ΤΥΧΑΙΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ Τυχαία μεταβλητή είναι μία συνάρτηση ή ένας κανόνας που αντιστοιχίζει ένα αριθμό σε κάθε αποτέλεσμα ενός πειράματος. Εναλλακτικά η τιμή της τυχαίας μεταβλητής είναι ένα αριθμητικό γεγονός. Αντί να λέμε για το αποτέλεσμα στο πέταγμα ενός νομίσματος (κεφάλι, γράμματα) λέμε το πλήθος των κεφαλών όταν πετάμε το νόμισμα {1, 0} (αριθμητικά γεγονότα)
ΔΥΟ ΕΙΔΗ ΤΥΧΑΙΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ Διακριτή τυχαία μεταβλητή το πλήθος των διαφορετικών τιμών της είναι αριθμήσιμο π.χ. όταν ρίξουμε δύο ζάρια έχουμε {2, 3, 4,, 12} Συνεχής τυχαία μεταβλητή το πλήθος των διαφορετικών τιμών της δεν είναι αριθμήσιμο αλλά συνεχές π.χ. η επίδοση ενός αθλητή στα 1500 μέτρα είναι 3 λεπτά, 41 δευτερόλεπτα και 6 δέκατα Αναλογικά: Οι ακέραιοι είναι διακριτοί, ενώ οι πραγματικοί αριθμοί είναι συνεχείς
ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ Μία κατανομή πιθανοτήτων είναι ένας πίνακας, μία συνάρτηση ή ένα διάγραμμα που περιγράφει τις τιμές τυχαίας μεταβλητής και τις πιθανότητες που αντιστοιχούν σε αυτές. Αφού υπάρχουν δύο ειδών τυχαίες μεταβλητές (διακριτές ή συνεχείς) υπάρχουν και δύο ειδών κατανομές πιθανοτήτων: Διακριτές κατανομές πιθανοτήτων και Συνεχείς κατανομές πιθανοτήτων
ΣΥΜΒΟΛΙΣΜΟΙ Με κεφαλαίο γράμμα συμβολίζουμε το όνομα της τυχαίας μεταβλητής X. Με μικρό γράμμα συμβολίζουμε την αντίστοιχη τιμή της τυχαίας μεταβλητής. Η πιθανότητα ότι η τυχαία μεταβλητή X ισούται με x είναι: P(X = x) ή πιο απλά P(x)
ΔΙΑΚΡΙΤΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ Οι πιθανότητες των τιμών μιας διακριτής τυχαίας μεταβλητής υπολογίζονται με διάφορους τρόπους όπως τα δενδροδιαγράμματα ή με τη χρήση του ορισμού των πιθανοτήτων και ικανοποιούν τις δύο συνθήκες:
ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 1 Δίνεται παρακάτω η κατανομή πιθανοτήτων του πλήθους των εγχρώμων τηλεοράσεων που υπάρχουν στα σπίτια μιας περιοχής Πλήθος εγχρώμων τηλεοράσεων Πλήθος νοικοκυριών 0 1,218 1 32,379 2 37,961 3 19,387 4 7,714 5 2,842 Σύνολο 101,501
ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 1 (συνέχεια) Οι κατανομές πιθανοτήτων μπορούν να εκτιμηθούν από τις σχετικές συχνότητες. 1,218 101,501 = 0.012 π.χ. P(X=4) = P(4) = 0.076 = 7.6%
ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 1 (συνέχεια) Ποια είναι η πιθανότητα να υπάρχει τουλάχιστον μία και όχι περισσότερες από 3 τηλεοράσεις σε κάποιο σπίτι; τουλάχιστον μία και όχι περισσότερες από 3 τηλεοράσεις P(1 X 3) = P(1) + P(2) + P(3) = 0.319 + 0.374 + 0.191 = 0.884
ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 2 Ένας χρηματιστής που διαχειρίζεται αμοιβαία κεφάλαια έχει ραντεβού με τρεις υποψήφιους πελάτες. Με βάση την προηγούμενη εμπειρία του ο χρηματιστής γνωρίζει ότι η πιθανότητα ένας πελάτης να αγοράσει αμοιβαία κεφάλαια είναι 20%. Να υπολογιστεί η κατανομή πιθανοτήτων των πωλήσεων που θα κάνει ο χρηματιστής. Συμβολίζουμε με S το γεγονός πώληση (Sale) και με S C το γεγονός μη πώληση. Τότε P(S)=0.20 και P(S C )=0.80
ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 2 (συνέχεια) Υπολογισμός της πιθανοτικής κατανομής Πελάτης 1 Πελάτης 2 Πελάτης 3 (0.2)(0.2)(0.8)=0.032 P(S)=0.2 S S S P(S)=0.2 P(S C )=0.8 P(S)=0.2 P(S C )=0.8 P(S)=0.2 P(S C )=0.8 P(S C )=0.8 P(S)=0.2 P(S C )=0.8 P(S)=0.2 P(S C )=0.8 P(S)=.2 S S S C S S C S S S C S C S C S S S C S S C S C S C S X P(x) 3 0.2 3 = 0.008 2 3(0.032)=0.096 1 3(0.128)=0.384 0 0.8 3 = 0.512 P(S C )=0.8 S C S C S C P(X=2) =
