οι τοποθεσιες και ειναι πλησιεστερα στην. E 17 M 8 M 1 M

Π υ θ α γ ο ρ ε ι ο Θ ε ω ρ η μ α 4 ι α ι α σ κ ε δ α σ η 1. 4 Στο παρακατω σχημα εχουμε ενα ορθογωνιο τριγωνο ( = 90 ο ) με μηκος υποτεινουσας α και μηκη καθετων πλευρων β και γ. Εξωτερικα του τριγωνου κατασκευαζουμε τρια τετραγωνα με μηκη πλευρων α, β και γ αντιστοιχα. Χρησιμοποιωντας τα χρωματιστα τετραγωνα «κομματια» που αποτελουν τα τετραγωνα των καθετων πλευρων, μπορειτε να «γεμισετε» το μεγαλο γκριζο τετραγωνο της υποτεινουσα εφαρμοζοντας ακριβως τα χρωματιστα κομματια χωρις το ενα να επικαλυπτει το αλλο ; β β α β β α α γ γ α γ γ

5 Ε φ α π τ ο μ ε ν η Ο ξ ε ι α ς ω ν ι α ς Ε ρ ω τ η σ ε ι ς Κ α τ α ν ο η σ η ς. 1 1. Στο διπλανο σχημα ειναι εφθ =... : 100 : 15 : 75 75 75 100 Να κυκλωστε τη σωστη απαντηση. Σωστο ειναι το, αφου εφθ =. Στο διπλανο σχημα ειναι α) εφθ =... : 4 3 β) εφφ = απεναντι καθετη 75 = προσκειμενη καθετη 100 Φερνοντας το καθετο τμημα στην ειναι: = 4, = 3 και = αρα α) : 4 3 : 4 3 : 4 3 : 4 5 : 4 : 3 5 : Σωστο ειναι το, αφου εφθ = = 4 3 β) Σωστο ειναι το, αφου εφφ = = 4 = : 75 15 3. Σε καθε γωνια θ, φ, ω και ψ του παρακατω σχηματος να αντιστοιχισετε την εφαπτομενη της στον παρακατω πινακα ωνια Εφαπτομενη θ 5 3 5 φ ω 1 ψ 3 θ φ ω ψ Θ 100 θ φ 75

Ε φ α π τ ο μ ε ν η Ο ξ ε ι α ς ω ν ι α ς 6 Ε ρ ω τ η σ ε ι ς Κ α τ α ν ο η σ η ς. 1 Eιναι Κ = 3, Κ =, Λ = 5, Λ =, Κ = 3 και Λ = 3. θ φ Οποτε εφθ = Κ Κ = 3 3 = 1 δηλαδη θ 1 εφφ = Λ Λ = 5 εφω = Κ Κ = 3 εφψ = Λ Λ = 5 3 δηλαδη φ 5 δηλαδη ω 3 δηλαδη ψ 5 3 Λ Κ ω ψ

7 Ε φ α π τ ο μ ε ν η Ο ξ ε ι α ς ω ν ι α ς σ κ η σ ε ι ς. 1 1. Στα παρακατω σχηματα να υπολογισετε το μηκος x (α) εφ30 ο = x 1 (β) εφ35 ο = x 17 (γ) εφ38 ο = 13 x (δ) (α) Η 1 (γ) 30 Ο εφ45 ο = 10 x 38 Ο Ειναι 0,7 = 7 10 η 0,5774 = x 1 η 0,700 = x 17 η 0,7813 = 13 x η 1 = 10 x η x = 6,93 η x = 11,9 η x = 16,64 η x = 10. Να σχεδιασετε γωνια ω τετοια ωστε εφω = 0, 7 Στις καθετες πλευρες ορθης γωνιας x Oy παιρνουμε τμηματα Ο = 7 και Ο = 10 και φερνουμε την. Τοτε εφ = OA OB = 7 10 = 0,7 X Ετσι, η γωνια Bειναι η ζητουμενη. X Ι 13 Θ X Λ Μ Ζ 17 35 Ο 45 Ο 10 X (δ) Κ (β) Ε y A 7 O B x

Ε φ α π τ ο μ ε ν η Ο ξ ε ι α ς ω ν ι α ς 8 σ κ η σ ε ι ς. 1 3. Ποια στοιχεια μπορουμε να υπολογισουμε σε ορθογωνιο τριγωνο με μια οξεια γωνια 30 ο αν η απεναντι καθετη πλευρα εχει μηκος 4cm ; Εστω = 30 ο και = 4 m.τοτε εφ30 ο = η 0,5774 = 4 Με Πυθαγορειο στο : = + = 16 + 48 = 64 Οποτε = 8 cm η = 6,93 cm Ειναι = 90 ο - = 90 ο - 30 ο = 60 ο Το εμβαδον του τριγωνου ειναι : () = = 4 6,93 = 13,86cm Το υψος υ που αντιστοιχει στην υποτεινουσα προκυπτει απο : () = υ η 13,86 = 8 υ η υ = 3,46 cm Μπορουμε να βρουμε λοιπον : τις αλλες πλευρες, τη γωνια, το εμβαδον και το υψος που αντιστοιχει στην υποτεινουσα. 4. Στο παρακατω σχημα να υπολογισετε την αποσταση των δυο πλοιων 40 m 34 Ο 3 Ο Εστω Π1, Π οι θεσεις των δυο πλοιων και Φ ο φαρος. Φ πο το ορθογωνιο τριγωνο ΦΠ1 : εφ34 ο 40 = Π η 0,6745 = 40 η Π1 = 59,3 40 Π 1 1 πο το ορθογωνιο τριγωνο ΦΠ : εφ3 ο 40 = Π η 0,445 = 40 η Π = 94, Π Ετσι, η αποσταση των δυο πλοιων ειναι : ΠΙΠ = 94, 59,3 = 34,9 m 4cm 30 0 34 0 3 0 Π1 Π

9 Ε φ α π τ ο μ ε ν η Ο ξ ε ι α ς ω ν ι α ς σ κ η σ ε ι ς. 1 5. Ενας τουριστας βλεπει την κορυφη ενος πυργου απο το σημειο υπο γωνια 40 ο και την βαση του πυργου πο γωνια 18 ο. ν γνωριζεται οτι = 3m, να υπολογισετε το υψος h του πυργου πο το ορθογωνιο ειναι : = 3 πο το ορθογωνιο τριγωνο ειναι : εφ18 ο = η 0,349 = 3 η = 9,3 πο το ορθογωνιο τριγωνο Ε ειναι : εφ40 ο = Ε Ε η 0,8391 = 9,3 η Ε = 7,74 Οποτε το υψος h του πυργου ειναι : h = + Ε = 3 + 7,74 = 10, 74 m 6. Την καθαρα ευτερα ο Λακης και ο Σακης βλεπουν τον χαρταετο του Μακη με γωνιες 55 ο και 85 ο αντιστοιχα. Ο Λακης και ο Σακης βρισκονται σε αποσταση 80m. Να βρειτε σε τι υψος απο το εδαφος ε- χει ανεβει ο χαρταετος του Μακη αν γνωριζουμε ο- τι τα ματια του Λακη και του Σακη βρισκονται σε υ- ψος 1,40 m Ειναι: εφ55 ο = κομη h ΛΜ η 1,481 = h ΛΜ η ΛΜ = h 1,481 εφ85 ο h = ΜΣ η 11,4301 = h ΜΣ η ΜΣ = h 11,4301 ΛΣ = 80 η ΛΤ + ΤΣ = 80 η h 1,481 + h 11,4301 = 80 η 1 1 h + = 80 η h( 0,7 + 0, 08) = 80 η 1,481 11,4301 0,78 h = 80 οποτε h = 10,5 m περιπου Το συνολικο υψος ειναι 1, 40 + h = 1,40 + 10,5 = 103, 9 m περιπου 3M 40 O 8 O E h h 85 O 55 O 1,4m 80 m h 85 O 55 O Λ 1,4m 80 m Μ Σ

Ε φ α π τ ο μ ε ν η Ο ξ ε ι α ς ω ν ι α ς 30 σ κ η σ ε ι ς. 1 7. Στο παρακατω σχημα βλεπουμε ενα τραπεζι μπιλιαρδου. υο μπαλες και ειναι τοποθετημενες ωστε Ε = 90cm, = 5cm, Ε = 35cm και Ε = x cm. Ενας παιχτης θελει να χτυπησει τη μπαλα με την μπαλα ακολουθωντας την διαδρομη του σχηματος. α) Να εκφρασετε την αποσταση ως συναρτηση του x. β) Στο τριγωνο να εκφρασετε την εφθ ως συναρτηση του x. γ) Στο τριγωνο Ε να εκφρασετε την εφθ ως συναρτηση του x. δ) Χρησιμοποιωντας τα παραπανω συμπερασματα των ερωτηματων (β) και (γ), να αποδειξετε οτι το x ειναι λυση της εξισωσης 35(90 - x) = 5 x. Να προσδιορισετε τον αριθμο x. α) = 90 - x β) εφθ = = 5 90-x γ) 5 cm εφθ = Ε Ε = 35 x 90 cm x δ) πο (β) και (γ) προκυπτει : 5 90-x = 35 η 35(90 - x) = 5x x Θ Θ Ε 5cm Προσδιορισμος του x : 35(90 - x) = 5x η 3150-35x = 5x η 60x = 3150 η x = 3150 60 η x = 5,5.

31 Η μ ι τ ο ν ο Σ υ ν η μ ι τ ο ν ο Ο ξ ε ι α ς ω ν ι α ς Ε ρ ω τ η σ ε ι ς Κ α τ α ν ο η σ η ς. 1. Στο διπλανο ορθογωνιο τριγωνο ειναι : α) ημθ β) ημφ γ) συνθ δ) συνφ ημθ = 1 13 ημφ = 5 13 οποτε α οποτε β συνθ = 5 13 οποτε γ συνφ = 1 13 1 5 5 1 1 13 5 13 5 1 5 13 5 1 13 5 οποτε δ 1 13 1 13 5 13 Σωστο το : συνφ (προσκειμενη καθετη 8, υποτεινουσα 17). 13 5 1 13 1 5 5 13 13 1. Στο ορθογωνιο τριγωνο του διπλανου σχηματος ποιος απο τους παρακατω αριθμους : : συνθ : συνφ : ημφ 8 ισουται με 17 3. Σε ποιο απο τα παρακατω ορθογωνια τριγωνα ισχυει συνθ = 43 57. : : : φ θ 17 13 15 1 φ θ 5 8 57 57 43 43 θ θ θ 57 43

Η μ ι τ ο ν ο Σ υ ν η μ ι τ ο ν ο Ο ξ ε ι α ς ω ν ι α ς 3 Ε ρ ω τ η σ ε ι ς Κ α τ α ν ο η σ η ς. Στο ορθογωνιο τριγωνο ισχυει συνθ = 43 57. 4. ν ημθ = 3 5 και συνθ = 4 5 : 3 : 4 4 3 Κυκλωστε την σωστη απαντηση Σωστο ειναι το αφου, εφθ = 3 ημθ 5 3 = = συνθ 4 4 5 Ειναι γνωστο οτο 0 συνω 1, ω οξεια γωνια. Οι ζητουμενες τιμες ειναι οι : τοτε εφθ = : 5 3 1 - < 0, : 5 4 5. Να βαλετε σε κυκλο τις τιμες που δεν μπορει να εκφραζουν το συνημιτονο οξειας γωνιας ; α) 3 3 > 1, 1,45 > 1 6. ινεται το διπλανο σχημα, να χαρακτηρισετε σωστη (Σ) η λανθασμενη (Λ) τις παρακατω σχεσεις : α) συνθ = δ) συνθ = ζ) ημθ = Ε β) 1 - γ) 3 β) συνθ = ε) συνθ = Ε η) ημθ = δ) 3 γ) συνθ = Ε στ) ημθ = θ) ημθ = ε) 5 4 θ στ) 1,45 Ε α) (Σ) ορισμος συνημιτονου στο ορθογωνιο τριγωνο β) (Σ) ορισμος συνημιτονου στο ορθογωνιο τριγωνο γ) (Λ) δ) (Λ) ε) (Σ) ορισμος συνημιτονου στο ορθογωνιο τριγωνο Ε

33 Η μ ι τ ο ν ο Σ υ ν η μ ι τ ο ν ο Ο ξ ε ι α ς ω ν ι α ς Ε ρ ω τ η σ ε ι ς Κ α τ α ν ο η σ η ς. στ) (Σ) ορισμος ημιτονου στο ορθογωνιο τριγωνο ζ) (Σ) ορισμος ημιτονου στο ορθογωνιο τριγωνο Ε η) (Λ) θ) (Σ) ορισμος ημιτονου στο ορθογωνιο τριγωνο 7. Στο διπλανο σχημα η γωνια ειναι ορθη. Να συμπληρωσετε τα κενα στις παρακατω προτασεις α) Στο τριγωνο... ειναι : συν =... β) Στο τριγωνο... ειναι : ημ =... γ) Στο τριγωνο... ειναι : συν... = Ε Ε α) Στο τριγωνο ειναι : συν = β) Στο τριγωνο ειναι : ημ = γ) Στο τριγωνο Ε ειναι : συν Ε = Ε Ε Ε Ζ

Η μ ι τ ο ν ο Σ υ ν η μ ι τ ο ν ο Ο ξ ε ι α ς ω ν ι α ς 34 σ κ η σ ε ι ς. 1. Να υπολογισετε τα ημιτονα και τα συνημιτονα των οξειων γωνιων στα παρακατω ορθογωνια τριγωνα α) β) γ) 5cm A 3cm 7cm 1,5cm B A 9cm B 4cm ν x μετρα ειναι το πλατος, τοτε α) πο το Πυθαγορειο θεωρημα : = = 5-9 = 16 οποτε = 4cm Ετσι ημ = 3 5 β) συν = 4 5 ημ = 4 5 συν = 3 5 πο το Πυθαγορειο θεωρημα : = + = 81 + 49 = 130 οποτε = 11,4cm Ετσι ημ = γ) 7 11,4 = 0, 61 συν = 9 11,4 = 0,79 ημ = 9 11,4 = 0,79 συν = 7 11,4 = 0,61 πο το Πυθαγορειο θεωρημα : = + = 16 +,5 = 16,5 οποτε = 4,03 cm Ετσι ημ = 1,5 4,3 = 0,35 συν =. 4 4,3 = 0,93 ημ = ινεται μια οξεια γωνια ω για την οποια ισχυει συνω = 3 5 4 4,3 = 0,93 συν = 1,5 4,3 = 0,35. Να υπολογισετε το ημω. Η γωνια ω βρισκεται σε ορθογωνιο τριγωνο του οποιου η υποτεινουσα ειναι 5 και η προσκειμενη στην γωνια ω καθετη πλευρα ειναι 3. ν x ειναι η αλλη καθετη πλευρα, τοτε απο το 5 Πυθαγορειο θεωρημα προκυπτει οτι x x = 5-3 = 5-9 = 16 αρα x = 4 Τοτε ημω = x 5 = 4 5 3 ω

