2x 4 0, αδύνατη. x Πανελλαδικές Εξετάσεις Μαθηματικά Κατεύθυνσης 11 Ιουνίου Θέμα Α Α1. Σχολικό βιβλίο σελ.99

Transcript

1 Πανελλαδικές Εξετάσεις Μαθηματικά Κατεύθυνσης Ιουνίου 08 Θέμα Α Α Σχολικό βιβλίο σελ99 Α α Λ β Αντιπαράδειγμα, σχολικό βιβλίο σελ5, σχ g, 0, είναι - αλλά όχι γνησίως μονότονη, 0 Α Σχολικό βιβλίο σελ6 Α Α) Λ Β) Λ Γ) Σ Δ) Σ Ε) Σ Θέμα B Β Δίνεται συνάρτηση, {0} Η είναι συνεχής και παραγωγίσιμη με ' ' 8 8 ( ) ή 0, αδύνατη Επομένως η είναι γνησίως αύξουσα στο (, ] και στο 0,, ενώ είναι φθίνουσα στο [,0)

2 Η παρουσιάζει τοπικό μέγιστο στο το Β ' ' ' '( ) '( ) Είναι '( ) 0, για κάθε {0}, οπότε κοίλη και δεν παρουσιάζει σημεία καμπής Β Κατακόρυφη στο 0 lim lim 0 Άρα η 0 0 Οριζόντιες και πλάγιες ασύμπτωτες : lim lim R 0 κατακόρυφη ασύμπτωτη της και lim lim lim 0 άρα η y είναι πλάγια ασύμπτωτη στο Ομοίως y, πλάγια ασύμπτωτη στο C Β

3 Θέμα Γ Γ Αρχικό μήκος σύρματος l 8m Εφόσον το χωρίζουμε σε δύο τμήματα και το ένα από αυτά έχει μήκος δεύτερο θα έχει μήκος 8, όπου το 0,8, το Η περίμετρος του τετραγώνου είναι ίση με Άρα κάθε πλευρά του τετραγώνου θα είναι ίση με Συνεπώς το εμβαδόν του τετραγώνου θα είναι ίσο με T 6 τμ Η περίμετρος του κύκλου είναι ίση με 8 Επιπλέον η περίμετρος του κύκλου δίνεται από τη σχέση, όπου ρ η ακτίνα του κύκλου Συνδυάζοντας τα δύο παραπάνω έχουμε: 8 8 Για το εμβαδόν του κύκλου θα έχουμε 88 8 τμ Συνολικά για το άθροισμα των εμβαδών θα ισχύει: 8 8 E( ) ET EK , 0,8 που είναι και το 6 6 ζητούμενο

4 Γ Πρέπει να ελαχιστοποιήσουμε την ( ) Ξεκινάμε βρίσκοντας την παράγωγό της E( ) E '( ) Κατασκευάζουμε πίνακα προσήμων για την E( ) : ' () Από τον πίνακα φαίνεται ότι πράγματι η E ( ) ελαχιστοποιείται για αυτή την τιμή του, από κύκλου γίνονται αντίστοιχα ίσες Πράγματι: Για η πλευρά του τετραγώνου και η διάμετρος του Πλευρά τετραγώνου: 8 Διάμετρος κύκλου: Γ Από η ( ) είναι φθίνουσα στο 0, Οπότε θα έχει σύνολο τιμών σε αυτό το διάστημα R E, lim ( ) E 0

5 E lim E ( ) 6 6 Οπότε R 6 6, και Τελικά έχουμε Το 5, επομένως θα υπάρχει ένα τουλάχιστον 0 0, ώστε E ( 0) 5 Λόγω της μονοτονίας στο διάστημα, αυτό το 0 θα είναι και μοναδικό Η ( ) είναι αύξουσα στο,8 Οπότε θα έχει σύνολο τιμών σε αυτό το διάστημα το R E, lim ( ) E 8 6 E lim ( ) Οπότε R, Εύκολα διαπιστώνουμε ότι 5 6, οπότε δεν υπάρχει,8 ώστε E( ) 5 Συνολικά δηλαδή αποδείξαμε ότι υπάρχει ένα μοναδικό σημείο στο (0,8) ώστε το άθροισμα των εμβαδών να είναι ίσο με 5 5

6 Θέμα Δ e,, a a Δ Δίνεται a ' a a a ' a a a a e a e e '( ) e a e e '( ) 0 e 0 e a 0 a α ' - + Η παρουσιάζει σημείο καμπής το, Είναι Δ Η είναι γνησίως φθίνουσα και συνεχής στο (, ], οπότε [, lim [ a, aa e a a lim ' lim e a 0 Η ' είναι γνησίως αύξουσα και συνεχής στο (, ), οπότε lim (), lim ( ), a a lim e a a lim ' lim e a, απροσδιόριστη μορφή a a a a e e e lim lim e lim lim lim lim DLH Άρα για κάθε 0 6

7 Άρα 0, οπότε υπάρχει μοναδικό Άρα 0, οπότε υπάρχει μοναδικό ] Για κάθε ' ' ' 0 ] Για κάθε ' ' ' 0 Z Για κάθε ' ' ' 0 Z Για κάθε ' ' ' 0 0 τέτοιο ώστε τέτοιο ώστε Δ,, Α τρόπος Έστω ότι η εξίσωση () έχει ρίζα στο (α,), τότε υπάρχει 0 (α,) τέτοιο ώστε (o) = () () = (e - α - ) < 0, για κάθε α >, άρα < H είναι συνεχής στο [,o] H παραγωγίσιμη στο (,ο) (ο) = () Οπότε από το θεώρημα Rolle υπάρχει ξ (,ο) τέτοιο ώστε (ξ) = 0, άτοπο αφού η μηδενίζεται μόνο για = και = Άρα η εξίσωση () = () είναι αδύνατη στο (α,o) Β τρόπος Η είναι γνησίως φθίνουσα στο Είναι, e e 0 Θεωρούμε συνάρτηση και, g e με Η g ( ) είναι δύο φορές παραγωγίσιμη με () e g ' e g '' e, με g'' 0 για, 7

8 Επομένως η g' γνησίως αύξουσα στο [, ) Αν τότε g '( ) g '() g '( ) 0, άρα η g ( ) είναι γνησίως αύξουσα g() g() g( ) 0 Άρα g( ) 0, οπότε ( ) () και έτσι η ( ) () αδύνατη στο, Δ e Είναι Η εφαπτομένη είναι y, με e e, άρα y y ( ), η εφαπτομένη στο Η είναι κυρτή στο [, ) () όπου η ισότητα ισχύει για οπότε για κάθε [, ) ισχύει ότι και 0 ό ύό () d d Είναι d θέτουμε u u udu d u 0 Για Άρα είναι u 5 u u udu u u du u u Οπότε d 5 Τις απαντήσεις επιμελήθηκαν οι καθηγητές: Καψαλιάρης Στυλιανός Νίκου Δημήτρης Παλτσόκας Παναγιώτης Παπαθανασίου Νίκος Σιταρίδης Σπύρος Τογανίδης Νίκος Χαραλαμπίδης Δημήτρης 8

9 9