5 η ΕΚΑ Α ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 41.

ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 5 η ΕΚΑ Α 4. Έστω Ω { ω, ω, ω, ω 4 } ο δειγµατικός χώρος εός πειράµατος τύχης και τα εδεχόµεα Α {ω, ω }, Β {ω, ω 4 } + Α είαι P(A B) και Ρ( Β Α ), όπου θετικός ακέραιος τότε + 4 Να αποδείξετε ότι Ρ(Α Β) Ρ(Α) και Ρ(Β Α) Ρ(Β) Nα αποδείξετε ότι 4 i Να υπολογίσετε τις πιθαότητες τω εδεχοµέω Α και Β i) Να υπολογίσετε τη πιθαότητα του εδεχόµεου Α Β Προτειόµεη λύση Έχουµε ότι P(A B) Ρ(Α) Ρ(Α Β) () Όµως Α Β Ø Ρ(Α Β) 0 () P(A B) Ρ(Α) Και οµοίως Ρ(Β Α) Ρ(Β) Ρ(Α Β) Ρ(Β) 0 Ρ(Β). Ρ(Α) + Ρ(Β) Ρ(ω ) + Ρ(ω ) + Ρ(ω ) + Ρ(ω 4 ) Ρ(Ω) + P(A B) + Ρ(Β Α) + + 4 i 4+ Ρ(Α) P(A B) 5 4+ 4 8 4 Ρ(Β) Ρ(Β Α) 4 8 i ) Ρ( Α Β ) Ρ(Α ) + Ρ(Β ) Ρ(Α Β ) Ρ(Α ) + Ρ(Β ) [Ρ(Α ) Ρ(Α Β)] Ρ(Α ) + Ρ(Β ) Ρ(Α ) + Ρ(Α Β) Ρ(Β ) + Ρ(Β) Ρ(Α Β) + 0 ( i ) ( + ) + ( )( + 4) ( + 4) 4 0 4 (η απορρίπτεται αφού > 0)

4. Οι µηιαίες αποδοχές 00 υπαλλήλω µιας εταιρίας δίοται στο πίακα Μη.αποδοχές σε εκατοτάδες Συχότητα i Σχτ. συχότητα f i % Αθρ. Σχετ. συχ. F i % κ 8 0 9 40 0 Σύολο 00 Α η µέση τιµή τω αποδοχώ είαι 900 Να βρείτε το κ Να βρείτε τη διασπορά της καταοµής i Να βρείτε πόσοι υπάλληλοι έχου µισθό πάω από 800 i) Α από τους παραπάω υπαλλήλους οι 0 είαι γυαίκες µε µέσο µισθό 800, α βρείτε τη µέση τιµή του µισθού τω αδρώ ) Α από τους παραπάω υπαλλήλους επιλέξουµε έα στη τύχη, α βρείτε τη πιθαότητα α έχει αποδοχές 00 ή 000 Προτειόµεη λύση f 40 0, 0% 00 F F + f 0 + 0 50% Όµως F 4 00 F + f 4 00 50 + f 4 00 f 4 50% Εποµέως 4 00. κ + +40 + 00 00 0 κ () Ακόµα κ+ 8 (0 κ ) + 9 40+ 0 00 00 () 0 0 40 9 840 κ 00 S 0 ( 9) + 40 (8 9) + 40 (9 9) + 00 (0 9) 00 i 40 + 00 40 i) Α α, α,, α 40 είαι οι µισθοί τω αδρώ και γ, γ,, γ 0 οι µισθοί τω γυαικώ, α +α +... +α 40 +γ +γ +... +γ0 τότε 00 8 5 κ 0

α +α +... +α 40 +γ +γ +... +γ0 9 00 () και γ +γ +... +γ0 γ 0 γ +γ +... +γ0 8 0 γ + γ + + γ 0 480 () α +α +... +α 40 + 480 9 00 α + α + + α 40 0, οπότε α +α +... +α α 40 0 40 9,4 Άρα ο µέσος µισθός τω αδρώ είαι 94 ευρώ ) Η ζητούµεη πιθαότητα είαι 0 00 + 00 00 0 0, 0% 00 40