35 Η μ ι τ ο ν ο Σ υ ν η μ ι τ ο ν ο Ο ξ ε ι α ς ω ν ι α ς σ κ η σ ε ι ς. 3. ινεται μια οξεια γωνια ω. Να αποδειξετε οτι : α) + 5ημω < 7 β) 4 - συνω > γ) 5ημω + 3συνω < 8 Ειναι διαδοχικα α) ημω < 1 5ημω < 5 + 5ημω < 5 + + 5ημω < 7 β) συνω < 1 - συνω > - 4 - συνω > 4-4 - συνω > γ) ημω < 1 αρα 5ημω < 5 συνω < 1 αρα 3συνω < 3 Προσθετοντας κατα μελη 5ημω + 3συνω < 5 + 3 η 5ημω + 3συνω < 8 4. Στο διπλανο σχημα ειναι : Ο = 10m, OB = 1 m και Ο = 8m να υπολογισετε τις αποστασεις Ο, και. π το Πυθαγορειο θεωρημα ορθογωνιο τριγωνο Ο : = Ο Ο = 100 64 = 36 οποτε = 6 m Στο ορθογωνιο τριγωνο Ο : συνθ = Ο Ο Στο ορθογωνιο τριγωνο Ο : συνθ = Ο Ο Ο θ και ημθ = Ο και ημθ = Ο Ετσι Ο Ο = Ο Ο η 8 10 = 1 Ο οποτε Ο = 15 m Ο = Ο η 6 10 = 15 οποτε = 9 m

Μ ε τ α β ο λ ε ς η μ, σ υ ν, ε φ 36 Ε ρ ω τ η σ ε ι ς Κ α τ α ν ο η σ η ς. 3 1. Να κυκλωσετε τις σωστες απαντησεις που αφορουν τις γωνιες των παρακατω τριγωνων (α) (β) α) : φ < θ : φ = θ : φ > θ 3 5 θ 4 ω β) : ω < y : ω = y : ω > y y φ 4 α) Σωστο ειναι το αφου, ημφ = 4 5 = 0, 8 αρα ˆφ 53ο οποτε ˆθ 37 ο συνεπως φ > θ. β) Σωστο ειναι το αφου, ημω = 3 4 = 0,75 αρα ˆω 49ο οποτε ŷ 41 αρα ω > y. Να χαρακτηρισετε τις παρακατω προτασεις σωστες (Σ) η λανθασμενες (Λ) α) ημ13 ο < ημ15 ο β) συν13 ο < συν15 ο γ) συν57 ο < συν7 ο δ) ημ57 ο < ημ7 ο ε) ημ3 ο < ημ3 ο στ) συν3 ο < συν3 ο α) (Σ) αφου 13 ο < 15 ο β) (Λ) αφου 13 ο < 15 ο γ) (Σ) αφου 57 ο > 7 ο δ) (Λ) αφου 57 ο > 7 ο ε) (Λ) αφου 3 ο > 3 ο στ) (Σ) αφου 3 ο > 3 ο

37 Μ ε τ α β ο λ ε ς η μ, σ υ ν, ε φ σ κ η σ ε ι ς. 3 1. Να υπολογισετε το x σε καθε ενα απο τα παρακατω τριγωνα : α) β) γ) α) ημ8 ο = x 15 β) συν68 ο = 1 x γ) εφ50 ο = 5 x α) η 0,4695 = x 15 η 0,3746 = 1 x η 1,1918 = 5 x η η x = 7,04 cm η x =,67cm x = 4,cm συν63 ο = 5 x η 0,4540 = 5 x η x = 11,01 β) x 15 cm 1cm x x 5 cm 68 0 8 0 50 0 B. Να υπολογισετε το x σε καθε ενα απο τα παρακατω τριγωνα : γ) α) 5 63 Ο 40 O X X 4 ημ35 ο = x 10 η 0,5736 = x 10 η x = 5,74 β) δ) X X 35 Ο 10 38 O 8 δ) ε) ημ38 ο = x 8 ε) X 50 Ο 5 η 0,6157 = x 8 η x = 4,93 εφ50 ο = x 5 η 1,1918 = x 5 η x = 5,96 γ) εφ40 ο = 4 x η 0,8391 = 4 x η x = 4,77

Μ ε τ α β ο λ ε ς η μ, σ υ ν, ε φ 38 σ κ η σ ε ι ς. 3 3. Σ ενα ιστιοπλοϊκο σκαφος το υψος του καταρτιου εως το σημειο ειναι 8m. Να βρειτε το μηκος που εχουν τα συρματοσχοινα που στηριζουν τα πανια, αν αυτα σχηματιζουν γωνιες 55 ο και 70 ο αντιστοιχα με το επιπεδο της θαλασσας. ημ55 ο = 8 AB ημ70 ο = 8 A ημ13 ο =,5 η 0,819 = 8 AB η 0,9397 = 8 A 4. Ενας μηχανικος θελει να κατασκευασει ενα σπιτι με υπογειο γκαραζ. Το υψος του γκαραζ πρεπει να ειναι =,5 m και η κλιση της ραμπας θ = 13 ο. Να βρειτε το μηκος της ραμπας και την αποσταση του σημειου απο το σπιτι. εφ13 ο =,5 η 0,50 =,5 η 0,309 =,5 η = 9,76 m η = 8,51 m η = 10 m η = 9,74 m θ = 13 ο,5 m 55 Ο A 8 m 70 Ο ΚΡΖ 5. Να διαταξετε απο τον μεγαλυτερο στον μικροτερο τους τριγωνομετρικους αριθμους (χωρις να τους υπολογισετε). α) ημ37 ο, ημ56 ο, ημ16 ο, ημ0 ο β) συν5 ο, συν36 ο, συν0 ο, συν8 ο γ) εφ18 ο, εφ ο, εφ51 ο, εφ89 ο α) ημ56 ο > ημ37 ο > ημ0 ο > ημ16 ο αφου 16 ο < 0 ο < 37 ο < 56 ο β) συν0 ο > συν5 ο > συν 8 ο > συν36 ο αφου 0 ο < 5 ο < 8 ο < 36 ο γ) εφ89 ο > εφ51 ο > εφ ο >εφ 18 ο αφου 18 ο < ο < 51 ο < 89 ο

39 Μ ε τ α β ο λ ε ς η μ, σ υ ν, ε φ σ κ η σ ε ι ς. 3 6. Μια σκαλα υψους 6m ειναι ακουμπισμενη σε τοιχο υψους 7m. ια λογους ασφαλειας, η γωνια στο εδαφος πρεπει να ειναι 75 ο. Να βρειτε την αποσταση που πρεπει να τοποθετηθει η βαση της σκαλας απο τον τοιχο καθως και την αποσταση απο το πανω μερος της σκαλας ως το πανω μερος του τοιχου. συν75 ο = 6 ημ75 ο = 6 η 0,588 = 6 η 0,9659 = 6 Ετσι, = 7-5,79 = 1,1 m Στο ορθογωνιο τριγωνο Η : ημ78 ο = Η 0 η 0,9781 = Η 0 η = 1,55 m η = 5,79 7. Ενας γεωλογος θελει να υπολογισει την απο- 78 o σταση απο το σημειο, οπου βρισκεται, μεχρι το σπιτι Μ στην αλλη πλευρα ενος ποταμου. Χρησιμοποιει ενα γειτονικο σημειο που βρισκεται σε αποσταση = 0m και με τη βοη- θεια ενος γωνιομετρου βρισκει οτι Μ = 78 ο και Μ 0 m = 70 ο. Να υπολογισετε τις αποστασεις Η και Μ. η Η = 19,56 m Στο τριγωνο Μ ειναι Μ = 78 ο και Μ = 70 ο Οποτε Μ = 180 ο ( 78 ο + 70 ο ) = 3 ο Στο ορθογωνιο τριγωνο ΗΜ : ημ3 ο = Η Μ η 0,599 = 19,56 Μ B η Μ = 36,91 m 7m 6m H B 70 o 75 Ο M

Μ ε τ α β ο λ ε ς η μ, σ υ ν, ε φ 40 σ κ η σ ε ι ς. 3 8. Η ακτινα της γης ειναι R = = 6371km και η γωνια Σ ειναι 89,05 ο. Να υπολογισετε με την βοηθεια του διπλανου σχηματος την αποσταση γης σεληνης (Σ) Στο ορθογωνιο τριγωνο Σ : συν 89,05 ο = 6371 Σ η 0,0175 = 6371 Σ η Σ = 364057 km περιπου Σ ΣΕΛΗΝΗ Η

41 Τ ρ ι γ ω ν ο μ ε τ ρ ι κ ο ι ρ ι θ μ ο ι 3 0 0 4 5 0 6 0 0 Ε ρ ω τ η σ ε ι ς Κ α τ α ν ο η σ η ς. 4 1. Σε καθε αριθμο της στηλης να αντιστοιχισετε τον ισο του αριθμο της στηλης. Στηλη α) συν60 ο β) ημ45 ο γ) ημ30 ο δ) ημ60 ο ε) συν45 ο στ) συν30 ο Ειναι α i β iii γ i δ ν ε iii στ ν Σωστο ειναι το. Στηλη i) ii) iii) iν) ν) 1 3 3 3 3. ν ημθ = συνθ, οπου θ οξεια γωνια, τοτε : : θ = 30 ο : θ = 45 ο : θ = 60 ο : θ = 90 ο Να κυκλωσετε την σωστη απαντηση 3. Να χαρακτηρισετε τις παρακατω προτασεις σωστες (Σ) η λανθασμενες (Λ) α) ημ60 ο = ημ30 ο β) συν60 ο = 1 γ) ημ45 ο + συν45 ο = ημ45 ο δ) συν30 ο = ημ60 ο ε) συν60 ο = ημ30 ο α) (Λ) αφου : β) 3 = 1 δηλαδη 3 = 1 (Σ) αφου : 1 δηλαδη 1 = 1

Τ ρ ι γ ω ν ο μ ε τ ρ ι κ ο ι ρ ι θ μ ο ι 3 0 0 4 5 0 6 0 0 4 Ε ρ ω τ η σ ε ι ς Κ α τ α ν ο η σ η ς. 4 γ) (Σ) αφου : δ) (Σ) αφου : ε) + = 3 = 3 (Σ) αφου : 1 = 1 4. Στο διπλανο κυβο για την γωνια θ = ισχυει οτι: : συνθ = 1 Σωστο ειναι το, αφου : : συνθ = Οι εδρες του κυβου ειναι ισα τετραγωνα, αρα εχουν ισες διαγωνιες, επομενως το τριγωνο ειναι ισοπλευρο, αρα ολες οι γωνιες του ειναι 60 ο. 3 : συνθ = : συνθ = 1 Να κυκλωστε την σωστη απαντηση. Οποτε θ = 60 ο, συνεπως συνθ = 1. θ

43 Τ ρ ι γ ω ν ο μ ε τ ρ ι κ ο ι ρ ι θ μ ο ι 3 0 0 4 5 0 6 0 0 σ κ η σ ε ι ς. 4 1. Να υπολογισετε τις πλευρες α και β ενος ορθογωνιου τριγωνου στις παρακατω περιπτωσεις α) = 90 ο, = 30 ο και γ = 5 cm β) = 90 ο, = 45 ο και γ = 7cm α) συν30 ο = α = η 10 10 3 10 3 = = 3 ( 3) 3 ημ30 ο = η 3 5 = α cm 1 β = 10 3 3 6β = 10 3 η β = 5 3 3 cm β) η α 3 = 10 η η 1 3β = 10 3 η Προφανως ειναι και = 45 ο οποτε β = γ = 7 π το Πυθαγορειο θεωρημα α = β + γ = 7 + 7 = 49 + 49 = 98 οποτε α = 98 = 49 = 49 = 7. ινεται το τριγωνο με πλευρες = 1 cm, = 5cm και = 13cm. α) Να αποδειξετε οτι το τριγωνο ειναι ορθογωνιο. α) β) Να υπολογισετε το ημ και το συν. + = 1 + 5 = 144 + 5 = 169 = 13 = 169 ρα + =, οποτε το τριγωνο ειναι ορθογωνιο με υποτεινουσα την 5 30 0 45 0 7 β) ημ = 5 = 13 συν = 1 = 13 1 13 5

Τ ρ ι γ ω ν ο μ ε τ ρ ι κ ο ι ρ ι θ μ ο ι 3 0 0 4 5 0 6 0 0 44 σ κ η σ ε ι ς. 4 3. Να αποδειξετε τις ισοτητες : α) ημ 30 ο + ημ 45 ο + ημ 60 ο = 3 β) ημ 30 ο + συν 60 ο - ημ 45 ο = 0 α) ημ 30 ο + ημ 45 ο + ημ 60 ο = β) ημ 30 ο + συν 60 ο - ημ 45 ο 1 1 = + α ) = ημ 30 ο συν30 ο 1 = - β) = ημ 45 ο συν45 ο = - γ) 1 3 1 3 6 3 + + = + + = = 4 4 4 4 3 = 4-3 = 1-3 = 4 4 - = - = ημ 60 ο - συν60 ο 3 = - 1 = 3-1 = 1 - = 4 + 4-4 = 0 4. Να βρειτε την τιμη της παραστασης = ημ ω - συνω στις παρακατω περιπτωσεις α) ω = 30 ο β) ω = 45 ο γ) ω= 60 ο 5. Ενα αεροπλανο πετα σε υψος 1500m και φαινεται απο τον πυργο ελεγχου του αεροδρομιου υπο γωνια 30 ο. Ποια ειναι η οριζοντια αποσταση Π απο τον πυργο ελεγχου ; 1500 m 30 ο Π εφ30 ο = Π η 3 3 = 1500 Π οποτε Π = 598 m

45 Τ ρ ι γ ω ν ο μ ε τ ρ ι κ ο ι ρ ι θ μ ο ι 3 0 0 4 5 0 6 0 0 σ κ η σ ε ι ς. 4 6. Στο παρακατω σχημα να υπολογισετε τις αποστασεις και. Στο ορθογωνιο τριγωνο : συν45 ο = η = οποτε = 4 m 8 Στο ορθογωνιο τριγωνο : συν30 ο = η 3 = 8 ημ45 ο = Ζ η = 3 ημ30 ο = Η ημ60 ο = Η Επομενως η η 1 = 3 3 = 3 οποτε = 16 3 3 m 7. Να υπολογισετε το συνολικο μηκος της τεθλασμενης γραμμης στο παρακατω σχημα. 3 m 45 ο 30 ο οποτε = 3 m οποτε = 6 m οποτε = 3 m = + + = 3 + 6 + 3 m 3 m 45 o 30 o 60 o Ζ Η

