ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Μέθοδοι Βελτιστοποίησης Ενότητα # 5: Ασκήσεις Αθανάσιος Σπυριδάκος Καθηγητής Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων
Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύπου άδειας χρήσης, η άδεια χρήσης αναφέρεται ρητώς. 2
Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα» έχει χρηματοδοτήσει μόνο την αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους. 3
Σκοποί ενότητας Να γίνουν κατανοητές με παραδείγματα οι Βασικες Αρχές του Πολυκριτήριου Γραμμικού Προγραμματισμού 4
Περιεχόμενα ενότητας Βασικες Αρχές του Πολυκριτήριου Γραμμικού Προγραμματισμού Κατασκευή Πίνακα Πληρωμών Μέθοδος των Ικανοποιητικών Στόχων 5
Αναφορές Βιβλιογραφία Ι. Σίσκος, Γραμμικός Προγραμματισμός, Εκδόσεις Νέων Τεχνολογιών, 1998. Μ. Zeleny, Linear MultiObjective Programming, Springer Verlag, 1977. 6
Ασκήσεις Το ΤΕΙ Πειραιά θέλει να επεκτείνει τις εγκαταστάσεις του με νέες άιθουσες διδασκαλίας, προκειμένου να καλύψει τις διδακτικές του Ανάγκες. Χρησιμοποιούνται τριων τύπων αίθουσες διδασκαλίας: α) μικρές 60 τ.μ. Β) Μεσαίες 90 τ.μ. και γ) οι μεγάλες των 150 τ.μ. που η κατασκευή τους κοστίζει αντίστοιχα 15000, 23000 και 35000 και μπορούν να φιλοξενήσουν 40, 70 και 160 φοιτητές αντίστοιχα. Απαιτούνται τουλάχιστον 5 μικρές, 7 μεσαίες και από 4 έως 8 μεγάλες αίθουσες. Η συνολική επιφάνεια των αιθουσών δεν πρέπει να ξεπερνά τα 1950 τ.μ. Να υπολογισθεί ο αριθμός των αιθουσών ανά κατηγορία που πρέπει να κατασκευαστεί ώστε να ελαχιστοποιηθεί το κόστος κατασκευής και να μεγιστοποιηθεί ο αριθμός των φοιτητών που μπορουν να φιλοξενηθούν ταυτόχρονα. 7
Μοντελοποίηση ΑΓΝΩΣΤΟΙ Μικρές αίθουσες: x 1 Μεσαίες αίθουσες: x 2 Μεγάλες αίθουσες: x 3 ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Max(40x 1 70x 2 160x 3 ) Min(15000x 1 23000x 2 35000x 3 ) ΠΕΡΙΟΡΙΣΜΟΙ Χ 1 5 Χ 2 7 Χ 3 4 Χ 3 8 60*x 1 90x 2 150x 3 1950 8
Βήμα 1 Λύνουμε το Γ.Π. (ελ. Κόστους) ΑΓΝΩΣΤΟΙ Μικρές αίθουσες: x 1 Μεσαίες αίθουσες: x 2 Μεγάλες αίθουσες: x 3 Min(15000x 1 23000x 2 35000x 3 ) ΠΕΡΙΟΡΙΣΜΟΙ Χ 1 5 Χ 2 7 Χ 3 4 Χ 3 8 60*x 1 90x 2 150x 3 1950 9
ΒΗΜΑ 2 ελαχ. κόστους ΑΓΝΩΣΤΟΙ χ1 χ2 χ3 Μεγ. ΕΠιτρ ΤΙμές Αίθουσες 5 7 4 Επιφάνειια 60 90 150 1950 Κόστος 15000 23000 35000 Ελ. Αριθμ. Αιθουσών 5 7 4 Μέγιστος 8 Φοιτητές /αίθ 40 70 160 ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΙΚΕΣ Μεγιστοποίηση Αριθμούς Αιθουσών 40*x170x2160x3 1330 Ελαχιστοποίηση Κόστους αχ1βχ2γχ3 376000 ΣΥΝΘΗΚΕΣ χ1 >=5 5 >= 5 χ2>=7 7 >= 7 Χ3>=4 4 >= 4 χ3<=5 4 <= 8 Επιφάνεια,=1000 1530 <= 1950 10
Βήμα 1 Λύνουμε το Γ.Π. (Μεγιστ. Φοιτητών) ΑΓΝΩΣΤΟΙ Μικρές αίθουσες: x 1 Μεσαίες αίθουσες: x 2 Μεγάλες αίθουσες: x 3 Max(40x 1 70x 2 160x 3 ) ΠΕΡΙΟΡΙΣΜΟΙ Χ 1 5 Χ 2 7 Χ 3 4 Χ 3 8 60*x 1 90x 2 150x 3 1950 11
