. Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των σημείων Μ (λ -, λ ), λ R. - Έστω λ- και λ, τότε λ () και λ (). - Από τις () και () έχουμε:. Αυτό σημαίνει ότι ο γεωμετρικός τόπος των σημείων Μ είναι η ευθεία.. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση - - 0 παριστάνει ζεύγος δύο ευθειών. Ποια είναι η σχετική θέση των δύο ευθειών που βρήκατε; ΑΠΟΔΕΙΞΗ Η εξίσωση - - 0 παριστάνει μια εξίσωση ου βαθμού ως προς. ± ± ( ) 4 ( ) 9 6 και, 4 4 Τότε - - 0 (-) 0 ή, άρα η εξίσωση - - 0 παριστάνει ζεύγος δύο ευθειών ε : και ε :, με λ λ - άρα ε ε.. Να αποδειχθεί ότι η εξίσωση - - 4λ - λ - λ 0 παριστάνει δύο ευθείες κάθετες μεταξύ τους. Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος του σημείου τομής των δύο αυτών ευθειών. ΑΠΟΔΕΙΞΗ - - 4λ - λ - λ 0 - λ -λ - - 4λ - 4λ 0 ( - λ λ ) ( 4λ 4λ ) 0 (-λ) - (λ) 0 ( -λλ ) ( -λ--λ ) 0 ( λ ) ( --λ ) 0 λ0 ή --λ0 --λ ή λ, άρα η εξίσωση παριστάνει δύο ευθείες ε : --λ και ε : λ, με λ λ (-) - άρα ε ε. Για να βρούμε το σημείο τομής των ε και ε λύνουμε το σύστημα των εξισώσεων τους: λ λ (). () Από τις () και () έχουμε: --λ λ - 4λ -λ. Τότε από την () έχουμε: λ. Δηλαδή το σημείο τομής των ε και ε είναι το Μ(-λ, λ), τότε λ - και λ, άρα. Αυτό σημαίνει ότι ο γεωμετρικός τόπος των σημείων Μ είναι η ευθεία που διέρχεται από το Ο(0,0).
4. Οι συντεταγμένες δύο κινητών P και P για κάθε χρονική στιγμή t (t > 0) είναι: P (t, t ), P (t -, t ) α) Όταν το P έχει συντεταγμένες (, 4) ποιες είναι οι συντεταγμένες του P ; β) Να βρεθεί η απόσταση των κινητών τη χρονική στιγμή t. γ) Να βρεθούν οι γραμμές στις οποίες κινούνται τα δύο κινητά. δ) Να εξετάσετε αν υπάρχει περίπτωση: i) να συναντηθούν οι πορείες (όχι υποχρεωτικά τα κινητά) ii) να συναντηθούν τα κινητά. α) Όταν το P έχει συντεταγμένες (, 4) είναι t και t 4 t, τότε P ( -, ) ή P (-, ). β) Τη χρονική στιγμή t είναι P (, ) και P (-, ), τότε η απόσταση των κινητών P και P είναι: ( P P ) ( ) ( ) 9 4 γ) Για να βρεθεί η γραμμή στην οποία κινείται το P (t, t ) θέτω t και t, τότε t () και t - (). Από τις () και () έχουμε: -. Άρα η γραμμή στην οποία κινείται το P είναι η ευθεία ε :, με t>0. Για να βρεθεί η γραμμή στην οποία κινείται το P (t -, t ) θέτω t- και t, 7 τότε t () και t - (). Από τις () και () έχουμε:. Άρα η 7 γραμμή στην οποία κινείται το P είναι η ευθεία ε :, με t > 0 >. δ) i) Επειδή λ και λ δηλαδή λ λ τότε οι ευθείες ε και ε δεν είναι παράλληλες άρα τέμνονται σε σημείο Μ, το οποίο θα βρούμε λύνοντας το σύστημα των εξισώσεων τους. 7 ε : () και ε : (4). 7 Από τις () και (4) έχουμε: 6 7. Τότε από την () έχουμε: 4. Δηλαδή το σημείο τομής των ε και ε είναι το Μ(, 4), άρα οι πορείες θα συναντηθούν στο Μ. ii) Τα κινητά μπορεί να συναντηθούν μόνο στο σημείο τομής των ε και ε που είναι το Μ(, 4). Όμως από το ερώτημα α) όταν το P έχει συντεταγμένες (, 4) δηλαδή ταυτίζεται με το Μ τότε οι συντεταγμένες του P είναι P (-, ), άρα δεν μπορεί να συναντηθούν τα κινητά.
