Αλ Αρµονικ Ταλάντωση Για το διλανό σχµα δίνονται = N/m, =, m, m = g, υ Γ = m/s, g = m/s α) Πόσος είναι ο ρυθµός µεταβολς της βαρυτικς δυναµικς ενέργειας στο Γ; β) Πόσος είναι ο ρυθµός µεταβολς της δυναµικς ενέργειας του ελατηρίου στο Γ; γ) Πόσος είναι ο ρυθµός µεταβολς της κινητικς ενέργειας στο Γ; δ) Πόσος είναι ο ρυθµός µεταβολς της δυναµικς ενέργειας της ταλάντωσης στο Γ; = N/m, =, m, m = g, υ Γ = m/s, g = m/s (Γ) F ελ(γ) = = N B = mg = N ΣF Γ = F ελ(γ) Β = Ν Η κατεύθυνση της ΣF Γ είναι ίδια µε την κατεύθυνση της F ελ(γ) du α) ( B d )Γ du B du ( = + Β υ B Γ = + J/s = + W ( = + W d )Γ d )Γ Έχουµε U B = mgh Εειδ το σώµα ανεβαίνει, ισχύει h, οότε U B, άρα du B + du β) ( ελ d )Γ du ελ du ( = F ελ ελ υ Γ = J/s = W ( )Γ )Γ d dκ γ) ( )Γ d = W d Έχουµε U ελ = Εειδ το σώµα ανεβαίνει, ισχύει, οότε U ελ, άρα du ελ dk dκ ( = + ΣF Γ υ Γ = + J/s = + W ( = + W d )Γ d )Γ Έχουµε Κ = mυ Εειδ η ΣF Γ είναι οµόρροη της υ Γ, ισχύει υ, οότε K, άρα dk + du δ) ( Τ d )Γ dk du Τ du Έχουµε Κ + U Τ dk = Ε ολ = σταθ + = d d ( d )Γ d = ( )Γ du Τ du = J/s ( Τ d d )Γ = J/s 9
Ενότητα η Π ΥΝΑΜΗ ΕΛΑΤΗΡΙΥ F ελ ΥΝΑΜΙΚΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑ ΕΛΑΤΗΡΙΥ U ελ ΕΡΓ ΥΝΑΜΗΣ ΕΛΑΤΗΡΙΥ W Fελ ελ(δ) ελ(ε) : Η σταθερά του ελατηρίου, µε µονάδα το N/m : Η ειµκυνση η συσείρωση του ελατηρίου, δηλαδ η αραµόρφωση του ελατηρίου, µε µονάδα το m F ελ : Η δύναµη του ελατηρίου, µε µονάδα το N U ελ : Η δυναµικ ενέργεια του ελατηρίου, µε µονάδα το J W Fελ : Το έργο της δύναµης του ελατηρίου, µε µονάδα το J ελ(ζ) F ελ(γ) = F ελ = F ελ( ) = F ελ(ε) = ( + ) Η δύναµη ελατηρίου F ελ έχει άντα κατεύθυνση ρος τη θέση φυσικού µκους του ελατηρίου F ελ(ζ) = U ελ(γ) = U ελ = U ελ( ) = U ελ(ε) = ( + ) U ελ(ζ) = W Fελ(Α,Γ) = U ελ(α) U ελ(γ) = Α Γ W = U U = Fελ (Γ, ) ελ(γ) ελ( ) W = U U = Fελ (Ζ, ) ελ(ζ) ελ( ) 7
Αλ Αρµονικ Ταλάντωση Π5 ΥΠΛΓΙΣΜΣ ΤΗΣ ΑΡΧΙΚΗΣ ΦΑΣΗΣ φ ΣΤΗΝ ΑΑΤ Για την αρχικ φάση φ ισχύει: φ < rad Για τον υολογισµό της αρχικς φάσης φ ρέει να ξέρουµε είλυση τριγωνοµετρικών εξισώσεων (βλ σελ 8) x = OΚ φ υ > = χωρίς αόδειξη φ rad x = Aν τη χρονικ φ υ < = rad µε αόδειξη ΚO στιγµ rad φ rad = = το σώµα x = +Α φ OΚ = rad µε αόδειξη βρίσκεται στη rad φ rad διαδροµ x = Α Κ O φ = rad µε αόδειξη rad φ < rad Eφαρµογ Να βρεθεί η αρχικ φάση της ταλάντωσης όταν ένα σώµα εκτελεί ΑΑΤ και τη χρονικ στιγµ: α) = ερνάει αό τη ΘΙ µε θετικ φορά κίνησης β) = ερνάει αό τη ΘΙ µε αρνητικ φορά κίνησης γ) = βρίσκεται στη θέση µέγιστης θετικς αοµάκρυνσης δ) = βρίσκεται στη θέση µέγιστης αρνητικς αοµάκρυνσης ε) = βρίσκεται στη θέση x = Α µε αρνητικ ταχύτητα στ) = βρίσκεται στη θέση x = Α έχοντας θετικ φορά κίνησης ζ) = βρίσκεται στον αρνητικό ηµιάξονα έχοντας υ = υ max η) = Τ βρίσκεται στη θέση x = Α έχοντας αρνητικ φορά κίνησης α) Για = είναι x = και υ > Έχουµε x = A ηµ(ω + φ ) = = A ηµφ ηµφ = ηµφ = ηµ x= φ = κ φ = κ = φ < φ = κ + φ = rad αν φ = υ = υ max συν = υ max >, δεκτό Όµως υ = υ max συν(ω + φ ) = υ = υ max συνφ Άρα φ = αν φ = rad υ = υ max συν = υ max <, αορρίτεται β) Για = είναι x = και υ < Έχουµε x = A ηµ(ω + φ ) = = A ηµφ ηµφ = ηµφ = ηµ x= φ = κ φ = κ = φ < φ = κ + φ = rad αν φ = υ = υ max συν = υ max >, αορρίτεται Όµως υ = υ max συν(ω + φ ) = υ = υ max συνφ Άρα φ = rad αν φ = rad υ = υ max συν = υ max <, δεκτό 7
7 Ενότητα η Είλυση βασικών τριγωνοµετρικών εξισώσεων, γ) Για = είναι x = +Α σελίδα 8 Έχουµε x = A ηµ(ω + φ ) = Α = A ηµφ ηµφ = φ = κ + = x=α κ φ φ < = rad Είλυση βασικών τριγωνοµετρικών εξισώσεων, δ) Για = είναι x = Α σελίδα 8 Έχουµε x = A ηµ(ω + φ ) = Α = A ηµφ ηµφ = φ = κ + = x= Α κ φ φ < = rad ε) Για = είναι x = Α και υ < Έχουµε x = A ηµ(ω + φ Α ) = = A ηµφ x= Α ηµφ = ηµφ = ηµ φ = κ + φ =κ + φ = rad κ = φ < φ 5 5 = κ + φ = κ + φ = rad Όµως υ = υ max συν(ω + φ ) = υ = υ max συνφ Άρα φ 5 = rad στ) Για = είναι x = Α και υ > Έχουµε x = A ηµ(ω + φ ) = αν φ = rad 5 αν φ = rad Α = A ηµφ x= Α ηµφ = ηµφ = ηµ( ) φ = κ φ = κ φ = rad κ= κ= φ 7 7 = κ + + φ = κ + φ = rad Όµως υ = υ max συν(ω + φ ) = υ = υ max συνφ Άρα φ = rad ζ) Για = είναι υ = υ max και x < Έχουµε υ = υ max συν(ω + φ ) = υ = υ max φ = κ + φ = rad κ= κ= φ 7 = κ φ = rad αν φ = rad 7 αν φ = rad αν φ = rad Όµως x = Α ηµ(ω + φ ) = x = Α ηµφ 7 Άρα φ = rad υ max = υ max συνφ συνφ = συνφ = συν 7 αν φ = rad υ = υ max συν >, αορρίτεται υ = υ 5 max συν <, δεκτό υ = υ max συν >, δεκτό υ = υ 7 max συν <, αορρίτεται x = A ηµ >, αορρίτεται 7 x = A ηµ <, δεκτό Η Ε Η Ε Η Ε Σ Σ Σ
Αλ Αρµονικ Ταλάντωση η) Για = Τ είναι x = A και υ < = Τ Έχουµε x = A ηµ(ω + φ Τ ) Τ x = Α Α = Α ηµ( + φ ) ηµ ( + φ ) = ηµ ( + φ ) = ηµ ( ) 5 7 + φ = κ φ = κ φ = rad κ= κ= + φ 5 5 = κ + + φ = κ + φ = rad 7 αν φ = rad = Τ Όµως υ = υ max συν( ) + φ υ = υmax συν( ) + φ 5 αν φ = rad Άρα φ 5 = rad Η 5 υ = υ max συν >, αορρίτεται υ = υ max συν <, δεκτό Ε Σ Π ΣΤΗΝ ΑΑΤ ΙΣΧΥΕΙ ΠΑΝΤΑ υ = ±ω Α x α = ±ω υ max υ ι αραάνω τύοι χρησιµοοιούνται άντα µε αόδειξη Αόδειξη Αό Α ΕΤ έχουµε Κ + U = Ε ολ mυ + Dx = DA mυ + Dx = DA D = mω mυ + mω x = mω Α υ = ω Α ω x υ = ω (Α x ) υ = ±ω Α x υ υ υ = υ υ = υ Σε κάθε θέση της τροχιάς το σώµα έχει δύο ταχύτητες µε το ίδιο µέτρο και αντίθετη κατεύθυνση Εξαίρεση αοτελούν οι δύο ακραίες θέσεις Κ, Κ της τροχιάς όου η ταχύτητα είναι µηδέν, δηλαδ υ Κ = υ Κ = Έχουµε α υ υ = υ max συνω συνω = () υ max α = α max ηµω ηµω = () α max α max = ωυ max () Εειδ ηµ ω + συν ω = (), () υ + α = () υ + α = ω υ + α = ω υ max υ max α max υ max ω υ max α = ω υ max ω υ α = ω (υ max υ ) α = ±ω υ max υ 7
Ενότητα η 7 Π7 ΑΡΧΗ ΙΑΤΗΡΗΣΗΣ ΤΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ ΤΗΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗΣ (Α ΕΤ) Κ = mυ U = Dx Ε ολ = DA = mυ max Ένα ολύ σηµαντικό εργαλείο στην είλυση ασκσεων στην ΑΑΤ είναι η Α ΕΤ Όταν σε ένα ερώτηµα δε δίνεται ούτε ζητείται χρόνος, καλό θα είναι να αοφεύγουµε τις χρονικές εξισώσεις και να εφαρµόζουµε Α ΕΤ Ειδικά για την εντάδα Α, x, υ, ω, υ max, όταν γνωρίζουµε τρία αό αυτά, βρίσκουµε και τα άλλα Στην ερίτωση ου ζητείται το λάτος Α της ταλάντωσης, τότε αρκεί σε κάοια θέση της τροχιάς να γνωρίζουµε την ταχύτητα υ Αν γνωρίζουµε την ταχύτητα υ της ΘΙ της ταλάντωσης, τότε η υ = υ υ max = ωα Α = ω Αν γνωρίζουµε την ταχύτητα υ σε οοιαδοτε άλλη θέση, τότε εφαρµόζουµε Α ΕΤ Eφαρµογές Ένα σώµα µάζας m = g εκτελεί ΑΑΤ µε D = 5 N/m και διέρχεται αό τη ΘΙ του µε ταχύτητα µέτρου υ = m/s Ποιο είναι το λάτος Α της ΑΑΤ; m = g, υ = m/s, D = 5 N/m, Α Εφόσον το σώµα διέρχεται αό τη ΘΙ του, έχουµε υ = υ υ max υ = ωα Α = ω () D = mω ω = D m ω = 5 rad/s, οότε η () A =, m Ένα σώµα µάζας m = g εκτελεί ΑΑΤ µε D=N/m Στη θέσηx=,m το µέτρο της ταχύτητάς του είναι υ= m/s Ποιο είναι το λάτος Α της ΑΑΤ; m = g, D = N/m, x =, m, υ = m/s, A Εφαρµόζοντας Α ΕΤ έχουµε: mυ K + U + Dx +, = E ολ mυ + Dx = DA A = Α = m A =, m D Ένα σώµα εκτελεί ΑΑΤ µε ω = rad/s Στη θέση x =, m το σώµα διέρχεται µε ταχύτητα υ = 5 m/s Ποιο είναι το λάτος Α της ΑΑΤ; ω = rad/s, x =, m, υ = 5 m/s, A Εφαρµόζοντας Α ΕΤ έχουµε Κ + U = Ε ολ mυ + Dx = DA mυ + mω x = mω Α υ + ω x = ω Α 5 +, = Α Α = 9 Α = m Α =, m Ένα σώµα εκτελεί ΑΑΤ µε υ max = m/s Στη θέση x =, m έχει ταχύτητα υ = m/s Να βρεθεί η γωνιακ συχνότητα της ταλάντωσης υ max = m/s, υ = m/s, x =, m, ω Εφαρµόζοντας Α ΕΤ έχουµε Κ + U = Ε ολ mυ + Dx = DA mυ + mω x = mω Α υ + ω x = ω Α υ + ω x = υ max, διότι υ max = ωα Άρα +,ω =,ω = ω = ω = rad/s ΧΡΗΣΙΜΗ ΣΥΜΒΥΛΗ ΣΤΗΝ ΑΑΤ Όταν σε µια άσκηση ΑΑΤ δε γνωρίζουµε τι ρέει να κάνουµε, καλό θα είναι να εφαρµόσουµε Α ΕΤ
