3.3 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ου ΒΑΘΜΟΥ Ασκσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 93 96 A Ομάδας. Να λύσετε τις εξισώσεις 5 + 3 0 Δ 5 4, 5 6 4 4 Δ 36 36 0, i Δ 6 4 8 < 0, 6 + 9 0 i 3 + 4 + 0 6. η εξίσωση είναι αδύνατη. 3 3 (διπλ ρίζα). Να λύσετε τις εξισώσεις,69 0 0,5 0 i 3 + 7 0,69 0,69 0,5 0 (0,5 ) 0 0 0,5 0 0 0,5 0 i Η εξίσωση γράφεται 3 + 0 + 7 0 Δ 0 4. 3. 7 34 < 0, η εξίσωση είναι αδύνατη (,3 ),3,3
3. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση λ + (λ ) 0, λ 0 έχει πραγματικές ρίζες. Δ 4 + 4λ(λ ) 4 + 4-8λ 4( λ +) 4(λ ) 0. Άρα, η εξίσωση έχει μία διπλ ρίζα (όταν Δ 0) δύο πραγματικές ρίζες (όταν Δ > 0) 3. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση α + (α + β) + β 0, α 0 έχει πραγματικές ρίζες. Δ (α + β ) 4αβ + + + 4 (α β ) 0. Άρα, η εξίσωση έχει μία διπλ ρίζα (όταν Δ 0) δύο πραγματικές ρίζες (όταν Δ > 0) 4. Να βρείτε τις τιμές του μ, για τις οποίες η εξίσωση μ + + μ 0, μ 0 έχει διπλ ρίζα. Καταρχν θα πρέπει να είναι μ 0, ώστε η εξίσωση να είναι ου να υπάρχει η δυνατότητα να έχει διπλ ρίζα. H εξίσωση έχει διπλ ρίζα Δ 0 4 4μμ 0 4 4 0 μ μ βαθμού και έτσι
3 5. Αν α β, να δείξετε ότι είναι αδύνατη στο η εξίσωση ( + ) + (α + β) + 0. Να εξετάσετε την περίπτωση που είναι α β Η περίπτωση α β Όταν + 0, δηλαδ όταν ένας τουλάχιστον από τους α, β 0, η εξίσωση είναι ου βαθμού, οπότε Δ 4 ( ) 8 ( + ) 4( + + ) 8 8 4 + 8 + 4 8 8 4 + 8 4 4( + ) 4 ( ) < 0, αφού α β Άρα η εξίσωση είναι αδύνατη Όταν + 0, δηλαδ όταν α 0 και β 0, με αντικατάσταση η εξίσωση γίνεται 0 που είναι αδύνατη. Η περίπτωση α β Αν μεν α β 0, όπως είδαμε η εξίσωση γίνεται 0 που είναι αδύνατη Αν δε α β 0, με αντικατάσταση η εξίσωση γίνεται ( + ) + ( + ) + 0 + 4 + 0 + + 0, ου βαθμού αφού α 0 Δ 4 4 0, άρα η εξίσωση έχει μία διπλ ρίζα.
4 6. Να βρείτε την εξίσωση ου και 3 και βαθμού που έχει ρίζες τους αριθμούς S + 3 5, P. 3 6, η εξίσωση είναι i 5 6 και 5 + 6 5 + 6 0 S + 3, P., η εξίσωση είναι 3 + 0 3 + 0 i S 5 6 + 5 + 6 0, P (5 6 )(5 + 6 ) 5 4 H εξίσωση είναι 0 + 0 7. Να βρείτε δύο αριθμούς, εφόσον υπάρχουν, που να έχουν άθροισμα και γινόμενο 5 άθροισμα 9 και γινόμενο 0 Οι ζητούμενοι αριθμοί θα είναι οι ρίζες της εξίσωσης όπου S και P 5 Δ 4 + 60 64, 8 5, 3 Οι ζητούμενοι αριθμοί θα είναι οι ρίζες της εξίσωσης όπου S 9 και P 0 S + P 0, 5 0 S + P 0, 9 + 0 0 Δ 8 40 4, 9 4 9 4, 9 4
