ΚΡΟΤΕΙ ΚΑΙ ΑΠΛΗ ΑΡΜΟΝΙΚΗ ΣΑΛΑΝΣΩΗ

4 ν Γεληθό Λύθεην Κνδάλεο Φπσηθή θατεύζπλσεο Γ τάμεο ΚΡΟΤΕΙ ΚΑΙ ΑΠΛΗ ΑΡΜΟΝΙΚΗ ΣΑΛΑΝΣΩΗ ΣΤΕΦΑΝΟΥ Μ. ΦΥΣΙΚΟΣ

ΠΑΡΑΣΗΡΗΕΙ 1. ηημ ελαζηική κοξύζη όποσ ηο έκα ζώμα είκαη αθίκεηο αρτηθά εθαρμόδω ηης γκωζηές ζτέζεης : Γηα ηο ζώμα m 1 ποσ αοςικά κιμείηαι με ηατύηεηα σ 1, μεηά ηεκ θρούζε έτεη m1 m2 ηατύηεηα : 1.. Η ηατύηεηα ηοσ ζώμαηος m 1 2 ποσ αοςικά ήηαμ ακίμηηξ m m 1 2 2m1 ηζτύεη :.. m m 2 1 1 2 Ακ ηα ζώμαηα έςξρμ ίζεπ μάζεπ ηόηε αμηαλλάζζξρμ ηαςύηηηεπ. Αθόμε ε ζέζε ηζορροπίας ηες ηαιάκηωζες αιιά θαη ε περίοδος Τ, ακ αρτηθά ηο ζώμα ηαιακηωκόηακ δεμ αλλάζξρμ. Γηα ηοκ σποιογηζμό ηοσ πιάηοσς εθαρμόδω αμέζως μεηά ηεκ θρούζε θαη ζηε ζέζε ποσ έγηκε ε θρούζε ηεκ Α.Δ.Ε.Σ. 2. ηημ πλαζηική κοξύζη δημιξρογείηαι ζρζζωμάηωμα θαη εθαρμόδω ηεκ Α.Δ ηες ορμής: Pαξρ P τει m 1. 1 m 2. 2 (m1 m 2).. Όηακ ηο ζύζηεμα ειαηήρηο ζώμα βρίζθοκηαη ζηο ορηδόκηηο επίπεδο ηόηε ε Θ.Ι ηες ηαιάκηωζες δεκ αιιάδεη. 3. Ακ ηο ζύζηεμα ειαηήρηο ζώμα βρίζθοκηαη ζε θαηαθόρσθε ζέζε ή πάκω ζε θεθιημέκο επίπεδο ηόηε η Θ.Ι αλλάζει, θαηαζθεσάδω οπωζδήποηε ζτήμα θαη ζέηω ηε Θ.Φ.Μ ηοσ ειαηερίοσ, ηεκ παιαηά Θ.Ι ηες ηαιάκηωζες, ηε ζέζε όποσ ηα ζώμαηα ζσγθρούοκηαη, ηε ζέζε μεηά ηεκ θρούζε θαη ηεκ Ν.Θ.Ι ηες ηαιάκηωζες. Σηης ζέζεης ηζορροπίας εθαρμόδω ΣF=0, θαη ζηεκ ζέζε ηες θρούζες ηεκ Α.Δ.Ο. Γηα ηοκ ρπξλξγιζμό ηξρ πλάηξρπ εθαρμόδω αμέζως μεηά ηεκ θρούζε θαη ζηε ζέζε ποσ έγηκε ε θρούζε ηεκ Α.Δ.Ε.Τ. : 1 2 1 2 1 2 U DA ( m1 m2) Dx, όποσ σ ε ηατύηεηα ηοσ ζσζζωμαηώμαηος θαη τ ε 2 2 2 απομάθρσκζε από ηε κέα ζέζε ηζορροπίας (Ν.Θ.Ι) ηες ηαιάκηωζες. 4. Ποξζέςω ζε πξια θέζη ηξρ ζώμαηξπ ποσ ηαιακηώκεηαη γίκεηαη ε θρούζε. Ακ είκαη αθραία ζέζε ηόηε ασηό δεκ έτεη ηατύηεηα, ακ γίκεηαη ζηε Θ.Ι θαη θηκείηαη έτεη ηεκ μέγηζηε ηατύηεηα θαη ακ βρίζθεηαη ζε ησταία ζέζε τ, ζα έτεη θάποηα ηατύηεηα σ ε οποία σποιογίδεηαη από ηεκ Α.Δ.Ε.Τ. : 1 2 1 2 1 2 E K U DA Dx m, όποσ τ ε ζέζε ηοσ ζώμαηος 2 2 2 5. Τεκ κέα περίοδο ηεκ ηαιάκηωζες ηεκ σποιογίδω από ηεκ ζτέζε : 2 m m 1 2 D 1

6. Απώλειεπ εμέογειαπ καηά ηημ κοξύζη (ζερμηθή εκέργεηα) H κεταβνιή τεο κεραληθήο ή θηλετηθήο ελέξγεηαο : ώ ά Η εμέογεια αρηή μεηαηοάπηκε ζε θεομική καηά ηη διάοκεια ηηπ κοξύζηπ. 7. Πξζξζηό επί ηξιπ εκαηό απώλειαπ κιμηηικήπ εμέογειαπ καηά ηημ κοξύζη ά 100% 8. ηημ αμελαζηική κοξύζη ηξ έμα ζώμα κιμξύμεμξ με ηαςύηηηα ρ ζργκοξύεηαι με κάπξιξ άλλξ ζώμα, πξρ μπξοεί μα κιμείηαι ή μα είμαι ακίμηηξ, ηξ διαπεομά και ενέοςεηαι με ηαςύηηηα ρ 1. Δε δημιξρογείηαι ζρζζωμάηωμα!! Και εδώ εθαομόζω ηημ Α.Δ ηηπ ξομήπ!! και θρζικά ρπάοςξρμ και εδώ ΑΠΩΛΕΙΕ!! 9. Καηά ηημ έκοηνη ελερθεοώμεηαι εμέογεια : E Οιίγνλ τη από τύπνπο!!!! Ελαστική κρούση m m 2m 2m m m.. θαη.. 1 2 2 1 2 1 1 1 2 2 1 2 m1 m2 m1 m2 m1 m2 m1 m2 Ελαστική κρούση και η m 2 είναι ακίνητη πριν την κρούση m m. 1 2 1 1 m1 m2 2m 1, θαη. 2 1 m1 m2 Απώλειες ενέργειας κατά την πλαστική ή ανελαστική κρούση Ποσοστό απώλειας κατά την πλαστική ή ανελαστική κρούση ή ΔΚ= ώ ά Q ά 100% κετά πξηλ 2

ΚΡΟΤΕΙ ΚΑΙ ΑΠΛΗ ΑΡΜΟΝΙΚΗ ΣΑΛΑΝΣΩΗ 1. Το ακίνθτο ςϊμα μάηασ Μ= 4 kg του διπλανοφ ςχιματοσ είναι δεμζνο ςτο ζνα άκρο οριηόντιου ελατθρίου ςτακεράσ k, το άλλο άκρο του οποίου είναι ςτερεωμζνο ςε ακλόνθτο ςθμείο. Αρχικά το ελατιριο βρίςκεται ςτθν κατάςταςθ φυςικοφ του μικουσ. Ζνα άλλο ςϊμα μάηασ m = 2 kg κινείται οριηόντια ςτο λείο οριηόντιο δάπεδο με ταχφτθτα υ 1 και τθ χρονικι ςτιγμι t= 0 ςυγκροφεται κεντρικά και ελαςτικά με το ακίνθτο ςϊμα μάηασ Μ. Μετά τθν κροφςθ το ςϊμα μάηασ Μ κινείται ςτο λείο οριηόντιο δάπεδο εκτελϊντασ απλι αρμονικι ταλάντωςθ με εξίςωςθ ταχφτθτασ υ = 6 ςυν15t (S.I.). Να υπολογίςετε: α) τθ ςτακερά k του ελατθρίου και το μζτρο τθσ ταχφτθτασ υ 1 β) τθ μζγιςτθ τιμι του μζτρου τθσ δφναμθσ επαναφοράσ που δζχεται το ςϊμα μάηασ Μ κατά τθ διάρκεια τθσ ταλάντωςισ του. γ) τθν απόςταςθ των δφο ςωμάτων τθ ςτιγμι που το ςϊμα μάηασ Μ βρίςκεται για πρϊτθ φορά ςτθν ακραία κζςθ ταλάντωςθσ του. (900Ν/m, 9m/s, 360 N) 2. Το ακίνθτο ςϊμα μάηασ m 2 = 4 kg του διπλανοφ ςχιματοσ είναι δεμζνο ςτο ζνα άκρο οριηόντιου ελατθρίου ςτακεράσ k=900 N/m, το άλλο άκρο του οποίου είναι ςτερεωμζνο ςε ακλόνθτο ςθμείο. Αρχικά το ελατιριο βρίςκεται ςτθν κατάςταςθ φυςικοφ του μικουσ. Ζνα άλλο ςϊμα ίδιασ μάηασ m 1 = m 2 κινείται οριηόντια ςτο λείο οριηόντιο δάπεδο με ταχφτθτα υ 1 και τθ χρονικι ςτιγμι t= 0 ςυγκροφεται κεντρικά και ελαςτικά με το ακίνθτο ςϊμα μάηασ m 2. Μετά τθν κροφςθ το ςϊμα μάηασ m 2 κινείται ςτο λείο οριηόντιο δάπεδο εκτελϊντασ απλι αρμονικι ταλάντωςθ ολικισ ενζργειασ Ε=72 J. α) Να υπολογίςετε τθν ταχφτθτα υ 1 του ςϊματοσ m 1 β) Να