Τ ρ ι γ ω ν ο μ ε τ ρ ι κ ο ι ρ ι θ μ ο ι 3 0 0 4 5 0 6 0 0 46 σ κ η σ ε ι ς. 4 8. Στο διπλανο σχημα το σημειο ειναι μεσο του. Να υπολογισετε : α) Την γωνια θ β) Την αποσταση Ε γ) Την αποσταση Ε α) + 30 ο = 90 ο οποτε = 60 ο Ομως θ + = 90 ο η β) ημ30 ο = η 1 = 6 συν θ = Ε γ) θ + 60 ο = 90 ο οποτε θ= 30 ο η = 3. ρα = 6 cm ( μεσο του ) η συν30 ο = 6 Ε η 3 = 6 Ε π το Πυθαγορειο θεωρημα στο τριγωνο Ε : Ε = Ε + = (4 3) + 6 = 48 + 36 = 84 Οποτε Ε = 84 = 9,16 cm 9. Να υπολογισετε την περιμετρο του παρακατω σχηματος. 6 6 6 10 o 10 o η Ε = 4 3 cm Το σχημα αποτελειται απ το τετραγωνο Ε και το ισοσκελες τριγωνο. Εστω Ζ το υψος που αντιστοιχει στην βαση. Ειναι Ζ = 3 (αφου Ζ ειναι υψος αρα και διαμεσος του ) ω = 30 ο (αφου = 10 ο ) Ετσι x x E 6 θ Ε A = = 6 6 30 O 10 o Ζ 10 o ω x x

39 47 Τ ρ ι γ ω ν ο μ ε τ ρ ι κ ο ι ρ ι θ μ ο ι 3 0 0 4 5 0 6 0 0 σ κ η σ ε ι ς. 4 συν ω = συν30 ο = Ζ η 3 = 3 οποτε = 3 Επομενως η ζητουμενη περιμετρος Π ειναι : Π = 3 6 + 3 = 18 + 4 3 10. Στο παρακατω τραπεζιο να υπολογισετε το μηκος της μεγαλης βασης. Φερνομε τα υψη του τραπεζιου Κ και Λ. Ετσι συν60 ο = Κ η 1 = Κ η Κ = 4 συν45 ο = Λ η = Λ 6 η Λ = 3 Το ΛΚ ειναι ορθογωνιο και ΚΛ = = 5 Οποτε = Κ + ΚΛ + Λ = + 5 + 3 = 7 + 3 συν 60 ο = Ρ συν 30 ο = Ρ Ετσι 4 60 o 45 o η η 5 1 = 5 Ρ 3 = 9 Ρ οποτε Ρ = 10 m οποτε Ρ = 6 3m 10,4 m Πρωτο θα φτασει το σπουργιτι απο τον στυλο. B 6 4 5 B 60 o 45 o 11. Σε μια ρωγα απο σταφυλι υο σπουργιτια βρισκονται στην κορυφη δυο στυλων υψους 5m και 9m αντιστοιχα οπως φαινεται και στο διπλανο σχημα 30 ο Ξεκινουν την ιδια στιγμη και με την ιδια 5 m 60 ο 9 m ταχυτητα με στοχο μια ρωγα απο σταφυλι που βλεπουν υπο γωνιες 60 ο και 30 ο στο Ρ εδαφος στο σημειο Ρ. Ποιο απο τα δυο σπουργιτια θα φτασει πρωτο στην ρωγα; Κ Λ 6

Τ ρ ι γ ω ν ο μ ε τ ρ ι κ ο ι ρ ι θ μ ο ι 3 0 0 4 5 0 6 0 0 48 40 σ κ η σ ε ι ς. 4 1. ια να ανεβουμε στον δευτερο οροφο ενος εμπορικου κεντρου χρησιμοποιουμε τις κυλιομενες σκαλες οπως βλεπουμε στο διπλανο σχημα. Να υπολογισετε το υψος του ου οροφου απο το εδαφος. ημ30 ο = 15 ημ45 ο = 1 η η 1 = 15 = 1 EXIT οποτε = 7,5 m οποτε = 6 m 8,5m Το υψος h του δευτερου οροφου απο το εδαφος ειναι ισο με h = 7,5 + 8,5m = 16m 30 ο 45 ο 15 m 1 m ος οροφος 1ος οροφος SHOPPING

49 Η Ε ν ν ο ι α τ ο υ ι α ν υ σ μ α τ ο ς Ε ρ ω τ η σ ε ι ς Κ α τ α ν ο η σ η ς. 5 1. Στο διπλανο σχημα το ειναι παραλληλογραμμο. Ποιες απο τις παρακατω ισοτητες ειναι σωστες ; α) = β) = γ) Ο = Ο δ) Ο = Ο ε) Ο = Ο α Σ β Λ γ Λ δ Λ ε Λ. Στο διπλανο σχημα το ειναι ρομβος. Ποιες απο τις παρακατω ισοτητες ειναι σωστες α) = β) = γ) Ο = Ο δ) = ε) Ο = Ο α Σ β Σ γ Λ δ Λ ε Λ 3. Στο διπλανο εξαγωνο, ολα τα τριγωνα διαφορετικου χρωματος ειναι ισοπλευρα. Να συμπληρωσετε τις παρακατω ισοτητες α) = Ε... =... =...Ο β) Ζ =... =... =...Ε Ζ γ) = Ε... = Ε... = Ε... Ο α) = Ε= Ο = ΖΟ Ε Ο Ο β) Ζ = Ο= = ΟΕ γ) = Ε = ΕΟ = ΕΖ

Η Ε ν ν ο ι α τ ο υ ι α ν υ σ μ α τ ο ς 50 Ε ρ ω τ η σ ε ι ς Κ α τ α ν ο η σ η ς. 5 4. Ποια απο τα παρακατω μεγεθη χρειαζονται ενα διανυσμα για να παρασταθουν ; α) βαρος β) υψος γ) μαζα δ) ταχυτητα Το βαρος (α) Η ταχυτητα (δ)

51 Η Ε ν ν ο ι α τ ο υ ι α ν υ σ μ α τ ο ς σ κ η σ ε ι ς. 5 1. Στο εξαγωνο του διπλανου σχηματος ολες οι πλευρες ειναι ισες. πο τα διανυσματα,, ( 5), Ε, ΕΖ, Ζ ποια ειναι ισα και ποια αντιθετα Ισα διανυσματα ειναι = Ε = Ζ ντιθετα διανυσματα ειναι και ΕΖ ( = - ΕΖ). Ποια απο τα διανυσματα του παρακατω σχηματος ειναι ισα με το ; Ποια ειναι αντιθετα με το ; ι κ λ γ θ Ισα διανυσματα με το ειναι = θ= ζ ντιθετα διανυσματα με το ειναι λ και ε ( = - λ = - ε) 3. Τα διανυσματα α και β του διπλανου σχηματος εχουν ισα μετρα. Να εξετασετε αν αυτα ειναι ισα ε η δ β α ζ Ζ Ε α β εν ειναι ισα αφου δεν εχουν την ιδια διευθυνση.

Η Ε ν ν ο ι α τ ο υ ι α ν υ σ μ α τ ο ς 5 σ κ η σ ε ι ς. 5 4. Ποια απο τα διανυσματα του παρακατω σχηματος εχουν α) ισα μετρα; β) ειναι ισα γ) ειναι αντιθετα; α) α = δ ε = γ = ζ ι = κ β) γ = ζ γ) ι και κ 5. β α δ ε γ ι ζ κ θ Να βρειτε το μετρο των διανυσματων α, β, γ και δ του παρακατω σχηματος. 1 cm 1 cm α γ β δ Ειναι α = β = 3 +1 = 10 cm 1 +1 = cm γ = 4 cm δ = 3 +4 = 5 = 5 cm

53 Η Ε ν ν ο ι α τ ο υ ι α ν υ σ μ α τ ο ς σ κ η σ ε ι ς. 5 6. Σε ενα ισοπλευρο τριγωνο να σχεδιασετε με αρχη το σημειο ενα διανυσμα αντιθετο του και στην συνεχεια με αρχη το σημειο να σχεδιασετε το διανυσμα. Να αποδειξετε οτι το ειναι αντιθετο του. πο το φερουμε τμημα = //. Το διανυσμα ειναι αντιθετο του. = // οποτε το ειναι παραλληλογραμμο και = //. Επομενως τα διανυσματα και ειναι αντιθετα, αφου εχουν την ιδια διευθυνση ισα μετρα και αντιθετη φορα. 7. Στη δοκο εχουν σχεδιαστει οι δυναμεις F 1 Να βρειτε ποιες απο αυτες α) εχουν την ιδια διευθυνση β) εχουν αντιθετη φορα γ) ειναι αντιθετες δ) ειναι ισες ε) εχουν ισα μετρα α) Ιδια διευθυνση : F3 β) ντιθετη φορα : F3 γ) ντιθετες : F4 και F, F5, F1 και F1 F4 F5, F και F1,, F F4 = 5N, B, F 3 B = 0N F1 = 5N F4 και F, F 4 F3 = 7N, F 5 F5 = 7N F = 5N και F δ) Ισες : F3 και F5 ε) Ισα μετρα : F 5 = F 3 F 4 = F = F 1

Η Ε ν ν ο ι α τ ο υ ι α ν υ σ μ α τ ο ς 54 ι α ι α σ κ ε δ α σ η. 5 5. Στο σκακι η βασιλισσα μπορει να κινηθει οριζοντια, καθετα και διαγωνια, οπως φαινεται και στο σχημα. Μπορειτε να τοποθετησετε αλλες 4 βασιλισσες ετσι ωστε μαζι με αυτην που εχει ηδη τοποθετηθει () να καλυπτουν και τα 64 τετραγωνα του σκακιου ;

55 θ ρ ο ι σ μ α ι α φ ο ρ α ι α ν υ σ μ α τ ω ν Ε ρ ω τ η σ ε ι ς Κ α τ α ν ο η σ η ς. 6 1. ινονται τα σημεια,, και, τα οποια δεν ανηκουν στην ιδια ευθεια. Σε καθε μια απο τις παρακατω ερωτησεις να επιλεξετε την σωστη απαντηση. α) ν AB = A α β γ δ ε α) AB β) γ) δ) A + = A = + - = AB = + + τοτε β) ν AB = τοτε γ) ν AB = τοτε δ) AB + + + ε) AB + + + Το τριγωνο ειναι ισοσκελες Το τριγωνο ειναι ισοσκελες Το τετραπλευρο ειναι παραλ/μο A Το ειναι μεσο του Το ειναι μεσο του = AB A Το ταυτιζεται με το Το ταυτιζεται με το Το τετραπλευρο ειναι παραλ/μο A Ο. ινονται τεσσερα σημεια,, και. Να συμπληρωσετε τις παρακατω ισοτητες α) AB +... = A β) =... +... γ)... -... = AB δ) A =... + +... 3. Η ισοτητα A = AB + A ειναι σωστη σε ενα μονο απο τα παρακατω σχηματα. Μπορειτε να βρειτε σε ποιο ; : : : Στο ορθογωνιο ().

θ ρ ο ι σ μ α ι α φ ο ρ α ι α ν υ σ μ α τ ω ν 56 Ε ρ ω τ η σ ε ι ς Κ α τ α ν ο η σ η ς. 6 4. Στο διπλανο σχημα, το ειναι παραλληλογραμμο. Να κυκλωστε τις σωστες απαντησεις. α) Σωστο ειναι το β) Σωστο ειναι το γ) Σωστο ειναι το δ) α) AB β) Ο γ) Ο δ) Ο + A + + + A Σωστο ειναι το = = Ο Ο Ο = Ο Ο Ο = Ο Ο Ο Ο

57 θ ρ ο ι σ μ α ι α φ ο ρ α ι α ν υ σ μ α τ ω ν σ κ η σ ε ι ς. 6 1. Στο παρακατω σχημα να σχεδιασετε τα αθροισματα α) α + β β) β + γ γ) α + β + γ α) β) γ) α) AB β) AB α. ινεται το τετραπλευρο. Να υπολογιστουν τα αθροισματα α) AB + + β) AB + + + γ) AB - - + + = A + + β α α+β α β β α+β+γ + + = = (AB γ γ γ + ) + ( + ) = A β α + β = 0 β+γ γ γ) AB - - = AB+ + = A + = + A =

θ ρ ο ι σ μ α ι α φ ο ρ α ι α ν υ σ μ α τ ω ν 58 σ κ η σ ε ι ς. 6 3. ινεται τετραπλευρο και Μ σημειο της. Να υπολογιστουν τα αθροισματα α) + Μ+ Μ β) Μ + Μ + + γ) + Μ + AB + Μ α) β) Μ γ) 4. α) Ο β) γ) Ο δ) + Μ+ Μ + Μ+ + Μ+ - = Ο = Μ + + Μ + = + = ( = + Μ + + + = Μ = 0 ) + (Μ = + Μ =Μ + = + Μ) = = + ινεται παραλληλογραμμο και Ο το σημειο τομης των διαγωνιων του. Να συγκρινετε τις διαφορες : α) Ο - β) - Ο γ) Ο - δ) - Ο - Ο = Ο - = Ο - Ο = Ο φου Ο = Ο οι διαφορες ειναι ολες ισες μεταξυ τους. 5. Στο διπλανο σχημα τα τετραπλευρα και ΕΖ ειναι παραλληλογραμμα να βρεθουν τα αθροισματα α) AB + β) Ε + γ) AB + δ) AB + ΖΕ + + Μ= B Ο Ε Μ Ζ α) AB β) Ε + + = = Ε + = Ε γ) AB δ) AB + = + ΖΕ+ = AB+ + = + =

59 θ ρ ο ι σ μ α ι α φ ο ρ α ι α ν υ σ μ α τ ω ν σ κ η σ ε ι ς. 6 6. Σε ενα σωμα ασκουνται οι δυναμεις F 1 Να σχεδιασετε την συνισταμενη τους., F και F 3, οπως φαινεται και στο παρακατω σχημα. F1 F Με τον κανονα του παραλληλογραμμου πρωτα βρισκουμε την συνισταμενη Σ1 των F1 και F. στην συνεχεια βρισκουμε την συνισταμενη Σ των Σ1 και F3. Η συνισταμενη των F1, F και F3 ειναι το διανυσμα Σ. 7. Στο διπλανο σχημα να σχεδιασετε τα διανυσματα, Ε, Ζ και Θ ετσι ωστε να ισχυει = AB + A Ε = AB + Ζ = AB + AB και Θ = AB + + Με τον κανονα του παραλληλογραμμου σχεδιαζουμε το διανυσμα = + Κατασκευαζουμε διανυσμα H = και με τον κανονα του παραλληλογραμμου σχεδιαζουμε το διανυσμα Ε Κατασκευαζουμε διανυσμα BZ Τοτε Ζ = + F3 = Η Θ F1 Ε Σ1 F Ζ F3 Σ Επειδη + + το Θ συμπιπτει με το. = 0,