Αλ Αρµονικ Ταλάντωση Π8 ΓΕΝΙΚΑ ΠΕΡΙ ΕΝΕΡΓΕΙΩΝ ΣΤΗΝ ΑΑΤ I Γραφικές αραστάσεις Κ = f(x), U = f(x), E ολ = f(x) U } = Dx Ε ολ = σταθ µε Α x Α Κ = Ε ολ U = Ε ολ Dx σταθ II Γραφικές αραστάσεις K = f(υ), U = f(υ), Ε ολ, = f(υ) Κ = } mυ Ε ολ = σταθ µε υ max υ υ max U = Ε ολ K = Ε ολ mυ σταθ υ max υ max III Σχέση ενεργειών Κ U E oλ Κ = U x = ±Α Στη διάρκεια µιας εριόδου η Κ = U σε δύο θέσεις της τροχιάς για τέσ - σερις φορές Αό κάθε θέ - ση ερνάει δύο φορές µε θετικ και αρνητικ ταχύτητα υ = ±υ max σταθ σταθ Η κινητικ ενέργεια Κ γίνεται ίση µε τη δυναµικ ενέργεια U στις θέσεις όου x = ±Α (µε αόδειξη) Η κινητικ ενέργεια Κ γίνεται ίση µε τη δυναµικ ενέργεια U κάθε φορά ου υ = ±υ max (µε αόδειξη) Αόδειξη Εφαρµόζοντας την αρχ διατρησης της ενέργειας της ταλάντωσης (Α ΕΤ) έχουµε: Α Α Α Κ + U = Ε Κ ολ = U U = Ε ολ Dx = DA x = A x = x = ± x = ± υ max υ max υ Κ + U max = Ε Κ ολ = U Κ = Ε ολ mυ = mυ max υ = υ max υ = υ = ± υ = ± Eφαρµογ Ποιες είναι οι θέσεις της τροχιάς και όση είναι η ταχύτητα ενός σώµατος ου εκτελεί ΑΑΤ τη στιγµ ου η κινητικ ενέργεια είναι τριλάσια της δυναµικς ενέργειας της ταλάντωσης; Κ = U (), x, υ Εφαρµόζοντας Α ΕΤ έχουµε: Α Α Α Κ+U =E ολ () U +U = E ολ U = Ε ολ Dx = DA x = A x = x = ± x = ± Κ Κ+U =E ολ () K + = Ε ολ Κ+Κ = Ε ολ Κ = E ολ Κ = Ε ολ mυ = mυ max υ = ±υ max Η εφαρµογ της Α ΕΤ χρησιµοοιείται σε οοιαδοτε σχέση ενεργειών 75
Ενότητα η Π9 ΠΩΣ ΕΚΜΕΤΑΛΛΕΥΜΑΣΤΕ ΤΙΣ ΧΡΝΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Eφαρµογ Ένα σώµα εκτελεί ΑΑΤ Να υολογίσετε τη γωνιακ συχνότητα, το λάτος, τη µέγιστη ταχύτητα, τη µέγιστη ειτάχυνση και την αρχικ φάση της ταλάντωσης, αν: α) x = ηµ (SI) β) υ = 5συν( 5 + ) (SI) γ) α = ηµ ( + ) (SI) δ) x =,συν (SI) ε) υ = ηµ (SI) στ) α = ηµ (SI) α) Έχουµε x = ηµ Α = m υ max = ωα υ max = m/s ω = rad/s Άρα Όµως x = A ηµ(ω + φ ) φ = α max = ω Α α max = m/s υ β) Έχουµε υ = 5συν ( ) 5 + υ max max = 5 m/s υ max = ωα Α = Α = m ω ω = 5 rad/s Άρα Όµως υ = υ max συν(ω + φ ) φ = rad α max = ω Α α max = 5 m/s α γ) Έχουµε α = ηµ ( ) + α max max = m/s α max = ω Α Α = Α =, m ω ω = rad/s Άρα Όµως α = α max ηµ(ω + φ ) φ = rad υ max = ωα υ max = m/s συνω = ηµ( ω + ) δ) Έχουµε x =,συν x =,ηµ( ) + Α =, m υ max = ωα υ max =, m/s ω = rad/s Άρα α max = ω Α α max =, m/s Όµως x = A ηµ(ω + φ ) φ = rad α max = 8 m/s ( = ) ηµω = συν( ω + ) υ ε) Έχουµε υ = ηµ υ = max συν( ) + υ max = m/s υ max = ωα A = Α = m ω ω = rad/s Άρα Όµως υ = υ max συν(ω + φ ) φ = rad α max = ω Α α max = m/s α max = m/s 7 στ) Έχουµε α = ηµ α = ηµ( ) + α max = m/s ω = rad/s Άρα Όµως α = α max ηµ(ω + φ ) φ = rad ηµω = ηµ(ω + ) συνω = ηµ( ω + ) ηµω = συν( ω + ) ηµω = ηµ(ω + ) α α max max =ω Α Α= Α= m ω Α =, m ( = ) υ max = ωα υ max =,8 m/s
Αλ Αρµονικ Ταλάντωση Π ΙΑΓΡΑΜΜΑΤΑ (ΓΡΑΦΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ) ΣΤΗΝ ΑΑΤ Eφαρµογ Ένα σώµα εκτελεί ΑΑΤ Να γίνουν οι γραφικές αραστάσεις των: α) φ = f() και x = f(), όταν η εξίσωση της αοµάκρυνσης είναι x = ηµ( ) 5 + (SI) β) υ = f(), όταν η εξίσωση της ταχύτητας είναι υ = συν( ) + (SI) γ) α = f(), όταν η εξίσωση της ειτάχυνσης είναι α = ηµ( + ) (SI) δ) x = f(), όταν η εξίσωση της αοµάκρυνσης είναι x = ηµ( + ) (SI) α) φ = f() φ = 5 + Άρα η γραφικ αράσταση της φ = f() είναι ευθεία Για = : φ = rad Για = s: φ = rad x = f() Έχουµε x = ηµ( ) 5 + Όµως x = A ηµ(ω + φ ) Είναι x = ηµ( ) 5 + Oότε: ω Για = : x = ηµ = m = m Α = m = 5 rad/s φ = rad Oότε: x(m) Άρα Τ = = s =, s ω 5 Η Τ ηµ( ) ω + είναι µετατοισµένη Η ηµ(ω + ) είναι µετατοισµένη Τ Η Τ ηµ( ) ω + είναι µετατοισµένη Σε χρόνο µιας εριόδου Τ =, s θα σχεδιάζουµε µια εανάληψη β) υ = f() Έχουµε υ = συν( ) + υ max = m/s ω = rad/s Άρα Τ = = s = s = s ω Όµως υ = υ max συν(ω + φ ) φ = rad m/s Είναι υ = συν( ) + Oότε: Για = : υ = συν = ( ) m/s = m/s Σε χρόνο µιας εριόδου Τ = s θα σχεδιάζουµε µια εανάληψη 77
Ενότητα η Τ Η συν( ) ω + είναι µετατοισµένη Τ Η συν(ω + ) είναι µετατοισµένη Η Τ συν( ) ω + είναι µετατοισµένη γ) α = f() Έχουµε α = ηµ( ) + α max = m/s ω = rad/s Όµως α = α max ηµ(ω + φ ) φ = rad Είναι α = ηµ( ) + Για = : α = ηµ = Αάντηση Για = = s: α = ηµ( ) + = ηµ = ( ) m/s = m/s Άρα: δ) x = f() Έχουµε x = ηµ( ) + A = m ω = rad/s Άρα Τ = = s ω Όµως x = A ηµ(ω + φ ) φ = rad/s x(m) Είναι x = ηµ( ) + Για = : x = ηµ = m = m Αάντηση ος τρόος Θυµόµαστε τη γενίκευση: Άρα x(m) Άρα Τ = = s = 8 s = 8 s ω Ερώτηµα Ποια αό τις δύο γραφικές αραστάσεις ισχύει; Ερώτηµα m/s Ποια αό τις δύο γραφικές αραστάσεις ισχύει; ος τρόος υ = υ max συν( ) + = υ = υ max συν υ > Eφόσον υ>, το σώµα κινείται ρος την ακραία θέση µε x = +A, οότε το ζητούµενο διάγραµµα είναι ίδιο µε αυτό ου βρκαµε 78 Γενικά σε κάθε ηµιτονοειδ συνηµιτονοειδ συνάρτηση της µορφς y = y max ηµ(ω + φ ) Αν: Ι Για = είναι y = +y max : ΙΙ Για = είναι y = y max : ΙΙΙ Για = είναι y =, τότε υάρχουν δύο εριτώσεις ΙV Σε οοιαδοτε άλλη ερίτωση λύνουµε όως στο αραάνω ερώτηµα Τ Βρίσκουµε για = την τιµ του y Αν y = +y max, τότε ισχύει η () Αν y = y max, τότε ισχύει η ()