γράψετε τισ χρονικζσ εξιςϊςεισ τθσ απομάκρυνςθσ και τθσ ταχφτθτασ τθσ ταλάντωςθσ που μπορεί να ακολουκιςει αμζςωσ μετά τθν κροφςθ, κεωρϊντασ ωσ t=0 τθ χρονικι ςτιγμι που ζχει ολοκλθρωκεί θ κροφςθ των δφο ςωμάτων και ωσ κετικι φορά τθ φορά προσ τα αριςτερά. γ) Να βρείτε τθν χρονικι διάρκεια αυτισ τθσ ταλάντωςθσ δ) Αν θ μάηα m 1 είναι ίςθ με 2 kg, με ποια ταχφτθτα πρζπει να κινείται πριν τθν κροφςθ για να τετραπλαςιαςτεί θ ολικι ενζργεια τθσ ταλάντωςθσ του ςϊματοσ m 2 ; 3. Το ακίνθτο ςϊμα μάηασ m 1 = 4 kg του διπλανοφ ςχιματοσ είναι δεμζνο ςτο ζνα άκρο οριηόντιου ελατθρίου ςτακεράσ k, το άλλο άκρο του οποίου είναι ςτερεωμζνο ςε ακλόνθτο ςθμείο. Αρχικά το ελατιριο βρίςκεται ςτθν κατάςταςθ φυςικοφ του μικουσ. Ζνα άλλο ςϊμα μάηασ m 2 = 2 kg κινείται οριηόντια ςτο λείο οριηόντιο δάπεδο με ταχφτθτα υ 2, και τθ χρονικι ςτιγμι t= 0 ςυγκροφεται κεντρικά και ελαςτικά με το ακίνθτο ςϊμα μάηασ m 1. Μετά τθν κροφςθ το ςϊμα μάηασ m 1 κινείται ςτο λείο οριηόντιο δάπεδο εκτελϊντασ απλι αρμονικι ταλάντωςθ με μζγιςτθ δφναμθ επαναφοράσ F max = 240 N. Αν ο χρόνοσ που απαιτείται για φτάςει το ςϊμα μάηασ m 1 ξανά ςτθ κζςθ ιςορροπίασ του είναι t= π/10s, να υπολογίςετε: α) τθ ςτακερά k του ελατθρίου, β) το μζτρο τθσ ταχφτθτασ του ςϊματοσ m 2 πριν και μετά τθν κροφςθ. γ) τθν εξίςωςθ τθσ επιτάχυνςθσ τθσ ταλάντωςθσ ςυναρτιςει του χρόνου δ) το ελάχιςτο χρονικό διάςτθμα του ταλαντωτι από τθ κζςθ x 1 =+A/2 ςτθ κζςθ x 2 =-A/2. (400Ν/m, 9m/s, -60θμ10t, π/30 s ) 3

4. Σϊμα Σ 2 μάηασ m 2 = 1 kg ιςορροπεί προςδεμζνο ςτο κάτω άκρο ιδανικοφ κατακόρυφου ελατθρίου ςτακεράσ Κ, του οποίου το άλλο άκρο είναι ακλόνθτα ςτερεωμζνο. Η επιμικυνςθ του ελατθρίου από το φυςικό του μικοσ, όταν το ςϊμα Σ 2 ιςορροπεί, είναι Δχ. Σϊμα Σ 1 μάηασ m 2 =m 1 κινοφμενο κατακόρυφα προσ τα πάνω με ταχφτθτα μζτρου υ 1 =2 m/s ςυγκροφεται μετωπικά και ελαςτικά με το ςϊμα Σ 2. Μετά τθν κροφςθ το ςϊμα Σ 2 ανυψϊνεται και ςταματάει ςτιγμιαία ςε φψοσ h = 2.Δχ. από τθ κζςθ ιςορροπίασ του. α. Να υπολογίςετε τθν τιμι τθσ ςτακεράσ Κ του ελατθρίου. β. Να υπολογίςετε τθν απόςταςθ των δφο ςωμάτων τθ χρονικι ςτιγμι που το ςϊμα Σ 2 επανζρχεται ςτθ κζςθ ιςορροπίασ του για πρϊτθ φορά μετά τθν κροφςθ. γ. Να γράψετε τθν εξίςωςθ τθσ κινθτικισ ενζργειασ του ςϊματοσ Σ 2 ςε ςυνάρτθςθ με το χρόνο, αν κεωριςετε ωσ χρονικι ςτιγμι t = 0 τθ ςτιγμι που ο ταλαντωτισ βρίςκεται ςτθ κζςθ χ= +Α/2 για πρϊτθ φορά και ωσ κετικι φορά τθ φορά προσ τα πάνω δ. Να παραςτιςετε γραφικά τθν αλγεβρικι τιμι τθσ δφναμθσ τθσ ταλάντωςθσ ςε ςυνάρτθςθ με το χρόνο για δυο περιόδουσ. Δίνεται θ επιτάχυνςθ τθσ βαρφτθτασ: g = 10 m/s 2 και ότι π 2 = 10. (100 N/m, 0.5 m, 2.ςυν 2 (10 t +π/6) ) 5. Ζνα ςϊμα Σ 2 είναι ςτερεωμζνο ςτο πάνω άκρο κατακόρυφου ελατθρίου ςτακεράσ Κ=100 Ν/m του οποίου το κάτω άκρο είναι ακλόνθτα ςτερεωμζνο. Το ςφςτθμα εκτελεί αρμονικι ταλάντωςθ πλάτουσ Α ςτο κατακόρυφο επίπεδο. Από φφοσ h, πάνω από τθ κάτω ακραία κζςθ του ςϊματοσ Σ 2 ελευκερϊνουμε ζνα άλλο ςϊμα Σ 1 μάηασ m 1 = 0,1kg. Τα δφο ςϊματα ςυγκροφονται κεντρικά ελαςτικά τθ ςτιγμι που το ςϊμα Σ 2 βρίςκεται ςτθν κάτω ακραία του κζςθ. Μετά τθν κροφςθ το ςϊμα Σ 1 απομακρφνεται από εμάσ, ενϊ το ςϊμα Σ 2 εκτελεί νζα αρμονικι ταλάντωςθ θ οποία περιγράφεται από τθν εξίςωςθ: χ=0,4 θμ(20t+4π/3) (S.I) Θεωροφμε t=0 τθ ςτιγμι τθσ κροφςθσ. Να βρείτε: α. τθν ταχφτθτα του ςϊματοσ Σ 2 αμζςωσ μετά τθν κροφςθ και τθ μάηα m 2 β. το πλάτοσ Α τθσ αρχικισ ταλάντωςθσ γ. το φψοσ h από το οποίο ελευκερϊκθκε το ςϊμα Σ 1 δ. το ρυκμό μεταβολισ τθσ ορμισ του ςϊματοσ Σ 2 όταν βρίςκεται ςτθν πάνω ακραία κζςθ τθσ νζασ ταλάντωςθσ. Δίνεται: g=10 m/s 2. (4 m/s, 0.25 kg, 0,2 3 m, 2.45 m, -40 N ) 6. Ζνα ιδανικό ελατιριο ςτακεράσ Κ=1200 N/m είναι κατακόρυφο με το κάτω άκρο του μόνιμα ςτερεωμζνο ςε οριηόντιο δάπεδο. Στο ελεφκερο άκρο του ελατθρίου είναι ςτερεωμζνθ οριηόντια μεταλλικι πλάκα μάηασ m 2 = 3 kg και το ςφςτθμα ιςορροπεί. Μεταλλικι ςφαίρα μάηασ m 1, θ οποία βρίςκεται ςτθν προζκταςθ του άξονα του ελατθρίου, αφινεται να πζςει από φψοσ h = 1, 8 m πάνω από τθν πλάκα. H ςφαίρα προςκροφει ςτθν πλάκα και αναπθδά ςε φψοσ h ' = h/4 πάνω από τθν αρχικι κζςθ ιςορροπίασ τθσ πλάκασ. Η κροφςθ είναι μετωπικι και ελαςτικι. Να υπολογίςετε: α. τθ μάηα m 1 τθσ ςφαίρασ. β. τθν εξίςωςθ τθσ δφναμθσ επαναφοράσ ςε ςυνάρτθςθ με το χρόνο. γ. τθ μζγιςτθ και τθν ελάχιςτθ δυναμικι ενζργεια του ελατθρίου. δ. το ρυκμό μεταβολισ τθσ κινθτικισ ενζργειασ ςτθ κζςθ όπου θ δυναμικι ενζργεια ταλάντωςθσ είναι ίςθ με τθν κινθτικι για πρϊτθ φορά Ωσ αρχι των χρόνων (t=0) να κεωρθκεί θ ςτιγμι τθσ κροφςθσ και ωσ κετικι φορά,θ φορά προσ τα πάνω. Δίνεται: g=10 m/s 2. (1 kg, 20 r/s, 0,15 m, -180θμ(20t+π ) 4

