Εφαρμογές της κβαντομηχανικής ΠΙΑΣ
Ελεύθερο σωματίδιο σε μια διάσταση Σωματίδιο κινούμενο ελεύθερα στον άξονα σε σταθερό δυναμικό ανεξάρτητο του : V ˆ( () V ξίσωση Schrödinger: d d H ˆ H ˆ ˆ() () () d V m md V d d () () () () d V m md V Σωματίδιο κινούμενο ελεύθερα στον άξονα απουσία δυναμικού: ξίσωση Schrödinger: d ˆ Hˆ H md Λύσεις: V ˆ( () () e i A Be i Α, Β, κ: αυθαίρετες σταθερές d i i d i i i i ( Ae Be ) Aik ( )e B( ik)e Aik ( ) e B( ik) e md md m k ( 1)e i ( 1)e i e i e i A B A B () m m m i i i i( i) i( i) i i () Ae Be Ae Be Ae e Be e lim e ( ) lim e ( ) : ό Άπειρες λύσεις i i () Ae Be mm Όχι κβάντωση!
Ελεύθερο σωματίδιο σε μια διάσταση Σωματίδιο κινούμενο ελεύθερα λύθ στον άξονα απουσία δυναμικού: Μορφή κυματοσυνάρτησης Vˆ( () i i ( ) Ae B e () Dcos Csin i e cos isin i e cos isin ( ) A(cos isin ) B(cos isin ) ( AB) cos ia ( B) sin Πυκνότητα πιθανότητας i B ( ) Ae A(cosisin ) * i i ( ) ( ) ( ) ( Ae )( Ae ) A ˆ d i i p ( ) e ke p k id i A ( ) B e B (cos i sin ) * i i ( ) ( ) ( ) ( Be )( Be ) B ˆ d i i p ( ) e k e p k id
Ελεύθερο σωματίδιο σε μια διάσταση Σωματίδιο κινούμενο ελεύθερα λύθ στον άξονα απουσία δυναμικού: Μορφή κυματοσυνάρτησης Vˆ( () i i ( ) Ae B e () Dcos Csin i e cos isin i e cos isin ( ) A(cos isin ) B(cos isin ) ( AB) cos ia ( B) sin Πυκνότητα πιθανότητας i B ( ) Ae A(cosisin ) * i i ( ) ( ) ( ) ( Ae )( Ae ) A ˆ d i i p ( ) e ke p k id i A ( ) B e B (cos i sin ) * i i ( ) ( ) ( ) ( Be )( Be ) B ˆ d i i p ( ) e k e p k id i i AB ( ) A(e e ) Acos ( ) (Acos k) 4A cos ˆ d i i i i Στάσιμο κύμα p ( ) (e e ) (e e ) p? id Αν ΑΒ () DcosCsin Συνδυασμός δύο κυμάτων κινούμενων σε αντίθετες κατευθύνσεις
Vˆ( () Vˆ( () V ˆ( ) Σωματίδιο σε μονοδιάστατο κουτί (φρέαρ δυναμικού) ξίσωσηξ ηschrödinger: d V( ˆ d ) Vˆ ( ) Hˆ Hˆ () () md md Περιγραφή ργρ δυναμικού Οριακές συνθήκες Περιορισμοί ρ : Vˆ() : Vˆ() : Vˆ() Εκτός φρεατίου: και d () () ( ) md () () () ψ()= Εντός φρεατίου:λύσεις για <<: () Ae Be A(cos isin ) B(cosisin ) ( AB) cos( ABi ) sindcos Csin Εντός φρεατίου: < < όταν και ψ(), ψ() ψ()= m i i () Dcos Csin D D () Csin () Csin( k) C ( ) ψ() = ψ() =!!! n ( ) Ενέργεια; n m m n sin( k ) k n k, n 1,,... nh n, n1,,.. 8m n n () Csin, n1,,...