4 4. A. Έστω εδεχόµεα του ίδιου δειγµατικού χώρου Ω µε Ρ( Α ) και Ρ(Β). είξτε ότι Ρ( Α Β) Να βρείτε τη µέγιστη τιµή της πιθαότητας Ρ(Α Β ) i Α είαι Ρ [( Α Β )], α βρείτε τη πιθαότητα του εδεχόµεου Γ Έα ακριβώς από τα Α, Β πραγµατοποιείται Β. Α οι τιµές Ρ(Α), Ρ(Β), Ρ(Γ), Ρ(Α Β), Ρ( Α Β), Ρ(Ω), Ρ(Ø) τω εδεχοµέω του παραπάω δειγµατικού χώρου Ω είαι οι τιµές µιας µεταβλητής X, α βρείτε Τη µέση τιµή αυτώ Τη διάµεσο και το εύρος τω τιµώ της Χ Προτειόµεη λύση Α. Για τη αίσωση Ρ( Α Β) Ρ( Α Β) Ρ(Α) ισχύει αφού ( Α Β) Α Για τη αίσωση ( ) Ρ Α Β Ρ(Α) + Ρ(Β) Ρ( Α Β) + Ρ( Α Β) Ρ(Α Β ) Ρ(Α) Ρ(Α Β) Ρ(Α Β) Ρ( Α Β) + Ρ( Α Β) η οποία είαι προφαής Είαι φαερό ότι Ρ(Α Β ) ma ότα Ρ(Α Β) min, δηλαδή Ρ(Α Β ) ma ότα Ρ(Α Β) Τότε Ρ (Α Β ) ma i Ρ(Γ) Ρ[(Α Β) (Β Α)] Ρ(Α) + Ρ(Β) Ρ(Α Β) () Όµως Ρ [ ( Α Β ) ] Ρ(Α) Ρ(Α Β)

5 Ρ(Α Β) Ρ(Α Β) () Ρ(Γ) + Β. Είδαµε ότι Ρ(Α), Ρ(Β), Ρ(Γ), Ρ(Α Β) Ακόµα είαι Ρ(Α Β) Ρ(Α) + Ρ(Β) Ρ(Α Β) + 5 και Ρ(Ω), Ρ(Ø) 0 5 + + + + + + 0 7 4 Οι παραπάω τιµές σε αύξουσα σειρά είαι : 0, Άρα δ 4 η παρατήρηση και εύρος R 0,,,, 5,

44. Έστω η συάρτηση f(t) t + µ, όπου µ R. Μια επιχείρηση έχει έσοδα Ε(t), σε εκατοµµύρια ευρώ που δίοται από το τύπο Ε(t) (t )f(t), t 0 όπου t συµβολίζει το χρόο σε έτη. Το κόστος λειτουργίας Κ(t) σε εκατοµµύρια ευρώ δίεται από το τύπο Κ(t) f(t + 4), t 0. Να βρείτε τη συάρτηση του κέρδους Ρ(t), ότα ξέρουµε ότι η επιχείρηση, κατά το πρώτο έτος της λειτουργίας της, είχε ζηµιά εκατοµµύρια ευρώ. Ποια χροική στιγµή η επιχείρηση θα αρχίσει α παρουσιάζει κέρδη; i Να βρείτε το ρυθµό µεταβολής της συάρτησης κέρδους στο τέλος του δεύτερου χρόου λειτουργίας. Προτειόµεη λύση Είαι γωστό ότι κέρδος έσοδα έξοδα Ρ(t) E (t) K(t) Ρ() + (µ 4) 8 µ µ Η () γίεται Ρ(t) t t (t )f(t) f(t + 4) (t )(t + µ) (t + 4) µ t + (µ 4)t 8 µ () Για α έχει κέρδη η επιχείρηση θα πρέπει Ρ(t) > 0 t t > 0 t t > 0 t > Εποµέως, η επιχείρηση θα αρχίσει α έχει κέρδη µετά το ο έτος λειτουργίας της i Ρ (t) 4t Ρ () 4 εκατοµµύρια ευρώ