θ ρ ο ι σ μ α ι α φ ο ρ α ι α ν υ σ μ α τ ω ν 60 σ κ η σ ε ι ς. 6 8. ν Μ ειναι το μεσο της υποτεινουσα ενος ορθογωνιου τριγωνου ( = 90 ο ), να αποδειξετε οτι - = Μ - Μ. Ειναι διαδοχικα - = Μ- Μ + Μ = Μ + Μ+ = + Μ ΜB= M που ισχυει αφου Μ μεσο της 9. Μια βαρκα διασχιζει καθετα ενα ποταμι. ν η βαρκα κινειται μονο με την μηχανη της θα εχει ταχυτητα με μετρο m/ s. Η βαρκα παρασυρεται ομως απο το ρευμα του ποταμου που εχει ταχυτητα 0,6 m / s. α) Να σχεδιασετε τις δυο ταχυτητες. β) Να σχεδιασετε την διευθυνση που θα παρει τελικα η βαρκα. α) BT ειναι το διανυσμα της ταχυτητας της βαρκας. BΡ ειναι το διανυσμα της ταχυτητας του ρευματος του ποταμου. β) Με τον κανονα του παραλληλογραμμου, βρισκουμε την συνισταμενη BΣ των διανυσματων BT και BΡ. Η βαρκα θα κινηθει οπως δειχνει το διανυσμα BΣ. 10. ινεται τετραπλευρο και Μ, Ν τα μεσα των πλευρων και. Να αποδειξετε οτι Μ + Μ = Ν + Ν Μ Μ Ν Τ Σ Ρ

61 θ ρ ο ι σ μ α ι α φ ο ρ α ι α ν υ σ μ α τ ω ν σ κ η σ ε ι ς. 6 Ειναι Μ Ν + Μ + Ν = ΜΝ + Ν = ΜΝ (1) = Μ + ΜΝ = ΜΝ (1) + ΜΝ + Μ + Ν + ΜΝ = ΜΝ = ΜΝ + Ν + Μ Ν μεσο + Ν + Μ = Ν και Ν αντιθετα Μ μεσο = Μ και Μ αντιθετα π τις (1) και () (ισα τα δευτερα μελη,οποτε ισα και τα πρωτα) προκυπτει : Μ + Μ = Ν + Ν ΜΝ ΜΝ + 0= + 0=

θ ρ ο ι σ μ α ι α φ ο ρ α ι α ν υ σ μ α τ ω ν 6 ι α ι α σ κ ε δ α σ η. 6 Στο παρακατω σχημα τα σημεια Κ, Λ, Μ και Ν ειναι τα μεσα των πλευρων του παραλληλογραμμου. Μπορειτε να συμπληρωσετε το διανυσματοσταυρολεξο; Ο + = Μ Ο Ν Ο + ΟB Κ Λ = + + + ΟΝ + BΛ = B = = = Ν + ΟΛ Σε μια πολη υπαρχουν 6 γραμμες μετρο. Ο χαρτης των στασεων φαινεται στο παρακατω σχημα. ια να μεταβουμε απο ενα σημειο της πολης σε ενα αλλο για παραδειγμα απο το σημειο Ζ στο σημειο 3 μπορουμε να κινηθουμε με διαφορους τροπους οι οποιοι μπορουν να παρασταθουν με διανυσματα : Ζ = Ζ + + η 3 6 6 3 Ζ = Ζ + 3 7 7 + η 3 Ζ = Ζ + + + + 3 6 6 3 3 4 4 3 Ειναι ΟΝ = Λ ΟΛ = Ν + + + ΟΝ + = = = = + ΟΛ α) Μπορειτε να βρειτε αλλους τροπους (εστω και πιο μακρινους ) για να κανουμε τη διαδρομη Ζ και να τους γραψετε σε μορφη αθροισματος διανυσματων ; 3 β) Με ποιους τροπους μπορει κανεις να μεταβει απο το σημειο 4 στο 3 ; Να γραψετε τις διαδρομες αυτες σε μορφη αθροισματος διανυσματων. γ) Να κανετε τις διαδρομες Ε, Ζ και με οσο δυνατον περισσοτερους τροπους. 3 7 4 1 8 1 1 1 3 4 5 Ε1 Ζ1 3 4 5 6 7 Ε 6 7 8 5 3 4 1 Ε3 Ζ 1 Ε4 3 Ζ3 4 5 6 7 Ε5 Ε6 8 Ζ4 Ζ5

63 θ ρ ο ι σ μ α ι α φ ο ρ α ι α ν υ σ μ α τ ω ν ι α ι α σ κ ε δ α σ η. 6 α) Ζ 3 Ζ 3 Ζ 3 β) 4 3 4 3 4 3 4 3 4 3 4 3 γ) Ε 3 7 Ε 3 7 Ζ Ζ = Ζ 7 + 7 4 = + + + 6 6 3 = + 6 6 4 = 4 6 + 6 7 η + + 4 3 + + + 4 4 4 3 + 4 4 + 7 4 = + + 4 3 3 4 4 3 = + + 4 6 3 6 6 3 = + + 4 3 = + + + 4 3 3 4 4 = + + + 4 6 6 7 7 Ε Ε = + 3 3 3 7 = 3 4......... + 4 7 η + 7 6 + 3 + 3 + 4 3 + 4 4 + 6 7 η

ν α λ υ σ η ι α ν υ σ μ α τ ο ς σ ε Σ υ ν ι σ τ ω σ ε ς 64 Ε ρ ω τ η σ ε ι ς Κ α τ α ν ο η σ η ς. 7 Ζ 1. Στο παρακατω σχημα αναλυσαμε τα διανυσματα, και ΕΖ σε δυο καθετες συνιστωσες, αλλα τα διανυσματα μπερδευτηκαν. Μπορειτε να βρειτε ποιες ειναι οι σωστες απο τις παρακατω σχεσεις ; Ζ γ α γ α. Μια δυναμη F, μετρου F = 5 Ν αναλυεται σε δυο καθετες συνιστωσες F 1 και F. ν F 1 = 4Ν τοτε F = : 1 Ν : Ν : 3Ν : 4Ν Κυκλωστε την σωστη απαντηση Ε Ε β δ β δ ε ε ζ ζ α) = γ + ζ α + ε α + ζ ε + γ β) = β + γ α + ζ β + ζ ε + δ γ) ΕΖ = γ + δ α + ε α + δ γ + ζ Οι σωστες σχεσεις ειναι = α + ε, = β + ζ, ΕΖ Οποτε α) β) γ) F F1 F 4 Ν = γ + δ Σωστο ειναι το αφου : Πυθαγορειο στο ορθογωνιο τριγωνο : ( = + η F = F 1 + F F = 3 Ν = F ) η 5 = 16 + F η F = 9 η

65 ν α λ υ σ η ι α ν υ σ μ α τ ο ς σ ε Σ υ ν ι σ τ ω σ ε ς Ε ρ ω τ η σ ε ι ς Κ α τ α ν ο η σ η ς. 7 3. Μια δυναμη F αναλυεται σε δυο καθετες μεταξυ τους συνιστωσες F 1 και F με μετρα F 1 = 5Ν και F = 1Ν. Τοτε F = : 15 Ν : 13 Ν : 17Ν : 18Ν Κυκλωστε την σωστη απαντηση Σωστο ειναι το B αφου : Πυθαγορειο στο ορθογωνιο τριγωνο : ( = F ) = + η F = F 1 + F η F = 1 + 5 η F = 169 η F = 13 Ν F 4 Ν F1 F 1 Ν

ν α λ υ σ η ι α ν υ σ μ α τ ο ς σ ε Σ υ ν ι σ τ ω σ ε ς 66 σ κ η σ ε ι ς. 7 1. Να αναλυσετε τα παρακατω διανυσματα σε αθροισμα δυο καθετων συνιστωσων.. Ο Κωστακης κανει τσουληθρα οπως φαινεται στο παρακατω σχημα. ν το βαρος του Κωστακη ειναι 70Ν, να βρειτε το μετρο της δυναμης B που τον κανει να κινειται. Η εξισωση y = 3x, για x = 1 δινει y = 3. Οποτε η γραφικη της παρασταση διερχεται απο το σημειο (1, 3). 45 Ο Η ζητουμενη ευθεια ειναι του πρωτου σχηματος. Ειναι διαδοχικα συν45 ο = = = 70 = 135 45 Ο 45 Ο 1 Επομενως η δυναμη που κανει τον Κωστακη να κινειται ειναι = 135 Ν

67 ν α λ υ σ η ι α ν υ σ μ α τ ο ς σ ε Σ υ ν ι σ τ ω σ ε ς σ κ η σ ε ι ς. 7 3. Σε υπογειο τελεφερικ οι ραγες σχηματιζουν με το οριζοντιο επιπεδο γωνια 60 ο. Το βαρος του βαγονιου των επιβατων (μαζι με τους επιβατες) ειναι 30000Ν και συρεται πανω στις ραγες απο την κορυφη με συρματοσχοινο. Ποιο ειναι το μετρο της δυναμης που πρεπει να ασκειται απο το συρματοσχοινο στο βαγονι ωστε να κινειται με σταθερη ταχυτητα προς τα πανω; ναλυομε το βαρος του βαγονιου μαζι με τους επιβατες σε δυο καθετες μεταξυ τους συνιστωσες. Στο ορθογωνιο τριγωνο ΚF1 ειναι συν30 o ΚF1 = Κ η 3 = ΚF 1 η Κ 3 = ΚF 1 η ΚF = 15000 3 1 30000 Συνεπως η δυναμη που πρεπει να ασκειται απο το συρματοσχοινο ειναι 15000 3Ν. 4. Ενας κυνηγος για να φτιαξει μια παγιδα χρησιμοποιει δυο σανιδες ισου μηκους και τις τοποθετει στο εδαφος ωστε να σχηματιζουν ορθογωνιο και ισοσκελες τριγωνο. Στην κορυφη του τριγωνου τοποθετει πετρα βαρους 00Ν. Ποιο ειναι το μετρο της δυναμης που δεχεται καθε σανιδα απο το βαρος της πετρας ; ναλυουμε το βαρος της πετρας σε δυο καθετες μεταξυ τους συνιστωσες. Στο ορθογωνιο τριγωνο ΠF1 ειναι συν45 o ΠF1 = Π η = ΠF 1 η Π = ΠF 1 η ΠF = 100 1 00 Ομως το τριγωνο Π ειναι ορθογωνιο και ισοσκελες, οποτε F 1 = F = 100 Ν. F 1 30 0 K Π F F 1 45 0 F 45 0

ν α λ υ σ η ι α ν υ σ μ α τ ο ς σ ε Σ υ ν ι σ τ ω σ ε ς 68 σ κ η σ ε ι ς. 7 5. Ενας σκιερ γιγαντιαιου αλματος κατεβαινει στην εξεδρα που σχηματιζει με τον οριζοντα γωνια 30 ο. ν το βαρος του εχει μετρο 800Ν, ποιο ειναι το μετρο της δυναμης που τον μετακινει κατα μηκος της εξεδρας ; ναλυομε το βαρος του σκιερ σε δυο καθετες μεταξυ τους συνιστωσες. Στο ορθογωνιο τριγωνο ΠF1 ειναι ημ30 ο = Σ 1 = Σ 1 = 800 = 400 Ν = Σ ηλαδη η δυναμη που κινει τον σκιερ ειναι 400Ν. Σ 30 0 30 ο 30 ο

69 Ε γ γ ε γ ρ α μ μ ε ν ε ς ω ν ι ε ς Ε ρ ω τ η σ ε ι ς Κ α τ α ν ο η σ η ς 3. 1 1. Στα παρακατω σχηματα ποιες απο τις γωνιες ειναι εγγεγραμμενες και ποιες επικεντρες ; Εγγεγραμμενες ειναι οι γωνιες : α, η Επικεντρες ειναι οι γωνιες : γ, ε, θ α) Σωστη απαντηση ειναι η αφου, η γωνια ˆφειναι το μισο της αντιστοιχης επικεντρης, δηλαδη ˆφ= 5 ο. β) α γ β. Στον παρακατω πινακα να βαλετε σε κυκλο την σωστη απαντηση Σωστη απαντηση ειναι η αφου, το μετρο του τοξου AB ειναι ισο με το μετρο της αντιστοιχης επικεντρης, δηλαδη AB = 50 ο. ε α) Το μετρο της γωνιας ˆφ ειναι 50 ο 5 ο 100 ο β) Το μετρο του τοξου AB 50 ο 5 ο 100 ο 3. Στον παρακατω πινακα να βαλετε σε κυκλο την σωστη απαντηση. α) το μετρο της γωνιας ειναι 60 ο 70 ο 50 ο β) το μετρο της γωνιας Ο ειναι 10 ο 140 ο 100 ο γ) το μετρο της γωνιας ειναι 60 ο 70 ο 50 ο δ) το μετρο της γωνιας ειναι 60 ο 70 ο 50 ο δ ζ θ η Μ φ 50 Ο 100 Ο Ο 140 Ο Ειναι : AB= 100 ο και A = 140 ο, οποτε = 360 ο (100 ο + 140 ο ) = 360 ο 40 ο = 10 ο α) Σωστη απαντηση ειναι η αφου, = 60 ο (μιση της γωνιας Ο = 10 ο ).

Ε γ γ ε γ ρ α μ μ ε ν ε ς ω ν ι ε ς 70 Ε ρ ω τ η σ ε ι ς Κ α τ α ν ο η σ η ς 3. 1 β) Σωστη απαντηση ειναι η αφου, Ο = 140 ο ( A = 140 ο ). γ) Σωστη απαντηση ειναι η αφου, B = 70 ο (μιση της γωνιας Ο = 140 ο ). γ) Σωστη απαντηση ειναι η αφου, = 50 ο (μιση της γωνιας Ο = 100 ο ). 4. ν σε κυκλο φερουμε δυο καθετες διαμετρους, τοτε τα τεσσερα ισα τοξα ειναι : 80 ο : 180 ο : 90 ο : 45 ο αλτε σε κυκλο την σωστη απαντηση Σωστη απαντηση ειναι η. 5. Στον παρακατω πινακα να βαλετε σε κυκλο την σωστη απαντηση. α) β) γ) δ) α β γ δ Το μετρο μιας εγγεγραμμενης γωνιας που βαινει σε ημικυκλιο ειναι : ν σε ενα κυκλο μια εγγεγραμμενη γωνια ειναι ιση με μια επικεντρη, τοτε για τα αντιστοιχα τοξα ισχυει : Η ακρη του ωροδεικτη ενος ρολογιου, σε τρεις ωρες διαγραφει τοξο : Η ακρη του λεπτοδεικτη ενος ρολογιου σε 45 λεπτα διαγραφει τοξο : 180 ο 60 ο 90 ο Ειναι ισα Το τοξο της επικεντρης ειναι διπλασιο απο το τοξο της εγγεγραμμενης Το τοξο της επικεν- Τρης ειναι ισο με το μισο του τοξου της εγγεγραμμενης 60 ο 90 ο 30 ο 45 ο 90 ο 70 ο