Αλ Αρµονικ Ταλάντωση Π ΠΕΡΙ Σ ΣΥΧΝΤΗΤΑ ΤΗΣ ΥΝΑΜΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΗΣ ΚΙΝΗΤΙΚΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ ΣΤΗΝ ΑΑΤ Τ U = K = f U = f K = f Αόδειξη Η δυναµικ ενέργεια της ταλάντωσης και η κινητικ ενέργεια εαναλαµβάνονται (µηδενίζονται µεγιστοοιούνται) κάθε, Τ δηλαδ Τ UΤ = K = Η δυναµικ ενέργεια της ταλάντωσης και η κινητικ ενέργεια εξισώνονται τέσσερις φορές στη διάρκεια µιας εριόδου Έχουµε: f = Iσχύει f K = = = = f f K = f K Eφαρµογές ( Ένα σώµα εκτελεί ΑΑΤ µε εξίσωση δυναµικς ενέργειας της ταλάντωσης U = ηµ ) + (SI) Να βρεθούν η ερίοδος, η ολικ ενέργεια της ταλάντωσης και να γίνει η γραφικ αράσταση U = f() ( U = ηµ ) +, Τ, Ε ολ, U = f() ( Έχουµε U = ηµ ) + Ε ολ = J Άρα Τ = = = s = s ω ω = rad/s Όµως U = E oλ ηµ (ω + φ ) φ = rad ( Η ερίοδος Είναι U = ηµ ) + UΤ της δυναµικς ενέργειας είναι UΤ = = s Άρα: Για = : U = ηµ = J ( Ένα σώµα εκτελεί ΑΑΤ µε εξίσωση κινητικς ενέργειας Κ = συν + ) (SI) Να βρεθούν η ερίοδος, η ολικ ενέργεια της ταλάντωσης και να γίνει η γραφικ αράσταση Κ = f() ( Κ = συν + ), Τ, Ε, Κ = f() ολ ( Έχουµε Κ = συν + Ε ολ = J ) Άρα Τ = = = 8 s = 8 s ω ω = rad/s Όµως Κ = E oλ συν (ω + φ ) φ = rad ( Eίναι Κ = συν + ) Η ερίοδος Κ της κινητικς ενέργειας Άρα: Για = : Κ = συν είναι Κ = = s = 79
Ενότητα η Ένα σώµα εκτελεί ΑΑΤ µε εξίσωση δυναµικς ενέργειας της ταλάντωσης U = + ηµ (SI) α) Πόση είναι η ερίοδος, η γωνιακ συχνότητα και η ολικ ενέργεια της ταλάντωσης; β) Να γίνει η γραφικ αράσταση U = f() U = + ηµ α) Τ, ω, Ε ολ Έχουµε U = + ηµ () Όταν ηµ =, τότε U = U (max) U = U (max) Άρα () U (max) = ( + ) J = 8 J, οότε U (max) = E ολ = 8 J ηµ = Αό τον τύο της U έχουµε ότι ω UΤ = rad/s Άρα Τ UΤ = Τ UΤ = = s UΤ = s ω UΤ Η ερίοδος Τ της ταλάντωσης είναι Τ = Τ UΤ = 8 s Η γωνιακ συχνότητα της ταλάντωσης είναι ω = ω = rad/s Τ β) ιάγραµµα U = f() Έχουµε U = + ηµ µε UΤ = s Για = : U = + ηµ = ( + ) J = J Για = s: U = + ηµ = ( + ) J = 8 J Άρα: Ένα σώµα εκτελεί ΑΑΤ µε εξίσωση κινητικς ενέργειας Κ = + συν (SI) α) Πόση είναι η ερίοδος, η γωνιακ συχνότητα και η ολικ ενέργεια της ταλάντωσης; β) Να γίνει η γραφικ αράσταση Κ = f() Κ = + συν α) Τ, ω, Ε ολ Έχουµε Κ = + συν () Όταν συν =, τότε Κ = Κ max Κ = Κ max Άρα () Κ max = ( + ) J Κ max = J, οότε K max = E ολ = J συν = Αό τον τύο της K έχουµε ότι ω K = rad/s Άρα Τ K = Τ K = = 8 s K = 8 s ω K Όµως η ερίοδος Τ της ταλάντωσης είναι Τ = Τ K = s Η γωνιακ συχνότητα της ταλάντωσης είναι ω = ω = rad/s Τ 8 β) ιάγραµµα Κ = f() Έχουµε K = + συν µε Κ = 8 s Για = : Κ = + συν = ( + ) J = J Για = s: Κ = + συν = ( + ) J = J Άρα: Παρατρηση Oυσιαστικά έχουµε το ίδιο διάγραµµα µε αυτό της ε- φαρµογς Παρατρηση Oυσιαστικά έχουµε το ίδιο διάγραµµα µε αυτό της ε - φαρµογς 8
Αλ Αρµονικ Ταλάντωση Π ΠΩΣ ΕΚΜΕΤΑΛΛΕΥΜΑΣΤΕ ΙΑΦΡΕΣ ΓΡΑΦΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΑΑΤ Γνωρίζουµε ότι φ = ω + φ () Αό το διάγραµµα: Για = είναι φ = rad, άρα () φ = rad Για = s είναι φ = rad, άρα () = ω + ω = ω = rad/s Κ Α =, m Αό το = s Τ = s διάγραµµα έχουµε:, Κ x = Για = οότε φ = υ >, Κ Α =, m Αό το διάγραµµα = s = s έχουµε: = Για οότε φ = (µε αόδειξη Π5) x=+a Κ m/s υ max =, m/s, = s Αό το βρίσκεται στη ΘΙ διάγραµµα Για = είναι υ = υ max, άρα έχουµε: έχει υ > ώστε για =, x = και υ >, οότε φ = (µε αόδειξη Π5) 5 m/s υ max = m/s Αό το διάγραµµα = s Τ = 8 s έχουµε: βρίσκεται στη ΘΙ Για = είναι υ = υ max, άρα έχει υ < ώστε για =, x = και υ <, οότε φ = rad (µε αόδειξη Π5) υ max = m/s Αό το διάγραµµα = s Τ = s έχουµε: Για = είναι υ =, οότε βρίσκεται σε ακραία θέση x = +Α x = Α Εφόσον ξεκινάει έχοντας ταχύτητα υ >, βρίσκεται στη θέση x = Α, οότε: φ = rad (µε αόδειξη Π5) υ(m/s) υ Κ Κ Κ 8
Ενότητα η 7 m/s α max = m/s Αό το =,5 s Τ = s διάγραµµα έχουµε: Για = είναι α = +α max, οότε βρίσκεται στην ακραία θέση Κ µε x Κ = Α, oότε φ = rad (µε αόδειξη Π5) Κ 8 Τ Ε ολ = U Τ(max) = 8 J Αό το διάγραµµα έχουµε: Γνωρίζουµε ότι U Τ = Dx UΤ = s = s = 8 s (Π) Για = είναι U Τ =, οότε x =, άρα φ = φ = rad 9 Ε ολ = Κ max = J Αό το K = s = s = s (Π) O διάγραµµα έχουµε: Γνωρίζουµε ότι Κ = mυ Για = είναι K =, οότε υ =, άρα βρίσκεται σε ακραία θέση x = +A x = Α, συνεώς φ = rad φ = rad (rad) Γνωρίζουµε ότι φ = ω + φ () Αό το διάγραµµα: Για = είναι φ = rad, άρα () φ = rad ω = εφ5 ο ω = rad/s Τ Τ(max) Τ O Τ Τ(max) Για τη φάση της ταχύτητας έχουµε φ (rad) υ = ω + φ + () Αό το διάγραµµα: Για = είναι φ υ = rad, άρα () = φ + φ = rad ω = εφ ο ω = rad/s, Αό το διάγραµµα έχουµε: Α =, m Για τη δύναµη εαναφοράς ισχύει ΣF = Dx () Για x =, m είναι ΣF = Ν, άρα () = D, D = N/m Αό το διάγραµµα έχουµε: Α = cm =, m Για τη δύναµη εαναφοράς ισχύει ΣF = Dx Όµως ω = 8 ο ο = ο εφω = D εφ ο = D D = εφ ο D = N/cm D = N D = N/m m (εφ ο = εφ ο = ) Στις συναρτσεις y = αx και y = αx + β dy α = εφω = dx 8
Π ΓΕΝΙΚΑ ΠΕΡΙ ΦΑΣΗΣ Αλ Αρµονικ Ταλάντωση Έστω ένα αρµονικά εναλλασσόµενο µέγεθος της µορφς X = X max ηµ(ω + φ ) αράγοντας ω + φ ου βρίσκεται στο ηµ ονοµάζεται φάση του µεγέθους Χ και συµβολίζεται ως φ Χ φ Χ = ω + φ Ε Ι Ι Κ Α Σ Τ Η Ν Α Α Τ x = A ηµ(ω + φ ) υ = υ max συν(ω + φ ) α = α max ηµ(ω + φ ) F ε = mα = mα max ηµ(ω + φ ) υ = υ max ηµ( ω + φ + ) α = +α max ηµ(ω + φ + ) F ε = F ε(max) ηµ(ω + φ + ) φάση αοµάκρυνσης φάση ταχύτητας φάση ειτάχυνσης φάση δύναµης εαναφοράς φ x = ω + φ φ υ = ω + φ + φ α = ω + φ + φ Fε = ω + φ + Η φάση φ της ταλάντωσης συµίτει µε τη φάση της αοµάκρυνσης x Άρα φ = φ x = ω + φ Η διαφορά φάσης ταχύτητας και αοµάκρυνσης είναι φ υ,x = φ υ φ x = rad Η διαφορά φάσης ειτάχυνσης και αοµάκρυνσης είναι φ α,x = φ α φ x = rad H διαφορά φάσης ειτάχυνσης και ταχύτητας είναι φ α,υ = φ α φ υ = rad Όταν η διαφορά φάσης µεταξύ δύο µεγεθών είναι rad, τότε, όταν το ένα µέγεθος αοκτά µέγιστη τιµ, το άλλο µη- δενίζεται και αντίστροφα Όταν η διαφορά φάσης µεταξύ δύο µεγεθών είναι rad, τότε: Τα δύο µεγέθη µηδενίζονται ταυτόχρονα Όταν το ένα έχει θετικές τιµές, το άλλο έχει αρνητικές τιµές Όταν το ένα αοκτά τη µέγιστη θετικ τιµ του, το άλλο αοκτά τη µέγιστη αρνητικ τιµ του Όλα τα αραάνω συµεράσµατα φαίνονται στα ακόλουθα διαγράµµατα = x =, υ = +υ max φ υ,x = rad φ α,x = rad φ α,υ = rad = / = / = / = = / = / = / = = / = / = / x = +A, υ = x =, υ = υ max x = Α, υ = x =, α = x = +A, α = α max x =, α = x = A, α = +α max υ = +υ max, α = υ =, α = α max υ = υ max, α = υ =, α = +α max 8
Ενότητα η Π ΥΠΛΓΙΣΜΣ ΧΡΝΙΚΗΣ ΣΤΙΓΜΗΣ Όταν σε µια άσκηση ΑΑΤ ζητούνται οι χρονικές στιγµές ( η χρονικ στιγµ) για τις οοίες ένα σώµα έχει x = γνωστό υ = γνωστό α = γνωστό ΣF = γνωστό Κ = γνωστό U = γνωστό, τότε την ειλύουµε τριγωνοµετρικά Τα χρονικά µεταβαλλόµενα µεγέθη είναι: x = A ηµ(ω + φ ) ΣF = F ε = Dx = F ε(max) ηµ(ω + φ ) υ = υ max συν(ω + φ ) Κ = mυ = Ε ολ συν (ω + φ ) α = α max ηµ(ω + φ ) U = Dx = Ε ολ ηµ (ω + φ ) Eφαρµογές Ένα σώµα εκτελεί ΑΑΤ µε εξίσωση αοµάκρυνσης x = ηµ (SI) A Ποιες χρονικές στιγµές διέρχεται αό τη θέση x = + ; A x = ηµ, x =, Έχουµε x = ηµ Α = m Άρα x = A = m Όµως x = A ηµ(ω + φ ) ω = rad/s Άρα = Τ = s ω Έχουµε x = ηµ x = m = ηµ ηµ = ηµ = ηµ = κ + = κ + = κ +, κ =,, = κ + 5 = κ + 5 = κ + 5, κ =,, Αν η άσκηση ζητούσε οια χρονικ στιγµ διέρχεται αό τη θέση x = + A για τρίτη φορά, τότε: κ = = s (η φορά) κ = = s (η φορά) Κάνουµε όλη την ροηγού- µενη διαδικασία, οότε 9 = s (η φορά) Ώστε το σώµα διέρχεται αό τη θέση x = + A για τρίτη φορά τη χρονικ στιγµ = s Πάµε και σε ιο δύσκολα A Ποια χρονικ στιγµ το σώµα ερνάει αό τη θέση x = + για δεύτερη φορά, έχοντας θετικ φορά κίνησης; A x =, υ >, κ + =, κ =,, κ + 5 =, κ =,, κ = κ = κ = κ = 5 5 = s (5η φορά) 5 = s (η φορά) 7 = s (η φορά) = κ + () Έχουµε x = ηµ x = m = ηµ ηµ = ηµ = ηµ = κ + 5 () 8