ΠΛΗΘΥΣΜΟΣ ΚΑΤΑΝΟΜΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ Μια διακριτή κατανομή πιθανοτήτων αντιπροσωπεύει ένα πληθυσμό Παράδειγμα 1: Ο πληθυσμός είναι το πλήθος των τηλεοράσεων σε κάθε σπίτι Παράδειγμα 2: Ο πληθυσμός είναι οι πωλήσεις που κάνει ο χρηματιστής Μπορούμε να περιγράψουμε ένα πληθυσμό από τις παραμέτρους του. π.χ. η πληθυσμιακή μέση τιμή και διακύμανση.
ΠΛΗΘΥΣΜΙΑΚΟΣ ΜΕΣΟΣ Ο πληθυσμιακός μέσος είναι ο σταθμισμένος μέσος όλων των τιμών του πληθυσμού. Τα βάρη είναι οι πιθανότητες. Η παράμετρος αυτή καλείται επίσης η αναμενόμενη τιμή (expected value) της Χ και συμβολίζεται με E(X).
ΠΛΗΘΥΣΜΙΑΚΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗ Η πληθυσμιακή διακύμανση υπολογίζεται παρόμοια. Είναι ο σταθμισμένος αριθμητικός μέσος των τετραγωνισμένων αποκλίσεων από την αναμενόμενη τιμή. Μία άλλη μορφή του παραπάνω τύπου είναι Η τυπική απόκλιση είναι:
ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 1 (συνέχεια) Να βρεθούν η αναμενόμενη τιμή, η διακύμανση και η τυπική απόκλιση του πληθυσμού των τηλεοράσεων = 0(0.012) + 1(0.319) + 2(0.374) + 3(0.191) + 4(0.076) + 5(0.028) = 2.084
ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 1 (συνέχεια) Να βρεθούν η αναμενόμενη τιμή, η διακύμανση και η τυπική απόκλιση του πληθυσμού των τηλεοράσεων = (0 2.084) 2 (0.012) + (1 2.084) 2 (0.319)+ +(5 2.084) 2 (0.028) = 1.107
ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 1 (συνέχεια) Να βρεθούν η αναμενόμενη τιμή, η διακύμανση και η τυπική απόκλιση του πληθυσμού των τηλεοράσεων
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΗΣ ΑΝΑΜΕΝΟΜΕΝΗΣ ΤΙΜΗΣ 1. E(c) = c Η αναμενόμενη τιμή μιας σταθεράς (c) είναι η ίδια η σταθερά. 2. E(X + c) = E(X) + c 3. E(cX) = ce(x) Μπορούμε να βγάλουμε μία σταθερά έξω από την έκφραση της αναμενόμενης τιμής.
ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 3 Ο όγκος των μηνιαίων πωλήσεων έχουν αναμενόμενη τιμή 25,000 και τυπική απόκλιση 4,000. Το κέρδος υπολογίζεται πολλαπλασιάζοντας τις πωλήσεις με 30% και αφαιρώντας τα σταθερά κόστη 6,000. Να βρεθεί το μέσο μηνιαίο κέρδος 1) Έχουμε: μέσες πωλήσεις 25,000 E(Πωλήσεις) = 25,000 μέσο κέρδος Ε(Κέρδος) = 0.30Ε(Πωλήσεις) 6,000
ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 3 (συνέχεια) Ο όγκος των μηνιαίων πωλήσεων έχουν αναμενόμενη τιμή 25,000 και τυπική απόκλιση 4,000. Το κέρδος υπολογίζεται πολλαπλασιάζοντας τις πωλήσεις με 30% και αφαιρώντας τα σταθερά κόστη 6,000. Να βρεθεί το μέσο μηνιαίο κέρδος. 2) E(Κέρδος) =E[0.30(Πωλήσεις) 6,000] =E[0.30(Πωλήσεις)] 6,000 [κανόνας #2] =0.30E(Πωλήσεις) 6,000 [κανόνας #3] =0.30Ε(Πωλήσεις) 6,000 = 1,500 Οι μέσες μηνιαίες πωλήσεις είναι 1,500
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΗΣ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ 1. V(c) = 0 Η διακύμανση μιας σταθεράς (c) είναι μηδέν. 2. V(X + c) = V(X) Η διακύμανση μιας τυχαίας μεταβλητής και μιας σταθεράς είναι η διακύμανση της τυχαίας μεταβλητής. 3. V(cX) = c 2 V(X) Η διακύμανση μιας τυχαίας μεταβλητής και ενός σταθερού συντελεστή είναι το τετράγωνο του σταθερού συντελεστή πολλαπλασιασμένο με τη διακύμανση της τυχαίας μεταβλητής.
ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 3 (συνέχεια) Ο όγκος των μηνιαίων πωλήσεων έχουν αναμενόμενη τιμή 25,000 και τυπική απόκλιση 4,000. Το κέρδος υπολογίζεται πολλαπλασιάζοντας τις πωλήσεις με 30% και αφαιρώντας τα σταθερά κόστη 6,000. Να βρεθεί η τυπική απόκλιση του μηνιαίου κέρδους 1) Έχουμε: Οι πωλήσεις έχουν τυπική απόκλιση 4,000 V(Πωλήσεις) = 4,000 2 = 16,000,000 Κέρδος = 0.30(Πωλήσεις) 6,000
ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 3 (συνέχεια) Ο όγκος των μηνιαίων πωλήσεων έχουν αναμενόμενη τιμή 25,000 και τυπική απόκλιση 4,000. Το κέρδος υπολογίζεται πολλαπλασιάζοντας τις πωλήσεις με 30% και αφαιρώντας τα σταθερά κόστη 6,000. Να βρεθεί η τυπική απόκλιση του μηνιαίου κέρδους 2) Διακύμανση του κέρδους = V(Κέρδος) =V[0.30(Πωλήσεις) 6,000] =V[0.30(Πωλήσεις)] [κανόνας #2] =(0.30) 2 V(Πωλήσεις) [κανόνας #3] =(0.30) 2 (16,000,000) = 1,440,000 Τυπική απόκλιση Κέρδους = (1,440,000) 1/2 = 1,200
ΔΙΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ Μέχρι τώρα μελετήσαμε τη μονοδιάστατη κατανομή, δηλαδή κατανομή μιας τυχαίας μεταβλητής. Η διμεταβλητή κατανομή πιθανοτήτων (bivariate probability distribution) είναι κατανομή δύο τυχαίων μεταβλητών. Η διμεταβλητή κατανομή πιθανοτήτων καλείται επίσης από κοινού κατανομή (joint probability distribution). Η από κοινού κατανομή των X και Y είναι ένας πίνακας ή μία συνάρτηση που προσδιορίζει τις από κοινού πιθανότητες για όλα τα ζευγάρια τιμών x και y, και συμβολίζεται με P(x,y). P(x,y) = P(X=x and Y=y)
ΔΙΑΚΡΙΤΗ ΔΙΜΕΤΑΒΛΗΤΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗ Όπως αναμένεται, οι πιθανότητες μιας διμεταβλητής κατανομής θα πρέπει να ικανοποιούν τις σχέσεις: για όλα τα ζευγάρια (x,y).
ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 4 Δύο χρηματιστές Α και Β ασχολούνται με την πώληση μετοχών. Συμβολίζουμε με Χ το πλήθος των ημερήσιων πωλήσεων του Α και με Y τις αντίστοιχες πωλήσεις του Β. Από την ανάλυση των πωλήσεων των προηγούμενων ημερών προέκυψε ο παρακάτω πίνακας των από κοινού πιθανοτήτων.
ΠΕΡΙΘΩΡΙΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Μπορούμε να υπολογίσουμε τις περιθώριες πιθανότητες (marginal probabilities) αθροίζοντας κατά μήκος των γραμμών και των στηλών του πίνακα. Έτσι προκύπτουν οι πιθανότητες των Χ και Υ ξεχωριστά: π.χ. πιθανότητα ότι ο Α θα κάνει μία πώληση = P(X=1) = 0.50
ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΙ ΠΕΡΙΘΩΡΙΩΝ ΚΑΤΑΝΟΜΩΝ Μπορούμε να υπολογίσουμε την αναμενόμενη τιμή, τη διακύμανση και την τυπική απόκλιση για κάθε μεταβλητή της διμεταβλητής κατανομής από τις περιθώριες πιθανότητες Ίδιοι τύποι με τις μονοδιάστατες κατανομές
ΣΥΝΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗ Η συνδιακύμανση δύο διακριτών κατανομών ορίζεται από: ή ισοδύναμα:
ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΗΣ ΣΥΣΧΕΤΙΣΗΣ Ο συντελεστής συσχέτισης δίνεται από
ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 4 (συνέχεια) Να υπολογιστεί η συνδιακύμανση και ο συντελεστής συσχέτισης του πλήθους των πωλήσεων για τους χρηματιστές Α και Β. COV(X,Y) = (0 0.7)(0 0.5)(0.12) + (1 0.7)(0 0.5)(0.42) + + (2 0.7)(2 0.5)(0.01) = 0.15 = 0.15 [(0.64)(0.67)] = 0.35 Υπάρχει μία ασθενής αρνητική σχέση μεταξύ των δύο μεταβλητών
ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 4 (συνέχεια) X Y Probability X - µ(x) Y - µ(y) [X - µ(x)][y-µ(y)] 0 0 0.12-0.7-0.5 0.042 0 1 0.21-0.7 0.5-0.074 0 2 0.07-0.7 1.5-0.074 1 0 0.42 0.3-0.5-0.063 1 1 0.06 0.3 0.5 0.009 1 2 0.02 0.3 1.5 0.009 2 0 0.06 1.3-0.5-0.039 2 1 0.03 1.3 0.5 0.020 2 2 0.01 1.3 1.5 0.020 0.7 0.5-0.150
ΑΘΡΟΙΣΜΑ ΔΥΟ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ Η διμεταβλητή κατανομή μας επιτρέπει να υπολογίσουμε την κατανομή για οποιοδήποτε συνδυασμό δύο τυχαίων μεταβλητών και ειδικότερα του αθροίσματος δύο μεταβλητών. Για παράδειγμα την κατανομή πιθανοτήτων του αθροίσματος των πωλήσεων για τους χρηματιστές Α και Β και να απαντήσουμε στην ερώτηση ποια είναι η πιθανότητα να γίνουν δύο πωλήσεις σε μία μέρα ; P(X+Y=2) = P(0,2) + P(1,1) + P(2,0) = 0.07 + 0.06 + 0.06 = 0.19
ΑΘΡΟΙΣΜΑ ΔΥΟ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ Επίσης μπορούμε να υπολογίσουμε την αναμενόμενη τιμή, τη διακύμανση και την τυπική απόκλιση του X+Y σαν E(X+Y) = 0(0.12) + 1(0.63) + 2(0.19) + 3(0.05) + 4(0.01) = 1.2 V(X + Y) = (0 1.2) 2 (0.12) + + (4 1.2) 2 (0.01) = 0.56 x y Var( X Y ) 0.56 0.75
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ Η αναμενόμενη τιμή και η διακύμανση του αθροίσματος δύο τυχαίων μεταβλητών έχουν τις ιδιότητες E(X + Y) = E(X) + E(Y) V(X + Y) = V(X) + V(Y) + 2COV(X, Y) Όταν X και Y είναι ανεξάρτητα τότε COV(X, Y) = 0 και V(X + Y) = V(X) + V(Y)
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ (συνέχεια) E(X + Y) = E(X) + E(Y) = 0.7 + 0.5 = 1.2 V(X + Y) = V(X) + V(Y) + 2COV(X, Y) = 0.41 + 0.45 + 2(-0.15) = 0.56