71 Ε γ γ ε γ ρ α μ μ ε ν ε ς ω ν ι ε ς σ κ η σ ε ι ς 3. 1 1. α) β) Να υπολογισετε τις γωνιες φ και ω που υπαρχουν στα διπλανα σχηματα : φ ω γ) α) φ = 110 ο (η γωνια φ σαν επικεντρη ειναι διπλασια της αντιστοιχης εγγεγραμμενης). ω = 360 ο - φ = 360 ο - 110 ο = 50 ο β) φ = 30 ο (η γωνια φ εγγεγραμμενες στο ιδιο τοξο με τη γωνια 30 0 ). ω = 40 ο (εγγεγραμμενη σε τοξο 80 ο ) γ) φ = 30 ο (στο ορθογωνιο τριγωνο, φ + ω = 90 0 η φ + 60 0 = 90 0 η φ = 30 0 ). 55 Ο ω = 60 ο (η γωνια ω εγγεγραμμενες στο ιδιο τοξο με τη γωνια 60 0 ).. Στο διπλανο σχημα, το ειναι τετραγωνο και το Μ ειναι σημειο του τοξου AB. Να υπολογισετε τη γωνια Μ. Το ειναι τετραγωνο, οποτε : A= = = 90 ο. Ετσι, A= 70 ο και Μ = 135 ο (αντιστοιχη εγγεγραμμενη). 3. Εστω Μ και Ν τα μεσα των τοξων AB και αντιστοιχα ενος κυκλου κεντρου Ο και ακτινας ρ. ν = 60 ο και =170 ο, να βρειτε το μετρο του τοξου ΜΝ. 60 Ο ω φ Μ Μ Ο 170 ο 30 ο φ ω 60 ο 80 ο Ν

Ε γ γ ε γ ρ α μ μ ε ν ε ς ω ν ι ε ς 7 σ κ η σ ε ι ς 3. 1 Ειναι AB = 360 ο - - = 360 ο - 170 ο - 60 ο = 130 ο ΜΝ = Μ + Ν AB = + = 65ο + 30 ο = 95 ο 4. Να υπολογισετε την γωνια φ στο διπλανο σχημα Ειναι 10 ο + φ = 180 ο η φ= 60 ο η φ = 30 ο. 5. Στον κυκλο κεντρου Ο και ακτινας ρ του διπλανου σχηματος να υπολογισετε τα τοξα AB, B, και, αν γνωριζουμε οτι Ο = 45 ο και οτι οι, ειναι διαμετροι του κυκλου. Η ειναι διαμετρος, οποτε το τοξο ABειναι ημικυκλιο με AB=AB= 180 ο. Η ειναι διαμετρος, οποτε το τοξο ειναι ημικυκλιο με == 180 ο. Ο = 45 ο, οποτε = = 45 ο (αντιστοιχο τοξο επικεντρης). = AB - = 180 ο - 45 ο = 135 ο Ο = 45 ο = Ο (κατακορυφην), οποτε B= 45 ο 6. Σε ημικυκλιο διαμετρου = 6cm δινεται σημειο ετσι ωστε A =. Να υπολογισετε τις πλευρες και τις γωνιες του τριγωνου. 10 ο 45 ο φ 90 ο φ + 30 ο Ο + = 180 ο η + = 180 ο η 3 = 180 ο η Ο = 60 ο οποτε A = 10 ο

73 Ε γ γ ε γ ρ α μ μ ε ν ε ς ω ν ι ε ς σ κ η σ ε ι ς 3. 1 = 30 ο (εγγεγραμμενη σε τοξο 60 ο ) και = 60 ο (εγγεγραμμενη σε τοξο 10 ο ). Ετσι και = 90 ο Ο = Ο (ακτινες κυκλου), δηλαδη το τριγωνο Ο ειναι ισοσκελες. Ομως = 60 ο, που σημαινει οτι και οι αλλες του γωνιες ειναι 60 ο η καθε μια, δηλαδη το τριγωνο ειναι ισοπλευρο, συνεπως = Ο = 3cm. π το Πυθαγορειο θεωρημα στο ορθογωνιο τριγωνο : = - = 36-9 = 7 οποτε = 7 cm 7. Να υπολογισετε τις γωνιες x και y του διπλανου σχηματος : = 100 ο οποτε A = 00 ο (αντιστοιχο τοξο εγγεγραμμενης). A = 70 ο, οποτε = 00 ο - 70 ο = 130 ο και x = 65 ο (εγγεγραμμενη σε τοξο 130 ο ). A+ + = 360 ο η 70 ο + 130 ο + = 360 ο οποτε = 160 ο και y = 80 o (εγγεγραμμενη σε τοξο 160 ο ). 8. = 360 ο - 160 ο - 100 ο - 80 ο = 0 ο = + = 40 ο και = 360 ο - 40 ο = 10 ο 70 ο = 10 ο (εγγεγραμμενη σε τοξο 40 ο ) B 100 ο Σε εναν κυκλο θεωρουμε τρια διαδοχικα τοξα AB = 100 ο, = 160 ο και = 80 ο. Να υπολογισετε τις γωνιες του τετραπλευρου x y 80 ο Ο 80 0 100 0 = 60 ο (εγγεγραμμενη σε τοξο 10 ο ) = + =80 ο + 0 ο = 100 ο = 50 ο (εγγεγραμμενη σε τοξο 100 ο ) = + =160 ο + 100 ο = 60 ο = 130 ο (εγγεγραμμενη σε τοξο 60 ο )

Ε γ γ ε γ ρ α μ μ ε ν ε ς ω ν ι ε ς 74 σ κ η σ ε ι ς 3. 1 9. Στον κυκλο κεντρου Ο οι χορδες και τεμνονται στο Ρ. ν A = 50 ο και = 70 ο να υπολογισετε την γωνια φ. = 5 ο (εγγεγραμμενη σε τοξο 50 ο ) = 35 ο (εγγεγραμμενη σε τοξο 70 ο ) Στο τριγωνο Ρ : + + Ρ = 180 ο αρα 35 ο + 5 ο + Ρ = 180 ο Ρ = 10 ο Ετσι φ = 60 ο (παραπληρωματικη της γωνιας Ρ = 10 ο ) 50 ο Ρ Ο φ 70 ο

75 Κ α ν ο ν ι κ α Π ο λ υ γ ω ν α Ε ρ ω τ η σ ε ι ς Κ α τ α ν ο η σ η ς 3. 1. Στον παρακατω πινακα να βαλετε σε κυκλο την σωστη απαντηση. α) Σωστο ειναι το, αφου ω ο 360 = = 60 ο 6 β) Σωστο ειναι το, αφου ω ο 360 = 1 = 30ο γ) Σωστο ειναι το, αφου ω ο 360 = = 7 ο 5 ο δ) Σωστο ειναι το, αφου 36 ο 360 = οποτε ν = 10 ν ο ε) Σωστο ειναι το, αφου 10 ο 360 = οποτε ν = 36 ν α) Η κεντρικη γωνια κανονικου εξαγωνου ειναι : 10 ο 30 ο 60 ο β) Η κεντρικη γωνια κανονικου δωδεκαγωνου ειναι : 10 ο 30 ο 60 ο γ) Η κεντρικη γωνια κανονικου πενταγωνου ειναι : 5 ο 7 ο 13 ο δ) ε) Ενα κανονικο πολυγωνο εχει κεντρικη γωνια 36 ο το πληθος των πλευρων του ειναι : Ενα κανονικο πολυγωνο εχει κεντρικη γωνια 10 ο το πληθος των πλευρων του ειναι :. Στον παρακατω πινακα να βαλετε σε κυκλο την σωστη απαντηση α) β) γ) Ενα κανονικο πολυγωνο εχει κεντρικη γωνια 40 ο η γωνια του πολυγωνου ειναι : Ενα κανονικο πολυγωνο εχει κεντρικη γωνια 7 ο η γωνια του πολυγωνου ειναι : Ενα κανονικο πολυγωνο εχει κεντρικη γωνια 30 ο η γωνια του πολυγωνου ειναι : 50 ο 90 ο 140 ο 108 ο 18 ο 17 ο 150 ο 30 ο 60 ο 6 10 1 1 4 36 Aν ω ειναι η κεντρικη γωνια και φ η γωνια του πολυγωνου τοτε : ω + φ = 180 ο α) Σωστο ειναι το, αφου ω = 40 ο, ειναι φ = 140 ο. β) Σωστο ειναι το, αφου ω = 7 ο, ειναι φ = 108 ο. γ) Σωστο ειναι το, αφου ω = 30 ο, ειναι φ = 150 ο.

Κ α ν ο ν ι κ α Π ο λ υ γ ω ν α 76 Ε ρ ω τ η σ ε ι ς Κ α τ α ν ο η σ η ς 3. 3. Στον παρακατω πινακα να βαλετε σε κυκλο την σωστη απαντηση α) Σωστο ειναι το, αφου ω = β) ο 360 15 = 4ο Σωστο ειναι το, αφου φ= 180 ο - 4 ο = 156 ο γ) Σωστο ειναι το, αφου ω = 180 ο - 150 ο = 30 ο δ) Σωστο ειναι το, αφου 30 ο = ε) Ενα κανονικο πολυγωνο εχει 15 πλευρες Η γωνια ενος κανονικου πολυγωνου ειναι 150 ο Η γωνια ενος κανονικου πολυγωνου ειναι 135 ο ο 360 ν αρα ν = 1 Σωστο ειναι το, αφου ω = 180 ο - 135 ο = 45 ο ζ) Σωστο ειναι το, αφου 45 ο = α) Η κεντρικη του γωνια ειναι : β) Η γωνια του πολυγωνου ειναι: γ) Η κεντρικη του γωνια ειναι : δ) Το πληθος των πλευρων του ειναι: ε) Η κεντρικη του γωνια ειναι : ζ) Το πληθος των πλευρων του ειναι: ο 360 ν αρα ν = 8 15 ο 4 ο 15 ο 15 35 ο 8 4 ο 156 ο 4 ο 1 45 ο 1 30 ο 7 ο 30 ο 8 65 ο 18

77 Κ α ν ο ν ι κ α Π ο λ υ γ ω ν α σ κ η σ ε ι ς 3. 1. Να συμπληρωσετε τον παρακατω πινακα ν ν ειναι το πληθος των πλευρων του πολυγωνου ω ειναι η κεντρικη γωνια και φ η γωνια του πολυγωνου, τοτε ισχυουν οι τυποι: ω = 360 ν ο και ω + φ= 180 ο Πληθος πλευρων ωνια κανονικου πολυγωνου Κεντρικη γωνια 3 60 ο 10 ο 5 108 ο 7 ο 6 10 ο 60 ο 10 144 ο 36 ο Κεντρικη γωνια ωνια κανονικου πολυγωνου 15 ο 165 ο 30 ο 150 ο 7 ο 108 ο 0 ο 160 ο ν ω ειναι η κεντρικη γωνια και φη γωνια του πολυγωνου, τοτε απο τα δοσμενα φ = 4 ω. Ετσι ω + φ= 180 ο η ω + 4 ω= 180 ο η 5 ω= 180 ο η ν ν ειναι ο αριθμος των πλευρων του πολυγωνου, τοτε ω = Πληθος πλευρων ωνια κανονικου πολυγωνου Κεντρικη γωνια 360 ν ο 3 5 6 10 Κεντρικη γωνια 15 ο 7 ο η 36 ο = 360 ν ο ωνια κανονικου πολυγωνου οποτε ν = 10 150 ο 160 ο. Σε κανονικο πολυγωνο η γωνια του ειναι τετραπλασια της κεντρικης του γωνιας. Να βρειτε τον αριθμο των πλευρων του πολυγωνου. ω = 36 ο

Κ α ν ο ν ι κ α Π ο λ υ γ ω ν α 78 σ κ η σ ε ι ς 3. 3. Να υπολογισετε την κεντρικη γωνια ω και την γωνια φ ενος κανονικου εξαγωνου και να επαληθευσετε οτι ω + φ = 180 ο. Ειναι ω ο 360 = = 60 ο 6 Το τριγωνο Ο ειναι ισοσκελες, αφου Ο = Ο (ακτινες του πολυγωνου). Ομως ω = 60 ο, οποτε και οι υπολοιπες γωνιες του θα ειναι 60 ο η καθε μια. φ ρα = Ο = 60 ο οποτε φ= 10 ο Τελικα : ω + φ = 60 ο + 10 ο = 180 ο 4. Η γωνια ενος κανονικου πολυγωνου ειναι ιση με τα 5 3 πλευρων του πολυγωνου. φ = 5 3 ορθης = 5 3 90ο = 150 ο. Οποτε ν ν ειναι το πληθος των πλευρων, τοτε: 5. Να εξετασετε αν υπαρχει κανονικο πολυγωνο με α) Κεντρικη γωνια ω = 16 ο β) ωνια φ = 130 ο α) ν ν ειναι το πληθος των πλευρων, τοτε ω = 180 ο - φ = 180 ο - 150 ο = 30 ο ω = 360 ν ο 16 ο 360 = η ν =,5 αδυνατο (ν ειναι θετικος ακεραιος) ν Επομενως δεν υπαρχει κανονικο πολυγωνο με ω = 16 ο. ο η 30 ο = Ζ 360 ν 60 ο της ορθης. Να βρειτε τον αριθμο των ο Ο Ε οποτε ν = 1 β) φ = 130 ο και ω + φ= 180 ο οποτε ω = 50 ο. Ετσι ο 50 ο 360 = η ν = 7, αδυνατο (ν ειναι θετικος ακεραιος) ν Επομενως δεν υπαρχει κανονικο πολυγωνο με φ = 130 ο.