5 8. Να λύσετε τις εξισώσεις ( 5 + 3 ) + 5 0 + ( ) 0 S 5 + 3 και P 5 5 3 Οι ρίζες της εξίσωσης είναι 5, 3 Δ ( ) + 4 + + 4 + + ( + ) ( ) ( ) 9. Να λύσετε την εξίσωση + Δ 4 4( +, για τις διάφορες τιμές των α, β + + 0 ) 4 4 + 4 4
6 0. Να βρείτε τις δύο πλευρές ενός ορθογωνίου με περίμετρο 68 cm και διαγώνιο 6 cm. Έστω, y οι πλευρές του ορθογωνίου. + y 68 + y 34 y 34 και και και + + y 6 y 676 + (34 ) 676 + 34 34 + 676 0 68 + 56 676 0 68 + 480 0 34 + 40 0 Δ 34 4 40 56 960 96 34 96 34 4 34 4 34 4 Από την εξίσωση y 34 θα έχουμε y 0 4. Άρα οι πλευρές του ορθογωνίου είναι 4 και 0 4 0
7. Να λύσετε τις εξισώσεις 7 + 0 + 35 0 i 8 + 0 7 + 0 7 + 0 Δ 49 48, 7 4 3 4 4 3 3 + 35 0 + 35 0 Δ 4 + 40 44, 5 7 απορρίπτεται αφού 0. 5 5 i 8 + 0 8 + 0 Δ 64 48 6, 8 4 6 6 6. Να λύσετε την εξίσωση ( ) + 4 5 0 ( ) + 4 5 0 Δ 6 + 0 36, + 4 5 0 46 5 απορρίπτεται αφού 0. 0
8 3. Να λύσετε την εξίσωση 5 + 6 0 Περιορισμός : 0 Θέτουμε y (), οπότε η εξίσωση γίνεται Δ 5 4, y 5 3 Για y 3, η () Δ 9 4 5, 3 5 3 + 3 3 + 0 Για y, η () + + 0 Δ 4 4 0, 0 y 5y + 6 0 4. Να λύσετε την εξίσωση + 3 6 Περιορισμοί : 0 και + 3 6 Δ + 4 5, 6 + 6( + ) 3( + ) + 6( + + ) 3 + 3 6 6 + 6 + + 6 3 3 0 + 6 0 + 6 0 5 3
9 4. Να λύσετε την εξίσωση Περιορισμοί : Είναι + 3 + + 3 + ( ) 0 E.K.Π ( ) 0 0 και Δ + 8 9, 3 0 ( ) + ( 3) + 0 4 + 3 + 0 0 απορρίπτεται, άρα 5. Να λύσετε την εξίσωση 4 + 6 40 0 ( Δ 36 + 60 96, 4 + 6 40 0 ) + 6 40 0 6 96 6 4 4 0 απορρίπτεται 4 5. Να λύσετε την εξίσωση 4 4 + 3 0 4 4 + 3 0 4( Δ + 48 69, 4 ) + 3 0 69 8 3 8 4 3 απορρίπτεται 5. Να λύσετε την εξίσωση 4 + 7 + 3 0 4 + 7 + 3 0 ( ) + 7 + 3 0 Δ 49 4 5, 7 5 3 απορρίπτονται αφού 4 4 0
0 Β Oμάδας. Δίνεται η εξίσωση 3 4 + 0, με 0. Να αποδείξετε ότι η διακρίνουσα της εξίσωσης είναι Δ 4 Δ ( 3 Να δείξετε ότι οι ρίζες της εξίσωσης είναι οι ) 4 4 ( ) 4 6 4 6 + 4 4 3 4 3 ( ) και.. Δίνεται η εξίσωση (5 ) + 6 3 0 Να αποδείξετε ότι η διακρίνουσα της εξίσωσης είναι Δ ( + ) Να δείξετε ότι οι ρίζες της εξίσωσης είναι οι 3 και Δ (5 ) 4(6 3 ) 5 0 + 4 + 3 + + + + + ( + ) 5 ( ) 5 ( ) 5 4 3 3 5 ( ) 5
3. Να βρείτε τις τιμές του α για τις οποίες η εξίσωση + ( 9) + + 3 + 4 0 έχει διπλ ρίζα. Η εξίσωση έχει διπλ ρίζα Δ 0 ( 9 ) 8( + 3 + 4) 0 Δ 36 + 8 64, 68 8 + 8 8 4 3 0 7 4 + 49 0 + 6 7 0 7 4. Αν ο αριθμός ρ είναι η ρίζα της εξίσωσης α δείξετε ότι ο αριθμός + β +γ 0, με α.γ 0, να είναι η ρίζα της εξίσωσης γ + β + α 0. ρ ρίζα της εξίσωσης α + β +γ 0 α + βρ + γ 0 (διαιρούμε τα δύο μέλη με ) α + β + γ 0 α + β + γ 0 Δηλαδ ο αριθμός επαληθεύει την εξίσωση γ + β + α 0, άρα είναι ρίζα της.