Αλ Αρµονικ Ταλάντωση Όµως υ = υ max συν () () υ = υ max συν( ) κ + = υ max συν >, δεκτό υ = υ 5 5 max συν( ) κ + = υ max συν <, αορρίτεται Το ρώτο σύνολο λύσεων αντιστοιχεί σε θετικ ταχύτητα (υ > ) Το δεύτερο σύνολο λύσεων αντιστοιχεί σε αρνητικ ταχύτητα (υ < ) Άρα δεκτό είναι µόνο το ρώτο σύνολο λύσεων κ + () = κ + = κ + =, κ =,, κ = κ = = s (η φορά) = s (η φορά) Άρα = s Παρατρηση Φυσικ ερµηνεία Αό τη στιγµ ου το σώµα ξεκινάει να εκτελεί ΑΑΤ αό ένα σηµείο της τροχιάς του (χ, για x = m), ερνάει άειρες φορές Για τον λόγο αυτό έχουµε άειρες λύσεις Αό τη θέση x = m το σώµα ερνάει και µε θετικ και µε αρνητικ ταχύτητα, όως φαίνεται και στο διάγραµµα Ένα σώµα εκτελεί ΑΑΤ µε εξίσωση αοµάκρυνσης x = ηµ( + ) (SI) Ποιες χρονικές στιγµές έχει αοµάκρυνση x = m; x = ηµ( + ), x = m, Έχουµε x = ηµ( + ) x = m = ηµ( + ) ηµ( + ) = ηµ( + ) = ηµ + = κ + + = κ + + = 8κ + = 8κ, κ =,,, + = κ + + = κ + + = 8κ + = 8κ, κ =,,, Αν η άσκηση ζητούσε να βρούµε οια χρονικ στιγµ διέρχεται αό τη θέση x = m για δεύτερη φορά, τότε: Κάνουµε όλη την ροηγού- µενη διαδικασία, οότε 8κ =, κ =,, 8κ =, κ =,, Ώστε το σώµα διέρχεται αό τη θέση x = m για δεύτερη φορά τη χρονικ στιγµ = 7 s Πάµε και σε ιο δύσκολα Ποια χρονικ στιγµ το σώµα ερνάει αό τη θέση x = m για δεύτερη φορά έχοντας αρνητικ φορά κίνησης; κ = κ = κ = κ = 5 = s (η φορά) = s (η φορά) 7 = s (η φορά) 5 = s (η φορά) 85
Ενότητα η Έχουµε x = ηµ( + ) x = m + = κ + () + = κ + () Όµως υ =υ max συν( + ) () () = ηµ( + ) ηµ( + ) = ηµ( + ) = ηµ υ = υ max συν( ) κ + = υ max συν >, αορρίτεται υ = υ max συν( ) κ + = υ max συν <, δεκτό Το ρώτο σύνολο λύσεων αντιστοιχεί σε θετικ ταχύτητα (υ > ) Το δεύτερο σύνολο λύσεων αντιστοιχεί σε αρνητικ ταχύτητα (υ < ) Άρα δεκτό είναι µόνο το δεύτερο σύνολο λύσεων 8κ () + = κ + + = κ + =, κ =,, κ = κ = 7 = s (η φορά) 5 = s (η φορά) 5 Άρα = s Ένα σώµα εκτελεί ΑΑΤ µε εξίσωση αοµάκρυνσης x = ηµ( ) + (SI) Ποιες χρονικές στιγµές διέρχεται αό τις ακραίες θέσεις του; Eίλυση βασικών τριγωνοµετρικών εξισώσεων, σελίδα 8 x = ηµ( ) +, x = ±Α = ± m, Έχουµε x = (κ + ) ηµ( ) + x = ± m ± = ηµ( ) ( ) + ηµ + = ± + = + = κ + + = κ + = κ + = κ + = κ +, κ =,,, ( Ένα σώµα εκτελεί ΑΑΤ µε εξίσωση κινητικς ενέργειας Κ = Ε ολ συν ) + (SI) Ποιες χρονικές στιγµές η κινητικ του ενέργεια είναι Κ = Ε ολ ; ( Κ = Ε ολ συν ) +, Κ = Ε, ολ ος τρόος ( Έχουµε Κ = Ε ολ συν ) συν( + Ε = Ε + ολ ολ ) συν( ) + ( = ) συν + = ± συν( ) + = συν 5 συν( ) + = συν + = κ + + = κ + = κ + 5 + = κ 5 + = κ + + = κ + = κ + 5 + = κ 5 + = κ + + = κ + = κ + 5 + = κ 5 8
Αλ Αρµονικ Ταλάντωση = κ = κ = κ + = κ 8 = κ (), κ =,, κ = (), κ =,, = κ + (), κ =,, = κ (), κ =,, () κ = κ = 5 = s 8 = s () Μερικές χρονικές στιγµές είναι: κ = κ = = s () κ = κ = 7 = s = s 7 5 = s () κ = κ = = s 8 = s ος τρόος U Έχουµε Κ = Ε ολ, οότε U = Ε ολ, άρα = K Ε U ολ ηµ ( + ) K Ε ολ συν ( + ) Ισχύει Κ = Ε ολ συν ( + ) και U = Ε ολ ηµ( + ) Eίναι = = εφ ( + ) = εφ ( + ) = ± εφ( ) + = ( ) εφ + εφ( ) + = ( ) εφ + = εφ + = κ + + = κ + = εφ 5 + = κ + 5 + = κ + 5 κ + = κ + = = κ (5), κ =,, + = κ + 5 = κ + = κ + (), κ =,, (5) κ = κ = κ = κ = Μερικές χρονικές στιγµές είναι: κ = = s 5 κ = = s () 8 κ = = s κ = 8 = s = s = s 7 5 = s 7 = s Παρατρηση ι λύσεις, είτε µε τον ρώτο τρόο είτε µε τον δεύτερο, είναι ισοδύναµες 87
Ενότητα η Π5 ΥΠΛΓΙΣΜΣ ΧΡΝΥ ΜΕΤΑΒΑΣΗΣ ΜΕΤΑΞΥ Υ ΘΕΣΕΩΝ ΣΤΗΝ ΑΑΤ 88 Λαµβάνοντας υόψη ότι για την αευθείας µετάβαση αό τη ΘΙ στην ακραία θέση και αντίστροφα ααιτείται χρόνος =, Τ αν η αρχικ θέση και η τελικ θέση είναι η ΘΙ µια ακραία θέση, τότε ισχύουν χωρίς αόδειξη: = Τ = Τ ( Κ) (Κ Κ ) = Τ = Τ (Κ ) ( Κ Κ ) O Αν µία τουλάχιστον αό τις δύο θέσεις δεν είναι η ΘΙ µία ακραία θέση, τότε χρησιµοοιούµε τη µέθοδο του στρεφόµενου διανύσµατος Όταν ένα σώµα εκτελεί οµαλ κυκλικ κίνηση, τότε η ροβολ του στην κατακόρυφη διάµετρο του κύκλου εκτελεί ΑΑΤ Θεωρούµε λοιόν το στρεφόµενο διάνυσµα της αο- µάκρυνσης, το οοίο το σχεδιάζουµε στην αρχικ του θέση () και στην τελικ του θέση () Υολογίζουµε τη γωνία φ ου διαγράφει το στρεφόµενο διάνυσµα Υολογίζουµε τον χρόνο αό τους τύους: φ = ω φ = Eφαρµογ µε στρεφόµενο διάνυσµα Να υολογιστεί ο χρόνος κατά την αευθείας µετάβαση ενός σώµατος ου εκτελεί ΑΑΤ µεταξύ των θέσεων: α) και Γ, όταν x Α Α O =, x Γ = και Τ = s β) Γ και Κ, όταν x Γ = +, x K = +A και Τ = s γ) Γ και, όταν x Α Α Α Γ =, x = και Τ = 8 s δ) Γ και στη διαδροµ Γ Κ, όταν x Γ = +, α) Τ = s, x Α =, x Γ = +, ( Γ) Όταν ένα σώµα εκτελεί οµαλ κυκλικ κίνηση, τότε η ροβολ του στην κατακόρυφη διάµετρο εκτελεί ΑΑΤ Θεωρούµε λοιόν το στρεφόµενο διάνυσµα της αοµάκρυνσης, το οοίο το σχεδιά- Α ζουµε στην αρχικ του θέση () (x = ) και στην τελικ του θέση () ( x Γ = ) Υολογίζουµε τη γωνία φ ου διαγράφει το στρεφόµενο διάνυσµα: Α ηµ( φ) = ηµ( φ) = φ = rad A φ = ω = = = s Α β) Τ = s, x Γ = +, x K = +A, (Γ Κ) Όταν ένα σώµα εκτελεί οµαλ κυκλικ κίνηση, τότε η ροβολ του στην κατακόρυφη διάµετρο εκτελεί ΑΑΤ Θεωρούµε λοιόν το στρεφόµενο διάνυσµα της αοµάκρυνσης, το οοίο το σχεδιά- Α ζουµε στην αρχικ του θέση () ( x Γ = ) και στην τελικ του θέση () (x K =+Α) Υολογίζουµε τη γωνία φ ου διαγράφει το στρεφόµενο διάνυσµα: Α συν( φ) = συν( φ) = φ = rad A φ = ω = = = s 8 x K = +A, x O = και Τ = s Το µκος του στρεφόµενου διανύσµατος είναι Α Eίναι λάθος να ούµε ότι το Τ Τ ( Γ) = =, 8 διότι η ταχύτητα στην ΑΑΤ διαρκώς µεταβάλλεται O O
Αλ Αρµονικ Ταλάντωση Α Α γ) x Γ = +, x =, Τ = 8 s, (Γ ) Όταν ένα σώµα εκτελεί οµαλ κυκλικ κίνηση, τότε η ροβολ του στην κατακόρυφη διάµετρο εκτελεί ΑΑΤ Θεωρούµε λοιόν το στρεφόµενο διάνυσµα της αοµάκρυνσης, το οοίο το σχεδιάζουµε στην αρχικ του θέση () Α Α ( x = + Γ ) ( και στην τελικ του θέση () x = ) Υολογίζουµε τη γωνία φ ου διαγράφει το στρεφόµενο διάνυσµα Eίναι φ = φ + φ Α ηµ( φ ) = ηµ( φ ) = φ = rad Α A ηµ( φ ) = ηµ( φ ) = φ = rad A Άρα φ = ( ) + rad = rad Τ φ = ω = = = s δ) = s, x Α Γ = +, x K = +A, x O =, (Γ Κ ) ος τρόος Όταν ένα σώµα εκτελεί οµαλ κυκλικ κίνηση, τότε η ροβολ του στην κατακόρυφη διάµετρο εκτελεί ΑΑΤ Θεωρούµε λοιόν το στρεφόµενο διάνυσµα της αοµάκρυνσης, το οοίο το σχεδιάζουµε Α στην αρχικ του θέση () ( x Γ = + ) και στην τελικ του θέση () (x = ) Υολογίζουµε τη γωνία φ ου διαγράφει το στρεφόµενο διάνυσµα Είναι φ = φ + Α συν( φ ) = συν( φ ) = φ = rad A Άρα φ = 5 ( ) + rad φ = rad 5 5Τ φ = ω = = = 5 s ος τρόος = Τ (Γ Κ ) = (Γ Κ) + (Κ O) = (Γ Κ) + () Υολογίζουµε το (Γ Κ) κάνοντας όλη την ροηγούµενη διαδικασία µέχρι φ = rad Τ φ = ω (Γ Κ) = (Γ Κ) (Γ Κ) = Τ Τ Τ 5Τ ότε = + = = 5 s O O 89