V ˆ( () V ˆ( () V ˆ( ) Σωματίδιο σε μονοδιάστατο κουτί (φρέαρ δυναμικού) Λύσεις n n() Csin, n 1,,... Τιμή C; n nh, n 1,,.., 8m n n ( ) d 1C sin d 1C 1/ sin ) d 1 n sin ad sin a, a 4a sin d sin sin sin n n n n 4 1/ Τελικές λύσεις n () sin, n 1,,... n nh, n 1,,.., 8m 1/ C 1/
Ε σε μονά άδες h/8m Ενέργεια μηδενικού σημείου 16h 4 8m 9h 3 8m 4h 8m Σωματίδιο σε μονοδιάστατο κουτί (φρέαρ δυναμικού) n=4 λ 4 =/ n=3 1/ n n () sin, n1,,... Στάσιμα κύματα λ 3 =/3 n= h 1 8m λ = 1 λ = n=1 n n n h, n 1,,.. 8m
Σωματίδιο σε μονοδιάστατο κουτί (φρέαρ δυναμικού) Θέση του σωματιδίου; a/ P 1/ n n () sin, n1,,... n n h, n 1,,.. 8m Πιθανότητα εύρεσης σωματιδίου σε ένα διάστημα / / n 1 P sin ( ) d... Ιδιοτιμή της θέσης του σωματιδίου ˆ n n( ) n( ) si n?? Αναμενόμενη τιμή της θέσης του σωματιδίου 1/ * () ˆ n () d s in... d 4 Ανεξάρτητη του n!! sin a cosa n sin ad, a 4 4a 8a
Σωματίδιο σε μονοδιάστατο κουτί (φρέαρ δυναμικού) Ορμή του σωματιδίου; 1/ n n () sin, n1,,... Ιδιοτιμή της ορμής του σωματιδίου n n h, n 1,,.. 8m d d ˆ n p n( ) n( ) sin id id n 1/ n cos?? Αναμενόμενη τιμή της ορμής του σωματιδίου * p ( ) p( ) d ˆ 1/ 1/ n d n sin sin d i h n n!! sin cos n n d Ανεξάρτητη του i 1/ sin a n sin a cos a d, a a Το σωματίδιο δεν έχει μηδενική ορμή αλλά δαπανά τον ίδιο χρόνο κινούμενο προς το + και το χ
ΠΙΑΣ Φαινόμενο σήραγγας Σωματίδιο κύμα προσκρούει ρ σε φράγμα δυναμικού V = ή/και μεγάλου μγ πλάτους V () V ()
ΠΙΑΣ Φαινόμενο σήραγγας Σωματίδιο κύμα προσκρούει ρ σε φράγμα δυναμικού V=V και μεγάλου μγ πλάτους V () V () V
Φαινόμενο σήραγγας Σωματίδιο κύμα προσκρούει ρ σε φράγμα δυναμικού V=V και μικρού πλάτους V () V V () V () () () e i i A Be ( ) 'e i ()?? A B'e i
Φαινόμενο σήραγγας Σωματίδιο κύμα προσκρούει ρ σε φράγμα δυναμικού V=V και μικρού πλάτους V () V () V V () V () V () () e i A Be ()?? ( ) A'e i B'e i
Φαινόμενο σήραγγας Σωματίδιο κύμα προσκρούει ρ σε φράγμα δυναμικού V=V και μικρού πλάτους d () () md left m i ( ) Ae Be V () i V () V d V () () md m () Ce V De wall V () d () () md right m 'e i ( ) A B' e i
Φαινόμενο σήραγγας Σωματίδιο κύμα προσκρούει ρ σε φράγμα δυναμικού V=V και μικρού πλάτους left V () V () V V () i i right ( ) Ae Be wall ( ) A'e i () e C De B' e left wal l i i ( ) () Ae Be Ce De ABCD Συνέχεια =: (1) Συνέχεια =: Συνέχεια ψ =: Συνέχεια ψ =: Μόνο δεξιά >: () () Ce De A'e B'e wall right i i () d left d wall d d d d () ( ) i A e ib e C e D e d d d d d d i A i B C D (3) i i d wall d right d d d i d i () () C e D e A' e B' e d d d d d d Ce De ia ' e i ib 'e i Ce De ia'e i ib' e B' (5) i (4) i