79 Κ α ν ο ν ι κ α Π ο λ υ γ ω ν α σ κ η σ ε ι ς 3. 6. Να κατασκευασετε κανονικο οκταγωνο. ν ω ειναι η κεντρικη γωνια του κανονικου οκταγωνου τοτε ω = ο 360 = 45 ο 8 Σε εναν κυκλο κατασκευαζουμε οκτω διαδοχικες επικεντρες γωνιες 45 ο η καθε μια οπως φαινεται στο διπλανο σχημα. Στη συνεχεια ενωνουμε τα ακρα των διαδοχικων τοξων. Το οκταγωνο που δημιουργειται ειναι το ζητουμενο. 7. Ποιο κανονικο πολυγωνο εχει γωνια ιση με την κεντρικη του γωνια ; ω + φ= 180 ο ( ω = φ) η φ = 180 ο η φ= 90 ο ο Οποτε 90 ο 360 = και ν = 4 ν ηλαδη το ζητουμενο πολυγωνο ειναι το τετραγωνο. 8. Με πλευρες τις πλευρες ενος κανονικου εξαγωνου κατασκευαζουμε εξωτερικα του εξαγωνου τετραγωνα. Να αποδειξετε οτι οι κορυφες των τετραγωνων, που δεν ειναι κορυφες του εξαγωνου σχηματιζουν κανονικο δωδεκαγωνο. Το τριγωνο ΚΛ ειναι ισοσκελες, γιατι καθε ενα απ τα τμηματα Κ και Λ ισουται με την πλευρα του κανονικου εξαγωνου. Η γωνια Ζ = φτου εξαγωνου ειναι ιση με : Ζ = 180 ο - ω = 180 ο - Τοτε Κ Λ = 360 ο - 90 ο - 90 ο - 10 ο = 60 ο ο 360 6 = 10 ο ρα και οι υπολοιπες γωνιες του τριγωνου ΚΛ ειναι 60 ο η καθε μια, που σημαινει οτι το τριγωνο ειναι ισοπλευρο και η πλευρα του ειναι ιση με την πλευρα του κανονικου εξαγωνου. Ετσι, οι πλευρες του δωδεκαγωνου ειναι ολες ισες. Οι γωνιες του ειναι επισης ισες δεδομενου οτι καθε μια ειναι 90 ο + 60 ο = 150 ο. ρα το δωδεκαγωνο ειναι κανονικο. 45 ο Κ Ζ Ε Λ

Μ η κ ο ς Κ υ κ λ ο υ 80 Ε ρ ω τ η σ ε ι ς Κ α τ α ν ο η σ η ς 3. 3 1. Να συμπληρωσετε τον παρακατω πινακα : κτινα ρ 5 cm 4 cm 3 cm 9 cm Με την βοηθεια του τυπου L = πρ, οπου π = 3,14 και ρ η ακτινα ο πινακας συμπληρωνεται οπως φαινεται διπλα : Μηκος κυκλου L 37,68 cm 1,56 cm. ν τριπλασιασουμε την ακτινα ενος κυκλου (Ο, ρ), τοτε το μηκος του κυκλου : διπλασιαζεται : τριπλασιαζεται : τετραπλασιαζεται : μενει ιδιο. Κυκλωστε την σωστη απαντηση. Εστω κυκλος ακτινας ρ και μηκους L = πρ. Aν τριπλασιασουμε την ακτινα ρ τοτε το μηκος θα γινει L = π(3ρ) = 3(πρ) = 3L. Σωστο το. 3. Τρεις ομοκεντροι κυκλοι εχουν ακτινες ρ, ρ, 3ρ αντιστοιχα Να συμπληρωσετε τον πινακα : L L 1 1 L L 3 3 L L 3 1 L 1 ρ L 4ρ 3 π π π L 3 6ρ κτινα ρ Μηκος κυκλου L 5 cm 31,4 cm 6 cm 37,68 cm 4 cm 5,1 cm 3 cm 18,84 cm cm 1,56 cm 9 cm 56,5 cm L1 L L3 ρ ρ ρ

81 Μ η κ ο ς Κ υ κ λ ο υ Ε ρ ω τ η σ ε ι ς Κ α τ α ν ο η σ η ς 3. 3 Ειναι Ετσι ο πινακας συμπληρωνεται : L1 = πρ L = (πρ) = 4πρ L3 = (π3ρ) = 6πρ Ετσι L πρ 1 = = L 4πρ 1 L 4πρ = = L 6πρ 3 3 L3 6πρ = =3 L πρ 1 L1 πρ = =π ρ ρ L 4ρ L3 4πρ = =π 4ρ 6πρ = =π 6ρ 6ρ L L 1 1 L L 3 3 L L 3 1 L 1 ρ L 4ρ L 3 6ρ 3 π π π

Μ η κ ο ς Κ υ κ λ ο υ 8 σ κ η σ ε ι ς 3. 3 1. Ενας κυκλος εχει μηκος 0 cm περισσοτερο απο εναν αλλο. Ποσο μεγαλυτερη ειναι η ακτινα του ; Εστω ενας κυκλος ακτινας ρ και μηκους L1 και ενας αλλος κυκλος ακτινας R και μηκους L. Eιναι L = 0 + L1 η πr = 0 + πρ η πr - πρ = 0 η π(r - ρ) = 0 η R - ρ = 0 π η R = ρ + 10 π που σημαινει οτι η ακτινα R ειναι κατα 10 π. υρω απο τον κορμο ενος αιωνοβιου δεντρου τυλιγουμε ενα σκοινι. Μετραμε το σκοινι και βρισκουμε οτι εχει μηκος 3,5 m. Να υπολογισετε την ακτινα του κορμου. Ειναι L = πρ η 3,5 = 3,14ρ η 3, 5 = 6,8ρ η ρ = 3,5 6,8 = 0,56 m Εστω δ1 και δ οι δυο διαμετροι. α) δ1 - δ = 5 η ρ1 - ρ = 5 η (ρ1 - ρ ) = 5 η ρ1 - ρ =,5 cm β) L1 - L = πρ1 - πρ = π(ρ1 - ρ ) = π,5 = 5π cm cm μεγαλυτερη απο την ακτινα ρ. 3. Οι διαμετροι δυο κυκλων διαφερουν κατα 5 cm. Να βρειτε ποσο διαφερουν α) οι ακτινες τους β) οι περιμετροι τους 4. Οι περιμετροι δυο κυκλων εχουν λογο προς 1. Να βρειτε το λογο α) των διαμετρων τους β) των ακτινων τους α) L1 = η L 1 π ρ 1 πρ ρ δ 1 ρ 1 δ 1 1 1 = η = η =

83 Μ η κ ο ς Κ υ κ λ ο υ σ κ η σ ε ι ς 3. 3 β) δ 1 = η δ 1 ρ ρ 1 ρ 1 ρ 1 1 = η = 5. Ο λεπτοδεικτης ενος ρολογιου εχει μηκος,5 cm. Να βρειτε ποσο διαστημα θα διαγραψει το ακρο του λεπτοδεικτη σε 1 ωρες. Σε μια ωρα το ακρο του λεπτοδεικτη γραφει κυκλο ακτινας ρ =,5cm. Το μηκος αυτου του κυκλου ειναι : L = π,5 = 3,14,5 = 15,7 cm. Οποτε σε 1 ωρες θα γραψει μηκος : S = 1 15,7 = 188, 4cm 6. Στη μηχανη ενος αυτοκινητου δυο τροχαλιες και συνδεονται με ελαστικο ιμαντα. ν ρ = cm και ρ = 8cm, να βρειτε ποσες στροφες θα κανει η αν η κανει μια στροφη. Σε μια στροφη η τροχαλια διαγραφει μηκος L = π8 = 16π cm. Tο ιδιο μηκος θα διαγραψει και η τροχαλια (L = 16π cm). Σε μια στροφη η τροχαλια διαγραφει μηκος L = π = 4π Οποτε L B ν = = = 4 L A 16π 4π, δηλαδη η τροχαλια θα κανει 4 στροφες στον ιδιο χρονο που η τροχαλια θα κανει μια στροφη. 7. Ενας ποδηλατης που προετοιμαζεται για τους αγωνες, προπονειται σε στιβο σχηματος κυκλου με ακτινα ρ = 30m. Ποσες στροφες θα κανει σε 3 ωρες προπονησης, αν κινειται με ταχυτητα 0 km / h. Σε καθε γυρο του στιβου (1 στροφη) ο ποδηλατης διανυει διαστημα : L = π 30 = 60π m = 0,060π km = 0,1884 km Σε 3 ωρες ο αθλητης κινουμενος με ταχυτητα 0km / h θα διανυσει διαστημα : S = 0 3 = 60 km Οποτε στο διαστημα των 60 km θα κανει : 60 0,1884 = 318,47 γυρους

Μ η κ ο ς Κ υ κ λ ο υ 84 σ κ η σ ε ι ς 3. 3 8. νωριζουμε οτι ο ισημερινος της ης εχει μηκος 40.000 km περιπου. Θεωρωντας οτι η η ειναι σφαιρικη να βρειτε την ακτινα της. Ειναι L = πρ 40000 = 3,14ρ 40000 = 6,8 ρ ρ = 6369, 63 km περιπου

85 Μ η κ ο ς Τ ο ξ ο υ Ε ρ ω τ η σ ε ι ς Κ α τ α ν ο η σ η ς 3. 4 1. Να αντιστοιχισετε τα μετρα των τοξων της πρωτης γραμμης απο μοιρες σε ακτινια (rad) της δευτερης γραμμης. π τον τυπο 90 ο π. Μοιρες 90 ο 60 ο 180 ο 70 ο 45 ο 360 ο κτινια μ 180 = α π 60 ο π 3 Σωστο ειναι το αφου, οπου μ = μετρο τοξου σε μοιρες και α = μετρο τοξου σε rad, προκυπτει : 180 ο π 70 ο 3π l= 1 8 L η πρ μ 360 = 1 8 πρ η μ 360 = 1 8 η μ = 45ο π τον τυπο π 4 π μ 180 = α π π 3 π π 3π 45 ο π 4 360 ο π ν το μηκος l ενος τοξου μ ο ειναι ισο με το 1 του μηκους του κυκλου στον οποιο ανηκει, 8 τοτε : μ = 45 ο : μ = 90 ο : μ = 60 ο : μ = 180 ο Να βαλετε σε κυκλο την σωστη απαντηση. 3. Να συμπληρωσετε τον παρακατω πινακα : Τοξο σε μοιρες 30 ο 100 ο 60 ο 70 ο Τοξο σε ακτινια π 3π 4 5π 4 7π 6 οπου μ = μετρο τοξου σε μοιρες και α = μετρο τοξου σε rad, προκυπτει : Τοξο σε μοιρες 30 ο 90 ο 135 ο 5 ο 100 ο 10 ο 60 ο 70 ο Τοξο σε ακτινια π 6 π 3π 4 5π 4 5π 9 7π 6 π 3 3π

Μ η κ ο ς Τ ο ξ ο υ 86 σ κ η σ ε ι ς 3. 4 1. Να συμπληρωσετε τον παρακατω πινακα Τοξο σε μοιρες Τοξο σε ακτινια π τον τυπο μ 180 = α π Τοξο σε μοιρες Τοξο σε ακτινια 60 ο 15 ο 10 ο 70 ο οπου μ = μετρο τοξου σε μοιρες και α = μετρο τοξου σε rad, προκυπτει : π 3 π 1 π 3 3π 180 ο π Το τεταρτοκυκλιο ειναι τοξο 90 ο, οποτε l = πρ 60 ο 15 ο 10 ο μ 360 π 3 π 1 π 3 70 ο 3π 180 ο π. Να υπολογισετε το μηκος ενος τεταρτοκυκλιου ακτινας ρ = 8cm. = π 8 90 360 = 4π cm 3. Σ εναν κυκλο που εχει μηκος 188,4 cm να βρειτε το μηκος τοξου 30 ο. Ειναι πρ = 188,4, οποτε l = πρ μ 360 = 188,4 30 360 = 15,7 cm

87 Μ η κ ο ς Τ ο ξ ο υ σ κ η σ ε ι ς 3. 4 4. Να βρειτε το μηκος του τοξου που αντιστοιχει στην πλευρα τετραγωνου εγγεγραμμενου σε κυκλο ακτινας ρ = 10 cm. φου το ζητουμενο τοξο αντιστοιχει στην πλευρα τετραγωνου εγγεγραμμενου στον κυκλο, ειναι τοξο 90 ο. Οποτε l = πρ l = πρ μ 360 μ 360 = π 10 90 360 = 5π cm 5. Ενα τοξο 45 ο εχει μηκος 15,7 cm. Να βρειτε την ακτινα του κυκλου. η 15,7 = 3,14 ρ 45 360 η ρ = 0 cm 6. ινονται δυο τοξα π ακτινιων. Να εξετασετε αν ειναι παντοτε ισα. Ειναι ισα μονο αν ανηκουν στον ιδιο κυκλο η σε ισους κυκλους. 7. ινονται τρεις ομοκεντροι κυκλοι ακτινων 1 cm, 1,5 cm και cm και μια επικεντρη γωνια 45 ο. Να βρειτε τα μηκη των τοξων που αντιστοιχουν στην γωνια αυτη. l = πρ l = πρ l ΖΕ = πρ μ 360 μ 360 μ 360 = π 1 45 360 = π 4 cm = π 1,5 45 360 = 3π 8 cm = π 45 360 = π cm 45 Ο Ο Ζ Ε

Ε μ β α δ ο ν Κ υ κ λ ι κ ο υ ι σ κ ο υ 88 Ε ρ ω τ η σ ε ι ς Κ α τ α ν ο η σ η ς 3. 5 1. Ενας κυκλος εχει εμβαδον αριθμητικα ισο με το μηκος του. Η ακτινα του ειναι ιση με : 4 : : 6 :5 Κυκλωστε την σωστη απαντηση. Σωστη απαντηση η, αφου Ε = L η πρ = πρ η ρ =. Ενας κυκλος εχει μηκος L = 4cm. Το εμβαδον του ειναι : 1 cm : 4 π cm : 9 cm : 16 cm Σωστη απαντηση η, αφου L = 4 η πρ = 4 η ρ = π η Ε = πρ = π π 3. ν τριπλασιασουμε την ακτινα ενος κυκλου (Ο, ρ), τοτε το εμβαδον του : διπλασιαζεται : τριπλασιαζεται : εξαπλασιαζεται : εννεαπλασιαζεται Κυκλωστε την σωστη απαντηση. Σωστη απαντηση η, αφου το εμβαδον κυκλου ακτινας ρ ειναι Ε = πρ και αν τριπλασιασουμε την ακτινα, τοτε Ε = π(3ρ) = 9πρ = 9Ε. 4. Να συμπληρωσετε τον πινακα : κτινα ρ κυκλου 5cm,5cm = 4 π Εμβαδον Ε κυκλου 8,6cm 94cm Συμφωνα με τον τυπο Ε = πρ ο πινακας γινεται: κτινα ρ κυκλου 5cm 3 cm,5cm 17,3 cm Εμβαδον Ε κυκλου 78,5cm 8,6cm 19,65cm 94cm

89 Ε μ β α δ ο ν Κ υ κ λ ι κ ο υ ι σ κ ο υ Ε ρ ω τ η σ ε ι ς Κ α τ α ν ο η σ η ς 3. 5 5. Να συμπληρωσετε τον πινακα : κτινα ρ Μηκος L Εμβαδον Ε 1 cm 6,8 cm 3,14 cm cm 1,56 cm 1,56 cm 3 cm 18,84 cm 8,6 cm 4 cm 5,1 cm 50,4 cm ρcm πρ cm πρ cm ρ cm 4πρ cm 4πρ cm Τι παρατηρειτε ; Συμφωνα με τους τυπους L = πρ και Ε = πρ ο πινακας γινεται : κτινα ρ Μηκος L Εμβαδον Ε 1 cm 6,8 cm 3,14 cm cm 1,56 cm 1,56 cm 3 cm 18,84 cm 8,6 cm 4 cm 5,1 cm 50,4 cm ρcm πρ cm πρ cm ρ cm 4πρ cm 4πρ cm Παρατηρουμε οτι οταν η ακτινα διπλασιαζεται τριπλασιαζεται τετραπλασιαζεται κλπ, τοτε διπλασιαζεται τριπλασιαζεται τετραπλασιαζεται κλπ το μηκος του κυκλου. οταν η ακτινα διπλασιαζεται τριπλασιαζεται τετραπλασιαζεται κλπ, τοτε το εμβαδον τετραπλασιαζεται εννεαπλασιαζεται δεκαεξαπλασιαζεται κλπ.