7 45. Έστω Α και Β εδεχόµεα εός δειγµατικού χώρου Ω και ρ έας πραγµατικός αριθµός µε 0 < ρ <. ίεται ότι οι πιθαότητες Ρ(Α), P(A B) και P(A B) είαι αά δύο διαφορετικές µεταξύ τους και αποτελού στοιχεία του συόλου { ρ, ρ, ρ +, ρ, ρ } A. Να αποδείξετε ότι Ρ(Α) ρ, P(A B) ρ και P(A B) ρ Ρ(Β) ρ ρ + ρ i Ρ(Α Β) < Ρ(Β Α) B. Α οι τιµές Ρ(Α), Ρ(Β), Ρ(Ω), Ρ( ), P(A B), P(A B) είαι τιµές µιας µεταβλητής Χ Να βρείτε συαρτήσει του ρ τη µέση τιµή αυτώ Να εξετάσετε τη (ρ) ως προς η µοοτοία i Α δ η διάµεσος και R το εύρος, α αποδείξετε ότι δ + R > P(A B) Προτειόµεη λύση Α. Επειδή (Α Β) Α (Α Β), θα είαι P(A B) Ρ(Α) Ρ (Α Β) Αφού γωρίζουµε ότι οι πιθαότητες αυτές είαι διαφορετικές µεταξύ τους θα είαι P(A B) < Ρ(Α) < Ρ (Α Β) () 0 < ρ < ρ < 0, άρα ο αριθµός ρ δε εκφράζει πιθαότητα 0 < ρ < ρ + >, άρα ο αριθµός ρ + δε εκφράζει πιθαότητα 0 < ρ < ρ. ρ <. ρ ρ < ρ () () ρρ < ρ ρ ρ < Από () και () έχουµε ρ < ρ < ρ Οπότε, λόγω της () θα είαι P(A B) ρ, Ρ(Α) ρ, Ρ (Α Β) ρ. ρ () Ρ (Α Β) Ρ(A) + Ρ(B) P(A B) ρ ρ + Ρ(Β) ρ Ρ(Β) ρ ρ + ρ i Ρ(Α Β) < Ρ(Β Α) Ρ(A) P(A B) < Ρ(Β) P(A B) Ρ(Α) < Ρ(Β) ρ < ρ ρ + ρ ρ ρ + ρ > 0 ρ(ρ ρ + ) > 0 ρ(ρ ) > 0 η οποία ισχύει αφού 0 < ρ < Β. Ρ( Α ) +Ρ( Β ) +Ρ( Ω ) +Ρ( ) +Ρ( Α Β ) +Ρ( Α Β) ρ +ρ ρ +ρ+ + 0+ρ+ρ ρ + ρ+

8 ρ + ( ( ρ ) ) > 0, άρα η ( ρ ) είαι γησίως αύξουσα i Οι παραπάω τιµές σε αύξουσα σειρά είαι 0, ρ, ρ, ρ ρ + ρ, ρ, Η διάµεσος δ είαι δ η 4 η παρατ + παρατ ρ +ρ ρ +ρ ρ +ρ Και το εύρος R είαι R 0 δ + R > P(A B) ρ +ρ + > ρ ρ + > 0, η οποία ισχύει, αφού 0 < ρ <

9 4. Έστω οι συαρτήσεις f() 4( )( 5+), R όπου g() + (κ 5κ) +, 5 + 4 R α 0 h() + λ λ + α 0 κ και λ πραγµατικοί αριθµοί. Ο δειγµατικός χώρος Ω εός πειράµατος τύχης είαι Ω { ω, ω, ω, ω 4, ω 5, ω } Έστω ω, ω, ω, ω 4 4, ω 5 4, ω 4 όπου,, είαι οι ρίζες της εξίσωσης f() 0. Για τις πιθαότητες τω στοιχειωδώ εδεχοµέω ισχύει : Ρ(ω ) Ρ(ω 5 ) Ρ(ω 4 ) Ρ(ω ) Ρ(ω ) Ρ(ω ). Να υπολογίσετε τις πιθαότητες τω στοιχειωδώ εδεχοµέω. Θεωρούµε τα εδεχόµεα Β { λ Ω / η συάρτηση h είαι συεχής στο ο 0} Γ{ κ Ω / η συάρτηση g παρουσιάζει ακρότατο στο ο } Να δείξετε ότι Ρ(Γ) Ρ(Β). i Να βρείτε τις πιθαότητες τω εδεχοµέω Β Γ, Β Γ. Προτειόµεη λύση f() 0 4( )( 5+) 0 0 ή 5+ 0 ή ή Οπότε, α ω, ω, ω τότε ω 4 4, ω 5 8, ω Εποµέως Ω {,,, 4, 8, } Ρ(Ω) Ρ() + Ρ() + Ρ() + Ρ(4) + Ρ(8) + Ρ() () Από τη υπόθεση έστω Ρ(ω ) Ρ(ω 5 ) Ρ(ω 4 ) Ρ(ω ) Ρ(ω ) Ρ(ω ) µ µ Τότε Ρ(ω ) Ρ(ω ) Ρ(ω ) και Ρ(ω ) Ρ(ω 5 ) Ρ(ω 4 ) µ µ µ µ Η () γίεται + + + µ + µ + µ µ 4 Εποµέως Ρ() Ρ() Ρ() 4 και Ρ(4) Ρ(8) Ρ() 4 Για α είαι η h συεχής στο o 0 πρέπει lim h() h(0) () Αλλά lim h() 0 5 + lim 0 + 4 0 0 0