Ενότητα η Π ΡΥΘΜΣ ΜΕΤΑΒΛΗΣ (ΡΜ) ΤΗΣ ΚΙΝΗΤΙΚΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ ΥΝΑΜΙΚΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗΣ ΣΤΗΝ ΑΑΤ dk = ΣF υ = Dxυ d du = ΣFυ = +Dxυ d α x, υ αντικαθίστανται αλγεβρικά, δηλαδ µε τα ρόσηµά τους ισχύει dκ du ( = ( = mω Α d )max d )max Μέγιστη τιµ του ΡΜ της dκ κινητικς ενέργειας ( ) max d Μέγιστη τιµ του ΡΜ της du d δυναµικς ενέργειας ( ) max στις θέσεις όταν τις χρονικές στιγµές ισχύει Α x = ± U = K ω + φ κ = + dκ du ( = ( = ωε d ολ )max d )max 9 Αόδειξη Ένα σώµα εκτελεί ΑΑΤ, άρα: x = A ηµ(ω + φ ) () υ = ωα συν(ω + φ ) () D = mω () Έχουµε dk = ΣFυ dk = Dxυ (),() dk = mω Α ηµ(ω + φ )ωα συν(ω + φ ) d d () d dk = mω Α ηµ(ω + φ dk ) συν(ω + φ ) = mω Α ηµ(ω + φ ) () d d dκ Αό την () έχουµε ( )max= mω Α (5) d Αό την () ο ρυθµός µεταβολς της κινητικς ενέργειας γίνεται µέγιστος, όταν: ηµ(ω + φ κ ) = ± ω + φ = κ + ω + φ = + () Ισχύει x = A ηµ(ω + φ κ Α ) () x = Α ηµ( ) + x = ±Α ηµ x = ± (7) A Ισχύει U Τ = Dx (7) U Τ = D U Τ = DΑ U Τ = Ε ολ Άρα U Τ = K dk du Τ du Σε κάθε ΑΑΤ: Κ + U Τ dk Τ = Ε ολ = σταθ + = = d d d d du Άρα Τ dk ( = ( = mω Α d )max d )max Ισχύει E ολ = DA Ε ολ = mω Α Όµως dk dk dk ( = mω Α ( = ω mω Α ( = ωε ολ d )max d )max d )max ηµα = ηµα συνα ηµα συνα = ηµα
Αλ Αρµονικ Ταλάντωση Π7 ΕΛΑΤΗΡΙΑ ΣΤΗΝ ΑΑΤ Πότε ένα σώµα εκτελεί ΑΑΤ Για να εκτελεί ένα σώµα ΑΑΤ, ρέει σε µια τυχαία θέση της κίνησης η συνισταµένη δύναµη να είναι ανάλογη και να έχει φορά αντίθετη της αοµάκρυνσης, δηλαδ αλγεβρικά να ισχύει η σχέση: ΣF = F ε = Dx Πώς αοδεικνύουµε ότι εκτελεί ΑΑΤ Βρίσκουµε τη ΘΙ της ταλάντωσης σχεδιάζοντας τις δυνά- µεις ου ενεργούν στο σώµα και ααιτώντας ΣF = Θεωρούµε αυθαίρετα τη θετικ φορά Σχεδιάζουµε το σώµα σε µια τυχαία θέση µε αοµάκρυνση x αό τη ΘΙ κατά τη θετικ φορά Υολογίζουµε αλγεβρικά τη συνισταµένη των δυνάµεων ου ασκούνται στο σώµα στη θέση αυτ Αν η ΣF είναι αντίθετη και ανάλογη της αοµάκρυνσης x, δηλαδ είναι της µορφς ΣF = Dx, τότε το σώµα εκτελεί ΑΑΤ Eφαρµογές Στις αρακάτω εφαρµογές εκτρέουµε το σώµα αό τη θέση ισορροίας του και το αφνουµε ελεύθερο Να αοδείξετε ότι το σώµα εκτελεί ΑΑΤ και να υολογίσετε τη γωνιακ συχνότητα ω και την ερίοδο Τ της ταλάντωσης ριζόντιο ελατριο σε λείο δάεδο m = g, = 5 N/m, AA ;, ω, Τ Η θέση ισορροίας (ΘΙ) της ταλάντωσης ταυτίζεται µε τη θέση φυσικού µκους του ελατηρίου (ΘΦΜ) διότι η ΣF O = Θεωρούµε το σώµα στην τυχαία θέση (Γ) θετικς αοµάκρυνσης x αό τη ΘΙ και σχεδιάζουµε τις δυνάµεις Στην τυχαία θέση (Γ) έχουµε ΣF = F ελ ΣF = x Εειδ η ΣF είναι αλγεβρικά αντίθετη και ανάλογη της αοµάκρυνσης x, το σώµα εκτελεί ΑΑΤ µε D = = mω ω = m ω = 5 rad/s Τ = Τ = s ω 5 Kατακόρυφο ελατριο m = g, = N/m, g = m/s, AA ;, ω, Τ A B m εκτελεί ΑΑΤ µε ΘΙ το () µε D = = mω µε ω = /m Τ = m/ εκτελεί ΑΑΤ µε ΘΙ το (Γ) m µε D = = mω µε ω = /m Τ = m/ (Σχµα Ι) Η θέση ισορροίας της ταλάντωσης είναι στη θέση (Γ), όου το ελατριο έχει ειµηκυνθεί (Σχ Α) συσειρωθεί (Σχ Β) κατά x Ισχύει ΣF Γ = F ελ = Β mg x = mg () x = x =, m (Σχµα ΙΙ) Θεωρούµε το σώµα στην τυχαία θέση ( ) θετικς αοµάκρυνσης x αό τη ΘΙ και σχεδιάζουµε τις δυνάµεις Β και F έλ Έχουµε ΣF = Β F έλ ΣF = mg (x + x) ΣF = mg x x () ΣF = x Eειδ η ΣF είναι αλγεβρικά αντίθετη και ανάλογη της αοµάκρυνσης x, το σώµα εκτελεί ΑΑΤ µε D = K = mω ω = ω= rad/s m Τ = Τ =, s ω 9
Ενότητα η Ελατριο σε λείο κεκλιµένο είεδο φ = ο, m = g, = N/m, g = m/s, AA ;, ω, Τ A B (Σχµα Ι) Η θέση ισορροίας της ταλάντωσης είναι στη θέση (Γ), όου το ελατριο έχει ειµηκυνθεί (Σχ Α) συσειρωθεί (Σχ Β) κατά x Ισχύει ΣF Γ = F ελ = Β x x = mg ηµ ο () mg ηµ ο x = x =, m (Σχµα ΙΙ) Θεωρούµε το σώµα στην τυχαία θέση ( ) θετικς αοµάκρυνσης x αό τη ΘΙ και σχεδιάζουµε τις δυνάµεις Β και F έλ Έχουµε ΣF = Β x F έλ ΣF = mg ηµ ο (x + x) ΣF = mg ηµ ο x x () ΣF = x Eειδ η ΣF είναι αλγεβρικά αντίθετη και ανάλογη της αοµάκρυνσης x, το σώµα εκτελεί ΑΑΤ µε D = εκτελεί ΑΑΤ µε ΘΙ το (Γ) m µε D = = mω µε ω = /m Τ = m/ = mω ω = ω= rad/s m Τ = ω Τ =, s Στο σύστηµα ελατηρίου σώµατος στην ΑΑΤ: Αν το ελατριο είναι οριζόντιο, τότε η ΘΦΜ ελ ΘΙ ταλ Αν το ελατριο είναι κατακόρυφο λάγιο, τότε η ΘΦΜ ελ / ΘΙ ταλ Ισχύει άντα: D = ω = Τ = m f = m m Τα ω, Τ, f εξαρτώνται αό τη µάζα m του σώµατος και τη σταθερά του ελατηρίου Τα ω, Τ, f δεν εξαρτώνται αό το λάτος Α της ταλάντωσης 9
Π8 ΕΠΙ ΡΑΣΗ ΣΤΑΘΕΡΗΣ ΥΝΑΜΗΣ F ΣΤ ΣΥΣΤΗΜΑ ΜΑΖΑΣ ΕΛΑΤΗΡΙΥ Αλ Αρµονικ Ταλάντωση Στο οριζόντιο ελατριο, όταν ειδρά σταθερ δύναµη F Η σταθερ δύναµη F µορεί να είναι η δύναµη F ηλ ενός οµογενούς ηλεκτρικού εδίου, όταν το σώµα m φέρει φορτίο q και βρίσκεται σε οµογενές ηλεκτρικό εδίο έντασης Ε Ισχύει, όως άντα, D = K Όµως ΘΦΜ ελ / ΘΙ ταλ µογενές ηλεκτρικό εδίο Ε = σταθ F ηλ = Eq Eφαρµογές Σώµα µάζας m = g ισορροεί σε λείο οριζόντιο δάεδο και είναι δεµένο στο ένα άκρο οριζόντιου ελατηρίου σταθεράς = 7 Ν/m, το άλλο άκρο του οοίου είναι στερεωµένο, όως φαίνεται στο σχµα Τη χρονικ στιγµ = αρχίζει να εξασκείται σταθερ δύναµη F = N µε φορά ρος τα δεξιά α) Να αοδείξετε ότι το σώµα θα εκτελέσει ΑΑΤ β) Να βρείτε τη γωνιακ συχνότητα, την ερίοδο και το λάτος της ταλάντωσης F = N m = g = 7 N/m υ = εκτελεί ΑΑΤ µε ΘΙ το (Γ) m µε D = = mω µε ω = /m Τ = m/ α) AA ; β) ω, Τ, Α (Σχµα ΙΙ) (Σχµα ΙΙΙ) = mω Λόγω της είδρασης της F, η Θεωρούµε το σώµα στην τυχαία θέση ( ) ΘΙ (Γ) της ταλάντωσης βρίσκεται δεξιά αό τη ΘΦΜ ελ θετικς αοµάκρυνσης x αό τη ΘΙ και ω = ω= rad/s m, σχεδιάζουµε τις δυνάµεις F, F έλ στον ά- όου το ελατριο έχει ειµηκυνθεί ξονα της κίνησης Τ = Τ = s κατά x Έχουµε ΣF = F F έλ Ισχύει ΣF Γ = F ελ = F ΣF = F (x + x) x = F () x F = x =,5 m ΣF = F x x () ΣF = x Eειδ η ΣF είναι αλγεβρικά αντίθετη και ανάλογη της αοµάκρυνσης x, το σώµα εκτελεί ΑΑΤ µε D = Σώµα ου έχει µάζα m = g και φορτίο q = C στερεώνεται στο ελεύθερο άκρο οριζόντιου ελατηρίου σταθεράς = 7 N/m και τη χρονικ στιγµ = αφνεται ελεύθερο Στον χώρο ου βρίσκεται το σύστηµα φορτισµένου σώµατος ελατηρίου υάρχει οριζόντιο οµογενές ηλεκτρικό εδίο έντασης Ε = 8 N/C Το λείο οριζόντιο δάεδο είναι µονωµένο α) Να αοδείξετε ότι το φορτισµένο σώµα εκτελεί ΑΑΤ β) Να βρείτε τη γωνιακ συχνότητα, την ερίοδο και το λάτος της ταλάντωσης Ε = 8 N/C, q = C, m = g, = 7 N/m, υ =, AA ;, ω, Τ, Α Το φορτισµένο σώµα δέχεται αό το ηλεκτρικό εδίο την F ηλ = Εq = N Η λύση είναι όµοια µε αυτν της εφαρµογς () αν στη θέση της F βάλουµε την F ηλ ω (Σχµα Ι) Eφόσον το σώµα ξεκινά αό το () µε υ =, η θέση αυτ είναι ακραία Άρα Α = x =,5 m Ε Γ 9