7. Τα ςϊματα Σ 1 και Σ 2 αμελθτζων διαςτάςεων, με μάηεσ m 1 =1 kg και m 2 =3 kg αντίςτοιχα είναι τοποκετθμζνα ςε λείο οριηόντιο επίπεδο. Το ςϊμα Σ 1 είναι δεμζνο ςτθ μία άκρθ οριηόντιου ιδανικοφ ελατθρίου ςτακεράσ K=100 Ν/m. Η άλλθ άκρθ του ελατθρίου, είναι ακλόνθτα ςτερεωμζνθ. Το ελατιριο με τθ βοικεια νιματοσ είναι ςυςπειρωμζνο κατά 0,2 m, όπωσ φαίνεται ςτο ςχιμα. Το Σ 2 ιςορροπεί ςτο οριηόντιο επίπεδο ςτθ κζςθ που αντιςτοιχεί ςτο φυςικό μικοσ l o του ελατθρίου. Κάποια χρονικι ςτιγμι κόβουμε το νιμα και το ςϊμα Σ 1 κινοφμενο προσ τα δεξιά ςυγκροφεται κεντρικά και ελαςτικά με το ςϊμα Σ 2. Θεωρϊντασ ωσ αρχι μζτρθςθσ των χρόνων τθ ςτιγμι τθσ κροφςθσ και ωσ κετικι φορά κίνθςθσ τθν προσ τα δεξιά, να υπολογίςετε α. τθν ταχφτθτα του ςϊματοσ Σ 1 λίγο πριν τθν κροφςθ του με το ςϊμα Σ 2. β. τισ ταχφτθτεσ των ςωμάτων Σ 1 και Σ 2 αμζςωσ μετά τθν κροφςθ. γ. τθν απομάκρυνςθ του ςϊματοσ Σ 1 μετά τθν κροφςθ, ςε ςυνάρτθςθ με το χρόνο. δ. τθν απόςταςθ μεταξφ των ςωμάτων Σ 1 και Σ 2 όταν το Σ 1 ακινθτοποιείται ςτιγμιαία για δεφτερθ φορά. Δίνεται π=3,14. ( παν.2006) (2m/s, -1 m /s, 1 m/s, 0.1 θμ(10t+π), 0,371 m ) 8. *Στο πάνω άκρο κατακόρυφου ιδανικοφ ελατθρίου ςτακεράσ k=400 N/m είναι ςτερεωμζνοσ δίςκοσ Α μάηασ M=4 kg. Το κάτω άκρο του ελατθρίου είναι ακλόνθτα ςτερεωμζνο ςτο δάπεδο και ο δίςκοσ ιςορροπεί. Από φψοσ h=0.25 m πάνω από το δίςκο βάλλεται κατακόρυφα προσ τα κάτω, με αρχικι ταχφτθτα υ ο =2 m/s, μικρι ςφαίρα Β, μάηασ m=2kg. Η ςφαίρα ςυγκροφεται κεντρικά και ελαςτικά με το δίςκο. Μετά τθν κροφςθ απομακρφνουμε τθ ςφαίρα ενϊ ο δίςκοσ εκτελεί απλι αρμονικι ταλάντωςθ. Η διάρκεια κροφςθσ κεωρείται αμελθτζα, όπωσ και οι τριβζσ και οι αντιςτάςεισ κεωροφνται αμελθτζεσ. α) Να υπολογίςετε το μζτρο τθσ ταχφτθτασ του δίςκου και τθσ ςφαίρασ αμζςωσ μετά τθν κροφςθ. β) Να υπολογίςετε το πλάτοσ ταλάντωςθσ του δίςκου. γ) Να υπολογίςετε τον χρόνο ςτον οποίο κα μθδενιςτεί για πρϊτθ φορά θ ταχφτθτα του δίςκου. δ) Να βρείτε τον ρυκμό μεταβολισ τθσ δυναμικισ ενζργειασ ταλάντωςθσ και το ρυκμό μεταβολισ τθσ δυναμικισ ενζργειασ του ελατθρίου,όταν περνάει από τθ κζςθ ιςορροπίασ του. ( υπουργ). (3m/s, -1 m/s, 2 m/s, 0.2 m, π/20 s, 0 ) 9. Το ςϊμα Σ 2 του ςχιματοσ που ζχει μάηα m 2 = 2 kg είναι δεμζνο ςτο ζνα άκρο οριηόντιου ιδανικοφ ελατθρίου, ςτακεράσ k, του οποίου το άλλο άκρο είναι ακλόνθτο. Το ςϊμα Σ 2 ταλαντϊνεται οριηόντια πάνω ςε λείο οριηόντιο επίπεδο ΠΠϋ με πλάτοσ Α = 0,1m και περίοδο Τ =π/5 s. Α. Να υπολογίςετε: Ι. Τθν τιμι τθσ ςτακεράσ k του ελατθρίου. 2. Τθ μζγιςτθ ταχφτθτα ταλάντωςθσ του ςϊματοσ Σ 2 Β. Το ςϊμα Σ 1 του ςχιματοσ με μάηα m 1 = 2 kg αφινεται ελεφκερο να ολιςκιςει πάνω ςτο λείο πλάγιο επίπεδο, από τθ κζςθ Γ. Η κατακόρυφθ απόςταςθ τθσ κζςθσ Γ από το οριηόντιο επίπεδο είναι Η = 1,8 m. Το ςϊμα Σ 1, αφοφ φκάςει ςτθ βάςθ του πλάγιου επιπζδου, ςυνεχίηει να κινείται, χωρίσ να αλλάξει μζτρο ταχφτθτασ, πάνω ςτο οριηόντιο επίπεδο ΠΠϋ. Το Σ 1 ςυγκροφεται μετωπικά (κεντρικά) και ελαςτικά με το ςϊμα Σ 2 τθ ςτιγμι που το Σ 2 ζχει τθ μζγιςτθ ταχφτθτά του και κινείται αντίκετα από το Σ 1 1. Να υπολογίςετε τθ μζγιςτθ ςυςπείρωςθ του ελατθρίου μετά από αυτι τθν κροφςθ. 2. Να δείξετε πωσ ςτθ ςυνζχεια το ςϊμα Σ 2 κα προλάβει το ςϊμα Σ 1 και κα ςυγκρουςτοφν πάλι πριν το ςϊμα Σ 1 φτάςει ςτθ βάςθ του πλάγιου επιπζδου. Δίνεται g= 10 m/s 2. 5

10. Σϊμα Σ 1, μάηασ m 1 =m=1 kg, ιςορροπεί δεμζνο ςτθν κάτω άκρθ κατακόρυφου ελατθρίου ςτακεράσ k=900 N/m, του οποίου θ άλλθ άκρθ είναι ακλόνθτα ςτερεωμζνθ ςε οροφι. Ζνα δεφτερο ςϊμα Σ 2 μάηασ m 2 =m=1 kg,, βάλλεται κατακόρυφα προσ τα πάνω, με ταχφτθτα υ ο = 6 m/s, από ςθμείο που βρίςκεται ςε απόςταςθ h=1.35 m κάτω από το ςϊμα Σ 1. Τα δφο ςϊματα ςυγκροφονται κεντρικά ελαςτικά και ςτθ ςυνζχεια το ςϊμα Σ 1 εκτελεί απλι αρμονικι ταλάντωςθ. Να βρείτε: α) το πλάτοσ τθσ ταλάντωςθσ του ςϊματοσ Σ 1. β) τθ κζςθ του ςϊματοσ Σ 2 τθ χρονικι ςτιγμι, που θ κινθτικι ενζργεια του ςϊματοσ Σ 1 γίνεται για 1θ φορά ελάχιςτθ. γ) το ζργο τθσ δφναμθσ του ελατθρίου κακϊσ το ςϊμα Σ 1 κινείται από τθ κζςθ ιςορροπίασ του μζχρι το ψθλότερο ςθμείο τθσ τροχιάσ του. δ) το μζτρο του ρυκμοφ μεταβολισ τθσ ταχφτθτασ του ςϊματοσ Σ 1, τθ ςτιγμι που φτάνει ςτο ψθλότερο ςθμείο. Οι αντιςτάςεισ λόγω των τριβϊν κεωροφνται αμελθτζεσ. Δίνεται g= 10 m/s 2 και π 2 =10. ( υπουργ). ( 3 m/s, 0.1 m, 1/72 m, -3.5 J, 90 m/s 2 ) 11. Ακίνθτο ςϊμα μάηασ Μ = 8 kg βρίςκεται ςτο ςθμείο Ο πάνω ςε λείο οριηόντιο δάπεδο