. Δίνονται οι εξισώσεις και - των δυο πλευρών ενός παραλληλογράμμου ΑΒΓΔ και η εξίσωση μιας διαγώνιου του. Να βρείτε i) Τις εξισώσεις των δυο άλλων πλευρών του. ii) Τις συντεταγμένες των κορυφών του. i), ii) Επειδή -, τότε οι πλευρές του παραλληλογράμμου ΑΒΓΔ δεν είναι παράλληλες δηλαδή απέναντι αλλά διαδοχικές. Έστω ΑΒ: και ΑΔ: - τότε για να βρούμε το σημείο τομής των ΑΒ και ΑΔ δηλαδή το σημείο Α λύνουμε το σύστημα των εξισώσεων τους: (). Από τις () και () έχουμε: 4 6. Τότε από την () έχουμε:. Δηλαδή το σημείο τομής των ΑΒ και ΑΔ είναι το Α(-, ). Οι συντεταγμένες του Α δεν επαληθεύουν την εξίσωση της διαγώνιου, άρα η διαγώνιος είναι η ΒΔ, δηλαδή ΒΔ: Για να βρούμε το σημείο τομής των ΑΒ και BΔ δηλαδή το σημείο B λύνουμε το σύστημα των εξισώσεων τους: (4). Από τις () και (4) έχουμε: 7 7 9 9 6. Τότε από την () έχουμε:. Δηλαδή το σημείο τομής των ΑΒ και ΒΔ είναι το Β(, -). Για να βρούμε το σημείο τομής των ΑΔ και BΔ δηλαδή το σημείο Δ λύνουμε το σύστημα των εξισώσεων τους: (6). Από τις () και (6) έχουμε: 4. Τότε από την () έχουμε: 9. Δηλαδή το σημείο τομής των ΑΔ και ΒΔ είναι το Δ(, -9). Α Β Γ Δ
Είναι ΒΓ//ΑΔ, τότε λ λ, άρα ΒΓ: -(-) --. ΒΓ ΑΔ Είναι ΔΓ//ΑΒ, τότε λ ΔΓ λ ΑΒ, άρα ΔΓ: 9 - (-) -. Για να βρούμε το σημείο τομής των ΒΓ και ΔΓ δηλαδή το σημείο Γ λύνουμε το σύστημα 7 των εξισώσεων τους:. Από τις (7) και () έχουμε: () 6 6. Τότε από την (7) έχουμε: 7. Δηλαδή το σημείο τομής των ΒΓ και ΔΓ είναι το Γ(, -7). 6. Δίνονται οι εξισώσεις και των δυο πλευρών ενός παραλληλογράμμου ΑΒΓΔ και το κέντρο του Κ(,4). Να βρείτε τις εξισώσεις των δυο άλλων πλευρών του και τις συντεταγμένες των κορυφών του. Επειδή, τότε οι πλευρές του παραλληλογράμμου ΑΒΓΔ δεν είναι παράλληλες δηλαδή απέναντι αλλά διαδοχικές. Α Κ Δ Έστω ΑΒ: και ΑΔ:. τότε για να βρούμε το σημείο τομής των ΑΒ και ΑΔ δηλαδή το σημείο Α λύνουμε το σύστημα Β Γ των εξισώσεων τους:. Από τις () και () έχουμε: () 4 0 4 6. Τότε από την () έχουμε:. Δηλαδή το σημείο τομής των ΑΒ και ΑΔ είναι το Α(-, ). Έστω Γ(α, β) τότε επειδή το Κ(,4) είναι το μέσον της ΑΓ ισχύει Άρα Γ(4, 7). - α β 4 α β α β 4 7 Είναι ΒΓ//ΑΔ, τότε λ λ ΑΔ, άρα ΒΓ: -7 (-4). ΒΓ Είναι ΔΓ//ΑΒ, τότε λ λ, άρα ΔΓ: -7 (-4) -. ΔΓ ΑΒ 4