ΒΗΜΑ 1 Μεγ(Επιφάνειας) ΑΓΝΩΣΤΟΙ χ1 χ2 χ3 Αίθουσες 5 8 6 Μεγ. ΕΠιτρ ΤΙμές Επιφάνειια 60 90 150 1950 Κόστος 15000 23000 35000 Ελ. Αριθμ. Αιθουσών 5 7 4 Μέγιστος 8 Φοιτητές /αίθ 40 70 160 ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΙΚΕΣ Μεγιστοποίηση Αριθμούς Αιθουσών 40*x170x2160x3 1720 Ελαχιστοποίηση Κόστους αχ1βχ2γχ3 ΣΥΝΘΗΚΕΣ 46900 0 χ1 >=5 5 >= 5 χ2>=7 8 >= 7 Χ3>=4 6 >= 4 χ3<=5 6 <= 8 Επιφάνεια,=1000 1920 <= 1950 12
Πίνακας Πληρωμών Επιφάνεια Κόστος χ1 χ2 χ3 1720 469000 5 8 6 ΕΠΙΘΥΜΗΤΑ ΕΠΙΠΕΔΑ 1500 420000 1330 376000 5 7 4 13
ΒΗΜΑ 1 Μεγ(Επιφάνειας) ΑΓΝΩΣΤΟΙ χ1 χ2 χ3 Μεγ. ΕΠιτρ ΤΙμές Αίθουσες 6 7 5 Επιφάνειια 60 90 150 1950 Κόστος 15000 23000 35000 Ελ. Αριθμ. Αιθουσών 5 7 4 Μέγιστος 8 Φοιτητές /αίθ 40 70 160 Μεγιστοποίηση Αριθμούς Αιθουσών ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΙΚΕΣ ΕΠΙΠΕΔΑ ΣΤΟΧΟΥ 40*x170x2160 x3 1530 1500 Ελαχιστοποίηση Κόστους αχ1βχ2γχ3 426000 420000 ΜΙΝ ΣΥΝΘΗΚΕΣ χ1 >=5 6 >= 5 χ2>=7 7 >= 7 Χ3>=4 5 >= 4 χ3<=5 5 <= 8 Επιφάνεια,=1000 1740 <= 1950 Επιπρόσθετη Συνθ 1530 >= 1500 14
ΒΗΜΑ 3 Ανάδραση 1 ΑΓΝΩΣΤΟΙ χ1 χ2 χ3 Μεγ. ΕΠιτρ ΤΙμές Αίθουσες 5 8 5 Επιφάνειια 60 90 150 1950 Κόστος 15000 23000 35000 Ελ. Αριθμ. Αιθουσών 5 7 4 Μέγιστος 8 Φοιτητές /αίθ 40 70 160 ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΙΚΕΣ ΕΠΙΠΕΔΑ ΣΤΟΧΟΥ Μεγιστοποίηση Αριθμούς Αιθουσών 40*x170x2160x3 1560 1500 ΜΑΧ Ελαχιστοποίηση Κόστους αχ1βχ2γχ3 434000 440000 ΣΥΝΘΗΚΕΣ χ1 >=5 5 >= 5 χ2>=7 8 >= 7 Χ3>=4 5 >= 4 χ3<=5 5 <= 8 Επιφάνεια,=1000 1770 <= 1950 Επιπρ. Συνθ 434000 <= 440000 15
Πολυστοχικός Προγραμματισμός Μέθοδος των Επιθυμητών Στόχων
Μέθοδος των Επιθυμητών Στόχων Να Βελτιστοποιηθούν (max, min) οι αντικειμενικές συναρτήσεις: g1 ( x ) = c11x1 c12x2 c1lxl g2 ( x ) = c21x1 c22x2 c2lxl.. gn ( x ) = cn1x1 cn2x2 cnlxl υπό τους περιορισμούς: x A = {x Rl / Ax b, x 0} Βασική Ιδέα: Μετατροπή του Πολυκριτήριου Προβλήματος σε Μονοκριτήριο Τεχνική που εξασφαλίζει αποτελεσματικά την λύση του προβλήματος 17
Βήματα Α. Ζητείται από τον αποφασίζοντα να προσδιορίζει επιθυμητά επιπεδα τιμών στα κριτήρια (αντικειμενικές συναρτήσεις) Εστω Κ 1, Κ 2, Κ n τα όρια των επιθυμητών τιμών (Αυτό μπορεί να γίνει και μετά την εκτίμηση του Πίνακα Πληρωμών) B. Εισάγουμε νέες μεταβλητές (μη αρνητικές) d 1, d 1, d 2, d 2, d n, d n ώστε c11x1 c12x2 c1lxl d 1 d 1 = Κ1 c21x1 c22x2 c2lxl d 2 d 2 = Κ2... cn1x1 cn2x2 cnlxl d n d n = Κ1 Κανονικοποιούμε στο διάστημα [0,1] Γ. Στόχος: Eλαχιστοποίηση του αθροίσματος των νέων μεταβλητών d 1 d 1 d 2 d 2. d n d n 18
Μοντελοποίηση Προβλήματος Το Γραμμικό Πρόβλημα γίνεται: n Min (Σ( d i d i ) ι=1 Υπό περιορισμούς n Σc ij x j d i d i = K i, j=1 l i=1 x A = {x Rl / Ax b, x 0} 19