Ε μ β α δ ο ν Κ υ κ λ ι κ ο υ ι σ κ ο υ 90 σ κ η σ ε ι ς 3. 5 1. Ενας κυκλος (Ο, ρ) εχει διαμετρο 10cm. Να βρειτε την ακτινα του κυκλου που εχει επιφανεια τετραπλασια απο τον κυκλο (Ο, ρ). Το εμβαδον του κυκλου διαμετρου δ = 10 cm ειναι : Ε = π 5 = 5π ν ρ1 ειναι η ακτινα του κυκλου με τετραπλασιο εμβαδον, τοτε 100π = πρ η 1 ρ = 100 η ρ 1 1 = 10 cm.. Να βρειτε το εμβαδον του μπλε κυκλικου δακτυλιου, αν ρ = cm και R = 3 cm. Ε μπλε δακτυλιου = πr - πρ = π(3 - ) = π(9-4) = 5π cm 3. Στο διπλανο σχημα, να υπολογισετε το μηκος και το εμβαδον του κυκλου. Η γωνια ειναι εγγεγραμμενη σε ημικυκλιο, οποτε ειναι ορθη. π το Πυθαγορειο θεωρημα στο τριγωνο Ρ ειναι : = + = 6 + 8 = 100 Το μηκος του κυκλου ειναι : L = π 5 = 10π cm αρα = 10 cm και ρ = 5cm Το εμβαδον του κυκλου ειναι : Ε = π 5 = 5π cm Το εμβαδον του κυκλικου δισκου με ακτινα 10cm ειναι Ε = π 10 = 100π cm. Ο κυκλικος δισκος με διπλασιο εμβαδον (00π cm ) θα πρεπει να εχει ακτινα R τετοια, ωστε : πr = 00π η R = 00 R = 00= 14,14 cm Ο ζητουμενος λοιπον κυκλικος δισκος θα εχει ακτινα 14,14 cm. ρ Ο R A 6 cm 8 cm 4. Ενας κυκλος εχει ακτινα 10 cm. Να κατασκευασετε κυκλικο δισκο με διπλασιο εμβαδον. B Ο 100π cm 00π cm

91 Ε μ β α δ ο ν Κ υ κ λ ι κ ο υ ι σ κ ο υ σ κ η σ ε ι ς 3. 5 5. Ενα τετραγωνο εχει πλευρα 3cm. Να βρεθει κατα προσεγγιση η ακτινα ενος κυκλικου δισκου που ειναι ισοδυναμος ( δηλαδη εχει το ιδιο εμβαδον) με το τετραγωνο. Eιναι Ε τετραγωνου = Ε κυκλκου δισκου η 9 = πρ η ρ = 9 π η ρ = 3 π = 3 1,77 = 1,69 cm περιπου 6. Λυγιζουμε ενα συρμα μηκους 1,56 m ωστε να σχηματισθει κυκλος. Να βρειτε το εμβαδον του κυκλικου δισκου που αντιστοιχει στον συρματινο κυκλο. Aν ρ ειναι η ακτινα του κυκλου που φτιαξαμε, τοτε το μηκος του ειναι L = 1,56m η πρ = 1,56 η 3,14 ρ = 1,56 η 6,8ρ = 1,56 η ρ = 0, m Ετσι, το εμβαδον του ειναι : Ε = π 0, = 3,14 0,04 = 0,156 m = 156cm 7. Να υπολογισετε το εμβαδον κυκλικου δισκου που ειναι περιγεγραμμενος σε τετραγωνο πλευρας α = 6 cm. π το Πυθαγορειο θεωρημα στο τριγωνο ειναι : = + = 6 + 6 = 7 η = 7cm Η ακτινα του κυκλικου δισκου ειναι: ρ = Οποτε το εμβαδον του ειναι : Ε = 3,14 Ειναι 7 7 = 56,5 cm 8. Ενας κυκλικος δισκος εχει εμβαδον 144π cm. Να βρειτε το μηκος του τοξου του κυκλου που αντιστοιχει σε επικεντρη γωνια 60 ο. E = 144π η πρ = 144π η ρ = 144 η ρ = 1 cm Συμφωνα με τον τυπο : l = πρ μ, το μηκος l του ζητουμενου τοξου ειναι : 360 l = 3,14 1 60 360 = 1,56 cm

Ε μ β α δ ο ν Κ υ κ λ ι κ ο υ Τ ο μ ε α 9 Ε ρ ω τ η σ ε ι ς Κ α τ α ν ο η σ η ς 3. 6 1. Να συμπληρωσετε τον παρακατω πινακα κτινα Κυκλου ωνια Κυκλικου Τομεα Εμβαδον Κυκλικου Τομεα Συμφωνα με τον τυπο Ε = πρ μ 360 ο πινακας γινεται : κτινα Κυκλου ωνια Κυκλικου Τομεα Εμβαδον Κυκλικου Τομεα Ειναι ρ = cm ρ = cm μ = 60 ο π 3 cm ρ = 8cm Μ = 45 ο Ε = 8π cm ρ = 3cm μ = 10 ο Ε = 3π cm l = πρ μ 360 μ = 60 ο 10 η 6π = πρ 360 η ρ = 9cm Ε = π 9 10 360 η Ε = 7π cm Σ εναν κυκλο κεντρου Ο και ακτινα ρ = 9cm, ο κυκλικος τομεας γωνιας 10 ο εχει μηκος τοξου 6π cm και εμβαδον 7π cm. ω Σωστο ειναι το, αφου Ε = Μ = 45 ο Ε = 8π cm ρ = 3cm Ε = 3π cm. Σ εναν κυκλο κεντρου Ο και ακτινα ρ =... cm, ο κυκλικος τομεας γωνιας 10 ο εχει μηκος τοξου 6π cm και εμβαδον... cm. Να συμπληρωσετε τα κενα. 3. Η ακτινα ενος κυκλου ειναι 1 cm. Ενας κυκλικος τομεας γωνιας 60 ο εχει εμβαδον : 4π cm : 36π cm : 54π cm : 108π cm Κυκλωστε την σωστη απαντηση π 1 60 360 = 4π cm 4. ν το εμβαδον κυκλικου τομεα ειναι 1,56 cm και η γωνια του ειναι 90 ο, η ακτινα του κυκλου ειναι : cm : 4cm : 9cm : 7cm Κυκλωστε την σωστη απαντηση

93 Ε μ β α δ ο ν Κ υ κ λ ι κ ο υ Τ ο μ ε α Ε ρ ω τ η σ ε ι ς Κ α τ α ν ο η σ η ς 3. 6 Σωστο ειναι το, αφου Ε = π ρ μ 360 η 1,56 = 3,14 ρ 90 360 η ρ = 16 η ρ = 4 5. ν τριπλασιασουμε την ακτινα ενος κυκλου (Ο, ρ), τοτε το εμβαδον ενος κυκλικου τομεα του κυκλου : ιπλασιαζεται : Τριπλασιαζεται : Εξαπλασιαζεται : Εννεαπλασιαζεται Κυκλωστε την σωστη απαντηση Σωστο ειναι το, αφου Ε = π ρ μ 360 ν η ακτινα γινει 3ρ τοτε το εμβαδον Ε θα ειναι ισο με Ε = π(3ρ) μ 360 = 9 πρ μ 360 = 9Ε (θα εννεαπλασιαστει )

Ε μ β α δ ο ν Κ υ κ λ ι κ ο υ Τ ο μ ε α 94 σ κ η σ ε ι ς 3. 6 1. Να υπολογιστει η γωνια κυκλικου τομεα που εχει εμβαδον ισο με το 1 8 του εμβαδου του κυκλου. Ειναι Ε κυκλκου δισκου = 1 8 Ε κυκλου η πρ μ 360 = 1 8 πρ η μ = 45 ο. Ενας κυκλικος τομεας γωνιας 30 ο εχει εμβαδον 1m. Να υπολογισετε την ακτινα του κυκλου. Ε = Ε = π ρ μ 360 π ρ μ 360 η 1 = π ρ = 156 η 3,14 ρ 30 Ε = 360 156 36 360 η ρ = 3,8 η ρ = 1,95 cm 3. Το εμβαδον ενος κυκλικου δισκου ειναι 156cm. Να υπολογισετε το εμβαδον ενος κυκλικου τομεα γωνιας 36 ο.. = 15,6 cm 4. Το εμβαδον ενος κυκλικου τομεα γωνιας 45 ο ειναι 0,5π cm. Να βρειτε το εμβαδον του κυκλου στον οποιο ανηκει ο τομεας. π ρ = Ε π ρ μ κυκλου Ε 45 κυκλου κυκλ. τομεα κυκλου Ε = η 0,5π = η Ε = 8 0,5π = 16π cm 360 360 5. υο ομοκεντροι κυκλοι εχουν ακτινες ρ1 = 3cm και ρ = 4cm αντιστοιχα. Να υπολογισετε το εμβαδον του γραμμοσκιασμενου Ο μερους του σχηματος. Το ζητουμενο εμβαδον θα το βρουμε αν απο το εμβαδον του τομεα (Ο. ) αφαιρεσουμε το εμβαδον του τομεα (Ο. ). Οποτε Ε ζητουμενο = π 4 90 360 - π 3 90 360 = 7π 4 cm

95 Ε μ β α δ ο ν Κ υ κ λ ι κ ο υ Τ ο μ ε α σ κ η σ ε ι ς 3. 6 6. Ο υαλοκαθαριστηρας ενος αυτοκινητου εχει μηκος 55cm. Το σημειο περιστροφης απεχει απο το λαστιχο καθαρισμου 15 cm. ν ο υαλοκαθαριστηρας διαγραφει γωνια 10 ο, να υπολογισετε την επιφανεια που καθαριζει. Το ζητουμενο εμβαδον θα το βρουμε αν απο το εμβαδον του μεγαλου τομεα αφαιρεσουμε το εμβαδον του μικρου τομεα. Οποτε Ε ζητουμενο = π 70 10 360 - π 15 10 360 = 4675π 3 α) Το ζητουμενο εμβαδον θα το βρουμε αν απο το εμβαδον του τετραγωνου αφαιρεσουμε το εμβαδον των δυο κυκλικων τομεων ακτινας ρ = 4 και γωνιας μ = 90 ο. π 4 90 Ε = 8 360 = 64-8π = 64 8 3,14 = 38,88cm β) Το ζητουμενο εμβαδον θα το βρουμε αν απο το εμβαδον του τετραγωνου αφαιρεσουμε το εμβαδον του ημικυκλιου ακτινας ρ = 4 Ε = 8 - π 4 cm = 64-8π = 64 8 3,14 = 38,88cm 10 Ο 15 55 7. Να υπολογισετε τα εμβαδα των γραμμοσκιασμενων καμπυλογραμμων επιφανειων στα παρακατω τετραγωνα. α) = = 8 cm β) = 8 cm γ) = 8 cm δ) = 8 cm ε) AB = 8 cm

Ε μ β α δ ο ν Κ υ κ λ ι κ ο υ Τ ο μ ε α 96 σ κ η σ ε ι ς 3. 6 γ) π 8 90 Ε = 360 = 16π = 16 3,14 = 50,4cm δ) Το ζητουμενο εμβαδον θα το βρουμε αν απο το εμβαδον του τετραγωνου αφαιρεσουμε το εμβαδον των τεσσαρων κυκλικων τομεων ακτινας ρ = 4 και γωνιας μ = 90 ο. π 4 90 Ε = 8 4 360 = 64-16π = 64 16 3,14 = 13,76 cm ε) Το ζητουμενο εμβαδον ειναι το διπλασιο του εμβαδου που θα βρουμε αν απο το εμβαδο του τομεα () αφαιρεσουμε το εμβαδον του τριγωνου. π 8 90 Ε = ( 360-8 8 ) = (3,14 16-3) = 36,48 cm 8. Να βρειτε το εμβαδον της γραμμοσκιασμενης επιφανειας στο σχημα αν οι αριθμοι εκφραζουν τα μηκη των αντιστοιχων τμηματων σε cm. Το τριγωνο ειναι ισοπλευρο οποτε καθε μια απο τις γωνιες του ειναι 60 ο. Το τριγωνο Ε ειναι ισοσκελες και = 60 ο, αρα και οι υπολοιπες γωνιες του θα ειναι 60 ο η καθε μια, οποτε ειναι ισοπλευρο. Τοτε Ε = 3 και ομοια Ζ = 3. πο το Πυθαγορειο θεωρημα στο τριγωνο Κ : Κ = - Κ = 3-1,5 = 6,75 οποτε Κ =,6. Το τετραπλευρο ΕΖ ειναι παραλληλογραμμο (εχει τις πλευρες του ισες) με εμβαδον : (ΕΖ) = Ε Κ = 3,6 = 7,8cm Το εμβαδον του κυκλικου τομεα με ακτινα ρ = 3 και γωνια 300 ο (η μη κυρτη γωνια Ε Ζ) ειναι : Ε = Το ζητουμενο εμβαδον ειναι : π 3 300 360 Εζητουμενο = (ΕΖ) + Ε = 7,8 + 3,55 = 31,35 cm = 3,55 cm 3 3 Ε Ζ 3 3 3 3 3 3 Ε Ζ 3 Κ 3 3 3

97 Ε υ θ ε ι ε ς κ α ι Ε π ι π ε δ α σ τ ο Χ ω ρ ο Ε ρ ω τ η σ ε ι ς Κ α τ α ν ο η σ η ς 4. 1 1. Μια ευθεια ειναι παραλληλη σε ενα επιπεδο οταν δεν περιεχεται στο επιπεδο αυτο και ειναι παραλληλη σε μια ευθεια του επιπεδου.. Μια ευθεια ειναι καθετη σ ενα επιπεδο αν ειναι καθετη σε μια ευθεια του επιπεδου. 3. Μια ευθεια ανηκει σε ενα επιπεδο αν δυο σημεια της ειναι και σημεια του επιπεδου. 4. ποσταση δυο παραλληλων επιπεδων ονομαζουμε το μηκος του ευθυγραμμου τμηματος που εχει τα ακρα του στα δυο επιπεδα. 5. Καθε ευθεια καθετη σε ενα επιπεδο τεμνει το επιπεδο αυτο. 6. υο ευθειες καθετες στο ιδιο επιπεδο ειναι μεταξυ τους παραλληλες. 7. ν μια ευθεια ειναι καθετη σ ενα επιπεδο ρ, τοτε ειναι καθετη σε καθε αλλο επιπεδο που ειναι παραλληλο στο ρ. 8. πο τρια διαφορετικα σημεια που δεν βρισκονται στην ιδια ευθεια διερχονται : : υο επιπεδα : Μονο ενα επιπεδο : πειρα επιπεδα Κυκλωστε την σωστη απαντηση 9. Ποσα επιπεδα διερχονται απο μια ευθεια : Ενα : υο : Τρια : πειρα Κυκλωστε την σωστη απαντηση 1. (Σ). (Λ) 3. (Σ) 4. (Λ) 5. (Σ) 6. (Σ) 7. (Σ) 8. Σωστη απαντηση ειναι η 9. Σωστη απαντηση ειναι η