Φαινόμενο σήραγγας Σωματίδιο κύμα προσκρούει ρ σε φράγμα δυναμικού V=V και μικρού πλάτους left ABCD V () V () V V () i i right ( ) Ae Be wall ( ) A'e i () e C De B' e Ce De A'e B'e i i i AiBCD C e D e i A'e i B'e B' i i Πιθανότητα διέλευσης A i e e i e e (1 )(1 ) (1 )(1 ) A' i 4 i 4 i i 1 A e e T 1, / V A' 16 (1 ) i
Φαινόμενο σήραγγας Σωματίδιο κύμα προσκρούει ρ σε φράγμα δυναμικού V=V και μικρού πλάτους Πιθανότητα διέλευσης 1 A e e T 1, / V A' 16 (1 ) m t tm, V V limt limt 1 t Κλασική προσέγγιση : Τ= Τ=1 t
ΠΙΑΣ Φαινόμενο σήραγγας Σωματίδιο κύμα προσκρούει ρ σε φράγμα δυναμικού V=V και μικρού πλάτους Σωματίδιο κύμα σε φρέαρ δυναμικού με φράγμα V=V και μικρού πλάτους
Φαινόμενο σήραγγας Εφαρμογή του φαινομένου στη μικροσκοπία σάρωσης σύραγγας (Scaning Tunnelling Microscopy STM) Εικόνα STM ατόμων καισίου πάνω σε επιφάνεια γάλλιου αρσενικού (GaAs)
ˆ( ) V Σωματίδιο σε δισδιάστατο κουτί (φρέαρ δυναμικού) ξίσωση Schrödinger Μερική διαφορική εξίσωση (,) y (,) y m y (,) y (,) y (,) y m y Διαχωρισμός μεταβλητών H ζητούμενη κυματοσυνάρτηση μπορεί να γραφεί ως γινόμενο κυματοσυναρτήσεων κάθε μιας μεταβλητής, y; Διαχωρισμός των μεταβλητών (,) y X()() Y y XY d X XY d Y Y X d y y dy dx dy Y dx X dy Y X XY XY m y m d dy m XY d XY dy 1 dx 1dY 1 dx 1dY m m Xd Ydy Xd Ydy 1 dx Xd 1 Ydy dy Συνάρτηση του και ανεξάρτητο του y Σταθερά ανεξάρτητη των και y Σταθερά ανεξάρτητη των και y Συνάρτηση του y και ανεξάρτητο του m m 1 dx Xd dy Ydy 1 y Σταθερά ανεξάρτητη του και y m m y m y
Σωματίδιο σε δισδιάστατο κουτί (φρέαρ δυναμικού) m X () m d 1 dx dx ( ) Xd m y () y m d 1 dy d( y) Ydy Ιδιοσυναρτήσεις ρή και ιδιοτιμές μςανάλογες του μονοδιάστατου φρέατος 1/ V ˆ( ) n nh 1 1 Xn() sin,, 1 n n 1 1 1,,... 1 1 8m1 1/ n y nh n 8 Yn () y sin,, n 1,,... m n n h n n 1 y 1 n 1 1, n(, y) sin 1/ sin, n 1, n, nn 1, 1,,... 1 8m 1 1 3D Ισοϋψείς 3D Προβολή στο επίπεδο Ισοϋψείς D
y ( ) ( 1 ) h 4 4 8m, 1 Σωματίδιο σε δισδιάστατο ορθογώνιο κουτί (φρέαρ δυναμικού) n 1 ny h n1 n n 1, n y 1/ n 1, n n 1 n 1 1 8m1 (,) sin sin,,, 1,,... h 4 1 8m1,1 h 1 4 8m 1, 1 h 1 1 8m 1,1 1
y () h 8 8m, () Σωματίδιο σε δισδιάστατο τετραγωνικό κουτί (φρέαρ δυναμικού) n 1y ny h n1 n n, n y n, n n 1 n (,) sin sin,,, 1,,... 8m 1 1 h 5 8m,1 1,,1 Εκφυλισμός Συμμετρική συσχέτιση h 5 8m 1, h 8m 1,1