Για να βρούμε το σημείο τομής των ΑΒ και BΓ δηλαδή το σημείο B λύνουμε το σύστημα των εξισώσεων τους:. Από τις () και (4) έχουμε: (4) 4 0 0 0 0. Τότε από την () έχουμε:. Δηλαδή το σημείο τομής των ΑΒ και ΒΓ είναι το Β(0, ). Για να βρούμε το σημείο τομής των ΑΔ και ΔΓ δηλαδή το σημείο Δ λύνουμε το σύστημα ( ) των εξισώσεων τους:. Από τις () και (6) έχουμε: (6) 4 4 6. Τότε από την (6) έχουμε:. Δηλαδή το σημείο τομής των ΑΔ και ΔΓ είναι το Δ(, ). 7. Δίνονται οι εξισώσεις και - των δυο πλευρών ενός ορθογωνίου ΑΒΓΔ και η κορυφή του Α(, ). Να βρείτε τις εξισώσεις των δυο άλλων πλευρών του και τις συντεταγμένες των κορυφών του. Α Δ Επειδή λ ( ) λ, τότε οι πλευρές του ορθογωνίου ΑΒΓΔ είναι κάθετες και ακόμη οι συντεταγμένες του Α δεν επαληθεύουν τις εξισώσεις των πλευρών αυτές είναι οι ΒΓ και ΓΔ. Έστω ΒΓ: και ΓΔ: - τότε για να βρούμε το σημείο τομής των ΒΓ και ΓΔ δηλαδή το σημείο Γ λύνουμε το σύστημα Β Γ των εξισώσεων τους:. Από τις () και () έχουμε: (). Τότε από την () έχουμε:. Δηλαδή το σημείο τομής των ΒΓ και ΓΔ είναι το Γ,. Είναι ΑΔ // ΒΓ, τότε λ λ, άρα ΑΔ: - (-). ΑΔ ΒΓ Είναι ΑΒ//ΔΓ, τότε λ λ, άρα ΑΒ: - - (-) -4. AB ΔΓ
Για να βρούμε το σημείο τομής των ΑΒ και BΓ δηλαδή το σημείο B λύνουμε το σύστημα 4 των εξισώσεων τους:. Από τις () και (4) έχουμε: (4) 4. Τότε από την (4) έχουμε: ΑΒ και ΒΓ είναι το B,. Δηλαδή το σημείο τομής των Για να βρούμε το σημείο τομής των ΑΔ και ΔΓ δηλαδή το σημείο Δ λύνουμε το σύστημα των εξισώσεων τους:. Από τις () και (6) έχουμε: 0 0. (6) Τότε από την () έχουμε. Δηλαδή το σημείο τομής των ΑΔ και ΔΓ είναι το Δ(0, ).. Το σηµείο Α(7,) είναι µία κορυφή τετραγώνου του οποίου η µία διαγώνιος βρίσκεται στην ευθεία 60. Να βρείτε την εξίσωση της άλλης διαγωνίου και τις συντεταγμένες της κορυφής Γ. Α Δ Οι συντεταγμένες του Α δεν επαληθεύουν την εξίσωση 60 της διαγώνιου, άρα η διαγώνιος αυτή είναι η ΒΔ, δηλαδή ΒΔ: 60-6 Κ ΒΔ ΑΓ λ ΑΓ, Είναι ΑΓ ΒΔ, τότε λ λ λ (- ) ΑΓ Β Γ άρα ΑΓ: - (-7). Για να βρούμε το σημείο τομής Κ των ΑΓ και ΒΔ λύνουμε το σύστημα των εξισώσεων τους:. Από τις () και () έχουμε: 6 () 6 9 0 0. Τότε από την () έχουμε:. Δηλαδή το σημείο τομής των ΑΓ και ΒΔ είναι το K (, ). 7 α Έστω Γ(α, β) τότε επειδή το Κ(,) είναι το μέσον της ΑΓ ισχύει β Άρα Γ(-, ). 7 α β 6 α - β 6
9. ίνεται το σηµείο Α(,) του καρτεσιανού επιπέδου O. α. Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας ΟΑ. β. Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας (ε) που διέρχεται από το σηµείο Α και είναι κάθετη στην ευθεία ΟΑ. γ. Η ευθεία (ε) τέµνει τον άξονα στο σηµείο Β. Να βρείτε την εξίσωση του ύψους του τριγώνου ΟΑΒ που διέρχεται από την κορυφή Α. δ. Να βρείτε το εµβαδόν του τριγώνου ΟΑΒ. α. Η ευθεία ΟΑ έχει εξίσωση ΟΑ: λ και αφού διέρχεται από το Α(,) ισχύει λ λ, άρα ΟΑ: β. Αφού η ευθείας (ε) είναι κάθετη στην ευθεία ΟΑ, ισχύει λ ε λ ΟΑ λ ε λ ε και αφού διέρχεται από το ε Ο Γ Α(,) B σηµείο Α(,) έχει εξίσωση ε: - -(-) -. γ. Για να βρούμε που η ευθεία (ε) τέµνει τον άξονα βάζουμε 0, τότε 0 -. Άρα η ευθεία (ε) τέµνει τον άξονα στο σηµείο Β(, 0). Το ύψος ΑΓ αφού είναι κάθετο στον άξονα και αφού διέρχεται από την κορυφή Α(,) έχει εξίσωση ε:. OAB τ.μ. 4 δ. Το εµβαδόν του τριγώνου ΟΑΒ, είναι ( OB) ( AΓ ) 7
0. ΕΦΑΡΜΟΓΗ. (ΣΧΟΛΙΚΟ ΣΕΛΙΔΑ 67) Δίνεται η εξίσωση: (-)λ(7)0 (), όπου λ R (i) Να αποδειχτεί ότι Για κάθε τιμή της παραμέτρου λ η εξίσωση () παριστάνει ευθεία γραμμή Όλες οι ευθείες που ορίζονται από την εξίσωση () (Οικογένεια ευθειών) διέρχονται από το ίδιο σημείο. (ii) Ποια από τις παραπάνω ευθείες είναι κάθετη στην ευθεία ζ : ; ΑΠΟΔΕΙΞΗ (i) Η εξίσωση () γράφεται: -λλ7λ0 (λ)(-λ)(7λ)0. () Έστω λ0 και -λ0 λ και λ ΑΔΥΝΑΤΟ, άρα λ 0 ή -λ 0, δηλαδή η εξίσωση () παριστάνει ευθεία γραμμή, για κάθε λ R. Η εξίσωση () γράφεται: (-)λ(7)0 (7)λ(-)0, η οποία είναι ένα πολυώνυμο ου βαθμού ως προς λ. Για να ισχύει για κάθε λ R, πρέπει να είναι μηδενικό πολυώνυμο δηλαδή - 0 7 0 - - (). ()(4): 4 - - και από την () έχουμε :. -7 (4) Άρα για κάθε λ R όλες οι ευθείες διέρχονται από το σημείο Α(-, ). (ii) Έστω ε: (λ)(-λ)(7λ)0, η ευθεία της οικογένειας ευθειών που είναι κάθετη στην ευθεία ζ : -0. Θεωρούμε τα διανύσματα δ ( ( λ), ( λ ) ) και (, ) δ // ε και // ζ δ. Έτσι έχουμε: δ, τότε ( λ) ( λ ) 0 λ 6λ 0 4λ -4 λ - ε ζ δ δ δ δ 0. Για λ -, η εξίσωση της ε γίνεται: --4-0 0.
. ΑΣΚΗΣΗ Β ΟΜΑΔΑΣ (ΣΧΟΛΙΚΟ ΣΕΛΙΔΑ 67) Να αποδείξετε ότι όλες οι ευθείες της μορφής (α α)(α -α)(α)0 (), α R διέρχονται από το ίδιο σημείο. ΑΠΟΔΕΙΞΗ To α α είναι ένα τριώνυμο με Δ -<0, άρα α α>0, για κάθε α R και προφανώς α α 0, για κάθε α R δηλαδή η () παριστάνει ευθεία. Η εξίσωση () γράφεται: α αα -αα0 ()α (-)α()0 () η οποία είναι ένα πολυώνυμο ου βαθμού ως προς α. Για να ισχύει για κάθε α R, πρέπει να είναι μηδενικό πολυώνυμο δηλαδή 0-0 0 0 - - () (4). 0 () ()(4): - - και από την () έχουμε :. Οι τιμές - και επαληθεύουν και την (), πράγματι (-)0. Άρα για κάθε α R όλες οι ευθείες διέρχονται από το σημείο Α(-, ).. Δίνεται η εξίσωση: (κ -κ)(κ -κ)κ0 () κ R. α) Να βρείτε τις τιμές του κ R, ώστε η () να παριστάνει ευθεία. β) Για ποιες τιμές του κ η ευθεία είναι παράλληλη στον άξονα. γ) Για ποιες τιμές του κ η ευθεία είναι παράλληλη