Ε υ θ ε ι ε ς κ α ι Ε π ι π ε δ α σ τ ο Χ ω ρ ο 98 σ κ η σ ε ι ς 4. 1 1. Στο διπλανο παραλληλεπιπεδο να βρειτε ευθειες που ειναι α) καθετες στην Ε β) παραλληλες στην γ) ασυμβατες με την α), ΕΘ,, ΕΖ β), ΘΗ, ΕΖ γ) Ε, Ζ, ΖΗ, ΕΘ. Στο παρακατω σχημα να βρειτε επιπεδα τα οποια : α) ειναι παραλληλα με το επιπεδο ρ. β) τεμνουν το επιπεδο ρ. Σε καθε περιπτωση να βρειτε την κοινη τους ευθεια. α) Παραλληλο στο p ειναι το επιπεδο το οποιο οριζεται απο τις ευθειες και Ζ. (πισω τοιχος του σπιτιου) β) i) Το ΕΗΖ με τομη την ΕΗ ii) Το επιπεδο που οριζεται απ τις ευθειες ΘΗ και ΗΖ (το δαπεδο του σπιτιου) με τομη την ΘΗ. iii) Το επιπεδο που οριζεται απ τις ευθειες AE και E (το ταβανι του σπιτιου) με τομη την Ε. 3. Το διπλανο σχημα παριστανει ενα ορθογωνιο παραλληλεπιπεδο. α) Να σχεδιασετε το επιπεδο που οριζουν τα σημεια,, Ζ. β) Να σχεδιασετε την ευθεια που διερχεται απο το Κ και ειναι καθετη στην κατω εδρα του ορθογωνιου παραλληλεπιπεδου Ε Θ Ε Θ Θ Ζ p Η Ε Η K Ζ Ζ Η

99 Ε υ θ ε ι ε ς κ α ι Ε π ι π ε δ α σ τ ο Χ ω ρ ο σ κ η σ ε ι ς 4. 1 α) Ειναι το ΗΖ (πρασινο) β) Ειναι η ΚΡ που ειναι παραλληλη στην Η. 4. Οι αποστασεις των σημειων και απο το επιπεδο Ρ ειναι = 0 και = 14. ν = 8 να υπολογισετε το. Φερνουμε απο το την Τοτε το ειναι ορθογωνιο με = = 14, = = 8 = - = 0-14 = 6 π το Πυθαγορειο στο τριγωνο : = + = 6 + 8 = 36 + 64 = 100 Οποτε = 10 5. Στο διπλανο ορθογωνιο παραλληλεπιπεδο να υπολογισετε το Η. Η ευθεια Ε ειναι καθετη στο επιπεδο ΕΘΗΖ (αφου ειναι καθετη στις ΕΘ και ΕΖ), οποτε θα ειναι καθετη και στην ΕΗ. π το Πυθαγορειο θεωρημα στο τριγωνο ΕΗ : Η = Ε + ΕΗ π το Πυθαγορειο θεωρημα στο τριγωνο ΕΖΗ : ΕΗ = ΕΖ + ΖΗ Ετσι Ε K Θ Η Ζ p p Θ Ε 1 cm Ζ Θ Ε 1 cm 4 cm Η 3 cm 4 cm Η 3 cm Ζ Η = Ε + ΕΖ + ΖΗ = = 4 + 1 + 3 = = 16 + 144 + 9 = 169 ρα Η = 13 cm

Ε υ θ ε ι ε ς κ α ι Ε π ι π ε δ α σ τ ο Χ ω ρ ο 100 σ κ η σ ε ι ς 4. 1 6. Ο διπλανος κυβος εχει ακμη 1 cm. α) Να εξηγησετε γιατι η Η και η ΛΚ ειναι καθετες στην εδρα του κυβου. β) Να υπολογισετε την αποσταση της κορυφης απο το γραμμοσκιασμενο επιπεδο. α) Η Η ειναι καθετη στις και (οι εδρες του κυβου ειναι τετραγωνα), οποτε θα ειναι καθετη στο επιπεδο που αυτες οριζουν, δηλαδη στην εδρα. κομη τα ΚΗΛ και ΚΖΛ ειναι ορθογωνια, αρα η ΚΛ ειναι καθετη στις Κ και Κ, οποτε και στο επιπεδο που αυτες οριζουν, δηλαδη στην εδρα. β) Η αποσταση της κορυφης απο το γραμμοσκιασμενο επιπεδο ειναι το τμημα Κ, που ειναι το μισο της διαγωνιου της εδρας. Ομως = + = 1 + 1 = 144 + 144 = 88 ρα = 88 = 16, 9, οποτε Κ = 8,5 cm 7. Η κεραια Κ του σχηματος υψους 1m ειναι τοποθετημενη καθετα στο επιπεδο του εδαφους. Συγκρατειται με τρια συρματοσχοινα που στερεωνονται στην κορυφη της και στα σημεια,, που απεχουν 5cm απο το Κ. Να υπολογισετε το συνολικο μηκος των συρματοσχοινων που συγκρατουν την κεραια π το Πυθαγορειο θεωρημα στο τριγωνο Κ : = Κ + Κ = 1 + 5 = 169 ρα = 13 π το Πυθαγορειο θεωρημα στο τριγωνο Κ : = Κ + Κ = 1 + 5 = 169 ρα = 13 π το Πυθαγορειο θεωρημα στο τριγωνο Κ : = Κ + Κ = 1 + 5 = 169 ρα = 13 Οποτε το συνολικο μηκος των συρματοσχοινων ειναι : 3 13 = 39 m p Ε Θ Κ Κ Λ Ζ Η

101 Σ τ ο ι χ ε ι α Ε μ β α δ ο ν Π ρ ι σ μ α τ ο ς Κ υ λ ι ν δ ρ ο υ Ε ρ ω τ η σ ε ι ς Κ α τ α ν ο η σ η ς 4. Να κυκλωσετε την σωστη απαντηση σε καθε μια απο τις παρακατω προτασεις : 1. Ενα πρισμα με βαση πενταγωνο εχει : α) : 5 εδρες : 6 εδρες : 7 εδρες β) : 8 κορυφες : 10 κορυφες : 1 κορυφες γ) : 10 ακμες : 15 ακμες : 1 ακμες. ινεται πρισμα με βαση τετραγωνο πλευρας 10cm και υψους 8cm. α) Το εμβαδον της παραπλευρης επιφανειας του ειναι : : 400cm : 30cm : 800cm β) Το εμβαδον της ολικης επιφανειας του ειναι : : 600 cm : 50 cm : 800 cm 3. Ενας κυλινδρος εχει διαμετρο βασης 10cm και υψος 8cm. α) Το εμβαδον της παραπλευρης επιφανειας του ειναι : : 40π cm : 60π cm : 80π cm β) Το εμβαδον της ολικης επιφανειας του ειναι : : 100π cm : 110π cm : 130π cm 1. α) Σωστο ειναι το αφου, 5 οι παραπλευρες εδρες και οι αλλες, συνολο 7. β) Σωστο ειναι το αφου, 5 κορυφες στην κατω εδρα και 5 στην πανω, συνολο 10. γ) Σωστο ειναι το αφου, 5 στην κατω εδρα, 5 στην πανω και 5 οι παραπλευρες, συνολο 15.. α) Σωστο ειναι το αφου, Επ = περιμετρος βασης υψος = 40 8 = 30 cm. β) Σωστο ειναι το αφου, Εολ = Επ + Εβ = 30 + 10 = 30 + 00 = 50 cm. 3. α) Σωστο ειναι το αφου, Ε π = πρυ = π 5 8 = 80π cm. β) Σωστο ειναι το αφου, Εολ = Επ + Εβ = Επ + πρ = 80π + π5 = 130π cm.

Σ τ ο ι χ ε ι α Ε μ β α δ ο ν Π ρ ι σ μ α τ ο ς Κ υ λ ι ν δ ρ ο υ 10 σ κ η σ ε ι ς 4. 1. Να συμπληρωσετε τον παρακατω πινακα οπου φαινεται η περιμετρος της βασης, το υψος και το εμβαδον της παραπλευρης επιφανειας πρισματος. Περιμετρος βασης 8 7 5 Υψος υ 5 6 10 Εμβαδον Ε π 70 4 14 5 Περιμετρος βασης 8 7 4 5 0,5 Υψος υ 5 10 6,8 10 Εμβαδον Ε π 40 70 4 14 5. Να βρειτε το εμβαδον της παραπλευρης επιφανειας τριγωνικου πρισματος, του οποιου η βαση ειναι τριγωνο με πλευρες α = 3dm, β = 5dm και γ = 6dm και το υψος 0,8 cm. Ε π = περιμετρος βασης υψος = (3 + 5 + 6 )dm 0,8 cm = 14 dm 0,8 cm = 140cm 0,8 cm = = 11 cm 3. Εστω α, β, γ τα μηκη των πλευρων της βασης ενος τριγωνικου πρισματος, υ το υψος του και Επ το εμβαδον της παραπλευρης επιφανειας. Να συμπληρωσετε τον πινακα α 3 3 5 β 3 5 5 γ 4 13 5 υ 5 4 4 8 5 Επ 45 40 80 80 45 Εμβαδον Ε π = Περιμετρος βασης Υψος α 3 3 β 3 5 5 γ 4 5 υ 5 4 8 5 Επ 40 80 80 45 Εμβαδον Ε π = Περιμετρος βασης Υψος γ α β Ε υ 4. Θελουμε να βαψουμε τους τοιχους ενος δωματιου που εχει σχημα ορθογωνιου παραλληλεπιπεδου με διαστασεις : πλατος 4m, μηκος 5m και υψος 3m. Ποσα κιλα χρωμα πρεπει να αγορασουμε, αν ειναι γνωστο οτι 1 κιλο χρωματος καλυπτει επιφανεια περιπου 9m ; Επ = περιμετρος βασης υψος = ( 5 + 4 ) 3 = 54m Πρεπει να αγορασουμε 54 : 9 = 6 κιλα χρωματος.

103 Σ τ ο ι χ ε ι α Ε μ β α δ ο ν Π ρ ι σ μ α τ ο ς Κ υ λ ι ν δ ρ ο υ σ κ η σ ε ι ς 4. 5. Να υπολογισετε το ολικο εμβαδον πρισματος με υψος υ = 0cm και βασεις ισοπλευρα τριγωνα πλευρας 4 cm. Εστω μια απο τις τριγωνικες βασεις του πρισματος. Στο ισοπλευρο τριγωνο το υψος ειναι και διαμεσος. π το Πυθαγορειο θεωρημα στο ορθογωνιο τριγωνο : = = 4 = 16 4 = 1 ρα = 1= 3,46 cm Το εμβαδον της βασης ειναι Εβ = = 4 3,46 = 6,9cm Το εμβαδον της παραπλευρης επιφανειας ειναι Επ = περιμετρος βασης υψος = 1 0 = 40 cm Oποτε το ολικο εμβαδον ειναι : Εολ = Επ + Εβ = 40 + 6,9 = 53,84 cm 6. Η σκηνη ενος καμπινγκ ειναι κατασκευασμενη απο υφασμα (μαζι με το δαπεδο της ) και εχει διαστασεις που φαινονται στο παρακατω σχημα. Ποσα τετραγωνικα μετρα υφασμα χρειαστηκαν για την κατασκευη της ; Επ = περιμετρος βασης υψος = (1,7 + 1,7 + 0,5 + 0,5 + 1,6) = 6 = 1 m Η βαση (προσοψη πισω) αποτελειται απο ενα ορθογωνιο διαστασεων 1,6 m και 0,5 m και ενα τριγωνο βασης 1,6 m και υψους - 0,5 = 1,5 m. Ετσι 1,6 1,5 Εβ = 1,6 0,5 + = 0,8 + 1, = m. Oποτε το ολικο εμβαδον ειναι : Εολ = Επ + Εβ = 1 + = 1 + 4 = 16 m. ηλαδη χρειαστηκαν 16 m υφασμα για να κατασκευαστει η σκηνη. 7. Να βρεθει το εμβαδον της παραπλευρης επιφανειας και το ολικο εμβαδον ενος κυλινδρου οταν: α) εχει ακτινα βασης 3 cm και υψος 5cm β) εχει διαμετρο βασης 4 cm και υψος 6 cm γ) εχει περιμετρο βασης 15,7 cm και υψος 3 cm δ) εχει εμβαδον βασης 50,4 cm και υψος dm 1,6 M 0,5 M α) Επ = πρυ = 3,14 3 5 = 94, cm

Σ τ ο ι χ ε ι α Ε μ β α δ ο ν Π ρ ι σ μ α τ ο ς Κ υ λ ι ν δ ρ ο υ 104 σ κ η σ ε ι ς 4. Εολ = Επ + Εβ = 94, + π 3 = 94, + 18 3,14 = 150,7 cm β) Επ = πρυ = 3,14 6 = 75,36 cm Εολ = Επ + Εβ = 75,36 + π = 75,36 + 8 3,14 = 100,48 cm γ) ν ρ ειναι η ακτινα της βασης, επειδη η περιμετρος της βασης ειναι 15,7 cm, σημαινει οτι 15,7 = πρ η 15,7 = 6,8 ρ αρα ρ =,5 Επ = πρυ = 3,14,5 3 = 50,4 cm Εολ = Επ + Εβ = 50,4 + π,5 = 50,4 + 3,14 6,5 = 50,4 + 39,5 = 541,65 cm δ) ν ρ ειναι η ακτινα της βασης, επειδη το εμβαδον της βασης ειναι 50,4 cm, σημαινει οτι 50,4 = πρ η 50,4 = 3,14 ρ η ρ = 16 η ρ = 4 cm κομη υ = dm = 0 cm. Επ = πρυ = 3,14 4 0 = 50,4 cm Εολ = Επ + Εβ = 50,4 + π 4 = 50,4 + 3,14 16 = 50,4 + 100,48 = 60,88 cm 8. Να συμπληρωσετε τον παρακατω πινακα που συνδεει την ακτινα της βασης και το υψος ενος κυλινδρου με το εμβαδον της παραπλευρης και το ολικο εμβαδον του κτινα βασης σε cm 3 1 Υψος κυλινδρου σε cm 5 1 Εμβαδον Επ σε cm 50,4 6,8 15,6 Ολικο εμβαδον σε cm 753,6 6,8 κτινα βασης σε cm 3 10 10 1 Υψος κυλινδρου σε cm 5 4 1 9 Εμβαδον Επ σε cm 94, 50,4 6,8 15,6 56,5 Ολικο εμβαδον σε cm 150,7 75,36 690,8 753,6 6,8 Ε π = πρυ 9. Το κυλινδρικο κουτι μιας κονσερβας εχει υψος 1cm και ακτινα βασης 3cm. Το υλικο των βασεων κοστιζει 0,5 ανα τετραγωνικο μετρο, ενω το υλικο της παραπλευρης επιφανειας κοστιζει 0,3 το τετραγωνικο μετρο. Ποσο θα κοστιζει το υλικο οταν προκειται να κατασκευασουμε 1000 κουτια ; Εολ = πρυ + πρ Η παραπλευρη επιφανεια του ενος κουτιου ειναι Επ = πρυ = 3,14 3 1 = 6,08 cm Το εμβαδον της βασης του Εβ = πρ = 3,14 3 = 3,14 9 = 8,6 cm.. ηλαδη οι δυο βασεις εχουν εμβαδον 8,6 = 56,5 cm.