0 ( 5 + ) lim 0 ( + ) 5 + lim 0 + 0 Η () γίεται 0 λ λ+ λ ή λ Άρα Β {, } Είαι g () + κ 5κ Αφού η g παρουσιάζει ακρότατο στο ο, θα είαι g () 0 κ 5κ + 0 κ ή κ Άρα Γ {, } Ρ(Β) Ρ() + Ρ() + Ρ(Γ) Ρ() + Ρ() + Άρα Ρ(Β) Ρ(Γ) i Β Γ {} και Β Γ {,, }, άρα Ρ(Β Γ ) Ρ() και Ρ(Β Γ) Ρ() + Ρ() + Ρ() + + 4.

47. Έστω οι συαρτήσεις f() +, g() ηµ + ηµ + h() + 4+ 0 Να βρείτε τη εξίσωση της εφαπτοµέης στη C g στο σηµείο Α(0, g(0)) Να βρείτε τη εφαπτοµέη στη C f η οποία είαι παράλληλη στη εφαπτοµέη στη C g στο Α(0, g(0)). i Να βρείτε σηµείο της C h το οποίο είαι πλησιέστερα στο Α i) Να λύσετε τη εξίσωση 4λ f () + λf () f() 0 ) Α 0 σηµεία της εφαπτοµέης του ( έχου µέση τιµή τεταγµέω, α βρείτε τη µέση τιµή τω τετµηµέω τω σηµείω αυτώ Προτειόµεη λύση g(0) ηµ0 + ηµ 0 + 0 0 + 0 + 0 0 g () συ ηµ + ηµσυ + g (0) συ0 ηµ0 + ηµ0συ0 + 0 + 0 + + H εφαπτοµέη της C g στο Α( 0, g(0)) έχει εξίσωση y g(0) g (0) ( 0) y 0 ( + ) y ( + ) Α Β( o, f( o )) είαι το σηµείο επαφής τότε πρέπει f ( o ) + () Αλλά f () +, άρα f ( o ) + ο Η () γίεται + ο + ο o 0 Η ζητούµεη εξίσωση είαι y f(0) f (0) ( 0) y ( + ) y ( + ) + i Το Α έχει συτεταγµέες Α(0, 0) Α Μ(, h()) είαι το ζητούµεο σηµείο τότε ΜΑ ( 0) + (h() 0) + + 4+ 0 + 4+ 0 Έτσι ορίζεται η συάρτηση φ() + 4+ 0 της οποίας ααζητάµε το min

φ () 4+ 4 + 4+ 0 + + 4+ 0 φ () 0 Πρόσηµο της φ και µοοτοία της φ + φ 0 + φ Η συάρτηση φ παρουσιάζει ελάχιστο για το φ( ) 0 Το ζητούµεο σηµείο Μ είαι το Μ(, h( )) Μ(, ) i) f() +, f () + και f () µε f(), f () και f () Οπότε 4λ f () + λf () f() 0 ) 4λ + λ 0 λ + λ 0 λ ή λ Γωρίζουµε ότι y ( + ) + Α Κ( i, y i ) είαι τυχαίο σηµείο της εφαπτοµέης τότε y i ( + ) i + Οπότε, α και y είαι οι µέσες τιµές τω τετµηµέω και τεταγµέω y τω 0 σηµείω, τότε y ( + ) + ( + ) + 5 +