και είναι προςδεμζνο ςτθν άκρθ οριηοντίου ελατθρίου ςτακεράσ k = 1000 Ν/m. Η άλλθ άκρθ του ελατθρίου είναι ακλόνθτα ςτερεωμζνθ, όπωσ φαίνεται ςτο ςχιμα. Βλιμα μάηασ m = 2 kg που κινείται κατά τθ διεφκυνςθ του άξονα του ελατθρίου με ταχφτθτα υ, ςυγκροφεται με το ακίνθτο ςϊμα μάηασ Μ και ςφθνϊνεται ς αυτό. Μετά τθν κροφςθ το ςυςςωμάτωμα εκτελεί απλι αρμονικι ταλάντωςθ και το μζτρο τθσ ταχφτθτασ του ςυςςωματϊματοσ τθ χρονικι ςτιγμι που διζρχεται από τθ κζςθ x 1 =+0,2 3 m, είναι υ 1 =2 m/s. Να υπολογίςετε: α. τθν περίοδο τθσ ταλάντωςθσ του ςυςςωματϊματοσ. β. το πλάτοσ τθσ ταλάντωςθσ και τθ μζγιςτθ ταχφτθτα του ςυςςωματϊματοσ. γ. τθν ταχφτθτα υ με τθν οποία το βλιμα προςκροφει ςτο ςϊμα μάηασ Μ. δ. τθν ελάχιςτθ ταχφτθτα που πρζπει να ζχει το βλιμα, ϊςτε το ςυςςωμάτωμα να φκάςει ςτο ςθμείο Δ. Δίνεται: ΟΔ = 0,5 m. (0.2π s, 0,4 m, 4 m/s, 20 m/s, 25 m/s ) 12. Σϊμα μάηασ m 1 =2 kg είναι ςτερεωμζνο ςτο ελεφκερο άκρο οριηόντιου ελατθρίου ςτακεράσ Κ = 200 Ν/m, το άλλο άκρο του οποίου είναι ακλόνθτα ςτερεωμζνο. Εκτρζπουμε το ςϊμα m 1 από τθ κζςθ ιςορροπίασ του κατά τθ αρνθτικι φορά, ςυςπειρϊνοντασ το ελατιριο κατά χ= -1 m και τθ χρονικι ςτιγμι t = 0 το αφινουμε ελεφκερο. Όταν θ επιμικυνςθ του ελατθρίου για πρϊτθ φορά γίνεται χ 1 = + 3/2 m, ςϊμα, που κινείται αντίρροπα με το m 1, ζχει μάηα m 2 = 6 kg και ταχφτθτα υ 2 = 5 m/s, ςυγκροφεται πλαςτικά με το ςϊμα μάηασ m 1 ϊςτε να αποτελζςουν πλζον ςυςςωμάτωμα. Να υπολογίςετε: α) Τθν ταχφτθτα του m 1 λίγο πριν ςυγκρουςτεί με το βλιμα ςτθ κζςθ χ 1 β) Τθν ταχφτθτα του ςυςςωματϊματοσ αμζςωσ μετά τθν κροφςθ. γ) Τθν ολικι ενζργεια του ςυςςωματϊματοσ δ) Τθν εξίςωςθ τθσ ταχφτθτασ ταλάντωςθσ του ςυςςωματϊματοσ, αν για t=0 είναι θ ςτιγμι αμζςωσ μετά τθν κροφςθ. ε) Το ρυκμό μεταβολισ τθσ κινθτικισ ενζργειασ του ταλαντωτι τθ χρονικι ςτιγμι t 1 = 2π/15 s. Τριβζσ του ςϊματοσ με το οριηόντιο επίπεδο είναι αμελθτζεσ (5 m/s, 2,5 m/s, 100 J ) 6

13. Σϊμα μάηασ m 1 =0,9 kg εκτελεί απλι αρμονικι ταλάντωςθ πάνω ςε λείο οριηόντιο επίπεδο, δεμζνο ςτο ελεφκερο άκρο οριηόντιου ελατθρίου ςτακεράσ Κ=100 Ν/m. Η μζγιςτθ ταχφτθτα του ςϊματοσ είναι υ max =10 m/s. Τθ χρονικι ςτιγμι t=0 το ςϊμα διζρχεται από τθ κζςθ ιςορροπίασ του με κετικι ταχφτθτα και ςυγκροφεται πλαςτικά με αντίκετα κινοφμενο βλιμα μάηασ m 2 =0.1 kg που ζχει ταχφτθτα μζτρου υ 2 =180 m/s. α) Να βρείτε τθν ταχφτθτα του ςυςςωματϊματοσ β) Να υπολογίςετε τθν ενζργεια τθσ ταλάντωςθσ του ςυςςωματϊματοσ και το πλάτοσ τθσ ταλάντωςισ του. γ) Να γράψετε τθν εξίςωςθ τθσ επιτάχυνςθσ του ςυςςωματϊματοσ ςε ςυνάρτθςθ με το χρόνο και να τθν παραςτιςετε γραφικά. δ) Να βρείτε το ποςοςτό επί τοισ εκατό των απωλειϊν ενζργειασ κατά τθν κροφςθ. Θεωριςτε τθ χρονικι διάρκεια τθσ κροφςθσ αμελθτζα. (-9 m/s, 40,5 J, 0.9 m, -90θμ(10t+π) 14. Σϊμα Σ 1 μάηασ m 1 = 1 kg που είναι προςδεμζνο ςτο άκρο οριηοντίου ελατθρίου ςτακεράσ Κ = 100 N/m και ιςορροπεί ςε λείο, οριηόντιο επίπεδο. Το άλλο άκρο του ελατθρίου είναι ςτερεωμζνο ακλόνθτα. Ενα άλλο ςϊμα Σ 2 μάηασ m 2 = 3 kg βρίςκεται ςε απόςταςθ χ = 0,1π m από το Σ 1. Μετακινοφμε το ςϊμα Σ 1 ςυμπιζηοντασ το ελατιριο κατά Δl 1 και το ςυγκρατοφμε ςτθ κζςθ αυτι. Εκτοξεφουμε το ςϊμα Σ 2 προσ το Σ 1 προςδίδοντάσ του οριηόντια ταχφτθτα μζτρου υ ο και τθν ίδια ςτιγμι απελευκερϊνουμε το ςϊμα Σ 1.Η κροφςθ των δφο ςωμάτων είναι μετωπικι πλαςτικι και γίνεται ςτθ κζςθ φυςικοφ μικουσ του ελατθρίου. Το ςυςςωμάτωμα αμζςωσ μετά τθν πλαςτικι κροφςθ κινείται με τθ φορά κίνθςθσ που είχε το ςϊμα Σ 2 πριν τθ κροφςθ και αρχίηει να εκτελεί απλι αρμονικι ταλάντωςθ πλάτουσ 0,1 m. α. Να υπολογίςετε το μζτρο τθσ ταχφτθτασ του ςυςςωματϊματοσ αμζςωσ μετά τθν πλαςτικι κροφςθ. β. Να υπολογίςετε το μζτρο υ o τθσ ταχφτθτασ του ςϊματοσ Σ 2 γ. Να υπολογίςετε τθν ςυμπίεςθ Δl 1 που προκαλζςαμε αρχικά ςτο ελατιριο. δ. Να γράψετε τθν εξίςωςθ τθσ ταχφτθτασ ταλάντωςθσ του ςυςςωματϊματοσ ςε ςχζςθ με το χρόνο, αν για t=0 είναι χ=+α/2 και υ<0 και κετικι φορά προσ τα δεξιά. ε. Να βρείτε τθ χρονικι ςτιγμι που το ςυςςωμάτωμα κα βρεκεί ςτθ κζςθ χ=-α για πρϊτθ φορά μετά τθ ςτιγμι t=0. 15. Κατακόρυφο ελατιριο ςτακεράσ K = 100 N/m ζχει το κάτω άκρο του ςτερεωμζνο ςτο δάπεδο. Στο επάνω άκρο του ελατθρίου ζχει προςδεκεί ςϊμα Σ 1 με μάηα M =4 kg που ιςορροπεί. Δεφτερο ςϊμα Σ 2 με μάηα m=1 kg βρίςκεται πάνω από το πρϊτο ςϊμα Σ 1 ςε άγνωςτο φψοσ h όπωσ φαίνεται ςτο ςχιμα. Μετακινοφμε το ςϊμα Σ 1 προσ τα κάτω κατά d = π/20 m και τθ χρονικι ςτιγμι t=0 το αφινουμε ελεφκερο, ενϊ τθν ίδια ςτιγμι αφινουμε ελεφκερο και το δεφτερο ςϊμα Σ 2. α) Να υπολογίςετε τθν τιμι του φψουσ h ϊςτε τα δφο ςϊματα να ςυναντθκοφν ςτθ κζςθ ιςορροπίασ του ςϊματοσ Σ 1. β) Να δείξετε ότι το ςυςςωμάτωμα αμζςωσ μετά τθν κροφςθ ακινθτοποιείται ςτιγμιαία. γ) Να υπολογίςετε το μζτρο τθσ μζγιςτθσ επιτάχυνςθσ που αποκτά το ςυςςωμάτωμα. Δίνεται g=10 m/s 2. Θεωριςτε ςτισ πράξεισ ςασ π 2 = 10. 7