Ενότητα η Στο ελεύθερο άκρο κατακόρυφου ελατηρίου σταθεράς = N/m στερεώνουµε σώµα µάζας m = g, ου φέρει φορτίο q = C (φορτισµένο σώµα) και τη χρονικ στιγµ = το αφνουµε ελεύθερο, όως φαίνεται στο διλανό σχµα Το σύστηµα µάζας ελατηρίου βρίσκεται µέσα σε κατακόρυφο οµογενές ηλεκτρικό εδίο έντασης E = N/C, ου έχει φορά ρος τα κάτω α) Να δείξετε ότι το φορτισµένο σώµα θα εκτελέσει ΑΑΤ β) Να υολογιστούν το λάτος Α, η γωνιακ συχνότητα και η ερίοδος της ταλάντωσης ίνεται g = m/s m = g g = m/s E = Ν/C q = C = N/m E (Σχµα Ι) o φορτισµένο σώµα στη ΘΦΜ του ελατηρίου δέχεται δύο δυνάµεις, το βάρος του Β και την F ηλ F ηλ = Εq = N } ΣF = F ηλ + Β ΣF = N µε κατεύθυνση ρος τα κάτω Β = mg = N α) AA ; β) ω, Τ, Α (Σχµα ΙΙ) (Σχµα IV) = mω Λόγω της είδρασης της ΣF, η Θεωρούµε το σώµα στην τυχαία θέση (Ε) θετικς αοµάκρυνσης x αό τη ΘΙ και σχε- m ω = ω= rad/s ΘΙ της ταλάντωσης είναι στη θέση ( ), όου το ελατριο έχει διάζουµε τις δυνάµεις F, Β, F έλ ηλ Έχουµε ΣF Ε = Β + F ηλ F ειµηκυνθεί κατά x Τ = Τ =, s έλ ω Ισχύει ΣF = F ελ = Β + F ηλ x = B + F ηλ () ΣF Ε = Β + F ηλ (x + x) ΣF Ε = Β + F ηλ x x () ΣF Ε = x Β + F ηλ x = x =, m Eειδ η ΣF είναι αλγεβρικά αντίθετη και ανάλογη της αοµάκρυνσης x, το σώµα εκτελεί ΑΑΤ µε D = (Σχµα ΙΙΙ) Eφόσον το σώµα ξεκινά αό το (Γ) µε υ Γ =, η θέση (Γ) είναι ακραία Άρα Α = x =, m εκτελεί ΑΑΤ µε ΘΙ το ( ) µε D = = mω = N/m m µε ω = /m = rad/s µε Τ = m/ =, s µε Α = x =, m 9
Στο ελεύθερο άκρο κατακόρυφου ελατηρίου σταθεράς = N/m στερεώνουµε σώµα µάζας m = g, ου φέρει φορτίο q =,5 C (φορτισµένο σώµα) και τη χρονικ στιγµ = το αφνουµε ελεύθερο, όως φαίνεται στο διλανό σχµα Το σύστηµα µάζας ελατηρίου βρίσκεται µέσα σε κατακόρυφο οµογενές ηλεκτρικό εδίο έντασης E = N/C, ου έχει φορά ρος τα άνω α) Να δείξετε ότι το φορτισµένο σώµα θα εκτελέσει ΑΑΤ β) Να υολογίσετε το λάτος Α, τη γωνιακ συχνότητα και την ερίοδο της ταλάντωσης ίνεται g = m/s m = g = Ν/m E = N/C q =,5 C g = m/s Αλ Αρµονικ Ταλάντωση (Σχµα Ι) o φορτισµένο σώµα στη ΘΦΜ του ελατηρίου δέχεται δύο δυνάµεις, το βάρος του Β και την F ηλ F ηλ = Εq = N } ΣF = F ηλ Β ΣF = N µε κατεύθυνση ρος τα άνω Β = mg = N α) AA ; β) ω, Τ, Α (Σχµα ΙΙ) Λόγω της είδρασης της ΣF,η ΘΙ της ταλάντωσης είναι στη θέση ( ), όου το ελατριο έχει ειµηκυνθεί κατά x Ισχύει ΣF = F ηλ = Β + F ελ F ηλ = Β + x () x = F ηλ Β F ηλ Β x = x =, m (Σχµα IV) Θεωρούµε το σώµα στην τυχαία θέση (Ε) θετικς αοµάκρυνσης x αό τη ΘΙ και σχεδιάζουµε τις δυνάµεις F, Β, F έλ ηλ Έχουµε ΣF Ε = F ηλ Β F έλ ΣF Ε = F ηλ Β (x + x) ΣF Ε = F ηλ Β x x () ΣF Ε = x Eειδ η ΣF είναι αλγεβρικά αντίθετη και ανάλογη της αοµάκρυνσης x, το σώµα εκτελεί ΑΑΤ µε D = = mω ω = ω= rad/s m Τ = ω Τ =, s (Σχµα ΙΙΙ) Eφόσον το σώµα ξεκινά αό το (Γ) µε υ Γ =, η θέση (Γ) είναι ακραία Άρα Α = x =, m εκτελεί ΑΑΤ µε ΘΙ το ( ) µε D = = mω = N/m m µε ω = /m = rad/s µε Τ = m/ =, s µε Α = x =, m 95
Ενότητα η Π9 ΚΛΑΣΙΚΙ ΤΡΠΙ ΗΜΙΥΡΓΙΑΣ ΑΑΤ KAI ΕΥΡΕΣΗ ΤΥ ΠΛΑΤΥΣ Α Eφαρµογ Το σώµα του διλανού σχµατος έχει µάζα m = g και ισορροεί στη ΘΦΜ του ελατηρίου σταθεράς = N/m Να βρεθεί το λάτος Α της ταλάντωσης όταν: O α) εκτρέουµε το σώµα κατά d =, m και το αφνουµε ελεύθερο β) εκτοξεύουµε το σώµα αό την αρχικ του θέση µε υ = m/s γ) εκτρέουµε το σώµα κατά d =, m (θέση (Γ)) και το εκτοξεύουµε µε ταχύτητα υ = m/s δ) εκτρέουµε το σώµα ροσφέροντάς του ενέργεια,5 J ε) στο σώµα αρχίζει να ασκείται σταθερ οριζόντια δύναµη F = N, η οοία, όταν το σώµα έχει µετακινηθεί κατά d =, m, καταργείται m = g, = N/m, Α α) d =, m Εφόσον το σώµα αφνεται στη θέση (Γ) χωρίς ταχύτητα (υ Γ = ), η θέση (Γ) είναι ακραία Άρα Α = d =, m = β) υ = m/s = Η ταχύτητα υ του σώµατος είναι µέγιστη, διότι το () είναι η ΘΙ της ταλάντωσης υ Άρα υ = υ max = ωα Α = ω () Είναι =mω ω = m ω = rad/s Άρα () Α =, m γ) x Γ = d =, m, υ Γ = υ = m/s Εφόσον στη θέση (Γ) το σώµα έχει ταχύτητα υ = υ Γ, το (Γ) είναι ενδιάµεσο σηµείο της τροχιάς της ταλάντωσης Εφαρµόζοντας Α ΕΤ έχουµε: Κ Γ + U (Γ) = Ε ολ mυ Γ + Dx Γ = DA D = = mυ Γ + x Γ mυ Γ + x Α = Α = Γ Α =, m δ) E ροσ =,5 J Η ενέργεια ου ροσφέραµε στο σώµα είναι ίση µε την ενέργεια της ταλάντωσης, οότε E ροσ = Ε ολ =,5 J () E ολ Εολ = E ροσ Α = E ολ Α = Α =, m ε) F = N, d =, m Υολογίζουµε το έργο της F: W F = Fd W F = J Η ενέργεια της ταλάντωσης E oλ ισούται µε την ενέργεια ου ροσφέραµε στο σύστηµα µέσω του έργου της F, δηλαδ Ε ολ = W F = W F Εολ = W F Α = W F A = A =, m Ερώτηση: Πόση ταχύτητα έχει το σώµα τη στιγµ της κατάργησης της F; Εφαρµόζοντας Α ΕΤ στη θέση (Γ) έχoυµε: Κ Γ + U (Γ) = Ε ολ mυ Γ + d = Ε ολ Ε ολ d mυ Γ + d =Ε ολ υ Γ = υ Γ = m/s m Στην ΑΑΤ ισχύει άντα E ολ = Ε ροσ = Ε χηµ = W F 9
Αλ Αρµονικ Ταλάντωση Π ΘΡΑΥΣΗ ΝΗΜΑΤΣ ΣΤΗΝ ΑΑΤ Υάρχουν εριτώσεις στις οοίες στο σώµα δεν ασκείται δύναµη F αευθείας αλλά µέσω αβαρούς νµατος Κάθε νµα έχει ένα όριο θραύσης F θρ Αν η F άρει τιµές µεγαλύτερες ίσες µε την F θρ, το νµα σάει Το νµα σάει όταν F F θρ Στις ασκσεις αυτς της µορφς η δύναµη F είναι δύναµη µεταβλητού µέτρου Eφαρµογ Σώµα µάζας m = g είναι δεµένο στο ελεύθερο άκρο οριζόντιου ελατηρίου σταθεράς = Ν/m και ισορροεί σε λείο οριζόντιο δάεδο Ασκούµε στο σώµα µέσω νµατος εξωτερικ οριζόντια δύναµη F, της οοίας το µέτρο µεταβάλλεται µε την αοµάκρυνση x του σώµατος αό τη ΘΙ του σύµφωνα µε τη σχέση F = + x (SI) α) Να βρείτε τη θέση στην οοία σάει το νµα, αν F θρ = Ν β) Να αοδείξετε ότι στη συνέχεια το σώµα θα εκτελέσει ΑΑΤ και να βρείτε το λάτος της γ) Πόση είναι η ταχύτητα του σώµατος όταν σάει το νµα; = Ν/m, m = g, F = + x α) F θρ = Ν, x Το νµα σάει στη θέση ( ), όου F = F θρ + x = x =, m (I) β) ΑΑΤ ;, A (Σχµα IV) Θεωρούµε το σώµα στην τυχαία θέση (Ε) θετικς αοµάκρυνσης x αό τη ΘΙ της ταλάντωσης Η µοναδικ δύναµη στον άξονα της κίνησης είναι η F ελ (II) Έχουµε ΣF Ε = F ελ = x Εειδ η ΣF είναι αλγεβρικά αντίθετη και ανάλογη της αοµάκρυνσης x, το σώµα εκτελεί ΑΑΤ µε D = Η ολικ ενέργεια της ταλάντωσης Ε ολ είναι ίση µε την ενέργεια ου ροσφέρει στο σύστηµα η F µέσω του έργου της W F (III) W Άρα F Εολ = W F A = W F A = () Θα υολογίσουµε το W F Εειδ η F είναι δύναµη µεταβλητού µέτρου, θα κάνουµε διάγραµµα F = f(x) και θα υολογίσουµε το W F (IV) αό το εµβαδόν Ε F = +x µε x, m Για x = : F = N Για x =, m: F = N γ) υ oς τρόος µε Α ΕΤ (Σχµα ΙΙΙ) Εφαρµόζοντας Α ΕΤ στη θέση ( ) έχουµε: Κ + U ( ) = Ε ολ mυ + x = Ε ολ υ +, = υ = m/s oς τρόος εύρεσης µε ΘΜΚΕ (Σχµατα Ι, ΙΙΙ) Για τη συνισταµένη δύναµη στον άξονα της κίνησης έχουµε: ΣF = F F ελ ΣF = F x ΣF = + x x ΣF = N Εφαρµόζοντας ΘΜΚΕ µεταξύ των θέσεων (Γ), ( ) έχουµε: ΘΜΚΕ (Γ, ): Κ = W ΣF K τελ( ) Κ αρχ(γ) = W ΣF mυ = +ΣF x ΣF x mυ = ΣF x υ = υ = m/s m Ένα συχνό λάθος είναι: Νοµίζουµε ότι στη θέση ( ) ου σάει το νµα το σώµα δεν έχει ταχύτητα υ (+), W F =E= J W F = J, δηλαδ Ε ολ = W F = J () A = m 97