48. Σ έα χωριό υπάρχου άθρωποι µε ηλικίες,,..,.έτη. Το δείγµα τω ηλικιώ έχει συτελεστή µεταβολής 0% και γίεται για πρώτη φορά οµοιογεές µετά από 5 έτη. Α. Να βρείτε Τη µέση τιµή και τη τυπική απόκλιση του δείγµατος Τη µέση τιµή τω,,,. i Α ο µικρότερος σε ηλικία είαι 0 ετώ α βρείτε προσεγγιστικά τη µεγαλύτερη ηλικία, δεχόµεοι ότι η καταοµή είαι περίπου καοική. Β. Στο παραπάω χωριό υπάρχου µόο δύο καφεεία Α και Β. Το 0% τω κατοίκω πηγαίει στο Α, το 0% δε πηγαίει στο Β, εώ το 50% πηγαίει σε έα τουλάχιστο καφεείο. Να βρείτε Τι ποσοστό τω κατοίκω πηγαίει και στα δύο καφεεία ; Από αυτούς που πηγαίου µόο στο έα καφεείο, ποιοι είαι οι περισσότεροι, αυτοί που πηγαίου µόο στο Α ή αυτοί που πηγαίου µόο στο Β ; Γ. Το κάθε έα από τα άτοµα αγοράζει έα λαχείο. Οι λαχοί είαι αριθµηµέοι από το έως το. Α η πιθαότητα α κληρωθεί περιττός είαι κατά 0,8 % µεγαλύτερη από το α κληρωθεί άρτιος, α βρείτε πόσα άτοµα έχει το χωριό. Προτειόµεη λύση A Α είαι η σηµεριή µέση τιµή και S η τυπική απόκλιση τότε S S () CV 0, Α i µια σηµεριή ηλικία, µετά από 5 χρόια αυτή θα είαι y i i + 5 Τότε y +5 και S y S Επειδή το δείγµα γίεται οµοιογεές µετά από 5 χρόια θα έχουµε CV y 0, S y y 0, 0, () + 5 Λύοτας το σύστηµα τω () και () βρίσκουµε 5 και S 5 S S i i i i i i i i

4 Εποµέως i S + i i i i i i i i 5 + 5 50 i i Αφού η καταοµή είαι καοική, έχουµε εύρος R S 0 οπότε η µεγαλύτερη ηλικία θα είαι περίπου 40 έτη Β. Έστω τα εδεχόµεα Α το άτοµο πηγαίει στο καφεείο Α Β το άτοµο πηγαίει στο καφεείο Β Τότε Α Β είαι το εδεχόµεο το άτοµο πηγαίει σε έα τουλάχιστο καφεείο Α Β είαι το εδεχόµεο το άτοµο πηγαίει και στα δύο καφεεία Η υπόθεση γίεται Ρ(Α) 0%, Ρ(Β ) 0%, Ρ(Α Β) 50% Ρ(Α Β) Ρ(Α) + Ρ(Β) Ρ(Α Β) Ρ(Α) + Ρ(Β ) Ρ(Α Β) 0% A B είαι το εδεχόµεο το άτοµο πηγαίει µόο στο Α Β Α είαι το εδεχόµεο το άτοµο πηγαίει µόο στο Β Τότε Ρ(A B) Ρ(Α) Ρ(Α Β) 0% 0% 0% Ρ(Β Α) Ρ(Β) Ρ(Α Β) 40% 0% 0% Από τα παραπάω φαίεται ότι ποιο πολλοί πηγαίου στο Β καφεείο Γ. Αφού η πιθαότητα α κληρωθεί περιττός αριθµός είαι µεγαλύτερη από τη πιθαότητα α κληρωθεί άρτιος και τα στοιχειώδη εδεχόµεα είαι προφαώς ισοπίθαα, αυτό σηµαίει ότι οι περιττοί είαι περισσότεροι από τους άρτιους Άρα το πλήθος είαι περιττός εποµέως το είαι άρτιος Από το έως και το άρτιο αριθµό υπάρχου άρτιοι και περιττοί τελικά στο σύολο τω λαχώ Οι άρτιοι λαχοί είαι και οι περιττοί + + Η πιθαότητα α κληρωθεί περιττός (π) λαχός είαι Ρ(π) + Η πιθαότητα α κληρωθεί άρτιος (α) λαχός είαι Ρ(α) Επειδή Ρ(π) Ρ(α) + 0,8 00 + + 0,008 5