στον άξονα. δ) Για ποιες τιμές του κ η ευθεία είναι παράλληλη στην ευθεία. ΑΠΑΝΤΗΣΗ α) Έστω κ -κ 0 και κ -κ 0 (κ 0 ή κ ) και (κ ή κ ) κ Άρα κ -κ 0 ή κ -κ 0 κ, δηλαδή η εξίσωση () παριστάνει ευθεία όταν κ. β) Για να είναι η ευθεία παράλληλη στον άξονα, πρέπει: κ -κ 0 κ 0 ή κ (απορρίπτεται) κ0. γ) Για να είναι η ευθεία παράλληλη στον άξονα, πρέπει: κ -κ 0 κ (απορρίπτεται) ή κ κ. δ) Έστω ε: (κ -κ)(κ -κ)κ0, η ευθεία της οικογένειας ευθειών που είναι παράλληλη στην δ κ κ, κ κ,, ευθεία ζ : -0. Θεωρούμε τα διανύσματα ( ) τότε ε // ζ κ δ // ε και // ζ δ // δ δ det, απορρίπτεται.. Έτσι έχουμε: κ κ ( κ κ) δ, δ 0 και 0 κ κ κ δ κ 0 κ Άρα δεν υπάρχει ευθεία της οικογένειας ευθειών που είναι παράλληλη στην ευθεία. 9
. Δίνεται η εξίσωση (λ)-(λ)-λ 0 (), λ R. α) Να δείξετε ότι παριστάνει ευθεία για κάθε τιμή του λ R. β) Να δείξετε ότι οι όλες οι ευθείες που ορίζονται από την σχέση () διέρχονται από σταθερό σημείο. γ) Ποια από τις παραπάνω ευθείες είναι αυτή ώστε η απόσταση του Β(,) από αυτή να είναι. α) Έστω λ0 και λ0 λ ΑΠΑΝΤΗΣΗ εξίσωση () παριστάνει ευθεία γραμμή, για κάθε λ R. και λ - ΑΔΥΝΑΤΟ, άρα λ 0 ή λ 0, δηλαδή η β) Η εξίσωση () γράφεται: (λ)-(λ)-λ 0 λ--λ-λ0 (--)λ(-)0, η οποία είναι ένα πολυώνυμο ου βαθμού ως προς λ. Για να ισχύει για κάθε λ R, πρέπει να είναι - - 0 - - 4 - μηδενικό πολυώνυμο δηλαδή. 0 - - ()(): - - και από την () έχουμε :. Άρα για κάθε λ R όλες οι ευθείες διέρχονται από το σημείο Α(, ). γ) Για να είναι η απόσταση του Β(,) από την παραπάνω ευθεία να είναι πρέπει: d ( B,ε ) ( λ ) ( λ) ( λ ) [ ( λ) ] λ 4λ 4λ - - λ 4λ 4 - λ 4λ λ λ λ λ λ λ λ λ ( λ λ ) ( λ ) λ λ 4λ 4λ λ λ ( λ ) 0 λ 0 λ -. λ 4λ 4 0 Για λ-, η εξίσωση () γίνεται - 0 Άρα η ευθεία της οικογένειας ευθειών που η απόσταση του Β(,) από αυτή να είναι είναι η ε:. 0
4. ΘΕΜΑ 4 ο ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 00 Δίνεται η εξίσωση (λ )λλ λγ 0 (), όπου λ R και γ πραγματική σταθερά. α. Να αποδείξετε ότι για κάθε τιμή της παραμέτρου λ η εξίσωση παριστάνει ευθεία γραμμή. Μονάδες β. Εάν γ, να αποδείξετε ότι όλες οι ευθείες που ορίζονται από την παραπάνω εξίσωση διέρχονται από το ίδιο σημείο. Μονάδες 0 γ. Εάν γ, να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο των σημείων εκείνων που από το καθένα διέρχεται μόνο μία ευθεία η οποία επαληθεύει την παραπάνω εξίσωση. Μονάδες 0 ΑΠΑΝΤΗΣΗ α. Έστω λ - 0 και λ0 (λ ή λ-) και λ0 ΑΔΥΝΑΤΟ, άρα λ - 0 ή λ 0, δηλαδή η εξίσωση () παριστάνει ευθεία γραμμή, για