Ενότητα η Π ΣΥΝ ΕΣΗ ΕΛΑΤΗΡΙΩΝ Α ΣΥΝ ΕΣΗ ΕΛΑΤΗΡΙΩΝ ΠΑΡΑΛΛΗΛΑ x = = () F ελ() = = x () F ελ() = = x () U ελ() = = x () U ελ() = = x (5) Θα αοδείξουµε ότι το σώµα εκτελεί ΑΑΤ µε D = + Θεωρούµε το σώµα στην τυχαία θέση ( ) θετικς αοµάκρυνσης x αό τη ΘΙ του (Γ) ΣF = F ελ() F ελ() () ΣF = x x ΣF = ( + )x () Eειδ η ΣF είναι αλγεβρικά αντίθετη και ανάλογη της αοµάκρυνσης x, το σώµα εκτελεί ΑΑΤ µε D = + Αν =, τότε D = Β ΣΥΝ ΕΣΗ ΕΛΑΤΗΡΙΩΝ ΣΕ ΣΕΙΡΑ F ελ() = () F ελ() = () F ελ() = F ελ() () x = + () U ελ() = (5) U ελ() = () D = + () (µε αόδειξη) U = Dx = ( + )x (7) U ελ() F ελ() = = (8) U ελ() F ελ() U = Dx (7) D = (8) (µε αόδειξη) + U ελ() = = (9) (µε αόδειξη) U ελ() Θα αοδείξουµε ότι το σώµα εκτελεί ΑΑΤ µε D = + Θεωρούµε το σώµα στην τυχαία θέση ( ) θετικς αοµάκρυνσης x αό την κατάσταση φυσικού µκους του ελατηρίου (θέση (Γ)) Η µοναδικ δύναµη ου δέχεται στον άξονα της κίνησης είναι η F ελ() Άρα ΣF = F ελ() F ελ() F ελ() + Έχουµε x = + () x = + () x = F ελ() ( ) + x = F F ελ() ελ() = x () + Άρα ΣF = x + Eειδ η ΣF είναι αλγεβρικά αντίθετη και ανάλογη της αοµάκρυνσης x, το σώµα εκτελεί ΑΑΤ µε D = + Aν =, τότε D = D = Τα ελατρια είναι αβαρ, οότε ΣF = F ελ() = F ελ() () Στη θέση ( ) το σώµα έρχεται σε εαφ µόνο µε το ελατριο () Εφόσον λοιόν δεν έρχεται σε εαφ µε το ελατριο (), δε δέχεται δύναµη αό αυτό Έχουµε Fελ() = F ελ() () = = (9) () Έχουµε: U ελ() = } U ελ() U ελ() ( = (9) ) = = = (9) U U ελ() U ελ() ελ() = 98
Αλ Αρµονικ Ταλάντωση Γ ΌΤΑΝ Τ ΣΩΜΑ ΒΡΙΣΚΕΤΑΙ ΑΝΑΜΕΣΑ ΣΕ Υ ΕΛΑΤΗΡΙΑ D = + (µε αόδειξη) Ι Στη θέση (Γ) το σώµα ισορροεί, οότε ΣF Γ = F ελ() = F ελ() = () Στην τυχαία θέση ( ) θετικς αοµάκρυνσης x αό τη ΘΙ του (Γ) έχουµε: ΣF = F έλ() + F έλ() ΣF = ( + x) + ( x) ΣF = x + x () ΣF = ( + )x Eειδ η ΣF είναι αλγεβρικά αντίθετη και ανάλογη της αοµάκρυνσης x, το σώµα εκτελεί ΑΑΤ µε D = + ΙΙ Στη θέση (Γ) το σώµα ισορροεί, οότε ΣF Γ = F ελ() + F ελ() = B + = mg () Στην τυχαία θέση ( ) θετικς αοµάκρυνσης x αό τη ΘΙ του (Γ) έχουµε: ΣF = F F + B ΣF = ( + x) έλ() έλ() ( + x) + mg ΣF = x x + mg () ΣF = ( + )x Eειδ η ΣF είναι αλγεβρικά αντίθετη και ανάλογη της αοµάκρυνσης x, το σώµα εκτελεί ΑΑΤ µε D = + 99
Ενότητα η Π AA ΣΥΣΤΗΜΑΤΣ ΜΑΖΑΣ ΕΛΑΤΗΡΙΥ ΚΑΙ ΜΕΤΩΠΙΚΗ ΠΛΑΣΤΙΚΗ ΚΡΥΣΗ P ολ(πριν) = P ολ(μετά) Κ ολ(πριν) > Κ ολ(μετά) Q θ(κρούσης) = Κ ολ(πριν) Κ ολ(μετά) Πλαστικ κρούση µεταξύ δύο σωµάτων ονοµάζεται η κρούση στην οοία δηµιουργείται συσσωµάτωµα και τα δύο σώµατα µετά την κρούση κινούνται σαν ένα Στην ενότητα αυτ θα µας αασχολσει µόνο η µετωικ λαστικ κρούση στην οοία οι ταχύτητες των σωµάτων ριν την κρούση και η ταχύτητα του συσσωµατώµατος µετά την κρούση βρίσκονται στην ίδια ευθεία Στην λαστικ κρούση το σύστηµα των σωµάτων θεωρείται µονωµένο, οότε ισχύει η αρχ διατρησης της ορµς (Α ) P ολ(πριν) = P ολ(μετά) Κατά την λαστικ κρούση υάρχει αώλεια ενέργειας, η οοία γίνεται θερµότητα κατά την κρούση, δηλαδ: αώλεια της µηχανικς ενέργειας = αώλεια της κινητικς ενέργειας = θερµότητα κατά την κρούση Ε µηχ = Ε κιν = Q θ(κρούσης) = Κ ολ(πριν) Κ ολ(μετά) Π AA (m ΕΛΑΤΗΡΙΥ) + ΠΛΑΣΤΙΚΗ ΚΡΥΣΗ (µε m ) Σώµα µάζας m είναι δεµένο σε ελατριο σταθεράς και εκτελεί ΑΑΤ Κάοια στιγµ συγκρούεται λαστικά µε σώµα µάζας m και το συσσωµάτωµα εκτελεί ΑΑΤ Ισχύουν: ω = m ω = m + m ω m + m Άρα = ω m ω, Τ, f αλλάζουν m = m + m Τ = Τ m Άρα = Τ m + m Πριν την κρούση: m Mετά την κρούση: m + m AA D = K AA D = K ΘΙ οριζόντιο ελατριο f = m f = m + m f m + m Άρα = f m εν αλλάζει (Στις οριζόντιες ταλαντώσεις η ΘΙ δεν εξαρτάται αό το βάρος του σώµατος) κατακόρυφο ελατριο λάγιο ελατριο Αλλάζει (Στις κατακόρυφες λάγιες ταλαντώσεις η ΘΙ εξαρτάται αό το βάρος του σώµατος)
Αλ Αρµονικ Ταλάντωση Εφαρµογές ίνονται m = g, m = g, υ = 5 m/s, υ = α σώµατα συγκρούονται λαστικά Πόση είναι η κοιν ταχύτητα V του συσσωµατώµατος αµέσως µετά την κρούση και όση θερµότητα ανατύχθηκε κατά τη διάρκεια της κρούσης; m = g, m = g, υ = 5 m/s, υ =, V, Q θ(κρούσης) Κατά τη διάρκεια της κρούσης ισχύει η Α Άρα: m υ P = ολ(πριν) P m υ + m = (m + m ολ(μετά) )V V = m V = m/s + m Κ ολ(πριν) = m υ } = 5 J Άρα Q θ(κρούσης) = Κ ολ(πριν) Κ ολ(μετά) = J Q θ(κρούσης) = J Κ ολ(μετά) = (m + m )V = J ίνονται m = g, m = g, υ = m/s, υ = m/s α σώµατα συγκρούονται λαστικά α) Πόση είναι η κοιν ταχύτητα V του συσσωµατώµατος αµέσως µετά την κρούση και όση θερµότητα ανατύχθηκε κατά τη διάρκεια της κρούσης; β) Πόση είναι η µεταβολ της ορµς των m,m κατά τη διάρκεια της κρούσης; m = g, m = g, υ = m/s, υ = m/s α) V, Q θ(κρούσης) Το µέτρο της ορµς του m είναι P = m υ = g m/s Το µέτρο της ορµς του m είναι P = m υ = g m/s Εειδ P > P, το συσσωµάτωµα κινείται ρος τα δεξιά Κατά τη διάρκεια της κρούσης ισχύει η Α Άρα P = ολ(πριν) P ολ(μετά) m υ m υ m υ m υ = (m + m )V V = V =,5 m/s m + m Κ ολ(πριν) = m υ + m υ = 5 J Κ ολ(μετά) = (m + m )V =, 5 J } Άρα Q = Κ Κ = 7,5 J Q θ(κρούσης) ολ(πριν) ολ(μετά) θ(κρούσης) = 7,5 J Η ορµ είναι διανυσµατικό µέγεθος Η κινητικ ενέργεια είναι µονόµετρο µέγεθος, οότε για την εύρεση της κινητικς ενέργειας ενός συστµατος σωµάτων ροσθέτουµε τις κινητικές ενέργειες όλων των σωµάτων του συστµατος ανεξάρτητα αό το ρος οια κατεύθυνση κινούνται β) P P (Βλ Εύρεση τιµς κατεύθυνσης άγνωστου διανύσµατος σελ 5) Έστω P η ορµ του m ριν την κρούση Έστω P η ορµ του m ριν την κρούση Έστω P η ορµ του m µετά την κρούση Έστω P η ορµ του m µετά την κρούση Έχουµε P P P Έχουµε P P P Εειδ τα αραάνω διανύσµατα βρίσκονται στην ίδια Εειδ τα αραάνω διανύσµατα βρίσκονται στην ίδια διεύθυνση, µετατρέουµε τη διανυσµατικ σχέση σε αλ- διεύθυνση, µετατρέουµε τη διανυσµατικ σχέση σε αλγεβρικ, οότε: γεβρικ, οότε: P = (+m V) (+m υ ) P = m V m υ P = (+m V) ( m υ ) P = m V + m υ P =,5 g m/s P = +,5 g m/s o µέτρο της µεταβολς της ορµς του m είναι o µέτρο της µεταβολς της ορµς του m είναι,5 g m/s,5 g m/s Εειδ τη µεταβολ της ορµς του m δεν την έχουµε Εειδ τη µεταβολ της ορµς του m δεν την έχουµε σχεδιάσει, η αρνητικ τιµ σηµαίνει ότι έχει κατεύ- σχεδιάσει, η θετικ τιµ σηµαίνει ότι έχει κατεύθυνθυνση αντίθετη της θετικς φοράς, δηλαδ ρος ση ίδια µε αυτν της θετικς φοράς, δηλαδ ρος τα αριστερά τα δεξιά Ισχύει άντα P = P