16. Το ςϊμα μάηασ m 2 = 1 kg αφινεται να πζςει από φψοσ h = 0,6 m και ςυγκροφεται πλαςτικά μετωπικά με το ςϊμα μάηασ m 1 = 1 kg που είναι δεμζνο ςτο άκρο κατακόρυφου ελατθρίου ςτακεράσ Κ = 50 Ν/m. Αν t= 0 s, είναι θ ςτιγμι που αρχίηει θ κίνθςθ του ςυςςωματϊματοσ και g = 10 m/s 2 : Α. Ποια θ ταχφτθτα του ςυςςωματϊματοσ αμζςωσ μετά τθν κροφςθ και ποιο το ποςοςτό επί τοισ εκατό απϊλειασ ενζργειασ κατά τθ κροφςθ ; Β. Να βρείτε τθν εξίςωςθ τθσ απομάκρυνςθσ από τθ κζςθ ιςορροπίασ ςε ςυνάρτθςθ με το χρόνο κεωρϊντασ κετικι φορά προσ τα κάτω. Γ. Ποια χρονικι ςτιγμι το ςυςςωμάτωμα διζρχεται από τθ κζςθ ιςορροπίασ του για δεφτερθ φορά; Δ. Να βρείτε τθν ταχφτθτα, τθν δφναμθ του ελατθρίου και τθν δφναμθ επαναφοράσ τθσ ταλάντωςθσ ςτθ κζςθ χ=-α/2. ( 3 m/s, 0.4 θμ(5τ+11π/6), 7π/30 s, 3 m/s, 10 Ν ) 17. Ζνασ δίςκοσ μάηασ m 1 =0.5 kg ιςορροπεί δεμζνοσ ςτθν πάνω κατακόρυφθ άκρθ ιδανικοφ ελατθρίου, ςτακεράσ Κ=25 N/m. Από φψοσ h=0.6 m πάνω από το δίςκο αφινεται να πζςει ζνα άλλο ςϊμα μάηασ m 2 =0.5 kg, το οποίο ςυγκροφεται μετωπικά και πλαςτικά με το δίςκο. Να υπολογίςετε : Α. το ποςοςτό απϊλειασ τθσ κινθτικισ ενζργειασ κατά τθν κροφςθ. Β. τθν εξίςωςθ τθσ απομάκρυνςθσ του ςυςςωματϊματοσ, κεωρϊντασ t=0 τθ ςτιγμι τθσ κροφςθσ και κετικι φορά προσ τα κάτω. Γ. το χρονικό διάςτθμα που μεςολαβεί από τθ ςτιγμι τθσ κροφςθσ μζχρι τθ ςτιγμι που θ ταχφτθτα του ςυςςωματϊματοσ μθδενίηεται για πρϊτθ φορά. Δ. τθ μζγιςτθ τιμι τθσ δφναμθσ του ελατθρίου. Ε. τα μζτρα των ρυκμϊν μεταβολισ τθσ κινθτικισ ενζργειασ, τθσ βαρυτικισ δυναμικισ ενζργειασ, τθσ δυναμικισ του ελατθρίου και τθσ δυναμικισ τθσ ταλάντωςθσ ςτθ κζςθ χ= 0, 2 3m. Δίνεται g=10 m/s 2. (50%, (0.4 θμ5τ+11π/6), 2π/15, 2 m/s, 20Ν, 5 3 J/s, 10 J/s) 18. *Ζνα ςϊμα μάηασ m 1 = 3 kg είναι δεμζνο ςτο ζνα άκρο κατακόρυφου ιδανικοφ ελατθρίου, το άλλο άκρο του οποίου είναι ςτερεωμζνο ςτο δάπεδο, και εκτελεί απλι αρμονικι ταλάντωςθ πλάτουσ Α = 0,4 m. Κάποια ςτιγμι που το ςϊμα αυτό διζρχεται από τθ κζςθ Δ τθσ ταλάντωςισ του, όπου θ κινθτικι του ενζργεια είναι τριπλάςια τθσ δυναμικισ ενζργειασ τθσ ταλάντωςισ του και θ απομάκρυνςι του από τθ κζςθ ιςορροπίασ είναι κετικι, ςυγκροφεται μετωπικά και πλαςτικά με ςϊμα μάηασ m 2 = 1 kg που κινείται με αντίκετθ φορά ζχοντασ ταχφτθτα αλγεβρικισ τιμισ υ ο = - 6 m/s. Το ςυςςωμάτωμα εκτελεί απλι αρμονικι ταλάντωςθ ςυχνότθτασ f=2,5 /π Ηz. α) Να υπολογίςετε τθν ταχφτθτα του ςϊματοσ μάηασ m 1 ελάχιςτα πριν τθν κροφςθ και τθν ταχφτθτα του ςυςςωματϊματοσ β) Να βρείτε το ποςοςτό επί τοισ εκατό τθσ απϊλειασ ενζργειασ εξαιτίασ τθσ κροφςθσ. γ) Να υπολογίςετε μετά από πόςο χρόνο κα ακινθτοποιθκεί ςτιγμιαία το ςυςςωμάτωμα για πρϊτθ φορά μετά τθ ςτιγμι τθσ κροφςθσ. δ) Να γράψετε τισ χρονικζσ εξιςϊςεισ τθσ απομάκρυνςθσ, τθσ ταχφτθτασ και τθσ επιτάχυνςθσ του ςυςςωματϊματοσ, κεωρϊντασ ωσ t = 0 τθ χρονικι ςτιγμι τθσ κροφςθσ και κετικι φορά προσ τα πάνω. Δίνεται θ επιτάχυνςθ τθσ βαρφτθτασ g= 10 m/s 2. ( 2 m/s, 0 m/s, 100%, 0,2π s, 0.3 θμ(5t+π/2) 8

19. Σϊμα μάηασ m 1 = 1 kg ιςορροπεί ακίνθτο, δεμζνο ςτο ζνα άκρο κατακόρυφου ιδανικοφ ελατθρίου ςτακεράσ k = 100 Ν/m, το άλλο άκρο του οποίου είναι ςτερεωμζνο ςτο δάπεδο. Σε φψοσ h πάνω από το ςϊμα μάηασ m 1 και ςτθν ίδια ευκεία με τον άξονα του ελατθρίου διατθροφμε ακίνθτο ςϊμα μάηασ m 2 = 3 kg. Εκτρζπουμε το ςϊμα μάηασ m 1 κατακόρυφα προσ τα κάτω, ςυςπειρϊνοντασ επιπλζον το ελατιριο κατά y = 0,3 m, και ςτθ ςυνζχεια το αφινουμε ελεφκερο να εκτελζςει απλι αρμονικι ταλάντωςθ. Κάποια ςτιγμι αφινουμε και το ςϊμα μάηασ m 2 ελεφκερο να κινθκεί, οπότε τα δφο ςϊματα ςυγκροφονται μετωπικά και πλαςτικά ςτθ κζςθ ιςορροπίασ του ςϊματοσ μάηασ m 1, όταν αυτό κινείται προσ τα πάνω, ζχοντασ ελάχιςτα πριν τθ ςφγκρουςθ αντίκετεσ ταχφτθτεσ. α) Να υπολογίςετε τθ ςυχνότθτα μεγιςτοποίθςθσ τθσ κινθτικισ ενζργειασ του ςυςςωματϊματοσ. β) Να βρείτε το φψοσ h. γ) Να γράψετε τισ χρονικζσ εξιςϊςεισ τθσ απομάκρυνςθσ, τθσ ταχφτθτασ και τθσ επιτάχυνςθσ ταλάντωςθσ του ςυςςωματϊματοσ, κεωρϊντασ ωσ t = 0 τθ χρονικι ςτιγμι τθσ κροφςθσ και ωσ κετικι φορά τθ φορά προσ τα πάνω. δ) Να υπολογίςετε τθ χρονικι ςτιγμι που το ςυςςωμάτωμα ακινθτοποιείται ςτιγμιαία για πρϊτθ φορά μετά τθν κροφςθ. Δίνεται θ επιτάχυνςθ τθσ βαρφτθτασ g= 10 m/s 2. (5/π