κάθε λ R. β. Για γ, η εξίσωση () γίνεται: (λ )λλ λ 0 λ λλ λ 0 (-)λ (-)λ-0 (), η οποία είναι ένα πολυώνυμο ου βαθμού ως προς λ. Για να ισχύει για κάθε λ R, πρέπει να είναι μηδενικό πολυώνυμο 0 0 δηλαδή ( -) - 0. Άρα για κάθε λ R όλες οι ευθείες διέρχονται από το σημείο Α(, ). γ. Εάν γ, η εξίσωση () γίνεται: (λ )λλ λ-γ 0 λ λλ λ-γ 0 (-)λ (-)λ--γ 0 (). Έστω Μ(, ) τα σημεία εκείνα που από το καθένα διέρχεται μόνο μία ευθεία, τότε θα πρέπει η () να έχει μόνο μία λύση δηλαδή να είναι εξίσωση ου βαθμού ως προς λ, άρα - 0. Για, η εξίσωση () γίνεται: (-)λ--γ 0 (-)λ γ (4) Αν, τότε η εξίσωση (4) γίνεται: 0 λ γ που είναι αδύνατη γιατί γ γ 0, άρα και τότε λ γ. Άρα τα σημεία εκείνα που από το καθένα διέρχεται μόνο μία ευθεία είναι (, ) ( -) M με. Δηλαδή ο γεωμετρικός τόπος των σημείων Μ που από το καθένα διέρχεται μόνο μία ευθεία η οποία επαληθεύει την εξίσωση () είναι η ευθεία με εξαίρεση το σημείο Α(, ).
. ΑΣΚΗΣΗ Β ΟΜΑΔΑΣ (ΣΧΟΛΙΚΟ ΣΕΛΙΔΑ 76) Να βρείτε τις εξισώσεις των διχοτόμων των γωνιών που σχηματίζουν οι ευθείες 4 0 και 4 0. (Να βρείτε ποια είναι η διχοτόμος της οξείας γωνίας και ποια η διχοτόμος της αμβλείας γωνιάς που σχηματίζουν οι ευθείες) Ένα σημείο M (, ) ανήκει σε μια από τις διχοτόμους των γωνιών που ορίζουν οι ευθείες ε : 4 0 και ε : 4 0, αν και μόνο αν ισαπέχει από τις δύο ευθείες, δηλαδή, αν και μόνο αν ισχύει: d(m,ε ) d(m,ε ) 4 ( 4) 4 4 4 4 4 ( 4 ) ( 4) ή ( 4 ) ( 4) 9-60 0 ή 9-60 0 4 - - 7 0 ή 64 0-6 - 0 ή 64 0 Άρα, οι εξισώσεις των διχοτόμων είναι οι δ : 6 0 και δ : 64 0.
( Να βρείτε ποια είναι η διχοτόμος της οξείας γωνίας και ποια η διχοτόμος της αμβλείας γωνιάς που σχηματίζουν οι ευθείες) δ ε Γ φ/ Α ω/ O ω/ φ/ φ/ Β δ ε Έστω φ, ω οι γωνίες που σχηματίζουν οι ευθείες ε και ε, τότε Θεωρούμε το σημείο Α(0, Α Ο B φ ω και Α Ο Γ. ) της ε και φέρνουμε τις αποστάσεις του Α από τις δ και δ τις ΑΒ και ΑΓ, τότε το ΟΒΑΓ είναι ορθογώνιο γιατί οι διχοτόμοι δύο εφεξής και παραπληρωματικών γωνιών τέμνονται κάθετα και άρα ΟΓΑΒ και O AΓ Α Ο Β φ, ως εντός εναλλάξ. 0 6 d(a,δ ) ( 6) 60 6 6 και 64 0 9 d(a,δ ) 64 460 4 9 6 9 Όμως < 4 < 9 < 9, που ισχύει. 6 6 4 6 Άρα d(a,δ ) < d(a,δ ) ΑΒ < ΑΓ OΓ<ΑΓ φ < ω, γιατί στο τρίγωνο ΟΑΓ απέναντι από άνισες πλευρές βρίσκονται ομοιοτρόπως άνισες γωνίες και τότε φ<ω. Όμως οι γωνίες ω, φ είναι παραπληρωματικές άρα ω>90 (αμβλεία) και φ<90 (οξεία). Άρα η δ : 6 0 είναι η διχοτόμος της οξείας γωνιάς και η δ : 64 0 είναι η διχοτόμος της αμβλείας γωνίας.