ΑΠΟΔΟΣΗ ΧΑΡΤΟΦΥΛΑΚΙΟΥ Ένας επενδυτής έχει ένα χαρτοφυλάκιο με μόνο δύο μετοχές. Η επένδυση αποτελείται από 4,000 για τη μία μετοχή και 6,000 για τη δεύτερη. Υποθέτουμε ότι μετά από ένα χρόνο προέκυψαν τα εξής: Ετήσιες αποδόσεις Αρχική Αξία της επένδυσης Ρυθμός απόδοσης Μετοχή επένδυση μετά από ένα έτος της επένδυσης 1 4,000 5,000 R 1 = 0.25 (25%) 2 6,000 5,400 R 2 =-0.10 (-10%) Σύνολο 10,000 10,400 R p = 0.04 ( 4%) ή R p = w 1 R 1 + w 2 R 2 = (0.4)(0.25) + (0.6)(-0.10) =0.04
ΑΠΟΔΟΣΗ ΧΑΡΤΟΦΥΛΑΚΙΟΥ (συνέχεια) Αναμενόμενη τιμή και διακύμανση χαρτοφυλακίου δύο μετοχών E(R p ) = w 1 E(R 1 ) + w 2 E(R 2 ) V(R p ) = w 12 V(R 1 ) + w 22 V(R 2 ) + 2w 1 w 2 COV(R 1, R 2 ) = w 12 σ 12 + w 22 σ 22 + 2w 1 w 2 ρσ 1 σ 2 Όπου w 1 and w 2 είναι τα ποσοστά των επενδύσεων 1 and 2, E(R 1 ) και E(R 2 ) είναι οι αναμενόμενες τιμές, σ 1 και σ 2 είναι οι τυπικές αποκλίσεις και ρ είναι ο συντελεστής συσχέτισης
ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 5 Ένας επενδυτής έχει ένα χαρτοφυλάκιο με 25% της επένδυσης σε μετοχές McDonald s και 75% σε μετοχές της Cisco Systems. Ο επενδυτής ελπίζει ότι οι αναμενόμενες αποδώσεις θα είναι 8% και 15%, με τυπικές αποκλίσεις 12% και 22% αντίστοιχα. (α) Να βρεθεί η αναμενόμενη απόδοση του χαρτοφυλακίου. (β) Να υπολογιστεί η τυπική απόκλιση του χαρτοφυλακίου κάτω από τις υποθέσεις ότι: (i) Οι αποδόσεις των μετοχών είναι τέλεια θετικά συσχετισμένες (ii) Ο συντελεστής συσχέτιση των αποδόσεων είναι 0.5 (iii) Οι αποδόσεις των μετοχών είναι ασυσχέτιστες
ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 5 (συνέχεια) (α) Οι αναμενόμενες αποδόσεις των μετοχών είναι E(R 1 ) = 0.08 and E(R 2 ) = 0.15 Τα βάρη είναι w 1 = 0.25 και w 2 = 0.75. Έτσι E(R 2 ) = w 1 E(R 1 ) + w 2 E(R 2 ) = 0.25(0.08) + 0.75(0.15) = 0.1325
ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 5 (συνέχεια) Οι τυπικές αποκλίσεις είναι σ 1 = 0.12 and σ 2 = 0.22. Έτσι, V(R p ) = w 12 σ 12 + w 22 σ 22 + 2w 1 w 2 ρσ 1 σ 2 = (0.25 2 )(0.12 2 ) + (0.75 2 )(0.22 2 ) + 2(0.25)(0.75)ρ (0.12)(0.22) = 0.0281 + 0.0099 ρ Όταν ρ = 1 V(R p ) = 0.0281 + 0.0099(1) = 0.0380 Όταν ρ =.5 V(R p ) = 0.0281 + 0.0099(0.5) = 0.0331 Όταν ρ = 0 V(R p ) = 0.0281 + 0.0099(0) = 0.0281
ΧΑΡΤΟΦΥΛΑΚΙΑ ΜΕ k ΜΕΤΟΧΕΣ Οι τύποι για τον υπολογισμό της αναμενόμενης τιμής και της διακύμανσης των αποδόσεων ενός χαρτοφυλακίου με k μετοχές δίνονται από E(R p ) = V(R p ) = k i 1 k i 1 w E( w i R i ) k k 2 2 i i 2 w iw jcov(r i, R j ) i 1 j i 1 όπου R i είναι η απόδοση της i-οστής μετοχής, w i είναι το ποσοστό στην επένδυση της i-οστής μετοχής και k είναι το πλήθος των μετοχών του χαρτοφυλακίου.
Η ψηφιοποίηση του εκπαιδευτικού υλικού έγινε στο πλαίσιο υλοποίησης της πράξης με τίτλο «ΕΝΙΣΧΥΣΗ ΣΠΟΥΔΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ στο ΤΕΙ ΚΑΒΑΛΑΣ», του Μέτρου 2.2 «Αναμόρφωση Προγραμμάτων Σπουδών - Διεύρυνση Τριτοβάθμιας Εκπαίδευσης» του ΕΠΕΑΕΚ ΙΙ, που συγχρηματοδοτείται από το Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο (Ε.Κ.Τ.) κατά 80% και Εθνικούς πόρους κατά 20%.