Hz, 0,45 m, 0.3 2θμ(5t+3π/4), 0,15π s) 20. Σϊμα Σ 1 μάηασ m 1 =1,8 kg αναρτάται ςτο κάτω άκρο κατακόρυφου ελατθρίου, το άλλο άκρο του οποίου είναι ακλόνθτα ςτερεωμζνο ςε οροφι. Το ςϊμα Σ 1 ιςορροπεί ςε φψοσ h = 4,4 m από το ζδαφοσ, με το ελατιριο να ζχει επιμθκυνκεί κατά y=36 cm. Δεφτερο ςϊμα Σ 2 μάηασ m 2 = 0,2 kg βάλλεται κατακόρυφα από το ζδαφοσ. Στθν πορεία του ςυναντά το ςϊμα Σ 1 και ςυγκροφεται με αυτό τθ χρονικι ςτιγμι t=0. Η κροφςθ είναι πλαςτικι και το ςυςςωμάτωμα που προκφπτει από τθν κροφςθ αποκτά κατά τθν ταλάντωςι του μζγιςτθ ταχφτθτα ίςθ με υ max = 0,4 m/s. α) Να βρεκεί θ ςτακερά του ελατθρίου K β) Να βρεκεί θ κινθτικι ενζργεια του ςυςςωματϊματοσ αμζςωσ μετά τθν κροφςθ και το ποςοςτό επί τοισ εκατό απϊλειασ ενζργειασ κατά τθ κροφςθ ; γ) Να βρεκεί θ ταχφτθτα υ 2 του ςϊματοσ Σ αμζςωσ πριν τθν κροφςθ, κακϊσ και θ ταχφτθτα υ ο με τθν οποία το ςϊμα Σ 2 βλικθκε από το ζδαφοσ. δ) Να γράψετε τθν εξίςωςθ τθσ απομάκρυνςθσ του ςυςςωματϊματοσ ςε ςυνάρτθςθ με το χρόνο. Θεωριςτε ωσ κετικι φορά τθ φορά κίνθςθσ του ςϊματοσ Σ 2 πριν τθν κροφςθ. ε) Να δείξετε ότι τα μζτρα τθσ μζγιςτθσ και τθσ ελάχιςτθ σ τιμισ τθσ δφναμθσ που αςκεί το ελατιριο ςτο ςυςςωμάτωμα ςυνδζονται με τθ ςχζςθ : F ελ(max) / F ελ(min) =3/2. Δίνεται g=10 m/s 2. (50 N/m, 2 3 m/s, 10 m/s, 8 θμ(5t+π/6) 21. Ζνα κατακόρυφο ελατιριο ςτακεράσ k=100 N/m ζχει το άνω άκρο του ςτερεωμζνο ςε οροφι. Στο κάτω άκρο του ελατθρίου ζχει προςδεκεί ςϊμα Σ 1 μάηασ m 1 =3 kg που ιςορροπεί ςτθ κζςθ ΘΙ (1). Τθ χρονικι ςτιγμι t=0, ζνα βλιμα Σ 2 μάηασ m 2 =1 kg που κινείται ςτον άξονα του ελατθρίου με ταχφτθτα μζτρου υ 2 και φορά προσ τα πάνω, προςκροφει ςτο ςϊμα Σ 1 και ςφθνϊνεται ς' αυτό. Το ςυςςωμάτωμα ξεκινά να εκτελεί απλι αρμονικι ταλάντωςθ με αρχικι ταχφτθτα μζτρου υ ς = 3 /2 m/s. Θεωρϊντασ κετικι τθν κατακόρυφθ προσ τα κάτω φορά, να βρείτε: α) τθν επιμικυνςθ d 1 του ελατθρίου ωσ προσ το φυςικό του μικοσ, ςτθ κζςθ ιςορροπίασ ΘΙ(1) του ςϊματοσ Σ 1. β) το μζτρο τθσ ταχφτθτασ υ 2 του βλιματοσ. γ) το πλάτοσ Α τθσ ταλάντωςθσ του ςυςςωματϊματοσ. δ) τθν εξίςωςθ τθσ ταχφτθτασ με τθν οποία ταλαντϊνεται το ςυςςωμάτωμα. Δίνεται: g=10 m/s 2.( υπουργ). (0.3 m, 2 3 m/s, 0.2 m, 1.ςυν(5t+7π/6)) 9

22. Στο κάτω άκρο κεκλιμζνου επιπζδου γωνίασ κλίςθσ φ=30 ο είναι ςτερεωμζνο ιδανικό ελατιριο ςτακεράσ k=100 N/m. Στο πάνω ελεφκερο άκρο του ελατθρίου ζχει προςδεκεί ςϊμα μάηασ m 1 = 2 kg που ιςορροπεί. Από τθν κορυφι του κεκλιμζνου επιπζδου και από απόςταςθ s=0.15 m από το m 1, βάλλεται προσ τα κάτω δεφτερο ςϊμα m 2 = 1 kg με αρχικι ταχφτθτα υ ο = 3 m/s και με κατεφκυνςθ τον άξονα του ελατθρίου που ςυγκροφεται κεντρικά με το m 1. Μετά τθν κροφςθ θ κίνθςθ του m 2 αντιςτρζφεται, και διανφοντασ απόςταςθ d=0.05 m ςταματάει. Το m 1 εκτελεί απλι αρμονικι ταλάντωςθ. Α. Να υπολογίςετε: α) τθν ταχφτθτα του ςϊματοσ m 2 ελάχιςτα πριν τθν κροφςθ. β) τισ ταχφτθτεσ των ςωμάτων αμζςωσ μετά τθν κροφςθ. γ) τθ μζγιςτθ ςυμπίεςθ του ελατθρίου από τθν αρχικι του κζςθ. δ) τθ μζγιςτθ δυναμικι ελαςτικι ενζργεια του ελατθρίου κατά τθν απλι αρμονικι ταλάντωςθ του m 1. Β. Να εξετάςετε αν θ κροφςθ είναι ελαςτικι. Δίνεται θ επιτάχυνςθ βαρφτθτασ g= 10 m/s 2 (υπουργ). (3 2/2 m/s, 2/2 m/s, 2 m/s, 0.2 m, 4,5 J,ελ. 23. *Από τθν κορυφι λείου κεκλιμζνου, επιπζδου γωνίασ κλίςθσ φ = 30 ο ςτερεϊνεται διαμζςου ιδανικοφ ελατθρίου ςϊμα μάηασ m 2 = 3 kg και το ςφςτθμα ιςορροπεί πάνω ςτο κεκλιμζνο επίπεδο. Από τθ βάςθ του κεκλιμζνου επιπζδου κινείται προσ τα πάνω ςϊμα μάηασ m 1 = 1 kg και αρχικισ ταχφτθτασ υ ο που ζχει τθ διεφκυνςθ του άξονα του ελατθρίου, όπωσ φαίνεται ςτο ςχιμα. Η αρχικι απόςταςθ των ςωμάτων είναι s = 0,9 m και θ ςτακερά του ελατθρίου k = 300 N/m. Τα ςϊματα ςυγκροφονται μετωπικά και πλαςτικά και θ διάρκεια τθσ κροφςθσ είναι αμελθτζα. Η μζγιςτθ παραμόρφωςθ (επιμικυνςθ) του ελατθρίου κατά τθ διάρκεια τθσ ταλάντωςθσ του ςυςςωματϊματοσ είναι 11/60 m. Να βρείτε : α. το πλάτοσ τθσ ταλάντωςθσ του ςυςςωματϊματοσ και τθ αρχικι ταχφτθτα υ ο β. τθ μζγιςτθ ςυμπίεςθ του ελατθρίου γ. ςε ποιεσ κζςεισ θ ταχφτθτα γίνεται το μιςό τθσ μζγιςτθσ ; δ. το ζργο τθσ δφναμθσ επαναφοράσ, το ζργο του βάρουσ κακϊσ και το ζργο τθσ δφναμθσ του ελατθρίου από τθ ςτιγμι αμζςωσ μετά τθν κροφςθ μζχρι το ςυςςωμάτωμα να ακινθτοποιθκεί για πρϊτθ φορά. Δίνεται θ επιτάχυνςθ τθσ βαρφτθτασ : g = 10 m / s 2. ( 7/60 m, 5 m/s ) 24. *Ζνα ςϊμα μάηασ Μ= 3 kg είναι δεμζνο ςε κατακόρυφο ελατιριο ςτακεράσ k, το άλλο άκρο του οποίου είναι ςτερεωμζνο ςτθν οροφι, και αρχικά ιςορροπεί με το ελατιριο επιμθκυμζνο κατά d = 0,3 m. Τθ χρονικι ςτιγμι t =0, λόγω κάποιου εςωτερικοφ αιτίου, το ςϊμα διαςπάται βίαια ςε δφο κομμάτια με μάηεσ m 1 και m 2 για τισ οποίεσ ιςχφει m 2 =2.m 1.