Διδασκαλία στο 2ο Πειραματικό Λύκειο (Αμπελοκήπων) Τάξη: Β' Λυκείου Μάθημα: Άλγεβρα Μαθηματικό Περιεχόμενο: Εκθετικές Λογαριθμικές Συναρτήσεις Χρονική Διάρκεια: Μία διδακτική ώρα Διδάσκων Φοιτητής: Βαγιάκης Γιώργος
Βασικό πλάνο για τη διδασκαλία 1) Συζήτηση κατά τη γέννηση των ιδεών και διάλογος για την προσέγγιση του προβλήματος 2) Υποδειγματική λύση στον πίνακα από μαθητή (διαφορετικής ομάδας κάθε φορά) 3) Βέλτιστη διαχείρηση του κοινού της τάξης (χωρισμός μαθητών σε ομάδες εργασίας)
Πλαίσιο δραστηριότητας - Ενέργειες : Οι μαθητές Χωρισμός 27 μαθητών σε 7 ομάδές των 3-4 μαθητών, με σκοπό: αποφυγή αναστάτωσης της τάξης / συχοχή ομάδας / διάλογος / καλύτερη εποπτεία των στρατηγικών των μαθητών Ο διδάσκων Καθορισμός δύο ρόλων: Μέλος ομάδας καθοδηγητής (Α' φάση): δυνατότητα άμεσης αντίληψης του τρόπου προσέγγισης των ζητημάτων Συντονιστής (Β' φάση) - ανατροφοδότηση: καταγραφή & τεκμηρίωση των αποτελεσμάτων στον πίνακα
Διαδικαστικό κομμάτι.. Προσφώνηση του διδάσκοντα φοιτητή από τον καθηγητή της τάξης Μοίρασμα των φύλλων εργασίας: τόσα όσα και ο αριθμός των μελών της ομάδας (3 ή 4) και παράδοση στο τέλος ενός ως επίσημο Ενημέρωση των μαθητών για τον τρόπο εργασίας: όλα τα μέλη κάθε ομάδας συζητούν και αποφασίζουν μαζί τη στρατηγική τους και εκθέτουν τα αποτελέσματα στο φύλλο εργασίας. Όλες οι ομάδες επιλύουν τα ερωτήματα με τη δοσμένη σειρά και όταν τελειώσουν, αναμένουν τη λύση είτε από το διδάσκοντα φοιτητή, είτε από κάποιο μαθητή. Αναλυτική λύση και αιτιολόγηση στον πίνακα.
Περιγραφή δραστηριότητας Η δραστηριότητα περιλαμβάνει πρόβλημα από τον φυσικό-καθημερινό κόσμο και αποσκοπεί στη μαθηματικοποίησή του. Η μοντελοποίηση αυτή απαιτεί τόσο γνώσεις λογικής όσο και μαθηματικών αντικειμένων με κύριο πυρήνα τις εκθετικές και λογαριθμικές συναρτήσεις. Μέσω των ιδιοτήτων και τη μελέτη των συναρτήσεων επιδιώκεται η προσέγγιση του προβλήματος όπως παρουσίαζεται σε κάθε ένα από τα ερωτήματα.
Φύλλο εργασίας 1) Ένας ερευνητής, μελετώντας την αύξηση του πληθυσμού σε μια ραγδαία αναπτυσσόμενη περιοχή, παρατηρεί ότι: σε 2 χρόνια μετά την έναρξη της παρατήρησης οι κάτοικοι ήταν 400 σε 4 χρόνια μετά την έναρξη της παρατήρησης οι κάτοικοι ανέρχονταν σε 3200, ενώ ο τύπος που δίνει τον αριθμό των κατοίκων είναι q t = A 2 βt t 0 με σταθερές. ο χρόνος σε χρόνια με Α, β θετικές i) Βρείτε τις σταθερές Α και β. ii) Βρείτε σε πόσους μήνες [q ο αρχικός t ] 2 5 A 2πληθυσμός 2t 3 500 0 θα
2. Δίνεται η συνάρτηση: i) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της. ii) Να βρείτε τα κοινά σημεία της γραφικής παράστασης της f με την ευθεία y=1. iii) Να βρείτε τα διαστήματα του x στα οποία η γραφική παράσταση της f βρίσκεται πάνω από τον άξονα x'x.
Επί τω έργω... Καθόλη τη διάρκεια των δύο φάσεων παρατηρήθηκε μια σειρά από περιστατικά που χρήζουν ανάλυσης, είτε ως προς τη διδακτική διαδικασία, είτε ως προς το μαθηματικό τους περιεχόμενο. Τα επεισόδια αυτά μπορούν να παρατηρηθούν και να αποτιμηθούν ως κρίσιμα συμβάντα.
(1ο) Ύστερα από περιπλάνησή μου ανάμεσα στις ομάδες σχετικά με την εργασία τους στο 2ο ερώτημα, Βρείτε σε πόσους μήνες ο αρχικός πληθυσμός θα διπλασιαστεί, παρατήρησα μια λανθασμένη ερμηνεία στην έννοια του αρχικού πληθυσμού. Κάποιοι μαθητές είχαν τον εξής συλλογισμό: αφού ο αρχικός πληθυσμός ήταν 400 (δείχνοντας εδώ το 1ο μπούλετ της εκφώνησης), άρα για να διπλασιαστεί θα πρέπει να γίνει 800...