5 49. Έστω Ω {0,,, } ο δειγµατικός χώρος εός πειράµατος τύχης. Για τις πιθαότητες τω απλώ εδεχοµέω λ του Ω ισχύει λ+ Ρ( λ ), λ,, λ Να βρείτε τη πιθαότητα Ρ(0) Έστω f () και Α, Β δύο εδεχόµεα του Ω τέτοια ώστε f ( ) Α { λ Ω / lim λ λ } λ 4λ+ Β { λ Ω / η κλίση της C f στο είαι ίση µε } Να βρείτε τις πιθαότητες Ρ(Α), Ρ(Β) και Ρ ( Α Β) i Nα εξετάσετε τη f ως προς τη µοοτοία και τα ακρότατα i) Α µία µεταβλητή έχει σα τιµές τις f(), f(), f(4), f(5) και f(), α βρείτε το εύρος και τη διάµεσο αυτώ τω τιµώ Προτειόµεη λύση Ρ(Ω) Ρ(0) + Ρ() + Ρ() + Ρ() Ρ(0) + + + + + + Ρ(0) + + + 4 8 Ρ(0) 7 ( ) f ( ) lim lim ( ) lim 0 0 ( ) lim ( + )( ) ( ) lim 0 ( + ) Άρα f ( ) lim Οπότε Α { 0, }. λ λ 0 λ( λ) λ 0 ή λ f () f ()

f () Άρα Β {} λ 4λ+ f () λ 4λ+ λ 4λ + λ 4λ + 4 0 λ Ρ(Α) Ρ(0) + Ρ() 7 + 4 8 5 Ρ(Β) Ρ() 4 Α Β { 0,, }, άρα Ρ(Α Β) Ρ(0) + Ρ() + Ρ() 5 + 4 4 i f () f () 0 0 0 0 ή Πρόσηµο της f και µοοτοία της f 0 + f 0 + 0 f τ. ελάχιστο για 0, το f(0) 0 4 τ. µέγιστο για, το f() i) Επειδή στο διάστηµα [, + ) η συάρτηση είαι γησίως φθίουσα, οι τιµές f(), f(), f(4), f(5) και f() σε αύξουσα σειρά είαι f(), f(5), f(4), f(), f() 4 4 Οπότε το εύρος R είαι : R f() f() 4 Και η διάµεσος δ είαι η µεσαία παρατήρηση δηλαδή δ f(4) 4

7 50. Τα αποτελέσµατα της µελέτης εός δείγµατος φαίοται στο πίακα Να βρείτε τη διάµεσο της καταοµής Α οι τιµές ακολουθού τη καοική καταοµή µε συτελεστή µεταβολής 5%, α βρείτε τη τυπική απόκλιση i Οι τιµές ααγράφοται πάω σε 50 µπάλες. Επιλέγουµε µία µπάλα στη τύχη. Να βρείτε τη πιθαότητα του εδεχόµεου Α ο αριθµός της µπάλας δε είαι 7 i) Α f () κ + (κ+ ) α βρείτε τη πιθαότητα τω εδεχόµεω α) Β { κ Ω / f ( ) 5 } και β) πραγµατοποιείται έα τουλάχιστο από τα Α και Β i) Για κ 7, α βρείτε τη εξίσωση της εφαπτοµέης της C f η οποία είαι παράλληλη στη ευθεία y + Προτειόµεη λύση 4 Συµπληρώουµε το πίακα µε στήλες i, f i, i i i N i 9 4 8 7 5 5 50 Σύολο i N i i f i i i 9 4 4 0,08 8 0,4 9 7 5 9 0,8 5 50 5 0,50 5 Σύολο 50,00 0 η η 5 παρατηρ+ παρατηρ 7 5 δ 0 ii,4 50 S CV 5% 0,5 S 0,5 S,,4 i Ν(Ω) 50, Ν(Α ) 9, οπότε Ρ(Α ) N(A ) N( Ω ) 9 50 Ρ(Α) Ρ(Α ) 4 50 i) f () 4κ + ( κ + ) f ( ) 4κ( ) + ( κ + ) κ + f ( ) 5 κ + 5 κ 7 α) Β Α Ρ(Β) Ρ(Α ) 9 50 β) Ρ(Α Β) Ρ(Α Α ) Ρ(Ω)

8 ) y + y + µε λ Α ( ο, f( o )) είαι το σηµείο επαφής τότε πρέπει f ( ο ) Εποµέως το σηµείο επαφής είαι το (0, f(0)) 8 o o 0 0, Και η εξίσωση της εφαπτοµέης σ αυτό y f(0) f (0)( 0) y