Ενότητα η Π ΕΚΡΗΞΗ ΙΑΣΠΑΣΗ P ολ(πριν) = P ολ(μετά) Κ ολ(μετά) > Κ ολ(πριν) Ε x = Κ ολ(μετά) Κ ολ(πριν) Σε µια έκρηξη διάσαση εφαρµόζουµε άντα Α θεωρώντας ότι το σύστηµα είναι µονωµένο Ακόµη και αν υάρχουν εξωτερικές δυνάµεις (ΣF εξ ), οι ωθσεις τους είναι αµελητέες διότι το φαινόµενο διαρκεί ολύ λίγο χρόνο Άρα η µεταβολ της ορµς του συστµατος λόγω των εξωτερικών δυνάµεων είναι αµελητέα, συνεώς: P ολ(πριν) = P ολ(μετά) Σε µια έκρηξη διάσαση ελευθερώνεται χηµικ ενέργεια (Ε x ) Άρα έχουµε: Ε x = Κ ολ(μετά) Κ ολ(πριν) Eφαρµογ Ένα σώµα µάζας m ου είναι ακίνητο στον αέρα διασάται σε δύο κοµµάτια, m = g και m = 9 g Το m κινείται µε ταχύτητα υ = m/s α) Με όση ταχύτητα υ κινείται το m ; β) Πόση ενέργεια ελευθερώθηκε κατά τη διάσαση; m = g, υ = m/s, m = 9 g α) υ Έστω P η ορµ του m ριν την έκρηξη Έστω P η ορµ του m µετά την έκρηξη Έστω P η ορµ του m µετά την έκρηξη Η διάσαση (έκρηξη) του m διαρκεί ολύ λίγο χρόνο Άρα οι ωθσεις των εξωτερικών δυνάµεων (µοναδικ εξωτερικ δύναµη είναι το βάρος Β ) είναι αµελητέες Συνεώς το σύστηµα είναι µονωµένο, οότε ισχύει η Α Προς οια κατεύθυνση κινείται το m ; P = ολ(πριν) P ολ(μετά) P = P + P = P + P P = P Ώστε το m κινείται µε ταχύτητα υ, ου έχει κατεύθυνση αντίθετη αό την κατεύθυνση της ταχύτητας υ m υ Εύρεση της υ : P = ολ(πριν) P = m υ mυ m υ = m υ υ = υ = m/s ολ(μετά) β) Ε x Για τη χηµικ ενέργεια ου ελευθερώθηκε κατά τη διάσαση έχουµε Ε x = Κ ολ(μετά) Κ ολ(πριν) Κ ολ(πριν) = mυ = και Κ ολ(μετά) = m υ + m υ = 88 J Άρα Ε x = 88 J m υ m Στην έκρηξη ενός ακίνητου σώµατος ου διασάται σε δύο κοµµάτια ισχύει = υ m Το σώµα µε τη µεγάλη µάζα αοκτά τη µικρ ταχύτητα
Αλ Αρµονικ Ταλάντωση Π5 Όταν ένα σώµα ανκει σε ένα σύστηµα σωµάτων ου εκτελεί ένα είδος κίνησης, τότε το σώµα εκτελεί το ίδιο είδος ταχύτητα κίνησης µε το σύστηµα, δηλαδ σώµα και σύστηµα έχουν την ίδια ειτάχυνση Eφαρµογές Σώµα µάζας m = g είναι στερεωµένο στο κάτω άκρο κατακόρυφου ελατηρίου σταθεράς = N/m, το άνω άκρο του οοίου είναι στερεωµένο στην οροφ ανελκυστρα, όως φαίνεται στο διλανό σχµα Να βρείτε το λάτος Α της ταλάντωσης ου θα εκτελέσει το σώµα, αν: α) ο ανελκυστρας ανεβαίνει µε σταθερ ταχύτητα υ = m/s και σταµατάει αότοµα β) ο ανελκυστρας ανεβαίνει µε σταθερ ειτάχυνση α = m/s και σταµατάει αότοµα όταν έχει ταχύτητα υ = m/s γ) ο ανελκυστρας κατεβαίνει µε σταθερ ειτάχυνση α = 5m/s και σταµατάει αότοµα όταν έχει ταχύτητα υ = m/s ίνεται g = m/s m = g, = N/m, g = m/s α) υ = m/s, A (Σχµα ΙΙΙ) Το m κινείται µε υ = σταθερ, άρα ΣF =, δηλαδ το σώµα βρίσκεται στη ΘΙ του (Γ) Η ταχύτητα υ του σώµατος είναι µέγιστη, διότι το (Γ) είναι η ΘΙ της ταλάντωσης υ Άρα υ = υ max max = ωα A = Α =, m ( διότι = mω ω = ω = ω m rad/s) β) υ = m/s, α = m/s, A (Σχµα ΙΙΙ) Το m ανεβαίνει µε σταθερ ειτάχυνση α = m/s, οότε δέχεται σταθερ δύναµη ΣF = mα ΣF = Ν µε φορά ρος τα άνω (η ΣF είναι οµόρροη της α ) Άρα βρίσκεται κάτω αό τη ΘΙ του στο ( ), όου F > Β έλ ΣF + mg ΣF = F Β ΣF = x mg x = x έλ =, m (Σχµα IV) Eφόσον στο σηµείο ( ) µε x = x x =, m το σώµα έχει ταχύτητα υ = υ = m/s, το ( ) είναι ενδιάµεσο σηµείο της τροχιάς της ΑΑΤ Εφαρµόζοντας Α ΕΤ στο ( ) έχουµε: mυ + x Κ + U ( ) = E ολ mυ + x = A Α = Α =, m (Σχµα Ι) Εφόσον ο α νελκυστρας ανεβαίνει µε σταθερ ταχύτητα υ = m/s, και το σώµα ανεβαίνει µε σταθερ ταχύτητα υ = m/s (Σχµα ΙΙ) Η ΘΙ της ταλάντωσης είναι στη θέ ση (Γ), όου το ελατριο έχει ειµηκυνθεί κατά x Έχουµε: ΣF Γ = F ελ = Β x = mg x =, m Πρέει να βρούµε ού βρίσκεται το σώµα τη στιγ µ ου σταµατά ο ανελκυστρας, δηλαδ ρέει να βρούµε ού βρίσκεται το σώµα τη στιγ µ ου αρχίζει να εκτελεί ΑΑΤ (Σχµα Ι) Εφόσον ο ανελκυστρας ανεβαίνει µε σταθερ ειτάχυνση α = m/s, και το σώµα έχει σταθερ ειτάχυν ση α = m/s (Σχµα ΙΙ) Η ΘΙ της ταλάντωσης είναι στη θέση (Γ), όου το ελατριο έχει ειµηκυνθεί κατά x Έχουµε: mg ΣF Γ = F ελ = Β x = mg x = x =, m Πρέει να βρούµε ού βρίσκεται το σώµα τη στιγ µ ου σταµατά ο ανελκυστρας, δηλαδ ρέει να βρούµε ού βρίσκεται το σώµα τη στιγ µ ου αρχίζει να εκτελεί ΑΑΤ Η ΣF έχει άντα φορά ρος τη ΘΙ της ταλάντωσης: Αν η ΣF έχει φορά ρος τα άνω, το ( ) βρίσκεται κάτω αό τη ΘΙ Αν η ΣF έχει φορά ρος τα κάτω, το ( ) βρίσκεται άνω αό τη ΘΙ
Ενότητα η γ) α=5 m/s, υ = m/s, Α (Σχµα Ι) Εφόσον ο ανελκυστρας κατεβαίνει µε σταθερ ειτάχυνση α = 5 m/s, και το σώµα έχει σταθερ ειτάχυν - ση α = 5 m/s (Σχµα ΙΙ) Η ΘΙ της ταλάντωσης είναι στη θέση (Γ), όου το ελατριο έχει ειµηκυνθεί κατά x Έχουµε: mg ΣF Γ = F ελ = Β x = mg x = x =, m Πρέει να βρούµε ού βρίσκεται το σώµα τη στιγ µ ου σταµατά ο ανελκυστρας, δηλαδ ρέει να βρούµε ού βρίσκεται το σώµα τη στιγ µ ου αρχίζει να εκτελεί ΑΑΤ (Σχµα ΙΙΙ) Το m κατεβαίνει µε σταθερ ειτάχυνση α = 5 m/s, οότε δέχεται σταθερ δύναµη ΣF = mα ΣF = 5 N µε φορά ρος τα κάτω (η ΣF είναι οµόρροη της α ) Άρα βρίσκεται άνω αό τη ΘΙ του στο σηµείο ( ), όου Β > F έλ mg ΣF ΣF = Β F ΣF = mg x x = x έλ =,5 m (Σχµα IV) Εφόσον στο σηµείο ( ) µε x = x x =,5 m το σώµα έχει ταχύτητα υ =υ= m/s, το ( ) είναι ενδιάµεσο ση- µείο της τροχιάς της ΑΑΤ Εφαρµόζοντας Α ΕΤ στο ( ) έχουµε: mυ + x Κ + U ( ) = E ολ mυ + x = A Α = Α =, m Σώµα µάζας m=g είναι δεµένο στο ένα άκρο οριζόντιου ελατηρίου σταθεράς = N/m, το άλλο άκρο του οοίου είναι στερεωµένο στο λαϊνό τοίχωµα ενός καροτσιού Το καρότσι κινείται µε σταθερ ειτάχυνση α = m/s και κάοια χρονικ στιγµ ου έχει ταχύτητα υ = m/s ακινητοοιείται ακαριαία (έφτει σε έναν τοίχο) Να βρείτε το λάτος Α της ταλάντωσης ου θα εκτελέσει το σώµα αν το δάεδο του καροτσιού είναι λείο m = g, = N/m, α = m/s, υ = m/s, A (Σχµα Ι) Εφόσον το καρότσι κινείται ρος τα δεξιά έχοντας σταθερ ειτάχυνση α = m/s, και το σώµα έχει σταθερ ειτάχυνση α = m/s (Σχµα ΙΙ) Η ΘΙ (Γ) της ταλάντωσης ταυτίζεται µε τη ΘΦΜ του ελατηρίου, διότι ΣF Γ = Πρέει να βρούµε ού βρίσκεται το σώµα τη στιγ µ ου σταµατά το καρότσι, δηλαδ ρέει να βρούµε ού βρίσκεται το σώµα τη στιγ µ ου αρχίζει να εκτελεί ΑΑΤ (Σχµα ΙΙΙ) Το m κινείται ρος τα δεξιά µε σταθερ ειτάχυνση α = m/s, οότε δέχεται σταθερ δύναµη ΣF = mα ΣF = N µε φορά ρος τα δεξιά (η ΣF είναι οµόρροη της α ) Άρα βρίσκεται αριστερά αό τη ΘΦΜ του ελατηρίου, στη θέση ( ), όου ΣF = F ελ = Ν (Η µοναδικ δύναµη ου δέχεται το σώµα στον άξονα της κίνησς του είναι ηf, ελ ου ρέει να έχει φορά ίδια µε τη φορά της ΣF, δηλαδ ρος τα δεξιά) ΣF ΣF = F ελ ΣF = x x = x =, m Εφόσον στο σηµείο ( ) µε x = x =, m το σώµα έχει ταχύτητα υ = υ = m/s, το ( ) είναι ενδιάµεσο σηµείο της τροχιάς της ΑΑΤ Εφαρµόζοντας Α ΕΤ στο ( ) έχουµε: mυ + x Κ + U ( ) = Ε ολ mυ + x = A Α = Α =, m