Το ςϊμα μάηασ m 1 παραμζνει δεμζνο ςτο ελατιριο εκτελϊντασ απλι αρμονικι ταλάντωςθ πλάτουσ Α = 0,2 2 m, ενϊ το ςϊμα μάηασ m 2 κινείται κατακόρυφα προσ τα κάτω. α) Να υπολογίςετε τθ ςτακερά επαναφοράσ τθσ ταλάντωςθσ του ςϊματοσ μάηασ m 1 β) Να υπολογίςετε τθν ενζργεια που εκλφκθκε από τθ διάςπαςθ του ςϊματοσ μάηασ Μ. γ) Να γράψετε τθ χρονικι εξίςωςθ τθσ απομάκρυνςθσ του ςϊματοσ μάηασ m 1 από τθ ιςορροπίασ του, κεωρϊντασ ωσ κετικι φορά τθ φορά προσ τα κάτω. δ) Να βρείτε τθν τιμι του ρυκμοφ με τον οποίο μεταβάλλεται θ ορμι του ςϊματοσ μάηασ m 1 τθ ςτιγμι τθσ διάςπαςθσ. Δίνεται θ επιτάχυνςθ τθσ βαρφτθτασ g= 10 m/s 2. (100 N/m, 3 J, 0.2 2 θμ(10t+3π/4), -20 N) 10

25. *Σϊμα μάηασ m εκτελεί απλι αρμονικι ταλάντωςθ πάνω ςε λείο οριηόντιο επίπεδο εξαρτθμζνο ςε οριηόντιο ελατιριο ςτακεράσ Κ = 400 Ν/m, με πλάτοσ A=0,5 m και περίοδο Τ= π/5 s. Όταν το ςϊμα βρίςκεται ςτθ κζςθ χ = +0,4 m (προσ τα δεξιά, ςτθ κετικι κατεφκυνςθ) εκριγνυται ςε δφο κομμάτια με μάηεσ m 1, και m 2 όπου m 2 = 3 m 1. Το κομμάτι μάηασ m 1 παραμζνει εξαρτθμζνο ςτο ελατιριο και ακινθτοποιείται ςτιγμιαία μετά τθν ζκρθξθ ενϊ το m 2 απομακρφνεται με ταχφτθτα μζτρου υ 2. α. Να γραφεί θ χρονικι εξίςωςθ τθσ απομάκρυνςθσ τθσ ταλάντωςθσ του ςϊματοσ μάηασ m 1, κεωρϊντασ χρονικι ςτιγμι t=0 τθ ςτιγμι τθσ ζκρθξθσ. β. Να υπολογίςετε τθν απόςταςθ των δφο ςωμάτων τθ χρονικι ςτιγμι, τθν οποία το ςϊμα μάηασ m 1 ςταματάει ςτιγμιαία για πρϊτθ φορά. γ. Να υπολογίςετε τθν ενζργεια που εκλφκθκε από τθν ζκρθξθ. δ. Αν το ςϊμα μάηασ m 1 αμζςωσ μετά τθν ζκρθξθ είχε αρνθτικι φορά κίνθςθσ και το πλάτοσ ταλάντωςθσ του ιταν ίςο με το πλάτοσ τθσ αρχικισ ταλάντωςθσ του ςϊματοσ μάηασ m, να υπολογίςετε τθν ταχφτθτα υ 2 του κομματιοφ μάηασ m 2. Δίνεται π=3,14. (0,4 θμ(20t+π/2), 1,428 m, 6 J, 6 m/s) 26. Κατακόρυφο ελατιριο ςτακεράσ K κρζμεται από οροφι δωματίου και ζχει φυςικό μικοσ l o =1 m. Στο ελεφκερο άκρο του ελατθρίου κρεμάμε ςϊμα Σ μάηασ m και κάποια χρονικι ςτιγμι το αφινουμε ελεφκερο από τθ κζςθ αυτι να εκτελζςει απλι αρμονικι ταλάντωςθ. Η μζγιςτθ δφναμθ που αςκεί το ελατιριο ςτο ςϊμα ζχει μζτρο F max(ελ) = 40 Ν και τισ χρονικζσ ςτιγμζσ ςτισ οποίεσ θ δφναμθ του ελατθρίου είναι μζγιςτθ, το ελατιριο ζχει μικοσ l = 1,2 m. α) Να βρεκεί θ ςτακερά Κ του ελατθρίου και θ μάηα m του ςϊματοσ Σ. β) Να υπολογίςετε το ρυκμό μεταβολισ: 1) τθσ κινθτικισ ενζργειασ του ςϊματοσ, 2) τθσ δυναμικισ ενζργειασ τθσ ταλάντωςθσ, 3) τθσ δυναμικισ ενζργεια σ του ελατθρίου και 4) τθσ δυναμικισ ενζργειασ βαρφτθτασ ςε μια ςτιγμι που το ςϊμα βρίςκεται ςε απόςταςθ χ=0,15 m από τθ κζςθ φυςικοφ μικουσ του ελατθρίου και πλθςιάηει προσ τθ κζςθ ιςορροπίασ του. γ) Κάποια χρονικι ςτιγμι κατά τθν οποία το μικοσ του ελατθρίου είναι ίςο με l =1,2 m, το ςϊμα Σ εκριγνυται ακαριαία ςε δφο ίςα τμιματα Σ 1 και Σ 2 εκ των οποίων το Σ 1 παραμζνει δεμζνο ςτο ελατιριο και ςυνεχίηει να ταλαντϊνεται ςτθν ίδια διεφκυνςθ με πλάτοσ ταλάντωςθσ διπλάςιο του πλάτουσ ταλάντωςθσ του ςϊματοσ Σ. Να υπολογίςετε το μζτρο τθσ ταχφτθτασ υ 2 του ςϊματοσ Σ 2 αμζςωσ μετά τθν ζκρθξθ. Θετικι φορά είναι αυτι προσ τα κάτω. Δίνεται : g=10 m/s 2. 27. Σϊμα μάηασ m 1 = 1kg βρίςκεται ςε λείο οριηόντιο επίπεδο και είναι προςδεμζνο ςτο ζνα άκρο οριηόντιου ιδανικοφ ελατθρίου ςτακεράσ Κ = 100Ν/m το άλλο άκρο του οποίου είναι ακλόνθτα ςτερεωμζνο. Το ςφςτθμα εκτελεί απλι αρμονικι ταλάντωςθ πλάτουσ Α= 0,2 m. Ακριβϊσ πάνω από τθ κζςθ ιςορροπίασ Ο τθσ ταλάντωςθσ και ςε φψοσ h ςυγκρατείται ςϊμα μάηασ m 2 = 1 kg. Το ςϊμα μάηασ m 2 αφινεται ελεφκερο τθ ςτιγμι που το ςϊμα μάηασ m 1 διζρχεται από τθ κζςθ Ο, κινοφμενο κατά τθν αρνθτικι φορά. Τα δφο ςϊματα ςυγκροφονται πλαςτικά τθ ςτιγμι που το ςϊμα μάηασ m 1 επανζρχεται για πρϊτθ φορά ςτθ κζςθ O, κινοφμενο κατά τθ κετικι φορά. Η χρονικι διάρκεια τθσ ςφγκρουςθσ κεωρείται αμελθτζα. Να υπολογίςετε: α. τθν περίοδο ταλάντωςθσ του ςϊματοσ μάηασ m 1 β. το φψοσ h από το οποίο αφζκθκε το ςϊμα μάηασ m 2 γ. το πλάτοσ ταλάντωςθσ του ςυςςωματϊματοσ. δ. τθν απϊλεια ενζργειασ του ςυςτιματοσ των δφο ςωμάτων κατά τθν κροφςθ. Δίνονται θ επιτάχυνςθ τθσ βαρφτθτασ:g = 10 m/s 2 και ότι π 2 =10. Η αντίςταςθ του αζρα κατά τθν κίνθςθ του ςϊματοσ μάηασ m 2 να κεωρθκεί αμελθτζα. (π/5 s, 0.5 m, 0.1 2 m, 6J) 11