5. Να λύσετε την εξίσωση + +, 0 Περιορισμός : 0 + + + + + 0 + ( ) 0 Δ ( ) + 4 4 + + 4 ( ) + + ( + ) 4 5. Να λύσετε την εξίσωση Περιορισμός : 0 + + Δ ( + ) 4 ( ) + +, α, β 0 β + β ( β ( + ( ( + ) + β 0 ) + + ( ) + ( ) β ) ) 4
3 6. Δίνεται η εξίσωση + λ 8 0. Να δείξετε ότι η εξίσωση έχει πραγματικές ρίζες για κάθε λ. Αν η μια ρίζα της εξίσωσης ισούται με το τετράγωνο της άλλης, τότε να βρεθούν οι ρίζες και η τιμ του λ. Δ 4 + 3 > 0 για κάθε λ, άρα η εξίσωση έχει πραγματικές ρίζες για κάθε λ. Έστω, οι ρίζες της εξίσωσης με () Αλλά + λ () και 8 (3) από Vieta (3) ( ) 8 3 8 () ( ) 4 () + 4 λ λ λ 7. Να εξετάσετε αν υπάρχουν διαδοχικοί ακέραιοι που να είναι μκη πλευρών ορθογωνίου τριγώνου. Έστω,, + διαδοχικοί ακέραιοι, μκη πλευρών ορθογωνίου τριγώνου. Πυθαγόρειο : ( + ) + ( ) + + + + + 4 0 ( 4) 0 4 0 αφού 0 4 Επομένως υπάρχουν διαδοχικοί ακέραιοι, μκη πλευρών ορθογωνίου τριγώνου, και είναι οι 4, 4, 4 +, δηλαδ οι 3, 4, 5
4 8. Η σημαία του διπλανού σχματος έχει διαστάσεις 4m και 3m αντιστοίχως. Να βρείτε το πλάτος d του σταυρού, αν γνωρίζουμε ότι το εμβαδόν του είναι ίσο με το εμβαδόν του υπόλοιπου μέρους της σημαίας. Περιορισμός : 0 < d < 3 εμβαδόν του σταυρού εμβαδόν οριζόντιας λωρίδας + εμβαδόν κατακόρυφης λωρίδας εμβαδόν του τετραγώνου ΖΙΜΟ πλευράς d 4d + 3d d 7d d () Αλλά, εμβαδόν του σταυρού εμβαδόν του υπόλοιπου μέρους της σημαίας. εμβαδόν του σταυρού εμβαδού της όλης σημαίας d O Z d Μ I 4. 3 6 () Από τις (), () 7d 3 d 6 d 7d + 6 0 Δ 49 4 5, d 7 5 6 απορρίπτεται, άρα d
5 9. Μια κατασκευαστικ εταιρεία διαθέτει δύο μηχανματα Α και Β. Το μηχάνημα Β χρειάζεται ώρες περισσότερο από ότι χρειάζεται το μηχάνημα Α για να τελειώσει ένα συγκεκριμένο έργο. Ο χρόνος που απαιτείται για να τελειώσει το έργο, αν χρησιμοποιηθούν και τα δύο μηχανματα μαζί είναι 8 ώρες. Να βρείτε το χρόνο που θα χρειαζόταν το κάθε μηχάνημα για να τελειώσει το έργο αυτό αν εργαζόταν μόνο του. Αν t είναι o χρόνος που χρειάζεται το μηχάνημα Α για να τελειώσει ένα συγκεκριμένο έργο, ο αντίστοιχος χρόνος για το είναι t +. Σε ώρα, το Α θα εκτελέσει το του έργου και t το Β θα εκτελέσει το του έργου t Σε 8 ώρες, που τα δυο μαζί τελειώσουν το έργο, Άρα θα έχουμε το Α θα εκτελέσει το 8. t το Β θα εκτελέσει το 8. 8. t + 8. t του έργου και t 8(t + ) + 8t t(t + ) 8t + 96 + 8t t 4t 96 0 Δ 6 + 4. 96 6 + 384 400 t + t του έργου t 4 400 4 0 8 απορρίπτεται αφού t 0 0. 4 Είναι γνωστό ότι μια ρίζα της εξίσωσης 0 + α 0 είναι ο αριθμός. Να βρείτε το α και να λύσετε την εξίσωση. Η ρίζα επαληθεύει την εξίσωση. Άρα Η εξίσωση γίνεται ( Δ 00 36 64, ) 0 + 9 0 0 8 4 0. + α 0 0 + α 0 α 9 9 3 3