Παράδειγμα (Προηγούμενη Άσκηση) ΑΓΝΩΣΤΟΙ Μικρές αίθουσες: x1 Μεσαίες αίθουσες: x2 Μεγάλες αίθουσες: x3 ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Max(40x1 70x2 160x3) Min(15000x123000x235000x3) ΠΕΡΙΟΡΙΣΜΟΙ Χ1 5 Χ2 7 Χ3 4 Χ3 8 60*x190x2150x3 1950 Το ΤΕΙ Πειραιά θέλει να επεκτείνει τις εγκαταστάσεις του με νέες άιθουσες διδασκαλίας, προκειμένου να καλύψει τις διδακτικές του Ανάγκες. Χρησιμοποιούνται τριων τύπων αίθουσσες διδασκαλίας: α) μικρές 60 τ.μ. Β) Μεσαίες 90 τ.μ. και γ) οι μεγάλες των 150 τ.μ. που η κατασκευή τους κοστίζει αντίστοιχα 15000, 23000 και 35000 και μπορούν να φιλοξενήσουν 40, 70 και 160 φοιτητές αντίστοιχα. Απαιτούνται τουλάχιστον 5 μικρές, 7 μεσαίες και από 4έ ως 8 μεγάλες αίθουσες. Η συνολική επιφάνεια των αιθουσών δεν πρέπει να ξεπερνά τα 1950 τ.μ. Να υπολογισθεί ο αριθμός των αιθουσών ανά κατηγορία που πρέπει να κατασκευαστεί ώστε να ελαχιστοποιηθεί το κόστος κατασκευής και να μεγιστοποιηθεί ο αριθμός των φοιτητών που μπορουν να φιλοξενηθούν ταυτόχρονα. 20
Βήμα 1 Επιφάνεια Κόστος χ1 χ2 χ3 1720 469000 5 8 6 1330 376000 5 7 4 ΕΠΙΘΥΜΗΤΑ ΕΠΙΠΕΔΑ 1500 420000 Ο Αποφασίζων εκφράζει τα επιθυμητά επίπεδα στις τιμές των αντικειμενικών συναρτήσεων (κριτήρια). Ό Πίνακας Πληρωμών δίνει ένδειξη των τιμών (ρεαλιστικών) στις αντικειμενικές συναρτήσεις. Στη περίπτωση ο Αποφασίζων δίνει τις επιθυμητές τιμές 1500 και 420000 για τα κριτήρια επιφάνεια και κόστος. 21
Βήματα 1 & 2 Α. Ζητείται από τον αποφασίζοντα να προσδιορίζει επιθυμητά επιπεδα τιμών στα κριτήρια (αντικειμενικές συναρτήσεις) Ο Αποφασίζων δίνει 1500 τ.μ.για την επιφάνεια και 420000 για το κόστος B. Εισάγουμε νέες μεταβλητές (μη αρνητικές) d 1, d 1, d 2, d 2 ώστε οι αντικειμενικές συναρτήσεις να μορφοποιηθούν σε : 40x 1 70x 2 160x 3 d 1 d 1 = 15000 15000x 1 23000x 2 35000x 3 d 2 d 2 = 420000 Γ. Στόχος: Eλαχιστοποίηση του αθροίσματος των νέων μεταβλητών d 1 d 1 d 2 d 2. d n d n 22
Κατασκευάζουμε το Γραμμικό Πρόβλημα ΑΓΝΩΣΤΟΙ Μικρές αίθουσες: x1 Μεσαίες αίθουσες: x2 Μεγάλες αίθουσες: x3 Τεχνητές Μεταβήτές: d1, d1, d2, d2 (ένα ζεύγος για κάθε αντικειμενική) Αντικειμενική Συνάρτηση 2 Min (Σ( d i d i ) ι=1 ΠΕΡΙΟΡΙΣΜΟΙ 40x 1 70x2 160x 3 d 1 d 1 = 15000 15000x 1 23000x 2 35000x 3 d 2 d 2 = 420000 Χ 1 5 Χ 2 7 Χ 3 4 Χ 3 8 60*x 1 90x 2 150x 3 1950 23
ΑΓΝΩΣΤΟΙ χ1 χ2 χ3 Αίθουσες 8 7 4 Μεγ. ΕΠιτρ ΤΙμές Επιφάνειια 60 90 150 1950 Κόστος 15000 23000 35000 Ελ. Αριθμ. Αιθουσών 5 7 4 Μέγιστος 8 Φοιτητές /αίθ 40 70 160 ΝΕΕΣ ΣΥΝΘΗΚΕΣ Μεγιστοποίηση Αριθμούς Αιθουσών ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΙΚΕΣ Αγνωστοι D Αγνωστοι D Επίλυση Νέα Συνθήκης Τιμές Στόχου 40*x170x2 160x3 1450 50 0 1500 1500 Ελαχιστοποίηση Κόστους αχ1βχ2γχ3 421000 0 1000 420000 420000 Αθροισμα D, D 1050 ΣΥΝΘΗΚΕΣ χ1 >=5 8 >= 5 χ2>=7 7 >= 7 Χ3>=4 4 >= 4 χ3<=5 4 <= 8 Επιφάνεια,=1000 1710 <= 1950 24
Τέλος Ενότητας