28. Το ςϊμα μάηασ Μ = 3 kg του διπλανοφ ςχιματοσ μπορεί να κινείται ςε λείο οριηόντιο δάπεδο και είναι δεμζνο ςτο ζνα άκρο ελατθρίου ςτακεράσ K= 300 Ν/m, το άλλο άκρο του οποίου είναι ςτερεωμζνο ςε ακλόνθτο ςθμείο. Αρχικά το ςϊμα ιςορροπεί ακίνθτο με το ελατιριο ςτθν κατάςταςθ φυςικοφ του μικουσ. Ζνα βλιμα μάηασ m= 0,2 kg που κινείται οριηόντια με ταχφτθτα μζτρου υ 1 =40 m/s, ςυγκροφεται μετωπικά με το ακίνθτο ςϊμα και εξζρχεται από αυτό με οριηόντια ταχφτθτα μζτρου υ 2 =υ 1 /4. α) Να υπολογίςετε το πλάτοσ τθσ ταλάντωςθσ που κα εκτελζςει το ςϊμα μάηασ Μ μετά τθν κροφςθ. β) Να βρείτε τθ χρονικι διάρκεια κίνθςθσ του ςϊματοσ μάηασ Μ από τθ ςτιγμι τθσ κροφςθσ μζχρι τθ ςτιγμι που μθδενίηεται ςτιγμιαία για πρϊτθ φορά θ ταχφτθτά του και το ποςοςτό απϊλειασ τθσ κινθτικισ ενζργειασ κατά τθν κροφςθ. γ) Να γράψετε τθ χρονικι εξίςωςθ τθσ δφναμθσ που δζχεται το ςϊμα μάηασ Μ από το ελατιριο μετά τθν κροφςθ, κεωρϊντασ ωσ t=0 τθ χρονικι ςτιγμι που το βλιμα εξζρχεται από το ςϊμα. (0,2 m, 0.05π s, -60 θμ10t) 29. Στο πάνω άκρο κατακόρυφου ιδανικοφ ελατθρίου ςτακεράσ k=80π 2 N/m είναι ςυνδεδεμζνοσ δίςκοσ μάηασ Μ=5 kg που ιςορροπεί. Το κάτω άκρο του ελατθρίου είναι ακλόνθτα ςτερεωμζνο ςε δάπεδο από φψοσ h=5 m πάνω από το δίςκο αφινεται να πζςει ελεφκερα μια ςφαίρα μάηασ m= 1kg, θ οποία ςυγκροφεται μετωπικά με τον δίςκο και θ διάρκεια κροφςθσ είναι αμελθτζα. Μετά τθν κροφςθ θ ςφαίρα αναπθδά κατακόρυφα και φτάνει ςε φψοσ h 2 =1.25 m πάνω από τθν κζςθ ιςορροπίασ του δίςκου. Να υπολογίςετε: α) το μζτρο τθσ ταχφτθτασ του δίςκου και τθσ ςφαίρασ αμζςωσ μετά τθν κροφςθ. β) τθ κζςθ του δίςκου τθ ςτιγμι που θ ςφαίρα φτάνει ςτο φψοσ h 2. γ) τθ δφναμθ επαναφοράσ που αςκείται ςτο δίςκο ςε ςχζςθ με τθν απομάκρυνςθ από τθ κζςθ ιςορροπίασ και να τθ ςχεδιάςετε ςε αρικμθμζνουσ άξονεσ. δ) Το μζτρο του ρυκμοφ μεταβολισ τθσ δυναμικισ ενζργειασ του ελατθρίου, αμζςωσ μετά τθν κροφςθ. ε) Να εξετάςετε το είδοσ τθσ κροφςθσ και να βρείτε τθν % μείωςθ τθσ κινθτικισ ενζργειασ τθσ ςφαίρασ λόγω τθσ κροφςθσ. Δίνεται g= 10 m/s 2 και π 2 =10. ( υπουργ). (10 m/s, 5 m/s, 3 m/s, -800y, 150 J/s, 75% ) 12

30. Τα ιδανικά ελατιρια του ςχιματοσ ζχουν ςτακερζσ k 1 =300 N/m και k 2 =600 N/m και τα ςϊματα Σ 1 και Σ 2, αμελθτζων διαςτάςεων, που είναι δεμζνα ςτα άκρα των ελατθρίων, ζχουν μάηεσ m 1 =3 kg και m 2 =1 kg. Τα δφο ελατιρια βρίςκονται αρχικά ςτο φυςικό τουσ μικοσ και τα ςϊματα ςε επαφι. Εκτρζπουμε από τθ κζςθ ιςορροπίασ του το ςϊμα Σ 1 κατά d=0.4 m ςυμπιζηοντασ το ελατιριο k 1 και το αφινουμε ελεφκερο. Κάποια ςτιγμι ςυγκροφεται με το Σ 2 και κολλά ς αυτό. Τα ςϊματα κινοφνται ςε λείο οριηόντιο επίπεδο και θ διάρκεια τθσ κροφςθσ κεωρείται αμελθτζα. α) Να υπολογίςετε ςε πόςο χρόνο και με τι ταχφτθτα το ςϊμα Σ 1 κα ςυγκρουςτεί με το ςϊμα Σ 2. β) Να δείξετε ότι το ςυςςωμάτωμα Σ 1 Σ 2 κα εκτελζςει απλι αρμονικι ταλάντωςθ και να υπολογίςετε τθ ςτακερά τθσ. γ) Να υπολογίςετε το πλάτοσ τθσ ταλάντωςθσ του ςυςςωματϊματοσ. δ) Να γράψετε τθν εξίςωςθ τθσ απομάκρυνςθσ του ςυςςωματϊματοσ ςε ςυνάρτθςθ με το χρόνο, κεωρϊντασ ωσ αρχι του χρόνου τθ ςτιγμι αμζςωσ μετά τθν κροφςθ. ε) Σε πόςο χρόνο από τθ ςτιγμι που αφιςαμε το ςϊμα m 1 κα μθδενιςτεί θ ταχφτθτα του ςυςςωματϊματοσ για 2θ φορά και πόςθ απόςταςθ κα ζχει διανφςει το m 1 μζχρι τότε;.( υπουργ). (π/20 s, 4 m/s, 900 N/m, 0.2 m, 0.2 θμ15t, 3π/20 s, 1 m) 31. *Θεωροφμε κατακόρυφο τεταρτοκφκλιο ΑΒ ακτίνασ R=2m το οποίο εφάπτεται ςτο κάτω άκρο του Β με λείο οριηόντιο επίπεδο, όπωσ φαίνεται ςτο ςχιμα. Ζνα ςϊμα μάηασ m 1 =4 kg αφινεται χωρίσ αρχικι ταχφτθτα να γλιςτριςει κατά μικοσ του τεταρτοκυκλίου από το άνω άκρο Α. Το ςϊμα διζρχεται από το ςθμείο Β του τεταρτοκυκλίου με ταχφτθτα μζτρου υ β = 5 m/s και ςυνεχίηει να κινείται πάνω ςτο οριηόντιο επίπεδο. Αφοφ διανφςει οριςμζνο διάςτθμα ςτο οριηόντιο επίπεδο, τθ χρονικι ςτιγμι t=0 το ςϊμα ςυγκροφεται μετωπικά και πλαςτικά με δεφτερο ςϊμα μάηασ m 2 = 6 kg που είναι δεμζνο ςτο ελεφκερο άκρο οριηόντιου ελατθρίου ςτακεράσ Κ= 250 Ν/m, το άλλο άκρο του οποίου είναι ςτερεωμζνο ςε ακλόνθτο ςθμείο. Α. Να υπολογιςτοφν: α. Το ποςό κερμότθτασ που παράχκθκε εξαιτίασ τθσ τριβισ κατά τθν κίνθςθ του ςϊματοσ μάηασ m 1 ςτο τεταρτοκφκλιο. β. Το ποςοςτό τθσ αρχικισ μθχανικισ ενζργειασ του ςϊματοσ μάηασ m 1 όταν βρίςκεται ςτο άκρο Α του τεταρτοκυκλίου, που χάκθκε εξαιτίασ τθσ πλαςτικισ κροφςθσ. γ. Το πλάτοσ και θ περίοδοσ τθσ ταλάντωςθσ του ςυςςωματϊματοσ. B. Να δοκεί θ γραφικι παράςταςθ τθσ επιτάχυνςθσ τθσ ταλάντωςθσ του ςυςςωματϊματοσ, ςε ςυνάρτθςθ με το χρόνο, κεωρϊντασ κετικι φορά τθν αντίκετθ με τθ φορά τθσ ταχφτθτα του m 1 ςτο ςθμείο Β. Δίνεται θ επιτάχυνςθ τθσ βαρφτθτασ: g=10 m/s 2 (πανελ). [ 30 J, 37,5%, 0.4m, -10θμ(5t+π) ] 13