Νόμιζαν πως είχαν ερμηνεύσει σωστά τα δεδομένα, πως το 400 είναι ο αρχικός πληθυσμός, αλλά τη στιγμή που διαπίστωσα τη λανθασμένη ερμηνεία, τόνισα ξανά να προσέξουν. -Δ: Παιδιά για προσέξτε ποιά θα είναι η αρχική τιμή. Πώς θα βρούμε το αρχικό πλήθος; Είδα ότι βρήκατε διαφορετικά αποτελέσματα..
Προς αποσαφήνιση του θέματος, κάλεσα στον πίνακα μια μαθήτρια να μας εξηγήσει γιατί δεν είναι σωστός ο παραπάνω συλλογισμός. Το σχετικό μέρος από την απομαγνητοφώνηση είναι το ακόλουθο: -Μ: Για t=0: -Διδάσκων: Συμφωνούμε όλοι; -Μ: Ναι.. -Διδάσκων: Για εξήγησε μας.. -Μ: (γράφει) Για t=0, 50*23/2*0=50*1=50 κάτοικοι. Άρα, 100=50*23/2t => 23/2t=2 => t=2/3=8/12=8 μήνες.
Εδώ είναι ένα κρίσιμο σημείο που πρέπει να γίνει αντιληπτό από όλους όσους μπλέχτηκαν στην παραπάνω συλλογιστική ιδέα. Είναι σημαντικό γιατί διαφαίνεται τί συμβολίζει τελικά το q(0). Τον αρχικό πληθυσμό. Και όχι το 400 που είναι μια τιμή. Όταν διαπίστωσα πως οι μαθητές συνειδητοποιούν ότι μετέφρασαν λάθος τα δεδομένα, η μαθήτρια συνέχισε τους υπολογισμούς.
(2ο) Κατά τη διάρκεια επίλυσης της ανίσωσης [q t ] 2 5 A 2 2t 3 500 0, μάς δόθηκε η ευκαιρία να σχολιάσουμε μια λετπτομέρεια σχετικά με μια μαθηματική τεχνική. Ο λόγος για ένα μεθοδολογικό εργαλείο το οποίο υπαγορεύει να θέσουμε μια μεταβλητή ίση με μια ποσότητα, ώστε να απλουστευθεί η μαθηματική σχέση και να μπορέσουμε να τη χειριστούμε κατάλληλα. Για πολλούς μαθητές ίσως αποτελεί αυτοματοποιημένη διαδικασία, αλλά θα μπορούσε να είναι αποτέλεσμα αποστήθισης;
Πιο συγκεκριμένα και έχοντας φθάσει στο σημείο : 2500 2 3t 200 2 2t 500 0 5 2 t 3 4 2 t 2 1 0 δίνω έμφαση στο τί ακριβώς θέτουμε και επισημαίνω πως αυτό είναι κάτι θετικό. Θέτω 0<2 t =ω, άρα έχω: 5ω 3-4ω 2-1>=0." Έτσι, για την ερώτηση "γιατί θέτω το 2 t να είναι θετικό;", είχα τoν παρακάτω διάλογο με μαθητή: 5 2 3t 4 2 2t 1 0 (... έχοντας φθάσει στο σημείο ) -Δ: Το κόλπο εδώ ποιό είναι; -Μ: Να..να θέσουμε το 2 t = y -Δ: Ωραία. Το οποίο πρέπει να είναι όμως...; -Μ: Θετικό. -Δ: Γιατί; 2 t,
(Π.Σ: Ο μαθητής φαίνεται φανερά ξαφνιασμένος από την ερώτηση, θεωρώντας ιδιαίτερα προφανή την απάντηση. Σκέφτεται λίγο...) -Δ: Πρέπει να 'ναι αλλά γιατί; -Μ: Εφόσον... εεε...εφόσον η βάση μιας εκθετικής συνάρτησης βρίσκεται στο σύνολο ( 0,+οο), άρα ένας θετικός.....εε..μια θετική βάση υψωμένη σε έναν εκθέτη στο R δεν μπορεί να δώσει αρνητικό. -Δ: Πολύ σωστά.
Έτσι αποκαλύφθηκε ένα μυστικό σημείο, που άτυπα προσπερνάμε χάριν ταχύτερης επεξεργασίας των υπολογισμών. Παρατηρούμε όμως, πως πολλές φορές κάτι που κάνουμε μηχανικά όσον αφορά ένα μαθηματικό πρόβλημα, χρειάζεται να είμαστε και σε θέση να το εξηγήσουμε, ιδιαιτέρως επειδή αποτελεί μαθηματική σκέψη.
Αποτιμώντας τη διδασκαλία.. Σε γενικές γραμμές: Κατάλληλες συνθήκες για ομαδικό πνεύμα Ανάλυση σκέψης κάθε μαθητή Ζήλος μαθητών για παρουσίαση αποτελεσμάτων (μη επαρκής χρόνος για όλους) Συνεργασία και σε επίπεδο τάξης για πλήρη κατανόηση και αιτιολόγηση των πεπραγμένων Μη ολοκλήρωση της 2ης δραστηριότητας λόγω χρόνου (Στόχος: η ομαλή και υποδειγματική επεξεργασία του φύλλου εργασίας και όχι βιαστική αποτύπωση αποτελεσμάτων)